简易导数和积分讲义
导数与定积分知识汇总
导数与定积分知识汇总导数和定积分是微积分的重要概念之一、导数描述了函数在其中一点上的变化率，而定积分则计算了函数在给定区间上的累积量。
本文将对导数和定积分的基本定义、性质和应用进行详细介绍。
一、导数的定义和性质1. 导数的定义：对于函数f(x)，在其中一点a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)。
导数表示了函数y=f(x)在x=a处的切线斜率。
2.导数的几何意义：导数表示了函数图像在其中一点上的切线斜率。
如果导数大于零，则函数在该点上递增；如果导数小于零，则函数在该点上递减；如果导数等于零，则函数在该点上取极值；如果导数不存在，则函数在该点上存在间断。
3.导数的计算方法：可以使用基本导数公式来计算导数，例如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
此外，还可以使用导数的四则运算法则，包括求和、差、积和商的导数。
4.高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
第n阶导数表示了函数的n次变化率，可以用f^(n)(x)表示。
例如，如果函数的二阶导数大于零，那么函数在该点上呈现凸的曲线形状。
二、定积分的定义和性质1. 定积分的定义：对于函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分定义为：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[f(x_k) Δx_k]，其中Σ表示求和，Δx_k是区间[a,b]上一个子区间的长度，x_k是该子区间内任意一点。
2.定积分的几何意义：定积分表示了函数f(x)在区间[a,b]上的曲线下面积。
如果函数在该区间上为正值，则积分值为正；如果函数在该区间上为负值，则积分值为负；如果函数在该区间上变号，则通过积分可以得到曲线上和曲线下的面积差。
3.定积分的计算方法：可以使用定积分的基本公式来计算定积分，如幂函数的定积分、三角函数的定积分等。
此外，还可以利用换元积分法、分部积分法等方法来计算更复杂的定积分。
4. 积分的性质：积分具有线性性质，即∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx；积分也具有保号性质，即如果在[a,b]上f(x) ≤ g(x)，那么∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx。
第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
导数和积分公式
导数和积分公式导数和积分是微积分的两个重要概念，在数学中起着至关重要的作用。
它们不仅仅是理论上的概念，更是实际问题求解中不可或缺的工具。
本文旨在以生动、全面、有指导意义的方式介绍导数和积分的公式及其应用。
一、导数的公式及应用：导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点的瞬时变化速率。
它有几种常见的表达方式：1. 函数f(x)在某一点x=a的导数记作 f'(a)，也可以用 dy/dx 或 df(x)/dx 表示。
2. 导数的表达式为f'(x) = lim (x→a) (f(x) - f(a))/(x -a)。
3. 常见函数的导数公式：① 若 f(x) = ax^n （a为常数，n为正整数），则 f'(x) = anx^(n-1)。
② 若 f(x) = e^x，则 f'(x) = e^x。
③ 若 f(x) = sinx，则 f'(x) = cosx。
④ 若 f(x) = cosx，则 f'(x) = -sinx。
⑤ 若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x。
导数的应用非常广泛，例如：1. 求函数的最大值和最小值：在函数的导数为零或不存在的点处，可能存在极值点。
2. 描述物体运动：导数可以反映物体的速度和加速度，常用于描述运动物体的位置、速度和加速度之间的关系。
3. 经济学中的边际分析：导数可以用于分析经济中的边际成本、边际收益等问题。
二、积分的公式及应用：积分是导数的逆运算，表示函数区间上的累积变化量。
它也有几种常见的表达方式：1. 函数f(x)在区间[a, b]上的积分记作∫(a to b) f(x)dx。
2. 不定积分的表达式为∫f(x)dx + C，其中C为常数。
3. 常见函数的积分公式：① 若 f(x) = x^n （n不等于-1），则∫f(x)dx = (1/(n +1))x^(n + 1)。
② 若 f(x) = e^x，则∫f(x)dx = e^x。
导数及其应用定积分与微积分基本定理课件理ppt
求函数的导数有多种方法，例如，利用求导公式求导；利用求导法则求导；利用复合函数求导法则求复合函数 的导数；利用微分学基本定理求高阶导数等。
02
定积分
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是函数在区间[a,b]上的积分，表示 为∫abf(x)dx，其中f(x)是待积函数，a和b 是积分的下限和上限。
定积分的性质
定积分具有一些基本性质，如线性性质、 可加性、可减性、可正可负性等。这些性 质在解决定积分问题时非常重要。
定积分的几何与物理应用
定积分的几何应用
定积分可以用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。例如，计算圆、椭圆 等图形的面积，或求圆柱、圆锥等旋转体的体积。
定积分的物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，如计算变力沿直线所做的功、计算液体对平 面所施加的力等。
最优问题求解
导数可以用于求解最优问题，例如在投资组合理论中，通过求解收益率关于资产配置的导数，可以找到最优的资产配置比 例。
动态最优化
导数可以用于建立动态最优化模型，例如在宏观经济学中，通过求解一阶导数和二阶导数，可以研究经济的稳定性和增长 问题。
定积分在物理学中的应用案例
面积和体积计算
定积分可以用于计算曲线下包围的面积和曲线的长度，以及计算立体的体积。例如，在计 算旋转体的体积时，可以将旋转体表面展开成一系列的小圆环，然后利用定积分计算每个 小圆环的面积并求和得到总体积。
微积分基本定理可以用于求解一些方 程，例如在求解一些涉及到多个变量 的方程时，可以通过微积分基本定理 将方程转化为一个易于求解的方程并 求解。
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物理应用
导数可以描述物理量随时间的变化率，例如速度是位移对时间的导数。导数 在物理中有广泛的应用，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。
导数及其应用微积分基本定理ppt
描述物体在单位时间内运动的距离和方向，是位置向量的时间导数。
加速度向量
描述物体在单位时间内速度的变化量，是速度向量的时间导数。
利用导数描述刚体的转动
01
02
03
角位置
描述刚体绕固定轴转过的 角度。
角速度
描述刚体在单位时间内转 过的角度。
角加速度
描述刚体在单位时间内角 速度的变化量，是角速度 的时间导数。
利用导数描述流体的流动
流速
描述流体在单位时间内流过的距离。
流量
描述在一段时间内流经某一截面的流体体积。
流导
描述流量与流速的关系，是流量的时间导数。
THANKS
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f(a))/(b-a)·x，然后利用导数研究函数的单 调性来证明。
微积分基本定理的证明
微积分基本定理的现代形式的证明方法可以归结为三种：直接法、定义法、和极 值法。
直接法是通过求导数直接得到；定义法是通过构造函数，利用定义证明；极值法 是通过研究函数的极值点来证明。
05
导数在经济学中的应用
利用导数分析经济问题
1 2
分析边际成本和收益
导数可以用来分析经济活动的边际成本和收益 ，从而帮助企业做出更准确的成本和收益分析 。
需求和供给弹性
导数可以用来计算需求和供给的弹性，从而帮 助理解价格的变动对市场需求和供给的影响。
3
最大利润原则
导数可以用来找到获得最大利润的产量和价格 ，从而帮助企业制定最优的产量和价格策略。
VS
详细描述
首先，根据不等式的形式构造一个适当的 函数，该函数往往具有某种特定的形状或 结构。然后，通过对这个函数求导，找到 它的极值点并计算出极值，这些极值往往 是证明不等式的关键。最后，利用这些极 值得出不等式的证明结果。
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
高考数学导数和积分知识点
高考数学导数和积分知识点高考数学中的导数和积分是非常重要的概念和知识点。
导数和积分是微积分的基础，掌握了它们，可以帮助我们解决很多实际问题和数学题目。
本文将详细介绍高考数学中的导数和积分的相关知识点，帮助同学们系统地理解和掌握这些概念。
一、导数导数是描述函数变化率的概念。
在数学中，函数的导数可用于衡量函数的变化速率以及切线的斜率。
导数的计算可以基于定义，也可以使用一些常见函数的导数公式进行计算。
1. 导数定义给定函数f(x)，如果存在极限lim(x→0)[f(x+h)-f(x)]/h，那么这个极限就是函数f(x)在x点的导数，记作f'(x)或者dy/dx。
其中，h 表示趋近于0的无穷小增量。
2. 导数的求法导数的求法有多种方法，常见的有以下几种：（1）使用基本导数公式，例如常数函数的导数为零，幂函数的导数可以使用幂函数的导数公式来计算。
（2）根据导数的定义，直接计算极限。
（3）利用常用的求导法则，例如和差法则、积法则、商法则等。
3. 导数的应用导数在高考数学中具有广泛的应用。
常见的应用包括函数的极值问题、函数的单调性判断、函数的模型建立等。
同时，导数还与数学中其他分支有关，如相关性、曲率、速度等相关概念。
二、积分积分是导数的逆运算，是衡量函数区间上的累积效应的概念。
积分可以帮助我们计算曲线下的面积、求函数的不定积分等。
1. 不定积分给定函数f(x)，它的不定积分F(x)表示对函数f(x)进行积分后得到的一类原函数。
不定积分是积分的一种基本形式，常用的表示方法是∫f(x)dx。
2. 定积分给定函数f(x)，在[a, b]区间上的定积分表示曲线f(x)与x轴之间的面积。
定积分的计算可以通过求不定积分再利用区间端点的值进行计算。
3. 积分的应用积分在高考数学中的应用非常广泛。
常见的应用包括求曲线与x轴之间的面积、求函数的平均值、计算物体的质量与重心等。
三、导数与积分的关系导数和积分是微积分的两个基本概念，它们之间有着密切的关系。
导数公式微分公式和积分公式
导数公式微分公式和积分公式一、导数公式1.基本导数公式：(1)常数函数的导数为0：(c)'=0(2) 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)(3) 指数函数的导数：(a^x)'=a^xlna (其中a>0，a≠1)(4) 对数函数的导数：(log_ax)'=1/(xlna) (其中a>0，a≠1)(5) 正弦函数和余弦函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx(6) 正切函数的导数：(tanx)'=sec^2x(7) 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的导数：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)，(arccosx)'=-1/√(1-x^2)，(arctanx)'=1/(1+x^2)2.导数的四则运算：(1)和差的导数：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'(2) 函数与常数的乘积的导数：(cf)'=cf'(3) 积的导数：(fg)'=f'g+fg'(4) 商的导数：(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 (其中g≠0)(5)复合函数的导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)二、微分公式微分可以看作函数在其中一点上对自变量的微小变化与函数值的微小变化之间的比率。
微分公式是导数概念的一个应用，常用于近似计算。
1.一阶微分公式：(1) 一个变量的微分：df=f'(x)dx(2) 两个变量的微分：df=f_xdx+f_ydy (其中f_x和f_y分别是函数f关于x和y的偏导数)2.高阶微分公式：(1) 一个变量的n阶微分：d^n f/dx^n(2) 两个变量的混合n阶微分：d^n f/dx^mdy^n-m (其中m+n为n阶)三、积分公式积分是微分的逆运算，可将一个函数的导数还原为原函数，同时也可以用于计算曲线下的面积、体积等。
导数与函数的积分中值定理解析与归纳
导数与函数的积分中值定理解析与归纳一、导数与函数的积分中值定理解析在数学分析中，导数与函数的积分中值定理是两个重要的概念。
导数表示了函数在某一点上的变化率，而积分中值定理则提供了函数在一个闭区间上的平均值与边界值之间的关系。
接下来，我们将分别对导数与函数的积分中值定理进行解析。
1. 导数的概念及性质导数表示了函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数的斜率。
设函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处的导数记为f'(a)，计算公式为f'(a) = lim(x->a) (f(x) - f(a))/(x - a)。
导数具有以下性质：- 导数存在性：对于函数f(x)，如果f(x)在x=a处存在导数，则称f(x)在x=a处可导。
- 导数与函数的关系：导数反映了函数的变化趋势，通过导数可以判断函数在某一点处的增减性、凹凸性等特性。
- 导数的计算：可以通过求导法则，如常数导数法则、幂函数导数法则、指数函数和对数函数导数法则等，来计算函数的导数。
2. 积分中值定理的概念及性质积分中值定理是描述函数在一个闭区间上的平均值与边界值之间的关系。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则在开区间(a, b)内存在一个点c，使得f(c) = (1/(b-a)) * ∫[a, b] f(x)dx。
积分中值定理具有以下性质：- 平均值与边界值关系：积分中值定理表明函数在一个闭区间上的平均值与边界值之间存在一个相等的点。
- 函数连续性要求：积分中值定理要求函数在闭区间上连续，这是保证积分中值定理成立的前提条件。
二、导数与函数的积分中值定理的归纳思考导数与函数的积分中值定理是数学分析中的重要概念，为我们研究函数的性质提供了有力的工具。
在实际应用中，我们可以通过导数与函数的积分中值定理来解决各种问题，例如求函数的最值、证明函数的性质等。
导数的应用：通过计算函数的导数，我们可以得到函数在某一点上的变化率，从而判断函数的增减性、极值、拐点等特性。
导数与积分pptx讲课文档
(i)当a=0时,令f '(x)=0,得x=2, f '(x), f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,2)
2
f '(x)
+
0
f(x)
↗
极大值
现在八页，总共三十页。
(2,+∞) ↘
不满足题意;
(ii)当a≠0时,令f '(x)=0,得x=2或x= 1 ,
答案 y=2x
解析 本题主要考查导数的几何意义.
因为y'=
x
2
,1所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点,
所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.
4.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=
.
答案 -3
解析 本题考查导数的综合应用.
设f(x)=(ax+1)ex,则f ‘(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2,解得a=-
3.
现在四页，总共三十页。
5.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则
b=
C.1+ln 2 D. (2 1+ln 2)
答案
B
由y=
1 2
ex得ex=2y,所以x=ln(2y),所以y=12
ex的反函数为y=ln(2x),所以y=12
ex与y=ln(2x)
的图象关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的
函数的导数与积分掌握函数的导数与积分的计算方法
函数的导数与积分掌握函数的导数与积分的计算方法函数的导数与积分：掌握函数的导数与积分的计算方法函数的导数与积分是微积分学中的重要概念和计算基础。
导数表示函数在某一点处的变化率，而积分则表示函数在某一区间内的累积量。
掌握函数的导数与积分的计算方法，对于解决实际问题、深入理解函数的性质和推导其他数学理论都具有重要意义。
本文将介绍函数的导数与积分的计算方法及其应用。
一、函数的导数函数的导数是描述函数变化率的工具，常用于求取函数的最大值与最小值、判定函数的增减性和拐点等问题。
函数 f(x) 的导数用 f'(x) 或dy/dx 表示，在数学符号上表示为：f'(x) = dy/dx = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx其中，lim 表示极限运算，Δx 表示 x 的微小变化量。
函数 f(x) 的导数 f'(x) 表示函数 f(x) 在任意一点 x 处的斜率或变化率。
导数的计算方法主要包括以下几种：1. 函数常用导数公式- 常数函数的导数为零：(c)' = 0- 幂函数的导数为幂减一乘以原函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)- 指数函数的导数为指数乘以常数：(a^x)' = a^x * ln(a)- 对数函数的导数为导数的倒数：(logₐx)' = 1 / (x * ln(a))- 三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) =sec^2(x) 等等2. 函数求导法则- 基本运算法则：导数的线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等导数的线性性：对于函数u(x) 和v(x)，以及常数k，有以下性质： (ku(x))' = ku'(x)(u(x) ± v(x))' = u'(x) ± v'(x)乘积法则：对于函数 u(x) 和 v(x)，有以下性质：(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)商法则：对于函数 u(x) 和 v(x) （v(x) ≠ 0），有以下性质：(u(x) / v(x))' = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2复合函数法则：对于函数 u(x) 和 v(x)，有以下性质：(u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x)3. 链式法则链式法则适用于复合函数求导的情况，即某一函数包含了另一函数作为内部函数。
了解数学中的导数与积分
了解数学中的导数与积分导数与积分教案一、引言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中导数与积分是数学中非常重要的概念和工具。
通过学习导数与积分，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本教案将带领学生们逐步了解导数与积分的概念、性质和应用。
二、导数的概念与性质1. 导数的引入了解变化率的概念，并引出导数的概念。
2. 导数的定义与计算介绍导数的定义，并通过实例演示如何计算导数。
3. 导数的性质探究导数的加减、乘法规则，以及常用函数的导数性质。
三、导数的应用1. 导数在函数图像中的应用通过导数研究函数图像的变化趋势，包括切线与曲线的关系等。
2. 导数在最值与凹凸性分析中的应用学习如何通过导数判断函数极值点和函数的凹凸性。
3. 导数在速度与加速度的应用使用导数的概念解决与速度、加速度相关的实际问题。
四、积分的概念与性质1. 积分的引入了解累加与区间面积的概念，并引出积分的概念。
2. 积分的定义与计算介绍积分的定义，并通过实例演示如何计算定积分。
3. 积分的性质探究积分的线性性质、积分上下限的变化，以及基本函数的积分性质。
五、积分的应用1. 积分在曲线长度计算中的应用学习如何通过积分计算曲线的弧长。
2. 积分在曲线面积计算中的应用了解如何通过积分计算曲线与坐标轴所围区域的面积。
3. 积分在物理学中的应用探究通过积分计算物理量如质量、功等。
六、总结与拓展1. 导数与积分的关系总结导数与积分的关系，并深入理解二者之间的联系。
2. 进一步的研究与应用激发学生对导数与积分的兴趣，鼓励他们深入学习和应用这些概念。
七、课堂活动与案例分析1. 探究导数与积分的应用案例学生们通过小组合作，选择一个实际问题，分析并探究如何运用导数与积分解决问题。
2. 导数与积分的实际案例展示老师展示一些实际问题的解答，引导学生们理解导数与积分在现实生活中的应用。
八、课堂练习与讨论1. 导数与积分的计算练习给学生提供一些练习题，让他们巩固导数与积分的计算方法。
导数与积分的概念及运算、导数的应用
注意：当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目 地将它们取并集．
3．求可导 函数f(x)的 极值的步骤：
一．求导数f′(x)；
二．求方程f′(x)＝0的根；
三．检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右 两侧的符号，如果在根的左侧附近为 正，右侧附近为负，那么函数f(x)在 这个根处取得极大值；如果在这个根 的左侧附近为负，右侧附近为正，那 么函数f(x)在这个根处取得极小值．
考情分析
高考试题中对导数应用的考查，既有客观题，也 有主观题，客观题侧重于对单调性和极值、最值 的考查，主观题则侧重于导数的综合应用，即导 数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等的 综合，在利用导数解决函数、方程、不等式等方 面的综合问题时，要注意函数与方程、分类讨论、 等价转化、数形结合等思想方法的运用．
二．求可导函数的单调区间的一般步骤：
1. 确定定义域区间； 2. 求f′(x)； 3. 解不等式f′(x)>0，得函数的递增区间；解不等式f′(x)<0，
得函数的递减区间．
注意：当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目 将它们取并集．
3．用导数 求函数极值 的一般步骤：
一．求导数f′(x)；
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数学（理） 新课标·高考二轮总复
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝x2·e－x，f′(x)＝ －x·(x－2)·e－x.
当xx 在 [ － 1 ,－1 ]1上 变 化(时－，1f,0′ ()x ) ， f(0x ) 的 变 化(0情,1)况 1
f如′下(x表) ：
－
0
＋
∴f(xx∈) [ － 1 , 1e] 时 ， f (x ) m↘a x ＝ f ( － 10) ＝ e ，↗
导数与函数的积分关系解析
导数与函数的积分关系解析导数和积分是微积分学中两个重要的概念，它们之间有着密切的联系。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而积分则描述了函数在某一区间上的累积效应。
本文将详细解析导数与函数的积分关系。
1. 导数的定义在微积分学中，函数f(x)在一个点a处的导数可以通过求取函数在该点的极限来定义。
导数表示了函数在该点处的瞬时变化率，可以用符号f'(a)或者dy/dx来表示。
导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率。
2. 积分的定义函数f(x)的积分表示了函数在一个区间[a, b]上的累积效应，可以用∫f(x)dx来表示。
积分的几何意义是曲线与x轴之间的面积。
积分可以看作是导数的逆运算。
3. 导数与积分的基本关系根据微积分基本定理，如果函数f(x)在一个区间[a, b]上连续，并且它的原函数存在，则有∫f'(x)dx = f(x) + C。
这个定理表明，如果一个函数的导数是另一个函数，则两个函数之间存在着积分关系。
从几何的角度来看，函数的导数描述了曲线在每个点处的变化率，而函数的原函数则是通过这个变化率来确定曲线的位置。
4. 导数和积分的常见性质导数和积分具有一些重要的性质，这些性质进一步展示了它们之间的关系。
一些常见的性质包括线性性质、求导与积分的互逆性、乘法法则、链式法则等。
这些性质使得我们能够灵活地求取函数的导数和积分。
5. 利用导数求函数的积分通过求取函数的导数，我们可以利用导数求函数的积分。
具体而言，如果函数f(x)的导数是F'(x)，则函数F(x)就是f(x)的一个原函数，即∫f(x)dx = F(x) + C。
这一结果称为函数的不定积分，C为常数。
6. 利用积分求函数的导数除了通过导数求积分外，我们还可以利用积分求函数的导数。
具体而言，如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则F'(x) = f(x)，也就是说，函数f(x)可以通过函数F(x)的导数来求得。
函数的求导与积分详细解析与归纳
函数的求导与积分详细解析与归纳函数的求导与积分是微积分的两个基本概念和操作。
求导是对函数求导数，表示函数在某一点的变化率；积分是对函数进行求和，表示函数在某一区间上的累积效果。
在数学中，求导和积分是互逆操作，互相补充的关系。
一、函数的求导函数的求导是计算函数在某一点的斜率，即函数的变化率。
在数学中，函数的求导有多种方法，包括基本导数、链式法则、高阶导数等。
1. 基本导数基本导数是对常见函数的求导规则进行总结和归纳。
常见的基本导数规则包括：- 常数函数的导数为0；- 幂函数的导数，如常见的多项式函数；- 指数函数和对数函数的导数；- 三角函数和反三角函数的导数。
通过这些基本导数规则，我们可以求得很多函数的导数，从而进行更复杂的计算。
2. 链式法则链式法则是对复合函数求导的一种方法。
当函数是由两个或多个函数相互嵌套而成时，可以使用链式法则求导。
链式法则可以将一个复合函数求导的问题，转换成对每个函数求导后的乘积形式。
3. 高阶导数高阶导数是对函数进行多次求导的概念。
一阶导数表示函数的变化率，二阶导数表示一阶导数的变化率，以此类推。
高阶导数可以帮助我们更深入地了解函数的性质和变化规律。
二、函数的积分函数的积分是对函数进行加和的操作。
积分的结果可以表示函数在某一区间上的总效果或面积。
在数学中，函数的积分有多种方法，包括不定积分、定积分和变限积分等。
1. 不定积分不定积分是求解函数的原函数的过程。
在不定积分中，可以使用基本积分公式对常见函数进行积分。
不定积分的结果是一个含有常数项的函数，因为对导数的逆运算有无穷多个可能的原函数。
2. 定积分定积分是对函数在某一区间上的积分。
它可以表示函数在该区间上的总效果或面积。
定积分的计算可以使用黎曼和、牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 变限积分变限积分是对函数在不同区间上进行积分的过程。
它可以通过定积分的性质和换元法进行计算。
变限积分的结果是一个关于积分上限和下限的函数。
通俗易懂的导数基础讲义
导数基础讲义导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．序章函数一件事变成了这样，使得另一件事变成了那样。
所谓函数，说的就是事物间的相关性，函数说到底就是用来描述“关系”（或因果）“变化”或者“单位变化”的工具。
y=f(x)就是使用f给x施加某种规则或关系，进而推导出y。
例：声速和气温可以用函数表示，每上升1℃，声速就会提高0.6m/s，y=0.6x+331。
温度为15℃时，声速=0.6x15+331=340m/s例：将华氏温度x（℉）变换为摄氏温度y（℃），y=(x-32)*5/9 x=50℉时，y=（50-32）*5/9=10℃；x=68℉时，y=（68-32）*5/9=20℃第一章微分就是将函数化繁为简在讨论局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论。
近似为g(x)=2x-1将y=x2在x=1处近似成一次函数g(x)=2x-1，在x=1处，y=x2与g(x)=2x-1的结果相等；离x=1处越近，用g(x)近似f(x)的效果就越好。
f(x) g(x) 差值误差率x X距离1的变化量1.1 0.1 1.21 1.2 0.01 10%1.01 0.01 1.0201 1.02 0.0001 1%1.001 0.001 1.002001 1.002 0.000001 0.1% 1.0001 0.0001 1.00020001 1.0002 0.00000001 0.01%误差率=（f与g的差异）/（x的变化量），从上表可以看出，在某值附近，用简单的一次函数，就可以近似复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好。
所谓近似成一次函数，就是令原函数的误差率为0的情况。
在x=x 0处，用来近似f(x)的一次函数g(x)=kx+b ，其中，k 被称为f(x) 在x=x 0处的微分系数，k=f ’(x 0)，就是y= f(x)在x=x 0处切线的斜率。
导数与积分课件 (1)
简写为 f (x0) 存在
f(x0 ) f(x0 )
定理3. 函数 f (x) 在点 x0 处右 (左) 导数存在
f (x) 在点 x0 必 右 (左) 连续.
若函数 f (x) 在开区间 (a ,b)内可导, 且 f(a) 与 f(b)
f (x0 ) ( f (x0 ))
即
f (x0 )
lim
x 0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
y x
y
例如, f (x) x 在 x = 0 处有
f (0) 1 , f (0) 1
O
x
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定理2. 函数 y f (x) 在点 x0 可导的充分必要条件
例6. 设
f (x0 )
存在, 求极限 lim
h0
f (x0 h) f (x0 2h
h).
解: 是令原否式t 可x按0hlim下0h述,则f 方(x0法作h2)h: f (x0)
f (xx00)hf)(x0f(xh0))
2(2hh)
原式
hl12imf0
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x0 处可导, 并称此极限为
y f ( x) 在点 x0 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f (x0 )
lim
x0
y x
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《概率与数理统计》中的导数和积分
一、 导数
1、 导数的意义
函数y=f(x)的导数表示函数y 随自变量x 变化的速度，所以又称为函数
的变化率。
函数y=f(x)的导数的运算符号是y '或)(x f '或dx dy 或
)(x f dx d
2、 考试中常见求导数（或积分）的函数
⑴ y=n x
⑵ y=sin kx (k 为常数，下同) ⑶ y=kx e 3、 求导法则
⑴ [cf(x)]'=c )(x f ' （常数因子可以提到导数符号外）
⑵ [f(x)±g(x)]'= )(x f '±)(x g ' （代数和的导数等于导数的代数和）
4、三个常用函数的导公式:
（1） y=n x y ' =(n x )'=n 1-n x
例题
● （3x )'=313-x =32x ● (x )'=(1x )'=111-x =0x =1
● (2
1
x )'=12121-x =21
21-
x =x
21
● (2-x )'=-212--x =-23-x ● (32x )'=3(2x )'=3x 2⨯=6x
● (c )'=c(0x )'=c 10-⨯⨯x =0 (即常数的导数为零) ● [（x-22)]'=(2x -4x+4)'=(2x )'-4x '+4'=2x-4
（2）y=sin kx y '=(sin kx )'= kcos kx 例题
● (sin2x )'=2cos2x ● (sinx )'=cosx ● (sin
2x )'=2
sin 21x （3） y=kx e y '=(kx e )'=k kx e
例题
● (x e 2)'=2x e 2
● (x e )'=x e （x e 的导数还是x e ） ● (x e -)'=-x e -
● （32
x
e )'=3⨯212x
e =2
3
2x
e
二、 定积分
1、 定积分的几何意义
如果 函数y=f(x)0≥ y=f(x)在区间[a,b]的定积分表示如图的曲边梯 形 (阴影部分) 面积。
积分运算符号： ⎰b
a dx x f )(, “⎰”称
为积分号；[a,b] 称为积分区间；a 为积
分下限，b 为积分上限；f(x)为被积函数，x 为积分变量。
2、 积分法则
⑴
⎰
b
a
dx x f )(=F(X)b a | =F(b)-F(a),这里
F '(x)=f(x)
(即导数和积分是互逆运算) ⑵
⎰
b
a
dx x cf )(= c ⎰b
a
dx x f )(
(常数因子c 因子可以提到积分号外) ⑶
⎰
b
a
dx x f )(=⎰c a
dx x f )(+⎰b
c
dx x f )(
( c 是[a,b]内一点，可以分段积分) ⑷
=
±⎰
b
a
dx x g x f )]()([⎰
b
a
dx x f )(±
⎰
b
a
dx x g )(
（代数和的积分等于积分的代数和）
3、 三个常用函数的积分公式 ⑴ y=n
x ⎰b
a
n dx x =
1
1
+n 1
-n x b a
例题：
●
⎰2
3dx x =
131+13+x 2
0=20441x =4142⨯-4
10⨯=4 ● ⎰32dx x =1
11+11+x b a =212x 32
=21（9-4）=25
● ⎰-11dx =⎰-111dx =⎰-110dx x =101
01++x 1
1-=x 11-=1-(-1)=2 ● ⎰
-1
13dx =3⎰-1
1dx =32⨯=6
●
⎰-2
02
)
12(dx x =⎰+-2
2
)144(dx x x =4⎰2
02
dx x -4⎰20xdx +⎰2
dx
=(
3
43
x -22x +x)20
=
3
32-8+2=432
2x +1 当0≤x 时 ● f(x)=
1 当x>0 求 ⎰-2
1)(dx x f
⎰-2
1)(dx x f =⎰⎰-++0
120
2
1)1(dx dx x =（3
3
1x +x ）01
-+x
20
=
34+2=33
1 （2）y=sin kx ⎰-=b
a b a kx k
kxdx cos 1
sin 例题
● ⎰-=404
2cos 2
1
2sin ππx
xdx =-
21cos 2π+2
1cos0=21 ●
⎰
-=2
20
cos sin π
π
x
xdx =1
●
⎰-=ππ
ππ
22
2
cos 22sin x dx x =2
（3）y=kx
e ⎰b
a
kx e dx=
k
1kx
e b a
例题： ● 3
1313
1310
1
33-==⎰e e dx e x x
● x
x e dx e =⎰
2
1
2
1
=e e -2
●
dx e x ⎰
+∞
-0
=-x
e -+∞0
=-
∞
+e 1+0-e =0+1=1。