2.1 导数的概念
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高等数学2.1 函数的导数
五、可导性与连续性之间的关系
定理1 如果函数 f ( x)在点 x0处可导,则函数在 该点必连续.
证 设函数 f ( x)在点 x0处可导,
即
y
lim x0 x
f ( x0 )
由函数极限存在与无穷小的关系，
y f ( x) 0 (x 0)
x
y f ( x)x x
所以,lim y 0, 函数 f ( x)在点x0连续. x0 上页 下页 返回
得函数相应改变量y f ( x0 x) f ( x0 ),
先求平均变化率y , 再求极限得瞬时变化率 x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
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§2.1 函数的导数
二、导数定义
1.导数定义
定义1 设函数 y f ( x) 在x0的某个邻域内有定义，
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) xn2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( xn ) nxn1
更一般地 ( x ) x1. ( R)
例如
(
x )
1
x
1 2
1
1
( x 0); ( x) x11 1
2
2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
(x
0).
上页 下页 返回
例9
设
f
(
x)
2sin x, a bx,
确定a与b的值.
x 0 在 x 0 处可导， x0
解 函数在 x 0 处可导，则在 x 0 一定连续，
即满足 lim f ( x) lim f ( x) f (0)
导数的概念与函数的求导法则
Δx → 0
Δx
或 f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) .
h→0
h
注意: f ′( x0 ) = f ′( x) . x=x0 f ′( x0 ) ≠ [ f ( x0 )]′
注意 函数f ( x)在点 x0的导数f ′( x0 )是因变量 在点 x0处的变化率，它反映了因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度.
小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ′( x0 ) = a ⇔ f−′( x0 ) = f+′( x0 ) = a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导. 直接用定义;
⎪⎧ ⎨
x
sin
1 x
,
x ≠ 0,
⎪⎩ 0, x = 0
在x = 0处的连续性与可导性 .
解 ∵sin 1 是有界函数 , ∴ lim x sin 1 = 0
x
x→0
x
∵ f (0) = lim f ( x) = 0 ∴ f ( x)在x = 0处连续.
x→0
但在x = 0处有
Δy
=
(0 + Δx)sin 1 0 + Δx
注意 导数的几何意义与物理意义
（1）几何意义
y
f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ′( x0 ) = tanα , (α为倾角)o
y = f (x)
T
M
α
高等数学-第2章 导数与微分§2.1 导数的概念
第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。
微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。
本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。
§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。
一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。
如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。
这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。
斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。
如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。
显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。
当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。
(完整版)导数的定义
设运动规律 s s(t )（例如自由落体 : s 1 gt 2 ) ,
2
求在t t0时刻的瞬时速度v ( t0 ).
设从时刻 t0 到 t0 t 的运动位移为 s
s s ( t0 t ) s ( t0 )
s s( t0 t ) s( t0 )
t
t
Δt 很小，速度近乎均匀，则
平均速度
s(t0 )
s(t0 t)
s
s t v(t0 )
令 t t) 1 gt 2 2
s s(t0 t) s(t0 )
t
t
1 2
g(t0
t)2
1 2
gt
2 0
t
1 2
g(t
2 0
2t0
t
t 2 )
1 2
gt
2 0
t
s(t0 )
s
s(t0 t)
★ 函数f(x)在点x0的导数 f (x0 ) ，
正是该函数的导数 f (x) 在该点x0的值 ，
即
f (x0 ) f (x) |xx0
例5 求函数y=x3在x=2的导数y，并求y|x=2 。
解 先求导函数
y
lim (x x)3 x3
x0
x
lim 3x2x 3x(x)2 (x)3
x0
x2 x 2
练习：求函数 y
f (x)
1在
x
x2
的导数
2.单侧导数
若 lim x x0
f (x) f (x0) x x0
A,称 A为
f ( x)在 x0 的左导数，记作
f' ( x0 ),
f '( x0 0)。
若 lim x x0
第6周：导数的运算法则2、隐函数的导数、高阶导数
例：若 f (x)存在，求函数 f (arc sin 1) 的导数。 x
练习：已知 f (x) 可导，求 y f (ex )e f (x) 的导数。 答案： y e f (x)[ex f (ex ) f (ex ) f (x)] 例：若z y2，y f (x) ，求 dz .
dx 1.y (1 x)5 2.y cos2 x
3.y ln sin 2x
x
4.y e 2 cos 3x
5.y (ex ex )2
6.y x2 1 x2
7. y x a2 x2 a2 arcsin x , (a 0)
2
2
a
注：1.分清复合关系，由外向里，逐层求导，不 漏层，不重复； 2.求导过程中，分清是哪个函数对哪个变量求导。
为由此参数方程所确定的函数。
例：
x y
2t t2
可确定 y x2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
dy
定理：若
x y
(t) (t)
，则 dy
dx
dt dx
yt . xt
dt
dy
x
定理：若
y
(t) (t)
，则
dy dx
dt dx
1.y
5y xy
y2 yey 1
2.切线：y 3 (x 3)
2
2
法线：y x
y
y x2 y2 x
y
|
(
3,3
)
1
22
y
|
x
3
2.1导数的概念
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
但在x 0处有
y
(0
x)sin
0
1
x
0
sin
1
x
x
x
当x 0时, y 在 1和1之间振荡而极限不存在 . x
切线方程:
y y f (x)
CM
T
o x0
x
法线方程:
( f (x0 ) 0 )
曲线y=f (x)在点 x0 处的切线可能垂直于x轴、 平行于 x 轴、或不存在，这些反映出的导数值是：
切线平行于x轴： f (x0 ) 0 即k = tg = 0
切线垂直于x轴： f (x0 ) 即k = tg = ，
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
y
y f (x)
N
CM
T
两个问题的共性:
在 (a, b)内的导数：
记作: y ;
f (x) ;
dy ; dx
d f (x) . dx
f
( x)
高中数学选修2第二章 2.1《导数的概念》教学设计
导数的概念及其几何意义（第1课时）教案一、教材分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（北师大版）第二章第二节《导数的概念及其几何意义》第一课时，是学生学习了平均变化率与瞬时变化率的基础上形成导数概念.导数是微积分的核心概念之一，也是本章的一个核心概念，它为即将学习导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识奠定了基础，更是研究函数的单调性、极值、最值和解决生活实际问题等有力工具.二、学生分析1．已有基础：基于学生已经学习了平均变化率与瞬时变化率，再通过实例顾上一节平均变化率与瞬时变化率的关系，由此抽象出函数在某点的瞬时变化率就是瞬时变化率就是导数，这是符合学生认知规律的．2．困难之处：教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的，这对学生理解导数概念中的极限符号有一定的障碍.三、教学目标（一）知识与技能1.理解导数的概念、知道瞬时变化率就是导数；2.能解释具体函数在一点的导数的实际意义；（二）过程与方法1. 通过实例回顾上一节平均变化率与瞬时变化率的关系，对瞬时变化率从数量方面进行抽象，得到导数概念；2.通过问题探究的形式复习，再次理解由具体到抽象、由特殊到一般的数学研究方法，体会“无限逼近”的极限思想；3.通过问题的探究，培养学生的探究意识和探究方法；（三）情感态度与价值观1.通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法；2.通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣；三、教学重点与难点重点：导数概念的形成过程及理解导数在实际问题中的意义.难点：对导数概念的理解.四、设计思想教学设计充分尊重学生认知事物的基本规律，通过实例重现平均变化率到瞬时变化率的过程，在此基础上构建导数的概念，并在具体的问题情境中，让学生解释求得导数值的实际意义，进一步体会导数的本质，即生活实际数学生活实际.t→0的平均变化率x→教案说明本节课的设计以新课程的教学理念为指导，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
第2章 导数与微分
设f(x)=x3+4
π ′ . cosx， 求f′(x)及 f 2
f′(x) =(x3)′+(4 cosx)′ =3x2-4 ( ) − 4 ⋅ sin = π − 4 2 2 2 4
2
π
π
π
第2章 导数与微分
例3 设 f(x)=x3ex sinx， 求f′(x). 解f′(x) =(x3ex sinx)′ =(x3)′ex sinx+x3(ex)′ sinx+x3ex (sinx)′ =3x2ex sinx+x3ex sinx+x3ex cosx =x2ex(3 sinx+x sinx+x cosx)
即
(uυ )′ = u′υ + uυ ′
第2章 导数与微分
例1 设y=2x3-5x2+3x-7, 求y′. 解 y′ =(2x3-5x2+3x-7)′ =(2x3)′-(5x2)′+(3x)′-7′ =2(x3)′-5(x2)′+3(x)′ =2·3x2-5·2x+3
第2章 导数与微分
例2 解
第2章 导数与微分
当物体作匀速运动时， 它的速度不随时间而改变，
∆s s(t0 + ∆t ) − s(t0 ) = ∆t ∆t
是一个常量， 它是物体在时刻t0的速度， 也是物 体在任意时刻的速度.
第2章 导数与微分
但是， 当物体作变速运动时， 它的速度随时间而 确定， 此时 的平均速度 υ
∆s ∆t
在不致混淆的情况下， 导函数也简称为导数. 显然， 有
f ′( x0 ) = f ′( x ) |x = x0
第2章 导数与微分
2.1.3 利用定义求导数 根据导数的定义， 求导数可以分为以下三步： (1) 求增量∆y=f(x+∆x)-f(x)；
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
2.1导数概念
2.1 导数的概念
2.1.1 引入导数概念的实例 1.变速直线运动的瞬时速度
设 一物体作变速直线运动, 其运动方程为 S S(t ), 求物体在 t0 时刻的瞬时速度.
( 1 ) 求物体在[t0 , t0 t] 上所经过的路程 : S S(t0 t) S(t0 ) ,
( 2 ) 求 物 体 在[t0 , t0 t] 上 的 平 均 速 度:
及相应的曲线在点 (0, 0) 处切线的存在性.
（1） y 3 x2 ；
∵ lim y lim 3 (x)2 0 ，
x0 x0
∴函数 y 3 x2 在点 x0 连续.
y
y3 x2
o
x
∵
y lim x0 x
3
lim
x0
(x)2 x
lim
x0
3
1 x
，
∴函数 y3 x2 在点 x0 点不可导.
曲线 y3 x2 在点(0, 0) 处有垂直于 x 轴 的切线：x0 .
解： y cos x,
y
x
4
2, 2
∴切线的斜率为 k1
2 2
,法线斜率为
k2
2，
∴ 切线方程为 y 2 2 ( x ) ，
22
4
即4x 4 2y 4 0;
法线方程为 y 2 2( x ) ，
2
4
即 4 x 2 2 y 2 0.
例 9．讨论下列函数在点 x0 处的连续性和可导性
2x
例 3．求 f ( x)sinx 的导函数及它在 x0 和 x 处的导数. 2
解： f ( x) lim f ( xx) f ( x) lim sin(xx)sinx
x0
x
2.1.1 引入导数概念的实例 1.变速直线运动的瞬时速度
设 一物体作变速直线运动, 其运动方程为 S S(t ), 求物体在 t0 时刻的瞬时速度.
( 1 ) 求物体在[t0 , t0 t] 上所经过的路程 : S S(t0 t) S(t0 ) ,
( 2 ) 求 物 体 在[t0 , t0 t] 上 的 平 均 速 度:
及相应的曲线在点 (0, 0) 处切线的存在性.
（1） y 3 x2 ；
∵ lim y lim 3 (x)2 0 ，
x0 x0
∴函数 y 3 x2 在点 x0 连续.
y
y3 x2
o
x
∵
y lim x0 x
3
lim
x0
(x)2 x
lim
x0
3
1 x
，
∴函数 y3 x2 在点 x0 点不可导.
曲线 y3 x2 在点(0, 0) 处有垂直于 x 轴 的切线：x0 .
解： y cos x,
y
x
4
2, 2
∴切线的斜率为 k1
2 2
,法线斜率为
k2
2，
∴ 切线方程为 y 2 2 ( x ) ，
22
4
即4x 4 2y 4 0;
法线方程为 y 2 2( x ) ，
2
4
即 4 x 2 2 y 2 0.
例 9．讨论下列函数在点 x0 处的连续性和可导性
2x
例 3．求 f ( x)sinx 的导函数及它在 x0 和 x 处的导数. 2
解： f ( x) lim f ( xx) f ( x) lim sin(xx)sinx
x0
x
第二章 导数与微分
例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.
解
Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2
−
1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置，即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然，此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ，即切线 M 0T 的斜率
为
tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 （ n 为正整数）
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
2.1导数的概念与导数公式
′ = 5x 4 (x )
5
1 = x −n xn
n
1 1 −1 −2 = − . ( )′ = ( x )′ = (−1)x 2 x x
xm = x
m n
1 ′ = ( x )′ = 1 x = x ( x) 2 2
1 2
1 −1 2
−
1 2
.=
1 2 x
.
1 1 3.( )′ = − 2 . x x
1 x 3 3 5 1 − − 3 2 4.( )′ 2 ′ x3 = (x ) = − 2 x
( 3 x )′ = ( x ) ′ =
1 3
−
2 3
(
1
3
x2
)′ = ( x
−
2 3
2 )′ = − x 3
−
5 3
目录
3、指数函数的导数公式
′ = a x ln a. 5.(a )
x
特别地 6.(e x )′ = e x .
注意： x 注意：函数在点 0 的导数 f ′( x0 ) = f ′( x) x= x0 ≠ [ f ( x0 )]′
即：先求导再代值
目录
六、基本初等函数的导数公式 推导一些基 本公式啊 ！
目录
1、常数函数的导数公式
例 求函数 f ( x ) = C (C为常数 ) 的导数 . 解
C −C f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim f ′( x ) = lim = 0. h→ 0 ∆x → 0 h ∆x
记为y′
x = x 0 , 或： f ′( x 0 )或：
dy dx
df ( x ) 或： x = x0 dx
x = x0
2.1导数的概念
y′ = 4(cos x)3 (cos x)′ = −4 cos3 x sin x
按复合的次序，由外向里，逐层求导 切 漏层。 按复合的次序，由外向里，逐层求导,切忌漏层。
练习 2.6
设 y = x sin x + sin x ，求
2
y′
解
′ = ( x sin x)′ + (sin x 2 )′ y ′ sin x + x(sin x)′ + cos x 2 ⋅ ( x 2 )′ =x
课堂练习1 课堂练习 求下列函数的导数
ex y （1） = 3ln x − + 7 ln 2 2
（2） y = 2 + 5arctan x
x
（3）
y=x e
2
x
ln x （4） y = x +1
2 x2 − 4 x + 3 （5） y = 5 x
( e )′ = ?
2x
三、复合函数的求导法则： 处可导， 设函数 y = f ( u) 在 u 处可导， u = ϕ ( x ) 处可导， 在 x 处可导， 则复合函数 y = f (ϕ ( x )) 也在 x
平均速度
s(t0 )
∆s s (t0 + ∆t ) − s (t0 ) = v= ∆t ∆t
（2.1）
当 ∆t → 0时, 取极限得 s (t0 + ∆t ) − s (t0 ) ∆s 瞬时速度 v = lim = lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
引例2.2 经济管理中，常涉及到经济函数的 经济管理中，
= sin x + x cos x + 2 x cos x
2
注意：复合函数与四则运算混合时的求导问题应 注意： 根据函数具体分析是先用复合求导公式还是先用 四则运算公式。 四则运算公式。
2.1导数的概念
时间/s [2，2.1] [2，2.01] [2，2.001] [2，2.0001] [2，2.00001] ……
时间/s [1.9,2] [1.99,2] [1.999,2] [1.9999,2] [1.99999,2] ……
间隔/s 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……
问：在2秒时刻运动员的速度（瞬时速度）为多少？
分析： 该运动员在2秒到2.1秒（记为[2，2.1]）的平均速度为
H (2.1) H (2) 2.041 3.4 13.59
2.1 2
0.1
同样，可以计算出[2，2.01]，[2，2.001]，…的平均速度，
也可以计算出[1.99，2]，[1.999，2]，…的平均速度。
切线方程为 x x0
法线方程为 y y0
例例86 求等边双曲线 y 1 在点 (1 , 2) 处的切线的斜率
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程
解 y 1 所求切线及法线的斜率分别为 x2
k1
(
1 x2
)
x1 2
4
k2
1 k1
1 4
所求切线方程为
y
2
4(x
1) 2
即4xy40
所求法线方程为
由导数的定义，可以得到求导数的一般步骤:
(1) 求增量 y f (x x) f (x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x) ;
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
例1 求函数 f(x)C （ C 为常数）的导数 解 (1) 求增量 y f (x x) f (x)
播放
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
微积分教学课件第2章导数与微分
原式 h l12 if0m f(x(t0)22h 12h)f(fx(0t))hlf i(m 0x0f)(t)f(x0)
微积分
三、 导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).
微积分
三、 导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).
2.1导数的定义
dy df ( x) y，f (x)， ，或 。 dx dx
f ( x x) f ( x) f ( x h) f ( x) y lim lim 。 x 0 h 0 x h
f (x0)与f (x)之间的关系：
f (x 0)f (x)
xx0
． ．
★ 单侧导数
1 2 x
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
五、函数的可导性与连续性的关系
结论：如果函数yf(x)在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。 这是因为
3.正弦余弦函数的导数：
(sinx)cosx， (cosx )sinx。 例4．求函数f(x)sin x的导数。 解： (x)lim lim 解：f 解：f (x)
xh x sin( h sin ff ((x h)) ff((x)) sin(xx h)) sin xx lim lim 0 h0 h0 hh 0 h h h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
解
h 0
( x h) n x n ( x n ) lim h 0 h
n 1
lim[( x h)
即
x ( x h)
n2
x
n 1
] nx n 1
( x n ) nx n 1 .
更一般地
( x ) x 1 .
( R )
2.1导数的定义
( x0 , f ( x0 ))是切点)
切线方程： y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 法线方程： 特殊情况：
1) f ( x0 ) 时 2) f ( x0 ) 0时
1 y y0 ( x x0 ) ( f ( x0 ) 0) f ( x0 )
13
f ( x ) lim
y f ( x x ) f ( x ) lim x 0 x x 0 x
说明: 1.对于闭区间的端点,只要求单边可导。 2.在上述极限表达式中, x 是变量, x 是常量。 3. f ( x0 ) 与 f ( x ) 之间的关系: d f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x ) x x 0 dx (称呼: 导数、导函数、导数值) － f ( x ) 、 f ( x 注意：单侧导数不可记作 0 0 ), 它们表示的是导函数的右、左极限。 14
9
f ( x0 ) lim
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
说明: 1.“可导”，“导数存在”，“具有导数”意义 相同。 dy df ( x ) 2.导数也可记作 y x x ， ，
0
dx
x x0
dx
x x0
若记x x x0
N T
C
o
M
y tan x
x
MN的斜率：
ห้องสมุดไป่ตู้
x0
x
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) x
沿y f (x ) N ( x , y ) M ( x0 , y0 )
M点转动 割线MN 绕 极限位置MT 割线的斜角 切线的斜角 割线的斜率tan 切线的斜率tan f ( x0 x) f ( x0 ) y k切 tan lim tan lim lim x 0 x x 0 7 x
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(C ) 0 ;
1 (ln x) x (cos x) sin x ;
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.
o
x0
( x0 , y0 )
x0
x
切线方程:
法线方程:
x
( f ( x0 ) 0 )
例7. 问曲线 的切线与直线 解:
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 平行 ? 写出其切线方程. 1 2 x 3 y x 0 , 3
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 1 1 1 得 x 1 , 对应y 1 , 令 3 2 , 3 x 3 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为
x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
二、导数的定义
在点 的某邻域内有定义 , 定义1 . 设函数 y f ( x) f ( x0 ) lim f ( x) f ( x0 ) lim y 若 x x0 x x x0 x 0 x x x0 存在, 则称函数 在点 处可导, 并称此极限为 的导数. 记作: d f ( x) y x x0 ; f ( x0 ) ; d y ; d x x x0 d x x x0 y x x0 f ( x0 ) lim y x 0 x 在点
在点
的某个右 (左) 邻域内
x0
在 处的右 (左) 导数, 记作
存在, 则称此极限值为
f ( x0 ) ( f ( x0 ))
即
f ( x0 )
y x
y
例如, f ( x) x 在 x = 0 处有
o
x
在点
是 简写为
可导的充分必要条件 且
f ( x 0 ) 存在
f ( x0 )
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数.
d y d f ( x) ; 记作: y ; f (x ) ; . dx dx
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t 0
s 1 gt 2 2
f (t0 )
f (t0 t )
t0 t
t
o
t0
s
2. 曲线的切线斜率 y 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时)
C
y f (x ) N
M
T
切线 MT 的斜率
o x0
x x
例5. 证明函数 例6. 设
f ( x0 h) f ( x0 h) . 存在, 求极限 lim h 0 2h
是否可按下述方法作: f ( x ) f ( x0 ) hf)( 0f x0) x ( h) 0 0 解: 原式 lim
令 t x0 0h , 则 h
即
运动质点的位置函数 s f (t )
在 t 0 时刻的瞬时速度
o
f (t0 )
f (t )
t0
t
s
f (t0 )
曲线 C : y f ( x) 在 M 点处的切线斜率
y
y f (x )
N
C
M
x0
T
f ( x0 )
o
x x
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
( x 0 ) ( x 0 )
1 lim x 0 x
lim
x 1
1 x x
x 0
x 0
lim
ln e
即
1 (ln x) x
在 x = 0 不可导. f (0 h) f (0) h 1 , h 0 证: h 1 , h 0 h f (0 h) f (0) lim 不存在 , h 0 h
1 1 1 1
即
五、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 证: 设 存在 , 因此必有
其中
在点 x 处可导, 即
故
所以函数 在点 x 连续 .
x 0
y x
y
注意: 函数在点 x 连续未必可导. 例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导.
o
x
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限; f ( x0 ) f ( x0 ) a 2. f ( x0 ) a 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :
n
n
lim ( x
x a
n 1
ax
n2
a x
2 n 3
a n 1 )
说明： 对一般幂函数 y x ( 为常数)
x 1 (x )
( 例如， x )
1 ( x 2 )
（以后将证明）
1 1x 2 1 2 2 x
(
1 11 1 1 (x ) x x x2
1 x x
3 7 4 ) 3 x 4 ) ( x
4
例3. 求函数 解:
的导数.
lim sin( x x) sin x x 0 x
lim f ( x x) f ( x) x 0 x
lim
x 0
2 cos( x
x ) 2
x lim cos( x ) x 0 2
cos x
即
类似可证得
(sin x) cos x (cos x) sin x
例4. 求函数 解:
的导数.
f ( x x) f ( x) ln( x x) ln x lim lim x 0 x x x 0
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f x0 x f x0 k lim x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 )
x
f (t0 )
f (t )
瞬时速度 切线斜率
o
y
t0
t
y f (x )
s
N
C
M
T
两个问题的共性:
o x0
原式 1 f ( x ) 1 f ( x ) f ( x0 ) 0 0 2 2
2h 2(h)
yFra bibliotek四、 导数的几何意义
曲线 在点 的切线斜率为
C
y f (x )
M
x0
T
tan f ( x0 )
若 若
当
o y
x
切线与 x 轴平行, 称为驻点; 切线与 x 轴垂直 . o 曲线在点 处的 y
y , 也称 若 lim x 0 x
在
的导数为无穷大 .
三、求导数举例
例1. 求函数
(C 为常数) 的导数. y lim f ( x x) f ( x) 解: x 0 x
即 例2. 求函数 解:
f ( x) f (a) x a lim lim x a x a x a xa
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、导数的引入
二、导数的定义
三、求导数举例 四、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性的关系
一、 引入
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为
v
f (t0 t ) f (t0 )
自由落体运动
t
f (t0 t ) f (t0 )