第二章 交流电机坐标变换.

0
L2
n 0 0
0 i1 0i2 LcIc Ln in
2-2: 循环矩阵的对角化
1. 电感矩阵的特点 2. 循环矩阵的对角化 3. 电感矩阵的对角化 4. 变换矩阵的一般化 5. 三阶循环对称电感矩阵的变换
2-2.1 电感矩阵的特点
#由于互感的对等性，电感矩阵是对 称矩阵：
LA M AB M AC M AN
a2e j1
a e (n1)(n1) jn1
a e (n1)(n2) jn2
an1e j1
e j0 e j0 e j0
e j0
式中ζ0， ζ1，…， ζn-1可以是常数，或是一个 变量，如时间t，的函数。
2-2.5 三阶循环对称电感矩阵的变换
对于一个三阶的循环矩阵，其变换矩阵为
F
1
1 a2
由于D，D2，…，Dn-1是对角矩阵，因此LT也是一个对角 矩阵：
LT
diag
LA LA
M
a n 1
AB
M
an2
AB
LA M ABa
M
a 2 ( n 1)
AC
M a(n1)(n1) AN
M
a2(n2)
AC
M a(n1)(n2) AN
M ACa2
M
a ( n 1)
AN
LA M AB M AC M AN
2-2.4 变换矩阵的一般化
若在生成特征向量时，不是令x1=1，而是令其等于 一个模为1的复数，则
Xk e jk 1 k
2k
n1 T k
由此得到更加一般化的变换矩阵
e jn1
e jn2
e j1
Fg
n1 jn1
1 aa ee 2(n1) jn1 n
a e n2 jn2
ae j1
a e 2(n2) jn2
an1 a2(n1)
n
a ( n 1)( n 1)
1
an2
a2(n2)
a (n1)(n2)
1 1 a 1 a2 1 an1 1
这个变换矩阵将使置换矩阵π变成如下的对角矩阵：
a n 1 0 D F1πF 0 0
0 an2
0 0
0 0 0 0 a 0 0 1
2-2.3 电感矩阵的对角化
1 a
1 1
1
1 a2
1 a
1 1
3 a4 a2 1 3 a a2 1
若同时电感矩阵是对称的，如隐极电机定子绕组的电感
矩阵：

LS0
L
M M
S S
0 0
MS0 LS 0 MS0
MS0
MS0 LS 0
它的特征根由一个单重根λ1和一个两重根λ2构成：
1 LS0 2M S0 2 3 LS0 M S0
L
M AB M AC
M AN
LB M BC
M BN
M BC LC M CN
M BN M CN
LN
由于Mij=Mji, n阶对称矩阵中只有n(n+1)/2各不同 的元素。
#n相对称系统的电感矩阵是循环的
n相对称系统中各相自感相等，相同相对位置的两相 间的互感相等。即：
Li Lj , M i, j M i1, j1
第二章 交流电机 的坐标变换
2-1: 变换概述 2-2: 循环矩阵的对角化 2-3：1、2、0及F、B、0坐标系统 2-4:α、β、0坐标系统 2-5: d、q、0坐标系统 2-6: dc、qc、0坐标系统 2-7: 任意速坐标系统 2-8: 结论
2-1: 变换概述
一个电机系统的磁链方程可以写成：
n阶置换矩阵π的n个特征根由下面特征方程给出：
或者 因此
πX X , X x1 x2 xn T
x2 x1 , x3 x2 ,
xn xn1 , x1 xn x1 xn 2 xn1 n1x2 n x1
这样，矩阵π的n个特征根由下1式给出：0 n
解这个方程得到n个特征根：
若记 则
利用这个变换，磁链方程变成：
TΦc L TI c
所以
Φc T1 L TI c
或者
Φc Lc Ic
其中
Lc T1 L T
如果变换T明显使得新的电感矩阵Lc较变换前的电感矩阵L 简单，这个变换才是有意义的。如果Lc变成一个对角矩阵， 那这个变换是最理想的：
1 L1 0
Φc
2
D F1πF π FDF 1
由此可以推导得
π2 {FDF 1}{FDF 1} FD 2F1
同样地
π3 FD 3F1 ， ，πn1 FD F n1 1
这样
L F(LA1 M ABD M ACD2 M AN Dn1)F1
变换后的电感矩阵
LT F1LF LA1 M ABD M ACD2 M ANDn1
A LA
Φ
B
M BA
N M NA
M AB LB M NB
M AN iA
M BN
iB
L
I
LN iN
假定存在一个非奇异矩阵T，将Φ变换成Φc，将I变换成Ic：
Φ T Φc , Φc 1 2 n I T Ic , Ic i1 i2 in
新的磁链φ1、 φ2、…、 φn称为实际磁链φA、 φB、…、 φN的分 量；同样i1、i2、…、in称为实际电流的分量。
k
ej
2 n
k
,
k
0,1,2,
,n 1
a
ej
2 n
k ak
为求与特征根λk对应的特征向量，将之代入特
征方程，并令 x1 1/ ，n得
Xk
11 n
k
2k
n1 T k
按k=n-1,n-2,…,1,0的顺序，将各特征根代入上式就 得到n个特征向量。
n个特征向量构成了如下的变换矩阵：
1
F
1
#最简单的循环矩阵
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 π
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
不难证明，循环电感矩阵可以表示成
L
LA1 M ABπ M ACπ2
M
πn1
AN
根据矩阵理论，任何可以对角化矩阵π的变换T，也可以对 角化循环矩阵L。矩阵π称为置换矩阵。
2-2.2 循环矩阵的对角化
这样的矩阵称为循环矩阵。n阶循环矩阵只有n个不同的元素：
LA M AB M AC M AN
L
M AN M AM
M AB
LA M AN
M AC
M AB LA M AD
M AM M AL
LA
若n阶循环矩阵又是对称的，则根据n是奇数或偶数，其中只 有(n+1)/2或(n+2)/2个不同的元素。
与这三个特征根对应的特征向量
1
2
3
X1
11
,
X2
2 2
2
,
X3
3 3
3
因此变换矩阵为：
2
3
1
F
2 2
2
3 3 3
1 1