高考数列压轴题汇总

高考数列压轴题
1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n n
n b b b T a b +++==
Λ21,2
，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)1
1()11)(11(21+≥+++
n p a a a n
Λ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .
2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪
⎝
⎭
都在函数()2n a f x x x
=+ 的图象上．
（Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；
（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，
16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，
设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；
（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬
⎩⎭
的前n 项积，是否存在实数a ，使得不等
式3()2n a A f a a
+-
对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由
3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=•+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，
111>=a x ，.
(1)若()()*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式；
(2)已知点B ()0a ，
，记()*∈=N n BA a n n ，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；
(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：a
a S n --<21 。

4、已知()f x 在(1,1)-上有定义，1()12
f =且满足,x y (1,1)∈-时有()()(),1x y f x f y f xy
--=-
若数列{}n x 满足 11221,2
1n n n
x x x x +==+。

（1）求(0)f 的值，并证明()f x 在(1,1)-上为奇函数； （2）探索1()()n n f x f x +与 的关系式，并求()n f x 的表达式；
（3）是否存在自然数m ，使得对于任意的*n N ∈，有
12311118()()()()4
n m f x f x f x f x -++++<L L 恒成立？若存在，求出m 的最小值，若不存
在， 请说明理由。

5、数列{}n a 满足11
,2
a =11
2n n
a a +=
-． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；
（Ⅱ）设数列{n a }的前n 项和为n S ，证明2
ln(
)2
n n S n +<-． 6、已知二次函数2()()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()f x ≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立，设数列｛n a ｝的前n 项和()n S f n =．
（1）求函数()f x 的表达式；
(2) 设各项均不为0的数列｛n b ｝中，所有满足10i i b b +⋅<的整数i 的个数称为这个数列｛n b ｝的变号数，令1n n
a
b a =-
（n N *∈）,求数列｛n b ｝的变号数； （3）设数列｛n c ｝满足：11
1
n
n i i i c a a =+=⋅∑
，试探究数列｛n c ｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．
7、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a
S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设21=+n n n
S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1
11
11n n n c a a +=
+
+-，数列{}n c 的前n 项和为
T n .
求证：123
n T n >-．
8、已知214)(x
x f +-=数列}{n a 的前n 项和为n S ，点)1,(1
+-n n n a a P 在曲线)(x f y =上
)(*N n ∈且0,11>=n a a .
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）数列}{n b 的前n 项和为且n T 满足
381622
1
21--+=++n n a T a T n n
n n ，设定1b 的值使得数列}{n b 是等差数列；
（3）求证：*,1142
1N n n S n ∈-+>.
9、已知函数)(x f 的定义域为]1,0[，且同时满足：对任意]1,0[∈x ，总有2)(≥x f ，
3)1(=f ； 若01≥x ，02≥x 且121≤+x x ，则有2)()()(2121-+≥+x f x f x x f ． （1）求)0(f 的值；
（2）试求)(x f 的最大值；
（3）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*)3(2
1,11N n a S a n n ∈--==，
求证：1
21321
22
3)()()(-⨯-+≤+++n n n a f a f a f Λ． 10、已知函数112
y x =-
+的图象按向量(2,1)m =r
平移后便得到函数()f x 的图象，数列{}n a 满足1()n n a f a -=（n≥2，n ∈N *）． （Ⅰ）若135
a =，数列{}n
b 满足1
1
n n b a =
-，求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）若135a =，数列{}n a 中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项
与最小项，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若112a <<，试证明：112n n a a +<<<．
11、设数列{}n a 满足：11a =，且当n N *∈时，3211(1)1n n n n a a a a +++-+= (1) 比较n a 与1n a +的大小，并证明你的结论；
(2) 若2
211
(1)n n n n
a b a a +=-，其中*
∈N n ，证明：1
0 2.n
k k b =<<∑
12、已知函数2()ax b
f x x c
+=+是定义在R 上的奇函数，且当x =1时f (x )取最大值1.
(1)求出a ,b ,c 的值并写出f (x )的解析式；
(2)若x 1∈(0，1)，x n+1=f (x n )，试比较x n+1与x n 的大小并加以证明；
(3)若111,()2
n n x x f x +==，求证222
2311212231
()()()516
n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<L .。