隆阳区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

隆阳区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=1交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且，那么实数
a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知向量=（1，），=（
，x ）共线，则实数x 的值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
tan35°
D ．tan35°
3． 已知a ，b 都是实数，那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4． 已知函数f （x ）=x 3+mx 2+（2m+3）x （m ∈R ）存在两个极值点x 1，x 2，直线l 经过点A （x 1，x 12），B
（x 2，x 22），记圆（x+1）2+y 2
=上的点到直线l 的最短距离为g （m ），则g （m ）的取值范围是（ ）
A ．[0，2]
B ．[0，3]
C ．[0，）
D ．[0，）
5． 在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）
A B ． C D ．2 6． 二进制数）（210101化为十进制数的结果为（ ） A ．15 B ．21 C ．33 D ．41
7． 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x ∈Z|x 2＜2}，则∁U P=（ ） A ．{2} B ．{0，2} C ．{﹣1，2} D ．{﹣1，0，2}
8． 若函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9． 已知命题:()(0x
p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44
q x ππ
∀∈，sin cos x x >.
则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧ 10．命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）
A．∀x≤0，都有x2﹣x＞0 B．∀x＞0，都有x2﹣x≤0
C．∃x＞0，使得x2﹣x＜0 D．∃x≤0，使得x2﹣x＞0
11．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A5
B4
C3
D2
12．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）
A．（1，2） B．（2，3） C．（1，）D．（e，+∞）
二、填空题
13．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为
cm3．
14．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f （x）＞0成立的x的取值范围是．
15．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是．
16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，c=2a且•=24，则△ABC的面积是．
18．设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是．
三、解答题
19．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
20．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．
（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；
（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？
21．已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2分别在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A
到点F1距离的最小值是1，过A、F1作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）判断▱ABCD能否为菱形，并说明理由．
（Ⅲ）当▱ABCD的面积取到最大值时，判断▱ABCD的形状，并求出其最大值．
22．（本小题满分12分）
某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生
数有21人.
（1）求总人数N和分数在110-115分的人数；
）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率；（2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占1
3
（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩.
已知该生的物理成绩y 与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理 成绩大约是多少？
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ……(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分 别为：^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=
-∑∑，^^
a v u β=-.
23．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是
⊙O 的切线，BC 交⊙O 于E ，过E 的切线与AC 交于D .
（1）求证：CD ＝DA ；
（2）若CE ＝1，AB ＝2，求DE 的长．
24．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0
上．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；
（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．
隆阳区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：设AB的中点为C，则
因为，
所以|OC|≥|AC|，
因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2，
所以2（）2≥1，
所以a≤﹣1或a≥1，
因为＜1，所以﹣＜a＜，
所以实数a的取值范围是，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．2．【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（，x）共线，
∴x====，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．
3．【答案】D
【解析】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；
反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．
∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．
故选D．
4．【答案】C
【解析】解：函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x的导数为f′（x）=x2+2mx+2m+3，
由题意可得，判别式△＞0，即有4m2﹣4（2m+3）＞0，
解得m＞3或m＜﹣1，
又x1+x2=﹣2m，x1x2=2m+3，
直线l 经过点A （x 1，x 12），B （x 2，x 22
），
即有斜率k==x 1+x 2=﹣2m ，
则有直线AB ：y ﹣x 12
=﹣2m （x ﹣x 1）， 即为2mx+y ﹣2mx 1﹣x 12
=0，
圆（x+1）2+y 2
=的圆心为（﹣1，0），半径r 为
．
则g （m ）=d ﹣r=
﹣，
由于f ′（x 1）=x 12
+2mx 1+2m+3=0，
则g （m ）=﹣，
又m ＞3或m ＜﹣1，即有m 2
＞1．
则g （m ）＜
﹣
=，
则有0≤g （m ）＜．
故选C ．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．
5． 【答案】C 【解析】
考
点：余弦定理． 6． 【答案】B 【解析】
试题分析：()21212121101010
2
4
2=⨯+⨯+⨯=，故选B. 考点：进位制 7． 【答案】A
【解析】解：∵x 2
＜2 ∴﹣
＜x ＜
∴P={x∈Z|x2＜2}={x|﹣＜x＜，x∈Z|}={﹣1，0，1}，
又∵全集U={﹣1，0，1，2}，
∴∁U P={2}
故选：A．
8．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，
可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，
所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，
函数的最大值为：5．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．
9．【答案】D
【解析】
考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用.
10．【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
∃x＞0，使得x2﹣x＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
11．【答案】C
【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.
12．【答案】B
【解析】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．
又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0
∴f（2）•f（3）＜0，
∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．
故选：B．
二、填空题
13．【答案】6
【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，
所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．
故答案为：6．
14．【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）．
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，
即当x＞0时，g′（x）＞0，
∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是减函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
15．【答案】①②④．
【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．
∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2k x）=2k f（x）．
①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；
②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．
若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．
…
一般地当x∈（2m，2m+1），
则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，
∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，
即2n﹣1=9，∴2n=10，
∵n∈Z，
∴2n=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．
16．【答案】150
【解析】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．
在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，
由正弦定理得，，因此AM=100m．
在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由
得MN=100×=150m．
故答案为：150．
17．【答案】4．
【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，
∴sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，
∵c=2a，可得：b=a，
∴cosB===，可得：sinB==，
∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
∴S
△ABC=acsinB==4．
故答案为：4．
18．【答案】[5，+∞）．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得f（x）=x3，再由条件可得m≥x2在区间[，]上恒成立，求得x2在区间[，]上的最大值，可得m的范围．
【解答】解：由题意可得f（x）=x6=x3．
由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2
在区间[，]上恒成立，
由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5，
即m的范围为[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2
+c2=b2=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．
20．【答案】
【解析】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，
奖金的可能取值是0，30，60，240，
∴一等奖的概率P（ξ=240）=，
P（ξ=60）=
P（ξ=30）=，
P（ξ=0）=1﹣
∴变量的分布列是ξ
0 30 60 240
∴E ξ==20
（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣
四次抽奖是相互独立的
∴中奖次数η～B（4，）
∴Dη=4×
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．
21．【答案】
【解析】解：（I）由题意可得：，解得c=1，a=2，b2=3．
∴椭圆E的方程为=1．
（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，k OA•k OB=﹣1．
①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：=1，解得y=，
取A，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
∴
k OA•k OB=====
，
假设=﹣1，化为k2=﹣，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．
综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．
（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
|AB|==．
点O 到直线AB 的距离d=．
∴S 平行四边形ABCD =4×S △OAB =
=2×
×
=
．
则S 2=
=＜36，
∴S ＜6．
因此当平行四边形ABCD 为矩形面积取得最大值6．
22．【答案】（1）60N =，6n =；（2）8
15
P =；（3）115. 【解析】
试
题解析：
（1）分数在100-110内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，所以该班总人数为21
600.35
N =
=， 分数在110-115内的学生的频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=，分数在110-115内的人数600.16n =⨯=.
（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,A A A A ，女生为12,B B ，从6名学生中选出3人的基本事件为：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A
A ，24(,)A A ，21(,)A
B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个.
其中恰 好含有一名女生的基本事件为11(,)A B ，12(,)A B ，22(,)A B ，
21(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，共8个，所以所求的概率为8
15
P =
. （3）1217178812
1001007
x --+-++=+
=；
6984416
1001007
y --+-+++=+=；
由于与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
^
4970.5994
b ==，^
1000.510050a =-⨯=，
∴线性回归方程为0.550y x =+，
∴当130x =时，115y =.1
考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.
【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数,a b ,一定要将题目中所给数据与公式中的,,a b c 相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于,a b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为,b 常数项为这与一次函数的习惯表示不同. 23．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE ， ∵AB 是⊙O 的直径， AC ，DE 均为⊙O 的切线， ∴∠AEC ＝∠AEB ＝90°， ∠DAE ＝∠DEA ＝∠B ， ∴DA ＝DE .
∠C ＝90°－∠B ＝90°－∠DEA ＝∠DEC ， ∴DC ＝DE ， ∴CD ＝DA .
（2）∵CA 是⊙O 的切线，AB 是直径， ∴∠CAB ＝90°，
由勾股定理得CA 2＝CB 2－AB 2， 又CA 2＝CE ×CB ，CE ＝1，AB ＝2， ∴1·CB ＝CB 2－2，
即CB 2－CB －2＝0，解得CB ＝2， ∴CA 2＝1×2＝2，∴CA ＝ 2.
由（1）知DE ＝12CA ＝2
2，
所以DE 的长为2
2.
24．【答案】
【解析】解：（1）∵S n =a n ﹣，
∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ﹣﹣，
即a n =3a n ﹣1，．
∵a 1=S 1=
﹣，∴a 1=3．
∴数列{a n }是等比数列，∴a n =3n
．
∵点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上， ∴b n+1﹣b n =2，
即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n ﹣1．
（2）∵c n =a n •b n =（2n ﹣1）•3n
，
∵T n =1×3+3×32+5×33+…+（2n ﹣3）3n ﹣1+（2n ﹣1）3n
， ∴3T n =1×32+3×33+5×34+…+（2n ﹣3）3n +（2n ﹣1）3n+1
， 两式相减得：﹣2T n =3+2×（32+33+34+…+3n ）﹣（2n ﹣1）3n+1
，
=﹣6﹣2（n ﹣1）3n+1，
∴T n =3+（n ﹣1）3n+1
．。