材料力学 13章1-5能量方法
合集下载
材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
材料力学第十三章 能量法2013
§13-7 计算莫尔积分的图乘法 ★重点
(Energy methods)
§13-1 概述（Introduction)
能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
功能原理（Work-energy principle) 外力功等于变形能
2
Me ( x) U dx l 2 EI ( x )
2
(Energy （ Strain energy density for pure shearing state of stresses )
1 u ηγ 2
将 = G 代如上式得
G 2 2 u γ 2 2G
F1a
F2
M图
a B x A
F1a+F2l
特点：在刚节点处，弯矩值连续 ;
(Chapter Thirteen)
(Energy Method)
(Energy methods)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算及普遍表达式 §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-5 虚功原理（了解） §13-6 单位荷载法 莫尔定理 ★重点
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) U dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
材料力学第13章能量法
2
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
材料力学 第十三章能量方法
杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外 力做的功统一写成
V
W
1 2
F
式中 F——广义力；
δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。
6
§13-1 杆件应变能的计算
例题13-1
求图示悬臂梁的应变能V 和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。
拉压
dV
FN2 x 2EAx
dx
V l 2FEN2Axxdx
扭转
T 2x dV 2GIP x dx
弯曲
M 2x dV 2EIx dx
T 2x
V l 2GIP xdx
M 2x
V l 2EIxdx
5
§13-1 杆件应变能的计算
10
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
1 V1 2 F1l1
V 2
1 2
F2l2
F2
F1
F2
F1
E：同时加F1、 F2
C：先加F1，再加F2
常力F1在 Δl2上作功
V
1 2
F1l1
1 2
F2l2
F1l2
F1
F12l 2EA
F2 2l 2EA
15
F112 F2 21
上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移δ12上所做的 功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移δ21上所做的功。 这就是功的互等定理 在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得
1 2
Fy
材料力学 第十三章能量方法
l
l
l
25
例13-4 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力
M ( x ) xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x) PA x
③变形
fA
U PA
L
2
M ( x ) M ( x ) EI PA
dx
L
0
Px EI
U U ( P1 , P2 ,..., Pn )
给Pn 以增量 dPn ，则：应变能增量：
结构的应变能： U1 U U dPn
P n
U Pn
d Pn
n
Pn
2.先给物体加力 dPn ，则应变能
1 2 ( d Pn ) ( d n )
再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力，则：
F l
2 3
6 EI
由于应变能V 等于外载荷所做的功W。即V =W
F l
2 3
1 2
6 EI
Fy A
由该式得自由端的挠度
yA
Fl
3
3EI
由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求 位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。
7
例13-2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P 的作用，求A点的垂直位移。
12
二、组合变形杆件应变能的普遍表达式:
在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分 量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。
M x
FN x
dx
M x
T x
材料力学第十三章 能量法
直杆的M0(x)图必定是直线或折线。
M (x)M (x)dx
l
tg x M (x)dx
l
tg xC
MC
M (x) x tg
l
M
(
x)M EI
(x)
dx
M C
EI
顶点 顶点
2lh
3
1lh
3
二次抛物线
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 解（1）求自由端的挠度
三、弯曲
V W
纯弯曲：
1 2
M
e
1 2
M
e
Mel EI
M e 2l 2EI
M 2l 2EI
横力弯曲：V
l
M 2 (x) dx
2E I ( x)
13-3 变形能的普遍表达式
F3
1
F2
F1
2 3
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F3 3
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移C 。
wC1
B2
F
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
F l 2
得：F wC1 M
2 2EI
由此得：
wC1
Ml2 8EI
F3
1
13-5 卡氏定理
F2
F1
2 3 i
V
W
1 2
F11
1 2
F2
2
材料力学第13章 能量法
C
F1
b
F2
P21
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量法
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
A
B
a
F1
C
b
F2
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关.
P25
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
例题5 以弯曲变形为例证明 应变能Vε只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关. 解: 梁中点的挠度为:
A
第十三章
能量法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
F1
1
A
2
i
i
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
1 Vε ( F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 ) 2
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
安徽工业大学机械工程学院
P17
材料力学
第十三章
能量法
三、变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 解： M ( x ) F x
F
A C x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx x1 l 2 EI a Fb 2 Fa 2 l ( x ) ( x ) 1 2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3 Fa 2b 2 1 wC W F wC 由Vε=W 得 3 EIl 2
F1
b
F2
P21
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量法
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
A
B
a
F1
C
b
F2
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关.
P25
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
例题5 以弯曲变形为例证明 应变能Vε只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关. 解: 梁中点的挠度为:
A
第十三章
能量法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
F1
1
A
2
i
i
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
1 Vε ( F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 ) 2
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
安徽工业大学机械工程学院
P17
材料力学
第十三章
能量法
三、变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 解： M ( x ) F x
F
A C x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx x1 l 2 EI a Fb 2 Fa 2 l ( x ) ( x ) 1 2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3 Fa 2b 2 1 wC W F wC 由Vε=W 得 3 EIl 2
材料力学-第十三章 能量方法
班级学号姓名
１图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。
试求在F力作用下，桁架的应变能。
2计算图示各杆的应变能。
班级学号姓名
3用互等定理求解题。
试求图示各梁的截面Ｂ的挠度和转角，ＥＩ为常数。
4图示刚架的各杆的ＥＩ皆相等，试求截面Ａ，Ｂ的位移和截面Ｃ的转角。
班级学号姓名
5图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。
在载荷Ｆ作用下，试求节点Ｂ与Ｄ间的相对位移。
6图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。
试求节点Ｃ处的水平位移和垂直位移。
班级学号姓名
7刚架各部分的ＥＩ相等，试求在图示一对Ｆ力作用下，Ａ，Ｂ两点之间的相对位移，Ａ，Ｂ两截面的相对转角。
班级学号姓名
8等截面曲杆如图所示。
试求截面Ｂ的垂直位移和水平位移以及截面Ｂ的转角。
9等截面曲杆ＢＣ的轴线为四分之三的圆周。
若ＡＢ杆可视为刚性杆，试求在Ｆ力作用下，截面Ｂ的水平位移及垂直位移。
班级学号姓名
10在图示曲拐的端点Ｃ上作用集中力Ｆ。
设曲拐两段材料相同且均为同一直径的圆截面杆，试求Ｃ点的垂直位移。
11正方形刚架各部分的ＥＩ相等，ＧＩt也相等。
Ｅ处有一切口。
在一对垂直于刚架平面的水平力Ｆ作用下，试求切口两侧的相对水平位移δ。
班级学号姓名
12轴线为水平平面内四分之一圆周的曲杆如图所示，在自由端Ｂ作用垂直载荷Ｆ。
设ＥＩ和ＧＩｐ已知，试求截面Ｂ在垂直方向的位移。
13平均半径为Ｒ的细圆环，截面为圆形，其直径为ｄ。
Ｆ力垂直于圆环中线所在的平面。
试求两个Ｆ力作用点的相对线位移。
材料力学第十三章__能量方法
解：由节点B的静力平衡 条件求得各杆内力:
NAB5 4P , NBC4 3P
构架的变形能等于 AB和 BC两杆变形能之和:
UUAB UBC N 2A 2ElB AA B N 2B 2ElC BA C
U 1.9P2l 2EA
1.9P2l UWPB
2EA
2
B
1.9Pl EA
的中点挠度 f 5q l 4
。求梁在中点
384 E I
集中力P作用下 (见图)，梁的挠曲线与梁变
形前的轴线所围成的面积 。
q P 5ql4 5Pl4
384E I
384E I
例：长为 l、直径为d的圆杆受一对横向压力
P作用，求此杆长度的伸长量。已知E和μ。
解：由位移互等定 ，理 ①知 杆的伸长量 ②杆直径的减小量
i
U C Pi
性弹性杆件或杆系在 外力Pi作用点处与Pi相 应的位移δi
在线弹性杆件或杆系U=UC
卡氏第二定理 i
U Pi
线弹性杆件或杆系的应变能U对
于作用在该杆件或杆系上的某一
外力之变化率就等于该力作用点
沿作用线方向的位移。
(1)
轴向拉伸和压缩
i
l
N(x)N(x)dx EA P
M2(x) dx
l 2EI(x)
QS Z
bI Z
矩形：
s
6 5
U
l
s Q 2 dx
2 GA
圆形： 薄壁管：
s s
10 9 2 .0
U弯
l
22
1 (Px)2dxP2l3
材料力学第十三章 能量法
1 W F wC 2
由Vε=W 得
Fa 2b 2 wC 3 EIl
例题
试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截
B
面的垂直位移. 已知EI为常量.
解： M ( ) FRsin
F
R
θ
M ( ) Vε Rd l 2 EI π ( FRsin )2 πF 2 R 3 2 Rd A 0 2 EI 8 EI 1 W F y 2 πFR 3 由Vε=W 得 y 4 EI
1 1 1 1 W P1 1 P2 2 P3 3 Pn n 2 2 2 2
All forces are applied slowly from zero to the final value. All deformations are within the proportional limit. Conclusion: (1) U is not related to the order in which the forces are applied. (2) U = W
q
A B
F=qa
C x A x B x 2a a
C
1
x
FRA
2a
a
1/2a
（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）
qa qx 2 x AB: M ( x) x M ( x) 2 2 2a BC: M ( x ) qa x M ( x) 1 2 2 a qa a 1 qx x C [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 5qa 3 6 EI （ ）
例题 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠 度和转角.
材料力学第13章(能量方法)
M 2 ( x) [ M ( x ) M ( x )]2 M 2 ( x) dx L 2 EI dx L 2 EI dx 1 f A L 2 EI
M ( x)M ( x) 1 f A dx L EI
M ( x)M ( x) fA dx L EI
莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
先加单位力，再加原载荷：
外力作功：W1 W W 1 f A 应变能：
图b F0 =1
A
q(x) 图c
fA
[ M ( x ) M ( x )]2 V 1 L dx 2 EI
W1 Vε1
[ M ( x ) M ( x )]2 W W 1 f A L dx 2 EI
和转角。 q
A
1
x
l
B
A
B
x l
解： （1)垂直位移
qx 2 M ( x) 2
M ( x)M ( x) dB dx L EI
M ( x) x
1 l qx2 ql 4 0( 2 )( x )dx 8 EI ( EI
)
q
A
1
x
l
B
A
l
x
B
（2)转角
qx 2 M ( x) 2
[例2] 已知：梁的抗弯刚度EI，用莫尔积分法求B点的垂直
位移和转角。
q
A
1
B
A B
l
l
FNi FNi l i T ( x )T ( x ) dx L GI P E i Ai
M ( x)M ( x) L EI dx
M ( x)M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移
M ( x)M ( x) 1 f A dx L EI
M ( x)M ( x) fA dx L EI
莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
先加单位力，再加原载荷：
外力作功：W1 W W 1 f A 应变能：
图b F0 =1
A
q(x) 图c
fA
[ M ( x ) M ( x )]2 V 1 L dx 2 EI
W1 Vε1
[ M ( x ) M ( x )]2 W W 1 f A L dx 2 EI
和转角。 q
A
1
x
l
B
A
B
x l
解： （1)垂直位移
qx 2 M ( x) 2
M ( x)M ( x) dB dx L EI
M ( x) x
1 l qx2 ql 4 0( 2 )( x )dx 8 EI ( EI
)
q
A
1
x
l
B
A
l
x
B
（2)转角
qx 2 M ( x) 2
[例2] 已知：梁的抗弯刚度EI，用莫尔积分法求B点的垂直
位移和转角。
q
A
1
B
A B
l
l
FNi FNi l i T ( x )T ( x ) dx L GI P E i Ai
M ( x)M ( x) L EI dx
M ( x)M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移
中国民航大学《材料力学》第13章 能量法
CAUC
几何法：
1
1
F1L1 EA
2PL EA
2β B
Δ2
Δ1
β
C
B’
D
2
PL EA
BC
21
2
2PL EA
CD
2
PL EA
BD (2 2 1)PL EA
CAUC
例5：图示简支梁 AB，承受均布载荷 q 作用。试用卡氏定理计算 B
截面的转角，设 EI 为常数。
q
解：在 B 处附加一力偶 MB，计算在 q 和
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量，称为弹性变形能，简称变形能。
固体在外力作用下，引起力作用点沿力作用方向位移，外力 因此而做功。另一方面，弹性固体因变形而具备了做功的能 力，即储存了变形能。物体的变形能在数值上等于外力在加 载过程中在相应位移上所做的功，即
Vε ＝W
在弹性范围内，弹性体的变形能量是可逆的；超过弹性范围， 塑性变形将耗散一部分能量，变形能不能全部再转变为功。
CAUC
第一节 外力功、应变能与克拉比隆定理
一 杆件变形能的计算
1、轴向拉伸或压缩
Vε
W
1 2
FN
L
FN2 L 2EA
当拉力FN为变量时，
F
dF F
L
L
d(L)
dVε
FN2 (x) 2EA
dx
2、纯剪切
Vε
L
FN2 (x) 2EA
dx
u 2 1
2G 2
单位体积变形能：
u Vε
2
1
关系时，才能应用卡氏定理。
卡氏定理的特殊形式：
(1)横力弯曲的梁：
材料力学 13 能量法
P2
U n Pn
U n Pn
第二卡氏定理
意大利工程师—阿尔
n P n
伯托· 卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 1847～1884)
二、使用卡氏定理的注意事项：
P1
P2
①U——整体结构在外载作用下的线
弹性变形能 ② Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数 ③ n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。
M AB ( x1 ) P( L x1 ) Px ( x x1 )
M BC ( x1 ) P( L x1 )
A
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M AB ( x) Px 0 x1 x Px
M BC ( x ) Px
Px 0 0
③变形（ 注意：Px=0）
P=60N
B
解：①画单位载荷图
P0 =1 B
A
C
500
A
C x
500xΒιβλιοθήκη 10x120 10 5
②求内力
M AB ( x) Px
M 0 AB ( x ) x
TCA ( x1 ) 0.3P T0CA ( x1 ) 0.3
20
5
M AB ( x) Px
M 0 AB ( x ) x
TCA ( x1 ) 0.3P
EA
Pn
T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) dx L dx L dx GI P Pn EI Pn
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x) xP xP A ②将内力对PA求偏导
材料力学13能量法
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GIp (x)
M 2(x) dx l 2EI (x)
kFs 2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。10
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
V F
FL3 48 EI
wC
29
说明： （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
30
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
22
F
B2
wC1
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16EI
T (x)
M (x)
FN (x)
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GIp (x)
M 2(x) dx l 2EI (x)
kFs 2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。10
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
V F
FL3 48 EI
wC
29
说明： （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
30
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
22
F
B2
wC1
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16EI
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P3
2
3
1 0
假定：外载荷按照同一比例β变化
1 W ( P P P ) U 1 1 2 2 3 3 2 1 U W ( P P P ) 11 22 33 2
( P P P ) d W dW ( P P P ) d
求：各杆的变形能。 (a) (b)
(c)
U U U a b c ?
特性1：计算U时不 能用叠加原理。
P1
Na P 1
P1
P2 N b P 2 P 22 l Ub 2EA P2 N P P c 1 2 2 (P P ) l 1 2 U c 2 EA
P1 2 l Ua 2EA
变形形式 轴向拉压 扭转
外力功
1 W P l 2
变形能（内力为常量） 变形能（内力为变量）
1 W m 2
N l U 2 EA T 2l U 2 GI P
2
N 2 ( x)dx U 2 EA 0
T 2 ( x ) dx U 2GI P 0
M 2 ( x)dx U 2 EI 0
注意：Pk， δk (k=1,2,…)应理解为广义力和广义位移
将克拉贝依隆原理应用到组合变形中： M(x) T(x) N(X)
N ( x)dx N ( x ) d ( l ) EA 1 N (x )d( l) 2
dx
T ( x ) d
T ( x ) dx 1 T(x)d GI P 2
l1
2 P l1 P x dx 1 2EI 6 EI
2
2 1
3
6 E I
6 E I
2 G I P
2)
1 3 3 2 W Py P l P l P l c 1 2 1l 2 2 y c 3 E I 3 E I G IP 又 W U
例2:
M
0
RB
A
C
RC M 0 R 解: 1) R B C l x 0 ,a M0 2) 列弯矩方程 M (x ) M (以A为原点) a , a l M 0 (xa ) x 0 l 3) 计算变形能 2 M 0 M ( x a ) dx 2 2 2 0 aM a l dx M a M l l 0 0 0 U 0 a 2 EI 2 EI 2EI 6EI 1 W M0A 4) M l 2 0 A (a ) W U E I 3 又 利用 WU ，只能求外力作用点沿外力方向的位移。
1 m 2
若M M ( x )
（横力弯曲）
M m M l EI
？
l
M 2l U （纯弯曲） 2EI
则总的变形能:
M 2 (x)dx dU 2EI
M2 (x)dx U 0 2EI
，所以 U U U M M
注：横力弯曲的U ，但对于细长梁 U U U M Q Q
yB 0
y y ( q ) y ( R ) 0 B B B B
( P P P ) d dW P d P d P d 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1
1 1 2 2 3 3
P1 P2 P3 d 1 2 3
P2 d P d P 3 1d
1d 2d 3d
11
22
33 0Biblioteka 克拉贝依隆原理根据功的互等定理：
解：1） 求 y c 将力分为两组
P （C点）
P 1（C点）， P2 （D点）
2） 求
P P 1 2 y Py c P P c 1 3 11 23 P P
P （D点）
P 1（C点）， P2 （D点）
yd
a
3
E 2
a
P
D 1
将力分为两组
C
a
根据功的互等定理：
P P 1 2 y Py d P P d 3 1 13 21 P P
3） 求
ye
a
P
C
E
a
ce
a
D
a
a
P
C
de
P1
1
E
a
3
D
a
2
C
yc
E
ye
a
yd
P2
D
ce ec 2
a a
C
a
3
P
E 2
D 1
a
de ed 2
M ( x)dx 1 M(x)d M ( x ) d EI 2
1 1 1 d WN () x dl ( ) T () x d M () x d 2 2 2
M(x) T(x) N(X)
dx
1 1 1 d WN () x dl ( ) T () x d M () x d 2 2 2
例1:
x2
z
y
已知:
l2
A
x
l1 , l 2 , d , E , G , P
U U U AB BC
弯曲变形 M ( x ) P x 1 1
2 l 1
求:1)刚架的变形能U; 2)截面C沿y方向的位移 y c
x1 P
B
解: 1)
l1
C
BC杆
M (x d x 1) 1 0 0 2 E I 2 2 扭转变形 T ( x ) Pl l l 2 1 M ( xd ) x Txd (2 )x 2 2 2 2 2 AB杆 U A B 0 0 2 E I 2 G I M ( x ) P x 弯曲变形 P 2 2 2 3 2 2 P l2 P l1 l2 2 3 2 3 2 2 Pl Pl Pl l 6EI 2GI P U 1 2 12 U B C
a
B
已知: M
0
, a , l , EI
l
求:A截面的转角 A
§13-4 互等定理
P2
P1
1
II 1
P3
P4
2
II 2
3
4
方 式 一
I : P1 P 2 I I : P3 P4
1 1 P P 1 1 2 2 1）先加 P 1 P 2 1 2 2 2 1 1 P P 3 4 3 3 4 4 2 2 2）再加 P 3 P 4 I I I I P P 1 II 2 II 11 22
1 1 1 1 I I I I U P P P P P P 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 I I I I U P P P P P P 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 2 2 2 2
§13-1 概述
变形能： U
在弹性变形范围内
外力功：W
在准静载荷(Quasi Static Loads)的作用下
U= W
准静载荷：外力是逐渐缓慢地从0增大到最终值，在加载 的每一个 瞬间，弹性体都保持平衡。
§13-2 杆件变形能的计算
1、轴向拉伸或压缩变形： P
l
P
A
P l 外力功：
WS ABO 1 P l 2
I I 1 1 I I 2 2 I 3 3
I 4 4
功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所作的 功就等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。 如果 P 0 ， P 0 2 4
I I I P P 11 3 3
P 又如果 P 1 3
位移互等定理
II I 1 3
1 m 2
T m T l G IP
则总的变形能
l
T 2l U 2G I p
若 T T ( x ) T 2 ( x)dx dU 2GI P
T 2 ( x ) dx U 0 2 GI p
3、弯曲变形：
m
A
m
O
m 外力功：
B
变形能 ：
WS ABO
P 1 1l P1l1 对于 先加 P1 l1 EA 2 1 P l 杆C 再加P P2 l 2 2 l 2 2 2 EA P l
1 2
1 1 U l P l P l c P 1 1 2 2 1 2 2 2 U U P l a b 1 2
1 2
1 1 U P l P l P l c 1 1 2 2 1 2 2 2 P12 l P 22 l P1 P 2 l 2EA 2EA EA
特性2：U 只与载荷的最终数值有关； 与加载方式无关。
2、扭转变形：
m
m
A
O
m 外力功：
B
变形能 ：
WS ABO
P1
1
P2
P3
P4
2 3 4 I I 3 4
方 式 二
1）先加 P 3
P4
1 1 P 3 3 P 4 4 3 4 2 2
2）再加
P1 P 2
1 1 1 2P P 1 1 2 2 2 2 I I P P 3I 4I 33 44
1 1 1 1 I I U P P P P PP 2 1 1 2 2 3 3 4 4 3 3 4 4 2 2 2 2
I I I I I I U U P P P P 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4