高二数学两条直线的平行与垂直教案

高二数学两条直线的平行与垂直教案
第一篇：高二数学两条直线的平行与垂直教案
高二数学两条直线的平行与垂直教案
一、教学目标(一)知识教学点
掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．
(二)能力训练点
通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．
(三)学科渗透点
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．
二、教材分析
1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．
2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．
3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．
三、活动设计提问、讨论、解答．
四、教学过程
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)斜率存在时两直线的平行与垂直
设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是l1：y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．
两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．
即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq x（）要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
现在研究两条直线垂直的情形．
如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
可以推出
α1=90°+α2．
l1⊥l2．
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即eq x()
(三)例题
例1 已知两条直线
l1： 2x-4y+7=0，L2： x-2y+5=0．求证：l1∥l2．
证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合．证明：把l1、l2的方程写成斜截式：
∴两直线不相交．
∵两直线不重合，∴l1∥l2．例2求过点A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．
即 2x+3y+10= 0．
解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．
例3 已知两条直线求证：l1⊥l2．
l1： 2x-4y+7=0，l2： 2x+y-5=0．
∴l1⊥l2．
例4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．解法1 已知直线的斜率k1=-2．
∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是x-2y=0．
解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是x-2y=0．
(四)课后小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；
(3)与已知直线平行的直线的设法；(4)与已知直线垂直的直线的设法．
五、布置作业1．(1．7练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)y=3x+4和2x-6y+1=0；(2)y=x与3x十3y-10=0；
(3)3x+4y=5与6x-8y=7；
解：(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直．
2．(1．7练习第2题)求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：(1)平行于直线2x+5-5=0；(2)垂直于直线x-y-2=0；解：(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0．
3．(1．7练习第3题)已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：(1)平行；(2)垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．
解：(1)另一条也没有斜率．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立．
(2)另一条斜率为零．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立．
4．(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4，0)、B(6，7)、C(0，3)，求这个三角形的三条高所在的直线方程．
也就是 2x+7y-21=0．
同理可得BC边上的高所在直线方程为3x+2y-12=0． AC边上的高所在的直线方程为4x-3y-3=0．
六、板书设计
第二篇：两直线平行与垂直
两条直线的平行与垂直导学案
姓名班级主编：李潭潭审编：李平原
学习目标
1．掌握利用斜率判断两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；
2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯．学习重点与难点
本节课的重点是用斜率判断两直线平行与垂直的方法。

教学过程
问题情境
斜率刻画了直线的倾斜程度，那么，能否用斜率刻画两条直线的位置关系呢？首先看两直线平行的情况：
——两条直线（斜率存在）平行，即倾斜程度相同，那么它们的斜率如何？——如果两条直线的斜率相等，那么它们平行吗？
一、学生活动、建构数学
探究：两条直线平行，即倾斜程度相同，那么它们的斜率如何？
二、数学理论、数学运用
两条直线平行的条件
一般地，设直线l1，l2（不重合，斜率存在）所对应的斜率分别为k1，k2，则
说明：
（1）如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，从而l1//l2；
（2）在利用以上结论判断两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论．
（3）若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1，A2，B1，B2全不为零）平行，那么两直线平行的等价条件为.两条直线重合的等价条件为
欢中高二数学导学案-1-
例1（课本P78例1）
求证：顺次连结A（2，−3），B（5，
7），C（2，3），D（−4，4）四点所得的四边形
2是梯形．
例2（课本P79例2）
求过点A（2，−3），且与直线2x+y−5=0平行的直线的方程.练习：课本82页：1,2
再看直线垂直的情况：若l1⊥ l2（l1、l2都不与x轴垂直）一．学生活动
如图：作出两个直角三角形。

（直角边分别平行于坐标轴）
PQ
ST
=k2设l1、l2的斜率为k1、k2，则：=k1，QRPS
由于Rt⊿PST∽Rt⊿PQR（因为∠TPS=∠RPQ）故
STQR
= PSPQ
从而k1=－
即k1k2=－1 k
2反过来，若k1k2=－1，则l1⊥ l2。

二．数学理论：
因此，我们得到：
当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么，它们的斜率的乘积等于－1。

反之；如果它们的斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直。

即：还有其他的证明方法吗？（运用三角函数解决）思考题：若l1、l2其中一条直线的斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？
若一条直线的斜率不存在，且l1⊥ l2，则另一条直线的斜率为0。

逆命题同样成立。

三．理论应用：例3：（1）已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3,-4)，D(-6,11)求证：AB⊥CD
(2)已知直线l1的斜率k1=，直线l2经过点A(3a，－2)，4B（0,a ＋1），且l1⊥ l2，求实数a的值
例4.如图：已知三角形的顶点为A(2,4), B（1,-2），C(-2,3),求BC 边上的高AD所在的直线方程。

练习：判断两条直线的是否垂直：
⎧2x+3y=7⎧5x-2y=5（1）⎨（2）⎨
3x-2y=42x-5y=3⎩⎩
（3）⎨
⎧2x-y=5⎧x=
3（4）⎨
⎩6x+3y=4⎩y=0
如果它们垂直，试分别计算A1A2+ B1B
2结论：（若两直线斜率存在）对于两直线l1：A1x+B1y+C1＝0和l2：A2x+B2y+C2＝0,若l1⊥ l2，则A1A2+ B1B2＝0
例5在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h为多少米
时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到0.01m）四．课堂小结：
1.直线平行与垂直的条件（用斜率刻画）
2.直线平行与垂直的条件（在一般式下的表达）
五．课后反思：六．课外作业
1、直线mx+y−n=0和直线x+my+1=0平行的条件是
2、分别求满足下列条件的直线方程：
（1）经过点A(3,2)，且与直线4x+y-2=0平行
（2）经过点C(2,-3), 且平行于过两点M(1,2)和N(-1,-5)的直线；
3.求与直线3x+4y+9=0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程。

4、已知直线a与直线m：2x+3y-5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线a的方程
5、求经过点M(-2,1)且与点A(-1,2)、B(3,0)距离相等，又不与直线AB相交的直线方程6.（1）过原点O作直线l的垂线，垂足为点N （-2，1），则直线l的方程为.（2）直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+a-1=0垂直，则a=.7.已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3)，直线l2经过点C(2,2),D(-2,a+2),（1）若l1//l2,求a的值；（2）若l1⊥l2,求a的值。

第三篇：两直线平行与垂直的判定[推荐]
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
授课时间：第八周一、教学目标
1．知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条
直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.三、教学方法
尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学设想
第四篇：两直线平行与垂直的判定
课题：两直线平行与垂直的判定
一、学习目标：
1.掌握用直线的斜率来判定两直线的平行。

2.掌握用直线的斜率来判定两直线的垂直。

二、重点：两直线平行与垂直的判定及其应用。

难点：两直线垂直的判定公式的推导。

三、复习引入：
1.直线的倾斜角与直线的斜率之间有什么关系？
2.斜率公式是什么？
四、学习过程：
导读：阅读课本P86-P89,完成下列问题：
若l1//l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2有什么关系？斜率有什么关系？反之，若k1=k2，则l1与l2有什么关系？
归纳：两条不重合的直线l1，l2，其斜率为k1,k2有l1//l2⇔此结论有什么用途？
导思：已知A（2，3）,B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2)试判断直线BA与PQ的位置关系。

导读：阅读课本完成下列问题
设两直线l1与l2的倾斜角为α0
1与α2（α1,α2≠90）。

如图，如果l1⊥l2。

则α1与α2有什么关系？试推导k1与k2的关系？
归纳：两直线都有斜率时，l1⊥l2⇔k1⋅k2=
导思：已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6)试判断直线AB与PQ的位置关系。

导练：
1.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点，试判断∆ABC的形状。

2已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点，求点D的坐标，使直线AD⊥AB,且CB//AD.五、达标训练：
1.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-
1),C(4,2),D(2,3)试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

2.P89练习1.2
3.P89.习题3.1A组6.7.B组1.2.3.4六、反思小结：
第五篇：两条直线平行与垂直
两条直线平行与垂直
2010-5-1
4教学目标：
知识与技能：通过本节课的学习掌握用代数的方法判定两直线平行或垂直的方法。

过程与方法：利用两条直线平行，倾斜角相等这一性质，推出两条直线平行的判定方法，即l1∥l2⇔k1=k2 又利用两条直线垂直时，倾斜角的关系“α1=α2+900和几何画板进行验证得到两条直线垂直的判定方法，即l1⊥l2⇔k1.k2=-1并且对特殊情况进行研究。

情感、态度与价值观：通过本节课的学习，可以增强我们用“联系”的观点看问题，进一步增强代数与几何的联系，培养学好数学的信心。

教学重难点：
重点：揭示“两条直线平行（垂直）”与“斜率”之间的关系难点：“两条直线平行（垂直）”与“斜率”之间关系的探究教学过程：
一、引入
我们在初中已经学习了同一平面内两条直线的位置关系并且学习两条直线平行（垂直）的判定方法，为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入了直线倾斜角与斜率的概念，并导出了计算斜率的公式，即把几何问题转化为代数问题。

那么，我们能否通过直线l1,l2的斜率k1、k2来判断两条直线的位置关系呢？我们约定：若没有特别说明，说“两条直线l1与l2”时，一般是指两条不重合的直线。

二、两条直线平行的探究
1．两直线平行的充要条件的推导
设直线l1和l2是有斜率的两条直线，方程分别为l1：y=k1x+b1，y l2：y=k2x+b2，l
1l21 2x O
若l1//l2，则b1≠b2，且它们的倾斜角相等（如图），即α1=α2，∴tanα1=tanα2∴k1=k2，若b1≠b2且k1=k2，则tanα1=tanα2，∵0ο≤α1<180ο，00≤α2<1800，∴α1=α2，∴l1//l2．
归纳：当直线l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b 2时，直线l1//l2的充要条件是k1=k2且b1≠b2；直线l1和l2重合的充要条件是k1=k2且b1=b2．2．设直线l1和l2有方程l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，（1）当B1≠0，B2≠0时，则k1=-
b2=-
C2B2
A1B1，k2=-
A2B2，b1=-
C1B1，∵l1//l2的充要条件是k1=k2且b1≠b2，∴-
A1B1
=-
A2B2
且-
C1B1
≠-
C2B2，即
A1A2
=
B1B2
≠
C1C2
(A2B2C2≠0)（有时
用于判断比较方便），即A1B2-A2B1=0且B1C2≠B2C1．
（2）当B1=0，B2=0时，满足A1B2-A2B1=0，此时，l1：x=
l2：x=
C2A2
C1A1，C1A1
∴l1//l2的充要条件是
≠
C2A2，即A1C2≠A2C1．
归纳：当直线l1和l2有方程l1：A1x+B1y+C1=0，l2：
A2x+B2y+C2=0时，直线l1//l2的充要条件是A1B2-A2B1=0且B1C2≠B2C1或A1B2-A2B1=0且A1C2≠A2C1．
直线l1和l2重合的充要条件是：A1B2-A2B1=0且B1C2=B2C1；
或A1B2-A2B1=0且A1C2=A2C1
三、两条直线垂直的探究观察图：
探究1：这两条直线的倾斜角有什么关系？能够得到什么结论？α1=α2+900l1⊥l2⇔k1.k2=-
1注：上面的结论永远成立吗？
一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零时，上面结论不成立垂直归纳结论：
（1）已知直线l1和l2的斜率分别是k1和k2，且均不为0，则l1⊥l2⇔k1⋅k2=-1；
（2）已知直线l1和l2的斜率中有一个为0，则l1⊥l2⇔另一个的斜率不存在；
（3）已知直线l1和l2的方程分别为：l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0
则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0．
四、典例练讲例1．（1）过点（1，-4）且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。

（2）求过点（2，1）且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程。

分
析：求出斜率，利用点斜式代入即可。

一般情形：平行直线系：
1、与直线y=kx+b平行的直线系：y=kx+b1(b1≠b)
与直线Ax+By+C=0平行的直线系：Ax+By+C1=0(C1≠C)
2、与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线系：y=-
1kx+m
与直线Ax+By+C=0垂直的直线系：Bx-Ay+m=0 例2．已知直线l1:mx+y-(m+1)=0与直线l2:x+my-2m=0。

（1）当m为何值时，两直线平行？（2）当m为何值时，两直线
重合？
变题：已知两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.
分析：对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”.当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0⇒l1∥l2，
当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-1m
x-
6m，l2：
y=2-m
3m
x-
23，①当-⎧⎪-⎪
②当⎨
⎪-⎪⎩⎧⎪-⎪
③当⎨
⎪-⎪⎩
≠2-m即m≠-1，m≠3时，l1与l2相交.
3m
m
1m6m1m6m
222
=
2-m3m23，即m=-1时l1∥l2.
≠-
=
2-m3m23，即m=3时，l1与l2重合.
=-
综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当m=3时，l1与l2重合.
题后反思判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论.
例3．如图在路边安装路灯，路宽MN长为23米，灯杆AB长2.5米,且与
灯柱BM成120︒角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线AC与灯杆AB垂直,当灯柱
BM高为多少米时, 灯罩轴线AC正好通过道路路面的中线?(精确到0.01米)
分析：见课本81页。

小结：1:两条直线平行与垂直的判定条件
运用如何判断两条直线的位置关系和四边形或三角形的形状
教学流程及板书设计：。