双曲线的参数方程1
双曲线的性质大总结
双曲线的性质大总结双曲线是数学中重要的曲线之一，具有许多独特的性质。
在本篇文档中，我们将对双曲线的性质进行详细总结并进行讨论。
什么是双曲线？双曲线是平面上的一类曲线，它由一对称轴和两个分支组成。
双曲线的定义基于其与两个焦点和到两个焦点的距离之差的关系。
具体地说，对于给定的两个焦点F1和F2以及一个常数c，双曲线是满足以下条件的点P的集合：|PF1 - PF2| = c其中，PF1表示点P到焦点F1的距离，PF2表示点P到焦点F2的距离。
双曲线的一般方程双曲线的一般方程可以表示为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，a和b是与双曲线有关的常数。
这个方程描述了双曲线的形状和大小。
双曲线的性质双曲线具有许多有趣的性质，其中一些将在以下部分进行讨论。
对称轴双曲线有两个对称轴，分别与双曲线的两个分支相切。
对称轴是双曲线的中轴线，过双曲线的焦点。
对称轴是双曲线的一条特殊直线，它将双曲线分成两个对称的部分。
焦点和直线双曲线有两个焦点，每个焦点都位于对称轴上。
焦点是到焦点距离之差与常数c之比的点。
对于给定的双曲线，焦点的位置和数量是固定的。
双曲线的两个焦点和对称轴之间的距离是双曲线的主要特征之一。
另外，双曲线还具有一个特殊的直线，称为渐近线。
渐近线是通过双曲线的两个分支趋向于无限远的点所形成的。
对于双曲线来说，渐近线的斜率接近于对称轴的斜率。
离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。
离心率定义为焦点到对称轴距离与焦点到双曲线上点P的距离之比，可以表示为：e = c / a其中，e是离心率，c是到焦点的距离之差，a是双曲线的半长轴长度。
离心率描述了双曲线的形状，它可以是小于1的实数。
离心率越小，双曲线的形状越扁平；离心率越大，双曲线的形状越窄长。
直角双曲线直角双曲线是离心率为根号2的双曲线。
它是一种特殊类型的双曲线，具有与坐标轴相交于直角的性质。
直角双曲线在自然和物理科学中经常出现，具有许多重要的应用。
抛物线的参数方程
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题 时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表 示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及 曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示 点的坐标．
3．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦 点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
证明：如图，设双曲线上的动点为 P(x，y)，
焦点 F1(－ 2，0)，F2( 2，0)，双曲线的参
数方程为xy＝＝tsaenc
θ， θ.
4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是 抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动 点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求 点M的轨迹方程．
2．过抛物线yx＝＝2t2t， (t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x2＋x2＝6.则|AB|＝ ________. 解析：化为普通方程是：x＝y42即 y2＝4x，∴p＝2. ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
答案：8
Байду номын сангаас
[例2] 连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长 OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它 是何曲线．
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线ax22－by22＝1 的参
数方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
且 φ≠π2，φ≠32π. (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ay22－xb22＝1 的参
数方程是xy＝＝abstaecn
双曲线、抛物线的参数方程
双曲线 、抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( )A ．x 轴上方B ．x 轴下方C ．y 轴右方D ．y 轴左方解析：选D.原参数方程可化为y 2＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t ，(t 为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 24y ＝t，(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝2t ，(t 为参数)解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2＝4x . 3．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan αy ＝6sec α，(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝x 23，sec α＝y6，由sec 2α－tan 2α＝1， 得y 262－x 2(23)2＝1， 即y 236－x 212＝1. 焦点在y 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝48，易得双曲线的焦点坐标是(0，－43)，(0，43)． 4．双曲线x 2－y 2＝1的参数方程是____________． 解析：由x 2－y 2＝1， 又sec 2θ－tan 2θ＝1， 所以令x ＝sec θ，y ＝tan θ.故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)由参数方程求解双曲线、抛物线的几何性质(1)双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，(α为参数)的焦点坐标是____________．(2)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，化为普通方程是____________．[解析] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，化为y 24－x 2＝1，可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝4＋1＝5， 故焦点坐标是(0，±5)．(2)由y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ＝2sin 2t 2cos 2t＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±5) (2)y ＝x2(1)给出双曲线、抛物线的参数方程就可以化为普通方程，进而化成标准方程，然后获得相应的几何性质．(2)注意双曲线的两种标准方程、抛物线的四种标准方程对应的参数方程的区别，重视参数的取值范围对曲线形状的影响．1.如果双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝6tan θ，(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点的距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a ＝1，故P 到它左焦点F 的距离|PF |＝10或|PF |＝6. 答案：10或62．过抛物线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2tx ＝t 2，(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．解析：化为普通方程是：x ＝y 24，即y 2＝4x ，所以p ＝2.所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8. 答案：8双曲线参数方程的应用已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上一点P ，与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．[解] 双曲线x2－y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ(θ为参数)，则Q (sec θ，tan θ)，又圆心C (0，2)，则|CQ |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan θ－2)2＝2(tan θ－1)2＋3. 当tan θ＝1，即θ＝π4时，|CQ |2取最小值3，此时有|CQ |min ＝ 3. 又因为|PC |＝1，所以|PQ |min ＝3－1.(1)用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θy ＝b tan θ(θ为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(a secθ，b tan θ)．这样可以将两个变量x ，y 的关系简化为一个变量θ的解析式．此外，我们可以利用θ的三角函数进行变形，使解决问题的途径更加广泛．(2)本类型题可用圆心到双曲线的距离最小值减去圆半径的方法．1.求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．证明：由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)． 2．如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明：设P (sec φ，tan φ)，因为F 1(－2，0)，F 2(2，0)． 所以|PF 1|＝(sec φ＋2)2＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝(sec φ－2)2＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝(2sec 2φ＋1)2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. 因为|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， 所以|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线参数方程的应用设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．[解] 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1tx y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，所以点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．(2)用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．1.已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt ⇒y 2＝2px ，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N (图略)，由题意可知，△MEF 是正三角形，所以∠MFN ＝60°，在Rt △MFN 中，|FN |＝|MF |cos 60°＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2.所以3－p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2⇒p ＝2.答案：22．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．解：设M (x 1，y 1)为抛物线上的动点，P (x ，y )在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2， 因为M (x 1，y 1)在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2ty 1＝2t 2， 由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x2y 1＝y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去参数t 得x 2＝4y . 它表示的是抛物线．1．双曲线的参数方程中参数φ的几何意义参数φ是双曲线上的点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角称为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，可类比椭圆的离心角进行理解记忆，双曲线的参数φ的最大取值范围是φ∈R，且φ≠k π＋π2(k ∈Z)，最小范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2.通常规定，离心角φ的取值范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2.2．双曲线的普通方程与参数方程的互化双曲线的普通方程与参数方程依据公式sec 2φ－tan 2φ＝1进行互化．由x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y b 2＝1⇒令x a ＝sec φ，y b ＝tan φ可得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧xa＝sec φy b ＝tan φ⇒代入sec 2φ－tan 2φ＝1得普通方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．3．抛物线参数方程中参数t 的几何意义t ＝1tan α(α是以射线OM 为终边的角)，即参数t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．4．抛物线的普通方程与参数方程的互化将抛物线的参数方程化为普通方程时只需一式平方与另一式相除即可，将抛物线y 2＝2px (p >0)化为参数方程时，必须令x ＝2pt 2代入y 2＝2px 中求出y ＝±2pt 后取y ＝2pt 得到的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)．5．抛物线另外三种标准方程的参数方程y 2＝－2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2pt2y ＝2pt (t 为参数)，x 2＝2py (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pty ＝2pt 2(t 为参数)， x2＝－2py (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt y ＝－2pt 2(t 为参数)． 6．圆锥曲线的参数方程不是唯一的圆锥曲线的参数方程与所选定的参数有关，不同的参数求出的参数方程也不一样．1．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t ，(参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1C. 2 D ．2解析：选B.设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2＝|PQ |2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2，由t 2≥0得d 2≥1，所以d min ＝1.2．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θy ＝3tan θ，(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0) 解析：选A.由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 3．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝2t ，(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ，(θ为参数)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为____________．解析：直线l 的参数方程化为普通方程为2x －y －2＝0，同理曲线C 的普通方程为y2＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，y 2＝－1，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 答案：(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，它们的交点坐标为________．解析：根据题意，两曲线分别是椭圆x 25＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2＝45x ，联立易得它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，255[A 基础达标]1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：选B.将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)．2．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(a ＋1a)，y ＝12(a －1a )(其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：选C.将所给参数方程的两式平方后相减，得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12|a ＋1a |≥1，得x ≥1或x ≤－1，从而易知结果．3．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e－ty ＝e t －e －t ，(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支 解析：选B.因为x 2－y 2＝e 2t＋2＋e －2t－(e 2t－2＋e－2t)＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t＝2.所以表示双曲线的右支．4．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .所以点M (2，4)在抛物线上．所以过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条． 5．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2C.1t 1＋t 2D ．1t 1－t 2解析：选A.依题意M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22) 所以k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝(t 1＋t 2)(t 1－t 2)t 1－t 2＝t 1＋t 2.6．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线所成的角为________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ(θ为参数)化为普通方程为y 2－x 23＝1，故a ＝1，b ＝3，渐近线方程为y ＝±33x ，则两条渐近线所夹的锐角是60°. 答案：60°8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝ty ＝t ，(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)9．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝2t，得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x .又因为M 点的纵坐标为2，不妨令M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又因为抛物线的准线方程为x ＝－12.所以由抛物线的定义知|MF |＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋12＝52. 即点M 到抛物线焦点的距离为52.10．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.解：设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos φ－sin φcos φ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|， 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.所以P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－34或⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，34.[B 能力提升]11．已知抛物线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t，(t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝( )A ．1B ．22C ． 2D ．2解析：选C.抛物线C 1的普通方程为y 2＝8x ，焦点为(2，0)，故直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意|－2|12＋(－1)2＝r ，得r ＝ 2.12．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt ，(t 为参数，p >0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，则M ，N 两点间的距离为________．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)， 所以|MN |＝(2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt1－2pt2)2＝2p|t1－t2|＝2p(t1＋t2)2－4t1t2＝4p2.故M，N两点间的距离为4p2.答案：4p213．求证：以等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．证明：设双曲线为x2－y2＝a2，取顶点A(a，0)，弦B′B∥Ox，B(a sec α，a tan α)，则B′(－a sec α，a tan α)．因为k B′A＝a tan α－a sec α－a，k BA＝a tan αa sec α－a，所以k B′A·k BA＝－1.所以以BB′为直径的圆过双曲线的顶点．14．(选做题)已知A为抛物线y2＝2px(p>0)上的一个定点，BC是垂直于x轴的一条弦，直线AB交抛物线的对称轴于D点，直线AC交抛物线的对称轴于E点，求证：抛物线的顶点平分线段DE.证明：设抛物线上的点A的坐标是(a22p ，a)，点B的坐标是(t22p，t)，则点C的坐标是(t22p，－t)，于是AB的方程是y－a＝t－at2－a22p(x－a22p)，即y－a＝2pt＋a(x－a22p)，AB与x轴的交点为D(－at2p，0)，同理直线AC的方程是y－a＝2pa－t(x－a22p)，所以点E的坐标为(at2p，0)，所以抛物线的顶点平分线段DE.11。
双曲线参数方程中参数的几何意义
双曲线参数方程中参数的几何意义双曲线是高等数学中重要的曲线之一，它在几何学和物理学中有着广泛的应用。
双曲线参数方程是描述双曲线的一种常见表达方式。
在双曲线参数方程中，参数起到了至关重要的作用，它们决定了双曲线的形状和特性。
本文将深入探讨双曲线参数方程中参数的几何意义，以便更好地理解双曲线的性质和应用。
1. 双曲线的一般方程双曲线的一般方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是实数，且满足a和b均不等于零。
这个方程可以通过参数方程的方式来表示，即x = a*secθ和y = b*tanθ，其中θ为参数。
2. 参数θ的几何意义参数θ代表了双曲线上每一个点与双曲线的焦点之间的连线与双曲线的主轴之间的夹角。
由于双曲线的焦点和主轴之间的关系是不变的，因此通过改变参数θ的取值，可以得到双曲线上不同点的位置。
当θ=0时，对应的点位于双曲线的右焦点处；当θ=π/2时，对应的点位于双曲线的上焦点处；而当θ=π时，对应的点位于双曲线的左焦点处。
3. 参数a和b的几何意义参数a表示双曲线沿x轴方向的长度，它决定了双曲线离x轴的距离。
当a增大时，双曲线会变得更扁平，离x轴的距离会变小；相反，当a减小时，双曲线会变得更加陡峭，离x轴的距离会变大。
参数b表示双曲线沿y轴方向的长度，它决定了双曲线离y轴的距离。
当b增大时，双曲线会变得更加狭长；相反，当b减小时，双曲线会变得更加宽胖。
4. 参数a和b的关系参数a和b之间存在一定的关系，即a^2 - b^2 = 1。
这个关系表明，当a大于b时，双曲线是纵向的，焦点在y轴上；当a小于b时，双曲线是横向的，焦点在x轴上。
当a和b相等时，双曲线变成了一个对等的圆。
5. 双曲线的性质和应用双曲线具有许多有趣的性质和应用。
双曲线是一种非切线连续曲线，它在无穷远处与两条渐近线相交。
双曲线还具有对称性，关于原点对称和关于x轴和y轴对称。
双曲线的焦点和离心率等性质也是双曲线独特的特征。
双曲线常用的六个结论推导
双曲线常用的六个结论推导双曲线是一种常见的数学曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将推导出双曲线的六个常用结论，并对每个结论进行详细的解释。
一、双曲线的定义和方程双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点（焦点）的距离之差等于一个常数（离心率）与该点到直线（准线）的距离之差的绝对值。
双曲线可以用以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1二、双曲线的焦点和准线焦点是双曲线上到两个定点距离之差等于常数e与该点到准线距离之差绝对值的点。
准线是与焦点等距离且位于坐标系y轴上方或下方的直线。
对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，焦点位于(±ae,0)，准线位于y = ±b/e。
三、双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，它们是与双曲线无穷远处相切且斜率为±b/a的直线。
双曲线的渐近线方程可以通过将x或y趋于无穷大来推导出来。
对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其渐近线方程为y = ±(b/a)x。
四、双曲线的对称轴和顶点对称轴是双曲线的中心轴，它是与焦点和准线垂直且经过中点的直线。
对称轴方程可以通过将x或y置零来推导出来。
对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其对称轴方程为y = 0。
顶点是双曲线与对称轴的交点，对于这个双曲线，顶点位于(0, 0)。
五、双曲线的离心率和焦距离心率是描述双曲线形状的一个参数，它定义为焦距与准线之间的比值：e = c/a，其中c表示焦距，a表示椭圆长半轴长度。
离心率决定了双曲线的形状，当离心率小于1时，双曲线是压缩型；当离心率等于1时，双曲线是标准型；当离心率大于1时，双曲线是扩张型。
六、双曲线的参数方程双曲线也可以用参数方程表示，其中x = asecθ，y = btanθ。
参数θ的范围可以是任意实数（除了θ = ±π/2）。
通过将参数方程代入双曲线的定义方程，可以验证其正确性。
双曲线及其标准方程-数学选修
contents
目录
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的图像与性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
01 双曲线的定义与性质
双曲线的定义
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线。双曲面是一种三维几何体，它有两个对 称的曲面，称为双曲抛物面。
在平面直角坐标系中，双曲线通常表示为两个分支的曲线，这两个分支在两个不同 的象限内。
双曲线反射镜常用于反射望远镜的主 反射镜，能够将光线反射并聚焦在副 镜上，再通过目镜观察。
物理中的应用
波动理论
在物理中，双曲线常被用于描述 波动现象，如声波、电磁波等。 通过双曲线方程可以描述波的传 播规律和性质。
运动轨迹
在某些物理问题中，双曲线可以 用来描述物体的运动轨迹，例如 行星绕太阳的椭圆轨道可以用双 曲线的一段来表示。
02 双曲线的标准方程
焦点在x轴上的双曲线标准方程
方程形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$
焦点位置
$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$
参数含义
$a$为半主轴长，$b$为半副轴长，$c=sqrt{a^2+b^2}$为焦 距。
焦点在y轴上的双曲线标准方程
方程形式
01
$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$
焦点位置
02
$F_1(0,c)$，$F_2(0,-c)$
参数含义
03
与焦点在x轴上的双曲线相同。
双曲线标准方程的推导
基于平面几何的性质
推导过程
通过平面几何中点与点的距离公式， 推导出双曲线的标准方程。
双曲线方程知识点详细总结
双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：= .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线的标准方程和简单几何性质常见考法在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。
高中数学双曲线公式大全
高中数学双曲线公式大全在高中数学中，双曲线是一种重要的曲线形式，常常被用来描述各种数学问题和物理现象。
双曲线具有许多独特的性质和特点，掌握双曲线公式可以帮助我们更好地理解和解决数学题目。
下面将介绍几种常见的双曲线公式和它们的性质。
1. 双曲线的定义双曲线是平面上一种特殊的曲线，其定义为点到两个给定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
在直角坐标系中，双曲线的方程通常表示为：1.水平双曲线：x 2a2−y2b2=1，其中a和b为正实数，表示双曲线在x轴和y轴上的截距。
2.垂直双曲线：y 2a2−x2b2=1，其中a和b同样为正实数，表示双曲线在y轴和x轴上的截距。
2. 基本双曲线公式2.1 水平双曲线公式•焦点：双曲线的焦点位于两个焦点F1(−c,0)和F2(c,0)处。
•中心：双曲线的中心位于原点O(0,0)处。
•顶点：双曲线的顶点位于两个顶点V1(−a,0)和V2(a,0)处。
•焦距：双曲线的焦距为2c。
•顶点到焦点的距离：a=√c2+b2。
2.2 垂直双曲线公式•焦点：双曲线的焦点位于两个焦点F1(0,−c)和F2(0,c)处。
•中心：双曲线的中心位于原点O(0,0)处。
•顶点：双曲线的顶点位于两个顶点V1(0,−a)和V2(0,a)处。
•焦距：双曲线的焦距为2c。
•顶点到焦点的距离：a=√c2+b2。
3. 双曲线的性质1.渐近线：双曲线有两个垂直的渐近线，通过中心，并且与双曲线趋于无限远处的两支相交。
2.对称性：双曲线关于两轴均对称。
3.渐进线：双曲线的两支曲线在无穷远处会趋向两条直线，这两条直线称为双曲线的渐近线。
4.参数方程：双曲线可以用参数形式表示为x=asecθ和y=btanθ。
)。
5.面积公式：双曲线所围成的面积为A=abln(2a+√4a2+b2b通过学习双曲线的定义、公式和性质，我们可以更好地理解和应用双曲线在数学问题中的实际应用。
希望以上内容对您有所帮助，让您更加深入地了解高中数学中有关双曲线的知识。
双曲线的参数方程抛物线的参数方程
,
xQ
a cos 1 sin
所以 OP OQ xP xQ a2 为定值
3、证明：设等轴双曲线的普通方程为
x2 y2 a2 (a 0),则它的参数方程为
x {
a
sec
(为参数)
y a tan
设M (a sec, a tan )是双曲线上任意一点，则
点M 到两渐近线y x, 及y x的距离之积为
解: 双曲线的渐近线方程为 y b x . 不妨设M为双曲 a
线右支上一点, 其坐标为(a sec,b tan ) , 则直线MA的方
程为 y b tan b (x a sec)
将
y
b
x
a
代入上式, 解得点A的
a
横坐标为
xA
a 2
(sec
tan )
同理, 得点B的横坐标为
xB
a 2
(sec
x p pk 2
{
k2 p
(k为参数)
y pk
k
6.已知椭圆C1
:
x=m+2cos y= 3 sin
(为参数)及
抛物线C2
:
y2
6( x
3 2
).若C1
C2
,
求m的取值范围.
t2
(x
2
pt12 )
所以点D的坐标为(2 pt1t2 ,0)
直线AC的方程为y
2
pt1
t1
1
t2
(x
2
pt12
)
所以E的坐标为(2 pt1t2 ,0)
因为DE的中点为原点(0,0),所以抛物线的顶点
O平分线段DE。
5、解：直线OA的方程为y kx，直线OB的方程为y 1 x k
高中数学双曲线公式总结大全
高中数学双曲线公式总结大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0)范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x —————离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距p=b²/c p=b²/c p通径2b²/a 2b²/a 2p参数方程x=a·cosθx=a·secθx=2pt²y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k 寒窗苦读十余载，今朝考试展锋芒;思维冷静不慌乱，下笔如神才华展;心平气和信心足，过关斩将如流水;细心用心加耐心，努力备考，定会考入理想院校。
双曲线知识点讲解
双曲线知识点讲解双曲线在数学中是一个非常重要的曲线形状。
它具有许多有趣的特性和应用。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、基本性质和一些常见的应用。
1. 双曲线的定义双曲线定义为平面上的点P到两个给定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a。
也就是说，对于平面上的任意点P，有|PF1 - PF2| = 2a。
这两个给定点称为焦点，常数2a称为双曲线的离心率。
双曲线可以用参数方程表示为x = a * cosh(t)和y = b * sinh(t)，其中a和b分别表示双曲线的半轴长度，cosh(t)和sinh(t)分别是双曲函数的余弦和正弦函数。
2. 双曲线的基本性质双曲线具有许多有趣的性质，以下是其中一些重要的性质：•双曲线是对称的：双曲线关于x轴和y轴都是对称的，即当(x, y)在双曲线上时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也在双曲线上。
•双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别是x = a和x = -a。
当x 趋近于正无穷大或负无穷大时，双曲线趋近于这两条直线。
•双曲线的焦点和直线关系：双曲线上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即|PF1 + PF2| = 2a。
•双曲线的离心率：离心率e是双曲线的一个重要参数，它等于焦点与顶点之间的距离与顶点到中心的距离的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
3. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：•光学抛物面：双曲线是抛物面的一种特殊情况。
抛物面经常用于天文望远镜和抛物面反射器等光学设备中。
双曲线的抛物面形状可以将平行光线聚焦到一个点上。
•交通流动：交通工程中的交叉口设计通常使用双曲线形状来保证车辆在转弯时平稳过渡。
双曲线的曲率变化较为平缓，能够减小车辆转弯时的离心力。
•经济学中的边际效用曲线：在经济学中，边际效用曲线描述了消费者对不同数量商品的边际效用变化。
双曲线、抛物线的参数方程
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
练习:
xt
1.已知参数方程
1 t 1 (t 是参数, t >0) y t t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x a sec y b tan ( 是参数, 2 2 )
表示什么曲线?画出图形.
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a
y
A o B
B'
•M
A' x
在OAA '中，x
| OA | a | OA ' | cos cos
a sec sec,
b
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .
练 习、 设 M为 抛物 线 y 2 2 x上 的动 点， 给 定点 M 0 ( 1,0)， 点P为 线段 M 0 M的 中点 ， 求 点 P的 轨迹 方程 。
复习回顾:
x a cos 1. 焦点在x轴上的 { (为 参 数 ) y b sin 椭圆的参数方程
对应的普通 方程为: 2.焦点在x轴上的双曲线参数方程
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
双曲线的最值问题及解决方法
双曲线的最值问题及解决方法摘要：1.双曲线的基本概念及特点2.双曲线最值问题的提出3.解决双曲线最值问题的方法4.方法实例与应用5.总结与拓展正文：一、双曲线的基本概念及特点双曲线是一种常见的数学图形，其方程形式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。
双曲线具有以下特点：1.有两个顶点，分别为（±a，0）和（0，±b）；2.有两条渐近线，分别为y = ±(b/a)x；3.离心率e = √(1 + b^2/a^2)；4.焦距为2c，其中c = √(a^2 + b^2)。
二、双曲线最值问题的提出在实际问题中，我们常常需要求解双曲线的最值问题。
最值问题可以分为两类：一类是在给定双曲线方程条件下，求解某函数的最大值或最小值；另一类是在给定函数条件下，求解双曲线与该函数的关系。
三、解决双曲线最值问题的方法为了解决双曲线最值问题，我们可以采用以下方法：1.利用双曲线方程特征：根据双曲线方程，分析其顶点、渐近线和离心率等特征，以确定最值问题的求解方向。
2.设参数法：将双曲线方程转化为参数方程，然后分析参数变化对函数的影响，从而求解最值问题。
3.利用数学工具：如导数、微积分等，求解双曲线与给定函数的关系，进而得到最值。
四、方法实例与应用以下以一个具体实例说明解决双曲线最值问题的方法：已知双曲线方程为x^2/4 - y^2/3 = 1，求该双曲线上的点到原点距离的最大值。
解：将双曲线方程转化为参数方程，得到x = 2cosθ，y = √(3)sinθ。
代入距离公式，得到距离d = √(4cos^2θ + 3sin^2θ)。
通过求导数，找到d的最大值点，即可得到最大距离。
五、总结与拓展本文介绍了双曲线的基本概念及特点，提出了双曲线最值问题，并阐述了解决方法。
在实际问题中，解决双曲线最值问题有助于优化工程、物理、经济等领域的相关问题。
双曲线的参数方程公式
双曲线的参数方程公式
双曲线是一类具有对称性的曲线，它在几何学中被广泛使用。
它可以用参数方程表示，参数方程的形式如下：对于一般双曲线，有：
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
其中(a,b) 是双曲线的两个焦点，a 是双曲线的长轴，b 是双曲线的短轴。
如果双曲线的焦点在原点，那么参数方程为：
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
这种情况下，双曲线的长轴和短轴的长度分别为2a 和2b。
如果双曲线是指数双曲线，则参数方程为：
y = a^x
其中 a 是双曲线的一个参数。
总的来说，双曲线的参数方程可以通过调整参数来控制双曲线的形状和位置。
希望这些信息对您有帮助。
二.双曲线的参数方程
a2
(sec2
4 cos2
tan
2
)
sin
2
a2 tan a2 b ab .
2
2a 2
由此可见, 平行四边形 MAOB 的面积恒为定值, 与点
M 在双曲线上的位置无关.
双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | a asec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan.
所以M的轨迹方程是
x
渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 的面积,
由此可以发现什么结论?
解: 双曲线的渐近线方程为 y b x . 不妨设M为双曲 a
线右支上一点, 其坐标为(a sec, b tan ) , 则直线MA的方
程为 y b tan b (x a sec)
aA' •
B
A
B'
o
x
b
x b 1 b cotφ tan φ
y a 1 a cscφ sin φ
练习：
1、求双曲线
x
2
3 secα 的两个焦点坐标.
y 4 3 tanα
(2 15, 0)
2、双曲线{x 3sec y tan
(为参数)的渐近线方程为
__y____13
x
双曲线方程推导过程
双曲线方程推导过程1. 引言双曲线是代数几何中的一种重要曲线，具有丰富的数学性质和广泛的应用。
在本文档中，我们将推导出双曲线的方程，并介绍一些基本概念和性质。
2. 双曲线的定义双曲线是指平面上满足以下方程的点的集合：$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b是正实数，称为双曲线的半轴长度。
3. 推导过程为了推导双曲线的方程，我们可以按照以下步骤进行：3.1 将方程改写为标准形式首先，我们可以通过一系列变换将双曲线方程改写为标准形式。
假设我们给定双曲线方程为：$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$$我们可以通过乘以a2和b2，并移项得到：$$x^2 - \\frac{y^2 \\cdot a^2}{b^2} = a^2$$进一步，我们可以通过对方程两边同时取对数，再进行一系列的代换和化简，最终将方程改写为标准形式：$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$$3.2 推导双曲线的基本性质在标准形式下，我们可以推导出双曲线的一些基本性质。
•双曲线的焦点：双曲线有两个焦点，分别位于x轴上方和下方的点F1和F2，满足|F1F2|=2c，其中$c = \\sqrt{a^2 + b^2}$是焦半径。
•双曲线的顶点：双曲线的顶点位于x轴上，距离原点的距离为a。
•双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别是直线$y = \\frac{b}{a}x$和$y = -\\frac{b}{a}x$。
•双曲线的离心率：双曲线的离心率定义为$e = \\frac{c}{a}$，表示焦点与顶点之间的距离与焦半径之比。
3.3 双曲线的参数方程双曲线的参数方程表示双曲线上任意一点的x坐标和y坐标与t的关系。
在双曲线的标准形式下，可以得到双曲线的参数方程：$$\\begin{cases} x = a\\cosh t \\\\ y = b\\sinh t \\end{cases}$$其中，$\\cosh t = \\frac{e^t + e^{-t}}{2}$和$\\sinh t = \\frac{e^t - e^{-t}}{2}$是双曲函数。
点到双曲线的最短距离公式
点到双曲线的最短距离公式
双曲线是一种常见的数学曲线，它具有许多有趣的几何性质。
在几何学和物理学中，我们经常需要计算点到双曲线的最短距离。
在本文中，我们将介绍一种计算点到双曲线的最短距离公式。
首先，我们需要了解双曲线的基本性质。
双曲线是一个超越曲线，它可以通过以下方程表示：
$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$
其中，a和b分别是双曲线的两个参数。
双曲线有两条渐近线，它们分别是y = bx/a和y = -bx/a。
这两条渐近线与双曲线的距离为b，因此我们可以将双曲线看作两条平行线之间的区域。
现在，我们考虑一个点P(x0, y0)到双曲线的最短距离。
为了简化问题，我们可以假设点P在双曲线的上方。
如果点P在双曲线的下方，我们可以通过取相反数来得到相同的结果。
为了计算点P到双曲线的最短距离，我们需要找到双曲线上的一点Q，使得线段PQ与双曲线的切线重合。
这里，我们可以使用双曲线的参数方程来找到点Q。
具体来说，我们可以将双曲线的方程表示为：
$x = asectheta$
$y = btantheta$
其中，$theta$是双曲线上的一个参数。
我们可以通过求导来获得双曲线上任意一点的切线方程：
$frac{dy}{dx} = frac{b}{a}sec^2theta$
现在，我们可以使用点斜式来表示线段PQ的方程：
$y - y_0 = frac{b}{a}sec^2theta(x - x_0)$
为了使线段PQ与双曲线的切线重合，我们需要取$theta$的值，使得它同时满足双曲线和线段PQ的方程。
双曲线的基本知识点公式
双曲线的基本知识点公式
双曲线是数学中经常遇到的曲线，它有许多独特的性质，被广泛应用于许多领域。
双曲线的基本知识点公式是一组数学方程，它们描述了双曲线的性质，例如它的曲线方程。
双曲线的曲线方程是一种二次形式：a×x2 + b×y2 + c×xy + d×x + e×y + f = 0，其中，a、b、c、d、e和f是实数，可能是正数、负数或零。
如果a、b和c不全为零，则双曲线是一个椭圆；如果a=b，则双曲线是一个圆；如果a=b=c=0，则双曲线是一条直线。
双曲线的另一个重要性质是它的极坐标方程：r = a/(1+e cosθ)，其中，a和e是实数，θ是参数，r是双曲线上任意一点到原点的距离。
这个方程描述了双曲线的性质，例如它的椭圆形状、大小和轴的方向。
另外，双曲线的参数方程也是一种重要的知识点：x = a(cos t + e cos 2t)，y = b(sin t + e sin 2t)，其中，a、b和e是实数，t是参数。
参数方程描述了双曲线的性质，例如它的曲率、曲线的方向等。
总之，双曲线的基本知识点公式是描述双曲线性质的一组数学方程，包括曲线方程、极坐标方程和参数方程，它们描述了双曲线的曲线方程、椭圆形状、大小和轴的方向等性质。
因此，了解双曲线的基本知识点公式对学习双曲线非常重要，并且可以为应用双曲线提供重要的支持。
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2、2、2双曲线的参数方程
学习目标
了解双曲线的参数方程的建立，熟悉双曲线参数方程的形式，会运用参数方程解决问题，进一步加深对参数方程的理解。
学习过程 一、学前准备
复习：复习抛物线的标准方程的四种形式，并填空：
（1）22
221(0,0)x y a b a b -=>>表示顶点在 ，焦点在 的双曲线；
（2）)0,0(122
22>>=-b a b y a y 表示顶点在 ，在 的双曲线。
二、新课导学
探究新知（预习教材P 12～P 16，找出疑惑之处）
1、类比椭圆参数方程的建立，若给出一个三角公式2
2
sec tan 1αα-=，你能写出双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>> 的参数方程吗？
2，阅读课本P29到p30，你能说出双曲线的参数方程中参数ϕ的含义吗？（画出草图尝试写出推证过程）
典型例题
例1 如图,设M 为双曲线122
22=-b
y a x (a>0,b>0)上任意一
点,O 为原点,过点M 作双曲线两渐近线的平行线,分别
与两渐近线交于A,B 两点.探求平行四边形MAOB 的面积,由此可以发现什么结论?
课堂练习
1.双曲线)(cos 6
tan 32为参数ααα⎪⎩
⎪
⎨⎧=
=y x 的两焦点坐标是 。
2、下列参数方程中，表示焦点在x 轴，实轴长为2的等轴双曲线的是（ ）
A 、2cos ()2sin x y θθθ
=⎧⎨
=⎩为参数 B 、2sec ()2tan x y θθθ
=⎧⎨
=⎩为参数
C 、sec ()tan x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数
D 、tan ()sec x y θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数
3 过P （0，1）到双曲线12
2
=-y x 上点M 的最小距离.
课后作业
设P 为等轴双曲线2
2
1x y -=上的一点，12,F F 为两个焦点，证明2
12F P F P OP ⋅=.
A
M
B
O x
y
2、2、3抛物线的参数方程
【学习目标】
掌握抛物线的参数方程及其推导过程,并能利用抛物线参数方程解决一些简单问题;
学习过程 一、学前准备
复习：复习抛物线的标准方程的四种形式，并填空： （1）2
2(0)y px p =>表示顶点在 ， 焦点在 的抛物线；
（2）22(0)x py p =->表示顶点在 ， 焦点在 的抛物线。
二、新课导学 ◆探究新知
如图，设抛物线的普通方程为2
2(0)x py p =>,(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任一点，以
射线OM 为终边的角记作α，则tan α= ，① 由2
2(0)x py p =>和①解出,x y 得到：
（t 为参数）你能否根据本题的解题过程写出抛物线的四种不同形式方程对应的参数方程？并说出参数表示的意义。
◆应用示例
例1．如图，O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线2
2(0)y px p =>上异于顶点的两动点，且
OA OB ⊥，求点A 、B 在什么位置时，ABC 的面积最小？最小值是多少？
解：
课堂练习
1已知抛物线2
2()2x t
t y t =⎧⎨=⎩
为参数，则它的焦点坐标为（ ）
A 、()0,1
B 、10,
2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭ C 、()1,0 D 、1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
3、对下列参数方程表示的图形说法正确的是（ ）
①14()14
x t t y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩为参数 ②cos ()sin x a y b θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数
A 、①是直线、②是椭圆
B 、①是抛物线、②是椭圆或圆
C 、①是抛物线的一部分、②是椭圆
D 、①是抛物线的一部分、②是椭圆或圆
3、经过抛物线2
2(0)y px p =>的顶点O 任作两条互相垂直的线段OA 和OB ，以直线OA 的斜率k 为参数，求线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程。
课后作业
1，A 、B 是抛物线22y x =上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，点A 、B 在什么位置时，AOB ∆的面积最小？最小值是多少？
2．曲线C 的方程是⎩⎨⎧==pt
y pt x 222
（,0>p t 为参数）,当t=-1和t=2对就的点分别是A,B.
（Ⅰ）求B A 、两点的直线方程（写成一般形式）； （Ⅱ）设F 是曲线的焦点,且FAB ∆的面积为14,求P 的值
O
y
x
αM(x,y)y
x
O
B
A。