直角三角形的性质PPT教学课件
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直角三角形的性质课件
1/2 × a × b，其中a、b为直角 边。
若已知直角三角形的斜边和一条 直角边的长度，可以利用三角函 数求出另一条直角边的长度，进
而求出面积。
若已知直角三角形的两条直角边 的长度和夹角，可以利用正弦、
余弦或正切函数求出面积。
03 直角三角形判定方法
基于角度的判定
有一个角为90度的三角形是直角三角形
30-60-90三角形
其中一个锐角为30度，另一个为60度， 三边之比为1:√3:2。
02 直角三角形性质探究
角度性质
01
直角三角形的内角和为180度，其中一个角为90度，其余 两个角之和为90度。
02
直角三角形中的锐角互余，即两个锐角的度数之和等于90 度。
03
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该中线与直 角顶点连线将直角三角形分为两个等腰三角形。
这是直角三角形最基本的判定方法，只要三角形中有一个角是90度，那么这个三角 形就是直角三角形。
其余两角之和为90度
除了一个90度的角外，其余两个角的度数之和也为90度，这是直角三角形的另一个 重要性质。
基于边长的判定
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即a² + b² = c²，其中a和 b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
利用三角函数判定
在直角三角形中，正弦、余弦和正切等三角函数有特定的值。因此，可以通过计算这些函数的值来判断一个三角 形是否为直角三角形。例如，如果sinA = 1或cosA = 0（A为三角形的一个角），那么这个角就是90度，三角形 就是直角三角形。
04 直角三角形应用举例
在几何问题中的应用
01
直角三角形的性质课 件
若已知直角三角形的斜边和一条 直角边的长度，可以利用三角函 数求出另一条直角边的长度，进
而求出面积。
若已知直角三角形的两条直角边 的长度和夹角，可以利用正弦、
余弦或正切函数求出面积。
03 直角三角形判定方法
基于角度的判定
有一个角为90度的三角形是直角三角形
30-60-90三角形
其中一个锐角为30度，另一个为60度， 三边之比为1:√3:2。
02 直角三角形性质探究
角度性质
01
直角三角形的内角和为180度，其中一个角为90度，其余 两个角之和为90度。
02
直角三角形中的锐角互余，即两个锐角的度数之和等于90 度。
03
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该中线与直 角顶点连线将直角三角形分为两个等腰三角形。
这是直角三角形最基本的判定方法，只要三角形中有一个角是90度，那么这个三角 形就是直角三角形。
其余两角之和为90度
除了一个90度的角外，其余两个角的度数之和也为90度，这是直角三角形的另一个 重要性质。
基于边长的判定
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即a² + b² = c²，其中a和 b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
利用三角函数判定
在直角三角形中，正弦、余弦和正切等三角函数有特定的值。因此，可以通过计算这些函数的值来判断一个三角 形是否为直角三角形。例如，如果sinA = 1或cosA = 0（A为三角形的一个角），那么这个角就是90度，三角形 就是直角三角形。
04 直角三角形应用举例
在几何问题中的应用
01
直角三角形的性质课 件
《直角三角形的性质》PPT课件
2 证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD = 1 CE = 1 AB.
2
2
归纳
知1－导
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
定理）. 下面我们探索直角三角形的其他性质.
知1－导
知识点 1 直角三角形斜边上的中线的性质
探索：如图，画Rt △ ABC，并画出斜边AB上的中线 CD量一量，看看CD与AB有什么关系.
相信你与你的同伴一定会发现: CD恰好是AB的一半.
下面让我们用演绎推理证明 这一猜想.
知1－导
已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 是斜边AB上的中线. 求证：CD = 1 AB
锐角互余”． (2) 当已知直角三角形斜边上的中线时，常用“直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
知2－讲
(3) 当已知直角三角形中一个锐角为30°时，常用 “30°角所对的直角边等于斜边的一半”．反之， 若已知一条直角边等于斜边的一半，我们可以得到 这条直角边所对的锐角为30°，实现了边、角之间 的转化．
知2－练
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
知－练
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD = 1 CE = 1 AB.
2
2
归纳
知1－导
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
定理）. 下面我们探索直角三角形的其他性质.
知1－导
知识点 1 直角三角形斜边上的中线的性质
探索：如图，画Rt △ ABC，并画出斜边AB上的中线 CD量一量，看看CD与AB有什么关系.
相信你与你的同伴一定会发现: CD恰好是AB的一半.
下面让我们用演绎推理证明 这一猜想.
知1－导
已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 是斜边AB上的中线. 求证：CD = 1 AB
锐角互余”． (2) 当已知直角三角形斜边上的中线时，常用“直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
知2－讲
(3) 当已知直角三角形中一个锐角为30°时，常用 “30°角所对的直角边等于斜边的一半”．反之， 若已知一条直角边等于斜边的一半，我们可以得到 这条直角边所对的锐角为30°，实现了边、角之间 的转化．
知2－练
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
知－练
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
解直角三角形ppt课件
经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
《直角三角形》课件
《直角三角形》PPT课件
本课件将介绍直角三角形的定义、性质和判定方法，特殊直角三角形的性质 和判定方法，以及勾股定理在直角三角形中的应用和计算问题的解答方法。
什么是直角三角形？
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，也就是直角。除了 直角外，直角三角形还有其他特殊的性质和判定方法。
直角三角形的定义
直角三角形是指一个三角形中有一个角度为9
直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平 方。
特殊边长关系
在直角三角形中，直角边的长度可以有特殊的关 系，如45°-45°-90°和30°-60°-90°三角形。
直角三角形的判定方法
判定一个三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理、角度关系等方法。
3
特殊直角三角形的判定方法
可通过边长关系、角度关系等方法判定一个三角形是否为特殊直角三角形。
勾股定理与直角三角形
1
勾股定理的概念
直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2
勾股定理的应用
通过勾股定理可以计算直角三角形的边长、角度等未知量。
直角三角形的计算问题
1
已知两边求第三边
通过勾股定理可以计算直角三角形中已知两个边的情况下，第三边的长度。
2
已知一边一角求其他未知量
通过三角函数可以计算直角三角形中已知一边和一个角的情况下，其他未知量的 值。
3
利用三角函数求解问题
可以使用正弦、余弦、正切等三角函数来解决直角三角形的计算问题。
特殊直角三角形
特殊直角三角形是指具有特殊边长关系的直角三角形，如45°-45°-90°和30°-60°-90°三角形。
特殊直角三角形的性质
1
45°-45°-90°三角形的性质
本课件将介绍直角三角形的定义、性质和判定方法，特殊直角三角形的性质 和判定方法，以及勾股定理在直角三角形中的应用和计算问题的解答方法。
什么是直角三角形？
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，也就是直角。除了 直角外，直角三角形还有其他特殊的性质和判定方法。
直角三角形的定义
直角三角形是指一个三角形中有一个角度为9
直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平 方。
特殊边长关系
在直角三角形中，直角边的长度可以有特殊的关 系，如45°-45°-90°和30°-60°-90°三角形。
直角三角形的判定方法
判定一个三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理、角度关系等方法。
3
特殊直角三角形的判定方法
可通过边长关系、角度关系等方法判定一个三角形是否为特殊直角三角形。
勾股定理与直角三角形
1
勾股定理的概念
直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2
勾股定理的应用
通过勾股定理可以计算直角三角形的边长、角度等未知量。
直角三角形的计算问题
1
已知两边求第三边
通过勾股定理可以计算直角三角形中已知两个边的情况下，第三边的长度。
2
已知一边一角求其他未知量
通过三角函数可以计算直角三角形中已知一边和一个角的情况下，其他未知量的 值。
3
利用三角函数求解问题
可以使用正弦、余弦、正切等三角函数来解决直角三角形的计算问题。
特殊直角三角形
特殊直角三角形是指具有特殊边长关系的直角三角形，如45°-45°-90°和30°-60°-90°三角形。
特殊直角三角形的性质
1
45°-45°-90°三角形的性质
八年级数学上册直角三角形的性质课件ppt
A
（2）用右图的添线方法，完成性质定理2的证明
已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，
CM是斜边AB上的中线.
求证：
CM=
1 2
AB.
E
（3）练习册 19.8(1)
C
M
B F
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
∠A +∠2=90 ° ∠A +∠B=90 °
∠1 +∠B=90 °
∠1 +∠2=90 °
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
直角三角形的判定定理
有两个角互余的三角形是直角三角形。
练习：(直接写出答案） 1）Rt△ABC中，∠C=90 ° ，∠B=28°， 则∠A=__. 2） 若∠C =∠A+∠B, 则△ABC是______ 三角形. 3）在△ABC中，∠A=90°， ∠B=3∠C，
中点
A
直角三角形斜边上的中点 等腰三角形底边上的中点
E
F
B
C
D
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
一试 ：
直角三角形的性质
如图1，在Rt △ ABC与Rt △ ACE中， ∠ ABC= ∠ AEC=90 °，
∴ MP ⊥ BE （等腰三角形三线合一）
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
解直角三角形(共30张)PPT课件
比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。
2.6.1 直角三角形的性质(课件)八年级数学上册(浙教版)
（三角形三个内角的和等于180°）
∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
则∠A+∠B=90°
C
B
合作学习
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示：“Rt△” 直角三角形可以记为Rt△ABC
直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余
在Rt△ABC中，∠C=90°
则∠A+∠B=__________
∴BC= AB
C
B
例题讲解
例2：如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系? 为什么?
解:在Rt△ACE中，
C
D
∠CAE=90°- ∠AEC
E
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°- ∠BED
∵∠AEC= ∠BED
∴∠CAE= ∠DBE
A
B
例题讲解
例3：右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于
90°
A
直
角
边
C
斜边
直角边
B
巩固练习
已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数。
解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°× =54°；
90°× =36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°．
浙教版 八上
直角三角形的性质
目录
01 直角三角形
02 直角三角形锐角互余
03 斜中线性质
∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
则∠A+∠B=90°
C
B
合作学习
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示：“Rt△” 直角三角形可以记为Rt△ABC
直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余
在Rt△ABC中，∠C=90°
则∠A+∠B=__________
∴BC= AB
C
B
例题讲解
例2：如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系? 为什么?
解:在Rt△ACE中，
C
D
∠CAE=90°- ∠AEC
E
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°- ∠BED
∵∠AEC= ∠BED
∴∠CAE= ∠DBE
A
B
例题讲解
例3：右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于
90°
A
直
角
边
C
斜边
直角边
B
巩固练习
已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数。
解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°× =54°；
90°× =36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°．
浙教版 八上
直角三角形的性质
目录
01 直角三角形
02 直角三角形锐角互余
03 斜中线性质
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
04
直角三角形中特殊角度计算
30°-60°-90°三角形性质
角度关系
在30°-60°-90°三角形中，一个角 为30°，另一个角为60°，还有一
个直角为90°。
边长关系
对于30°-60°-90°三角形，若设较 短的直角边长度为a，则较长的直 角边长度为√3a，斜边长度为2a。
应用场景
在解决与30°-60°-90°三角形相关的 问题时，可以利用这些性质进行角 度和边长的计算。
灵活运用三角函数公式
在解决复杂问题时，可以灵活运用三角函数的和差公式、倍角公式等，将问题转化为与特殊 角度相关的计算问题。
05
直角三角形在生活中的应用
测量问题中直角三角形应用
1 2 3
测量高度 利用直角三角形的性质，可以通过测量角度和距 离来计算高度，如测量建筑物、山峰等的高度。
测量距离 在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
测量角度 通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
直角三角形的性质课件初中数学PPT课件
24
利用三角函数解决非直角三角形问题策略
已知两边求夹角
01
当已知非直角三角形的两边长时，可以利用正弦或余
弦定理求出夹角的大小。
已知一角和两边求另一角或第三边
02 通过正弦、余弦或正切函数，结合已知的角度和边长
信息，可以求出未知的角度或边长。
利用三角形内角和定理
03
在任何三角形中，三个内角的和等于180度。利用这
一性质，可以求出非直角三角形中的未知角度。
2024/1/28
25
案例分析
案例一
已知非直角三角形的两边长分别 为a和b，夹角为C，求第三边c的 长度。此时可以利用余弦定理 c²=a²+b²-2ab×cosC求出c的值 。
案例二
已知非直角三角形的两个角度分 别为A和B，以及一边长a，求另 一边b的长度。此时可以利用正弦 定理a/sinA=b/sinB求出b的值。
SSS判定
三边对应相等的两个三角形全 等。
ASA判定
两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等。
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分 别对应相等，则称这两个三角 形全等。
2024/1/28
SAS判定
两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等。
AAS判定
两角和其中一个角的对边对应 相等的两个三角形全等。
证明勾股定理。
欧几里得证明法
02
在《几何原本》中，欧几里得利用相似三角形的性质证明了勾
股定理。
加菲尔德总统证明法
03
美国第20任总统加菲尔德提出了一种简洁的勾股定理证明方法
，利用两个相似直角三角形的面积关系进行证明。
9
勾股定理逆定理及应用
北师大版数学八年级下册第1课时直角三角形的性质与判定课件(共21张)
1 直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
时含°角的直角三角形的性质-完整版PPT课件
人教版数学教材 八年级上
1332 含30°角的直角三角形的性质
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
A
问题引入
问题1 将两个相同的含 30°角的三角尺摆放在 一起，你能拼成一个怎
样的三角形？能拼出一
个等边三角形吗？
B
C
问题引入
等边三角形的判定：
问题2 为什么所得到的三角形是等边三角形呢？
①三个角都相等的三角 形是等边三角形。
②有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形。
拼接
问题引入
问题3 直角边BC与斜边AB有什么数量关系A？
如图，∠B=∠D=60° ∠BAD=30°30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形 ∴AB=BD=AD
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
典例精析
例如1图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点， 立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =74 cm，∠A =30°， 立柱BC、DE 要多长？
B D
30°
A
E
C
想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？ 它们所对的锐角分别是多少度？
3在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,
则BC = 5
2 = 12
4如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，ABBC=12cm，则
8
AB=______
B 120
C
30°
A
典例精析
例3 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于
C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于 C A．3 B．2
1332 含30°角的直角三角形的性质
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
A
问题引入
问题1 将两个相同的含 30°角的三角尺摆放在 一起，你能拼成一个怎
样的三角形？能拼出一
个等边三角形吗？
B
C
问题引入
等边三角形的判定：
问题2 为什么所得到的三角形是等边三角形呢？
①三个角都相等的三角 形是等边三角形。
②有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形。
拼接
问题引入
问题3 直角边BC与斜边AB有什么数量关系A？
如图，∠B=∠D=60° ∠BAD=30°30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形 ∴AB=BD=AD
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
典例精析
例如1图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点， 立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =74 cm，∠A =30°， 立柱BC、DE 要多长？
B D
30°
A
E
C
想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？ 它们所对的锐角分别是多少度？
3在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,
则BC = 5
2 = 12
4如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，ABBC=12cm，则
8
AB=______
B 120
C
30°
A
典例精析
例3 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于
C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于 C A．3 B．2
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等于斜边的一半。
A
几何语言：
30°
在Rt△ABC中，
∠ACB=90°
∵∠A=30°
┐
C
B ∴BC= 1 AB
2
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
练
当堂检测：
1、判断
（1）直角三角形两锐角互余 .
（
√
√ （2）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. （
（3）有两个角互余的三角形是直角三角形 . （
√
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°.
那么它所对的直角边等于斜边的一半． （
√
） ） ）
）
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
当堂检测：
A
2、 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是
E
AB边上的中线，那么与CE相等的线段有
__A__E_、_B__E_，若∠A=35°，那么∠ECB=
动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好 奇心和求知欲，培养学习的自信心。
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
探 活动一：
合 （1）画一个直角三角形ABC, ∠C=90°； 作 （2）量一量斜边AB的长度； 探 （3）标出斜边AB的中点，用字母D表示； 究 （4）画出斜边上的中线CD；
《直角三角形的性质》
学
直角三角形的性质 3：
直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半。
A
几何语言：
在Rt△ABC中，
D
∠ACB=90°
∵ AD=BD
C
B
∴CD=
1
2 AB
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
探
例2 、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ ACB=90°, ∠A=30° . 求证：BC= 1 AB.
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
我们已经知道直角三角形的哪些性质？
（1） 直角三角形的两个锐角互余。 （2） 勾股定理：直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方。
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
学习目标：
1、掌握直角三角形的性质； 2、能利用直角三角形的性质进行有关的计算和证明； 3、通过“画图-测量-猜想-证明-归纳”的过程体验数学活
《直角三角形的性质》
24.2 直角三角形的性质
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
引
如果你是设计师： 6路
某市将建造一个地铁站，
设计师设想把地铁站的出
口建造在离附近的三个公
交站点1路、6路、9路的
距离相等的位置。而这三
个公交站点的位置正好构
成一个直角三角形。
┐
如果你是设计师你会把地
1路
9路
铁站的出口建造在哪里？
____5_5_°___。
∟
C
B
3、三角形三个内角之比为1：2：3，且两边长分别为3
厘米，4厘米，则最长边上的中线长 2或2.5 厘米。
4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 为 AB
的中点，DE⊥AC 于点 E，∠A＝30°，AB＝8，
则 DE 的长度是___2__．
“生主学导”课程模式
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“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
结
勾股定理
直角三角形斜边 上的中线等于斜 边的一半。
直角三角形的 两锐角互余
直形 角的 三性 角质
在直角三角形中， 如果一个锐角 等 于30°，那么它所 对的直角边 等于斜边的一半。
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
（5）量一量斜边上的中线CD的长度。
发现：直角三角形斜边上的中线CD
与斜边AB长度之间有何关系?
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
探
猜想：直角三角形斜边上的中线
自 主A 探 究
等于斜边的一半。
D
1
CD≈ 2 AB
C
B
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
探 活动二：证一证
例1、已知：如图在直角三角形ABC中，∠ACB=90°
2
证明：作斜边AB上的中线CD, A
∴CD=AD=BD= 1 AB ∵ ∠A=30° 2 ∴ ∠B=∠ACB-∠A=60°
30°
D
∴ △CDB是等边三角形
∴ BC=BD= 1 AB. 2
┐
C
B
“生主学导”课程模式
《直角三角形的性质》
学
直角三角形的性质4、
在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边
合 作 探 究
CD是斜边AB上的中线， 求证：CD= 1 AB. 证明：延长CD到点2 E,使DE=CD,连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线
E
∴AD=DB
又∵CD=DE
∴四边形ACBE是平行四边形
又∵ ∠ACB=90°
∴四边形ACBE是矩形
∴CE=AB
∴CD=
1
CE=
1
AB
2
2
“生主学导”课程模式