【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.3.1 Word版含解析
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.4 Word版含解析
学业分层测评(十三) 三角函数的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．【解析】 最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T ＝2π100π s ＝150 s.【答案】 150 s2．如图1-3-20所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是________．①该简谐运动的振动周期为0.7 s ； ②该简谐运动的振幅为5 cm ；③该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大； ④该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零．图1-3-20【解析】 由图象知，振幅为5 cm ，T2＝(0.7－0.3)s ＝0.4 s ，故T ＝0.8 s ，故①错误；该质点在0.1 s 和0.5 s 离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故③错误；该质点在0.3 s 和0.7 s 时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故④错误．【答案】 ①③④3．如图1-3-21是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是________．图1-3-21【解析】 半个周期后，丁由最高点到最低点． 【答案】 丁4．已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________分钟. 【导学号：06460038】【解析】 依题意，即40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．【答案】 45．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1-3-22所示，此图可以视为y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分，此函数解析式是________．图1-3-22【解析】 由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和－3. ∴A ＝3.由图象知， T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．由图象知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是第三个关键点，∴π3×2＋φ＝π，∴φ＝π3，∴所求函数解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.【答案】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 6．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．【解析】 由题意可知，y ＝sin(ωt ＋φ)． 又t ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴φ＝π3，又由T ＝12可知，ω＝2πT ＝π6， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3.令2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z,12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z ，∵0≤t ≤12，∴令k ＝0,1，得0≤t ≤1或7≤t ≤12，故动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递增区间为0,1]，7,12]． 【答案】 0,1]，7,12]7．如图1-3-23所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．图1-3-23【解析】 将其看成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知：A ＝6，T ＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，下面确定φ，将(6,0)看成函数第一特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为： y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π＝－6sin π6x .【答案】 y ＝－6sin π6x8．(2016·南京高一检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1-3-24所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为________．图1-3-24①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6；③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6；④y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3. 【解析】 由题意可得，sin φ＝12，∴函数的初相是φ＝π6，排除④.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，ω＜0，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选③.【答案】 ③ 二、解答题9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)假若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃，当x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃，所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈4,16]， 所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈4,16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为：343－263＝83小时．能力提升]1．一个大风车的半径为8 m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图1-3-25所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h (米)与时间t (分钟)之间(h (0)＝2)的函数关系式为________．图1-3-25【解析】 那么，风车上翼片端点所在位置P 可由函数x (t )、y (t )来刻画，而且h (t )＝y (t )＋2.所以，只需要考虑y (t )的解析式．又设P 的初始位置在最低点即y (0)＝0.在Rt △O 1PQ 中，cos θ＝8－y (t )8，y (t )＝－8cos θ＋8.而2π12＝θt ，所以θ＝π6t ，y (t )＝－8cos π6t ＋8，h (t )＝－8cos π6t ＋10. 【答案】 h (t )＝－8cos π6t ＋102．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是． ①y A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；②y －46A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6；③y －46－A＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；④y －26A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x .【解】 (1)(2)如图所示；(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得yA＝26.025.8＞1≠cosπ6，∴①错误；代入②，得y－46A＝26.0－4625.8＜0≠cosπ6，∴②错误；同理④错误，③正确．。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.3.2.1 平面向量的坐标运算 含解析
学业分层测评(十九)平面向量的坐标运算（建议用时：45分钟)[学业达标］一、填空题1．若点P的坐标为（2 016,2）,向量错误!＝(1，－3），则点Q的坐标为________．【解析】∵错误!＝错误!－错误!,∴错误!＝错误!＋错误!＝(2 016,2）＋（1,－3）＝（2 017，－1）．【答案】（2 017，－1）2．（2016·如东高一检测）若向量错误!＝(2，3)，错误!＝(4,7），则错误!＝________。
【解析】错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!＝（2,3）－(4，7）＝（－2，－4）．【答案】（－2,－4）3．已知点A(－1，5)和向量a＝(2,3）,若错误!＝3a，则点B的坐标为________．【解析】设B点坐标为（x，y），则错误!＝(x＋1，y－5),∵错误!＝3a，∴（x＋1，y－5）＝3（2，3）＝(6，9)，∴｛x＋1＝6，y－5＝9，∴错误!【答案】（5，14)4．若向量a＝(x＋3，y－4)与错误!相等，已知A（1,2）和B(3，2）,则x，y的值分别为________．【解析】∵错误!＝(3，2）－（1,2)＝（2，0)＝（x＋3,y－4)，∴错误!解得错误!【答案】－1,45．已知a＋b＝（1，3）,a－b＝（5，7），则a＝________，b＝________。
【解析】由a＋b＝（1，3)，a－b＝(5，7)，∴2a＝(1,3)＋（5，7）＝(6，10），∴a＝（3,5），2b＝（1，3)－（5，7)＝（－4,－4)，∴b＝(－2,－2)．【答案】(3，5) (－2，－2)6。
已知O是坐标原点，点A在第二象限,｜错误!｜＝2,∠xOA＝150°，则向量错误!的坐标为________．图2.3。
16【解析】过点A作AB⊥x轴于点B,作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，则x＝|错误!|cos 150°＝－错误!，y＝|错误!｜sin 150°＝1。
苏教版高中数学必修4版学业分层测评17.docx
学业分层测评(十七) 向量的数乘(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.已知λ∈R ，则下列说法错误的是________.(填序号)①|λa |＝λ|a |；②|λa |＝|λ|a ；③|λa |＝|λ||a |；④|λa |>0.【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa |∈R ，而|λ|a 是数乘向量，故②必不成立.【答案】 ①②④2.化简14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )为________. 【解析】 原式＝14[](a ＋2b )＋3a －2a ＋4b ＝14(2a ＋6b )＝12a ＋32b .【答案】 12a ＋32b3.若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】 ∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →同向，∵＝57(如图)，∴＝25，又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →.【答案】 －254.在△ABC 中，已知BC →＝3BD →，则AD →＝________(用AB →，AC →表示).【解析】 ∵BC →＝3BD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，∴AD →＝23AB →＋13AC →.【答案】 23AB →＋13AC →5.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________. 【导学号：48582088】【解析】 ∵m 与n 共线，∴存在实数λ，使得m ＝λn ，∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)，∴⎩⎨⎧－1＝－2λ，k ＝λ，∴λ＝12，k ＝12.【答案】 126.已知向量a ，b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________.【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线.【答案】 A ，B ，D7.若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝________.(用e 1，e 2表示)【解析】 ∵AD →＝BC →，∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1.又∵BD →＝2BO →，∴BO →＝32e 2－e 1.【答案】 32e 2－e 18.已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则下列说法正确的是________.(填序号)①点P 在△ABC 外部；②点P 在线段AB 上；③点P 在线段BC 上；④点P 在线段AC 上.【解析】 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴2P A →＋PC →＝0.如图，易知P 在线段AC 上.【答案】 ④二、解答题9.如图2-2-23所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M ，N ，C 三点共线.图2-2-23【证明】 设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点，∴M ，N ，C 三点共线.10.如图2-2-24，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.【导学号：48582089】图2-2-24【解】 连接CN .∵AN ∥DC ，且AN ＝DC ＝12AB ，∴四边形ANCD 为平行四边形，∴CN →＝－AD →＝－b .∵CN →＋NB →＋BC →＝0，∴BC →＝－NB →－CN →＝b －12a ， MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝14a －b .[能力提升]1.若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________.【解析】 ∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →，∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →|.又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形.【答案】 等腰梯形2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________.【解析】 由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 是△ABC 的重心.取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →.又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3.【答案】 33.在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m ＝________，n ＝________.【导学号：48582090】【解析】 AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →.【答案】 13 234.已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2为两个非零不共线向量.问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？【解】 d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2. 要使c ∥d ，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝k (2e 1－9e 2)＝2k e 1－9k e 2，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ， 就能使d 与c 共线.。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.4.2 数量积的坐标表示 含解析
学业分层测评（二十二）数量积的坐标表示（建议用时：45分钟)[学业达标］一、填空题1．设a＝(1，－2)，b＝（3，1）,c＝(－1,1）,则（a＋b)·(a－c)等于________．【解析】a＋b＝（4,－1），a－c＝(2,－3），∴(a＋b）·（a－c)＝2×4＋（－1）×（－3）＝11。
【答案】112．已知向量a＝（1，k)，b＝（2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为________．【解析】依题意得a＋b＝（3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×（k＋2）＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4。
【答案】43．（2016·南通高一检测）已知a＝（2，3）,b＝（－4，7），则a在b上的投影为________. 【导学号：06460065】【解析】∵a＝（2，3），b＝（－4,7)，∴a·b＝2×（－4）＋3×7＝13,｜a|＝错误!，|b｜＝错误!,∴cos θ＝错误!＝错误!,∴a在b上的射影为｜a|cos θ＝13×错误!＝错误!。
【答案】错误!4．已知向量a＝（1，1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为________．【解析】由于2a＋b＝（4,2),则b＝（4，2)－2a＝（2,0），则a·b＝2，｜a｜＝错误!，｜b|＝2.设向量a,b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!.又θ∈[0，π］,所以θ＝错误!。
【答案】错误!5．（2016·南京高一检测）已知O是坐标原点,A,B是坐标平面上的两点，且向量错误!＝(－1,2）,错误!＝（3,m）．若△AOB是直角三角形，则m＝________。
【解析】在Rt△AOB中,错误!＝（4,m－2)，若∠OAB为直角时，错误!·错误!＝0，可得m＝4；若∠AOB为直角时，错误!·错误!＝0，可得m＝错误!;若∠OBA为直角时，无解．【答案】错误!或46．设a＝（4，－3），b＝（2,1），若a＋t b与b的夹角为45°，则实数t的值为________．【解析】a＋t b＝（4，－3)＋t（2，1）＝(4＋2t,t－3），(a＋t b)·b＝（4＋2t)×2＋(t－3）×1＝5t＋5。
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.2.3.1 含解析
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.2.3.1 含解析学业分层测评(五) 三角函数的诱导公式(一～四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝________.【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3＝12.【答案】 122．若sin (π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________.【解析】 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝－π6，tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33.【答案】 －333．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________.【解析】 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35.【答案】354．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为________．【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32. 【答案】325．设ta n(5π＋α)＝m (α≠k π＋π2，k ∈Z )，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．【解析】 ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m ，原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.【答案】 m ＋1m －16．已知f (x )＝sin x ，下列式子中成立的是________(填序号)． ①f (x ＋π)＝sin x ；②f (2π－x )＝sin x ； ③f (－x )＝－sin x ；④f (π－x )＝f (x )．【解析】 正确的是③④，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ， f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )． 【答案】 ③④7．tan 300°＋sin 450°＝________.【解析】 tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 【答案】 1－ 38．若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________.【导学号：06460014】【解析】cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0.于是sin 80°＝1－cos280°＝1－k2，从而tan 80°＝－1－k2 k.【答案】－1－k2 k二、解答题9．若cos(α－π)＝－2 3，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．【解】原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2 3，∴cos α＝23，∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos2α＝5 3，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52.10．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ， 平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.能力提升]1．已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________． 【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即 sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.【答案】 3102．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为________． 【解析】 由于tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，又tan 600°＝－3 a，∴3＝－3a，即a＝－ 3.【答案】－ 33．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α＝________.【解析】cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－15，①∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1 25，∴2sin αcos α＝－2425<0，又∵sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25，∴sin α－cos α＝75，②由①②得sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－3 4.【答案】－3 44．已知tan α，1tan α是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．【解】因为tan α，1tan α是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，所以tan α·1tan α＝13×(3k2－13)＝1，可得k2＝16 3.因为3π＜α＜7π2，所以tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，又tan α＋1tan α＝－－3k3＝k，所以k＞0，故k＝43 3，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝3 4，所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32.因为cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－3＋1 2，所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋1 2.。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 1.2.1 任意角的三角函数 含解析
学业分层测评(三) 任意角的三角函数(建议用时：45分钟)[学业达标］一、填空题1．已知sin α＝错误!,cos α＝－错误!，则角α终边在第________象限．【解析】 由sin α＝错误!＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得,角α的终边在第二或第三象限,故角α的终边在第二象限．【答案】 二2．若角α的终边落在y ＝－x 上，则tan α的值为________．【解析】 设P （a ，－a ）是角α上任意一点，若a >0，P 点在第四象限，tan α＝错误!＝－1，若a 〈0，P 点在第二象限，tan α＝错误!＝－1.【答案】 －13．有三个结论：①错误!与错误!的正弦线相等；②错误!与错误!的正切线相等;③错误!与错误!的余弦线相等．其中正确的是________．【解析】 在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线,余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．【答案】①②4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC是________三角形．【解析】∵A，B,C是△ABC的内角,∴sin A＞0。
∵sin A·cos B·tan C＜0，∴cos B·tan C＜0，∴cos B和tan C中必有一个小于0,即B，C中必有一个钝角，故△ABC是钝角三角形．【答案】钝角5．（2016·扬州高一检测）如果α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°),则sin α的值等于________．【解析】∵P(1,－错误!），∴r＝错误!＝2，∴sin α＝－错误!。
【答案】－错误!6．（2016·南通高一检测)在（0，2π)内，使sin α＞cos α成立的α的取值范围是________．【解析】如图所示，当α∈错误!时，恒有MP＞OM，而当α∈错误!∪错误!时,则是MP＜OM。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.2.2 Word版含解析
学业分层测评(九)正弦、余弦的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝2cos x －1的最大值是________，最小值是________．【解析】 ∵cos x ∈－1,1]，∴y ＝2cos x －1∈－3,1]．∴最大值为1，最小值为－3.【答案】 1 －32．函数y ＝cos x 在区间－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．【解析】 y ＝cos x 在－π，0]上为增函数，在0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]．【答案】 (－π，0]3．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是________(填“奇函数”或“偶函数”)． 【解析】 f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2 ＝－7cos 23x ，∴f (x )是偶函数．【答案】 偶函数4．y ＝sin x 的定义域为________，单调递增区间为________．【解析】 ∵sin x ≥0，∴2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .当x ∈0，π]时，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增， ∴其递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z . 【答案】 2k π，π＋2k π]，k ∈Z ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ＝________.【解析】 由题意，当x ＝π8时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．【答案】 k π＋π4(k ∈Z )6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是________．(只填序号) 【导学号：06460026】①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④函数f (x )是奇函数．【解析】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，则y ＝－cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，即②正确．由图象知y ＝－cos x 的图象关于x ＝0对称，即③正确．y ＝－cos x 为偶函数，即④不正确．【答案】 ④7．(2016·南京高一检测)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 【解析】 因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.【答案】 328．(2016·连云港高一检测)函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为________．【解析】 令t ＝cos x ，由于x ∈R ，故－1≤t ≤1.y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，当t ＝－1时，即cos x ＝－1时函数有最大值10；当t ＝1，即cos x ＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是2,10]．【答案】 2,10]二、解答题9．比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9；(3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.【解】 (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°＜250°＜260°＜270°，∴sin 250°＞sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在0，π]上单调递减，且0＜π8＜4π9＜π，∴cos π8＞cos 4π9，∴cos 15π8＞cos 14π9.(3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.又因为y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数， 所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.10．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x )＝2cos3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值．【解】 (1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.能力提升]1．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 【解析】 由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωx ≤ωπ3＜π3，f (x )取最大值2sinωπ3＝2时，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 【答案】 342．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈0,2π])是偶函数，则φ＝________.【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈0,2π]，∴φ＝3π2.【答案】 3π23．(2016·南通高一检测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为________．【解析】 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) 4．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．【解】 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0，解得0＜ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.1.2
学业分层测评(二) 弧度制(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题中，是假命题的序号为________． ①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位； ②1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π； ③1 rad 的角比1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．【解析】 ①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关． 【答案】 ④2．下列各式正确的是________． ①－270°＝－3π2；②405°＝9π4； ③335°＝23π12；④705°＝47π12. 【解析】 －270°＝－270×π180＝－3π2； 405°＝405×π180＝9π4； 335°＝335×π180＝67π36；705°＝705×π180＝47π12.故①②④正确． 【答案】 ①②④3．下列表示中不正确的是________．①终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }；②终边在y轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z ； ③终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ；④终边在直线y ＝x 上的角的集合是α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z .【解析】 ④错误，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z. 【答案】 ④4．(2016·南通高一检测)如图1-1-10所示，图中公路弯道处AB 的弧长l ＝________(精确到1 m)．图1-1-10【解析】 根据弧长公式，l ＝αr ＝π3×45≈47(m)． 【答案】 47 m5．(2016·泰州高一检测)已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】 设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 【答案】 1或46．已知角α的终边与π3的终边相同，在0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为________. 【导学号：06460005】【解析】 由题意得α＝2k π＋π3(k ∈Z )， 故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )，又∵0≤α3<2π，所以当k ＝0,1,2时，有α3＝π9，79π，139π满足题意． 【答案】 π9，79π，139π7．(2016·扬州高一检测)如图1-1-11，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．图1-1-11【解析】 ∵40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6， ∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36. 【答案】175π368．(2016·镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．【解析】 设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，弧长等于3R 的圆心角的弧度数为α＝3RR ＝ 3. 【答案】 3二、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈0,2π))的形式． (2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ. 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝469π.10．如图1-1-12所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．图1-1-12【解】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π＜α＜4π3＋2k π，k ∈Z. (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为α⎪⎪⎪－π6＋2k π＜α≤5π12＋2k π，k∈Z .(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z. (4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋k π＜α＜5π6＋k π，k ∈Z. 能力提升]1．(2016·泰州高一检测)已知某上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．【解析】 8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.【答案】 2π32．若角α的终边与π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.【解析】 与α终边相同的角的集合为α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z .∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π，化简得：－136＜k ＜116，∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 【答案】 －113π，－53π，π3，73π3．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.【解析】 如图所示，∴A ∩B ＝－4，－π]∪0，π]． 【答案】 －4，－π]∪0，π]4．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解】 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.又∵r ＞0，且l ＝30－2r ＞0，∴0＜r ＜15，∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr ＝2 rad ，∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，最大面积为2254 cm 2.。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.2.3
学业分层测评(十) 正切函数的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω； ③在x ∈－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1.【解析】 函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．【答案】 ④2．比较大小：tan π5________tan 13π10. 【解析】 tan 13π10＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋3π10＝tan 3π10.∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数且0＜π5＜3π10＜π2，∴tan π5＜tan 3π10，即tan π5＜tan 13π10. 【答案】 ＜ 3．函数f (x )＝tan 2xtan x的定义域为________． 【解析】 函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k π，x ≠k π，2x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴x ≠k π2且x ≠k π2＋π4，∴x ≠k π4，k ∈Z .【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z4．函数y ＝6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－6x 的对称中心为________．【解析】 y ＝6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－6x＝－6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π8，由6x －π8＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π12＋π48，k ∈Z ， 故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12＋π48，0，k ∈Z .【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12＋π48，0(k ∈Z )5．函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域为________．【解析】 ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0， ∴－1≤tan x ≤1且tan x ≠0， ∴1tan x ≥1或1tan x≤－1， 故所求函数的值域为(－∞，－1]∪1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－1]∪1，＋∞)6．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________.【解析】 由π|ω|＝π2，可知ω＝±2. 【答案】 ±27．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________．【解析】 ∵y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，∴T ＝π|ω|≥π， ∴|ω|≤1.∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内为增函数，∴ω<0，∴－1≤ω<0. 【答案】 －1≤ω<08．若f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，试比较f (－1)，f (0)，f (1)，并按从小到大的顺序排列：________.【解析】 ∵f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上单调递增，且T ＝π，∴f (1)＝f (1－π)， 又－3π4＜1－π＜－1＜0＜π4，∴f (1－π)＜f (－1)＜f (0)，即f (1)＜f (－1)＜f (0)． 【答案】 f (1)＜f (－1)＜f (0) 二、解答题9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．【导学号：06460029】【解】 (1)由x 2－π3≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠5π3＋2k π，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z . ∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝2π. 由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π，k ∈Z 得 －π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间是－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π，k ∈Z ，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z ，∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z. 10．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式．【解】 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2， 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π2π，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4(k ∈Z )． ∵0＜φ＜π2，∴φ只能取π4. 故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.能力提升]1．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan x 2，则下列说法中：①周期是π且有一条对称轴x ＝0；②周期是2π且有一条对称轴x ＝0；③周期是2π且有一条对称轴x ＝π；④非周期函数但有无数条对称轴．上述结论正确的有________(填以上所有正确的结论的序号)．【解析】 如图是函数的图象，由图象可知函数周期为2π，对称轴为x ＝k π(k ∈Z )．【答案】 ②③2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．【解析】 T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan 4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.【答案】 03．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是________．(只填相应序号)图1-3-6【解析】 当π2＜x ＜π时，tan x ＜sin x ，y ＝2tan x ＜0； 当x ＝π时，y ＝0；当π＜x ＜32π时，tan x ＞sin x ，y ＝2sin x . 故填④. 【答案】 ④4．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间－1，3]上是单调函数．【解】 函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π21.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象。
高中数学苏教版高二选修4-4学业分层测评：第一章坐标系3有答案
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)学业达标]1．把下列各点的球坐标化为直角坐标： (1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3，π2；(3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π4，2π3.【解】 (1)设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 在xOy 平面内的射影为M ′，则OM ′＝2 sin π2＝2.于是x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝2cos π2＝0.故点M 的直角坐标为(1，3，0)． (2)x ＝5sin 2π3cos π2＝0，y ＝5sin 2π3sin π2＝523， z ＝5cos 2π3＝－52，点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，523，－52.(3)x ＝9sin 3π4cos 2π3＝－942，y ＝9sin 3π4sin 2π3＝946，z ＝9cos 3π4＝－92 2. ∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－942，946，－922.2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标： (1)Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，－2；(2)R ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，4；(3)S ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π4，－3.【解】 (1)x ＝0，y ＝5， 故点Q 的直角坐标为 Q (0,5，－2)．(2)x ＝6cos 2π3＝－3，y ＝6sin 2π3＝33， 故点R 的直角坐标为R (－3,33，4)．(3)x ＝8cos 5π4＝－42，y ＝8sin 5π4＝－42，故点S 的直角坐标为S (－42，－42，－3)． 3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长为AB ＝14，AD ＝6，AA 1＝10，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．【导学号：98990008】【解】 如图，C 1点的直角坐标(x ，y ，z )分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的柱坐标(ρ，θ，z )分别对应着CA 、∠BAC 、CC 1；C 1点的球坐标(r ，θ，φ)分别对应着AC 1、∠BAC 、∠A 1AC 1.C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为()258，θ，10(其中tan θ＝37)，C 1点的球坐标为(283，φ，θ)(其中cos φ＝58383，tan θ＝37)．4．在球坐标面内，方程r ＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝π4表示空间中的什么曲面？ 【解】 方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的圆锥面，中心轴为z 轴．5．在球坐标系中，求两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离．【解】 将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标： P ：x ＝3sin π6·cos π4＝324， y ＝3sin π6·sin π4＝324，z ＝3cos π6＝332，∴P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫324，324，332.Q ：x ＝3sin π6·cos 3π4＝－324，y ＝3sin π6·sin 3π4＝324，z ＝3cos π6＝332， ∴Q 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－324，324，332. ∴|PQ |＝[342－(－324)]2＋(324－324)2＋(332－332)2 ＝322，即PQ 的距离为322.6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】 以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在面BCD 上建立极坐标系．过O 点与面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则 BA ′＝323×23＝3，AA ′＝32－(3)2＝6，∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A (3，π3，6)，B (0,0,0)，C (3，π6，0)，D (3，π2，0)．7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．【解】 以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．能力提升]8．如图4-1-10建立球坐标系，正四面体ABCD 的边长为1，求A 、B 、C 、D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．图4-1-10【解】 ∵O 是△BCD 的中心， ∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C (33，π2，0)，D (33，π2，2π3)， B (33，π2，4π3)，A (63，0,0)．。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.3.1 Word版含解析
学业分层测评(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．【解析】 y ＝cos x ―――――――――→ 横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .【答案】122．将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为________．【解析】 y ＝cos 2x →y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.【答案】 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π33．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3向右平移________个单位长度得到y ＝sin x 的图象．【解析】 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象变换为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象应向右平移π6个单位．【答案】π64．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．【解析】 y ＝sin 2xy ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ―――→向上平移1个单位y ＝cos 2x ＋1.【答案】 y ＝cos 2x ＋1 5．某同学给出了以下论断： ①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)． 【解析】 由图象平移变换可知①③正确． 【答案】 ①③6．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－2，⎝⎛⎭⎪⎫5π6，0，则ω＝________.【解析】 周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴2πω＝π，ω＝2. 【答案】 27．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是________．【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6化为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，相位x ＋5π6，初相5π6.【答案】 x ＋5π6，5π68．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y ＝sin ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________． 【解析】 由题意知4π3是函数周期的整数倍，又ω>0， ∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )， ∴ω的最小值为32.【答案】32二、解答题9．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的图象. 【导学号：06460032】【解】 ①列表：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的简图，如图所示．10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．(1)求f (x )的单调减区间．(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)【解】 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )， ∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度即可．[能力提升]1．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.【解析】 将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin4x ＋13π12－1. 【答案】 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1 2．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：则A ＝【解析】 由表格得A ＝2，34π－π12＝2πω，∴ω＝3，∴ωx ＋φ＝3x ＋φ. 当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4. 【答案】 2 3 －π43．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度；②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度；③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度． 【解析】 y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2.法一：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2(x ＋π8)y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 【答案】 ②4．已知f (x )＝2sin 2x ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．【解】 f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3， 故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋π3＝43π3.15×。
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件：第一章 三角函数 1.2.3.1
[ 小组合作型]
给角求值
求下列各式的值： 4π 19π 21π (1)sin · cos · tan ； 3 6 4 (2)cos(－2 640° )＋sin 1 665° ； 1＋2sin 290° cos 430° (3) . 【导学号：06460012】 sin 250° ＋cos 790°
(3)tan(4×360° ＋120° )＝tan 120° ＝tan(180° －60° ) ＝－tan 60° ＝－ 3. 1 2 【答案】 (1) (2)－ (3)－ 3 2 2
教材整理 4
诱导公式(四)
阅读教材 P19“公式四”的有关内容，完成下列问题． 终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：
【精彩点拨】 再求值．
【自主解答】
利用诱导公式先把任意角的三角函数化为锐角三角函数，
π 7π 5π (1)原式＝sinπ＋ · cos2π＋ · tan4π＋ 3 6 4
π 7π 5π ＝－sin cos tan 4 3 6 π π 3 ＝－ cosπ＋6tanπ＋4 2 π π 3 ＝－ －cos6tan4 2
阶 段 一
阶 段 三
ห้องสมุดไป่ตู้1.2 1.2.3
阶 段 二
任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式(一～四)
学 业 分 层 测 评
第 1 课时
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点) 2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)
[ 基础· 初探] 教材整理 1 诱导公式(一)
7π 3 (2)已知 ，求 cos 6 ＋α 的值． 3 π 5π 【精彩点拨】 (1) ＋α－α－ ＝2π； 3 3
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.2.2 Word版含解析
学业分层测评(四) 同角三角函数关系(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2016·南通高一检测)若sin θ＝－35，tan θ＜0，则cos θ＝________. 【解析】 ∵sin θ＝－35＜0，tan θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos θ＝1－sin 2θ ＝45. 【答案】 452．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α＝________.【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 【答案】 13．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________. 【解析】 ∵sin α＝55， ∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1 ＝－35. 【答案】 －354．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 【导学号：06460011】【解析】 ∵tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴54cos 2α＝1， 又α为第二象限角，∴cos α＜0， ∴cos α＝－255. 【答案】 －255 5．(2016·扬州高一检测)化简：1－cos 2 4＝________.【解析】 1－cos 2 4＝sin 2 4＝|sin 4|，∵π<4<3π2，∴sin 4<0，∴|sin 4|＝－sin 4. 【答案】 －sin 46．(2016·泰州高一检测)已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin x cos x等于________． 【解析】 由1－sin 2x ＝cos 2x ，可得1＋sin xcos x＝－cos xsin x－1＝－12.【答案】－1 27．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．【解析】tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝1 2，∴tan α＋1tan α＝2.【答案】 28．已知0<α<π，sin α·cos α＝－60169，则sin α－cos α的值等于________．【解析】∵sin α·cos α<0,0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289 169，∴sin α－cos α＝17 13 .【答案】17 13二、解答题9．已知tan x＝2，求：(1)cos x＋sin xcos x－sin x的值；(2)23sin2x＋14cos2x的值．【解】(1)cos x＋sin xcos x－sin x＝1＋tan x1－tan x＝1＋21－2＝－3.(2)23sin2x＋14cos2x＝23sin2x＋14cos2xsin2x＋cos2x＝23tan2x＋14tan2x＋1＝23×4＋144＋1＝712.10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 【证明】因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，所以sin2αcos2α＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin2βcos2β＋1，所以1cos2α＝2cos2β，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.能力提升]1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x＋y＝0上，则sin α1－cos2α＋1－sin2αcos α＝________.【解析】∵sin α1－cos2α＋1－sin2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0， 当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0. 【答案】 02．(2016·常州高一检测)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 20°－1－sin 2 20°＝________. 【解析】 原式＝－2sin 20°－cos 2 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－|cos 20°|＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1. 【答案】 －13．若A ∈(0，π)，且sin A ＋cos A ＝713，则5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A＝________. 【解析】 (sin A ＋cos A )2＝49169，∴1＋2sin A cos A ＝49169，∴2sin A cos A ＝－120169<0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝289169，∴sin A －cos A ＝1713， ∴sin A ＝1213，cos A ＝－513，故5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝843. 【答案】 8434．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值．(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ.(3)方程的两根及此时θ的值．【解】(1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m.②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝3 4，代入②得m＝3 4.(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin2θsin θ－cos θ＋cos2θcos θ－sin θ＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(3)因为已求得m＝34，所以原方程化为2x2－(3＋1)x＋32＝0，解得x1＝32，x2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32. 又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教B版必修四学业分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ)
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列叙述错误的是( ) A.arctan y 表示一个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的角B.若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝yC.若tan x2＝y ，则x ＝2arctan y D.arcsin y ，arccos y 中的y ∈[－1,1]【解析】 ∵tan π2＝y ，∴x2＝k π＋arctan y ，∴x ＝2k π＋2arctan y ，故C 错. 【答案】 C2.已知sin α＝－13，－π2＜α＜0，则α等于( ) A.π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13B.π＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13D.－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13【解析】 －π2＜α＜0，sin α＝－13，所以α＝ arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13.【答案】 C3.若π2＜x ＜π且cos x ＝－56，则x 等于( ) A.arccos 56 B.－arccos 56 C.π－arccos 56D.π＋arccos 56【解析】 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝π－arccos 56.【答案】 C4.(2016·大连高一检测)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，则在区间[0,2π]上解的个数为( )A.5B.4C.3D.2【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，∴2x ＋π3＝k π＋π6(k ∈Z ).即x ＝k π2－π12(k ∈Z ).∵x ∈[0,2π]，∴k ＝1,2,3,4时，x 分别为5π12，1112π，17π12，2312π.故选B. 【答案】 B5.直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( )【导学号：72010035】A.arctan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12B.－arctan 12 C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55D.arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255 【解析】 直线x ＋2y ＋1＝0可化为y ＝－12x －12，∴直线斜率k ＝－12，设直线倾斜角为α，则tan α＝－12，故α为钝角，∴cos α＝－255，∴α＝arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255. 【答案】 D 二、填空题6.(2016·威海高一检测)函数y ＝arccos(sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为________. 【解析】 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1， ∴0≤arccos(sin x )≤5π6. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π67.(2016·东营高一检测)若x ＝π3是方程2cos(x ＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.【解析】 由条件可知2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，∴α＋π3＝2k π±π3(k ∈Z ).∵α∈(0,2π)，∴α＝4π3. 【答案】 4π38.(2016·日照高一检测)已知cos α＝13，α∈[0,2π)，则角α＝________. 【解析】 因为cos α＝13，所以α是第一或第四象限角.又因为α∈[0,2π)， 所以α＝arccos 13或α＝2π－arccos 13. 【答案】 arccos 13或2π－arccos 13 三、解答题9.已知sin α2＝－32，且α是第二象限的角，求角α.【解】 ∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限的角. 又∵sin α2＝－32＜0，∴α2是第三象限角. 又sin 4π3＝－32，∴α2＝2k π＋43π(k ∈Z )， ∴α＝4k π＋83π(k ∈Z ).10.(2016·四川高一检测)已知tan α＝－2，根据下列条件求角α. (1)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2；(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R .【解】 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2).(2)∵tan α＝－2＜0，∴α是第二或第四象限角.又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π、⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数知，符合tan α＝－2的角有两个.∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2， 且arctan(－2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2). (3)α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z ).[能力提升]1.给出下列等式：①arcsin π2＝1；②arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π6；③arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＝π3；④sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫arcsin 12＝12.其中正确等式的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4【解析】 ①arcsin π2无意义；②③④正确. 【答案】 C2.若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( )A.14 B.－34 C.14或－34D.－14或34【解析】 要使函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4有意义则2x ＋π4≠m π＋π2，m ∈Z∵直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交， ∴x ＝k π2时正切函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4无意义，即2×k π2＋π4＝π2＋m π， ∴4k ＝4m ＋1.当m ＝0时，k ＝14，满足要求； 当m ＝－1时，k ＝－34满足要求； 当m ＝1时，k ＝54不满足要求， 故满足条件的k ＝14或－34. 【答案】 C3.函数y ＝3－2x ＋π－arccos(2x －3)的定义域是________. 【解析】 要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ≥0，－1≤2x －3≤1，解得：1≤x ≤32. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，324.若f (arcsin x )＝x 2＋4x ，求f (x )的最小值，并求f (x )取得最小值时的x 的值. 【解】 令t ＝arcsin x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即sin t ＝x ，sin t ∈[－1,1]，于是f (t )＝sin 2t ＋4sin t ，即f (x )＝(sin x ＋2)2－4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.1 向量的概念及表示 含解析
学业分层测评（十四)向量的概念及表示（建议用时：45分钟）［学业达标]一、填空题1．已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a，则c与b必定________．【解析】平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知,c,b 同向或者反向，所以c与b必定平行(或共线)．【答案】平行(或共线）2．如图(1），某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈,他可按图(2)中提供的向量行走,则这些向量的排列顺序为________．图2。
1.7【答案】a e d c b3．已知a,b为两个向量，给出以下4个条件:①｜a|＝|b|；②a与b的方向相反；③|a|＝0或｜b|＝0；④a 与b都是单位向量．由条件________一定可以得到a与b平行．【解析】长度相等或都是单位向量不能得到a∥b，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a∥b.故填②③。
【答案】②③4．已知A，B，C是不共线的三点,向量m与向量错误!是平行向量，与错误!是共线向量,则m＝________。
【解析】∵错误!与错误!不共线，且m∥错误!，m∥错误!,∴m＝0。
【答案】05．如图2.1.8所示,已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点,模长度大于1的向量有________．图2.1。
8【解析】满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：错误!，错误!，错误!，错误!；模长为3的向量有：错误!,错误!。
【答案】错误!，错误!，错误!，错误!，错误!,错误!6．给出以下5个条件:①a＝b；②｜a|＝｜b｜;③a与b的方向相反；④｜a｜＝0或｜b｜＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a与b共线的是________．（填所有正确的序号)【解析】根据相等向量一定是共线向量知①正确；｜a｜＝｜b｜但方向可以任意，∴②不成立;a与b反向必平行或重合，∴③成立；由｜a｜＝0或｜b｜＝0,得a＝0或b＝0.根据0与任何向量共线，得④成立;两单位向量的模相等但方向不定,∴⑤不成立．【答案】①③④7．如图2.1。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.3.2
学业分层测评(十二)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知f (x )＝sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0，则φ＝________.【解析】 把x ＝－712π代入sin(3x ＋φ)＝0， 得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－712π＋φ＝0，∴φ－74π＝k π，又|φ|＜π2，所以令k ＝－2，得φ＝－2π＋74π＝－π4. 【答案】 －π4 2．三角函数式：①y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6；②y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6；③y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π12；④y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. 其中在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的图象如图1-3-11所示的函数是________．图1-3-11【解析】 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，3检验． 【答案】 ①②④3．(2016·南京高一检测)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图1-3-12所示，则ω＝________；φ＝________.图1-3-12【解析】 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3. 【答案】 2 －π34．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则正确的序号有________.【导学号：06460035】①f (x )的最小正周期是π；②f (x )的值域为0,4]；③f (x )的初相φ＝π3；④f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，2π上单调递增． 【解析】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧－π6ω＋φ＝k π(k ∈Z )①，m ＝2，且函数的最小正周期为T ＝4×π2＝2π，故ω＝2πT ＝1.代入①式得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.故函数f (x )的值域为1,3]，初相为π6，排除①②③项，选④项．【答案】 ④5.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图1-3-13所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.图1-3-13【解析】 由图象可得最小正周期为23π，于是f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，注意到23π与π2关于7π12对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】 236．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．【解析】 f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|的最小值为2. 【答案】 27．(2016·南通高一检测)若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 由于函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3或3.【答案】 ±38．(2016·苏州高一检测)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数，所有正确结论的编号为________．【解析】 ∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由图象及性质可知②④正确．【答案】 ②④ 二、解答题9．(2016·无锡高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值． 【解】 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2是图象的一个最低点，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.能力提升]1．(2016·南通高一检测)方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2a －1＝0在0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x ∈0，π]，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，2sin x ＋π3∈－3，2]．画出函数图象可知，当3≤1－2a ＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－12＜a ≤1－32.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－32 2．(2016·常州高一检测)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图1-3-14所示．图1-3-14(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【解】 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)设把f (x )的图象向左至少平移m (m ＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25(x ＋m )－π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2.∵m ＞0，∴m 取最小值3π2. 故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.。
高中数学苏教版高二选修4-4学业分层测评：第一章坐标系1有答案
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标]1．已知点Q (1,2)，求Q 点关于M (3,4)的对称点． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 由题意知，M 是PQ 的中点，因此⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y ＋2＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6，∴点P 的坐标为(5,6)．2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为A (3，－1)，B (8,2)，C (4,6)，求△ABC 的面积． 【解】 如图，作直线l ：y ＝－1，过点B 、C 向l 引垂线，垂足分别为B 1、C 1，则△ABC 的面积为S ＝S △AC 1C ＋S 梯形C C 1B 1B －S △AB 1B ＝12×1×7＋12(7＋3)×4－12×5×3＝16. 3．已知点P (0,4)，求P 点关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点． 【解】 设P 点关于l 的对称点Q 的坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎨⎧3·b －4a ＝－1，3×a 2－b ＋42－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b －12＝0，3a －b －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，∴P 点关于直线l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．【导学号：98990002】【解】 如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵AB ＝6，∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，①又∵AM ∶MB ＝1∶2， ∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎨⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36， 即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为x 2＋4y 2＝16.5．设点P 是矩形ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2. 【证明】 如图，以(矩形的)顶点A 为坐标原点，边AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，并设B (b,0)、D (0，d )，则点C 的坐标为(b ，d )．又设P (x ，y )，则P A2＋PC2＝x2＋y2＋(x－b)2＋(y－d)2，PB2＋PD2＝(x－b)2＋y2＋x2＋(y－d)2.比较两式，可知P A2＋PC2＝PB2＋PD2.6．有相距1 400 m的A、B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4 s．已知当时声音速度为340 m/s，试求爆炸点所在的曲线．【解】由题知：爆炸点P到B的距离比到A的距离多340×4＝1 360米．即PB－P A＝1 360＜1 400，PB＞P A.故P在以A、B为焦点的双曲线上，且离A近的一支．以A、B两点所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由题意得，2a＝1 360,2c＝1 400，故a＝680，c＝700，b2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为x2 462 400－y227 600＝1(x＜0)．7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O正东方向80海里的B处，沿东西方向向O岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O正北方向40海里的A处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，岛屿O为原点，建立平面直角坐标系并标出A，B两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)．我船直行到点C与不明船只相遇，设C(x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵两船速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2，即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．能力提升]8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4-1-2，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)，B (6,0)．图4-1-2(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A 、B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647， ∵ 点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17， ∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y＝4或y＝－94(舍去)，∴y＝4.得x＝6或x＝－6(舍去)．∴C点的坐标为(6,4)，AC＝25，BC＝4.所以当航天器离观测点A、B的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 1.1.1 任意角 含解析
学业分层测评（一）任意角(建议用时：45分钟）[学业达标］一、填空题1．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】｛α｜α＝k·360°＋45°，k∈Z｝2．（2016·如东高一检测）下面各组角中，终边相同的有________．（填序号)①390°,690°；②－330°,750°；③480°，－420°;④3 000°，－840°。
【解析】－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．【答案】②3．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限内的角有________。
【导学号：06460002】【解析】－390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限;－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；1 351°＝1 080°＋271°，其角的终边落在第四象限;2 016°＝2 160°－144°,其角的终边落在第三象限，故满足题意的角有－390°,1 351°。
【答案】－390°，1 351°4．（2016·泰州高一检测）下列命题正确的是________(填序号）．①三角形的内角必是第一、二象限角;②始边相同而终边不同的角一定不相等；③第四象限角一定是负角；④钝角比第三象限角小．【解析】只有②正确．对于①，如A＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．【答案】②5．（2016·南京高一检测）已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】与α终边相同的角的集合为｛θ|θ＝k·360°－3 000°,k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝9×360°－3 000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学业分层测评(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．
【解析】 y ＝cos x ―――――――――→
横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .
【答案】 1
2
2．将y ＝cos 2x 的图象向右平移π
3个单位，得到的图象对应的解析式为________．
【解析】 y ＝cos 2x →y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －2π3.
【答案】 y ＝cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －2π3
3．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3向右平移________个单位长度得到y ＝sin x 的图象．
【解析】 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π2，
y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象变换为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π2的图象应向右平移π6个单位．
【答案】 π6
4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．
【解析】 y ＝sin 2x
y ＝sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4
＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ―――→向上平移1个单位y ＝cos 2x ＋1.
【答案】 y ＝cos 2x ＋1 5．某同学给出了以下论断：
①将y ＝cos x 的图象向右平移π
2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到
的．
其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)． 【解析】 由图象平移变换可知①③正确． 【答案】 ①③
6．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)在一个周期内的简图时，五
个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π6，0，则ω＝________.
【解析】 周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴2π
ω＝π，ω＝2.
【答案】 2
7．函数y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是________．
【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6化为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋5π6，相位x ＋5π6，初相5π6. 【答案】 x ＋
5π6，5π6
8．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y ＝sin ωx ＋π3＋2的图象向右平移4
3π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．
【解析】 由题意知4π
3是函数周期的整数倍，又ω>0， ∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，
∴ω的最小值为3
2. 【答案】 3
2 二、解答题
9．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，5π6的图象.
【导学号：06460032】
【解】 ①列表：
⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3，x
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，5π6的简图，如图所示．
10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－2x (x ∈R )．
(1)求f (x )的单调减区间．
(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) 【解】 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3.
欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin2x －π
3的单调递增区间．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5
12π(k ∈Z )，
∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．
(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋π12.
∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π
12个单位长度即可．
[能力提升]
1．将函数f (x )的图象向右平移π
3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.
【解析】 将y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝
2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
4⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin4x ＋13π12－1.
【答案】 2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4x ＋13π12－1 2．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：
则A ＝
【解析】 由表格得A ＝2，34π－π12＝2π
ω， ∴ω＝3，∴ωx ＋φ＝3x ＋φ.
当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4. 【答案】 2 3 －π
4
3．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所
有点的________．
①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π
8个单位长度； ②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π
4个单位长度； ③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π
4个单位长度； ④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π
8个单位长度． 【解析】 y ＝2cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2.
法一：y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2(x ＋π8
)y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π2――――→横坐标缩短为原来的1
2
y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――→横坐标缩短为原来的1
2y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π
4y ＝2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2.
【答案】 ②
4．已知f (x )＝2sin 2x ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最
小值．
【解】 f (x )＝2sin 2x ，
g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.
g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒ x ＝k π－π4或x ＝k π－7
12π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π
3
，
故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π
3＋15×π3＝43π3.。