最新21.1 一元二次方程的概念.ppt
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21.1.1一元二次方程第1节ppt(共36张)
第30页，共36页。
课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
第31页，共36页。
把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
第5页，共36页。
例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
第36页，共36页。
第17页，共36页。
3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
第18页，共36页。
第16页，共36页。
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般 形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
第31页，共36页。
把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
第5页，共36页。
例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
第36页，共36页。
第17页，共36页。
3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
第18页，共36页。
第16页，共36页。
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般 形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
新人教版九年级数学上册全册ppt课件
10x - 4.9x2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （精确到 0.01 s）？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
21.1一元二次方程第一课时(22张ppt)课件
1 赛共 x x 1 场． 2
列方程 整理，得
1 xx 1 28 2 1 2 1 x x 28 2 2
化简，得
x x 56
2
③
由方程③可以得出参赛队数．
问题３：新九(６)班成立，各新同学初次同
班，为表友谊，全班同学互送贺卡，全班 共送贺卡1560张，求九(６)班现有多少名 学生？
一.复习 1.什么叫方程？我们学过那些方程？ 含有未知数的等式叫方程 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100cm， 宽50cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然 后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒， 如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么 铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设九(６)班有m名学生，则：
m(m-1)=1560
整理,得：m2-m=1560
化简,得：m2-m-1560=0 ④
由方程④可以得出参赛队数．
方程① ② ③④有什么特点？
x2＋2x－4=0 ① x2-x＝56 ③
x2－75x+350=0 ② m2-m-1560=0 ④
（１）这些方程的两边都是整式， （２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两 个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等 条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， 比赛组织者应邀请多少个队参赛？
全部比赛共4×7＝28场 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，由于 甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
一元二次方程是只含有一个未知 数，且该未知数的最高次数为2的 整式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
人教版九年级数学上册21.1《一元二次方程》课件(共23张PPT)
（1）3x(x+2)=4(x-1)+7
（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
【解题过程】
解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程； 二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-3. （2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程. 【思路点拨】将方程化成一般形式，再根据其一般形式确定它的 二次项系数、一次项系数和常数项.
ax2 bx 0a 0
ax2 c 0a 0
ax2 0a 0
当b=0,c=0时，
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究一：一元二次方程的概念和一般形式 活动5
问题1：一元一次方程的根是什么？
使一元一次方程成立的未知数的值叫做一元一次 方程的解（或根）.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
活动2
一元二次方程的一般形式的应用
21.1 一元二次方程
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究一：一元二次方程的概念和一般形式 活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切 去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖长方体盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为 3600cm² ,那么铁皮各角应切去边长为多少cm的正方形? 请大家根据题目设未知数、列出方程. 设铁皮各角应切去边长为x cm的正方形，由题意知
问题2：类比一元一次方程的根的定义，说一说 一元二次方程的根的概念是什么？
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级上册 第二十一章 21.1 一元二次方程 课件(共25张PPT)
m_≠__±__1__时，它是一元二次方程;当m_=_1____时，它是 一元一次方程。
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
根的和与积
根的和
一元二次方程的根的和等于方程的一 次项系数除以二次项系数的负值。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项除 以二次项系数。
根的判别式
判别式的定义
判别式Δ是一元二次方程解的判别式，等于方程的一次项系数平方减去四倍的常数项与 二次项系数乘积。
判别式的应用
判别式可以用来判断一元二次方程的解的情况，当Δ大于0时，方程有两个不相等的实 数根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数根；当Δ小于0时，方程没有实数根。
要点二
详细描述
因式分解法是通过移项和提取公因式，将一元二次方程化 为两个一元一次方程，从而简化求解过程。具体步骤包括 移项、提取公因式、求解一元一次方程等。
二次三项式的因式分解
总结词
将二次三项式进行因式分解，进一步简化求解过程。
详细描述
二次三项式是包含三个项的一元二次方程，可以通过因 式分解化为两个一元一次方程或一个一元二次方程。具 体步骤包括移项、提取公因式、合并同类项等。
总结词
在代数问题中，一元二次方程是解决复 杂数学问题的基本工具之一。
VS
详细描述
一元二次方程在代数问题中的应用非常广 泛，例如，通过一元二次方程可以求解代 数表达式的值、解决代数方程组等问题。 这些问题的解决需要用到一元二次方程的 求解方法，是数学问题解决的基础。
实际问题
总结词
一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用 ，涉及到经济、科技、生活等多个领域。
详细描述
一元二次方程的标准形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数是2。
形式
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
数学中的一元二次方程
01
02
03
几何学
代数
三角函数
一元二次方程可以用于解决几何问题，例 如计算面积、周长等。
一元二次方程是代数中的基础内容，是学 习其他代数知识的基础。
一元二次方程可以用于解决三角函数问题 ，例如计算角度、弧度等。
科学中的一元二次方程
物理学
天文学
一元二次方程在物理学中有广泛的应 用，例如计算速度、加速度、力等。
二次函数的应用
01
二次函数在日常生活和生产中有 着广泛的应用，例如求最值问题 、解决面积问题、分析经济问题 等。
02
在物理学中，二次函数也常用于 描述物理量之间的关系，例如自 由落体运动中的位移与时间的关 系等。
THANKS
一元二次方程(概念一般形式 公开课)
汇报人：可编辑
汇报时间：2023-12-23
目录
• 一元二次方程的概念 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的拓展知识
01
一元二次方程的概念
一元二次方程的定义
01
02
定义
例如
一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式 方程。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像是一个抛物线，其开 口方向由系数$a$决定，当$a>0$时 ，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛 物线开口向下。
二次函数的值域由开口方向和顶点位 置决定，开口向上的抛物线最小值为 顶点的y坐标，开口向下的抛物线最大 值为顶点的y坐标。
二次函数的对称轴为$x=frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。