北师大版数学九年级上册 第二章2.5：一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 含答案
原创2023学年一元二次方程的根与系数的关系九年级数学
北师大版九年级数学上册第二章2.5一元二次方程的根与系数的关系 假期同步测试一．选择题1.如果一元二次方程x 2-3x-1=0的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2=（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．12.一元二次方程x 2+4x-3=0的两根为1x 、2x ，则1x •2x 的值是（ ） A ．4 B ．-4 C ．3 D ．-33．一元二次方程3x 2﹣4x ﹣5=0的两实数根的和与积分别是（ ） A ．，﹣ B ．， C ．﹣，﹣D ．﹣，4.一元二次方程x 2-3x-2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=-1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=-2 C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=25. 设x 1，x 2是一元二次方程2x -2x-3=0的两根，则2211x x =（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 6．关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1=0的判别式为（ ） A ．1﹣b2B ．b 2﹣4C ．b 2+4D ．b 2+17. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根，则x 1x 2-x 1-x 2的值等于（ ）A ．-3B ．0C ．3D ．58.若关于x 的方程x 2-2x+c=0有一根为-1，则方程的另一根为（ ）A．-1 B．-3 C．1 D．39.若关于x的一元二次方程x2-3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2-ab+b2=18，则a b的值是（）b aA．3 B．-3 C．5 D．-510.判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12 B．16 C．20 D．24 11．（2019•贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 12．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是A．2 B．–1 C．2或–1 D．不存在14．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是( )A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0二．填空题15.已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是_______16.设m、n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则m2+3m+n= .17．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+3=0有实数解，则m的取值范围为．18.方程2x2-3x-1=0的两根为x1，x2，则x12+x22= ．19.关于x的方程2x2-ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 .20.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22= .21．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+1﹣m=0的一个根为2，则另一个根是22.设m，n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= .23．（2019•娄底）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2>2，则m的取值范围是__________．三．解答题25．若关于x的方程x2＋mx＋7＝0的一个根为3－2，求方程的另一个根及m的值．26．（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．27．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．28.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长29.已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．30．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝5成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．答案提示1.A；2.D；3．A；4.C；5. C；6．C；7.A；8.D；9.D；10.C；11．B；12．D；13．A；14．D.15.1； 16. 5； 17．m≤且m≠2； 18.134； 19.12； 20.13； 21．3；22. 2016； 23．﹣； 24．3<m≤5．25．解：设方程的另一个根为t，根据题意，得(3－2)t＝7，∴t＝73－2＝3＋ 2.所以－m＝3－2＋3＋2＝6，即m＝－6.即方程的另一个根为3＋2，m的值为－6.26．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．27．解: （1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．28.解: 设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，∴a+b=4，ab=3.5；根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，∴c=329.解：（1）∵a=1，b=2m，c= m2-1，∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，∴32+2m×3+ m2-1=0，解得，m=-4或m=-2．30．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11＞0，解得k ＞114.(2)存在．∵x 1＋x 2＝2k －1，x 1x 2＝k 2－2k ＋3＝(k －1)2＋2＞0， ∴将|x 1|－|x 2|＝5两边平方，可得x 12－2x 1x 2＋x 22＝5，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5， ∴(2k －1)2－4(k 2－2k ＋3)＝5， 即4k －11＝5，解得k ＝4. ∵4>114，∴k ＝4.。
数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系同步训练(含解析)
数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系同步训练（含解析）6.已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A.7B.11C.12D.167.关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（）A.B.C.4D.﹣48.关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题9.已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为________．10.已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则________.11.若x1， x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是________．12.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=________13.关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．14.通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1•x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1， x2，且x12+x22=1，则k的值为________．三、解答题15.已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2-2m＝0有一个实根为-1，求m的值及方程的另一个实根. 16.已知关于x的方程（的两根之和为，两根之差为1，•其中a,b,c是△ABC的三边长．（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．17.关于x的一元二次方程有两个不等实根（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根满足，求k的值．18.已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）19.设x1， x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．（1）x12＋x22；（2）；（3）x12＋x22－3x1x2.20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1， x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．21.已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2， k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．答案解析部分一、选择题1.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】解答: 设一元二次方程的另一根为，则根据一元二次方程根与系数的关系，得-1+ =-3，解得：=-2．故选A．分析: 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根2.【答案】C【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2019=0的根，∴a2+a﹣2019=0，∴a2=﹣a+2019，∴a2+2a+b=﹣a+2019+2a+b=2019+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2019﹣1=2019．故选C．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=﹣a+2019，则a2+2a+b=2019+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算．3.【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；B．两根之和=－1，故不符合题意；C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；D．两根之和=1，故符合题意．故答案为：D．【分析】根据根与系数的关系和根的判别式可求解。
北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》同步练习题含答案
北师⼤版数学九年级上册《⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系》同步练习题含答案第⼆章⼀元⼆次⽅程 2.5 ⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系1．已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)(β＋3)等于( )A. 8B. 9C. 10D. 122. 设x1，x2是⽅程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则1x1＋1x2的值为( )A. －4B. －3C. －2D. －323. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab等于( )A. 4B. 3C. 2D. 14. 已知a，b是⽅程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为( )A. 20B. 22C. 23D. 255. 设m，n是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n等于( )A. 9B. 7C. 5D. 36. 已知⼀元⼆次⽅程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1?x2=( )A. 4B. 3C. -4D. -37. 判断⼀元⼆次⽅程式x2-8x-a=0中的a为下列哪⼀个数时，可使得此⽅程式的两根均为整数？( )A. 12B. 16C. 20D. 248. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是( )A. a≥1B. a＞1C. a≤1D. a＜19. 已知x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于( )A. -3B. 0C. 3D. 510. 如果⼀元⼆次⽅程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=( )A. -3B. 3C. -1D. 111. 若关于x的⽅程x2+3x+a=0有⼀个根为-1，则另⼀个根为12. 设x1，x2是⼀元⼆次⽅程-2x-3=0的两根，则 =13. 设α，β是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是14. 若m，n是⼀元⼆次⽅程x2＝5x＋2的两个实数根，则m－mn＋n的值是15. 关于x的⽅程x2－ax＋2a＝0的两根的平⽅和是5，则a的值是16. 已知x1，x2是关于x的⽅程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是17. 已知关于x的⽅程x2＋3x＋a＝0有⼀个根为－2，则另⼀个根为18. 已知m，n是关于x的⼀元⼆次⽅程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n －1)＝－6，则a＝19. 若关于x⼀元⼆次⽅程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满⾜（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为20. 已知⽅程x2+mx+3=0的⼀个根是1，则它的另⼀个根是_______，m的值是_______21. 已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______22. 在解⽅程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得⽅程的根为x1＝1，x2＝－3；⼄同学看错了q，解得⽅程的根为x1＝4，x2＝－2，则⽅程中的p＝______，q＝________．23. 已知直⾓三⾓形的两条直⾓边的长恰好是⽅程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直⾓三⾓形的斜边长是_________24. 关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-2）x 2+2x+1=0有实数根，求m 的取值范围.25. 设x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值．(1)x 12＋x 22；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)x 12＋x 22－3x 1x 2.26. 若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满⾜x 1＝3x 2，试求出⽅程的两个实数根及k 的值．27. 已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)如果⽅程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版) - 副本
北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B)A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1 x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52 B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为（A ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx －8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x 的方程x 2＋mx －2n ＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m ＋n 的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x 2－3x －10＝0．10．已知m ，n 是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两根，则m ＋n ＋mn ＝－1．11．若x 1＋x 2＝3，x 21＋x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2－3x ＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m＋m n 的值是452或2． 13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝16，求a的值．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)＞0.解得a＜3.∵a为正整数，∴a＝1或2.(2)∵x21＋x22－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16.∵x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2，∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16.解得a1＝－1，a2＝6.又由(1)知a＜3，∴a＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0.∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k －4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围．解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求mn＋nm的值． 解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若方程的两根都是正数，求m的取值范围；(3)设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1＋x1x2＝x21＋x22，求m 的值．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)＝－4m＋8＞0.∴m＜2.∴当m＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x1，x2是这个方程的两个实数根，则x1＞0，x2＞0，∴x1x2＝m－1＞0.∴m＞1.∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m≤2.∴m的取值范围是1＜m≤2.(3)由题意可得x1＋x2＝2，x1x2＝m－1.∵1＋x1x2＝x21＋x22，∴1＋x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2，即1＋m－1＝22－2(m－1)．解得m＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0.(1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)．∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2.当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大版数学九上册 2.5一元二次方程根与系数的关系 同步习题
北师大版数学九上册 2.5一元二次方程根与系数的关系 同步习题及答案[预习自测]一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2 = x 1x 2 =[知识点1]一元二次方程根与系数的关系1. 若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A.x 2-3x+2=0B.x 2+3x-2=0C.x 2+3x+2=0D.x 2-3x-2=02．若x 1、x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根，则1x 1+1x 2的值为( ) A ．-2 B ．2 C ． 12 D ．92 3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或D ．53-或 4.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．5．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ． 6. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2√2x+m=0有两个不相等的实数根。
（1）求实数m 的最大整数值；（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x 1，x 2，求代数式x 12+x 22- x 1x 2的值。
[提高训练]7．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．8．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．9．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．10．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．11．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．12.设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m-2）x+m 2-3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若1x 1 +1x 2 =1，求13−2m 的值； （2）求mx 11−x 1+mx 21−x 2-m 2的最大值。
北师大版九年级 上册 第二章 2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步练习(及答案)
北师大版九年级上册第二章一元二次方程2.5一元一次方程的根与系数的关系同步练习1.如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2= ,x1·x2= .2.利用根与系数的关系,求出下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2+4x=1;(2)2x2+4x-3=0;(3)x2+2(x-4)=0.3.已知方程x2-2x-1=0,则此方程( )A.无实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有一根为-1+4.已知一元二次方程x2-6x+C=0有一个根为2,则另一根为( )A.2B.3C.4D.85.已知方程x2+2x-1=0的两根分别是x1,x2,则=( )A.2B.-2C.-6D.66.已知一元二次方程y2-3y+1=0的两个实数根分别为y1,y2,则(y1-1)(y2-1)的值为.7.利用根与系数的关系,求出下列方程的两根之和、两根之积.(1)4x2-6x=0;(2)2x2+1=3x;(3)2(x2-4x)+3=0.8.已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0(m为实数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根;(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?求出此时方程的解.9.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,则x2+x1的值为( )A.-3B.3C.-6D.610.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等的实数根x1,x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0,那么a的值为( )A.3B.-3C.13D.-1311.已知x=-2是方程x2+mx-6=0的一个根,则方程的另一个根是,m的值是.12.若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数,则a= .13.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0(k为常数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根;(2)设x1,x2为方程的两个实数根,且x1+2x2=14,试求出方程的两个实数根和k的值.14.已知x1=q+p,x2=q-p是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p、q的值.参考答案1.-2.(1)解：原方程化为一般形式,得x2+4x-1=0,这里a=1,b=4,c=-1.Δ=42-4×1×(-1)=20>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-4,x1·x2=-1.(2)解：这里a=2,b=4,c=-3.Δ=42-4×2×(-3)=40>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-2,x1·x2=-.(3)解：原方程化为一般形式,得x2+2x-8=0,这里a=1,b=2,c=-8.Δ=22-4×1×(-8)=36>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-2,x1·x2=-8.3.C4.C5.A6.-17.(1)解：这里a=4,b=-6,c=0.Δ=(-6)2-4×4×0=36>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=0.(2)解：原方程化为一般形式,得2x2-3x+1=0, 这里a=2,b=-3,c=1.Δ=(-3)2-4×2×1=1>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=.(3)解：原方程化为一般形式,得2x2-8x+3=0, 这里a=2,b=-8,c=3.Δ=(-8)2-4×2×3=40>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=4,x1·x2=.8.解：(1)证明：∵a=1,b=m+2,c=2m-1,∴Δ=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵方程两根互为相反数,∴-(m+2)=0,解得m=-2,即当m=-2时,方程两根互为相反数.当m=-2时,原方程化为：x2-5=0,解得：x1=,x2=-.9.A10.B11.3 -112.-113.解：(1)证明：∵Δ=(-6)2-4×1×(-k2)=36+4k2>0, ∴方程有两个不相等的实数根.(2)由题意知x1+x2=6,又∵x1+2x2=14,∴x2=(x1+2x2)-(x1+x2)=14-6=8.∴x1=6-8=-2.∴-k2=x1·x2=(-2)×8=-16.∴k=±4.14.解：由题意,得解得或。
北师大版数学九年级上册：2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习(含答案)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为()A.3B.-32C.32D.-22.已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是 ()A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1·x2>0D.x1<0,x2<03.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程可以是()A.x2-7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x-12=0D.x2-7x-12=04.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,则k的值为()A.0或2B.-2或2C.-2D.2二、填空题5.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,则这个一元二次方程的另一个根为.6.若关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是.7.若x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根,则代数式x12-2x1+2x2的值等于.三、解答题8.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x2-3x-11=0;(2)3x2-1=2x2-5x.9.已知方程3x2-x-1=0的两根分别为α,β,求下列各式的值:(1)α2+β2;(2)1α+1β.10.已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;(2)当t为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.11. 已知一直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根,如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长.详解详析1.A[解析] 由x2-3x+2=0可知,其二次项系数a=1,一次项系数b=-3,由根与系数的关系,得x1+x2=-ba =--31=3.故选A.2.A[解析] A项,∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴x1≠x2,A项正确.B项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a.∵a的正负不确定,∴B项不一定正确.C项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1·x2=-2<0,C项错误.D项,∵x1·x2=-2,∴x1,x2异号,D项错误.故选A.3.A4.D[解析] ∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2, ∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2.∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,∴(k-1)2+2k-4-4=-3,解得k=±2.当k=2时,原方程为x2-x=0,∴Δ=(-1)2-4×1×0=1>0,∴该方程有两个不相等的实数根,∴k=2符合题意;当k=-2时,原方程为x2+3x+4=0,∴Δ=32-4×1×4=-7<0,∴该方程无解,∴k=-2不合题意,舍去.故k=2.故选D.5.-2[解析] ∵a=1,b=-k,c=-2,∴x1·x2=ca=-2.∵关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的一个根为1, ∴另一个根为-2÷1=-2. 故答案为-2.6. m>12 [解析] 设x 1,x 2为关于x 的方程x 2+2x-2m+1=0的两个实数根.由题意,得{Δ>0,x 1x 2<0,即{4-4(1-2m )>0,-2m +1<0, 解得m>12. 故答案为m>12.7.2028 [解析] ∵x 1,x 2是方程x 2-4x-2020=0的两个实数根,∴x 1+x 2=4,x 12-4x 1-2020=0,即x 12-4x 1=2020,则原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2(x 1+x 2)=2020+2×4=2020+8=2028. 故答案为2028. 8.解:(1)a=1,b=-3,c=-11, Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×(-11)=53>0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=3,x 1x 2=-11. (2)原方程可变形为x 2+5x-1=0. a=1,b=5,c=-1,Δ=b 2-4ac=52-4×1×(-1)=29>0, ∴方程有两个实数根.设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=-5,x 1x 2=-1. 9.解:由根与系数的关系,得α+β=13,αβ=-13. (1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=132-2×-13=19+23=79.(2)1α+1β=α+βαβ=13-13=-1.10.解:(1)证明:∵在方程x 2-(t-1)x+t-2=0中,Δ=[-(t-1)]2-4×1×(t-2)=t 2-6t+9=(t-3)2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根.(2)当t=1时,方程的两个根互为相反数.理由:设方程的两个根分别为m,n.∵方程的两个根互为相反数,∴m+n=t-1=0,解得t=1.∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.11.[解析] 首先根据根的判别式求出k的取值范围,再根据根与系数的关系得到x1+x2=1-2k;x1x2=k2+3,再根据勾股定理得到x12+x22=52,接着利用完全平方公式变形得到(x1+x2)2-2x1x2=25,则(1-2k)2-2(k2+3)=25,求出k的值,进而求出两条直角边长.解:∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即(2k-1)2-4(k2+3)>0,.∴-4k-11>0,∴k<-114令方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=1-2k,x1x2=k2+3.∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5, ∴x12+x22=52,∴(x1+x2)2-2x1x2=25,即(1-2k)2-2(k2+3)=25,∴k2-2k-15=0,解得k1=5,k2=-3.∵k<-11,∴k=-3.4把k=-3代入原方程,得x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.。
北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习有答案
2018-2019学年度北师大版数学九年级上册同步练习2.5 一元二次方程的根与系数的关系一．选择题（共10小题）1．下列方程一定有实根的是（）A．x2﹣4x+3=0 B．x2﹣4x+5=0 C．y2﹣4y+c=0 D．y2﹣4y+12=02．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣23．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或14．不解方程，判别方程2x2﹣3x=3的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，若k为非负整数，则k等于（）A．0 B．1 C．0，1 D．26．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．7．关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0的判别式为（）A．1﹣b2B．b2﹣4 C．b2+4 D．b2+18．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣39．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．610．一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的两实数根的和与积分别是（）A．，﹣B．，C．﹣，﹣D．﹣，二．填空题（共6小题）11．对于方程3x2﹣5x+2=0，a=，b=，c=，b2﹣4ac=，此方程的解的情况是．12．关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+3=0有实数解，则m的取值范围为．14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1=，x2=．15．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+1﹣m=0的一个根为2，则另一个根是三．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．20．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0（Ⅰ）求证：无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；（Ⅱ）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．参考答案一．选择题（共10小题）1．A．2．C．3．A．4．B．5．B．6．C．7．C．8．B．9．C．10．A．二．填空题（共6小题）11．3，﹣5，2，1，有两个不相等的实数根．12．m＞．13．m≤且m≠2．14．﹣2；3．15．16．3三．解答题（共4小题）17．（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18．（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m=1，将m=1代入原方程，得x2﹣2x=0x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．19．（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．20．（1）证明：x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0，△=[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∵不论m为何值，（m﹣2）2+4＞0，∴△＞0，∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；（2）解：把x=1代入方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0得：1﹣（m+2）+2m﹣1=0，解得：m=2，方程为x2﹣4x+3=0，设方程的另一个根为a，则a+1=4，解得：a=3，即方程的另一个根为3．。
北师大版九年级数学上册同步练习：2.5一元二次方程的根与系数的关系
北师大版九年级数学上册同步练习：2.5一元二次方程的根与系数的关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是() A ．2B ．－2C ．4D ．－32．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x+16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（ ） A ．﹣10B ．10C ．﹣16D ．163．已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是( ) A ．x 2-6x+8=0B ．x 2+2x-3=0C ．x 2-x-6=0D ．x 2+x-6=04．已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣3=0的两根为α与β，则11αβ+的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．25．设x 1，x 2是方程x 2+5x ﹣3=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ） A ．19B ．25C ．31D ．306．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）A ．7B ．11C ．12D ．167．若12,x x 与是方程22210x mx m m -+--=的两个根，且12121x x x x +=-，则m 的值为（ ） A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．18．方程ax 2＋bx －c ＝0(a ＞0，b ＞0，c ＞0)的两个根的符号为( ) A ．同号 B ．异号C ．两根都为正D ．不能确定二、解答题9．若关于x 的方程x 2+6x+m=0的一个根为3，求方程的另一个根及m 的值． 10．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋1＝0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k 的值． 11．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．12．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x n x n -+++=的两实数根．（1）若12(1)(1)28x x --=，求n 的值；（2）已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若1x 、2x 恰好是△ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长．13．已知关于x 的方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，是否存在这样的实数k ，使得|x 1|－|x 2|立？若存在，求出这样的k 值；若不存在，请说明理由．三、填空题14．已知x 1 ， x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+a=0的两个实数根，且x 12﹣x 22=10，则a=____．15．已知α ，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足11αβ+=﹣1，则m 的值是____．参考答案1．D【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1•x2=-3，此题得解．【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1•x2=-3．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．2．A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【详解】∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，∴x1+x2=-10．故选A．3．D【解析】2-3=-1，2()36⨯-=-，利用韦达定理知，x2+x-6=0.所以选D.4．A【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数关系得知:α＋β=-=3,α⋅β==-3,所求式子化为（α＋β）÷（α⋅β）=3÷（-3）=-1.故本题选A.考点：一元二次方程根与系数关系.5．C【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解． 【详解】解：∵x 1，x 2是方程x 2+5x ﹣3=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣5，x 1x 2=﹣3，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+6=31． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 6．D 【解析】试题解析：：∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2-2tx+t 2-2t+4=0的两实数根， ∴m+n=2t ，mn=t 2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n ）+4=t 2+2t+8=（t+1）2+7． ∵方程有两个实数根，∴△=（-2t ）2-4（t 2-2t+4）=8t-16≥0， ∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16． 故选D ．点睛：由根与系数的关系可得出m+n=2t 、mn=t 2-2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n ）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t 的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值． 7．D 【解析】试题分析：根据一元二次方程的韦达定理可得：122m bx x a+=-=，212m 1cx x m a==--，则根据题意可知：()22m 1m 1m =---，解得：1221m m ，=-=；根据根的判别式可得：()()2224ac 2m 4m 10b m -=----≥，解得：m 1≥-；综上所述m=1，故选D ．8．B 【解析】【分析】首先由△=b2+4ac＞0，可知方程有两个不等的实数根，再由x1x2=-ca＜0可知两根异号．【详解】∵ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0），∴△=b2+4ac＞0，∴方程有两个不等的实数根，设方程ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根为x1，x2，∵x1x2=-ca＜0，∴两根异号．故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a ，x1•x2=ca．同时考查了根的判别式．9．29-+【解析】试题分析：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到+t=-6，（）t=m，先计算出t的值，然后计算m的值．试题解析：设方程的另一个根为t，根据题意得3+t=﹣6，（3）t=m，所以t=﹣，所以m=（3）（﹣）=﹣．10．k＝－2.【解析】【分析】设方程的两根为x 1，x 2，根据根的判别式得到△=（2k-1）2-4（k 2+1）≥0，解得k≤-34，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1x 2=k 2+1，则1-2k=k 2+1，可解得k 1=0，k 2=-2，然后根据k 的取值范围可确定满足条件的k 的值． 【详解】设方程的两根为x 1，x 2，根据题意得△=（2k-1）2-4（k 2+1）≥0，解得k≤-34， x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1x 2=k 2+1， ∵方程的两根之和等于两根之积， ∴1-2k=k 2+1 ∴k 2+2k=0， ∴k 1=0，k 2=-2， 而k≤-34， ∴k=-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=ca．也考查了一元二次方程根的判别式． 11．（1）94k >-（2）132x +=，232x -=【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)4()k ---＞0．即 49k >-，解得，94k >-． （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=．解得，1x =，2x = （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+= ，解得，11x =，22x =．）12．（1）6；（2）17. 【分析】（1）根据根与系数的关系得()1221x x n +=+，2125x x n =+，接着利用12(1)(1)28x x --=，解得126,4n n ==-,根据判别式的意义b 2-4ac≥0可得n≥2，于是可得n 的值；（2）分类讨论：若7为底，即12x x =时，根据判别式得到n=2，方程化为2690x x -+=，解得123x x ==，根据三角形三边的关系，n=2舍去；若7为腰，即17x =时，把x=7代入方程得49-14(n+1)+n 2+5=0，解得124,10n n ==，当4n =时，()1221x x n +=+=10，解得23x =，则三角形的周长为3+7+7=17；当10n =时，由根与系数的关系得()1221x x n +=+=22，解得215x =，根据三角形的三边关系，10n =舍去．【详解】解：（1）由题意得：()1221x x n +=+，2125x x n =+∴2121212(1)(1)()152(1)128x x x x x x n n --=-++=+-++=解得：126,4n n ==-∵1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x n x n -+++=的两实数根，∴()()222421450b ac n n ⎡⎤∆=-=-+-+≥⎣⎦得：2n ≥∴6n =（2）①当7为底，即12x x =时，则240b ac -=， 即()()222421450b ac n n ⎡⎤∆=-=-+-+=⎣⎦解得2n =把n=2代入方程得2690x x -+= ∴123x x == ∵3+3＜7（舍去）②当7为腰，，即17x =时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n 2+5=0， 解得124,10n n ==当4n =时，()1221x x n +=+=22， 解得123,7x x ==，∴三角形的周长为3+7+7=17； 当10n =时，()1221x x n +=+=10， 解得1215,7x x == ∵7+7＜15（舍去） 综上，三角形的周长为17． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式等知识．牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于ca”是解题的关键． 13．（1） k ＞74；（2）4．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k 的不等式求解可得；（2）由韦达定理知x 1+x 2=2k ﹣1，x 1x 2=k 2﹣2k +2=（k ﹣1）2+1＞0，可以判断出x 1＞0，x 2＞0．将原式两边平方后把x 1+x 2、x 1x 2代入得到关于k 的方程，求解可得． 【详解】解：（1）由题意知△＞0，∴[﹣（2k ﹣1）]2﹣4×1×（k 2﹣2k +2）＞0，整理得：4k ﹣7＞0，解得：k 74＞；（2）由题意知x 1+x 2=2k ﹣1，x 1x 2=k 2﹣2k +2=（k +1）2+1＞0，∴x 1，x 2同号． ∵x 1+x 2=2k ﹣1＞7214⨯-=52，∴x 1＞0，x 2＞0．∵|x 1|﹣|x 2|=，∴x 1﹣x 2=x 12﹣2x 1x 2+x 22=5，即（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=5，代入得：（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣2k +2）=5，整理，得：4k ﹣12=0，解得：k =3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键． 14．214【解析】∵12x x 、是关于x 的一元二次方程250x x a -+=的两个实数根， ∴12125x x x x a +=⋅=，，又∵22121212()()10x x x x x x -=+-=，∴122x x -=，又∵12x x -==2=，解得：214a =. 点睛：（1）若关于x 的一元二次方程2(0)0 ax bx c a ++=≠的两根分别是12x x 、，则：1212cx x a x x a+=-⋅=，；（2）当120x x ->时，12x x -=15．3. 【分析】可以先由韦达定理得出两个关于α、β的式子，题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子，即可求解. 【详解】得α+β=-2m-3，αβ=m 2，又因为211+-2m-3+===-1mαβαβαβ，所以m 2-2m-3=0，得m=3或m=-1，因为一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，所以△>0，得（2m+3）2-4×m2=12m+9>0，所以m＞4-3，所以m=-1舍去，综上m=3.【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是解决本题的关键.。
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习题
2018-2019北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若方程32x -4x-4=0的两个实数根分别为1x ，2x ，则12x x + =（ ） A ．-4B ．3C ．−43D ．432．设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个根，则αβ的值是( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－13．一元二次方程2320x x =－－的两根分别为12x x ，，则下列结论正确的是( ) A ．1212x x =-=， B ．1212x x ==-， C ．123x x =＋D ．122x x =4．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( ) A ．14B ．－14C ．4D ．－15．对于任意的非零实数m ，关于x 的方程x 2－4x －m 2＝0的根的情况是( ) A ．有两个正实数根 B ．有两个负实数根C ．有一个正实数根，一个负实数根D ．没有实数根6．已知关于x 的一元二次方程x 2-(m-1)x-(2m-2)=0的两根之和等于两根之积，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-2二、填空题7．已知关于x 的方程2x mx 60+-=的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ▲ ．8．如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝____，x 1x 2＝____． 9．已知关于x 的方程x 2+x+2a ﹣1＝0的一个根是0，则a ＝_____．10．方程x 2－2x －3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程________________________．11．设x 1，x 2是方程x 2-4x+m=0的两个根，且x 1+x 2-x 1x 2=1,则x 1+x 2=____，m=____.12．若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋k 2＝0的两根互为倒数，则k ＝____． 13．已知a ，b 是方程x 2－x －3＝0的两个根，则代数式5a 2＋b 2－5a －b ＋5的值为________．14．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积： (1) 3x 2－1＝0，x 1＋x 2＝ _______ ，x 1·x 2＝ _______ ； (2) x 2－6x ＝0，x 1＋x 2＝ _______ ，x 1·x 2＝ _______15．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．16．已知关于x 的方程x 2﹣3x +m =0的一个根是1，则m =______，另一个根为______．三、解答题17．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2＋4x ＝0； (2)2x 2－3x ＝5.18．已知关于x 的方程x 2+x+n=0有两个实数根﹣2，m ．求m ，n 的值．19．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，求a 的值．20．关于x 的方程2x 2－(a 2－4)x －a ＋1＝0. (1)a 为何值时，方程的一根为0? (2)a 为何值时，两根互为相反数？21．学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x 1，x 2，就能快速求出11x ＋21x ，x 12＋x 22，…的值了．比如设x 1，x 2是方程x 2＋2x －3＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－3，得11x ＋21x ＝1212x x x x ＝23.”(1)小亮的说法对吗？简要说明理由；(2)写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和． 22．已知关于x 的一元二次方程m x 2－2m x ＋m －2＝0. (1)若方程有两个实数根，求m 的取值范围；(2)设方程的两实根为x 1，x 2，且|x 1－x 2|＝1，求m 的值．参考答案1．D 【解析】试题分析：如果一元二次方程a+bx+c=0的两根为和，则+=，=，根据方程可得：+=.考点：韦达定理 2．D 【解析】试题分析：∵α、β是一元二次方程x 2+2x −1=0的两个根，∴αβ=−11=-1，故选D ．考点：根与系数的关系． 3．C 【分析】根据根与系数的关系找出"1212+=-3,2b cx x x x a a===-”,再结合四个选项即可得出结论 【详解】∵方程2320x x =－－的两根为12x x ，， ∴1212+=-3,2b cx x x x a a===- ∴C 选项正确. 故选C 【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于掌握运算法则 4．A 【分析】根据根与系数的关系和已知x 1+x 2和x 1•x 2的值，可求a 、b 的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根， ∴x 1+x 2=﹣a=﹣2，x 1•x 2=﹣2b=1，解得a=2，b=12 -，∴b a=（12-）2=14．故选A．5．C【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．【详解】∵a=1，b=-4，c=-m2，∴△=b2-4ac=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0又∵根据根与系数的关系两根的和是4，且积是-m2＜0．∴方程有一个正实数根，一个负实数根．故选：C【点睛】本题考核知识点：一元二次方程根判别式.解题关键点：熟记根判别式.6．A【解析】x1+x2=m-1，x1·x2=-2m+2,m-1=-2m+2,∴m=1.所以选A.7．－3．【解析】∵方程2x mx60+-=的一个根为2，设另一个为a，∴2a=－6，解得：a=－3．8．－baca【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系的知识，可以填空.【详解】如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.故答案为：(1). －ba(2).ca【点睛】本题考核知识点：根与系数关系.解题关键点：熟记根与系数关系.9．1 2 .【分析】把x=0代入方程可得．【详解】解：把x=0代入方程可得：2a－1＝0，解得a=12．故答案为1 2【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的根.解题关键点：解一元一次方程．10．x2－x－6＝0(答案不唯一)【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，利用一元二次方程根与系数的关系可以求出该方程．【详解】设该方程为ax2+bx+c=0，x1+x2=-ba，x1•x2=ca，方程的两根为-2和3，则-ba=-（-2+3）=-1，ca=（-2）×3=-6，如果a=1，则b=-1，c=-6， 则该方程为x 2-x-6=0． 答案不唯一． 故可以填x 2-x-6=0．故答案为：x 2－x －6＝0(答案不唯一) 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，先设出一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系可求出方程． 11．4 3 【详解】解：∵12x x ，是方程240x x m -+=的两个实数根， ∴12124x x x x m +=⋅=，. 又∵12121x x x x +-⋅=， ∴41m -=，解得：3m =． 故答案为：4；3． 12．-1 【解析】x 1x 2= k 2=1,k =1±.k=1时，0<，舍去.所以k =-1. 13．23 【解析】由题意得，a 2-a-3=0，b 2-b-3=0，∴a 2-a=3，b 2-b=3， ∴5a 2+b 2-5a-b+5=5(a 2-a)+(b 2-b)+5=5×3+3+5=23， 故答案为23. 14．0 －136 0 【解析】 【分析】如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a.（1）根据根与系数的关系得：x1+x2=0，x1•x2=-－13．（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=0．故答案为：(1). 0 (2). －13(3). 6 (4). 0【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.15．x2－5x+6=0（答案不唯一）【解析】试题分析：已知直角三角形的面积为3，则两直角边长可以分别是2，3；1，6；…只要二者的积等于6即可．当直角边长分别为2、3时，根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2－5x+6=0；当直角边长分别为1、6时，根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2－7x+6=0；…（答案不唯一）．16．2 2【解析】试题分析：∵关于x的方程x2−3x+m=0的一个根是1，∴12−3⋅1+m=0⇒m=2.∴关于x的方程为x2−3x+2=0，解得x1=1,x2=2.∴m=2，另一个根为2.考点：1.方程的根；2.解一元二次方程.17．(1) x1＋x2＝－4,x1x2＝0 ;(2) x1＋x2＝32,x1x2＝－52【解析】【分析】如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.【详解】解：(1) x1＋x2＝－4,x1x2＝0 ;(2) x1＋x2＝32,x1x2＝－52本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca. 18．m=1，n=-2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n ，据此易求m 、n 的值. 【详解】解：∵关于x 的方程x 2+x+n=0有两个实数根﹣2，m ， ∴{−2+m =−1−2m =n ，解得，{m =1n =−2∴m ，n 的值分别是1、﹣2 19．a ＝－4 【解析】 【分析】根据：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca. 求出：m+n,mn 的值,再代入整理后的式子. 【详解】解:∵(m －1)(n －1)＝－6， ∴mn －(m ＋n)＋7＝0.又∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解， ∴m ＋n ＝3，mn ＝a. ∴a －3＋7＝0.解得a ＝－4 【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca. 20．(1)a=1;(2)a=2 【解析】 【分析】(1)把x=0代入方程，可求a;（2）设方程的两根分别为x1，x2，两根互为相反数，则x1＋x2＝0.【详解】(1)由方程的一根为0可得：＝0，∴a＝1(2)设方程的两根分别为x1，x2，∵两根互为相反数，∴x1＋x2＝0.∴＝0，∴a＝±2.∵当a＝－2时，方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0无解，∴a＝2.【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.21．(1)小亮的说法不对,理由见解析；（2）答案不唯一，详见解析【解析】【分析】根据：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.注意分式的分母不能等于0.【详解】(1)小亮的说法不对．若有一根为零时，就无法计算＋的值了，因为零作除数无意义(2)答案不唯一，如：一元二次方程x2－5x－6＝0.设方程的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝5，x1·x2＝－6.又∵x12＋x22＋2x1x2－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2，将x1＋x2＝5，x1·x2＝－6代入，得x12＋x22＝52－2×(－6)＝37【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.22．（1）m>0；（2）m＝8.【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0有两个实数根，得出m≠0且（-2m）2-4•m•（m-2）≥0，求出m的取值范围即可；（2）根据方程两实根为x1，x2，求出x1+x2和x1•x2的值，再根据|x1-x2|=1，得出（x1+x2）2-4x1x2=1，再把x1+x2和x1•x2的值代入计算即可．【详解】解：(1)∵关于x的一元二次方程m x2－2m x＋m－2＝0有两个实数根，∴m≠0且Δ≥0，即(－2m)2－4m(m－2)≥0，解得m≥0，∴m的取值范围为m>0.(2)∵方程的两实根为x1，x2，∴x1＋x2＝2，x1x2＝.∵|x1－x2|＝1，∴(x1－x2)2＝1，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝1，即22－4×＝1，解得m＝8，经检验m＝8符合题意，∴m的值为8.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．。
北师大版-数学-九年级上册-2.5一元二次方程的根与系数的关系同步测试
北师⼤版-数学-九年级上册-2.5⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系同步测试⼀元⼆次⽅程根与系数的关系考试总分： 100 分考试时间：90分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ ⼀、选择题（共 10 ⼩题，每⼩题 3 分，共30 分）1.若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+2x +k =0⽆实数根，则k 值可以是（） A.?5B.0C.1D.32.⼀元⼆次⽅程2x 2+1=2√2x 的根的情况是（） A.只有⼀个根 B.有两个不等的实数根 C.有两个相等的实数根D.⽆实数根3.已知实数a ，b 分别满⾜a 2?6a +4=0，b 2?6b +4=0，且a ≠b ，则a 2+b 2的值为（） A.36B.50C.28D.254.若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+bx +c =0的两个实数根分别为x 1=?2，x 2=4，则b +c 的值是（） A.?10B.10C.?6D.?15.⽅程3x 2?2=1?4x 的两个根的和为（） A.43B.13C.?23D.?436.关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+2(m ?1)x +m 2=0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1+x 2>0，x 1x 2>0，则m 的取值范围是（）A.m ≤12B.m ≤12且m ≠0C.m <1D.m <1且m ≠07.已知关于x 的⽅程ax 2+bx +c =0的两根分别为?3和1，则⽅程bx 2+cx +a =0的两根为（） A.?13和1 B.12和1 C.13和?1D.?12和?18.⽅程x 2?(m +6)x +m 2=0有两个相等的实数根，且满⾜x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（） A.?2或3 B.3 C.?2D.?3或29.⼀元⼆次⽅程(x +1)2+2016=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有⼀个实数根D.⽆实数根10.对于⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0，有9a+3b+c=0和4a?2b+c=0成⽴，则b+ca 的值为（）A.7B.?7C.5D.?5⼆、填空题（共 10 ⼩题，每⼩题 3 分，共 30 分）11.如果关于x的⽅程3x2?mx+3=0有两个相等的实数根，那么m的值为________．12.关于x的⼀元⼆次⽅程(a?1)x2?2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的范围是________．13.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+x?k=0的⼀个根是x=1，则另⼀个根是________．14.已知α、β是关于x的⼀元⼆次⽅程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满⾜β=?α(1+β)，则m的值是________．15.关于x的⼀元⼆次⽅程(m?1)x2?mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．16.若⼀个⼀元⼆次⽅程的两个根分别是1、3，请写出⼀个符合题意的⼀元⼆次⽅程________．17.设⼀元⼆次⽅程x2?3x?1=0的两根为m，n，则mn=________．18.若关于x的⼀元⼆次⽅程mx2+3x+4=0有实数根，则m的取值范围是________．19.⽅程6+3x=9?(x?2)2的根的判别式的值是________．+20.已知⾮零实数a，b(a≠b)满⾜a2+a?2015=0，b2+b?2015=0，则1a1=________．b三、解答题（共 5 ⼩题，每⼩题 8 分，共 40 分）21.已知，关于x的⼀元⼆次⽅程x2?2x?m=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若a，b是此⽅程的两个根，且满⾜(a2?2a+2)(2b2?4b?1)=3，求m的值．22.已知关于x的⼀元⼆次⽅程mx2?(m?1)x?1=0．(1)求证：这个⼀元⼆次⽅程总有两个实数根；(2)若x1，x2是关于x的⼀元⼆次⽅程mx2?(m?1)x?1=0的两根，且x2x1+x1x2=2x1x2+1，求m的值．23.已知关于x的⼀元⼆次⽅程(x?m)2+6x=4m?3有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设⽅程的两实数根分别为x1，x2，求代数式3x1x2?(x1+x2)2的最⼤值．24.(1)填空：我们知道⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1，x2，则x1+x2=________，x1x2=________24.(2)请运⽤上⾯你发现的结论，解答问题：已知x1，x2是⽅程x2?x?1=0的两根，不解⽅程求下列式⼦的值：①x12+x22；②(x1+1)(x2+1)；(3)α、β是关于x的⽅程4x2?4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满⾜(α?1)(β?1)?1=9100，求m的值．25.已知：关于x的⽅程x2?(k+3)x+3k=0的两根为α，β．(1)是否存在实数k使1α+1β=23成⽴？若成⽴，求k的值；若不成⽴，说明理由；(2)若Rt△ABC的⼀边长为4，另两边长恰好是此⽅程的两根α，β，求Rt△ABC的周长．答案1.D2.C3.C4.A5.D8.C9.D10.B11.±612.a<2且a≠113.?214.15.m≠2且m≠116.x2?4x+3=017.?118.m ≤916且m ≠019.?3 20.1201521.解：(1)根据题意得△=(?2)2?4(?m)≥0，解得m ≥?1；(2)∵a ，b 是此⽅程的两个根，∴a 2?2a ?m =0，b 2?2b ?m =0，∴a 2?2a =m ，b 2?2b =m ，∴(m +2)(2m ?1)=3，整理得2m 2+3m ?5=0，解得m 1=?52，m 2=1，∵m ≥?1，∴m 的值为1．22.(1)证明：由题意得，m ≠0，△=(m ?1)2?4m ×(?1)=(m +1)2，∵(m +1)2≥0，即△≥0，故这个⼀元⼆次⽅程总有两个实数根；(2)解：x 1+x 2=m?1m，x 1x 2=?1m，∵x2x 1+x 1x 2=2x 1x 2+1，∴(x 1+x 2)2?2x 1x 2x 1x 2=2x 1x 2+1，∴(m?1m )2?2?(?1=2?(?1m)+1，整理得，m 2+m ?1=0，∴m =1+√52或m =1√52．23.解：(1)关于x 的⼀元⼆次⽅程(x ?m)2+6x =4m ?3可化为x 2?(2m ?6)x +m 2?4m +3=0，∵此⽅程有实数根，∴△≥0，即△=?4(m 2?4m +3)=?8m +24≥0，解得m ≤3；(2)∵⽅程的两实数根分别为x 1，x 2，∴x 1x 2=m 2?4m +3，x 1+x 2=2m ?6，∴3x 1x 2?(x 1+x 2)2=3(m 2?4m +3)?(2m ?6)2=3m 2?12m +9?4m 2?36+24m =?m 2+12m ?15，∴最⼤值为4×(?1)×(?15)?1224×(?1)=60?144?4=21．24.?b a ca (2)∵x 1，x 2是⽅程x 2?x ?1=0的两根，∴x 1+x 2=1，x 1x 2=?1，①x 12+x 22=(x 1+x 2)2?2x 1x 2=1+2=3；②(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=?1+1+1=1．(3)∵α、β是关于x 的⽅程4x 2?4mx +m 2+4m =0的两个实根，∴α+β=m ，αβ=m 2+4m4，∵(α?1)(β?1)?1=9100，∴αβ?(α+β)+1?1=9100，即：m 2+4m4?m =9100，化简得：m 2=925故m =±35，⼜△=16m 2?16m 2?16m ≥0，解得：m ≤0，故m =?35． 25.解：(1)存在．∵α+β=k +3，αβ=3k ，⽽1α+1β=23，∴α+βαβ=23，∴k+33k =23，解得k =3，当k =3时△=0，∴实数k =1使1α+1β=23成⽴；(2)解⽅程x 2?(k +3)x +3k =0得α=k ，β=3，当4为斜边时，α2+β2=42，即k 2+32=16，解得k 1=√7，k 2=?√7（舍去），此时Rt △ABC 的周长=4+3+√7=7+√7；当4为直⾓边时，42+β2=k 2，即k 2+32=16，解得k 1=5，k 2=?5（舍去），此时Rt △ABC 的周长=4+3+5=12．。
九年级数学上册第二章《一元二次方程》2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习新版北师大版
5一元二次方程的根与系数的关系知识点 1利用根与系数的关系求代数式的值1．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋ x2的值是()A．－10 B ．10 C ．－ 16 D ．162．2017·怀化若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则 x1·x2的值是() A．2 B ．－2 C．4 D ．－33．设x 1， 2 是一元二次方程x2－2x－ 3＝0 的两个根，则x12＋22的值为() x xA．6 B ．8 C ．10 D ．124．若方程x2－ 3x－4＝ 0 的两根分别为x1和 x2，则1＋1的值是 ()x1x234A．1 B．2 C．－ D．－345．若x1，x2是一元二次方程2x2－ 5x＋ 1＝0 的两个根，利用根与系数的关系求以下各式的值：(1)( x1－3)( x2－ 3) ；(2)( x1＋1) 2＋ ( x2＋ 1) 2 .知识点 2利用根与系数的关系求方程的根及待定字母的值6．教材习题 2.8 第 3 题变式题若关于x 的方程 x2－2x＋m＝0的一个根为－1，则另一个根为()A．－3 B ．－1 C．1 D．37．已知关于x的一元二次方程x2＋ mx＋ n＝0的两个实数根分别为x1＝－2， x2＝4，则m＋ n 的值是()A．－10 B ．10 C．－6 D．28．2017·呼和浩特已知关于x 的一元二次方程x2＋ (a2－2 )＋a－ 1＝ 0 的两个实数根a x互为相反数，则 a 的值为()A．2 B ．0C．1 D．2或09．若关于x的方程x2＋ ( k－ 2) x＋k2＝ 0 的两根互为倒数，则k＝________．10．若方程 3x2－ 8x＋m＝ 0 的两根之比为 3∶2，求m的值．11．一元二次方程x2－3x－1＝0与 x2－3x＋3＝0的全部实数根的和等于() A．－3 B ．－6 C．6 D．312．若关于x 的一元二次方程的两个实数根为x1＝1， x2＝2，则这个方程是() A．x2＋ 3x－ 2＝ 0 B ．x2－ 3x＋ 2＝ 0C．x2－ 2x＋ 3＝ 0 D ．x2＋ 3x＋ 2＝ 013．2017·仙桃若α，β为方程2x2－5x－ 1＝ 0 的两个实数根，则2α2＋ 3αβ＋ 5β的值为()A．－13 B ．12 C ．14 D ．1514．已知实数a，b满足a2－ 6a＋ 4＝ 0，b2－ 6b＋4＝ 0，且a≠b，则ba＋ab的值是 ________．15．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx ＋t 2－2t ＋4＝0的两实数根，求( m＋2)( n ＋2) 的最小值．16．已知关于x 的一元二次方程x2＋3x－ m＝0有实数根．(1)求 m的取值范围；2 2(2)若两实数根分别为 x1和 x2，且 x1＋ x2＝11，求 m的值．17．已知关于x 的一元二次方程x2＋2x＋ k＋1＝0的实数根是x1和 x2.(1)求 k 的取值范围；(2)假如 x1＋ x2－ x1x2＜－1且 k 为整数，求 k 的值．18．已知关于x的一元二次方程k2x2＋(2 k－ 1) x＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根x1， x2.(1)求 k 的取值范围；(2)k 为什么值时， x1与 x2互为倒数？19．已知关于x的一元二次方程22x －( m－3) x－m＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为 x1， x2，且| x1|＝| x2|－2，求 m的值及方程的根．2220. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x－ 2( m＋ 1) x＋m＋ 5＝ 0的两个实数根．(1)若 ( x1－ 1)( x2－ 1) ＝ 28，求m的值；(2)已知等腰三角形 ABC的一边长为7，若 x1，x2恰好是△ ABC其余两边的长，求这个三角形的周长．1． A3．C 4．C1 2 51 215．解：依据题意，得 x ＋x ＝ 2， x x ＝ 2.1 5(1)( x 1－3)( x 2－ 3) ＝x 1x 2－ 3( x 1＋x 2) ＋ 9＝ 2－3× 2＋ 9＝2.(2)(x2x 2＋ 1) 2 ＝ 1 2 x 1＋ 1＋ 2 ＋ 2 2＋ 1＝ 2 2x1＋ 2) ＋2＝(x1＋2 －1＋1) ＋( ＋2 2 1 ＋ 2 ＋ 2( 2)x x x x x xx2x x ＋2( x5 2 1 5 11＋ x ) ＋ 2＝ ( 2)－2× 2＋2× 2＋ 2＝ 124.1 226． D 7． A 8． B 9．－ 110．解：设方程的两根分别为3n ， 2n ，8 2m8 ∴ 5n ＝ 3， 6n ＝ 3，∴ n ＝ 15，282128∴ m ＝ 18n ＝18×(15) ＝ 25 .11． D12． B ．13．B . 14． 715．解：∵ m ，n 是关于 x 的一元二次方程 x 2 －2tx ＋t 2 －2t ＋ 4＝0 的两实数根，∴ m ＋ n ＝ 2t ， mn ＝ t 2－ 2t ＋4，∴ ( m ＋2)( n ＋ 2) ＝ mn ＋ 2( m ＋ n ) ＋4＝ t 2－ 2t ＋ 4＋2×2t ＋ 4＝ t 2＋2t ＋ 8＝ ( t ＋ 1) 2＋ 7.∵方程有两个实数根，∴＝( － 2t ) 2－ 4( t 2－ 2t ＋ 4) ＝ 8t －16≥0，∴t ≥2，∴( t＋1) 2＋7≥(2 ＋ 1) 2＋ 7＝16.即 ( m＋2)( n＋ 2) 的最小值是 16.16．解： (1) ∵关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有实数根，∴＝32＋ 4m≥0，9解得 m≥－4.(2) 由根与系数的关系，得x 1＋x2＝－3， 12＝－，x x m222· x2＝11，而 x1＋ x 2 ＝(x1＋x2) － 2x1∴( －3) 2＋2＝ 11，m解得 m＝1.17．解： (1) ∵方程有实数根，∴b2－4ac＝22－4( k＋1)≥0，解得 k≤0.(2)依据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋ x2＝－2，x1x2＝ k＋1，则 x1＋ x2－ x1x2＝－2－ ( k＋ 1) ．由已知，得－2－ ( k＋ 1) ＜－ 1，解得 k＞－2.又由 (1) 得k≤0，∴－ 2＜k≤0.∵ k 为整数，∴ k 的值为－1或0.18．解： (1) 依题意，得 (2 k－ 1) 2－ 4k2>0，且k≠0，1解得 k<且 k≠0.411(2) 由x1·x2＝k2＝ 1，得k＝± 1，而k<4且k≠ 0，因此k＝－ 1.19 (1) 证明：一元二次方程22中，x －( m－3) x－ m＝02∵ a＝1， b＝－( m－3)＝3－ m， c＝－ m，22223∴ b －4ac＝(3－ m)－4×1×(－ m)＝5m－6m＋9＝5( m－5)∴方程总有两个不相等的实数根．236＋5＞0，c2(2) 由根与系数的关系，得x1· x2＝a＝－ m≤0， x1＋x2＝ m－3.∵| x1| ＝| x2| － 2，∴ | x1| －| x2| ＝－ 2.若 x1≥0， x2≤0，上式化简得x1＋ x2＝－2，∴m－3＝－2，即 m＝1，方程化为 x2＋2x－1＝0，解得 x1＝－1＋2，x2＝－ 1－2；若 x1≤0， x2≥0，上式化简得－( x1＋x2) ＝－ 2，∴x1＋ x2＝m－3＝2，即 m＝5，方程化为 x2－2x－25＝0，解得 x1＝1－26， x2＝1＋26.22的两个实数根，20．解： (1) ∵x1，x2是关于x的一元二次方程x－2( m＋ 1) x＋m＋ 5＝02∴ x1＋ x2＝2( m＋1)，x1· x2＝ m＋5，2∴ ( x1－ 1)( x2－ 1) ＝x1·x2－ ( x1＋x2) ＋ 1＝m＋ 5－2( m＋ 1) ＋ 1＝ 28，解得 m＝－4或 m＝6.当m＝－4时，原方程无解，∴ m＝6.22有两个相等的实数根，(2) ①当 7 为底边长时，此时方程x－ 2( m＋ 1) x＋m＋ 5＝02 2∴＝4( m＋ 1) －4( m＋ 5) ＝0，解得 m＝2，∴方程变成x2－6x＋9＝0，解得 x1＝x2＝3.∵3＋ 3＜ 7，∴不可以构成三角形．②当 7 为腰长时，设x1＝ 7，2代入方程得49－ 14( m＋ 1) ＋m＋ 5＝ 0，解得 m＝10或 m＝4.当 m＝10时，方程变成 x2－22x＋105＝0，解得 x＝7或 x＝15.∵7＋ 7＜ 15，∴不可以构成三角形；当 m＝4时，方程变成 x2－10x＋21＝0，解得 x＝3或 x＝7.∵3＋ 7>7，∴能构成三角形．此时三角形的周长为 7＋7＋ 3＝ 17.即这个三角形的周长为17.。
2.5一元二次方程根与系数的关系-北师大版九年级数学上册同步练习
北师大版数学九年级上册第二章第5节一元二次方程根与系数的关系同步练习1．若x 1、x 2是一元一次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是 ( )A ．1B ．5C ．－5D ．62．若x 1、x 2是一元一次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则x 1·x 2的值是 ( )A ．－1B ．－2C ．1D ．23．以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2＋x －6＝0B ．x 2＋x ＋6＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2－x ＋6＝04．已知x 2－(m －1)x －(2m －2)＝0两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）A ．1B ．—1C ．2D ．—25．已知方程3x 2－5x －7＝0的两根为x 1、x 2，则下列各式中正确的是 ( )A ．x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝7B ．x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝－7C ．x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝－73D ．x 1＋x 2＝－53，x 1·x 2＝－736．设方程x 2＋x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α＋β﹣αβ的值等于（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．37．关于x 的一元二次方程x 2＋（a 2﹣3a ）x ＋a ＝0的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．0C ．1D ．﹣3 或 08．关于x 的一元二次方程2x 2＋kx ﹣4＝0的一个根x 1＝﹣2，则方程的另一个根x 2和k 的值为（）A ．x 2＝1，k ＝2B ．x 2＝2，k ＝2C ．x 2＝1，k ＝﹣1D ．x 2＝2，k ＝﹣19．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x ＋2p ＝0的一个根为1，则另一根为（ ）A ．﹣6B ．2C ．4D ．110．已知m 、n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两个实数根，则1m +1n ＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．﹣1311．一元二次方程x 2－4x －c ＝0的一个根是3，则c ＝_________，另一个根是_________．12．一元二次方程x 2－x －3＝0两根的倒数和等于__________．13．关于x 的方程x 2＋px ＋a ＝0的根为x 1＝1＋2，x 2＝1－2，则p ＝______，q ＝____．14．若x 1、x 2是方程x 2－5x －7＝0的两根，那么（1）x 2 1＋x 2 2＝________；（2）(x 1－x 2)2＝__________；15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 1x 2＋ x 2x 1＝ ． 16．利用方程的根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积：（1）x 2－3x －5＝0 （2）2x 2＋5x －5＝017．已知x 1、x 2是一元二次方程2x 2－2x ＋1－3m ＝0的两个实数根，且x 1·x 2＋2(x 1＋x 2)＞0，求实数m的取值范围．18．已知实数a 、b 满足等式a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，求b a ＋a b的值．19．已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个长方形形两邻边的长． （1）k 为何值时，方程有两个实数根；（2）当该长方形形的对角线长为5时，求k ．（3）当k为何值时，矩形变为正方形？20．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12＋x22＝12，求m的值．21．已知：关于x的一元二次方程x2＋πx﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．22．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ＋k ＋2＝0的两个实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得等式1x 1＋1x 2＝k ﹣2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由．答案1．B2．B3．C4．A5．C6．C7．C8．A9．C10．B11．－3；112．－1313．－2；－114．39；5315．10；16．（1）x 1＋x 2＝3，x 1•x 2＝-5；（2）x 1＋x 2＝-52，x 1•x 2＝-52． 17．解：∵x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣2x ＋1﹣3m ＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1•x 2＝1－3m 2． 又∵x 1﹣x 2＋2（x 1＋x 2）＞0，∴1－3m 2＋2＞0 解得：m ＜53（4分）， 又∵原方程有实数根，∴b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×2×（1﹣3m ）＝4﹣8＋24m ＝﹣4＋24m ≥0，∴m ≥16（7分） ∴16≤m ＜53（8分） 18解：当a ＝b 时，原式＝1＋1＝2；当a ≠b 时，可以把a 、b 看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，∴a ＋b ＝2，ab ＝﹣1，∴b a ＋a b ＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝4＋2－1＝﹣6． 综上所述：b a ＋a b的值为2或﹣6． 19．解：（1）△＝[﹣（k ＋1）]2﹣4×1×（14k 2＋1）＝2k ﹣3， ∵方程有两个实数根，∴△≥0，即2k ﹣3≥0，解得：k ≥32， ∴当k ≥32时，方程有两个实数根．（2）设方程x 2﹣（k ＋1）＋14k 2＋1＝0的两根分别为a 、b ， 则a ＋b ＝k ＋1，ab ＝14k 2＋1， ∵矩形的对角线长为5，即a 2＋b 2＝5，∴a 2＋b 2＝（a ＋b ）2﹣2ab ＝（k ＋1）2﹣2×（14k 2＋1）＝5， 整理得：k 2＋4k ﹣12＝0，解得：k ＝2或k ＝﹣6（舍去）． ∴当矩形的对角线长为5时，k 的值为2．（3）当矩形为正方形时，方程两根相等，∴△＝2k ﹣3＝0，解得：k ＝32． ∴当k 为32时，矩形变为正方形． 20．解：（1）根据题意得：△＝（2m ）2﹣4（m 2＋m ）＞0，解得：m ＜0．∴m 的取值范围是m ＜0．（2）根据题意得：x 1＋x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝m 2＋m ，∵x 12＋x 22＝12，∴(x 1＋x 2)2﹣2x 1x 2＝12，∴（﹣2m ）2﹣2（m 2＋m ）＝12，∴解得：m 1＝﹣2，m 2＝3（不合题意，舍去），∴m 的值是﹣2．21．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根， ∴△＝[π]2﹣4×1×（﹣2）＝m ＋8≥0，且m ≥0，解得：m ≥0．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根x 1、x 2， ∴x 1＋x 2＝﹣π，x 1•x 2＝﹣2，∴（x 1﹣x 2）2﹣17＝（x 1＋x 2）2﹣4x 1•x 2﹣17＝0，即m ＋8﹣17＝0， 解得：m ＝9．22．解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x ＋k ＋2＝0有两个实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k ＋2）≥0，解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ＋k ＋2＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝k ＋2．∵1x 1＋1x 2＝k ﹣2， ∴x 1＋x 2x 1·x 2＝2k+2＝k ﹣2， ∴k 2﹣6＝0，解得：k 1＝﹣6，k 2＝6．又∵k ≤﹣1，∴k ＝﹣6．∴存在这样的k 值，使得等式1x 1＋1x 2＝k ﹣2成立，k 值为﹣6．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（1）x 1＝，x 2＝；（2）x 1＝，x 2＝；（3）x 1＝，x 2＝；（4）x 1＝，x 2＝；（5）x 1＝，x 2＝；（6）x 1＝，x 2＝；。
北师大版-数学-九年级上册- 2.5一元二次方程的根与系数的关系 习题1
初中-数学-打印版初中-数学-打印版 《2.5一元二次方程的根与系数的关系》填空题与选择题：1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1，则a 、b 、c 的关系是______．2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____．3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+（2－αβ）2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 ．（其中二次项系数为1）4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ．5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______．6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）．AB 、3C 、6D 、97、已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根，则这个三角形的周长为（ ）．A ．11B ．17C ．17或19D ．198、已知x 1，x 2，是关于x 的方程222(2)210x m x m -++-=的两个实根，且满足22120x x -=，求m 的值．1、设x 1，x 2是一元二次方程22510x x -+=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x（3）112112+++x x x x （4）||21x x - （5）)31)(31(1221x x x x ++（6）3231x x + （7）21x x 2、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值．。
2 5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习北师大版九年级数学上册
北师大版九年级上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是（）A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣22. 已知方程，下列判断正确的是（）B．方程两实数根的积等于C．方程有两个不相等的实数根D．方程无实数根3. 已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（）A．B．C．D．4. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（）A．B．C．D．A．x﹣3x+2＝0 B．x+3x-2＝0 C．x+3x+2＝0 D．x﹣3x﹣2＝0 6. 一元二次方程的两实数根为，则的值为（）A．B．C．D．7. 设，是一元二次方程的两个根，那么的值等于（）A．B．C．D．A．0 B．7 C．13 D．69. 已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（）B．C．D10. 已知，是方程的两根，则代数式的值是（）A．B．C．D．二、填空题11. 关于x的方程有一个根为，则另一个根为 _____．12. 已知α、β是方程的两个根，则_______________．13. 方程的两根为，，则______．14. 已知方程的两根分别为、，则的值为______．三、解答题16. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．17. 先化简，再求值，其中，是方程的两个根．18. 关于x的一元二次方程有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若是方程的两个根，且，求m的值．19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围；(2)若满足，求a的值．。
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第二章一元二次方程 2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1．已知关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)(β＋3)等于( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
2. 设x1，x2是方程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则1
x1＋1
x2的值为( )
A. －4
B. －3
C. －2
D. －3
2
3. 若关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab等于( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
4. 已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为( )
A. 20
B. 22
C. 23
D. 25
5. 设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n等于( )
A. 9
B. 7
C. 5
D. 3
6. 已知一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1•x2=( )
A. 4
B. 3
C. -4
D. -3
7. 判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？( )
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
8. 若关于x的一元二次方程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是( )
A. a≥1
B. a＞1
C. a≤1
D. a＜1
9. 已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于( )
A. -3
B. 0
C. 3
D. 5
10. 如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=( )
A. -3
B. 3
C. -1
D. 1
11. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为
12. 设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则 =
13. 设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是
14. 若m，n是一元二次方程x2＝5x＋2的两个实数根，则m－mn＋n的值是
15. 关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是
16. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是
17. 已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为
18. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n －1)＝－6，则a＝
19. 若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为
20. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是_______，m的值是
_______
21. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______
22. 在解方程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得方程的根为x1＝1，x2＝－3；乙同学看错了q，解得方程的根为x1＝4，x2＝－2，则方程中的p＝______，q＝________．
23. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这
个直角三角形的斜边长是_________
24. 关于x 的一元二次方程（m-2）x 2
+2x+1=0有实数根，求m 的取值范围.
25. 设x 1，x 2是一元二次方程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值． (1)x 12＋x 22；
(2)x 2x 1＋x 1x 2；
(3)x 12
＋x 22
－3x 1x 2.
26. 若关于x 的一元二次方程x 2
－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．
27. 已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根． (1)求m 的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．
28. 关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2，若x12＋x22＝11，求实数k的值．
29. 已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
30. 已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.
(1)若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．
31. 已知关于x 的一元二次方程（x-1）（x-4）=p 2
，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
1—10 BDACC BCAAB 11. -2 12. 10 13. －1 14. 3 15. －1 16. 14
17. －1 18. －4 19. 3 20. 3 －4 21. m≤1 22. －2 －3 23. 3
24. 解：根据题意得m ﹣2≠0且△=22
﹣4（m ﹣2）×（﹣1）≥0，
解得m≥1且m≠2．
25. 解：由题意得：x 1＋x 2＝12，x 1·x 2＝－3
2. (1) x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(
12)2＋2×32＝134.
(2) x 2x 1＋x 1x 2＝x 12＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝13
4－3
2＝－136.
(3) x 12＋x 22－3x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－5x 1x 2＝(12)2＋5×32＝31
4.
26. 解; 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，①
x 1x 2＝k －3.②又∵x 1＝3x 2，③联立①，③解
方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，
x 2
＝1，∴k ＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝6.
27. 解; (1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m ＋1)≥0，解得m≤4.
(2)根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，所以2(2m ＋1)＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m 的范围为3≤m≤4.
28. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝k ＋2，x 1x 2＝2k ＋1.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝11，∴(k＋2)2－2(2k ＋1)＝11，∴k 2－9＝0，解得：k ＝±3.∵ 当k ＝3时，原方程为x 2－5x ＋7＝0，Δ＝－3＜0，故只取k ＝－3.
29. 解：(1)∵a=1，b=2m ，c=m 2
﹣1， ∴△=b 2
﹣4ac=（2m ）2
﹣4×1×（m 2
﹣1）=4＞0，
即方程有两个不相等的实数根； (2)∵x 2
+2mx+m 2
﹣1=0有一个根是3，
∴把x=3代入方程得：32
+2m×3+m 2
﹣1=0，整理得：m 2
+6m+8=0，
解得：m=﹣4或m=﹣2； 当m=﹣4时，另一根为5；当m=﹣2时，另一根为1． 30. (1)由题意得m≠0且(－2m)2－4m(m －2)>0，∴m>0.
(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －2
m
，又∵|x 1－x 2|＝1，∴(x 1－x 2)2＝1，
∴(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝1，即22
－4×m －2
m
＝1，∴m ＝8，经检验m ＝8是原方程的解，
且符合题意，∴m ＝8.
31. 解; （1）原方程可化为x 2
﹣5x+4﹣p 2
=0， ∵△=（﹣5）2
﹣4×（4﹣p 2
）=4p 2+9＞0，
∴不论p 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根，
（2）原方程可化为x 2
﹣5x+4﹣p 2
=0， ∵方程有整数解，∴
为整数即可，
∴p 可取0，2，﹣2时，方程有整数解．。