湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学理试题

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数学文卷·2014届湖北省武汉二中高三全真模拟考试(二)0(2014.05)(1)

命题人：高美山【试卷综析】本次高三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。

明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。

较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。

符合高考命题的趋势和学生的实际。

一、选择题(每小题5分，共50分).1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于( )A.[1,4)-B. (1,4)-C.(2,3)D. (2,3]【知识点】含绝对值的不等式、一元二次不等式的解法，集合的运算。

【答案解析】 D 解析：解：由12121213x x x x x ->⇒-<-->⇒<->或或，所以A={}|13x x x <->或,所以{}|13U C A x x =-≤≤.由()()268024024x x x x x -+<⇒--<⇒<<，所以{}|24B x x =<<所以()U C A B =(2,3].【思路点拨】先将集合A 化简得 A={}|13x x x <->或, 从而得{}|13U C A x x =-≤≤。

再将集合B 化简得{}|24B x x =<<，所以()U C A B =(2,3].2. 下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤”，则p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 【知识点】充要条件；命题的真假；命题的否定. 【答案解析】 A 解析：解：对于选项A: 11a<解得a>1或a<0, 则“11a <”是“1a >”的必要不充分条件，所以选项A 正确.对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.对于选项C ：命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤”，是真命题，则p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤” 所以选项D 不正确.综上：故答案选A. 【思路点拨】对于选项A: 11a<解得a>1或a<0, 则“11a <”是“1a >”的必要不充分条件，所以选项A 正确.对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.对于选项C ：命题:p“,sin cos x R x x ∀∈+≤”，是真命题，则p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤” 所以选项D 不正确.3.圆22:12,C x y +=上任意一点A 到直线:4325.l x y +=的距离小于2的概率为( )A.21B.31 C.32 D.61 【知识点】点到直线的距离公式，几何概型概率求法【答案解析】D 解析：解：因为圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3的弦长为60，所以圆C 上到直线:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一，故选D. 【思路点拨】先求圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3的弦长为，它等于半径，所以它所对的圆心角为60，所以圆C 上到直线:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一.4.在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，AM ⊥BC 于M ，点N 是△ABC 内部或边上一点，则 AN AM ⋅的最大值为( ) A.25144B. 25C.16D. 9【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律．【答案解析】 A 解析：解：由AB=3，AC=4，BC=5可知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC 以A 为原点，以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A （0，0），B （3，0），C （0，4），设M （a ，b ）（a ，b ＞0） N （x ，y ）则由点N 是△ABC 内部或边上一点可得，030443120x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-≤⎩则()(12 34 ||BC AM a AM -＝，，＝，，＝由AM ⊥BC 于M 可知 0AM BC ⋅＝，12||AM ＝48x AM AN ⋅＝故选 A【思路点拨】由题意，以ABAM BC ⋅＝，12||AM ＝点可得030x ≤≤⎧⎪≤⎨⎩25AM AN ⋅＝，从而转化为求目标函数在平面区域（△ABC ）内最大值问题．【典型总结】此题是一道综合性较好的试题，以向量的相关知识（向量的垂直、向量的模的坐标表示）为载体，把向量的数量积的问题转化为线性规划的问题.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则 992212,....,2,2a a a 中最大的是( )A. 992aB. 662aC. 552aD.12a 【知识点】等差数列的前n 项和、通项公式、性质等【答案解析】C 解析：解：由S 9>0，S 10<0，得191100,0a a a a +>+<，从而560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列，所以选C.【思路点拨】由S 9>0，S 10<0，得560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列.6. 程序框图如图，如果程序运行的结果为132S =,那么判断框中可填入( )A.. 11k ≤B. 11k ≥C. 10k ≤D. 10k ≥ 【知识点】当型循环结构的程序框图.【答案解析】 C 解析：解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…， ∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10， ∴判断框的条件是k≤10，故答案选C.【思路点拨】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．【典型总结】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k 值．7．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它到渐进线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若2=，则该双曲线离心率为( )A.3B.3C.23D.26 【知识点】双曲线的渐近线及离心率，向量的有关知识.【答案解析】B 解析：解：由点到直线的距离公式得：FM=b,从而OM=a,又2=所以ME=2b ，因为2OM FM EM =⋅,所以()22221122a b c a =⋅=-，解得e = 【思路点拨】根据点到直线的距离公式求得：FM=b,从而OM=a,又ME FM 2=所以ME=2b ，因为2OM FM EM =⋅,所以()22221122a b c a =⋅=-，解得e = 8. 球面上有三个点A 、B 、C ，其中AB ＝18,BC ＝24,AC ＝30，且球心到平面ABC 的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为( )A.20B.30C. 103D.153【知识点】球的内接多面体，空间想象能力，计算能力，勾股定理.【思路点拨】说明三角形ABC 是直角三角形，AC 是斜边，中点为M ，OA=OB=OC 是半径，求出OM ，利用球半径是球心O 到平面ABC 的距离的2倍，求出半径即可. 9.若ABC ∆为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是( )A.0cos cos log cos >B AC B. 0sin cos log cos >B AC C.0cos sin log sin >BACD. 0sin sin log sin >BAC【知识点】锐角的三角函数值的取值范围。

2024武汉二调数学试题(含答案)

武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷本试题卷共4页,19题,全卷满分150分。

考试用时120分钟。

⋆祝考试顺利⋆注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A =x |2x 2+x -1<0 ,B =y y =lg x 2+1 ,则A ∩B =A.-1,0B.0,12C.-12,0D.0,12.复数z 满足2z +3z=5-2i ,则|z |=A.3B.2C.5D.63.已知ab ≠1,log a m =2,log b m =3,则log ab m =A.16B.15C.56D.654.将3个相同的红球和3个相同的黑球装人三个不同的袋中,每袋均装2个球,则不同的装法种数为A.7B.8C.9D.105.设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,过抛物线上点P 作其准线的垂线,设垂足为Q ,若∠PQF =30°,则|PQ |=A.23B.33C.34D.326.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时,用光波依次透过n 层薄膜,记光波的初始功率为P 0,记P k 为光波经过第k 层薄膜后的功率,假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率T k =P k P k -1=12k ,其中k =1,2,3⋯n ,为使得P n P 0≥2-2024,则n 的最大值为A.31B.32C.63D.647.如图,在函数f (x )=sin (ωx +φ)的部分图象中,若TA =AB,则点A 的纵坐标为A.2-22 B.3-12C.3-2D.2-38.在三棱棱P -ABC 中,AB =22,PC =1,P A +PB =4,CA -CB =2,且PC ⊥AB ,则二面角P -AB -C 的余弦值的最小值为A.23B.34C.12D.105二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。

湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学理试题 Word版含答案

武汉市2014届高三2月调研测试数学（理科）2014.2.20一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数m (3＋i)－(2＋i)（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为 A ．2，6 B ．2，7 C ．3，6 D ．3，73．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 4．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加A ．47尺B ．1629尺C ．815尺D ．1631尺5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若(9x －13x )n （n ∈N *）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A ．252B ．－252C ．84D ．－847．设a ，b ∈R ，则“a 1－b 2＋b 1－a 2＝1”是“a 2＋b 2＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．设AB ＝2AA 1＝2a ．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为P ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1，BB 1上运动且满足EF ＝a 时，则PD 1C 1 B 1A1 ABCDE GF H的最小值为A ．1116B ．34C ．1316D ．789．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 1＜S 3＜S 2D ．S 3＜S 1＜S 210．如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为A ．3＋1B ．23＋2C ．3－1D ．23－2二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．12．曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部与边界）．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋4y 的最大值为． 13．如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小正方形个数为f (n )，则（Ⅰ）f (5)＝；（Ⅱ）f (n )＝．14．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则（Ⅰ）m ＝；（Ⅱ）对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ⌒＝AC ⌒，DE 交AB 于点F ．若AB ＝4，BP ＝3，则PF ＝．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(2cos θ－sin θ)－a ＝0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin2θ．（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ．（Ⅰ）若a ＝32，b ＝10，求c ；（Ⅱ）求a cos C －c cos Ab的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＞0，a n ＋1＝2－|a n |，n ∈N *．（Ⅰ）若a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值；（Ⅱ）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5．（Ⅰ）求直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段BC 1上确定一点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望． 21．（本小题满分13分）如图，矩形ABCD 中，|AB |＝22，|BC |＝2．E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，分别以HF ，EG 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求证：直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上；（Ⅱ）若点N 是直线l ：y ＝x ＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF 1和NF 2与椭圆Γ的交点分别为P 、Q 和S 、T ．是否存在点N ，使得直线OP 、OQ 、OS 、OT 的斜率k OP 、k OQ 、k OS 、k OT 满足k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数f (x )＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，使f (x 0)≤0，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）证明：b －a b ＜ln b a ＜b －aa ，其中0＜a ＜b ；（Ⅲ）设[x ]表示不超过x 的最大整数，证明：[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．武汉市2014届高三2月调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．D 二、填空题11．3π2＋ 3 12．4 13．（Ⅰ）41；（Ⅱ）2n 2－2n ＋1 14．（Ⅰ）0；（Ⅱ）40或41 15．215 16．[0，12) 三、解答题 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin(A －B )＝cos C ，得sin(A －B )＝sin(π2－C )．∵△ABC 是锐角三角形，∴A －B ＝π2－C ，即A －B ＋C ＝π2， ① 又A ＋B ＋C ＝π， ② 由②－①，得B ＝π4．由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，得(10)2＝c 2＋(32)2－2c ×32cos π4，即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4．……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知B ＝π4，∴A ＋C ＝3π4，即C ＝3π4－A ．∴a cos C －c cos Ab ＝sin A cos C －cos A sin C sin B ＝sin(A －C )22＝2sin(2A －3π4)． ∵△ABC 是锐角三角形，∴π4＜A ＜π2，∴－π4＜2A －3π4＜π4，∴－22＜sin(2A －3π4)＜22，∴－1＜a cos C －c cos A b＜1．故a cos C －c cos Ab的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a 1＞0，∴a 2＝2－|a 1|＝2－a 1，a 3＝2－|a 2|＝2－|2－a 1|．当0＜a 1≤2时，a 3＝2－(2－a 1)＝a 1，∴a 21＝(2－a 1)2，解得a 1＝1．当a 1＞2时，a 3＝2－(a 1－2)＝4－a 1，∴a 1(4－a 1)＝(2－a 1)2，解得a 1＝2－2（舍去）或a 1＝2＋2．综上可得a 1＝1或a 1＝2＋2． (6)分（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2－a 1)＝a 1＋(2－|2－a 1|)，即|2－a 1|＝3a 1－2．当a 1＞2时，a 1－2＝3a 1－2，解得a 1＝0，与a 1＞2矛盾；当0＜a 1≤2时，2－a 1＝3a 1－2，解得a 1＝1，从而a n ＝1（n ∈N *），此时{a n }是一个等差数列；综上可知，当且仅当a 1＝1时，数列{a n }为等差数列．………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵AA 1C 1C 为正方形，∴AA 1⊥AC ．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， ∴AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ．由已知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，∴AB ⊥AC ．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)，∴→A 1B ＝(0，3，－4)，→A 1C 1＝(4，0，0)，→B 1C 1＝(4，－3，0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·→A 1B ＝0，n ·→A 1C 1＝0．即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0．令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，∴n ＝(0，4，3)．设直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，则 sin θ＝|cos ＜→B 1C 1，n ＞|＝|→B 1C 1·n ||→B 1C 1||n |＝3×45×5＝1225．故直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为1225．………………………………6分（Ⅱ）设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且→BD ＝λ→BC 1（λ∈[0，1]），∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，∴x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，∴→AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．又→A 1B ＝(0，3，－4)，由→AD ·→A 1B ＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925∈[0，1]．故在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ．此时BD BC 1＝λ＝925．…………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2．P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14．………………………………………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18， P (X ＝2)＝P (B 1-·B 3)＝P (B 1-)P (B 3)＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58． ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98．………………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得F (2，0)，C (2，1)．由→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，得R (2λ，0)，R ′(2，1－λ)．又E (0，－1)，G (0，1)，则直线ER 的方程为y ＝12λx －1， ① 直线GR ′的方程为y ＝－λ2x ＋1． ②由①②，得M (22λ1＋λ2，1－λ21＋λ2)．∵(22λ1＋λ2)22＋(1－λ21＋λ2)2＝4λ2＋(1－λ2)2(1＋λ2)2＝(1＋λ2)2(1＋λ2)2＝1，∴直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上．…………………………5分（Ⅱ）假设满足条件的点N (x 0，y 0)存在，则直线NF 1的方程为y ＝k 1(x ＋1)，其中k 1＝y 0x 0＋1，直线NF 2的方程为y ＝k 2(x －1)，其中k 2＝y 0x 0－1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．消去y 并化简，得(2k 21＋1)x 2＋4k 21x ＋2k 21－2＝0．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 212k 21＋1，x 1x 2＝2k 21－22k 21＋1．∵OP ，OQ 的斜率存在，∴x 1≠0，x 2≠0，∴k 21≠1． ∴k OP ＋k OQ ＝y 1x 1＋y 2x 2＝k 1(x 1＋1)x 1＋k 1(x 2＋1)x 2＝2k 1＋k 1·x 1＋x 2x 1x 2＝k 1(2－4k 212k 21－2)＝－2k 1k 21－1．同理可得k OS ＋k OT ＝－2k 2k 22－1．∴k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝－2(k 1k 21－1＋k 2k 22－1)＝－2·k 1k 22－k 1＋k 21k 2－k 2(k 21－1)(k 22－1)＝－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)． ∵k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0，∴－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)＝0，即(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)＝0．由点N 不在坐标轴上，知k 1＋k 2≠0，∴k 1k 2＝1，即y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝1． ③又y 0＝x 0＋2， ④ 解③④，得x 0＝－54，y 0＝34．故满足条件的点N 存在，其坐标为（－54，34）．………………………………13分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若t ＜0，令x ＝1t ，则f (1t )＝e t 1－1－1＜0；若t ＝0，f (x )＝e x －1＞0，不合题意；若t ＞0，只需f (x )min ≤0．求导数，得f ′(x )＝e x －1－t ．令f ′(x )＝0，解得x ＝ln t ＋1．当x ＜ln t ＋1时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，ln t ＋1)上是减函数；当x ＞ln t ＋1时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(ln t ＋1，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝ln t ＋1处取得最小值f (ln t ＋1)＝t －t (ln t ＋1)＝－t ln t ． ∴－t ln t ≤0，由t ＞0，得ln t ≥0，∴t ≥1．综上可知，实数t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，+∞)．…………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )≥f (ln t ＋1)，即e x －1－tx ≥－t ln t ．取t ＝1，e x －1－x ≥0，即x ≤e x －1．当x ＞0时，ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时，等号成立，故当x ＞0且x ≠1时，有ln x ＜x －1．令x ＝b a ，得ln b a ＜b a －1（0＜a ＜b ），即ln b a ＜b －a a ．令x ＝a b ，得ln a b ＜a b －1（0＜a ＜b ），即－ln b a ＜a －b b ，亦即ln b a ＞b －a b ．综上，得b －a b ＜ln b a ＜b －aa ．………………………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ），得b －a b ＜ln b a ＜b －aa ．令a ＝k ，b ＝k ＋1（k ∈N *），得1k ＋1＜ln k ＋1k ＜1k ．对于ln k ＋1k ＜1k ，分别取k ＝1，2，…，n ，将上述n 个不等式依次相加，得 ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n ＜1＋12＋…＋1n ， ∴ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n ． ①对于1k ＋1＜ln k ＋1k ，分别取k ＝1，2，…，n －1，将上述n －1个不等式依次相加，得 12＋13＋…＋1n ＜ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1，即12＋13＋…＋1n ＜ln n （n ≥2）， ∴1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n （n ∈N *）． ②综合①②，得ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n ．易知，当p ＜q 时，[p ]≤[q ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤[1＋ln n ]（n ∈N *）．又∵[1＋ln n ]＝1＋[ln n ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋ (1)]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．……………………………14分。

湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考数学理图片版含答案

湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考高三数学试卷（理科）参考答案CDDDBCACBB②和③ 3或13 2(0,]3 216．解：（Ⅰ）∵()2π3πcos 2cos 22cos 22323f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴.故函数()f x 的最小正周期为π；递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )（Ⅱ）解法一：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，∴2132a a =+-⨯，即2320a a -+=，故1a =（不合题意，舍）或2a =．因为222134b c a +=+==，所以∆ABC 为直角三角形.解法二：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．由正弦定理得：1πsin sin 6a A ==，∴sin C =，∵0πC <<，∴π3C =或2π3．当π3C =时，π2A =；当2π3C =时，π6A =．（不合题意，舍）所以∆ABC 为直角三角形. 17.(Ⅰ) 延长AD ，FE 交于Q ．因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ，所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角．在梯形ADEF 中，因为DE ∥AF ，AF ⊥FE ，AF＝2，DE ＝1得∠AQF ＝30°．(Ⅱ) 方法一：设AB ＝x ．取AF 的中点G ．由题意得DG ⊥AF ．因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，A B ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，(第17题图)所以AB ⊥DG ．所以DG ⊥平面ABF ．过G 作GH ⊥BF ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角A －BF －D 的平面角．在直角△AGD 中，AD ＝2，AG ＝1，得DG．在直角△BAF 中，由AB BF ＝sin ∠AFB ＝GH FG ，得GH x，所以GH．在直角△DGH 中，DG，GH，得DH＝．因为cos ∠DHG ＝GH DH ＝13，得x所以AB方法二：设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系Fxyz ．则 F (0，0，0)，A (－2，0，0)，E0，0)，D (－10)，B (－2，0，x )，所以DF ＝(1，0)，BF ＝(2，0，－x )．因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)．设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 所以，可取2n ＝，1．因为cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅⋅＝13，得 x所以AB18．解：（1）当1n =时，由111211a S a -=⇒=.又1121n n a S ++-=与21n n a S -=相减得：12n n a a +=，故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=（2）设n a 和1n a +两项之间插入n 个数后，这2n +个数构成的等差数列的公差为(第17题图)n d ，则11211n n n n a a d n n -+-==++，又(12361)611952,2014195262+++++=-=，故61616220146262262(621)2612.6363b a d =+-⋅=+⨯=⨯ 19 0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==.（Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦ 211.76p p =-++. ………………11分因为E(X 1)< E(X 2)，所以21211.76p p <-++.所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.620．解：（1）依题意，得2a =，c e a == 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ．（2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -，不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=．（*）由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ．由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-．方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ．故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，此时83(,)55M -， (3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=，同理：101001y y y x y x x S ++=，故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**）又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202*********202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为4 方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ，同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ，故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为421、解：（I ）'121()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---，当1[,1]2x ∈时，由'()0n f x =知1x =或者2n x n =+，当1n =时，11[,1]232n n =∉+，又111()28f =，(1)0n f =，故118a =；当2n =时，11[,1]222n n =∈+，又211()216f =，(1)0n f =，故2116a =；（II ）当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+， ∵1[,)22n x n ∈+时，'()0n f x >；(,1)2n x n ∈+时，'()0n f x <； ∴()n f x 在2n x n =+处取得最大值，即2224()()22(2)n n n n n n a n n n +==+++ 综上所述，21,(1)84,(2)(2)n n n n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩．当2n ≥时，欲证 2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n+≥ ∵011222222(1)()()()n n n n n n n C C C C n n n n+=+⋅+⋅++⋅ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=，所以，当2n ≥时，都有21(2)n a n ≤+成立．（III ）当1,2n =时，结论显然成立；当3n ≥时，由（II ）知3411816n n S a a a =+++++2221111181656(2)n <++++++ 11111111()()()816455612n n <++-+-++-++ 1117816416<++=．所以，对任意正整数n ，都有716n S <成立．。

武汉市2014届高中毕业生二月调研测试题

武汉市2014届高中毕业生二月调研测试理科综合试卷(物理部分)武汉市教育科学研究院命制 2014.2.21第Ⅰ卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14～17题只有一项符合题目要求，第18～21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．关于相互作用，下列说法正确的是：A ．在相对静止的时候，互相接触的物体之间不可能产生摩擦力B ．维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是不同性质的力C ．在微观带电粒子的相互作用中，万有引力比库仑力强得多D ．由于强相互作用的存在，尽管带正电的质子之间存在斥力，但原子核仍能紧密的保持在一起15．如图所示，甲、乙两个交流电路中，电源的电压、输出电流均相等。

若理想变压器原、副线圈的匝数为n1、n2，则负载电阻R1与R2的比值为：A ．12:n nB ．21:n nC ．2212:n nD ．2221:n n16．2013年12月2日1时30分，嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察。

嫦娥三号的飞行轨道示意图如图所示。

假设嫦娥三号在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力。

则：A ．若已知嫦娥三号环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的密度B ．嫦娥三号由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速C ．嫦娥三号在环月段椭圆轨道上P 点的速度大于Q 点的速度D ．嫦娥三号在动力下降阶段，其引力势能减小17．如图所示是做匀变速直线运动的质点在0~6s 内的位移—时间图线。

若t=1s 时，图线所对应的切线斜率为4（单位：m/s ）。

则：A ．t=1s 时，质点在x=2 m 的位置B ．t=1s 和t=5s 时，质点的速率相等C ．t=1s 和t=5s 时，质点加速度的方向相反D ．前5s 内，合外力对质点做正功18．如图所示是测量通电螺线管内部磁感应强度的一种装置：把一个很小的测量线圈放在待测处（测量线圈平面与螺线管轴线垂直），将线圈与可以测量电荷量的冲击电流计G 串联，当将双刀双掷开关K 由位置1拨到位置2时，测得通过测量线圈的电荷量为q 。

2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见

数学 ( 理科 ) 参考答案及评分标准
( 一㊁选择题 : 每小题５分 , 共６０分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １０． C １１． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９分０ ( 二㊁填空题 : 每小题５分 , 共２０分) ２ n １３．㊀㊀１４．３２．８; ㊀㊀１５．４; ㊀㊀１６．．－２; n ＋１ ( 三㊁解答题 : 共７０分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有１７． Ⅰ) E C 中, ．＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝７, ３３ B E ��s i n B ２２１ ʑ s i n øB C E＝．＝＝ C E １４７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２３５７２ ʑc o s øD E A ＝１－s i n øD E A ＝１－＝．２８１４第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６０分) ６． C; １２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２＝ C E２＋D E２－２ C E��D E�� c o s øC E D ＝７＋２８－２ˑ ７ ˑ２７ ˑ ( －
当 x ＝５７０时, ３ˑ５７０＋４３３．２＝６０４．２． y ＝０．
��１０分
高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第㊀共５页) １页(
��１特征量 y 的估计值为６ ʑ 当 x ＝５７０时, ０４．２．２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ．１９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝＝＝． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ��４分 ʑGM ��E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形． ʑG E ʊ MF ．又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ��６分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F．以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１２, ０, ０) , B (３, ０, ４３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝９００ E B ＝ (３, ４３) ．－４, 设平面 E B F 的法向量n１＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１＝０ n ��E F ＝０, ９由１得． ң ３ x１－４ z１＝０ �� y１＋４３ n１ E B ＝０ ��８分取 y１＝３ , 得 n１＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４３) ．－４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２＝ ( x２ , z ． y２２ ң ３ x ４ �� －＝０２２ y n F C ＝０, 由２得． ң x２－４ z２＝０－６ y２＋４３ n２ ��F B ＝０ ��１取 x２＝４, 得 n２＝ (４, ０分３, ３３) ． n１ �� n２０ˑ４＋３ ˑ３＋１ˑ３３６３３３９ ʑ c o s＜ n１ , n２＞＝．＝＝＝ n１ | n２ | ２６ | | ２ˑ １６＋９＋２７２ˑ２１３ ��１１分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,

湖北省武汉市2014届高三11月调研考试数学理试题Word版含解析

（考试时间：120分钟，满分150分）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是（）A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i2．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则→OP＋→OQ＝（）A．→OH B．→OG C．→EO D．→FO4．已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC 内部，则z＝－x＋y的取值范围是（）A．(1－3，2) B．(0，2) C．(3－1，2) D．(0，1＋3)5．给定两个命题p，q．若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π7．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A ．12B ．38C ．14D ．188．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（）A ．43B ．2C ．83D ．1623【答案】C 【解析】9．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（） A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]10．已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是（）A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32 D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数【答案】C 【解析】第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ﹤0，－tan x ，0≤x ＜π2．则f (f (π4))＝．12．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为．13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为．14．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是．（用数字作答）【答案】59015．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i，j（i，j∈N*），则（Ⅰ）a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sin A sin C ＝3－14，求C ．cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C ∴-=+=-+112242=+⨯= 6A C π∴-=或6A C π-=-12C π∴=或4C π=考点：1.余弦定理；2.两角的和差公式.17．（本小题满分12分）已知等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．（Ⅰ）求a的值及数列{b n}的通项公式；a n}的前n项和为T n．求使T n＞b n的最小正整数n．（Ⅱ）设数列{log218．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【答案】（Ⅰ）x＝15，y＝20．E(X)＝1.9；（Ⅱ）980【解析】＝320×320＋320×310＋310×320＝980．故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980．考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．（Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．∴OA ,OC 1OA 两两相互垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，|OA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设2AB CB ==20．（本小题满分13分）已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求→AD·→EB的最小值．【答案】（Ⅰ）当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）16.【解析】试题分析：（Ⅰ）要求动点P的轨迹C，设动点P的坐标为(x，y)，根据题意列出关系式(x－1)2＋y2－|x|＝1，化简得y2＝2x＋2|x|，式中有绝对值，需要根据x讨论为当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，→AD·→EB取最小值16．考点：1.曲线的轨迹方程求解；2.直线与圆锥曲线问题.21．（本小题满分14分）已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ＞0，都有f ′(x )＞f (x )x ．（Ⅰ）判断函数F (x )＝f (x )x在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．。

武汉二中2014届高三模拟考试数学理科A卷含答案

试卷类型：A武汉二中2014届高三全真模拟考试一数学试题(理科)命题人：许建林考试时间：2014年5月17日一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知1(1+=-是位),是iz i z z i 虚数单的共轭复数，则复数z 20032014+z 的虚部是( )A. iB. i -C. 1D. -12. 下列说法正确的是( ) A. 命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>”B. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 C. “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件D. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题 3. 变速直线运动的物体的速度为(),0v t t =时所在初始位置为0S ，则1t 秒末它所在的位置为( )A. 10()⎰t v t dtB. 100()+⎰t S v t dtC. 100()⎰-t v t dt SD. 100()-⎰t S v t dt4. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为( )A.B. C. D.5. 若将函数5()(1)f x x =-表示为250125()(1)(1)(1),f x a a x a x a x =+++++++其中0125,,,,a a a a 为实数，则3a =( )A. 10B. 20C. 30D. 40 6. 程序框图如图，如果程序运行的结果为132S =,那么判断框中可填入( )A. 10k ≤B. 10k ≥C. 11k ≤D. 11k ≥7. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。

给出下列函数：①()sin cos f x x x =+ ②()cos )f x x x + ③()sin f x x = ④()1).f x x + 其中“互为生成函数” 的是( )A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④8. 设有一个正方形网格，其中每个最小正方形边长都等于6cm ，现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是( )A.49B.59C.13D.239. 设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220,OP OF F P O +⋅=为坐标原点，且12,PF 则双曲线的离心率为( )A.31+ B.C. D.10. 已知函数()f x 的定义域为(0,),+∞对于给定的正数K ,定义函数(),()().,()k f x f x Kf x K f x K ≤⎧=⎨>⎩若对于函数11(),x n x f x e +=恒有()()k f x f x =，则( )A. K 的最大值为1eB. K 的最小值为1eC. K 的最大值为2D. K 的最小值为2二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分) (一)必考题(1114题)11. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个角,,A B C 的对边，2cos 2,b c a c =-则B = . 12. 设正实数,,x y z 满足21++=x y z ，则19()x y x y y z++++的最小值为 . 13. 对于各数互不相等的整数数组12(,,,)(3,),n i i i n n N +≥∈对于任意的{}1,2,,,p q n ∈、当p q <时，有,p q i i >则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”。

湖北省武汉市武汉二中2014届高三数学全真模拟考试(二)试题文(含解析)

湖北省武汉市武汉二中2014届高三数学全真模拟考试（二）试题文（含解析）【试卷综析】本次高三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。

明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。

较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。

符合高考命题的趋势和学生的实际。

再将集合B 化简得{}|24B x x =<<，所以()U C A B =(2,3].2. 下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 【知识点】充要条件；命题的真假；命题的否定. 【答案解析】 A 解析：解：对于选项A:11a<解得a>1或a<0, 则“11a <”是“1a >”的必要不充分条件，所以选项A 正确.对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.对于选项C ：命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤” 所以选项D 不正确.综上：故答案选A. 【思路点拨】对于选项A:11a<解得a>1或a<0, 则“11a <”是“1a >”的必要不充分条件，所以选项A 正确.对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.对于选项C ：命题:p“,sin cos x R x x ∀∈+≤p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤”所以选项D 不正确.3.圆22:12,C x y +=上任意一点A 到直线:4325.l x y +=的距离小于2的概率为( )A.21B.31 C.32 D.61 【知识点】点到直线的距离公式，几何概型概率求法【答案解析】D 解析：解：因为圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3的弦长为60，所以圆C 上到直线:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一，故选D.【思路点拨】先求圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3的弦长为它等于半径，所以它所对的圆心角为60，所以圆C 上到直线:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一.4.在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，AM ⊥BC 于M ，点N 是△ABC 内部或边上一点，则 AN AM ⋅的最大值为( ) A.25144B. 25C.16D. 9【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律．【答案解析】 A 解析：解：由AB=3，AC=4，BC=5可知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC 以A 为原点，以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A （0，0），B （3，0），C （0，4），设M （a ，b ）（a ，b ＞0） N （x ，y ）4x ⎩则()(12 34?5||BC AM a AM -＝，，＝，，＝由AM ⊥BC 于M 可知0AM BC ⋅＝，125||AM ＝3625b a ＝，＝令483625x yZ AM AN +=⋅＝，从而转化为线性规划问题，求目标函数Z 在平面区域△ABC 内的最大值利用线性规划知识可得当过边界BC 时将取得最大值，此时Z= 14425【思路点拨】由题意，以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，由AM ⊥BC 于M 可得0AM BC ⋅＝，125||AM ＝，联立可得M 的坐标，由点N （x ，y ）是△ABC 内部或边上一点可得030443120x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-≤⎩4825x AM AN ⋅＝，从而转化为求目标函数在平面区域（△ABC ）内最大值问题．【典型总结】此题是一道综合性较好的试题，以向量的相关知识（向量的垂直、向量的模的坐标表示）为载体，把向量的数量积的问题转化为线性规划的问题.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则 992212,....,2,2a a a 中最大的是( )A. 992aB. 662aC. 552aD.12a 【知识点】等差数列的前n 项和、通项公式、性质等【答案解析】C 解析：解：由S 9>0，S 10<0，得191100,0a a a a +>+<，从而560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列，所以选C.【思路点拨】由S 9>0，S 10<0，得560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列.6. 程序框图如图，如果程序运行的结果为132S =,那么判断框中可填入( )A.. 11k ≤B. 11k ≥C. 10k ≤D. 10k ≥【知识点】当型循环结构的程序框图.【答案解析】 C 解析：解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…， ∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10， ∴判断框的条件是k≤10，故答案选C.【思路点拨】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．【典型总结】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k 值．7．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它到渐进线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若ME FM 2=，则该双曲线离心率为( )A.3B.3C.23 D.26 【知识点】双曲线的渐近线及离心率，向量的有关知识.【答案解析】B 解析：解：由点到直线的距离公式得：FM=b,从而OM=a,又ME FM 2=所以ME=2b ，因为2OM FM EM =⋅,所以()22221122a b c a =⋅=-，解得e =【思路点拨】根据点到直线的距离公式求得：FM=b,从而OM=a,又ME FM 2=所以ME=2b ，因为2OM FM EM =⋅,所以()22221122a b c a =⋅=-，解得e =8. 球面上有三个点A 、B 、C ，其中AB ＝18,BC ＝24,AC ＝30，且球心到平面ABC 的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为( )A.20B.30C. 103D.153【知识点】球的内接多面体，空间想象能力，计算能力，勾股定理.【思路点拨】说明三角形ABC 是直角三角形，AC 是斜边，中点为M ，OA=OB=OC 是半径，求出OM ，利用球半径是球心O 到平面ABC 的距离的2倍，求出半径即可. 9.若ABC ∆为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是( )A.0cos cos log cos >B AC B. 0sin cos log cos >B AC C.0cos sin log sin >BACD. 0sin sin log sin >BAC【知识点】锐角的三角函数值的取值范围。

武汉二中2014届高三模拟考试数学理科A卷

湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知复数，，则的实部与虚部分别为（）A．，B．，C．，D．，2. 某养老院一楼有六个房间，现有6位男住户和4位女住户，要求安排其中2位女住户入住中间四个房间中的两个，安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，则不同的安排方式有（）A ．25920种B ．26890种C ．27650种D ．28640种3.在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（）A ．0B．C．D ．14. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点为，且点到抛物线的焦点的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5. 过坐标原点且与圆相切的直线方程为（）A ．或B ．或C ．或D ．或6. 已知，，，则（）A．B．C．D．7. 下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．8. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（）A．B．C ．1D ．29. 现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B ．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C ．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是D ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为10.已知正四面体的棱长为3，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（）A．四边形的周长为定值B ．当时，四边形为正方形C ．当时，截球所得截面的周长为D ．四棱锥的体积的最大值为11.已知，则的值可以为（）A ．9B ．10C ．11D ．12湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题三、填空题四、解答题12.函数（其中A ，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．的值域为B．的最小正周期为πC．D ．将函数f （x ）的图象向左平移个单位，得到函数的图象13. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.3，0.5，0.6．飞机被一人击中而落地的概率为0.2，被两人击中而落地的概率为0.8，若三人都击中，飞机必定被击落．则飞机被击落的概率为______．14. 2020年抗击新冠肺炎疫情期间，为不影响学生的学习生活，学校实行停课不停学.为督促学生按时学习，某校要求所有学生每天打卡，全校学生的总人数为1200人.某日随机抽查200人，发现因各种原因未及时打卡的学生数为12，估计该日这个学校未及时打卡的学生数为______.15. 直线与圆交于两点，则最小值为______.16. 已知圆的圆心为，，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段的交点为.(1)求点的轨迹的方程；(2)若过点的直线交曲线于，两点，求的取值范围.17.已知函数．(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若有两个极值点，，证明：．18. 已知函数，（1）求曲线过的切线方程；（2）讨论函数在内的单调性．19. （1）已知函数，（为自然对数的底数），记的最小值为，求证：；（2）若对恒成立，求的取值范围．20. 已知抛物线的焦点为，点在上，且．(1)求点的坐标及的方程；(2)设动直线与相交于两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．21. 在三棱锥中，.(1)证明：.(2)若，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.。

湖北武汉市武昌区2014届高三上学期期末学业质量调研数学理试题(WORD精校版)

湖北武昌区2014届高三上学期期末学业质量调研数学（理）试题 2014.1本试题卷共4页，共21题。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设m ∈R ，222(1)m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m= A ．1 B ．一1 C ．一2 D ．2 2．已知全集为R ，集合A=协I 岫≤1），集合B={xlx2-．4x 一5<o ），则（驰）n 船 A ．（0，2] B ．（一1，0] （2，5）C ．[2，5）D ．（一l ，0） [2，5） 3．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的乃，S 的值分别为 A ．n=4，S=30 B ．n=5，S=30 C ．n=4，S=45 D ．n=5，S=454．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ-=+><<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π 5．已知指数函数()y f x =、对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图象都经过点P （1,22），如果123123()()()4,f x g x h x x x x ===++=那么]A ．76B ．66C ．54D ．326．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是7．过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为l 的直线l ，若l 与双曲线m 的两条渐近线分别相交于B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是ABC．3D．28．给出以下结论： ①在四边形ABCD 中，若,AC AB AD ABCD =+ 则是平行四边形； ②在三角形ABC 中，若a=5，b=8，C=60°，则20;BC CA ⋅=③已知正方形ABCD 的边长为l，则||AB BC AC ++=④已知5,28,3(),,,AB a b BC a b CD a b A B C =+=+=-则三点共线．其中正确结论的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．物体A 以速度v=3f 2+l （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ）在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体j5}在物体A 的正前方5 m 处以速度v=l0t （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ）的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是 A ．1 20 m B ．1 30 m C ．140 m D 。

2014年全国高考湖北省数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （）A. 1-B. 1C. i -D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （） A.2 B.54 C. 1 D.42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（） A.0 B.1 C.2 D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（） A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） A.227 B.258C.15750D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.3 B.3C.3D.2 10.已知函数f （x ）是定义在R上的奇函数，当0x ≥时，2221()(||)|2|3).2f x x a x a a =-+--若,(1)(),x R f x f x ∀∈-≤则实数a 的取值范围为（）A.11[,]66-B.[C. 11[,]33-D.[二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a = ，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥- ，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；（2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________17、（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分12分）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。

湖北省武汉市2014届高三下学期4月调研测试理科数学试卷(带解析)

湖北省武汉市2014届高三下学期4月调研测试理科数学试卷（带解析）1．若复数143-++iia （a 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （） A.7 B.-7 C.34 D.34-【答案】A【解析】试题分析：由已知得，()(34)(34)(34)1=1134(34)(34)25a i a i i a a ii i i ++-++---=-++-，故341025a +-=，解得7a =．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.2．若一元二次不等式08322＜-+kx kx 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（） A.(]0,3- B.[)0,3- C.[]0,3- D.)0,3(- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意0k ≠，2030k k k <⎧⎨+<⎩，解得30k -<<．考点：二次函数的图象和性质.3．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（）A.1083cm B.1003cm C.923cm D.843cm【答案】B 【解析】试题分析：如图所示，该几何体是由长、宽、高分别为6、3、6的长方体截去如图一角，所得的几何体，其体积为1636461003⨯⨯-⨯⨯=3cm ．32424考点：1、三视图；2、几何体体积. 4．已知命题R p ∈∃ϕ:，使)s i n ()(ϕ+=x x f 为偶函数；命题x x R x q sin 42cos ,:+∈∀03＜-，则下列命题中为真命题的是（）A.q p ∧B.()q p ∨⌝C.()q p ⌝∨D.()()q p ⌝∨⌝ 【答案】Ｃ【解析】试题分析：当2k πϕπ=+时，函数()f x 是偶函数，故命题p 是真命题；2cos 24sin 32sin 4sin 2x x x x +-=-+-22(sin 1)0x =--≤，故命题q 是假命题，故选C ．考点：复合命题的真假判断.5．已知O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24=PF ，则△POF 的面积为（）A.2B.22C.32 D.4 【答案】C 【解析】试题分析：设点P 00(,)x y ，则点P到准线x =0x，由抛物线定义得，x =0x =，则0y =POF 的面积为12=考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程.6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若A,B,C 成等差数列，c b a 2,2,2成等比数列，则=B A cos cos （） A.14 B.61 C.21 D.32 【答案】A【解析】试题分析：由已知得，2B A C =+，又=A C B π++，故=3B π，又244b ac =，则2b ac =，所以由余弦定理得，2222cos 3b ac ac π=+-ac =，即2()0a c -=，故a c =，所以△ABC是等边三角形，则=B A cos cos 14考点：1、等差中项；2、等比中项；3、余弦定理.7．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是（）A.180B.240C.360D.480 【答案】D 【解析】试题分析：歌手乙、丙排在歌手甲的前面时，由题意，甲只能在从左至右第三、四、五、六个位置，当甲在第三个位置时有232312A A =种；当甲在第四个位置时有233336A A =种；当甲在第五个位置时有234372A A =种；当甲在第六个位置时有2353120A A =种，此时共有123672120240+++=种；同理歌手乙、丙排在歌手甲的后面时也有240种，故满足条件的不同排法种数有480种．考点：排列、组合.8．设321,,a a a 均为正数，321λλλ＜＜，则函数332211)(λλλ-+-+-=x a x ax a x f 的两个零点分别位于区间（）A.),(),(211λλλ⋃-∞内B.),(),(3221λλλλ⋃内C.),(),(332+∞⋃λλλ内D.),(),(31+∞⋃-∞λλ内【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，当1(,)x λ∈-∞时，123,,x x x λλλ--- 均小于0，故()0f x <，故在该区间内不存在零点；当3(,)x λ∈+∞时，123,,x x x λλλ---都大于0，故在该区间内不存在零点，故两点在区间),(),(3221λλλλ⋃内，选B ．考点：函数的零点.9．如图，在△ABC 中，∠C=90°,CA=CB=1,P 为△ABC 内一点，过点P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为（）A.91B.81C.61D.31 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系，设直线EF 的方程为1x ya a+=(01)a <<，P 00(,)x a x -，则三个三角形的面积和22200111()(1)222y x a x a =+-+-，因为2222000011()()2224x a x a x a x +-+-≥=，故22200111()(1)222y x a x a =+-+-23142a a ≥-+2321()436a =-+16≥.考点：1、函数的性质；2、不等式的性质.10．设函数cx bx x x f 33)(23++=有两个极值点21,x x ,且[]0,11-∈x ,[]2,12∈x ,则（）A.21)(101-≤≤-x fB.0)(211≤≤-x f C.27)(01≤≤x f D.10)(271≤≤x f【答案】C【解析】试题分析：'2()363f x x bx c=++，由已知得，12,x x 是方程23630x bx c ++=的两根，故122x x b+=-，12x x c⋅=，由321111()33f x x bx cx =++，故1()f x 3211211123()32x x x x x x x =-++⋅⋅321121322x x x =-+，'211121()32f x x x x =-+⋅，由已知得，'1()0f x <，故函数1()f x 在[]0,11-∈x 单调递减，故12130()22f x x ≤≤=+，又[]2,12∈x ，故27)(01≤≤x f ．考点：1、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的极值、最值.11．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，由表中数据，求得线性回归方程a x y +=65.0，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为________分钟. 【答案】102 【解析】试题分析：150305x ==，380765y ==，因回归直线必过样本点中心(,)x y ，故56.5a =，当70x =时，花费时间为0.657056.5102⨯+=（分钟）.考点：回归直线方程.12．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是______.【答案】1- 【解析】试题分析：程序在执行过程中，,S i 的值依次为：4,1S i ==；1,2S i =-=；2,33S i ==；3,42S i ==；4,5S i ==；故S 的值依次周期性的出现，而且周期为4，当10i =时，1S =-，故输出的1S =-．考点：程序框图．13．在计算“1×2+2×3+...+n （n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：k （k+1）=)]1()1()2)(1([31+--++k k k k k k 由此得1×2=)210321(31⨯⨯-⨯⨯.)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯..............)]1()1()2)(1([31)1(+--++=+n n n n n n n n .相加，得1×2+2×3+...+n （n+1）)2)(1(31++=n n .类比上述方法，请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+....+)3)(2)(1(+++n n n n ”，其结果是_________________.（结果写出关于n 的一次因式的积的形式）【答案】1(1)(2)(3)(4)5n n n n n ++++ 【解析】试题分析：先改写第k 项：1(1)(2)(3)[(1)(5k k kk k k k k k +++=++++--由此得11234[1234501234]5⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯12345[2345612345]5⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯……1(1)(2)(3)[(1)(2)(3)(4)(1)(1)(2)(3)]5n n n n n n n n n n n n n n +++=++++--+++ 相加，得1(1)1234(35...n n n n n n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++=++++．考点：归纳推理.14．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线）＜20(≤=t t x 左侧的图形的面积为)(t f ，则（1）函数)(t f 的解析式为_______；（2）函数)(t f y =的图像与直线t t 、2=轴围成的图形面积为______.【答案】（1）22,012()2),122t f t t t <≤⎪⎪=⎨-<≤（2【解析】试题分析：（1）由题意，当01t <≤时，21()2f t t =⋅=；当12t <≤时，21()242f t =-⋅(2))t t --22)t =-，故函数函数)(t f 的解析式为22,012()(2),122t f t t t <≤⎪⎪=⎨-<≤。

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湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学理试题2014.2.20一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数m (3＋i)－(2＋i)（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为 A ．2，6 B ．2，7 C ．3，6 D ．3，7 3．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 4．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加A ．47尺B ．1629尺C ．815尺D ．1631尺5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若(9x －13x )n （n ∈N *）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A ．252B ．－252C ．84D ．－847．设a ，b ∈R ，则“a 1－b 2＋b 1－a 2＝1”是“a 2＋b 2＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．设AB ＝2AA 1＝2a ．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为P ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1，BB 1上运动且满足EF ＝a 时，则P 的最小值为A ．1116B ．34C ．1316D ．789．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 1＜S 3＜S 2D ．S 3＜S 1＜S 210．如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为A ．3＋1B ．23＋2C ．3－1D ．23－2D 1C 1 B 1A 1ABCDE GF H二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应．．．．．题号．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为． 12．曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋4y 的最大值为．13．如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小正方形个数为f (n )，则（Ⅰ）f (5)＝；（Ⅱ）f (n )＝．14．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则（Ⅰ）m ＝；（Ⅱ）对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE⌒＝AC ⌒，DE 交AB 于点F ．若AB ＝4，BP ＝3，则PF ＝．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(2cos θ－sin θ)－a ＝0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin2θ．（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ．（Ⅰ）若a ＝32，b ＝10，求c ；（Ⅱ）求a cos C －c cos Ab的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＞0，a n ＋1＝2－|a n |，n ∈N *．（Ⅰ）若a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值；（Ⅱ）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5．（Ⅰ）求直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段BC 1上确定一点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望． 21．（本小题满分13分）如图，矩形ABCD 中，|AB |＝22，|BC |＝2．E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，分别以HF ，EG 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求证：直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上；（Ⅱ）若点N 是直线l ：y ＝x ＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF 1和NF 2与椭圆Γ的交点分别为P 、Q 和S 、T ．是否存在点N ，使得直线OP 、OQ 、OS 、OT 的斜率k OP 、k OQ 、k OS 、k OT 满足k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数f (x )＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，使f (x 0)≤0，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）证明：b －a b ＜ln b a ＜b －aa，其中0＜a ＜b ；（Ⅲ）设[x ]表示不超过x 的最大整数，证明：[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．武汉市2014届高三2月调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．D 二、填空题11．3π2＋ 3 12．4 13．（Ⅰ）41；（Ⅱ）2n 2－2n ＋114．（Ⅰ）0；（Ⅱ）40或41 15．215 16．[0，12)三、解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin(A －B )＝cos C ，得sin(A －B )＝sin(π2－C )．∵△ABC 是锐角三角形，∴A －B ＝π2－C ，即A －B ＋C ＝π2， ①又A ＋B ＋C ＝π， ② 由②－①，得B ＝π4．由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，得(10)2＝c 2＋(32)2－2c ×32cos π4，即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4．……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知B ＝π4，∴A ＋C ＝3π4，即C ＝3π4－A ．∴a cos C －c cos A b ＝sin A cos C －cos A sin C sin B ＝sin(A －C )22＝2sin(2A －3π4)．∵△ABC 是锐角三角形， ∴π4＜A ＜π2，∴－π4＜2A －3π4＜π4， ∴－22＜sin(2A －3π4)＜22，∴－1＜a cos C －c cos A b＜1．故a cos C －c cos A b的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a 1＞0，∴a 2＝2－|a 1|＝2－a 1，a 3＝2－|a 2|＝2－|2－a 1|．当0＜a 1≤2时，a 3＝2－(2－a 1)＝a 1，∴a 21＝(2－a 1)2，解得a 1＝1．当a 1＞2时，a 3＝2－(a 1－2)＝4－a 1，∴a 1(4－a 1)＝(2－a 1)2，解得a 1＝2－2（舍去）或a 1＝2＋2．综上可得a 1＝1或a 1＝2＋2．……………………………………………………6分（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2－a 1)＝a 1＋(2－|2－a 1|)，即|2－a 1|＝3a 1－2．当a 1＞2时，a 1－2＝3a 1－2，解得a 1＝0，与a 1＞2矛盾；当0＜a 1≤2时，2－a 1＝3a 1－2，解得a 1＝1，从而a n ＝1（n ∈N *），此时{a n }是一个等差数列；综上可知，当且仅当a 1＝1时，数列{a n }为等差数列．………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵AA 1C 1C 为正方形，∴AA 1⊥AC ．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， ∴AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ．由已知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，∴AB ⊥AC ．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)，∴→A 1B ＝(0，3，－4)，→A 1C 1＝(4，0，0)，→B 1C 1＝(4，－3，0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·→A 1B ＝0，n ·→A 1C 1＝0．即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0．令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，∴n ＝(0，4，3)．设直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，则 sin θ＝|cos ＜→B 1C 1，n ＞|＝|→B 1C 1·n ||→B 1C 1||n |＝3×45×5＝1225．故直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为1225．………………………………6分（Ⅱ）设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且→BD ＝λ→BC 1（λ∈[0，1]），∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，∴x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ， ∴→AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．又→A 1B ＝(0，3，－4)，由→AD ·→A 1B ＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925∈[0，1]．故在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ．此时BD BC 1＝λ＝925．…………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2．P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14．………………………………………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B 1-·B 3)＝P (B 1-)P (B 3)＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58．∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98．………………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得F (2，0)，C (2，1)．由→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，得R (2λ，0)，R ′(2，1－λ)．又E (0，－1)，G (0，1)，则直线ER 的方程为y ＝12λx －1， ①直线GR ′的方程为y ＝－λ2x ＋1． ② 由①②，得M (22λ1＋λ2，1－λ21＋λ2)．∵(22λ1＋λ2)22＋(1－λ21＋λ2)2＝4λ2＋(1－λ2)2(1＋λ2)2＝(1＋λ2)2(1＋λ2)2＝1，∴直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上．…………………………5分（Ⅱ）假设满足条件的点N (x 0，y 0)存在，则直线NF 1的方程为y ＝k 1(x ＋1)，其中k 1＝y 0x 0＋1，直线NF 2的方程为y ＝k 2(x －1)，其中k 2＝y 0x 0－1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．消去y 并化简，得(2k 21＋1)x 2＋4k 21x ＋2k 21－2＝0．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 212k 21＋1，x 1x 2＝2k 21－22k 21＋1．∵OP ，OQ 的斜率存在，∴x 1≠0，x 2≠0，∴k 21≠1． ∴k OP ＋k OQ ＝y 1x 1＋y 2x 2＝k 1(x 1＋1)x 1＋k 1(x 2＋1)x 2＝2k 1＋k 1·x 1＋x 2x 1x 2＝k 1(2－4k 212k 21－2)＝－2k 1k 21－1．同理可得k OS ＋k OT ＝－2k 2k 22－1． ∴k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝－2(k 1k 21－1＋k 2k 22－1)＝－2·k 1k 22－k 1＋k 21k 2－k 2(k 21－1)(k 22－1)＝－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)． ∵k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0，∴－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)＝0，即(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)＝0．由点N 不在坐标轴上，知k 1＋k 2≠0， ∴k 1k 2＝1，即y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝1． ③又y 0＝x 0＋2， ④ 解③④，得x 0＝－54，y 0＝34．故满足条件的点N 存在，其坐标为（－54，34）．………………………………13分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若t ＜0，令x ＝1t ，则f (1t )＝e t 1－1－1＜0；若t ＝0，f (x )＝e x －1＞0，不合题意；若t ＞0，只需f (x )min ≤0．求导数，得f ′(x )＝e x －1－t ．令f ′(x )＝0，解得x ＝ln t ＋1．当x ＜ln t ＋1时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，ln t ＋1)上是减函数；当x ＞ln t ＋1时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(ln t ＋1，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝ln t ＋1处取得最小值f (ln t ＋1)＝t －t (ln t ＋1)＝－t ln t ． ∴－t ln t ≤0，由t ＞0，得ln t ≥0，∴t ≥1．综上可知，实数t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，+∞)．…………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )≥f (ln t ＋1)，即e x －1－tx ≥－t ln t ．取t ＝1，e x －1－x ≥0，即x ≤e x －1．当x ＞0时，ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时，等号成立，故当x ＞0且x ≠1时，有ln x ＜x －1．令x ＝b a ，得ln b a ＜b a －1（0＜a ＜b ），即ln b a ＜b －a a．令x ＝a b ，得ln a b ＜a b －1（0＜a ＜b ），即－ln b a ＜a －b b ，亦即ln b a ＞b －a b．综上，得b －a b ＜ln b a ＜b －a a ．………………………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ），得b －a b ＜ln b a ＜b －aa．令a ＝k ，b ＝k ＋1（k ∈N *），得1k ＋1＜ln k ＋1k ＜1k ．对于ln k ＋1k ＜1k ，分别取k ＝1，2，…，n ，将上述n 个不等式依次相加，得 ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n ＜1＋12＋…＋1n ， ∴ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n． ①对于1k ＋1＜ln k ＋1k ，分别取k ＝1，2，…，n －1，将上述n －1个不等式依次相加，得12＋13＋…＋1n ＜ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1，即12＋13＋…＋1n ＜ln n （n ≥2）， ∴1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n （n ∈N *）． ②综合①②，得ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n ．易知，当p ＜q 时，[p ]≤[q ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤[1＋ln n ]（n ∈N *）．又∵[1＋ln n ]＝1＋[ln n ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．……………………………14分。