最短路问题

S = {1,2,3,4,5,6,7}
S = { 1,2,3,4,5,6,7 }, T = { 8 }
（0，S） 1 1 (1,1) 3 5 4 2 4 7 3 2 10 (2,1) 2 5 6 9 6 4 8 (8,2) 3
(6,7)
5
6
(3,1)
7
(3,4)
8
(10,5)
min {c38,c58,c78}=min {8+6,6+4,3+8}
注在 v3 旁的小方框内；将( v1, v3) 加粗，并令 V∪v3 → V，
V v3 V
。
(3) 同 v1 , v3 相邻的未标号点有v2 、 v4 、 v6 ， L1p = min { L11+d12 , L13+d34, L13+d36 } =min{0+5,2+7,2+4}=5= L12
=min {14,10,11}=10 S = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }
S = {1,2,3,4,6,7,8}
（0，S） 1 1 3 5 6 w6=3 2 10 7 2 3 7 w7=3 w2=2 2 5 w3=8
6
9
3
(1,1) 4
w5=6 5
6 4
4
8
8 w8=10
1到8的最短路径为{1，4，7，5，8}，长度为10。
如果 v1→ v2→ v3→ v4 是 v1→ v4 的最短路径，则 v1→ v2→ v3 一定是 v1→ v3 的最短路径。
（1）求解思路——从始点出发，逐步顺序地向外
探寻，每向外延伸一步都要求是最短的。
（2）使用条件——网络中所有的弧权均非负 w
ij
0
（3） D氏算法（Dijkstra）的特点 最短路径上的前点 标号 能得到从 VS （起点）到各点的最短路线和最短路长。 （4）准备工作： 当前被标号顶点到 起始点的最短路长 将网络中所有顶点分为两个集合S和T，已求出最短 路的点位于S中，其他点置于T中；
求从起始点 s 到终点 t 的最短路径。 Dijkstra 算法（标号法）步骤：
1. 对起始点 s ，赋予标号（0，S）， Lss =0,并置于 集合S中，其它顶点位于T中。 2. 从点 s 出发，找出与 s 相邻的点中距离最小的一个 顶点 r ，给点 r 标号（ Lsr ，s），Lsr =Lss+ dsr表示从起始 点S到顶点r的路长；并置r于集合S中，从集合T中剔除r。
S = {1,4}
S = { 1,4 }， T = { 2,3,5,6,7,8 }
（0，S） 1 1 3 2 10 (1,1) 4 7 (2,1) 2 5 5 6 9 6 3
5 6
4
2 7
3
8
4 8
min {c12,c16,c42,c47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2} =min {2,3,11,3}=2 S = {1,2,4}
给集合S中的点赋予标号，（d，i）
最短路径问题（有向图）
1
1 2 10 4 5 6 4 2 7
2

6 9 5 3 8 4
3
3
7
6
8
求从1到8的最短路径
S={1}
（0，S） 2 1 10 6 5 9 5 3 7 8 4 8
1
2
3
(1,1) 4
3
5 6
7
2
6
4
min {c12,c14,c16}=min {2,1,3}=1
S = {1,2,4,6,7}
S = { 1,2,4,6,7 } , T = { 3,5,8 }
（0，S） 1 1 (1,1) 3 5 4 2 4 7 3 2 10 (2,1) 2 5 6 9 6 4 8 3
(6,7)
5
6
(3,1)
7
(3,4)
8
min {c23,c25,c75,c78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8} =min {8,7,6,11}=6
( v5, v7) 加粗。图中粗线表明从点 v1 到网络中其它各点的
最短路，各点旁的数字就是点 v1 到各点的最短距离。
的小方框内；将( v2, v4), ( v6, v5) 加粗，并令V∪v4∪v5→V，
V v 4 , v 5 V
。
(6) 同 v1 , v2 ,v3 , v4, v5, v6 相邻的未标号点只有 v7 ， L1p = min { L15+d57 , L16+d67 } =min{7+3,6+6}=10= L17 对 v7 标号，将 L17 的值标注在 v7 旁的小方框内；将
3. 从已标号的点出发，找出与这些点相邻的所有未 标号点 p ，若有 Lsp =min { Lss+ dsp , Lsr+ drp }，则对 p 点 进行标号，（Lsp，i）；并置p于集合S中，从集合T中剔 除p 。 4. 重复第 3 步，直到 t 点得到标号为止。
例. 求下图中从 v1 到 v7 的最短路。
S = {1,2,4,5,6,7}, w5=6
S = { 1,2,4, 5,6,7 } , T = { 3 , 8 }
（0，S）
1 1 (1,1) 3 5 4 2 4 7 3 2 10
(2,1)
2 5 6 9
(8,2) 3
(6,7)
5
4 8
6
6
(3,1)
7
(3,4)
8
min {c23,c53,c58,c78} = min { 2+6,6+9,6+4,3+8 } = min {8,15,10,11}=8
对 v2 标号，将 L12 的值标
注在 v2 旁的小方框内；将( v1, v2) 加粗，并令 V∪v2 →V，
V v2 V
。
(4) 同 v1 , v2 ,v3 相邻的未标号点有v4 、 v5、 v6 ， L1p = min { L12+d25 , L12+d24, L13+d34 , L13+d36 } =min{5+7,5+2,2+7,2+4} =6= L16
S = { 1,2,4 }，T = { 3,5,6,7,8 }
（0，S）
(2,1)
2 1 10
1
2
5 7 2 3 7 (3,4)
6 9
3
(1,1)
3 5 6 (3,1) 4
4
5
4 8 8
6
min {c16,c23,c25,c47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}
=min {3,8,7,3}=3
对 v6 标号，将 L16 的值标注在 v6 旁的小方框内；将
( v3, v6) 加粗，并令 V∪v6 →V，V
v6 V
。
(5) 同 v1 , v2 ,v3 , v6 相邻的未标号点有v4 、 v5、 v7 ， L1p = min { L12+d25 , L12+d24, L13+d34 , L16+d64 , L16+d65 , L16+d67 } =min{5+7,5+2,2+7,6+2,6+1,6+6} =7= L14 = L15 对 v4 , v5 同时标号，将 L14 = L15 的值标注在 v4, v5 旁
解： (1) 从 v1 点出发，对 v1 点标号，将 L11=0 标注在 旁的小方框内，令 v1∈V，其余点属于 V ；
(2) 同 v1 相邻的未标号点有v2 、 v3 ， L1r = min { 0+d12 , 0+ d13 } =min{5,2}=2= L13
对 v3 标号，将 L13 的值标
§4
最短路问题
能解决的实际问题
如选址问题、管道铺设、选线问题、厂区布局等问题。
最短路问题是指从给定的网络图中找出任意两点
之间距离最短（权值和最小）的一条路。
最短路的求法
从某一点至另一点之间最短距离的狄克斯屈拉 ( Dijkstra )算法 求网络图中任意两点之间的最短距离的矩阵算法
一. Dijkstra 算法