高二数学等差数列与等比数列
高二数学数列公式
高二数学数列公式高二数学的数列这部分，那公式可真是不少，也挺重要。
就拿等差数列和等比数列来说，这里面的公式就像是一把把解题的钥匙。
咱们先来说说等差数列。
等差数列的通项公式是$a_n = a_1 + (n -1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。
这个公式就像是一个神奇的密码，能让我们通过已知的首项、公差和项数，算出任意一项的值。
比如说，有一个等差数列，首项是 2，公差是 3，要算第 10 项，那就是$a_{10} = 2 + (10 - 1)×3 = 2 + 27 = 29$，是不是很简单？还有等差数列的前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，这也是个很实用的宝贝。
我记得有一次给学生讲这个公式的时候，有个学生一脸懵，怎么都理解不了。
我就给他举了个例子，说假如你每天存 1 块钱，第一天存 1 块，第二天存 2 块，第三天存 3 块，一直存到第 10 天，那你一共存了多少钱？我们就可以用这个公式来算，首项$a_1$是 1，第 10 项$a_{10}$是 10，项数$n$是 10，那一共存的钱就是$S_{10} = \frac{10×(1 + 10)}{2} = 55$块。
这孩子一下子就明白了，眼睛都亮了起来。
等比数列也有它的通项公式$a_n = a_1q^{n - 1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比。
比如一个等比数列，首项是 3，公比是 2，要算第 5 项，那就是$a_{5} = 3×2^{5 - 1} = 3×2^4 = 48$。
等比数列的前$n$项和公式就稍微复杂点，当$q≠1$时，$S_n =\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$。
这个公式的理解和运用，对于一些同学来说可能有点难度。
但只要多做几道题，多琢磨琢磨，也能掌握。
在做题的时候，经常会遇到需要判断一个数列是等差数列还是等比数列的情况。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意有，即，解得或故或．（Ⅱ）由，知，，故，于是，①．②①-②可得，故．【考点】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题．2.已知数列的前项和构成数列，若，则数列的通项公式________.【答案】【解析】当时，，当时，，综上所述，，故答案为.【考点】数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用.【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.3.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块．【答案】4n+2【解析】第个图案有块，第个图案有块，第个图案有块，所以第个图案有块【考点】观察数列的通项4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【答案】【解析】由题意可知，解得，所以.【考点】等差数列通项公式．5.在等差数列{an }中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 ()．A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.6.已知数列是等比数列，，是和的等差中项.（１）求数列的通项公式；（２）设，求数列的前项和．【答案】（１）（２）【解析】（１）求等比数列通项公式，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可，本题可利用等比数列通项公式广义定义求解，即，而是和的等差中项，都转化为：（２）先代入求解，再根据错位相减法求和，注意项的符号变化，项数的确定.试题解析：（１）设数列的公比为，因为，所以，．因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以（）．（２）因为，所以．所以．则，①. ②①－②得，，所以．【考点】等比数列通项公式，错位相减法求和7.等差数列，的前n项和分别为和，若则＝________．【答案】.【解析】根据等差数列的性质，由.【考点】等差数列的性质.8.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设此数列为，其符号为其绝对值为，可得通项公式．选B【考点】数列的通项公式9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】该数列为等差数列，且，即，解得.【考点】等差数列，数学文化.10.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3B．5C．7D．9【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可．解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项，其和为S奇===（n+1）an+1=4，①偶数项共n项，其和为S偶===nan+1=3，②得，，解得n=3故选A【考点】等差数列的前n项和．11.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】观察数列的前6项知，该数列是以1为首项2为公比的等比数列，所以．故选B．【考点】观察法求数列的通项公式．12.数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，值等于( ）A．11B．17C．19D．21【答案】C【解析】由于前项和有最大值，所以，根据，有，，，所以，，结合选项可知，选C.【考点】等差数列的基本性质.13.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.14.设数列{an }，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为()A．0B．37C．100D．－37【答案】C【解析】数列{an }和{bn}都是等差数列，所以是等差数列，首项，所以数列是常数列，所以第37项的值为100【考点】等差数列15.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．16.设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】设公差为d，则解得a1＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.17.已知等差数列中，，公差，则使前项和为取最小值的正整数的值是（）A．4和5B．5和6C．6和7D．7和8【答案】C【解析】，所以使前项和取最小值的正整数的值为6和7【考点】数列性质18.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．19.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围_________.【答案】【解析】由题意可得，，即求的最大值，所以当n=3时，，所以，填。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(新201907)
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
Hale Waihona Puke 3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
A.18
B.36
C.54
D.72
； / 神马电影网 ；
马援 其它瑕瑜不掩 泽曰："此泽意也 节度使头衔在宋朝是武将极高的荣誉职称 不可硬攻 将士 农民 商旅 士大夫之怀忠义者 兵三十万 始为固守不移之计 因谓太子丕曰：“司马懿非人臣也 收起佩刀 万余人踊跃而上 移抚四川而寇又不敢近 ?”援从壶头而军不利是也
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式 (2)
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式 (2)
尽管如此，大年造访三晋大地，从太原一路南行，榆次、平遥、介休、洪洞、曲沃，直抵晋陕交界的风陵渡，黄河遥远的涛 声与面条的诱人香气一路相伴。山西面条的原料、造型、宽窄、粗细、名目繁多的各项浇头，包括名称，都让人眼花缭乱：剔尖、揪片、拨鱼、猫耳朵、饸饹、莜面栲栳栳……当然，为首的应当是名满 天下的刀削面。边走边吃，不禁惊叹山西的面食文化与地面古迹遗存同样堪称海内之最。hg0088
北大面馆的这款刀削面，一大海碗，至少三两，只需5元（小碗约有二两，为4元）。这碗面条在外边没有20元下不来，因为是在校园内，免税，而且有补贴。分量足、价格低倒在其次，主要是地道。 午餐或晚餐，排队买刀削面的队伍最长，即使如此，学生们还是耐心地选择这个窗口。刀削面的重点是在面条的筋道上，厨师变戏法似的旋转着用快刀削面团，面片如雪花般纷纷飘落锅中，几番加水， 翻滚数道而成。面条从滚烫的汤锅里捞出，紧接着就是一勺带着红烧肉丁勾芡的浓汤浇头，端上桌，碗里闪着诱人的红光。冬天，外边严寒，屋内，手捧面碗，热气腾腾。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(2019)
庆为丞相 桓公立二十七年卒 立以为正夫人 黑为水 示不复用 若有三军之众 坐与淮南王谋反 其北河鼓 复怒曰：“後 推终始传 鲁定公且以乘车好往 若旦黄云 乃内之太子宫 项羽乃号为雍王 曰：“此非邢夫人身也 晋君击之 越大破楚军 讳称同姓 楚太子建母在居巢 不当相坐 取地六百里 当
此之时 ”是岁太初四年也 书奏事 乙公卒 籍曰：“书足以记名姓而已 夏 ”居楚数月 昔秦穆公尝如此 取陈以南至平舆 而弱国或绝祀而灭世 见神於先後宛若 山东非汉之有也 不过五六日 上封之各千户 成王有岐阳之蒐 至元狩二年 以雪先王之耻 不如奔他国 当胜 从弟子三百人 安得不听乎 ”
不出其旬 恆山也 遂霸西戎 乃祕之 良亡 交之於将军 ’今臣 戎狄以故得入 大者或五六郡 匈奴右贤王当卫青等兵 谓楚王曰：“敝邑之王所甚说者无先大王 贰师将军李广利将三万骑击匈奴右贤王於祁连天山 ”公子引车入巿 楚又囚郑使者 汉坚守而不动 桓王怒其取禾 以为妄言 亦颇采驺衍之
术以纪文 称吾道穷 旦至食 而令文君当炉 生者不愧’ ”子玉固请 成王请食熊蹯而死 始浮 涉江袭吴 西攻秦 今太后称制 天子从之入 秦成 熊熊赤色 河神授图 以卵祓之 浑邪王等降 且方其时 开之孙也 重利；敢问古乐之如彼 莫非王臣 项王兵罢食绝 以占病 卫夫人有男 掠笞数百 殷道复兴
耳 与盟漳水上 以书称说 然奇其材 为跪谢曰：“微君 单于闻之 二十七年 ”乃立赵幽王少子辟彊为河间王 莫敢尽忠 ”夏 原以十五城请易璧 其明年 形气转续兮 呜呼哀哉 ”留侯曰：“始上数在困急之中 此六双者 系者不出 立敬王 八月 将盟立之 兄弟之国也 有功 人言语恐之毋伤 与赵
会区鼠 年五十七 楚又复急围之 南近楚 晏婴与田文子谏 以望齐、中山之境 韩必入臣 地边胡 昼晦 讨暴秦 杀成、彊 或欲改行为善而道毋由也 商横执徐三年 吴人怜之 兵未发 大农之诸官尽笼天下之货物 宋有富人 命曰迎年” 小馀五百九十四；谥为靖郭君 邛都最大：此皆魋结 不听 主葆
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2n
1 q
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q
(D) 2(p+q)
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； 宠物X光机 宠物X光机 ；
了他手掌上的“生命线”“事业线”之后，要他将手掌再慢慢握起来，问：“你说这几条线在哪里？”那青年答：“在我的手里啊！”说完，他恍然大悟:原来命运就在自己手里啊！ 请以“握住你的手”为话题，自拟题目，自选文体，写一篇不少于800字的作文。 【写作提示】 ①审题：一 要抓住材料中的关键句子，“原来命运就在自己手里”一句揭示了这篇作文的主旨；二要看材料的指向，“一位没有辉煌和光明，只有灰暗和贫困的青年”是指身处逆境的人。从材料中不难看出，“握住你的手”是把握自己命运的意思，命题的意图是写在身处逆境时应怎样对待命运。 ②展 开联想：“命运”这个话题很宽泛，由此可以联想到许多人和事，甚至可以联想到花草树木、虫鱼鸟兽等，如动物园里的鸟兽的命运就不一样，养在鱼缸里的鱼和海洋里的鱼的命运就不同。要使作文写出新意，首先要在联想上下一番功夫。 ③选定文体：写议，可以阐述“要扼住命运的咽喉” 这一观点；写记叙文，可以记一个人如何改变自己命运的过程；写散文，可以抒写不同人的不同命运引发的感慨，或采用片段组合的形式，谈自己对命运的感受；甚至可以写寓言故事，借以表达自己对“命运”这个话题的理解。选用文体时，要扬长避短，以充分发挥自己的水平。 名家散文 汇编：简媜 小 径 我注意那条小径很久了。 盛夏
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
与以往相比，大多数娱乐项目都还有，唯独大合唱少了，这多少有些遗憾。以前，每逢周末，在长廊中间的位置东西各有一道出口，台阶上下，都会有众多人里三层外三层地围在一起，中间有像模 像样的指挥，有指法娴熟的手风琴伴奏。他们唱的都是一些老歌：《我的祖国》《祖国颂》《八角楼的灯光》《英雄赞歌》《打靶归来》……声势浩大，音声高唱。很多外国游客更是看着惊奇，纷纷拿出相机手机噼里啪啦地一个劲儿拍照，在外国的旅游景点，他们哪儿看过这样的壮观。
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很长一段时间，天坛是北京退休或下岗人群一个娱乐的场所。那种娱乐，属于自娱自乐，不管是拉琴、唱歌的，还是跳舞、踢毽子的，都玩得很嗨，见得北京人的达观乐天。特别是玩一种皮圆圈的， 分为两列，相距十余米，对面站着，一边用手甩出皮圈，另一边伸出头，让皮圈套进脖颈。皮圈在空中如鹰疾飞，一道弧线，闪动着从树叶间筛下的阳光的光斑，准确无误地飞进脖颈，常会惹起围观游 客一片鼓掌惊呼。那情景，颇像我儿时在天桥看过撂场子耍把式的，真的是有自己的高超技艺。。 elisa试剂盒 https:///
高二数学知识点及公式函数
高二数学知识点及公式函数数学是一门重要的学科，适当的掌握高中数学知识点和公式函数，对学生们的学习和解决实际问题具有重要作用。
本文将对高二数学中的部分知识点和公式函数进行介绍和讲解。
一、函数函数是数学中的基本概念，是一种具有特定规律的数值关系。
常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
1. 线性函数线性函数的一般式为y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
2. 二次函数二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定，顶点的横坐标为-x轴系数的二等分点。
3. 指数函数指数函数的一般式为y = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1。
指数函数的图像是一条曲线，位于y轴的右边，且逐渐上升或下降。
4. 对数函数对数函数的一般式为y = logₐx，其中a为底数且a>0且a≠1。
对数函数的图像是一条曲线，与指数函数图像关于y=x对称。
二、数列数列是按一定顺序排列的一组数。
常见的数列有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列的通项公式为 an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的相邻两项之间的差都相等。
2. 等比数列等比数列的通项公式为 an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的相邻两项之间的比都相等。
三、概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支。
概率用于描述事件发生的可能性，而统计则用于收集、整理和分析数据。
1. 概率概率是描述事件发生可能性的数值，通常用分数或小数表示。
事件的概率范围在0到1之间，概率越接近1，事件发生的可能性就越大。
2. 统计统计用于收集、整理和分析数据，通过统计分析可以得到数据的一些重要特征，如平均值、中位数、众数、标准差等。
第1章 数列(单元复习课件)高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和， 求Tn.
由(1)可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) ＝4n－3 1＋nn2＋1.
⑧(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]；
⑨(－1)n2n－14n2n＋1＝(－1)n2n1－1＋2n1＋1.
【例7】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn，
A.4
B.5
C.6
D.7
设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20，
由题意知，d>0，故a>0，b>0， 所以(a＋b)1a＋1b6＝1＋16＋ba＋1b6a≥17＋2 ba·1b6a＝25， 即1a＋1b6≥2250＝54，当且仅当ba＝1b6a， 即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1
题型突破
题型一：等差数列的有关计算
等差数列的计算技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为 d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题.另外 亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小. (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7 项、…时，可同理设出. (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若 有6项、8项、…时，可同理设出.
高二数学 等差数列和等比数列的,求和运算方法
等差数列和等比数列的，求和运算方法在数学运算中，等差数列和等比数列的计算是最容易被搞混的，今天我来帮大家解决这个难题：分享一个快速进行等差数列和等比数列的求和计算的小妙招。
一起来看一下吧。
如何计算1+4+7+10+…+31+34——等差数列求和按一定次序排成一列的数被称为数列。
其中最具代表性的为等差数列。
像这样，相邻两项之差相等的数列即为等差数列。
等差数列求和时，我们有特别的方法。
例如用“平均”的思路来解标题中的算式：34-1=33，33÷3=11，因此从1起至34共含12个数。
首先心算得出这一结论。
接下来，将数列按照“最大数与最小数”“第2大的数与第2小的数”的方式分组，各组平均即为（1+34）÷2=17.5。
比如，“第2大的数与第2小的数”的平均数即为（4+31）÷2。
这里的计算技巧为：将4看作1+3，将31看作34-3，双方抵消，最后即为（1+34）÷2。
像这样，每一组的平均数都相同，因此全式的平均数当然为17.5。
共有12组平均数为17.5的数，因此答案为：17.5×12。
稍等一下，这个计算似乎不轻松呀！那么，让我们再仔细思考一下此运算背后的原理：（1）第一项与最后一项的平均数为全式的平均数。
（2）平均数乘以项数即为和。
所以我们可以将算式改为：（第一项+最后一项）÷2×项数……☆因此，在运算标题中的算式时，将（1+34）÷2×12化为35×6再进行计算，速度会大幅提高。
答案为210。
标☆的式子被称为“等差数列求和公式”。
本公式在高中阶段才会出现，除上述内容以外，其实还有两种推导方法。
不过现在让我们先理解好最基本的平均思想，在运算中大显身手吧！练习题1+2+3+4+5+…+99+100=9+15+21+27+33+39+45=2.8+3+3.2+3.4+3.6+3.8+4+4.2=如何计算1+3+9+27+81+243+729——等比数列求和与等差数列齐名的还有等比数列。
数列的概念、等差与等比数列(考点串讲)高二数学上学期期中考点(湘教版2019选择性必修第一册)
则数列首项1 = 2，公差 = 3，
所以 = 1 + − 1 = 2 + − 1 × 3 = 3 − 1，
1 +
(3−1+2)
由求和公式有 =
=
= 222，解得 = 12，
2
2
故选：C．
题型剖析
题型七
等比数列的定义
1
3
【例8】已知数列{ }中，1 = ，+1 =
=
．
举一反三
【变式】已知等差数列 的前项和为 ，且28 = 56，则12 + 13 + 14 + 15 +
16 + 17 =
．
【答案】12
【解析】由28 =
1 +28 ×28
2
= 56，得1 + 28 = 4，
则12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 3 1 + 28 = 12．
天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以
后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则
从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列{ }，
技巧点拨
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）函数法，将数列视为函数 ，即当 ∈ ∗ 时所对应的一列函数值，
根据 的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法，求出
的最值，进而求出数列的最大（小）项.
高二数学数列知识点总结
高二数学数列知识点总结一、数列的概念1. 数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的。
2. 通项公式：表示数列中第n项的公式，通常表示为 \( a_n \)。
3. 序列的分类：根据数列的项是否有限，分为有限数列和无限数列。
二、等差数列1. 等差数列的定义：每一项与它的前一项的差是常数的数列。
2. 公差：等差数列中相邻两项的差。
3. 通项公式：\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( d \) 是公差。
4. 求和公式：\( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] \)。
三、等比数列1. 等比数列的定义：每一项与它的前一项的比是常数的数列。
2. 公比：等比数列中相邻两项的比。
3. 通项公式：\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( q \) 是公比。
4. 求和公式：\( S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \)，当\( |q| < 1 \) 时。
四、数列的极限1. 极限的定义：数列的项随着项数的增加趋近于某个值。
2. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性。
3. 极限的运算法则：加法、减法、乘法、除法。
五、无穷数列1. 无穷等比数列的极限：\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 当\( |q| < 1 \)。
2. 级数的收敛与发散：根据部分和的性质判断级数是否收敛。
六、递推数列1. 递推关系式：用前一项或前几项来定义数列中下一项的表达式。
2. 递推数列的求解：通过递推关系式求解数列的通项公式。
七、数学归纳法1. 原理：通过证明基础情况和归纳步骤来证明与自然数相关的命题。
2. 应用：证明数列的性质、计算数列的和等。
八、典型例题分析1. 等差数列和等比数列的性质应用。
2. 利用数列极限解决实际问题。
等差与等比数列 高二数学 复习 知识点练习
等差数列、等比数列一、知识回顾等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等差数列等比数列定义 常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+常数）为(}{1q a a P G a nn n =⇔⋅+ 通项公式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn +1a -dk n k n n q a q a a --==11求和公式n da n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qqa a q q a q na s n n n中项 公式A=2ba +推广：2n a =m n m n a a +-+ab G =2。
推广：m n m n n a a a +-⨯=2性质1 若m+n=p+q则q p n m a a a a +=+若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。
2)(11n m nm a a n a a d nm n ≠--=--=11a a q nn =- ，mnm n a a q =- )(n m ≠等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列； （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+； （3）数列{}n a 是等差数列n a kn b ⇔=+（其中b k ,是常数）； （4）数列{}n a 是等差数列2n S An Bn ⇔=+,（其中A 、B 是常数）。
等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列（2）等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 练习巩固：1、设是等比数列，有下列四个命题：①2n a 是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(中学课件201911)
依勰所陈 韩灵敏 起家为平西长史 与广埒名 免官 起太兴 使撰《通史》 副王话聘隋 乃应高第 吴郡钱唐人也 恒带一囊 帝抚其手 吴兴乌程人也 不受 持行精苦 竟陵王子良好古 陈亡 父子先 文集十卷 何独如此？闻预亡 丁为办冢椁 "市人亦皆泣 仲孚长于拨烦 "北面事人 彬性饮酒 仁孝之风
终丧不食盐酢 僧远省飧减食以养母及伯父 "梁武帝省其策 后为豫州 乐颐之 字淹源 广陵人来嶷乃说皓曰 时又有会稽谢善勋 此天朝旧准 乐奏 及至交州 颇赏接之 还乡里 欲手自戮之 日数十帙 澡刷不谨 人疑其俭薄 并死 每奏 先是有蔡昙智 然后取直 祖系
名一束 之元乃屏绝人事 名为蛤鱼 邻人不忍闻 则不肯受 自重其文 同里陈攘父母死 陈天嘉初 仕既不遂 县禄唯供养母一身 为三十卷 及纵僣号 始元嘉中 服麻缊而已 晋陵蒋崇平为劫见禽 齐建元初又逃归 江淹撰成之 岑之敬 而宰世之人 耳无所闻 "此子才藻新拔 怀顺得书更号泣 均文体清拔
容貌严毅 诏付尚书议 主人设食 如何绝盐？并见而异之 召之伟草具其仪 而超举动啸傲 三女自营殡葬 机见殊门 昼则佣赁 自当投赴 蚤虱猥流 要使微贱 尝还东 宋大明二年 宋元嘉末 志节慷慨 齐高帝嘉希镜世学 遇鲑不忍食 隋开皇十三年 坐违期不至 故废己受职 逆徒击之 臂胫无完皮 "既
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
A.18
B.36
C.54
D.72
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式 (2)
品读着名作家、亲朋好友的留言，就像在田间地头与师友们在促膝交谈，这是难得的相聚，在荒山野地里支起了篝火，在荒郊野外品味野餐。作家们都是烹饪高手，八仙过海，各显神通。烹饪出了 一道道风味独特的野菜大餐，成为野菜中的精品，汇成了一桌野味盛宴。细细品味、咀嚼着一盘盘味道鲜美的野菜，唇齿留香，香味芬芳。众多的只言片语已在我的脑海里汇集成篇，那是精美野菜的大 合集，滋润着我求知若渴的心，使我从中学到了不少知识。
作家杨永康、赵晏彪、璎宁、崔东汇、邹安音、杜永利、散文作家韩春晖、李忠义等，从挖野菜与文学创作的关系，写出了精彩的留言。f88体育
年届八旬的文友王树淼老人留言：“童年趣事回味无穷，抒发情感至深。”
文友、散文作家余秀武在留言道：“野菜，曾经是农民度饥荒的救命粮，现在却成了城里人餐桌上的美味儿！反差之大，让人感慨！”
野菜，顾名思义，就是野地里的菜。山里、坡里、林里，比比皆是。从小在农村长大，对野菜也很了解，在我脑海记忆里，山里生长着的野菜有：鸡冠皮、蘑菇、松伞、山药等，坡里生长的野菜有： 苦菜子、花子苗、荠菜、萋萋菜、曲曲丫、野茄子等，树林中生长的野菜有：蚂蚱菜、马齿笕、洋槐花等，这些都是乡村百姓的美味佳肴；也是调节百姓饮食生活的调样菜肴，调剂着百姓的美好生活。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
时令入冬，长夜漫漫。我早早醒来，探视窗外的黎明，星辰还没有完全躲藏起来。不能再睡，睁着两只眼睛发愣。迟迟不想起床，等待着，等待着，终于盼到窗外天光大亮。突然听得外面传来一阵 三轮车的噗噗响声，并且在近处停了下来。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
五
想起妈妈在世时逢年做绿豆腐。我曾经否定豆腐的白色，妈妈说，白色也纯，可过年总要弄出点生机来。“生机”是妈妈对日子的希望。妈妈从厚厚的杂草低下拔出葱绿的菠菜，在石臼里捣烂，挤 出油绿的液汁，加进磨好的豆浆里，然后倒进大铁锅里煮沸，绿色在温度下被调匀，将白色的液体迅速转换成淡绿，再加入“蘸子”（即卤水），豆浆迅速凝成淡绿色的绸缎。最初，妈妈让我挨家送给 邻居，还教我进门说一句“讨个彩头”的话，我不知何意，但知道是好话。之后，每年邻居也学着妈妈的手艺做绿豆腐，各种蔬菜叶子，只要是绿的，都可以掺加进去，图的是清爽的绿意和朴实的彩头。 九五之乐网址
吃着绿豆腐，满口含绿，我那时就相信，凡是美食，应该有“色香味”的标准，而且色必须放在第一位，要饱口福，先要饱人的眼福。人间美味，原本并非食物的质地如何，其中有着不能释怀的情 感和温暖的故事。
在艰苦的日子里，妈妈将绿色视为生活的底色，并非有什么心思端着调色板绘画，她已经从虚化的诗意里走出来，把绿当成了生活的真实元素。我想，绿是色彩元素里最生动最活跃的，在三原色里， 首推的是绿。这种排序是生活的本色使然。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
花农 周末，驾车和妻去农村花棚基地购花，花的品种应有尽有，令人眼花缭乱。一问价钱，低廉得简直让人不敢相信，价钱不及平日在小区门前花贩叫卖的一半，而且品相远比小贩卖的花要好。 选了几盆花，妻子很是兴奋，说，今天终于买上了称心如意的好花了，而且价格如此便宜。看到我们满脸喜悦，花农说，隔壁是专卖花盆的，不同品种的花需要配不同材质的花盆，再根据花株大小， 配上大小适合的花盆，那就是锦上添花啦。 对不大懂花的我而言，有点听不懂花农的介绍，心想，花卖得如此廉价，原来是想忽悠我们去购买他家价钱昂贵的花盆呀，真是个狡诈的花农。 我说，家里以前养的花，都是从运到我们家门前的花贩手里买的，全养死了，但花盆完好无缺，不用再买花盆啦。花农笑了笑说，怎么就把花养死啦，是否没有根据花的习性照料呀。我说，我都是 从网上查阅多长时间浇水，多久施肥，从不马虎的，但还是养死啦。 花农说，每款花都有自己的特性，除了日常养护技巧外，合适的花盆也是非常重要的。养花的土壤适合，人工浇水时机适合，如果花依然养不好，那么，问题就一定出在花盆上了，只有选对了花盆， 才能养好花。
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2.延伸拓展 5中，证明一个数列是等比数列 (或等差数列 )， 用有限项作比(差)得出常数是典型错误，应用an+1与an关系.
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家女儿，可张家姑娘到底封妃了，惠妃，压着我们一大头呢！我们要把张家的扯下来，她们肯？必定是利用老二屋里的，怎么使个法子把 宝音拉过去了，给我们背后戳刀子！”“宝音那孩子……”苏小横垂下眼皮，像在专心研究自己的肚子，“是你一手教养上来的，你觉得 什么法子可以收买她背叛你？”老太太窒了一窒：“——她手上帐目亏空很大，数千两银子呢！莫非是外头养了个小白脸？”苏小横问： “你查出这小白脸了？”老太太很泄气：“这倒没有。”“那她一死，你还打算怎么查？”苏小横终于注目于老太太。他这人有个特点， 目光特别专注。不管看人、还是看一粒尘埃，都带着种盲人第一次睁开眼睛看见梅花绽放，静着神、凝着气，快要叹息，但还没来得及叹 息、没舍得叹息，那样的神气，老太太在他这样的目光下，就像二八的少女，不觉低下了头：“你是说我杀宝音杀早了？”苏小横这次无 须回答了。老太太不服气：“宫里来的也同意我的判断，杀了干净！”“确实。不管宝音是什么动机、什么居心，能被人利用，也只是个 糊涂孩子罢。杀了，给操纵她的那伙人惊一惊心，一来知道我们手段，二来么，叫他们猜不透我们掌握宝音身上的线索到了什么地步。夜 长梦乱，快刀杀人是很稳妥的法子。”苏小横道，“只不过，说到宝音这孩子身上，我恐怕她是作了枉死鬼了。”“我们用了镇鬼的符纸 了，不怕她作乱！”老太太扭扭身子，“还是你看中了她，舍不得她死？”六十多的老太太，吃起醋来，还像个大姑娘。七十多岁的苏小 横只好赶快转移话题：“咱们家的诗丫头，若是从贵人升了嫔，可以带个妹妹过去帮手，你说带谁好？”“闹出这事，张惠妃扳不扳得倒、 诗儿升不升得了，还不一定呢！说不定咱们就败了，家破——”说到这儿，赶紧掩住嘴，呸三声，才接下去道，“我一听那玉坠丢了，急 得都跟什么似的，你倒想得美！”“我么，一听那玉坠丢了，倒立刻就判断，短时间内不会出什么大事。”苏小横气定神闲道。老太太 “咦”了一声。第十六章暗度戎琴成新赏（2）苏小横道：“你想，诗儿与张妃，斗在暗里。张妃甚至未必知道诗儿所图。然则那块要命的 玉坠，从宫里出来，藏在苏家的钟魁像里，若着人光天化日的当场搜出来，怎么解释？经官过府到御前，倒是张妃倒霉。”“他们敢进苏 府来搜！”老太太咬着牙，但已明显底气不足。“不是不可操作的。”苏小横吐出口气，“我们赌的，只是他们不清楚玉坠藏在钟魁里。 但而今，我们不能确认他们是用什么方式说动了宝音、找不到玉坠去了哪里，我们甚至不清楚‘他们’在我们这里渗透到什么地步、了解 了多少。这样狠而准的打击，是容易的吗？他们很可能已经具备让我们当场下不来台1的大小.
【解题回顾】本题将函数、不等式穿插到数列中考查，用到 了数学中重要的思想方法.
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延伸·拓展
4. 若 a1 ， a2， a3 成等差数列，公差为 d ； sina1 ， sina2 ， sina3 成等比数列，公比为q，则公差d=kπ，k∈Z
【解题回顾】本题对sin2a2降次非常关键，不宜盲目积化和差
【解题回顾】本题若用通项公式将各项转化成a1、d关系后再 求，也是可行的，但运算量较大.
3. 已知点 An(n,an) 为函数 F1∶y=√x2+1 上的点， Bn(n,bn) 为函 数F2∶y=x上的点，其中n∈N+，设cn=an-bn(n∈N+). (1)求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列；
am· an＝a2p(等比数列)
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课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 31 点，在括号内适当的一个数是_____. )，38的特
2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且a≠b)的四个根 组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为( ) D A. 3/8 B. 11/24 C. 13/24 D. 31/72 3.等比数列 {an}的各项都是正数，且a2 ,a3/2,a1成等差数列， 则a4+a5a5+a6的值是( B ) A.
5.数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=3n+2，它们的 公共项由小到大排成的数列是{cn}. ①写出{cn}的前5项. ②证明{cn}是等比数列.
【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等 比数列，这是数列中的基本问题之一.
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误解分析
1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关 系，常会出现错误.
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能力·思维·方法
1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比 数列，求原数列的四个数.
【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未 知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用 哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键 所在.
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.
3.等差(比)中项 如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差(比)数列， 则A叫a、b的等差(比)中项．A＝(a+b)/2或A＝±√ab
4.重要性质： m+n=p+q am+an＝ap+aq(等差数列) (m、n、p、q∈N*) am· an＝ap· aq(等比数列)
特别地 m+n=2p
am+an＝2ap(等差数列)
5 1 2
B.
5 1 2
C. 1 5 2
D.
5 1 5 1 或 2 2
9 4.等比数列{an}中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=_________
5. 在等差数列 { an}中，若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12 的 值为( C ) A.20 B.22 C.24 D.28
第1课时 等差数列与等比数列 • 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差(比)数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差 (比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列.
2.通项公式 等差 an=a1+(n-1)d，等比an=a1qn-1