广州市2018届高三第一学期第一次调研测试文科数学试题(原卷版)
2018年广州一模数学试题(文科)
秘密★启用前 试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学2018．3本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()2i =1i z -，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合{}=0,1,2,3,4,5,6A ，{}=2,B x x n n A =∈，则A B =IA ．{}0,2,4B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4,6D ．{}0,2,4,6,8,10,123．已知向量()2,2OA =uu r ，()5,3OB =uu u r ，则OA AB =-uuu r uuu rA ．10BCD ．24．等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n aa a ++=+，则21=n S +A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n5．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49 C ．29D ．9406．在四面体ABCD 中，E F ，分别为AD BC ，的中点，AB CD =， AB CD ^，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是A ．ln y x x =B ．ln 1y x x x =-+C ．1ln 1y x x =+-D ．ln 1xy x x=-+- 8．椭圆22194x y +=上一动点P 到定点()1,0M 的距离的最小值为A ．2B ．455C ．1D ．2559．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．104223++ B ．1442+ C ．44223++D ．410．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为 A ．80,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知数列{}n a 满足12a =，2121n n na a a +=+，设11n n n a b a -=+，则数列{}n b 是 A ．常数列B ．摆动数列C ．递增数列D ．递减数列12．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，2=5AE AC uu u r uuu r，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．10DC ABE图②图①二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生， 则小学与初中共需抽取的学生人数为 名．14．若x ，y 满足约束条件230,10,10x y x y -+--⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，则z x y =-+的最小值为 ．15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则32S = ．16．已知函数()()21,1,ln 2,1x x xf x x x +⎧<-⎪=⎨⎪+-⎩≥，()224g x x x =--．设b 为实数，若存在实数a ，使得()()1f a g b +=成立，则b 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21=a ，1=-b c ，△ABC的外接圆半径为7． （1）求角A 的值； （2）求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：x （岁）1 2 3 4 5 67 8 9 10 y ()cm76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xy()1021x x i i ∑-= ()1021y y i i ∑-= ()()101x x y y ii i ∑--=5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 在线段PA 上，PC P 平面BDE ． （1）求证：AE PE =；（2）若△PAD 是等边三角形，2AB AD =， 平面PAD ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的 体积为93，求点E 到平面PCD 的距离．P ABCDE()()()121nx x y yi i i b n x x i i =--∑=-∑=$20．（本小题满分12分）已知两个定点()1,0M 和()2,0N ，动点P满足PN =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若A ，B 为（1）中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ．当123k k =时，求k 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()e 1xf x ax a =-+-．（1）若()f x 的极值为e 1-，求a 的值；（2）若),[+∞∈a x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,21,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．。
2018年广东省高考数学一模试卷(文科)
2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z满足(1+i)z=1，则复数z的虚部为（）A.1 2iB.12C.−12i D.−122. 已知集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}，则A∪B=()A.(0, +∞)B.(0, 1)C.(−1, +∞)D.(−1, 0)3. “常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π205. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. 等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x+2)，…的第四项等于（）A.3B.4C.log318D.log3247. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）)，则下列结论正确的是（）8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3A.把C向左平移5π个单位长度，得到的曲线关于原点对称12B.把C向右平移π个单位长度，得到的曲线关于y轴对称12C.把C向左平移π个单位长度，得到的曲线关于原点对称3D.把C向右平移π个单位长度，得到的曲线关于y轴对称69. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 已知函数f(x)在其定义域上单调递减，则函数f(x)的图象可能是（）eA.C.D.11. 已知抛物线C:y 2＝x ，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B 分别为切点，则MA →⋅MB →的最小值为（ ）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A.(16, 32)B.(18, 34)C.(17, 35)D.(6, 7)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =32n 2+12n ，则a 5=________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2=a(√33bc+a)．（1）证明：a=2√3cosA；（2）若A=π3,B=π6，求△ABC的面积．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001∼6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√32，且C过点(1,√32)．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．已知函数f(x)=e x−x2−ax．(1)证明：当a≤2−2ln2时，函数f(x)在R上是单调函数；(2)当x>0时，f(x)≥1−x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C1：(x−2)2+(y−4)2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2:θ=π3(ρ∈R)．(1)求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x−a|+|3x+1|，g(x)=|4x−1|−|x+2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由(1+i)z=1，得z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，则复数z的虚部为−12．2.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】∵集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，∴A∪B={x|x>−1}=(−1, +∞)．3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用等比中项公式求解．【解答】∵m是两个正数2和8的等比中项，∴m=±√2×8=±4．故m=±4是m=4的必要不充分条件，4.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的性质得log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x)，求出x=4，等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，由此能求出第四项．【解答】∵等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x+2)，…，∴log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x)，∴x(x−4)=0，又2x>0，∴x=4，∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d=log312−log38=log332，∴第四项为log318+log332=log327=3．7.B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π，8.【答案】B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误；把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确；把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误； 把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)， 取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误． ∴ 正确的结论是B ．9.【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】n =1，s =0，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】A【考点】函数的图象变化【解析】由题意可得[f(x)e ]′=f′(x)−f(x)e≤0，但不恒等于0，结合选项即可得到所求图象．【解答】函数f(x)e x在其定义域R上单调递减，可得[f(x)e ]′=f′(x)−f(x)e≤0，但不恒等于0，即f(x)≥f′(x)恒成立，对于A，f(x)>0恒成立，且f′(x)≤0，则f(x)≥f′(x)恒成立；对于B，由f(x)与x轴的交点设为(m, 0)，(m>0)，可得f(m)=0，f′(m)>0，f(x)≥f′(x)不成立；对于C，可令f(x)=t(t<0)，f′(x)=0，f(x)≥f′(x)不成立；对于D，f(x)在x>0时的极小值点设为n，则f(n)<0，f′(n)=0，f(x)≥f′(x)不成立．则A可能成立，11.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，则A(t24, t2)，B(t24, −t2)，∴ M(−t 24, 0)， ∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−116 12.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】不妨设a <b <c ，利用f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象可得a ，b ，c 的范围，即可1求出【解答】互不相等的实数a ，b ，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，可得a ∈(−∞, 0)，b ∈(0, 1)，c ∈(4, 5)，则0<2a <1，0<2b <1，16<2c <32，2a +2b +2c ∈(18, 34)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1； ∴ |e 1→−√3e 2→|=1．【答案】2【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由{x −y =64x +5y =6解得A(4, −2)，【答案】14【考点】等差数列的前n项和【解析】利用a5=S5−S4即可得出．【解答】a5=S5−S4=32×52+12×5−(32×42+12×4)=14，【答案】500√3π27【考点】球的体积和表面积【解析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=x2，IE=6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2+c2=a(√33bc+a)，则：b2+c2=√33abc+a2，整理得：b2+c2−a2=√33abc，由于：b2+c2−a2=2bccosA，则：2bccosA=√33abc，即：a=2√3cosA．由于：A=π3，所以：a=2√3cosA=√3．由正弦定理得：asinA =bsinB，解得：b=1．C=π−A−B=π2，所以：S△ABC=12absinC=√32．【考点】三角形求面积【解析】（1）直接利用已知条件和余弦定理求出结论．（2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理求出结果．【解答】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2+c2=a(√33bc+a)，则：b2+c2=√33abc+a2，整理得：b2+c2−a2=√33abc，由于：b2+c2−a2=2bccosA，则：2bccosA=√33abc，即：a=2√3cosA．由于：A=π3，所以：a=2√3cosA=√3．由正弦定理得：asinA =bsinB，解得：b=1．C=π−A−B=π2，所以：S△ABC=12absinC=√32．【答案】根据题意，由频率分布表分析可得：则K2=50×(20×10−10×10)230×20×30×20≈1.389<2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，(1, a, b)，(1, a, c)，(1, b, c)，(2, a, b)，(2, a, c)，(2, b, c)，(a, b, c)；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=310．【考点】独立性检验【解析】（1）根据题意，由频率分布表分析可得2×2列联表，由独立性检验计算公式计算K2的值，结合独立性检验的意义可得答案；（2）根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，由列举法分析可得从中任选3人和男性人数超过女性人数的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案．【解答】根据题意，由频率分布表分析可得：则K2=50×(20×10−10×10)230×20×30×20≈1.389<2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，(1, a, b)，(1, a, c)，(1, b, c)，(2, a, b)，(2, a, c)，(2, b, c)，(a, b, c)；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=310．【答案】∵在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF // AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．如图，过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG=D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴EGEB =EBBC，∴EB=√BC∗EG=√4×2=2√2，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，∵V F−ABC=V A−BCF，∴S△ABC⋅ℎ=S△BCF⋅AE，AB=4，S△ABC=12×4×4=8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB=E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵S△BCF=12×4×2√2=4√2，AE=EB=2√2，∴ℎ=4√2×2√28=2，∴点F到平面ABCD的距离为2．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】（1）推导出EF // AD，AE⊥EF，AE⊥CF，从而AE⊥平面EBCF，由此能证明平面AEFD⊥平面EBCF．（2）过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，由V F−ABC=V A−BCF，能求出点F到平面ABCD的距离．【解答】∵在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF // AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．如图，过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG=D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴EGEB =EBBC，∴EB=√BC∗EG=√4×2=2√2，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，∵V F−ABC=V A−BCF，∴S△ABC⋅ℎ=S△BCF⋅AE，AB=4，S△ABC=12×4×4=8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB=E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵S△BCF=12×4×2√2=4√2，AE=EB=2√2，∴ℎ=4√2×2√28=2，∴点F到平面ABCD的距离为2．【答案】由题意可得{ca =√321 a2+34b2=1a2=b2+c2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，证明：：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)． 联立{y =kx +tx 2+4y 2=4， 化为(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．△=64k 2t 2−4(4t 2−4)(1+4k 2)>0，化为1+4k 2>t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k 2，∴ y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2， ∵ 直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴ y 1x 1⋅y2x 2=k 2，即k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=kx 1x 2， ∴−8k 2t 21+4k 2+t 2=0，∵ t ≠0， ∴ 4k 2=1，结合图形可知k =−12， ∴ 直线l 的斜率为定值为−12． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由题意可得{ c a =√321a +34b =1a 2=b 2+c 2，解得即可；（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．与椭圆的方程联立可得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．由△>0，可得1+4k 2>t 2．得到根与系数的关系．可得y 1x 1⋅y2x 2=k 2，直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，化为4k 2=1，即可证明 【解答】由题意可得{ ca =√321a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2 ，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，证明：：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．联立{y =kx +tx 2+4y 2=4， 化为(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．△=64k 2t 2−4(4t 2−4)(1+4k 2)>0，化为1+4k 2>t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k 2，∴ y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2， ∵ 直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴ y 1x 1⋅y2x 2=k 2，即k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=kx 1x 2， ∴−8k 2t 21+4k 2+t 2=0，∵ t ≠0， ∴ 4k 2=1，结合图形可知k =−12， ∴ 直线l 的斜率为定值为−12．【答案】(1)证明：f′(x)=e x −2x −a ，令g(x)=e x −2x −a ，则g′(x)=e x −2， 则当x ∈(−∞, ln2)时，g′(x)<0， x ∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0，故函数g(x)在x =ln2时取最小值g(ln2)=2−2ln2−a ， 当a ≤2−2ln2时，g(x)≥0.故f′(x)≥0，即函数f(x)在R 上单调递增； (2)解：当x >0时，e x −x 2−ax ≥1−x ， 即a ≤e x x−x −1x +1，令ℎ(x)=e x x−x −1x +1(x >0)，则ℎ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2，令φ(x)=e x −x −1，(x >0)， 则φ′(x)=e x −1>0，x ∈(0, +∞)时，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0， x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)单调递减， x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增， 故ℎ(x)min =ℎ(1)=e −1， 故a ∈(−∞, e −1]． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而证明结论；（2）问题转化为a≤e xx −x−1x+1，令ℎ(x)=e xx−x−1x+1(x>0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值，从而求出a的范围．【解答】(1)证明：f′(x)=e x−2x−a，令g(x)=e x−2x−a，则g′(x)=e x−2，则当x∈(−∞, ln2)时，g′(x)<0，x∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0，故函数g(x)在x=ln2时取最小值g(ln2)=2−2ln2−a，当a≤2−2ln2时，g(x)≥0.故f′(x)≥0，即函数f(x)在R上单调递增；(2)解：当x>0时，e x−x2−ax≥1−x，即a≤e xx −x−1x+1，令ℎ(x)=e xx −x−1x+1(x>0)，则ℎ′(x)=(x−1)(e x−x−1)x2，令φ(x)=e x−x−1，(x>0)，则φ′(x)=e x−1>0，x∈(0, +∞)时，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0，x∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)单调递减，x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，故ℎ(x)min=ℎ(1)=e−1，故a∈(−∞, e−1]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵圆C1的普通方程为x2+y2−4x−8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=√3x；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S△OMN=12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ， 得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]． 【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x≤−2时，4x−1−x−2<6，解得：x>−1，不等式无解；−2<x<14时，1−4x−x−2<6，解得：−75<x<14，x≥14时，4x−1−x−2<6，解得：3>x≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)=−g(x2)成立，所以{y|y=f(x), x∈R}∩{y|y=−g(x), x∈R}≠⌀，又f(x)=3|x−a|+|3x+1|≥|(3x−3a)−(3x+1)|=|3a+1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max=94，所以|3a+1|≤94，解得−1312≤a≤512，所以实数a的取值范围为[−1312, 512]．。
广州市2018届高三第一学期第一次调研测试文科数学试题(解析版)
A. sin x
【答案】 C 【解析】
B. cos x
∵ f0 x sinx ，
f 1( x)=cos x， f 2( x)= - sin x， f 3( x)= - cos x， f 4( x)=sin x， f 5( x)=cos x. ∴题目中的函数为周期函数，且周期 ∴ f ( 2018 x)= f 2( x)= - sin x. 故选： C.
3
2 ∴ sin 2
0 ， 2 2 kπ，k Z ，
kπ ， k Z ，又
0
3
3
23
当 k 1 时， 的最小值为 6
故选： B
11. 在直角坐标系
xOy 中，设
F 为双曲线
C：
x2 a2
y2
b2 1(a 0,b 0) 的右焦点， P 为双曲线 C 的右支上一
点，且△ OPF 为正三角形，则双曲线 C 的离心率为
面积等于
7 ， c 4 ， cosB
3 ，则△ ABC 的
4
A. 3 7
【答案】 B
B. 3 7 2
C. 9
9
D.
2
【解析】
由余弦定理得： b2 c2 a2 2ca?cosB ，即 7 16 a2 6a ，解得： a 3
∴ S ABC 1 casinB 1 4 3 7 3 7
2
2
42
故选： B
8. 在如图的程序框图中， f i ( x) 为 fi ( x) 的导函数，若 f0 (x) sin x ，则输出的结果是
直线的斜率进行比较，避免出错 ; 三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上
取得 .
6. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为
2018广州一模文科数学试题
2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学2018．3一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()2i =1i z -，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合{}=0,1,2,3,4,5,6A ，{}=2,B x x n n A =∈，则A B =IA ．{}0,2,4B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4,6D ．{}0,2,4,6,8,10,123．已知向量()2,2OA =uu r ，()5,3OB =uu u r，则OA AB =-uuu ruuu rA ．10B ．10C ．2D ．24．等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n5．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29D ．9406．在四面体ABCD 中，E F ，分别为AD BC ，的中点，AB CD =， AB CD ^，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是A ．ln y x x=B ．ln 1y x x x =-+是 否开始结束输出S 19?n ≥2,0n S ==2n n =+()1+2S S n n =+C．1ln 1y x x =+-D ．ln 1xy x x=-+- 8．椭圆22194x y +=上一动点P 到定点()1,0M 的距离的最小值为A ．2B ．455C ．1D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．104223+B ．1442+C ．44223+D ．410．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为 A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知数列{}n a 满足12a =，2121n n n a a a +=+，设11n n n a b a -=+，则数列{}n b 是 A ．常数列B ．摆动数列C ．递增数列D ．递减数列12．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，2=5AE AC uu u r uuu r，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B为焦点，则双曲线的离心率为A 7B ．22C ．3D 10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为名．14．若x，y满足约束条件230,10,10x yxy-+--⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，则z x y=-+的最小值为．15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为n S，如11S=，22S=，32S=，44S=，……，则32S=．16．已知函数()()21,1,ln 2,1x x xf x x x +⎧<-⎪=⎨⎪+-⎩≥，()224g x x x =--．设b 为实数，若存在实数a ，使得()()1f a g b +=成立，则b 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21=a ，1=-b c ，△ABC 的外接圆半径为7．（1）求角A 的值； （2）求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：x （岁）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y()cm76.588.596.8104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xy()1021x x i i ∑-= ()1021y y i i ∑-= ()()101x x y y i i i ∑--=5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）； （2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x=-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx=+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a y bx=-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA上，PC P平面BDE．（1）求证：AE PE=；（2）若△PAD是等边三角形，2AB AD=，平面PAD⊥平面ABCD，四棱锥P ABCD-的体积为93，求点E到平面PCD的距离．20．（本小题满分12分）已知两个定点()1,0M和()2,0N，动点P满足2PN=．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为1k，2k，k．当123k k=时，求k的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()e1xf x ax a=-+-．（1）若()f x的极值为e1-，求a的值；()()()121nx x y yi iib nx xii=--∑=-∑=$（2）若),[+∞∈a x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．数学文答案1-5：ACCAD 6-10：BDBAB 11-12：DA13、85 14、0 15、32 16、［－32，72］17、18、19、20、21、22、23、。
2018年广州市一测数学答案(文科)
因为 ABCD 为矩形，所以 CD⊥AD． 因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD 所以 CD⊥平面 PAD． 因为 CD 平面 PCD，所以平面 PCD⊥平面 PAD． 作 EG⊥PD 于 G，则 EG⊥平面 PCD， 所以 EG 是点 E 到平面 PCD 的距离． 平面 ABCD=AD，
数学（文科）答案 A
第 2 页 共 9 页
19．（1）证明：连接 AC，设 AC∩BD=O，连接 EO． 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 的中点． 因为 PC∥平面 BDE，PC 平面 PAC， 平面 PAC∩平面 BDE=EO，所以 PC∥EO． 因为 O 为 AC 的中点，所以 E 为 PA 的中点． 所以 AE = PE．
绝密 ★ 启用前
2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题 题号 答案 二．填空题 13． 85 三、解答题 17．解：（1）因为 a 14． 2 15． 32 16． , 2 2 1 A 2 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 D 8 B 9 A 10 B 11 D 12 A
2 ，即 21 c b bc ，所以 bc 20 】 3
2018届广州市高三年级调研测试(文科数学)答案
分
所以三棱锥 P
ACE 的体积VPACE
VCPAE
1 3
SPAE
CM
……………………………………11
分
1 2 3 2 3 ．…………………………………………12 分
3
3
19．解：（1）由已知数据可得 x 2 4 5 6 8 5 ， y 3 4 4 4 5 4 ．…………………1 分
分
数学（文科）试题 A 第 1 页 共 8 页
故 Tn
1 2
1 3
1 5
1 5
1 7
1 2n 1
1 2n
3
……………………………………………………10
分
1 2
1 3
1 2n
3
…………………………………………………………………………………11
数学（文科）试题 A 第 2 页 共 8 页
因为 PA 平面 ABCD ，所以 PA CM ，又 PA AD A ，
所以 CM 平面 PADE ，所以 CM 是三棱锥 C PAE 的高．………………………………………9 分
因为 SPAE
1 2
PA
AD
2
．…………………………………………………………………………10
2018 届广州市高三年级调研测试
文科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
2018届广州市高三年级调研测试(文科数学)答案
2018届广州市高三年级调研测试(文科数学)答案2018届广州市高三年级调研测试文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题数学（文科）试题A 第2 页共19 页数学（文科）试题A 第 3 页 共 19 页二．填空题13．10 14．21-15．1ln 2+ 16．1三、解答题17． 解：（1）当1n =时，114a =．………………………………………………………………………1分因为221*123-144+44,4n n n n na aa a a n --++++=∈N ， ①所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥． ②……………………………………3分①－②得1144n n a -=．……………………………………………………………………………………4分所以()*1=2,4n n a n n ≥∈N ．……………………………………………………………………………5分数学（文科）试题A 第4 页共19 页数学（文科）试题A 第 5 页 共 19 页18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OFPA，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OFDE，且OF DE=．…………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以ODEF，即BDEF．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A=，所以BD ⊥平面PAC．…………………………………………………………4分因为BD EF，所以EF ⊥平面PAC．………………………………………………………数学（文科）试题A 第 6 页 共 19 页………5分因为FE ⊂平面PCE，所以平面PAC ⊥平面PCE． ………………………………………………6分（2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．………………………7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥． 所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．……………………………………………………………………………8分因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高． ……………………………………………9分因为EF DO BO ===………………………………10分所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯…………………………………………………………………11分1233=⨯=．………………………………………………………………………12分解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD数学（文科）试题A 第 7 页 共 19 页为等边三角形．………………7分取AD的中点M，连CM，则ADCM ⊥，且3=CM ．………………………………………8分因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ， 所以CM ⊥平面PADE，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．………………………………………9分因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．…………………………………………………………………………10分所以三棱锥ACEP -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM--∆==⨯……………………………………11分123=⨯=．…………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．…………………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑，…………………………数学（文科）试题A 第 8 页 共 19 页……………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==……………………………………………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元． …………………………………………………………………8分当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，数学（文科）试题A 第 9 页 共 19 页周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元． …………………………………………………………………9分当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元． …………………………………………………………………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………………………………12分20． 解：（1）抛物线的准线方程为2px =-，所以点E()2t ，到焦点的距离为232p+=．…………………………………………………………1分解得2p =． 所以抛物线C的方程为24y x=．………………………………………………………数学（文科）试题A 第 10 页 共 19 页………………2分（2）解法1：设直线l 的方程为()10x my m =->．………………………………………………………3分将1x my =-代入24yx=并整理得2440y my -+=， (4)分由()24160m ∆=->，解得1m >．……………………………………………………………………5分设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()11,D x y -，则124y ym+=，124y y =，……………………………………………………………………………6分因为()()()2212121212·11(1)2484FA FB x x y y m y m y m y y =--+=+-++=-，………………7分因为FA FB ⊥，所以0FA FB =． 即2840m -=，又m > ，解得m =．…………………………………………………………8分数学（文科）试题A 第 11 页 共 19 页所以直线l的方程为10x +=．设AB 的中点为()0,x y ,0013x my =-=，……………………………………………………9分所以直线AB的中垂线方程为)3y x -=-．因为AD 的中垂线方程为0y =， 所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0．……………………………………………………………10分因为圆心()5,0到直线l 的距离为AB ==所以圆的半径…………………11分所以△ABD 的外接圆的方程为()22524x y -+=．…………………………………………………12分解法2：依题意可设直线()():10l y k x k =+>．……………………………………………数学（文科）试题A 第 12 页 共 19 页………3分将直线l与抛物线C联立整理得)42(2222=+-+k x k x k ．………………………………………4分由4)42(422>--=∆k k ，解得10<<k ．………………………………………………………5分设),,(),,(2211y x B y x A则1,4221221=+-=+x x k x x ．…………………………………………………………………………6分所以4)1(2121221=+++=x x x x k yy ，因为12121224()18FA FB x x x x y y k ⋅=-+++=-，…………………………………………………7分因为FA FB ⊥，所以0FA FB =． 所以2480k-=，又k > ，解得22=k ．…………………………………………………………8分以下同解法1．数学（文科）试题A 第 13 页 共 19 页21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x a f x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．………………………………2分 ② 当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以函数()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以函数()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………………………3分综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………4分数学（文科）试题A 第 14 页 共 19 页（2）因为对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，所以()max e 1f x ≤-．……………………………5分当0a b +=即a b =-时，()ln bf x b x x =-+，()()11bb b x b f x bx x x---'=+=．令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，…………………………………………7分()maxf x 为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+中的较大者．…………………………………………8分设()()1e ee 2ebb g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()ee 220bb g b -'=+->=，所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()maxf x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………9分所以ee 1bb -+≤-即ee 10bb --+≤．数学（文科）试题A 第 15 页 共 19 页设()=e e 1b b b ϕ--+()0b >，则()=e 10b b ϕ'->． (10)分所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤的解为1b ≤．……………………………………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）， 因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分 所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分所以2C的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分（2）解法1：直线l的普通方程为100x y--=．…………………………………………………………6分曲线2C上的点M到直线l的距离+)10|dαπ-==．…………8分当cos+=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k kαππ-∈Z时，d取到最小值为2．……………9分当cos+=14απ⎛⎫-⎪⎝⎭即()3=24k kαπ+π∈Z时，d取到最大值为+10分解法2：直线l的普通方程为100x y--=．…………………………………………………………6分数学（文科）试题A 第16 页共19 页数学（文科）试题A 第 17 页 共 19 页因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l相离．………………………………………………………………8分所以圆2C 上的点M到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分 23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分 ①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x，解得1≥x ．…………………………………………4分 综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分 （2）解法1：①当3a ≤时，数学（文科）试题A 第 18 页 共 19 页()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，…………………………………数学（文科）试题A 第 19 页 共 19 页…………7分所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ． 所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥． 所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………………10分。
广州市2018届高三第一学期第一次调研测试文科数学Word版
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018届广州市高三年级调研测试文科数学2017．12本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =-≥，则AB =A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =A ．52B ．32CD3．已知α为锐角，cos 5α=，则tan 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ A ．13 B ．3 C ．13- D ．3- 4．设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q ：00x ∃> ， A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝5．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．5B ．4C ．6D ．06．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，直角三角形中较小的锐角6θπ=．若在该大正方形区域内随机地取一点，则该点落在中间小正方形内的概率是 A ．232- B ．32C ．14D ．127．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知7b =，4c =，3cos 4B =，则△ABC 的面积等于 A ．37B ．372C ．9D ．928．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是 A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x -9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的 长为 A ．23B ．12C ．16D ．1310．将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π开始 输入f 0(x )i =0 i = i +11()()i i f x f x -'=i >2017?输出()i f x结束否是11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为 A ．13+B ．3C ．233D ．23+12．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为 A ．112π B ．6π C ．11πD ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2x x =+a ，()3,4=b ，若//a b ，则向量a 的模为____．14．已知函数a x f xx+-=122)(为奇函数，则实数=a ________． 15．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_______．16．在直角坐标系xOy 中，已知直线2220x y +-=与椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>相切，且椭圆C 的右焦点(),0F c 关于直线cy x b=的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足211234444n n na a a a -++++=()*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设421n nn a b n =+，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，ABCD PA 底面⊥，ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若 o 60=∠ABC ,求三棱锥P ACE -的体积．19.（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20.（本小题满分12分）EDBCAP已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点E ()2,t 到焦点F 的距离等于3．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,0K -的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点（A ，B 两点在x 轴上方），点A 关于x 轴的对称点为D ，且FA FB ⊥，求△ABD 的外接圆的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+． （1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围2018届广州市高三年级调研测试 文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．21- 15．1ln 2+ 16．1三、解答题17． 解：（1）当1n =时，114a =．………………………………………………………………………1分因为221*123-144+44,4n n n n na a a a a n --++++=∈N ， ① 所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥． ②……………………………………3分 ①－②得1144n n a -=．……………………………………………………………………………………4分 所以()*1=2,4n n a n n ≥∈N ．……………………………………………………………………………5分 由于114a =也满足上式，故*1=()4n n a n ∈N ．…………………………………………………………6分（2）由（1）得421n n n a b n =+=121n +．………………………………………………………………………7分 所以()()11111=212322123n n b b n n n n +⎛⎫=-⎪++++⎝⎭．………………………………………………9分 故1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭……………………………………………………10分 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………………………………………………………………………………11分69nn +=．…………………………………………………………………………………………12分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =， 所以OFDE，且OF DE =．…………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF，即BD EF ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A=，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分因为BD EF，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分（2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．………………………7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥． 所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．……………………………………………………………………………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高． ……………………………………………9分因为EF DO BO ===10分所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯…………………………………………………………………11分1233=⨯=．………………………………………………………………………12分解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………………7分取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．………………………………………8分因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ， 所以CM ⊥平面PADE ，所以CM是三棱锥C PAE -的高．………………………………………9分因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．…………………………………………………………………………10分 所以三棱锥ACEP -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯……………………………………11分123=⨯=．…………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．…………………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==……………………………………………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元． …………………………………………………………………8分当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元． …………………………………………………………………9分当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元． …………………………………………………………………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………………………………12分20． 解：（1）抛物线的准线方程为2px =-，所以点E()2t ，到焦点的距离为232p+=．…………………………………………………………1分 解得2p =． 所以抛物线C的方程为24y x =．………………………………………………………………………2分（2）解法1：设直线l 的方程为()10x my m =->．………………………………………………………3分将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=，………………………………………………4分由()24160m ∆=->，解得1m >．……………………………………………………………………5分设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()11,D x y -， 则124y y m +=，124y y =，……………………………………………………………………………6分因为()()()2212121212·11(1)2484FA FB x x y y m y m y m y y =--+=+-++=-，………………7分因为FA FB ⊥，所以0FA FB =．即2840m -=，又0m > ，解得m =．…………………………………………………………8分所以直线l 的方程为10x -+=． 设AB 的中点为()00,x y ,0013x my =-=，……………………………………………………9分所以直线AB 的中垂线方程为)3y x -=-． 因为AD 的中垂线方程为0y =，所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0．……………………………………………………………10分因为圆心()5,0到直线l 的距离为AB ==所以圆的半径11分所以△ABD 的外接圆的方程为()22524x y -+=．…………………………………………………12分解法2：依题意可设直线()():10l y k x k =+>．……………………………………………………3分将直线l与抛物线C联立整理得0)42(2222=+-+k x k x k ．………………………………………4分由4)42(422>--=∆k k ，解得10<<k ．………………………………………………………5分设),,(),,(2211y x B y x A 则1,4221221=+-=+x x kx x ．…………………………………………………………………………6分所以4)1(2121221=+++=x x x x k y y ， 因为12121224()18FA FB x x x x y y k ⋅=-+++=-，…………………………………………………7分 因为FA FB ⊥，所以0FA FB =． 所以2480k-=，又k > ，解得22=k ．…………………………………………………………8分 以下同解法1．21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．………………………………2分② 当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………………………3分综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………4分 （2）因为对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，所以()max e 1f x ≤-．……………………………5分当0a b +=即a b =-时，()ln bf x b x x =-+，()()11bb b x bf x bx x x---'=+=． 令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，…………………………………………7分()maxf x 为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+中的较大者．…………………………………………8分设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e2e 20bbb b g b --'=+->-=，所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………9分所以e e 1b b -+≤-即e e 10b b --+≤． 设()=e e 1b b b ϕ--+()0b >，则()=e 10b b ϕ'->．…………………………………………………10分所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增． 又()10ϕ=，所以e e 10b b --+≤的解为1b ≤．……………………………………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分 所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分（2）解法1：直线l的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==．…………8分 当cos +=14απ⎛⎫ ⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d取到最小值为2-．……………9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d取到最大值为+10分 解法2：直线l的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l相离．………………………………………………………………8分所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x，解得1≥x ．…………………………………………4分综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ． 所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………………10分．。
2018广州一模文科数学试题
2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学2018．3一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．??z?满足，则复数1．设复数的共轭复数i1?=zi2zz?222i2i?．B．DCA．．????,2,3,4,5,60,1A=，则．设集合，2?BAIA,nB=?xx?2n ????????2,4,60,2,4,6,8,10,120,2,40,2,4,6．B．A．．DC uuur ruu uuuruuur????开始2,2OA?5,3?OB．已知向量3，则，ABOA??22 DA．B．．C．n?2,S?0 1010y?logx??S n a，若前项和为均的各项不为列4．等差数零，其1nn+?SS??2=S aa??a2?nn，则12n?nn?1?2n nn24 DBA．．．．C2?n41n?2n?n?2?S．执行如图所示的程序框图，则输出的59294．BC．A．．D否940920n≥19?BCAD，CD=ABFE，，分别为的中点，6．在四面体中，ABCD是AB CD^ABEF与所成角的大小为，则异面直线S输出ππππ．．C．AB．D2436结束．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是7xln?yx1x??xxy?ln．．ABxln11?y?x?x?yln?1?? C．D．xx22yx??,01MP1??的距离的最小值为到定点8．椭圆上一动点49．4512D．．．A．BC51，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为9．如图，网格纸上小正方形的边长为3?210?4214?42 B．A．2?234?44 DC．．???????????????0?，?x??fsinx．已知函数10在区间的取值范围为上单调递增，则????346????1318??????8??20,,,0,????2ba n1?a2a?a?b2a?是11．已DB．．C．A．????????82323????????a?1知数列，满足，则数列，设nn1n?nnn1a?1n A．常数列B．摆动数列C．递增数列D．递减数列uuuruuur2DEAB ACAE=CDAB?2CABCD，，，中，已知．如图，在梯形，双曲线过，三点，且以125为焦点，则双曲线的离心率为227．．AB310．D．C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样则小学与初中共需抽取的学生人数为名．名学生，20的方法来进行调查．若高中需抽取．?0,32x?y?≤?0,x?1?≤xyz??x?y 14．若的最小值为．，则满足约束条件?，0y?1≥?．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的15，从第三行开始，其余的数1一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为10，得到图②所示的由字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成，偶数换成S2S?2S?1S?n10，，数字和，如组成的三角形数表，由上往下数，记第，行各数字的和为n312?S4?S．，……，则3241?x?,,?1x??????22a4xx?x??2g x?xf b已知函数为实数，若存在实数．，使得16．设????，1,xlnx?2?≥?????1ba?g?f b成立，则的取值范围为．每个试题考21～题为必考题，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 23题为选考题，考生根据要求做答．生都必须做答．第22、60分．（一）必考题：共分）1217．（本小题满分a cc?b?1BA ABCbCABC21?a的外接圆，，，，已知，△△的内角，，的对边分别为7．半径为A 1（）求角的值；ABC（）求△2的面积．分）18．（本小题满分12????,10?1cm,2,Li yx（岁）与身高的中位数如下表：某地1~10岁男童年龄ii对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．10101022????????y???x yyx?x?yx?xy?iiii1i?i?11i?566.8582.50 3947.71 5.5 112.45x y）求）关于；的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01（1x y2r?pxqx?y?的回归方程类型，他求得的回归方程是更适宜作为关于（2）某同学认为，2145.3cm68.0710.17?0.30xx??y?．与（111岁男童身高的中位数为）中的线性回．经调查，该地归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？n????y?xxy??ii$$$$1i?bxy?a?回归方程附：中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，b?n2??xx??i1?i$$bx?a?y．19．（本小题满分12分）PCP PA BDEE ABCDABCDP?．中，底面为矩形，点在线段如图，四棱锥平面上，AE?PE；（1）求证：AB?2ADPADPAD?ABCDP?ABCD的平面，平面）若△（2是等边三角形，，四棱锥E PCD39的距离．体积为，求点到平面20．（本小题满分12分）????2,01,0MN PN?2PM P．和已知两个定点满足，动点C P 1的方程；）求动点（的轨迹B COAOOB AAB12的斜率分上两个不同的点，，为（为坐标原点．设直线（）中轨迹）若，，kk3k?kkk的取值范围．，．当，别为时，求2121分）（本小题满分1221．x1??x)?ea?axf(．已知函数a)xf(1?e 1的值；（）若的极值为，求a)??x?[a,0)f(x≥2的取值范围．时，恒成立，求（）若（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程?3,t?m?x??2??,0Pm t l为参数）已知过点的直线，以平面直角坐标系的原点为极的参数方程是（?1?t,y???2??2cos?C x．的极坐标方程为点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线lC（1）求直线的直角坐标方程；的普通方程和曲线A2?PA?PBlC m，求实数，两点，且（2）若直线和曲线的值．交于B分）选修4－5：不等式选讲1023．（本小题满分f(x)?2x?a?3x?b．已知函数 ??3x?1fx0b?1?a的解集；时，求不等式，1（）当≥??2xf0b?3a?0?ba的值．（，，求）若，且函数的最小值为2数学文答案1-5：ACCAD6-10：BDBAB11-12：DA37，［－、］163215014、1385、、22、17．、、19．20、、21．、22．23、。
广州市2018届高三第一学期第一次调研测试文科数学试题(原卷版)
2018届广州市高三年级调研测试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则A B =A. {}1-B. {}1,0-C. {}1,3-D. {}1,0,3- 2.若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z = A. 52 B. 32C. 2D. 23.已知α为锐角，cos α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ A. 13 B. 3 C. 13- D. 3-4.设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q ：00x ∃> ，0012x x >，则下列命题中是真命题的是 A. p q ∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 5.已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A. 5B. 4C. 6D. 06.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()A. 22B. 2C. 14D. 127.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知b =4c =，3cos 4B =，则△ABC 的面积等于A. C. 9 D. 928.在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A. sin xB. cos xC. sin x -D. cos x -9.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A. 23B. 12C. 16D. 13 10.将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A. 12πB. 6πC. 4πD. 3π 11.在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A. 1+ D. 2+12.如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为A. 112πB. 6πC. 11πD. 12π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(),2x x =+a ，()3,4=b ，若//a b ，则向量a 的模为____．14.已知函数2()21xx f x a =+-为奇函数，则实数a =________． 15.已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________．16.在直角坐标系xOy 中，已知直线0x +-=与椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>相切，且椭圆C 的右焦点(),0F c 关于直线c y x b =的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 满足()21*1234444n n n a a a a n N -++++=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设421n n n a b n =+，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T . 18.如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ABCD 底面⊥，ED PA ∥，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若60ABC ∠=？,求三棱锥P ACE -的体积．19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式()()n i i x x y y r --=∑0.55≈0.95≈． 20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点E ()2,t 到焦点F 的距离等于3． （1）求抛物线C的方程； （2）过点()1,0K -的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点（A ，B 两点在x 轴上方），点A 关于x 轴的对称点为D ，且FA FB ⊥，求△ABD 的外接圆的方程．21.已知函数()ln bf x a x x =+()0a ≠． （1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y''=⎧⎨=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值．23.选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+．（1）当1a =时，求不等式()211f x x ≤+-的解集； （2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围。
广州市2018届高中三年级第一学期第一次调研测试文科数学Word版
.专业.专注.奥密★启用前试卷种类：A2018 届广州市高三年级调研测试文科数学2017 ．12本试卷共 5 页，23 小题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务势必自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应地点填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内的相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；禁止使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生一定保持答题卡的整齐。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设会合A 1,0,1,2,3 ， 2 3 0B x x x ，则AI BA． 1 B．1,0 C．1,3 D．1,0,3. word 可编写..专业.专注. 2．若复数z 知足 1 i z 1 2i ，则zA．52B．32C．102D．623．已知为锐角，cos55，则tan4A．13B．3C．13D． 34．设命题p ：x 1， 2 1x ，命题q：x0 0 ，x21x，则以下命题中是真命题的是A．p q B．( p) q C．p ( q) D．( p) ( q)2x y 0，5．已知变量x ，y 知足，x 2y 3 0 则z 2x y 的最大值为y 0，A．5 B．4 C．6 D．06．以下图，四个同样的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，直角三角形中较小的锐角．若在该大正方形地区内随机地取一点，则该点落在中间小正方形内的概率是6A．2 32B．32C．14D．127 ．△ABC 的内角A，B ，C 所对的边分别为a，b，c ，已知b ，c 4，7 cos3B ，则△ABC的面积等于4开始输入f0(x)A．3 7 B．372C．9 i=09D．28．在如图的程序框图中，f i ( x) 为f i ( x)的导函数，若f0( x) sin x ，则否. word 可编写.i >2017?是输出f i (x)结束输出的结果是A．sin x B．cos xC．sin x D．cos x 9．正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为2 ，点M为C C1 的中点，点N 为线段DD1 上凑近D1 的三平分点，平面BMN 交A A1 于点Q ，则AQ 的长为A．23B．12C．16D．1310．将函数y 2sin x cos x 的图象向左平移0 个单位，所得图象对应的函数恰为奇3 3函数，则的最小值为A．B．C．D．12 6 4 311．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：2 2x y2 2 1( 0, 0)a ba b的右焦点，P为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A．1 3 B． 3 C．2 33D．2 312．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为A．112B．C．11 D．. word 可编写.二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共20 分．13．已知向量a x, x 2 ，b 3,4 ，若a / / b，则向量a 的模为____．x214．已知函数 f (x) a 为奇函数，则实数 a _______．_x2 115．已知直线y kx 2与曲线y xln x 相切，则实数k 的值为_______．16．在直角坐标系xOy 中，已知直线x 2 y 2 2 0 与椭圆C ：2 2x y2 2 1a ba b 0 相切，且椭圆C 的右焦点F c,0 对于直线cy xb的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都一定做答．第22、23 题为选考题，考生依据要求做答．（一）必考题：共60 分．17 ．（本小题满分12 分）已知数列a n 知足 2 n 1a1 4a2 4 a3 L 4 an n4*n N ．（1）求数列a的通项公式；n（2）设 bnn4an2n 1，求数列 b b 的前n 项和T n ．n n 118 ．（本小题满分12 分）P 如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2 的菱形，E PA 底面ABCD ，ED P PA，且PA 2ED 2．. word 可编写.ADB C（1）证明：平面PAC 平面PCE ；（2）若oABC 60 ,求三棱锥P ACE 的体积．19. （本小题满分12 分）某基地蔬菜大棚采纳水培、无土种植方式栽种各种蔬菜．过去50 周y（百斤）的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30 小时以上，此中不足50 543小时的周数有 5 周，不低于50 小时且不超出70 小时的周数有35 周，超过70 小时的周数有10 周．依据统计，该基地的西红柿增添量y （百2 4 5 6 8 x（千克）O 斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为以下图的折线图．（1）依照数据的折线图，能否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算有关系数r 并加以说明（精准到0．01）．（若| r | 0.75，则线性有关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地供给了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运转台数受周光照量X 限制，并有以下关系：周光照量X （单位：小30 X 50 50 X 70 X 70时）光照控制仪最多可运转台数 3 2 1 若某台光照控制仪运转，则该台光照控制仪周收益为3000 元；若某台光照控制仪未运转，则该台光照控制仪周损失1000 元．若商家安装了 3 台光照控制仪，求商家在过去50 周周总收益的均匀值．. word 可编写.n( xi x)( yiy)i 1附：有关系数公式r ，参照数据0.3 0 .55 ，0.9 0.95 ．n n(xi2x) ( yiy) 2i 1 i 120. （本小题满分12 分）已知抛物线 2C : y 2px p 0 的焦点为 F ，抛物线 C 上存在一点 E 2,t 到焦点 F 的距离等于3．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点K 1,0 的直线l 与抛物线C 订交于A，B 两点（A，B两点在x 轴上方），点A对于x 轴的对称点为 D ，且FA FB ，求△ABD 的外接圆的方程．21. （本小题满分12 分）b已知函数f x aln x x a 0 ．（1）当b 2时，议论函数 f x 的单一性；（2）当a b 0，b 0时，对随意 1 ,ex ，有f x e 1建立，务实数b 的取值范围．e（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分．22 ．（本小题满分10 分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1 xycos2sin，（为参数），将曲线C 经过伸缩变换1x 2x，后获得曲线C2 ．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为y y. word 可编写..专业.专注. cos sin 10 0 ．（1）说明曲线C是哪一种曲线，并将曲线2 C 的方程化为极坐标方程；2（2）已知点M 是曲线C2 上的随意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值．23 ．（本小题满分10 分）选修4－5：不等式选讲已知函数f (x) | x a |．（1）当a 1时，求不等式f ( x) 2x 1 1的解集；（2）若函数g( x) f ( x) x 3 的值域为A，且2,1 A，求a的取值范围2018 届广州市高三年级调研测试文科数学试题答案及评分参照评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分参照制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C A B B A B C D B A C . word 可编写..专业.专注. 二．填空题13．10 14．1215．1 ln 2 16．1三、解答题117 ．解：（1）当n 1时， 1a ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯⋯⋯4因为 2 n 2 n 1 *na1 4a2 4 a3 L +4 a -1 4 a ,n N ，①n n4因此n-12 n 2a 4a 4 a L 4 a ,n 2 ．②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3⋯分⋯1 2 3 n -14①－②得n4 1 1a ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4⋯分⋯⋯⋯⋯n4因此1*a = n 2,n N ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5⋯分⋯⋯⋯n n4因为1a 也知足上式，故141*a = (n N )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6⋯分⋯⋯n n4（2 ）由（1）得 bnn4an2n 1=12n 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分⋯⋯⋯因此b bn n=11 1 1 12n 1 2n 3 2 2n 1 2n 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 ⋯分⋯故Tn1 1 1 1 1 1 1L ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯0⋯分⋯2 3 5 5 7 2n 1 2n 31 1 12 3 2n 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯⋯分⋯⋯⋯n= ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯2分⋯⋯⋯⋯6n 918 ．（1 ）证明：连结BD ，交AC 于点O，设PC 中点为F ，P 连结O F ，EF ．EF因为O，F分别为AC ，PC的中点，AD O . word 可编写.B C因此OF P PA，且1OF PA ，2因为DE P PA ，且1DE PA，2因此OF P DE ，且OF DE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯⋯⋯因此四边形OFED 为平行四边形，因此O D P EF ，即B D P EF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 ⋯分因为PA 平面ABCD ，B D 平面ABCD ，因此P A BD ．因为ABCD 是菱形，因此BD AC ．因为PAI AC A，因此B D 平面PAC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4⋯分⋯⋯因为BD P EF ，因此E F 平面PAC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 ⋯分⋯⋯因为FE 平面PCE ，因此平面PAC 平面PCE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分⋯⋯（2 ）解法1：因为ABC 60o ，因此△ABC 是等边三角形，因此AC 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分又因为PA 平面ABCD，A C 平面ABCD，因此P A AC ．因此1S PA AC 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分⋯⋯⋯PAC2因为EF 面P AC ，因此E F 是三棱锥E PAC 的高．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 ⋯分⋯因为EF DO BO 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10⋯分⋯⋯⋯因此1V V S EF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯1⋯分⋯⋯P ACE E PAC PAC31 2 32 33 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯2⋯分⋯⋯解法2：因为底面ABCD为菱形，且ABC 60 ，因此△ACD 为等边三角形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分取AD 的中点M ，连CM ，则CM AD ，且CM 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分⋯因为PA 平面ABCD ，因此PA CM ，又P A AD A，因此C M 平面PADE ，因此CM 是三棱锥 C PAE 的高．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯分⋯因为1S PA AD 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯0⋯分⋯⋯PAE2. word 可编写.因此三棱锥P ACE 的体积1V V S CM ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯1⋯分P ACE C PAE PAE31 2 32 33 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯2⋯分19 ．解：（1）由已知数据可得 2 4 5 6 8 5x ，53 4 4 4 5y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分455因为( x i x)( y i y) ( 3) ( 1) 0 0 0 3 1 6，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2⋯分⋯i 1 52 2 2 2 2 2( ) ( 3) 0 3 2 5x i x ( 1) 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分⋯⋯，i 152 2 2 2 2 2( y y) ( 1) 0 0 0 1 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4⋯分⋯⋯i i 1n( x x)( y y)i i因此有关系数 1irn n2 2( x x) ( y y)i ii 1 i 16 92 5 2 100.95．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分因为r0.75，因此可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6⋯分⋯（2）记商家周总收益为Y 元，由条件可得在过去50 周里：当X >70 时，共有10 周，此时只有 1 台光照控制仪运转，周总收益Y=1 ×3000-2 ×1000=1000 元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分⋯⋯⋯当50≤X≤70 时，共有35 周，此时有 2 台光照控制仪运转，周总收益Y=2 ×3000-1 ×1000=5000 元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯分⋯⋯⋯当X<50 时，共有 5 周，此时3 台光照控制仪都运转，周总收益Y=3 ×3000=9000 元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10⋯分⋯⋯⋯因此过去50 周周总收益的均匀值1000 10 5000 35 9000 5Y 4600 元，50因此商家在过去50 周周总收益的均匀值为4600 元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 2⋯分⋯. word 可编写..专业.专注.20 ．解：（1）抛物线的准线方程为p x ，2p因此点E 2，t 到焦点的距离为 2 32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯⋯解得p 2．因此抛物线C 的方程为 2 4y x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2⋯分⋯⋯⋯（2 ）解法1：设直线l 的方程为x my 1 m 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3⋯分⋯⋯将x my 1代入 2 4y x 并整理得2 4 4 0y my ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 ⋯分⋯由24m 16 0，解得m 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5⋯分⋯⋯⋯设A x1, y1 ，B x2 , y2 ，D x1, y1 ，则y1 y2 4m ，y1y2 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6⋯分⋯⋯⋯因为u u u r u u u r2 2FA·FB x 1 x 1 y y (1 m ) y y 2m y y 4 8 4m1 2 1 2 1 2 1 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分u u u r u u u r因为FA FB，因此F A FBg ．即 28 4m 0，又m 0 ，解得m 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分⋯⋯因此直线l 的方程为x 2y 1 0 ．设A B 的中点为x0 , y0 ,则y y1 2y0 2m 2 2，x0 my0 1 3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯分⋯⋯2因此直线AB 的中垂线方程为y 2 2 2 x 3 ．因为AD 的中垂线方程为y 0，因此△ABD的外接圆圆心坐标为5,0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10⋯分⋯⋯因为圆心5,0 到直线l 的距离为 d 2 3 ，且22AB 1 m y y 4y y 4 3 ，1 2 1 2因此圆的半径2AB2 2 6r d ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11⋯分⋯⋯2. word 可编写..专业.专注.因此△ABD的外接圆的方程为2 2x 5 y 24 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯2⋯分⋯解法2：依题意可设直线l : y k x 1 k 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3⋯分⋯⋯将直线l 与抛物线C 联立整理得k (2 4) 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4⋯分⋯2x2 k x k2 22 k2 4由(2 4) 4 0k ，解得0 k 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5⋯分⋯⋯设A( x1 ,y1), B( x2 , y2 ),4则x1 x 2 , x1x2 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6⋯分⋯⋯⋯22k2因此y1 y k (x1x2 x1 x2 1) 4 ，2u u u r u u u r4因为FA FB x x (x x ) 1 y y 81 2 1 2 1 2 2ku u u r u u u r因为FA FB，因此F A FB 0g ．，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分⋯⋯因此48 02k，又k 0 ，解得2k ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分⋯⋯2以下同解法1．21 ．解：（1）函数f x 的定义域为0, ．当b 2时，2f x aln x x ，因此2a 2x af x 2xx x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 ⋯分①当a 0时，f x 0，因此函数f x 在0, 上单一递加．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 ⋯分②当a0时，令f x 0，解得a x ，2当 0ax 时，f x 0，因此函数 f x 在0,2a2上单一递减；当aax 时，f x 0，因此函数f x 在,22上单一递加．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3⋯分综上所述，当b 2，a0时，函数f x 在0, 上单一递加；. word 可编写..专业.专注.当b 2，a 0时，函数f x 在0,a2a上单一递减，在,2上单一递加．⋯⋯⋯4 分（2 ）因为对随意1x ，有f x e 1建立，因此,eef x max e 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 ⋯分b当a b 0即a b时，f x bln x x ，bb 1 b x 1bf x bxx x．令f x 0，得0 x 1；令f x 0，得x1．因此函数f x 在1e,1 上单一递减，在1,e 上单一递加，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分⋯f x 为max1b bf b e 与f e b e 中的较大者．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分⋯e设1b bg b f e f e e 2b b 0 ，eb b b b则g b e e 2 2 e g e 2 0，因此g b 在0, 上单一递加，故g b g 0 0因此1f e f ，e进而 bf x f e b e ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯分⋯⋯⋯maxb b b ．因此 be e 1即e e 1 0b b设 b =e b e 1 b 0 ，则 b =e 1 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10⋯分⋯因此 b 在0, 上单一递加．b b 的解为b 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯1⋯分⋯又 1 0，因此e e 1 0 因为b0，因此b的取值范围为0,1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12⋯分⋯⋯22 ．解：（1）因为曲线C1 的参数方程为xycos2sin（为参数），因为x2x，，则曲线C2 的参数方程xy2cos，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 ⋯分⋯y y. 2sin . . word 可编写..专业.专注.因此C2 的一般方程为 2 2 4x y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3⋯分⋯⋯⋯因此C2 为圆心在原点，半径为 2 的圆．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4⋯分⋯⋯⋯因此C2 的极坐标方程为 2 4 ，即 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5⋯分⋯⋯（2 ）解法1：直线l 的一般方程为x y 10 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6⋯分⋯⋯曲线C2 上的点M 到直线l 的距离|2 2cos( + ) 10| |2cos 2sin 10| 4d ．⋯⋯⋯⋯8 分2 2当cos + =14 即=2 k k Z 时，d取到最小值为4|2 2 10|2=5 2 2．⋯⋯⋯⋯⋯9 分当cos + = 14 即3= 24k k Z 时，d 取到最大值为|2 2+10|2=2 5 2 ．⋯⋯⋯10 分解法2：直线l的一般方程为x y 10 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6⋯分⋯⋯| 0 0 10 |因为圆C2 的半径为2，且圆心到直线l 的距离 5 2d ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分2因为5 2 2，因此圆C2 与直线l 相离．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 ⋯分⋯⋯因此圆C2 上的点M 到直线l 的距离最大值为 d r 5 2 2 ，最小值为 d r 5 2 2．⋯10 分23 ．解：（1）当a1时，f (x) | x 1| ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分⋯⋯⋯①当x1时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得x 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2⋯分⋯②当11x 时，原不等式可化为x 1 2x 2 ，解得x 1，此时原不等式无解．⋯⋯3 分2③当1x 时，原不等式可化为x 1 2x ，解得x 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4⋯分⋯2综上可知，原不等式的解集为x x 1或x 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5⋯分⋯⋯. word 可编写..专业.专注.3 a, x 3,（2 ）解法1：①当a 3时，g x 2x a 3, 3 x a,a 3, x a.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6⋯分⋯因此函数g x 的值域A a 3,3 a ，因为[ 2,1] A，因此a 3 2，解得a 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分⋯⋯3 a 1，3 a, x a,②当a 3时，g x 2x a 3, a x 3,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分⋯⋯a 3, x 3.因此函数g x 的值域A 3 a,a 3 ，因为[ 2,1] A，因此3 a 2，解得a5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯分⋯⋯a 3 1，综上可知，a 的取值范围是,1 U 5, ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯0⋯分⋯解法2：因为| x+a | | x+3| x+a ( x+3) a 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 ⋯分⋯因此g x f ( x) | x+3| | x+a | | x+3| [ | a 3|,| a 3|] ．因此函数g(x) 的值域 A [ |a3|,| a 3|] ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分⋯⋯因为[ 2,1] A，因此| a 3| 2，解得a 1或a5．| a 3| 1，因此a 的取值范围是,1 U 5, ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 0⋯分⋯⋯．. word 可编写.。
广州市2018届高三第一学期第一次调研测试文科数学试题(解析版)
2018届广州市高三年级调研测试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则AB =A. {}1-B. {}1,0-C. {}1,3-D. {}1,0,3-【答案】A 【解析】由B 中不等式变形得()30x x ->，解得0x <或3x >，即{|0B x x =<或}3x >，{}1,0,1,2,3A =-，{}1A B ∴=-，故选A.2.若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =A.52B.32D.2【答案】C 【解析】由()1i 12z i -=+，得()()()()121i 1213i 131i 1i 1i 222i i z i +++-+====-+--+∴z ==故选：C3.已知α为锐角，cos α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.13 B. 3C. 13-D. 3-【答案】A 【解析】∵α为锐角，cos α=∴sin α=tan?2α= tan?11tan 41tan?3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,故选：A4.设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q ：00x ∃> ，012xx >，则下列命题中是真命题的是 A. p q ∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】当2x =-时，241x =>，显然命题p 为假命题；当01x =时，01221x x =>=，显然命题q 为真命题； ∴p ⌝为真命题，q ⌝为假命题 ∴()p q ⌝∧为真命题 故选:B5.已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A. 5B. 4C. 6D. 0【答案】B 【解析】作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y 得y=﹣2x+z ．由图形可知当直线y=﹣2x+z 经过C 点时，直线的截距最大，即z 最大．解方程组20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩，得C （1，2）．∴z 的最大值为z=2×1+2=4． 故选：B ．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( )C.14D.12【答案】A 【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，1-,面积为4-；=故答案为：A7.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =4c =，3cos 4B =，则△ABC 的面积等于A. B.2C. 9D.92【答案】B【解析】由余弦定理得：2222ca?cos b c a B =+-，即27166a a =+-，解得：a 3=∴ABC11casinB 432242S==⨯⨯⨯=故选：B8.在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A. sin xB. cos xC. sin x -D. cos x -【答案】C 【解析】 ∵()0sin f x x =，f 1(x )=cos x ， f 2(x )=−sin x ， f 3(x )=−cos x ， f 4(x )=sin x ， f 5(x )=cos x .∴题目中的函数为周期函数，且周期T =4， ∴f 2018(x )=f 2(x )= −sin x . 故选：C.点睛：法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A.23B.12C.16D.13【答案】D 【解析】如图，将MB 平移至',M A N 为靠近1DD 的三个等分点处，123D N ∴=，M 为1CC 的中点，'M ∴也为1D D 中点，11'1,'3D M NM ∴=∴=，根据四点共面，//'QN AM ，1'3AQ NM ∴==，故选D.10.将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A.12πB.6πC.4π D.3π 【答案】B 【解析】将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数： ()2sin 23y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，又其为奇函数， ∴2sin 203πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()22k πZ 3k πϕ+=∈，，k π23πϕ=-，()Z k ∈，又0ϕ> 当k 1=时，ϕ的最小值为6π 故选：B11.在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A. 1+ D. 2+【答案】A 【解析】由题意易知：2c P ⎛ ⎝⎭，代入双曲线方程得：22223144c c a b -=∴42840e e -+=，∴24e =±e 1=±，又e 1>∴e 1=+ 故选：A点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为A.112π B. 6π C. 11π D. 12π【答案】C 【解析】如图所示，该几何体为三棱锥E FGH -.△EFG 的外接圆直径2r=EGsin EFG∠=∴外接球半径为2= ∴该三棱锥的外接球的表面积为11π 故选：C点睛：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(),2x x =+a ，()3,4=b ，若//a b ，则向量a 的模为____． 【答案】10 【解析】∵//a b ，且(),2a x x =+，()3,4b =， ∴()4x 32x -+=0 ∴x 6=，即()6,8a =∴10a == 故答案为：1014.已知函数2()21x x f x a =+-为奇函数，则实数a =________．【答案】12-【解析】∵()221xx f x a =+-为奇函数∴()()110f f +-= 即2+a-1+a=0 ∴12a =-故答案为：12-15.已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________． 【答案】1ln2+ 【解析】【详解】设切点为()mlnm m ，1ln y x '=+, 1ln x m y m ==+'∴()()y mlnm 1m m ln x -=+- 即()y 1m m ln x =+-，又2y kx =-∴12lnm km +=⎧⎨=⎩，即1ln2k =+故答案为：1ln2+点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16.在直角坐标系xOy 中，已知直线0x +-=与椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>相切，且椭圆C的右焦点(),0F c 关于直线cy x b=的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为________． 【答案】1 【解析】在RT△ODF 中，tan DOF OF c c b ∠==，，∴2OD ,bc c FD a a ==,∴2122EF E c bcF a a，==， 又1EF ?E 2a F +=，即2222a b c c bca a +==，设b c m a ===，，则2222x y m +=，22220x y m x ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得到：2224y 40y m -+-= 由0=，解得：m =OD 1EF 2==，，∴S=1故答案为：1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 满足()21*1234444n n na a a a n N -++++=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设421n nn a b n =+，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T .【答案】(1)*1=()4n na n ∈N ；(2)69nn T n =+. 【解析】 试题分析：(1) 因为221*123-144+44,4n n n n n a a a a a n N --++++=∈，所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥．易得：1=4n n a ；(2)利用裂项相消法求数列{}1n n b b +的前n 项和n T ． 试题解析：（1）当1n =时，114a =． 因为221*123-144+44,4n n n n na a a a a n N --++++=∈， ①所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥． ②①－②得1144n n a -=． 所以()*1=2,4n n a n n N ≥∈． 由于114a =也满足上式，故()*1=4n n a n N ∈．（2）由（1）得421n nn a b n =+=121n +．所以()()11111=212322123n n b b n n n n +⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭．故1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭ 111232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 18.如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ABCD 底面⊥，ED PA ∥，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若60ABC ∠=？,求三棱锥P ACE -的体积．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：(1)要证平面PAC ⊥平面PCE ，即证EF ⊥平面PAC ，又BD EF ，即证BD ⊥平面PAC ，进而转证线线垂直； (2)利用等积法求几何体的体积. 试题解析： （1）证明：连接，交于点O ，设PC 中点为，连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OFPA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ． 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ． 因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．（2）解法：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =． 又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥． 所以122PAC S PA AC ∆=⨯=． 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高． 因为EF DO BO ===所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯ 1233=⨯=． 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈0.95≈．【答案】(1) 0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． (2) 4600元． 【解析】试题分析：(1)由折线图，可得,x y ，依次算得()521ii x x =-∑，()521ij y y =-∑，()()51iii x x y y =--∑，可求得r 0.950.75=≈>, 所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)分别计算安装1台，2台时所获周利润值（期望值），数值大的为所选择。
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（ 2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最
多可运行台数受周光照量 X 限制，并有如下关系：
周光照量 X （单位：小时）
30 X 50
50 X 70
X 70
的 光照控制仪最多可运行台数
3
2
1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为
3000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制
A. 1 3
B. 3
C. 2 3 3
D. 2 3
12. 如图，格纸上正方形小格的边长为 面积为
1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表
A. 11 2
C. 11
B. 6
D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知向量 a x, x 2 ， b 3, 4 ，若 a / /b ，则向量 a 的模为 ____．
A. sin x
B. cos x
C. sinx
D. cosx
9. 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，点 M 为 CC1 的中点，点 N 为线段 DD1 上靠近 D1 的三等分点，平
面 BMN 交 AA1于点 Q ，则 AQ 的长为
2
A.
3
1
B.
2
1
C.
6
1
D.
3
10. 将函数 y 2sin x
仪周亏损 1000 元．若商家安装了 3 台光照控制仪，求商家在过去 50 周周总利润的平均值．
附： 相关系数公式 r
n
(xi x)( yi y)
i1
n
n
，参考数据
( xi x) 2
( yi y) 2
i1
i1
0.3 0.55 ， 0.9 0.95 ．
20. 已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ，抛物线 C 上存在一点 E 2,t 到焦点 F 的距离等于 3 ．
超过 70 小时的周数有 10 周．根据统计，该基地的西红柿增加量
y （百斤）与使用某种液体肥料 x （千克）
之间对应数据为如图所示的折线图．
（ 1）依据数据 折线图，是否可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系？请计算相关系数 r 并加以说明（精确
到 0． 01）．（若 | r | 0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
2x y 0， 5. 已知变量 x ， y 满足 x 2 y 3 0，则 z 2x y 的最大值为
y 0，
A. 5
B. 4
C. 6
6. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为
D. 0 2 的大正方形，若直角三角形中较
小的锐角
，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是
PA 2ED 2 ．
（ 1）证明：平面 PAC 平面 PCE ；
（ 2）若 ABC 60 ？, 求三棱锥 P ACE 的体积．
19. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去
50 周的资料显示，该地周光照量 X （小
时）都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的周数有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的周数有 35 周，
cos x
的图象向左平移
3
3
则 的最小值为
0 个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，
A. 12
11. 在直角坐标系
B. 6
xOy 中，设
F 为双曲线
C：
x2
2
a
C.
4
D. 3
y2
2 1(a 0,b 0) 的右焦点， P 为双曲线 C 的右支上一
b
点，且△ OPF 为正三角形，则双曲线 C 的离心率为
5
A.
2
3
B.
2
C. 10 2
D. 6 2
3. 已知 为锐角， cos
1
A.
3
5 ，则 tan 5
B. 3
4. 设命题 p ： x 1， x2 1 ，命题 q：
4
C.
x0 0 ， 2 x0
1 D. 3
3 1
，则下列命题中是真命题的是
x0
A. p q
B. ( p) q
C. p ( q)
D. ( p) ( q)
的右焦点 F c,0 关于直线 y
c x 的对称点
E 在椭圆 C 上，则△
OEF 的面积为 ________．
b
.三、 解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须做答．第 （一）必考题：共 60 分． 17 已知数列 an 满足 a1 4a2 42 a3
2018 届广州市高三年级调研测试文科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 设集合 A 1,0,1,2,3 ， B x x2 3x 0 ，则 A B
A. 1
B. 1,0
C. 1,3
D. 1,0,3
2. 若复数 z 满足 1 i z 1 2i ，则 z
6
()
A. 2 3 2
B. 3 2
1
C.
4
1
D.
2
7. △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 b
3 7 ， c 4 ， cosB ，则△ ABC 的
4
面积等于
A. 3 7
B. 3 7 2
C. 9
9
D.
2
8. 在如图的程序框图中， f i ( x) 为 fi ( x) 的导函数，若 f0 (x) sin x ，则输出的结果是
14. 已知函数 f ( x)
2x 2x 1
a 为奇函数，则实数
a
________ ．
15. 已知直线 y kx 2 与曲线 y x ln x 相切，则实数 k 的值为 _________．
16. 在直角坐标系 xOy 中，已知直线 x
2
2
2y 2 2
0 a b 0 相切，且椭圆 C
22、23 题为选考题，考生根据要求做答．
4n 1an
n n
N* .
4
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）设 bn
4n an ，求数列 bn bn 1 的前 n 项和 Tn . 2n 1
18. 如图，已知多面体 PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， PA 底面 ABCD ， ED∥PA，且
（ 1）求抛物线 C 方程；
（ 2）过点 K 1,0 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A ， B 两点（ A ， B 两点在 x 轴上方），点 A 关于 x 轴的对 称点为 D ，且 FA FB ，求△ ABD 的外接圆的方程． 21 已知函数 f x a ln x xb a 0 ．
（ 1）当 b 2 时，讨论函数 f x 的单调性；