第三章 连续函数

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第3章-流体力学连续性方程微分形式

第3章-流体力学连续性方程微分形式

• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能(比位能)
p
单位重流体的压能(比压能)
u 2 单位重流体的动能(比动能)
2g
z
p
单位重流体总势能(比势能)
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义:不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积(质量) ,
与流出的流体体积(质量)之差等于零。
适用范围:理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同:
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体,边 长为dx,dy,dz,中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得:
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得:
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C

z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ,理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中,伯努里常数C均相等。(应用条件:“——”所示)

第三章第三节函数的连续性

第三章第三节函数的连续性

第三章 §3 函数的连续性(第一讲)一、函数连续性的定义变量u 的增量 12u u u -=∆ (从1u 变到2u )可正可负 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义(含0x 点)。

在点0x , 自变量的增量为 )(00x x x x x x ∆+=-=∆相应有函数的增量 00()()y f x x f x ∆=+∆- 连续性:定义1 若0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 称)(x f 在点0x 连续 定义2 若)()(lim )()(lim 00000x f x x f x f x f x x x =∆+=→∆→或称)(x f 在点0x 连续 (满足3点,1º在0()U x 有定义,2º)(limx f xx →存在,3º 等于)(0x f 在区间上连续:)(x f 在区间I 上每点都连续如:x y sin =在),(+∞-∞连续,x y ln =在),0(+∞连续即I x ∈∀有)()(lim 0x f x x f x =∆+→∆ 注:连续即⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→x f x f xx x x 0lim )(lim 左连续:)()(lim 00x f x f x x =-→;右连续:)()(lim 00x f x f x x =+→结论:)(x f 在0x 连续⇔左、右连续(讨论分段函数在分界点的连续性)如:[]6ln )1(lim ln )1ln(lim55=+=+→→x x x x 例1:cos 02()0(0)xx x f x x a ⎧≥⎪+=<>,()0a f x x =求使在连续解: 21)0(=f , 212cos lim0=++→x x x ax a a x x x x a a x x 21(lim lim00=-+=----→→∴当2121=a时,即1=a 时,)(x f 在0=x 连续。

5------第三章 连续LTI特征函数、傅里叶级数

5------第三章 连续LTI特征函数、傅里叶级数
y( t )
k
y( t ) x( t ) * h( t ) x ( )h( t )d

t
a e
k

sk t
k
a

k
H ( sk )e sk t
2
LTI系统分析的基本方法
将输入信号表示成基本信号的线性组合: 时域法: x(t ) x( ) (t )d

从卷积的角度求输出: y (t ) x(t 3) x(t ) * (t 3) h(t ) (t 3)
s j 2
( 3)e s d


s j 2
e 3 s
s j 2
e j 6
方法二: (第六章)
H(s)
Yzs (s) 3s e X (s)
卷积定理

y (t ) e * h(t ) h( )e s ( t ) d

e e H ( s )
st LTI st
e
st



h( )e s d e st H ( s )
特征函数
特征值 (系统函数,传递函数)
H ( s ) h( )e s d h(t)的拉氏变换
例3-2 考虑输入x(t)和输出y(t)是个延时为3的LTI系统,即y(t)=x(t-3) 1)若输入为x(t)=ej2t,求输出及其特征值H(s)。 解:1)
y (t ) x(t 3) e j 2 ( t 3) e j 6 e j 2t
H ( s ) s j 2 h( )e s d
3
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第3章流体力学连续性方程微分形式

第3章流体力学连续性方程微分形式
第三节 流体动力学基本方程式
X方向
( ux ) dxdydz x
同理可得:
在dt时间内因密度变化而减少的 质量为:
3
y方向:
z方向:
( u y ) y dxdydz ( u z ) dxdydz z
dxdydz ( ) dxdydz t t dxdydz
0 t
适用范围:理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
(2)不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时

u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义:不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积(质量) , 与流出的流体体积(质量)之差等于零。 适用范围:理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
2
在流场内取一微元六面体(如图),边长为dx,dy,dz,中心点O流速为 ( ux,uy,uz ) D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例: C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差: ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz

高等数学(一)1课程教学大纲

高等数学(一)1课程教学大纲
课程内容:
第一章矢量与坐标
【目的要求】能正确理解矢量的概念,并且能灵活运用这些概念解决一些具体问题;掌握矢量的线性关系及矢量的分解;熟练掌握矢量各种运算的定义、性质、法则以及矢量的各种位置关系及其对应的代数表示式,在此基础上能进行正确的证明、计算;能正确理解矢量的坐标与点的坐标的内在联系和区别,掌握矢量运算的坐标表示及其各种位置关系的坐标表示,并且能熟练地进行运算和论证。
三、泰勒公式
四、函数单调性的判别法
五、函数的极值及其求法
六、函数的最大值和最小值
七、函数的凹凸性与拐点
八、函数图形的描绘
九、曲率
●实践教学内容与安排(4学时)
一、第一章习题
二、描绘函数图形
【作业与思考】第一章部分习题
思考:函数一阶导、二阶导数与函数极值点和拐点有哪些联系?
第六章定积分
【目的要求】掌握积分概念,性质,换元积分法和分部积分法、有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。
【作业与思考】第三章部分习题
思考:微分与积分的联系。
学时分配表
课程内容
学时
理论
第一章中值定理与导数应用
16
第二章不定积分
10
第三章定积分
10
实践
一各章节习题
19
二描绘函数图形
2
三讨论:定积分与不定积分换元法的区别
1
考核
1.第一、二章内容
2
合计
60
教学策略与方法建议:以讲授法为主,辅以练习法、谈话法、讨论法、引导发现法。教学策略上宜以问题的呈现引发学生思考,帮助学生建立数学模型,找出解决问题的一般方法,从而建立概念,掌握有关数学思想方法,巩固定理和法则。
【重点与难点】重点是求导公式及法则。难点是导数与微分概念。

陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第3章 函数极限与连续函数【圣才出品】

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的数列{xn},相应的函数值数列{f(xn)}成立

(2)Heine 定理的另一表述
,且
存在的充分必要条件是:对于任意满足条件

xn≠x0(n=1,2,3,…)的数列{xn},相应的函数值数列{f(xn)}收敛。
5.单侧极限
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第 3 章 函数极限与连续函数
3.1 复习笔记
一、函数极限 1.函数极限的定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某个去心邻域中有定义,即存在 ρ>0,使
如果存在实数 A,对于任意给定的 ε>0,可以找到 δ>0,使得当
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则称当
时,
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是有界量,记为
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若又存在 ,当 在 的某个去心邻域中,成立
则称当
时,
与 是同阶无穷小量。
(3)若
,称当
时, 与 是等价无穷小量,记为
2.无穷大量的比较

是两个变量,当
时它们都是无穷大量,讨论 的极限情况。
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(3)函数极限
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存在而且有限的充分必要条件是:对于任意给定的 ε>0,存
在 X>0,使得对一切 x′,x″>X,成立
二、连续函数 1.连续函数的定义 (1)在某点处连续 设函数 f(x)在点 x0 的某个邻域中有定义,并且成立
①若 f(x)>g(x)成立。
②推论

《高考调研》高三数学第一轮复习 第三章《函数极限和连续性、导数》课件31

《高考调研》高三数学第一轮复习 第三章《函数极限和连续性、导数》课件31
A.a=-2,b=4 B.a=2,b=-4 C.a=-2,b=-4 D.a=2,b=4
【解析】 ∵lxi→m1 (1-a x-1-b x2)=lxi→m1 ax1+-ax-2 b=1 ∴ax+a-b=a(x-1),且-a2=1. ∴a=-2,b=-4.
【答案】 C
• 题型二 函数的连续性
eax+b,x<0 例 3 已知函数 f(x)=1a, ·23xx+ +x=11-0b,x >0
1 21 2
(2)xl→im+∞
x x+1+
x-1=________.
x
【(2答)xl→i案m+∞】
x+1 1+ 2
x-1=________.
【答案】
1 2
例 2 (1)(08·湖北卷)已知 m∈N*,a,b∈R,若lxi→m0
1+xxm+a=b,则 a·b=(
)
A.-m
B.m
C.-1
D.1
【解析】 由lxi→m0 x=0 知,当 x=0 时,(1+x)m+a
(1)lxi→m∞ x2+2x-3 (2)xl→im+∞ x( x+3- x-2) (3)lxi→m1 (1-3 x3-1-1 x)
x+3-2 (4)lxi→m1 x-1
【解析】
(1)lxi→m∞ x22+x2- 2x-4x3=lxi→m∞ 1+2-2x-4x x32=2
(2)原式=xl→im+∞
2.如何判断函数在点 x0 处的连续性 (1)初等函数在定义域内都连续,因此其不连续点 即函数无定义点;而连续函数极限符号“xl→imx0”与函 数对应关系“f”可交换顺序,确定是否连续即可代入 x0 值.
(2)考虑函数的连续性时还常常借助图象的直观 性,即数形结合.
2010x,x>1 1.(2011·衡水调研卷)已知 f(x)= 0, x=1

函数 连续

函数 连续

函数连续性一、函数连续性的定义函数连续性是数学分析中的一个重要概念,它描述了函数在某一点或某一范围内的极限行为。

如果函数在某点的极限值等于该点的函数值,则函数在该点连续。

更具体地说,对于函数f(x),如果lim(x→x0)f(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处连续。

如果函数在定义域内的每一点都连续,则称函数为连续函数。

二、连续函数的性质连续函数具有许多重要的性质,这些性质在数学分析和实际问题中都有广泛的应用。

1.连续函数的和、差、积、商(分母不为零)也是连续函数。

2.连续函数的复合函数也是连续函数。

3.连续函数在闭区间上具有最大值和最小值。

4.如果函数在区间(a, b)的两端点处取值,则该函数在此区间内为常数。

5.连续函数的原函数存在且连续。

三、连续函数的判断要判断一个函数是否连续,需要求出函数的极限,并将其与函数值进行比较。

如果极限值等于函数值,则函数在该点连续;否则,函数在该点不连续。

对于一些特殊形式的函数,可以根据其性质来判断其连续性。

例如,多项式函数、三角函数等在其定义域内都是连续的。

四、连续函数的应用连续函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。

例如,在物理学、工程学、经济学等领域中,许多问题可以通过连续函数来描述其变化规律。

在解决实际问题时,我们需要选择适当的数学模型来描述问题,而连续函数作为一种常见的数学工具,被广泛应用于各种模型的建立和求解中。

此外,连续函数还在数值分析、微分方程、积分方程等领域中有广泛的应用。

五、不连续函数和分段函数的特性不连续函数是指在其定义域内某些点上不满足连续性的函数。

不连续点也称为间断点,其特点是函数的左右极限不相等或者不存在。

分段函数则是指在其定义域内由若干个不相交的区间组成的函数。

分段函数的每一段都可以是连续的或不连续的。

不连续函数和分段函数具有一些特殊的性质,例如在间断点处的取值、跳跃度等。

这些性质使得它们在某些特定的问题中有特殊的应用价值。

函数的连续性(课件

函数的连续性(课件
数学上,如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值为$f(x_0)$,即 $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$,则称$f(x)$在点$x_0$处连续。
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指,对于该区间内的任意一点,函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续,则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
闭区间上的连续函数满足中值定理, 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等,则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质, 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号,则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2,当x1趋近于x2时,函数值也趋近于 相同值,则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质, 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断,因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用,例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段,将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系

第三章函数极限与连续函数

第三章函数极限与连续函数

第三章 函数极限与连续函数(16课时)教学目的1 理解各种函数极限定义的思想及其几何意义; 注:b x f ax =→)(lim 与函数)(x f 在a 的取值无关2 熟练书写各种函数极限的定义和它们的否定叙述;3 会应用函数极限定义证明某些函数的极限;4 掌握函数极限的四则运算和性质,并能用它们求函数的极限;5 理解函数极限与数列极限的关系;6 理解连续函数定义,掌握连续函数的四则运算及不连续点的类型7 掌握无穷大量与无穷小量的阶的含义,利用等价无穷小量求极限;8 掌握闭区间上连续函数的性质证明,并能应用解决一些理论问题;9 一致连续的定义及有关性质。

教学要求1 进一步培养极限思想;2 培养学生整体与局部的观念。

教学重点1 掌握函数极限的四则运算和性质,并能用它们求函数的极限;2 理解函数极限与数列极限的关系;3 连续函数定义的理解,求函数的极限;4 利用等价无穷小量求极限;5 闭区间上连续函数的性质证明,并能应用解决一些理论问题。

教学难点1 书写各种函数极限的定义和它们的否定叙述2 连续函数定义的理解及应用;3 等价量求极限;4 闭区间上连续函数的性质证明及应用;5 等价无穷小量求极限;6 一致连续的定义。

§ 1 函数极限( 4时 )教学目的1 理解各种函数极限定义的思想及其几何意义; 注:b x f ax =→)(lim 与函数)(x f 在a 的取值无关2 熟练书写各种函数极限的定义和它们的否定叙述;3 会应用函数极限定义证明某些函数的极限;4 掌握单侧极限的定义及函数在一点有极限的充要条件;5 理解函数极限与数列极限的关系; 教学过程1 函数极限的定义1.10x x →时函数)(x f 的极限:由 ⎩⎨⎧=≠+=.2 ,0,2 ,12)(x x x x f 考虑2→x 时的极限引入.定义 函数极限的“δε-”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例1 (1).lim 0C C x x =→ (2).lim 00x x x x =→(3) .512372933lim 2233=+--+-→x x x x x x 证 由,3≠x 512)3( )12()3( )3( 5123729332223----+=-+--+-x x x x x x x x x =.12395125395 512123 2---≤---=--+x x x x x x x x 为使 ,11635615595≤+-≤+-=-x x x 需有 ;13<-x 为使 ,1325562 12>--≥+-=-x x x 需有 .23<-x 于是, 倘限制 130<-<x , 就有512372933223-+--+-x x x x x 12395---≤x x x .3111311-=-≤x x (4) ). 1 ( ,11lim02020<-=-→x x x x x(5).sin sin lim 00x x x x =→ ( 类似有 ) .cos cos lim 00x x x x =→1.2 单侧极限:1.2.1 定义: 单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域 },0 {),(δδ<-≤=+a x x a =-),(δa). , (),( ), , (),( ], , (00a a a a a a a a δδδδδ-=+=--+然后介绍)(lim 0x f x x +→等的几何意义.例2 验证 .01l i m 21=--→x x 证 考虑使 2221ε<-x的 .δ1.2.2单侧极限与双侧极限的关系:.)0()0( ,)(lim 000A x f x f A x f x x =-=+⇔=→ 例3 证明: 极限 12lim21--+→x x x x 不存在.例4 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内单调. 若)(lim 0x f x x →存在, 则有)(lim 0x f x x →=).(0x f3 ∞→x 时函数的极限:以+∞→x 时xx f 1)(=和arctgx x g =)(为例引入. 介绍符号: ∞→-∞→+∞→x x x , ,的意义, A x f =)(lim 的直观意义.定义 ( A x f A x f x x ==-∞→+∞→)(lim ,)(lim 和 A x f x =∞→)(lim . ) 几何意义 介绍邻域 }, {)( }, {)(M x x M x x -<=-∞>=+∞}. {)(M x x >=∞ 其中M 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义..)()( ,)(A f f A f =+∞=-∞⇔=∞ 例5 验证下列极限 (1).01lim=∞→x x (2) .2lim π=+∞→arctgx x (3) 验证.222lim 22=-+∞→x x x x证 . 422 2 4 24 222 2423222x xx x x x x x x x x x =-+-+=--+>>……2 函数极限的性质我们引进了六种极限: ),(lim ),(lim),(lim x f x f x f x x x ∞→-∞→+∞→ )(lim 0x f x x →, )0( ),0(00-+x f x f .以下以极限)(lim 0x f x x →为例讨论性质. 均给出证明或简证.以定理形式给出.2.1 唯一性: 2.2 局部有界性: 2.3 局部保序性:2.4 单调性( 不等式性质 ):若)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g x x →都存在, 且存在点0x 的空心邻域),(00δ'x , 使),(00δ'∈∀x x 都有 ),()(⇒≤x g x f )(lim 0x f x x →).(lim 0x g x x →≤证 设)(lim 0x f x x →=.)(lim ,0B x g A x x =→ ( 现证对,0>∀ε 有.2ε+<B a ).2 ,)()( ),,( ,0 ,000εεεδδε+<⇒+<≤<-⇒∈∀>∃>∀B A B x g x f A x x註: 若在Th 4的条件中, 改“)()(x g x f ≤”为“)()(x g x f <”, 未必就有.B A < 以 0 ,1)( ,1)(02=≡+=x x g x x f 举例说明.2.5 夹逼性: 见教材P76例3.1.4 3 极限的四则运算 见教材P77思考:)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g x x →中至少有一个不存在极限,则四则运算的情形如何?4 求极限的有关方法4.1利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限:;cos cos lim ,sin sin lim ,lim ,lim 0000x x x x x x C C x x x x x x x x ====→→→→.2lim ,01limπ±==±∞→∞→arctgx x x x ( 注意前四个极限中极限就是函数值 ) 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有一些基本极限作为公式用利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基 本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例6 求下列极限:(1) ).1(lim 4-→xtgx x π( 利用极限224sinsin lim 4==→ππx x 和.22cos lim 4=→x x π ) (2) ) 1 ( . 1311lim 31-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→x x x(3) .523735lim233+++-∞→x x x x x 註: 关于x 的有理分式当∞→x 时的极限. 参阅P 83例3.1.12.(4) .11lim 1071--→x x x [ 利用公式).1)(1(121++++-=---a a a a a n n n ] (5) .2122lim221-+-+-→x x x x x (6) .53132l i m 22++++∞→x x x x(7) .23)102sin(lim254x x x x x --+∞→ (8) .11lim 31--→x x x(9) .1111lim3-+-+→x x x (10) 已知 .316lim23B x Ax x =--+→求A 和.B(11) 已知.74lim 222-=-++→B x B Ax x x 求A和.B (.320,316=-=B A ) 4.2 两个重要极限.1sin lim0=→x x x (夹逼法可证) (同理有 ,1sin lim 0=→x x x .11s i n l i m =∞→nn n ).11lim e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ .) 1 (l i m 10e x x x =+→证 对 ,1+<≤n x n 有 ,1111111nx n +≤+<++⇒ ,11111111+⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n xnn x n例7 求下列极限 (1).sin limx x x -→ππ (2) 20c o s 1lim xxx -→. (3) .3sin 5sin lim 0x x x → (4) .arcsin lim 0xxx →(5) 证明极限 xx x sin lim→不存在.(6) ,1l i m xx x k ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ 特别当 21 ,1=-=k k 等. (7) .) 21 (lim 1xx x +→ (8) .)sin 31 (lim csc 0xx x -→(9) .1232lim 35x x x x -∞→⎪⎭⎫⎝⎛+-5 函数极限存在的条件介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限)(lim 0x f x x →为例.5.1 Heine 归并原则 —— 函数极限与数列极限的关系:设函数f 在点0x 的某空心邻域)(00x 内有定义. 则极限)(lim 0x f x x →存在,⇔ 对任何)(00x x n ∈且)(lim ,0n n n x f x x ∞→→都存在且相等. ( 证 )Heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系, 是证明极限不存在的 有力工具. 对单侧极限, 还可加强为}{n x 单调趋于0x .例8 证明.01sinlim 0≠→xx 且不存在. 5.2 Cauchy 准则:( Cauchy 准则 ) 设函数)(x f 在点0x 的某空心邻域),(00δ'x 内有定义. 则)(lim 0x f x x →存在,∈'''∀'<>∃>∀⇔x x , ),(0 ,0 δδδε),(00δx ,.)()( ε<''-'⇒x f x f证 )⇒)⇐ ( 利用Heine 归并原则 )Cauchy 准则的否定: )(lim 0x f x x →不存在的充要条件.例9 用Cauchy 准则证明极限xx 1sinlim 0→不存在. 证 取 .21 ,1πππ+=''='n x n x作业: P87—88 No 2 双号题 No 7 No 8 No12、13§ 2连续函数 ( 4时 )教学目的1、理解连续函数定义,掌握连续函数的四则运算及不连续点的类型;2、掌握反函数及复合函数的连续,能根据复合函数的连续性求函数的极限。

高等数学第六版(上册)第三章课后习题答案

高等数学第六版(上册)第三章课后习题答案

高等数学第六版(上册)第三章课后习题答案及解析习题3-11.验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续,在)65 ,6(ππ内可导,且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知,至少存在一点)65 ,6(ππξ∈,使得y '(ξ)=cot ξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=,使y '(ξ)=cot ξ=0.2.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续,在(0, 1)内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点ξ∈(0, 1),使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ,使01)0()1()(--='y y y ξ.3.对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续,在)2,0(π可导,且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0,所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈,使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ,即22sin 1cos -=-πx x . 化简得14)2(8s i n 2-+-=πx .易证114)2(802<-+-<π,所以14)2(8s i n 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解,即确实存在)2 ,0(πξ∈, 使得 )()()0()2()0()2(ξππF f F F f f '=--. 4.试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导,由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(a ,b ),使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ),即 (pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ). 化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ.5.不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数,说明方程f '(x )=0有几个实根,并指出它们所在的区间.解由于f (x )在[1, 2]上连续,在(1, 2)内可导,且f (1)=f (2)=0,所以由罗尔定理可知,存在ξ1∈(1, 2),使f '(ξ1)=0.同理存在ξ2∈(2, 3),使f '(ξ2)=0;存在ξ3∈(3, 4),使f '(ξ3)=0.显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根.注意到方程f '(x )=0是三次方程,它至多能有三个实根,现已发现它的三个实根,故它们也就是方程f '(x )=0的全部根.6.证明恒等式:2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明设f (x )= arcsin x +arccos x .因为01111)(22≡---='x x x f , 所以f (x )≡C ,其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f ,即2arccos arcsin π=+x x .7.若方程a 0x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x =0有一个正根x 0,证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 +⋅⋅⋅+a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.证明设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x ,由于F (x )在[0,x 0]上连续,在(0,x 0)内可导,且F (0)=F (x 0)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(0,x 0),使F '(ξ)=0,即方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 +⋅⋅⋅+a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.8.若函数f (x )在(a ,b )内具有二阶导数,且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中a <x 1<x 2<x 3<b ,证明:在(x 1,x 3)内至少有一点ξ,使得f ''(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1,x 2]上连续,在(x 1,x 2)内可导,且f (x 1)=f (x 2),根据罗尔定理,至少存在一点ξ1∈(x 1,x 2),使f '(ξ1)=0.同理存在一点ξ2∈(x 2,x 3),使f '(ξ2)=0. 又由于f '(x )在[ξ1,ξ2]上连续,在(ξ1,ξ2)内可导,且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(x 1,x 3),使f ''(ξ )=0. 9.设a >b >0,n >1,证明:nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明设f (x )=x n ,则f (x )在[b ,a ]上连续,在(b ,a )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(b ,a ),使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ),即a n -b n =n ξn -1(a -b ). 因为nb n -1(a -b )<n ξn -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) . 10.设a >b >0,证明:bb a b a a b a -<<-ln . 证明设f (x )=ln x ,则f (x )在区间[b ,a ]上连续,在区间(b ,a )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(b ,a ),使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ),即)(1ln ln b a b a -=-ξ.因为b <ξ<a ,所以)(1ln ln )(1b a bb a b a a -<-<-,即b b a b a a b a -<<-ln .11.证明下列不等式:(1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |; (2)当x >1时,e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x ,则f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a ,b ),使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ),即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ,即|arctan a -arctan b |≤|a -b |.(2)设f (x )=e x ,则f (x )在区间[1,x ]上连续,在区间(1,x )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(1,x ),使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1),即e x -e =e ξ(x -1). 因为ξ>1,所以e x -e =e ξ(x -1)>e (x -1),即e x >e ⋅x .12.证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明设f (x )=x 5+x -1,则f (x )是[0,+∞)内的连续函数.因为f (0)=-1,f (1)=1,f (0)f (1)<0,所以函数在(0, 1)内至少有一个零点,即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根,则由罗尔定理,f '(x )存在零点,但f '(x )=5x 4+1≠0,矛盾.这说明方程只能有一个正根.13.设f (x )、g (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,证明在(a ,b )内有一点ξ,使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解设)()()()()(x g a g x f a f x =ϕ,则ϕ(x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a ,b ),使ϕ(b )-ϕ(a )=ϕ'(ξ)(b -a ), 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f . 因此)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14.证明:若函数.f (x )在(-∞,+∞)内满足关系式 f '(x )=f (x ),且f (0)=1则f (x )=e x .证明令xe xf x )()(=ϕ,则在(-∞,+∞)内有 0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞,+∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1,从而f (x )=e x .15.设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数,且f (0)=f '(0)=⋅⋅⋅=f(n -1)(0)=0,试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f x x f n nθ= (0<θ<1).证明根据柯西中值定理111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(ξ1介于0与x 之间),2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(ξ2介于0与ξ1之间), 3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(ξ3介于0与ξ2之间), 依次下去可得!)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(ξn 介于0与ξn -1之间), 所以!)()()(n f xx f n n n ξ=.由于ξn 可以表示为ξn =θx (0<θ<1),所以!)()()(n x f xx f n n θ= (0<θ<1).习题3-21.用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→;(2)xee x x x sin lim 0-→-;(3)ax a x a x --→sin sin lim ;(4)x x x 5tan 3sin lim π→;(5)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(6)n n m m a x ax ax --→lim ;(7)xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→;(8)xx x 3tan tan lim 2π→;(9)x arc x x cot )11ln(lim++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;(11)x x x 2cot lim 0→;(12)2120lim x x ex →;(13))1112(lim 21---→x x x ;(14)x x x a )1(lim +∞→;(15)x x x sin 0lim +→;(16)x x xtan 0)1(lim +→. 解 (1)111lim 111lim )1ln(lim000=+=+=+→→→x x xx x x x . (2)2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→.(4)535sec 53cos3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m namx nx mx a x a x -----→→===--1111lim lim .(7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200⋅⋅⋅⋅=+→+→x xx x x x x x177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 272200=⋅⋅==+→+→x x x x x x . (8)x x x x x x x x x 2222222cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim πππ→→→=⋅= )sin (cos 23)3sin (3cos 2lim312x x x x x -⋅-=→πxx x cos 3cos lim π→-=3sin 3sin 3lim 2=---=→xx x π. (9)2221lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim xx x xx x x x x x x ++=+--⋅+=++∞→+∞→+∞→122lim 212lim ==+=+∞→+∞→x x x x . (10)x x x x x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→x x x x x x x .(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) (11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x . (12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x x x e t e xe e x(注:当x →0时,+∞→=21x t .(13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而221)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim xx a x ax x a x a x x x x --⋅+=+=+∞→∞→∞→a a a x ax x x ==+=∞→∞→1lim lim ,所以a ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而xx x x x x x x x x cot csc 1lim csc ln lim ln sin lim 000⋅-==+→+→+→0cos sin lim 20=-=+→xx x x , 所以1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=,而xx x x x x x x x 2000csc 1limcot ln lim ln tan lim -==+→+→+→ 0sin lim 20=-=+→xx x , 所以1lim )1(lim 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .2.验证极限xx x x sin lim +∞→存在,但不能用洛必达法则得出.解1)sin 1(lim sin lim =+=+∞→∞→xx x x x x x ,极限x x x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx x x x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在,不能用洛必达法则. 3.验证极限x x x x sin 1sin lim20→存在,但不能用洛必达法则得出. 解0011sin sin lim sin 1sin lim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x ,极限x x x x sin 1sin lim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在,不能用洛必达法则. 4.讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=-0])1([)(2111x e x e x x f x 在点x =0处的连续性.解21)0(-=e f ,)0(lim)(lim 21210f e e x f x x ===---→-→,因为]1)1ln(1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f ,而200)1ln(lim ]1)1ln(1[1lim xxx x x x x x -+=-++→+→ 21)1(21lim 2111lim 00-=+-=-+=+→+→x x x x x , 所以]1)1ln(1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f)0(21f e ==-.因此f (x )在点x =0处连续.习题3-31.按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4.因为f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f=-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4.2.应用麦克劳林公式,按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1,f '(0)=-9,f ''(0)=60,f '''(0)=-270, f (4)(0)=720,f (5)(0)=-1080,f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3.求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解因为24)4(==f ,4121)4(421=='=-x x f ,32141)4(423-=-=''=-x x f ,328383)4(425⋅=='''=-x x f ,27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ 4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1).4.求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1,f ''(x )=(-1)x -2,f '''(x )=(-1)(-2)x -3,⋅⋅⋅,nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2,⋅⋅⋅,n +1), 所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5.求函数xx f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式.解因为f (x )=x -1,f '(x )=(-1)x -2,f ''(x )=(-1)(-2)x -3,⋅⋅⋅,1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2,⋅⋅⋅,n ), 所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n n n x n f x n f ξ12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1). 6.求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解因为f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0,f '(0)=1,f ''(0)=0,f '''(0)=2,所以4523)(cos 3]2)()[sin sin(31tan x x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7.求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x ,⋅⋅⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2,⋅⋅⋅,n ), 所以)(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+= )()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8.验证当210≤≤x 时,按公式62132x x x e x+++≈计算e x 的近似值时,所产生的误差小于0.01,并求e 的近似值,使误差小于0.01.解因为公式62132x x x e x +++≈右端为e x的三阶麦克劳林公式,其余项为43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时,按公式62132x x x e x+++≈计算e x 的误差01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ. 645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值,并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =,则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间). 于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4sin !31sin x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10.利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim2202x x x e x xx -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-,所以23])(23[lim )](211[)](1[lim )23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x .(2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→ 010)1ln(1)(121lim 11340=+=-++-=-→e x x x o x x x . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2x x o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x . 习题3-41.判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解因为011111)(22≤+-=-+='xx x f ,且仅当x =0时等号成立,所以f (x )在(-∞,+∞)内单调减少.2.判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解因为f '(x )=1-sin x ≥0,所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3.确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3; (6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0,x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0,令y '=0得驻点x 1=-1,x 2=3. 列表得可见函数在(-∞,-1]和[3,+∞)内单调增加,在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2,x 2=-2(舍去).因为当x >2时,y >0;当0<x <2时,y '<0,所以函数在(0, 2]内单调减少,在[2,+∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=',令y '=0得驻点211=x ,x 2=1,不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0),]21 ,0(, [1,+∞)内单调减少,在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y ,所以函数在(-∞,+∞)内单调增加.(5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x .因为当21<x 时,y '<0;当21>x 时,y '>0,所以函数在]21 ,(-∞内单调减少,在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=',驻点为321a x =,不可导点为22a x =,x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞,]32 ,2(a a , (a ,+∞)内单调增加,在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ),驻点为x =n .因为当0<x <n 时,y '>0;当x >n 时,y '<0,所以函数在[0,n ]上单调增加,在[n ,+∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 2 2sin 2 2sin (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2cos 212 2cos 21(k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).y '是以π为周期的函数,在[0,π]内令y '=0,得驻点21π=x ,652π=x ,不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0,π]上的单调性及y '在(-∞,+∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加,在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).4.证明下列不等式: (1)当x >0时,x x +>+1211;(2)当x >0时,221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时,331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(,则f (x )在[0,+∞)内是连续的.因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx ,所以f (x )在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x >0时f (x )>f (0)=0,即01211>+-+x x , 也就是x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=,则f (x )在[0,+∞)内是连续的.因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f , 所以f (x )在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x >0时f (x )>f (0)=0,即01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是221)1ln(1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x ,则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=. 因为在)2 ,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0,-cos x <0,所以f '(x )>0,从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加,因此当20π<<x 时,f (x )>f (0)=0,即sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=,则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(tan (tan tan 1sec )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='.因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0,所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加,因此当20π<<x 时,f (x )>f (0)=0,即031tan 3>--x x x ,也就是231tan x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x ,则f (x )在[4,+∞)内连续,因为0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时,f '(x )>0,即f (x )内单调增加.因此当x >4时,f (x )>f (4)=0,即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.5.讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根?解设f (x )=ln x -ax .则f (x )在(0,+∞)内连续,xax a x x f -=-='11)(,驻点为a x 1=.因为当ax 10<<时,f '(x )>0,所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加;当a x 1>时,f '(x )<0,所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少.又因为当x →0及x →+∞时,f (x )→-∞,所以如果011ln )1(>-=a a f ,即e a 1<,则方程有且仅有两个实根;如果011ln )1(<-=aa f ,即e a 1>,则方程没有实根.如果011ln )1(=-=a a f ,即e a 1=,则方程仅有一个实根.6.单调函数的导函数是否必为单调函数?研究下面这个例子:f (x )=x +sin x .解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的,但其导数不是单调函数.事实上,f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞,+∞)内是单调增加的.f ''(x )=-sin x 在(-∞,+∞)内不保持确定的符号,故f '(x )在(-∞,+∞)内不是单调的.7.判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2; (2) y =sh x ; (3)x y 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x ,y ''=-2,因为y ''<0,所以曲线在(-∞,+∞)内是凸的. (2)y '=ch x ,y ''=sh x .令y ''=0,得x =0.因为当x <0时,y ''=sh x <0;当x >0时,y ''=sh x >0,所以曲线在(-∞, 0]内是凸的,在[0,+∞)内是凹的.(3)1xy -=',32x y =''. 因为当x >0时,y ''>0,所以曲线在(0,+∞)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞,+∞)内,y ''>0,所以曲线y =x arctg x 在(-∞,+∞)内是凹的.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ; (4) y =ln(x 2+1); (5) y =earctan x;(6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3,y ''=6x -10.令y ''=0,得35=x .因为当35<x 时,y ''<0;当35>x 时,y ''>0,所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的,在) ,35[∞+内是凹的,拐点为)2720 ,35(.(2)y '=e -x -xe -x ,y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2).令y ''=0,得x =2.因为当x <2时,y ''<0;当x >2时,y ''>0,所以曲线在(-∞, 2]内是凸的,在[2,+∞)内是凹的,拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x ,y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞,+∞)内,y ''>0,所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞,+∞)内是凹的,无拐点.(4)122+='x x y ,22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y .令y ''=0,得x 1=-1,x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞,-1]和[1,+∞)内是凸的,在[-1, 1]内是凹的,拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11xe y x +⋅=',)21(12arctan x x e y x-+=''.令y ''=0得,21=x .因为当21<x 时,y ''>0;当21>x 时,y ''<0,所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的,拐点是),21(21arctan e. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3,y ''=144x 2⋅ln x .令y ''=0,得x =1.因为当0<x <1时,y ''<0;当x >1时,y ''>0,所以曲线在(0, 1]内是凸的,在[1,+∞)内是凹的,拐点为(1,-7).9.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0,y >0,x ≠y ,n >1); (2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0,y >0,x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n ,则f '(t )=nt n -1,f ''(t )=n (n -1)t n -2.因为当t >0时,f ''(t )>0,所以曲线f (t )=t n在区间(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x >0,y >0,x ≠y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即nn n y x y x )2()(21+>+. (2)设f (t )=e t ,则f '(t )=e t ,f ''(t )=e t .因为f ''(t )>0,所以曲线f (t )=e t 在(-∞,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x ,y ∈(-∞,+∞),x ≠y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即)(22y x e e e yx y x ≠>++.(3)设f (t )=t ln t ,则f '(t )=ln t +1,tt f 1)(=''.因为当t >0时,f ''(t )>0,所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x >0,y >0,x ≠y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+.10.试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明222)1(12+++-='x x x y ,323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0,得x 1=-1,322-=x ,323+=x . 例表得可见拐点为(-1,-1),))32(431 ,32(---,))32(431 ,32(+++.因为41)1(32)1()32(431=-------,41)1(32)1()32(431=--+--++, 所以这三个拐点在一条直线上.11.问a 、b 为何值时,点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点?解y '=3ax 2+2bx ,y ''=6ax +2b .要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点,必须y (1)=3且y ''(1)=0,即a +b =3且6a +2b =0,解此方程组得23-=a ,29=b .12.试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d ,使得x =-2处曲线有水平切线, (1,-10)为拐点,且点(-2, 44)在曲线上. 解y '=3ax 2+2bx +c ,y ''=6ax +2b .依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a . 解之得a =1,b =-3,c =-24,d =16.13.试决定y =k (x 2-3)2中k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx ,y ''=12k (x -1)(x +1).令y ''=0,得x 1=-1,x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的,又当x =-1时y =4k ,所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k ,所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y .要使法线过原点,则(0, 0)应满足法线方程,即kk 814-=-,82±=k .同理,因为在x 1=1的两侧y ''是异号的,又当x =1时y =4k ,所以点(1, 4k )也是拐点. 因为y '(1)=-8k ,所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y .要使法线过原点,则(0, 0)应满足法线方程,即kk 814-=-,82±=k .因此当82±=k 时,该曲线的拐点处的法线通过原点.14.设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数,如果f ''(x 0)=0,而f '''(x 0)≠0,试问 (x 0,f (x 0))是否为拐点?为什么?解不妨设f '''(x 0)>0.由f '''(x )的连续性,存在x 0的某一邻域(x 0-δ,x 0+δ),在此邻域内有f '''(x )>0.由拉格朗日中值定理,有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时,f ''(x )<0;当x 0<x <x 0+δ时,f ''(x )>0,所以(x 0,f (x 0))是拐点.习题3-51.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ;(3) y =-x 4+2x 2; (4)x x y -+=1; (5)25431xx y ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e xcos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ;(10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞,+∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1),驻点为x 1=-1,x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17,在=3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1,+∞),xxx y +=+-='1111,驻点为x =0.因为当-1<x <0时,y '<0;当x >0时,y '>0,所以函数在x =0处取得极小值,极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞,+∞), y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1),y ''=-12x 2+4,令y '=0,得x 1=0,x 2=-1,x 3=1.因为y ''(0)=4>0,y ''(-1)=-8<0,y ''(1)=-8<0,所以y (0)=0是函数的极小值,y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0,得驻点43=x .因为当43<x 时,y '>0;当143<<x 时,y '<0,所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞,+∞),32)54()512(5x x y +--=',驻点为512=x . 因为当512<x 时,y '>0;当512>x 时,y '<0,所以函数在512=x 处取得极大值,极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞,+∞),22)1()2(+++-='x x x x y ,驻点为x 1=0,x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值38,在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞,+∞).y '=e x (cos x -sin x ),y ''=-e x sin x .令y '=0,得驻点ππk x 24+=,ππ)1(24++=k x , (k =0,±1,±2,⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y ,所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk ,所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0,+∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='.令y '=0,得驻点x =e .因为当x <e 时,y '>0;当x >e 时,y '<0,所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞,+∞),3/2)1(132+-='x y ,因为y '<0,所以函数在(-∞,+∞)是单调减少的,无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0,±1,±2,⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0,所以函数f (x )无极值.2.试证明:如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2-3ac <0,那么这函数没有极值.证明y '=3ax 2+2bx +c .由b 2-3ac <0,知a ≠0.于是配方得到 y '=3ax 2+2bx +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0,所以当a >0时,y '>0;当a <0时,y '<0.因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数,没有极值.3.试问a 为何值时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值?它是极大值还是极小值?并求此极值.解f '(x )=a cos x +cos 3x ,f ''(x )=-a sin x -3 sin x . 要使函数f (x )在3π=x 处取得极值,必有0)3(='πf ,即0121=-⋅a ,a =2 . 当a =2时,0232)3(<⋅-=''πf .因此,当a =2时,函数f (x )在3π=x 处取得极值,而且取得极大值,极大值为3)23(=f . 4.求下列函数的最大值、最小值:(1) y =2x 3-3x 2,-1≤x ≤4;(2) y =x 4-8x 2+2 -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1,-5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1),令y '=0,得x 1=0,x 2=1.计算函数值得 y (-1)=-5,y (0)=0,y (1)=-1,y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5,最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4),令y '=0,得x 1=0,x 2=-2(舍去),x 3=2.计算函数值得 y (-1)=-5,y (0)=2,y (2)=-14,y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14,最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211,令y '=0,得43=x .计算函数值得65)5(+-=-y ,45)43(=y ,y (1)=经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y ,最大值为45)43(=y .5.问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值?并求出它的最大值.解y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1),函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29,f (3)=-61,f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值,最大值为f (1)=-29. 6.问函数xx y 542-=(x <0)在何处取得最小值? 解2542x x y +=',在(-∞, 0)的驻点为x =-3.因为31082xy -='',0271082)3(>+=-''y , 所以函数在x =-3处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在x =-3处取得最小值,最小值为27)3(=-y .7.问函数12+=x x y (x ≥0)在何处取得最大值?解222)1(1+-='x x y .函数在(0,+∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时,y '>0;当x >1时y '<0,所以函数在x =1处取得极大值.又因为函数在(0,+∞)内只有一个驻点,所以此极大值也是函数的最大值,即函数在x =1处取得最大值,最大值为f (1)=21. 8.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20cm 长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?解设宽为x 长为y ,则2x +y =20,y =20-2x ,于是面积为 S =xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ),S ''=-4. 令S '=0,得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0,所以x =10为极大值点,从而也是最大值点. 当宽为5米,长为10米时这间小屋面积最大.9.要造一圆柱形油罐,体积为V ,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小?这时底直径与高的比是多少?解由V = r 2h ,得h =V -1r -2.于是油罐表面积为 S =2 r 2+2 rh rVr 222+=π(0<x <+∞), 224r V r S -='π.令S '=0,得驻点32πV r =. 因为0443>+=''r V S π,所以S 在驻点32πVr =处取得极小值,也就是最小值.这时相应的高为r r Vh 2 20==π.底直径与高的比为2r :h =1 : 1.10.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图),截面的面积为5m 2,问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省?解设矩形高为h ,截面的周长S ,则5)2(212=⋅+πx xh ,x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0,得唯一驻点π+=440x . 因为0203>=''xS ,所以π+=440x 为极小值点,同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 11.设有重量为5kg 的物体,置于水平面上,受力F 的作用而开始移动(如图).设摩擦系数 =0.25,问力F 与水平线的交角 为多少时,才可使力F 的大小为最小? 解由F cos α=(m -F sin α)μ得αμαμsin cos +=m F (2 0πα≤≤),2)sin (cos )cos (sin αμααμαμ+-='m F ,驻点为α= arctan μ.因为F 的最小值一定在)2 ,0(π内取得,而F 在)2,0(π内只有一个驻点α= arctan μ, 所以α=arctan μ一定也是F 的最小值点.从而当α=arctan0.25=14︒时,力F 最小. 12.有一杠杆,支点在它的一端.在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体.加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图).如果杠杆的线密度为5kg/m ,求最省力的杆长? 解设杆长为x (m),加于杠杆一端的力为F ,则有 1.049521⋅+⋅=x x xF ,即)0(9.425>+=x x x F .29.425xF -=',驻点为x =1.4.由问题的实际意义知,F 的最小值一定在(0,+∞)内取得,而F 在(0,+∞)内只有一个驻点x =1.4,所以F 一定在x =1.4m 处取得最小值,即最省力的杆长为1.4m .。

连续函数知识点总结

连续函数知识点总结

连续函数知识点总结一、连续函数的定义1. 函数的连续性在数学中,函数的连续性是指函数在一定区间内的解无突变及断点。

它是函数与解析学、微积分紧密相关的一个概念,也是解析赋范空间中的一个基本概念。

2. 函数连续的定义函数f(x)在区间[a, b]上连续是指f(x)在区间[a, b]上有定义,并且对区间[a, b]上的任意一点c,满足以下条件:(1) 函数f(x)在c点有定义;(2) \lim_{x \to c} f(x)存在;(3) \lim_{x \to c} f(x) = f(c)。

3. 连续函数的定义如果函数f在c点连续,那么称f(c)是连续函数f在点c的函数值。

如果函数f在点c连续,而c是定义域D函数值集合R中的任意点,那么称函数f在D上连续。

二、连续函数的性质1. 连续函数的四则运算(1) 性质1:设f(x)和g(x)都在x=c处连续,则f(x) + g(x) 、f(x) - g(x) 、f(x)g(x)、f(x)/g(x)都在x=c处连续;(2) 性质2:常数函数在任何区间上都连续;(3) 性质3:连续函数的复合函数仍然是连续函数。

2. 连续函数的保号性(1) 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续,且在[a, b]上的某点x0处f(x0) > 0,则存在一个δ>0,使得当x0-δ < x < x0+δ时,有f(x) > 0;(2) 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续,且在[a, b]上的某点x0处f(x0) < 0,则存在一个δ>0,使得当x0-δ < x < x0+δ时,有f(x) < 0。

3. 连续函数的介值性如果函数f(x)在区间[a, b]上连续,且f(a)与f(b)异号,那么在开区间(a, b)上至少存在一个x0,使得f(x0) = 0。

4. 最值定理如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,那么f(x)在该区间上必然有最大值和最小值。

第三章函数的连续性

第三章函数的连续性

第三章 函数的连续性第二章我们研究的是函数随自变量变化的趋势,因而不考虑函数在自变量的极限点的值.这一章我们要专门研究函数在自变量一点的值及其附近的变化情况.自然界中有许多现象,如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等,都是连续变化着的.若将这些现象反映在函数关系上,就是指函数的连续性.直观地看,函数的连续性指的是自变量x 的微小变化只能引起因变量()y f x =的微小变化.比如当时间变动很微小时,气温的变化也很微小.我们在生活中常常遇见的都是这样性态的函数. 比如,我们到超市去买水果,水果的售价是重量的函数. 当重量的误差很小时,所引起的应付款的差异是很小的.因此,商家与顾客也不在乎重量少或多了一两钱.但是,自然界有些现象也是突变的.比如,在正常情况下,地壳震动的振幅随时间的变化是渐变的,但在发生强烈地震的很短时间内,地壳振动的振幅会发生突变,造成地壳的断裂和下陷、建筑物的倒塌. 电路开关在闭合时的电压也会陡然增加大很大. 这类函数具有一种突变的性质,即自变量的微小变化可引起函数值的很大跨度的变化.为了描述变量在变化过程中的这两种不同状态,数学上就抽象出函数的连续与间断这两个相互对立的概念.研究这两种函数都必须从分析自变量与函数的增量开始.§3.1 函数的增量与连续概念一、 增量定义3.1 设变量u 从它的一个初值1u 变化到终值2u ,终值与初值的差21u u -被称为变量u 的增量,也称为改变量,记作u ∆,即21u u u ∆=-.增量u ∆可以是正的,也可以是负的. 在u ∆为正的情况下,变量u 从1u 变化到21u u u =+∆时是增大的;当u ∆为负的情况下,变量u 是减少的.现在假定函数()y f x =在点0x 的某一个邻域内是有定义的(图3-1). 自变量x 从0x 变化到0x x +∆时,称x ∆为自变量x 的增量. 在0x 的邻域内当自变量x 从0x 变化到0x x +∆时,函数()y f x =相应的从0()f x 变化到0()f x x +∆,因此函数()y f x =的对应增量为00()()f x x f x +∆-记作y ∆,即00()()y f x x f x ∆=+∆-,这就是函数()y f x =的增量.假如保持0x 不变而让自变量的增量x ∆变动,一般说来,函数()y f x =的增量y ∆也要随着变动.例1半径为r 的均匀圆形铁片,加热后半径增大r ∆,问面积改变了多少? 解 设S 为圆形铁片的面积. 半径为r 的圆形铁片面积函数为2()S r r π=.当加热后半径的改变量为r ∆时,其面积改变量222()()()2()S S r r S r r r r r r r ππππ∆=+∆-=+∆-=∆+∆.二、 函数的连续性直观的看,函数连续性的概念可以这样来描述:如果当x ∆趋于零时,函数()y f x =的对应增量y ∆也趋于零,即0lim 0x y ∆→∆=或是000lim[()()]0x f x x f x ∆→+∆-=,那么就称函数()y f x =在点0x 处是连续的. 因此有下述定义:定义3.2 设函数()y f x =在0x 的某一邻域()0U x 内有定义.如果0lim x y ∆→∆=000lim[()()]0x f x x f x ∆→+∆-= (1) 那么就称函数()y f x =在点0x 连续.若令0x x x =+∆,则当0x ∆→时有0x x →,于是函数()y f x =在点0x 连续的定义也可以改写为:()x f x x 0lim →=()0x f (2)由函数()y f x =当0x x →时的极限的定义可知,上述定义也可用""εδ-语言来表述:()y f x =在点0x 连续0ε⇔∀>,0δ∃>,当δ<-0x x 时有()()ε<-0x f x f (为什么不是00x x δ<-<?).下面说明左连续与右连续的概念.如果()00lim ()x x f x f x --→=存在且等于0()f x ,即00()()f x f x -=,则称函数()y f x =在点0x 左连续.如果()00lim ()x x f x f x ++→=存在且等于0()f x ,即00()()f x f x +=,则称函数()y f x =在点0x 右连续.由极限与左、右极限的关系,不难知道函数()f x 在点0x 连续()f x ⇔在点0x 既左连续又右连续.思考:怎样用函数极限的归结原则表述函数在一点连续?(提示:函数()f x 在点0x 右连续的充分必要条件是:对任何从0x 的右边趋于0x 的点列n x (0n x x →且0n x x ≥) ,都有0lim ()()n n f x f x →∞=.) 例 2 讨论函数 ()21,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩在点0=x 的连续性.解 因为()()00lim lim 11x x f x x ++→→=-=-, ()()200lim lim 11x x f x x -+→→=+=,而()00f =,所以()f x 在点0=x 既不右连续,也不左连续,从而它在点0=x 不连续(见图3-2).区间上的连续函数:在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.思考:函数在区间上不连续是什么意思?例3 证明 00lim sin sin x x x x →=,0x R ∀∈. 证 利用三角函数的和差化积公式sin sin 2cos sin 22x y x y x y +--= 以及不等式sin x x ≤ 得到000sin sin 2cos sin 22x x x x x x +--=0002sin 222x x x x x x --≤≤=- , 所以由夹逼准则知道00lim sin sin 0x x x x →-=,即00lim sin sin x x x x →=. 因此sin y x =在点0x 连续,由于0x 是R 中任意一点,故sin y x =在它的定义域(,)-∞+∞内连续. 类似,还可以说明余弦函数cos y x =在定义域(,)-∞+∞内是连续的.三、 函数的间断点函数()y f x =在点0x 连续的定义包含着下列三点含义:(1)()y f x =在点0x 有定义;(2)()y f x =在点0x 有极限,也就是说()f x 在0x 的左、右极限均存在而且相等;(3)()y f x =在点0x 的极限值等于()f x 在0x 的函数值.上述三条中只要有一条不满足,就称函数()f x 在0x 处间断,使得函数()f x 不连续的点0x 称为此函数的不连续点或间断点.下面举例来说明函数间断点的几种常见类型.例4 正切函数tan y x =在2x π=处没有定义,所以点2x π=是函数tan x 的间断点.又因 2lim tan x x π→=∞, 我们称2x π=为函数tan x 的无穷间断点.例5 函数1sin y x =在点0x =没有定义,所以点0x =是函数1sin x的间断点.函数xy 1sin =的图象如图3-3所示.可见,当0→x 时,其函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.我们称点0x =是函数1sin x的振荡间断点.例6 函数,1,()1, 1.2x x y f x x ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩ 这里11lim ()lim 1x x f x x →→==,但是1(1)2f =,所以()1lim x f x →()1f ≠. 因此点1x =是函数的间断点. 但是如果改变函数()f x 在点1x =的定义:令(1)1f =,则函数()f x 在点1x =成为连续的。

第三章1 极限与函数的连续性1

第三章1 极限与函数的连续性1
x−3 2 x→−1 x −9 x−3 2 x→3 x −9 x−1 √ x−1 1 =2 ;
=1 6; = 2; = 0;
x→1
x→1
(x−2)(x−1) x−3

x→2
x2 + 5 = 3; =1 2;
x(x−1) 2 x→1 x −1 x 2 x→3 x −9 x−1 x→∞ x+2
= ∞; = 1; = ∞; = 1.
n→∞
(8) lim [(n + 1)α − nα ],0 < a < 1;
n→∞
(9) lim
1 n→∞ 2
·
n
3 4
· ··· ·
2n−1 2n ;
(10) lim (11) lim (12) lim
n→∞
1·3·5·····(2n−1) 2·4·6····(2n) ;
n→∞
1 √ ; n n
√ n
13.利用单调有界原理,证明 lim xn 存在,并求出它: (1) x1 = (2) x1 = (3) xn = √ √ 2, x2 = √ 2xn−1 , n = 2, 3, · · · ; √ c + xn−1 , n = 2, 3, · · · ;
c > 0, xn = > 0);
cn n! (c
n→∞ n→∞
求证: lim f (x) = A (A可以为无穷).
x→+∞
9. 设f (x)在 集 合X 上 定 义 , 则f (x)在X 上 无 界 的 充 要 条 件 是 : 存
在xn ∈ X, n = 1, 2, · · · ,使 lim |f (x)| = +∞.
n→∞

《连续函数性质》课件

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展望
继续深入学习和应用连续函数,我们将能够解决更 多复杂的数学和实际问题。
《连续函数性质》PPT课 件
通过本课件,我们将探究连续函数的性质,揭示它们在数学和实际问题中的 重要性,以及与导数、极值和最值的关系。
导言
为了深入理解连续函数,我们将从连续函数的基本定义和特性入手,探讨其 在数学和实际中的应用。让我们一起开始这个惊奇的数学之旅吧!
连续函数的定义
定义
连续函数是一种函数,其图像 没有任何断裂。在其定义域内, 任何小的输入值变化都会产生 连续的输出值变化。
3
定位
极值和最值可通过求导和检查端点来确定。
实例分析
函数 f(x) = x^2
这是一个连续函数,在区间[-∞, +∞]上呈现上凹 的抛物线。
函数 g(x) = sin(x)
这是一个周期性的连续函数,在区间[-∞, +∞]上 变化在[-1, 1]之间。
总结与展望
总结
连续函数的定义和性质为我们研究数学和实际问题 提供了坚实的基础。
特点
• 在给定区间上连续 • 没有断点或不连续点
示例
• f(x) = x • f(x) = sin(x)
连续函数的性质
保持运算
连续函数的和、差、积、商也是连续函数。
介值定理
对于两个函数值之间的任何一个值,连续函数在 给定区间上一定存在这样的点。
极限
连续函数在某一点的极限等于该点的函数值。
零点定理
如果连续函数在一个区间的两个端点处取得了不 同的符号值,那么函数在这个区间内至少有一个 零点。
连续函数与导数
1 导数定义
连续函数的导数是该函数 在某一点附近的变化率。
Байду номын сангаас

《连续函数的定义》课件

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数学定义
连续函数可以用极限的概念来描述,在函数定义 域的每一个点上都存在左右极限并且相等。
图形表示
连续函数的图像通常是平滑的曲线,没有断点、 间断或不连续的地方。
连续函数的性质
连续函数具有一些重要的性质,这些性质对于理解和分析函数的行为至关重要。
介值性质
连续函数在一个区间内会取到区间内的所有 值。
保号性质
如果连续函数在某点的函数值大于0,那么 函数在该点附近的函数值都大于0。
局部有界性质
连续函数在有限区间内是有界的,也就是说 在这个区间内函数值处于一定范围之内。
连续性定理
连续函数的运算结果仍然是连续函数。
常见的连续函数
在数学中,有许多常见的连续函数在各种应用中经常出现。
1
多项式函数
多项式函数是由常数、变量和非负整
控制系统
连续函数在控制系统中起着重 要作用,用于描述和优化系统 的行为。
金融分析
连续函数可用于描述金融领域 中的收益、投资回报率等关键 指标。
《连续函数的定义》PPT 课件
欢迎来到《连续函数的定义》的PPT课件!在本次课程中,我们将学习连续 函数的定义、数学定义、图形表示、性质、常见的连续函数以及应用。让我 们一起开始探索吧!
什么是连续函数
连续函数是数学中的一种特殊函数,它具有无间断的性质。在数学中,连续函数可以看作是不会出现跳 跃的函数,其图像没有突变的地方。
指数函数
2
数次幂组成的函数。
指数函数是以常数e为底的幂函数,
具有特殊的增长性质。
3
三角函数
三角函数包括正弦函数、余弦函数和
对数函数

正切函数等,是周期性函数。
对数函数是指数函数的逆运算,常用 来描述增长的速率。

第三章函数的连续性word资料14页

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第三章 函数的连续性第一章讨论了数学分析的研究对象——函数,第二章又给出了研究函数的方法——极限.这就为我们用分析的方法研究函数奠定了基础,而数学分析应用极限的方法常用来研究一类非常重要的函数——连续函数.这是因为,一方面在生产实际中所遇到的函数大多是连续函数.如气温的连续上升,液体的连续流动等等;另一方面,我们常会直接或间接地借助于连续函数去讨论一些不连续函数.鉴于此,学习函数的连续性极其有必要.第一节 连续性的概念一、函数在一点处的连续性函数连续与否的概念源于对函数图象的直观分析.例如函数2()f x x =的图象是一条抛物线,给我们的直观视觉是图象上各点相互“连结”而不出现间断,即它是连续的.具体来说,函数()f x 在某点a 处是否具有“连续”性,即指当x 在a 点附近作微小变化时,()f x 是否也在()f a 附近作微小的变化,用极限的观点来分析,就是看当变量x a →时,因变量y 是否也会趋于()f a .定义3-1 设函数()f x 在点a 的某个邻域中有定义,且lim ()()x af x f a →= (1)则称函数()f x 在点a 连续,或称a 是函数()f x 的连续点.显然,“函数()f x 在点a 连续”不仅要求a 在函数()f x 的定义域内,还要有(1)式极限.因此,函数()f x 在点a 连续比函数()f x 在点a 存在极限有更高的要求.为引入函数连续性的另一种表述,记x x a ∆=-,称为自变量x 在a 的改变量.相应的函数()f x 在a 的改变量记为()()()()y f x f a f a x f a ∆=-=+∆-. 注 改变量可以是正数,也可以是零或负数. 于是,函数()f x 在a 连续等价于下列极限 0lim 0x y ∆→∆=.由于函数的连续性是用极限来定义的,因而也可直接用极限的“εδ-”来描述:函数()f x 在点a 连续⇔0ε∀>,0δ∃>,x ∀:x a δ-<,有()()f x f a ε-<.此外,(1)式还可写作()()lim lim x ax af x f x →→=.由此可见,在连续意义下,极限运算lim x a→与对应法则f 的可交换性.例1 函数()23f x x =+在点2x =连续.因为22lim ()lim(23)7(2)x x f x x f →→=+==.例2 函数1sin 0()0x x x f x x ⎧, ≠⎪=⎨ ,=0 ⎪⎩在点0x =连续.因为 001lim ()lim sin 0(0)x x f x x f x →→===. 二、区间上的连续函数由上述定义可以看出,“连续”反映的是函数()f x 在点a 邻域内的变化,因而只是一个局部性的概念.但它也提示我们,可以通过逐点考察的方法,了解函数()f x 在某个区间上是否连续.开区间(,)a b 的情形比较简单,下面先给出()f x 在(,)a b 上连续的定义:定义3-2 若函数()f x 在区间(,)a b 的每一点都连续,则称函数()f x 在开区间上连续. 例3 证明()sin f x x =在(,)-∞+∞上连续.证明 设(,)a ∈-∞+∞.已知(,)a ∀∈-∞+∞,有不等式cos12x a+≤与sin22x a x a --≤成立,所以 sin sin 2cossin 22x a x ax a x a +--=≤-. 对任意给定的0ε>,取δε=,当x a δ-<时,成立sin sin x a x a ε-≤-< 即limsin sin x ax a →=.也就是说()sin f x x =在a 连续,从而()sin f x x =在(,)-∞+∞上连续.为了讨论函数()f x 在闭区间上的连续性,需要单侧连续的概念. 定义3-3 设函数()f x 在a 的左(右)邻域内有定义,若 lim ()()x af x f a +→= (lim ()())x af x f a -→= 则称函数()f x 在点a 右(左)连续.根据第二章定理2-9,有()f x 在a 连续⇔()f x 在a 既右连续又左连续.或 lim ()()x af x f a →=⇔lim ()lim ()()x ax af x f x f a +-→→==. 定义3-4 若函数()f x 在(,)a b 连续,且在左端点a 右连续,在右端点b 左连续,则称函数()f x 在闭区间[],a b 上连续.同样有()f x 在区间[),a b 及(],a b 连续的概念. 例4证明()f x =[]0,1上连续.证明 设0(0,1)x ∈,令}{00min ,10x x η=->,则当0x x η-<时(0,1)x ∈,有0x =-0x <-所以,0ε∀>,取}{min δη=,则当0x x δ-<时,恒有0x ε<-<.即()f x =(0,1)上连续.现考虑区间的端点.对于任意给定的0ε>,取2δε=,则当0x δ≤<时,()(0)f x f ε-≤<.而当10x δ-<-≤时,()(1)f x f ε-≤.这说明()f x 在0x =右连续,在1x =左连续.由此得出()f x =[]0,1上连续.三、间断点及其分类若函数()f x 在点a 不满足连续性的定义,则称函数()f x 在a 间断(或不连续),a 是函数()f x 的间断点(或不连续点).对间断点进行划分是研究不连续函数的基本内容.而当a 是函数()f x 的间断点,不满足连续性定义的条件,不外乎以下三种情况: (1)函数()f x 在a 无定义;(2)极限lim ()x af x →存在,即(0)(0)f a f a -=+,但lim ()()x af x f a →≠;(3)极限lim ()x af x →不存在:①(0)f a -与(0)f a +都存在,但(0)f a -≠(0)f a +. ②(0)f a -与(0)f a +至少有一个不存在.因此a 是函数()f x 的间断点按上述情形可作如下分类:1.可去间断点若lim ()x af x →=A ,而f 在a 无定义,或有定义但()f a ≠A ,则称a 为()f x 的可去间断点.如对sin ()x f x x =,0x =点是它的可去间断点.因为0sin lim 1x x x →=,但sin ()xf x x=在0x =点无定义.2.跳跃间断点若()f x 在点a 左右极限存在,但 lim ()lim ()x ax af x f x +-→→≠ 则称点a 为函数()f x 的跳跃间断点.如对函数1,0()sgn 0,01,0x f x x x x ⎧⎪⎪ >==⎨ =⎪- <⎪⎩,有0lim ()1x f x -→=-与0lim ()1x f x +→=. 显然0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠,也就是说0x =是它的跳跃间断点. 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.3.若函数()f x 在点a 处的左右极限至少有一个不存在,则称这样的点a 为函数()f x 的第二类间断点.如函数1,11()1,1x x f x x ⎧ >⎪⎪-=⎨⎪ ≤⎪⎩已知1(10)lim ()1x f f x -→-==与111(10)lim ()lim 1x x f f x x ++→→+===+∞- 即(10)f +不存在,从而1是()f x 的第二类间断点.又如函数1sin ,0(),0x x f x x ⎧ ≠⎪⎪=⎨⎪0 =⎪⎩ 在0x =处左右极限都不存在,从而0是函数()f x 的第二类间断点.习题3.11.设()f a 有意义,试用“εδ-”语言叙述()f x 在点a 不连续.2.按定义证明下列函数在定义域内连续: (1)()f x x =; (2)()f x =.3.讨论函数2,0,0x x y x x ⎧⎪⎪+ ≥=⎨⎪-2 <⎪⎩ 在0x =的连续性.4.指出下列函数的间断点,并说明其类型:(1)1()f x x x=+; (2)2()(1)x f x x =+; (3)1()ln f x x =; (4)()sin xf x x=; (5)()sgn f x x =; (6){,(),x x f x x x =- 为有理数为无理数.5.证明:设()f x 为区间(,)a b 上的单调函数,且0(,)x a b ∈为()f x 的间断点,则它必是()f x 的第一类间断点.6.证明:若函数()f x 是奇函数或偶函数,且()f x 在点(0)a a ≠连续,则函数()f x 在a -也连续.答案: 3.不连续4.(1)0x =为第二类间断点 ; (2)1-为第二类间断点; (3)0是可去间断点,1±为第二类间断点;(4)0是可去间断点,(1,2,)k k π=±±⋯是第二类间断点; (5)0x =为可去间断点;(6)除0x =以外其他各点都是第二类间断点.第二节 连续函数的性质一、连续函数的四则运算及其性质根据极限四则运算定理及函数连续的定义,立即可得连续函数的四则运算定理. 定理3-1 若函数()f x 与()g x 都在a 连续,则函数()()f x g x ±, ()()f x g x ,()()f xg x (()0g a ≠) 在a 也连续.这些结论的证明,都可由函数极限的有关定理直接推出. 关于复合函数的连续性有如下定理:定理3-2 若函数()y x ϕ=在a 连续,且()b a ϕ=,而函数()z f y =在b 连续,则复合函数()z f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在a 连续.证明 已知()z f y =在b 连续,即0,0,:,y y b ∀ε>∃η>∀-<η有()()f y f b -<ε.又已知()y x ϕ=在a 连续,且()b a ϕ=,即对上述0,0,:x x a η>∃δ>∀-<δ,有 ()()x a y b ϕϕ-=-<η 于是,0,0,:x x a ∀ε>∃δ>∀-<δ,有()()()()f x f a f y f b ϕϕ-=-<ε⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 这就证明了()z f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在a 连续.注 若复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的内函数()g x 在0x x →时极限为a ,但不等于()0g x (即0x x =为()g x 的可去间断点),外函数()f x 在u a =时连续,那么我们仍然可用上述定理来求复合函数的极限.即 ()()()00lim lim x x x x f g x f g x →→=⎡⎤⎣⎦. 上式不仅对于0x x →成立,它对x x →+∞,→-∞,或00,x x x x +-→→这些类型的极限也成立.例1 求(1)0x → ; (2)x .解 (1)由于0sinlim1x x→=u=1处连续,所以 0x → (2)由于sin lim0x xx→∞=,所以 lim x =因为连续函数在连续点的极限等于它所对应的函数值,所以这一条件使得连续函数在连续点具有函数极限的所有性质,如局部有界性、局部保号性等.定理3-3(局部有界性) 若函数()f x 在点a 连续,则函数()f x 在点a 的某邻域内有界.定理3-4(局部保号性) 若函数()f x 在点a 连续,且()()()00f a f a ><,则0,:x x a δδ∃>∀-<,有()()0(0)f x f x ><.证明 已知()()lim 0x af x f a →=>,即()0,0,:2f a x x a ∃>∃δ>∀-<δ,有 ()()()2f a f x f a -<或 ()()()2f a f a f x -< 于是,:x x a ∀-<δ,有()()()()022f a f a f x f a >-=>. 同法可证()0f x <的情形.二、闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数具有一些重要性质,这些性质是开区间上的连续函数不一定具有的.定义3-5 设()f x 为定义在I 上的函数,若存在0,x I ∈,对一切x I ∈,有 ()()()()00()f x f x f x f x ≥ ≤,则称()f x 在I 上有最大(小)值,并称()0f x 为()f x 在I 上的最大(小)值.一般来说,函数()f x 在I 上不一定有最大(小)值(即使()f x 是有界的).如()f x x =在()0,1x ∈时既无最大值也无最小值.下述定理将会给出函数在某区间上取得最大(小)值的充分条件.定理3-5(最值性) 若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,则()x f 在[]b a ,能取到最小值m 与最大值M ,即∃1x ,2x ∈[]b a ,,使得()1x f =m 与()2x f =M ,如图3-1:(刘玉莲p113) 并且x ∀∈[]b a ,,有m ≤()x f ≤M推论(有界性定理) 若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,则()x f 在[]b a ,上有界. 引理(零点定理) 若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,且()()b f a f 0<(即()a f 与()b f 异号),则在区间()b a ,至少存在一点c ,使()c f =0引理的几何意义是:在闭区间[]b a ,的连续曲线y =()x f ,且连续曲线的始点()()a f a ,与终点()()b f b ,分别在x 轴的两侧,则此连续曲线至少与x 轴有一个交点.如图3-2:(刘玉莲p114 3.3)定理3-6(介值性) 设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,m 与M 分别为()x f 在[]b a ,上的最小值与最大值.若ξ为介于m 与M 之间的任何实数(m M ξ≤≤),则在()b a ,内至少存在一点c ,使得()f c ξ=.证明 如果()a f <()b f ,根据定理3-5,在闭区间[]b a ,上必存在两点1x 与2x ,使得()1f x m =,()2f x M =.不妨设12x x <,且12a x x b ≤<≤.已知()1f x ξ≤≤()2f x .如果()1f x =ξ(或()2f x =ξ),则c =1x 或c =2x ,定理成立.只须证明()1f x <ξ<()2f x 的情况.作辅助函数()()x f x ϕξ=-由函数()x ϕ在[]b a ,连续,从而在闭区间[]12,x x 也连续,且()()110x f x ϕξ=-<与()()220x f x ϕξ=->.根据引理,在区间()12,x x 至少存在一点c ,使()0c ϕ=或()0f c ξ-=,即()f c ξ=该定理的几何意义如图3-3: (刘玉莲p114 3.4)例2 证明超越方程cos x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个实根. 证明 已知函数()cos x x x ϕ=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦连续,且()010ϕ=-< 与 022ππϕ⎛⎫=> ⎪⎝⎭根据零点定理,函数()x ϕ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一点c ,使 ()cos c c c ϕ=-=0即cos x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个实根. 三、反函数的连续性定理3-7 若函数()y f x =在区间I 连续,且严格增加(严格减少),则反函数()1x f y -=在()f I 也连续.证明 ()f I η∀∈,由定理3-6与()f x 在区间I 严格增加,存在唯一一个I ξ∈,使()f ξη= 或 ()1f ηξ-=不妨设ξ在区间I 的内部(当ξ是I 的端点时,可同法证明).ε∀>0,使(),ξεξε-+I ⊂,设()1f ξεη-=与()2f ξεη+=或()11f ηξε-=-与()12f η-=ξε+.显然12ηηη<<,如图3-4: (刘玉莲p117)取δ={}12min ,ηηηη--,于是y ∀:y ηδ-<,有12y ηη<<.由于反函数()1x f y -=严格增加,有()()()11112f f y f ηη---<< 或 ()1f y ξεξε--<<+()1f y ξε--< 或()()11f y f ηε---<即反函数()1x fy -=在η连续,从而反函数()1x f y -=在()f I 连续.习题3.21.若()f x 在[),a +∞上连续,且()lim x f x →+∞存在.证明:f 在[),a +∞上有界.试问f 在[),a +∞上必有最大(小)值吗?2.证明:若函数()y f x =在[],a b 严格增加且连续,则反函数()1x y f-=在点()a f a =右连续,即()()11lim y y a ffa+--→=3.证明:若函数()f x 在(),a +∞连续,且()lim x f x A a+→=与()lim x f x B →+∞=,则()f x 在(),a +∞有界.4.求下列极限:(1)()4lim tan x x x ππ→-; (2))lim arccosx x →+∞;(3)x a→(4)lim 1x +→.5.设()f x 为[],a b 上的递增函数,其值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦,证明()f x 在[],a b 上连续.答案:4.(1);34π (2) 3π; (3); (4第三节 初等函数的连续性一、指数函数的连续性在中学数学中,我们已经接触过指数函数y =xa (0>a ),但在那时当x 取无理数时,其意义并不明确.现在来证明指数函数在其定义域上是连续的.定理3-8 指数函数y =xa (0>a )在其定义域()∞+∞-,上是连续函数.证明 首先证明+→0lim x x a =-→0lim x x a =1 (即0lim →x xa =1)x ∀:10<<x ,∃n +∈N 使nx n 111<≤+,+→0x ⇔∞→n , 从而当10<<a 时,有na 1<xa 11+≤n a当1>a 时, 有11+n a≤x a <na 1由于∞→n lim na 1=1及数列极限的夹逼性定理,可知+→0lim x x a =1.∀0<x ,设y x -=,有0>y 且-→0x ⇔+→0y ,有-→0lim x x a =+→0lim y y a -=+→0lim y y a1=1, 于是0lim →x x a =1.其次证明,0x ∀R ∈,有0lim x x →xa =0xa (或0lim x x →()0x xaa -=0)事实上,0lim x x →()0x xaa -=0limx x →0x a ()10--x x a设=y 0x x -.0x x →⇔0→y .由上述结果,有lim x x →()0x x a a -=0x a 0lim x x →()10--x x a=0x a 0lim →y ()1-y a =0或lim x x →x a =0x a即指数函数xa 在0x 连续,从而指数函数在其定义域()∞+∞-,上连续.二、初等函数的连续性1. 对数函数的连续性由于指数函数xy a =(0>a 且1≠a )在其定义域()∞+∞-,内严格单调而且连续,由反函数的连续性可知,它的反函数——对数函数log a y x =在其定义域()∞+,0内也连续.2. 三角函数与反三角函数的连续性由前面的学习我们已经知道,三角函数y =x sin 与y =x cos 在各自定义域R 上都连续,而由于y =x tan =x x cos sin , y =x cot =xxsin cosy =x sec =x cos 1, y =x csc =xsin 1所以根据连续函数的四则运算法则,y =x tan 、y =x cot 、y =x sec 和y =x csc 等三角函数在各自的定义域上也都连续.因为y =x sin 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ连续,且严格增加,根据反函数的连续性,所以它的反函数——反正弦函数y =x arcsin 在其定义域[]1,1-上也连续.同理,反三角函数y =x arccos , y =x arctan , y =x arc cot在各自的定义域上都连续.3. 幂函数的连续性先证α∀R ∈,幂函数y =αx 在开区间(∞+,0)连续. 事实上,x ∀>0,y =αx =xeln α,即幂函数是两个连续函数y =ue 与u =x ln α复合而成的函数.根据上节定理,幂函数y =αx 在开区间(∞+,0)连续.只有当0>α时(0=α,幂函数即为常数函数y =1),幂函数y =αx 的定义域才含有0,此时有+→0lim x αx =0=α0即幂函数y =αx 在0右连续.当幂函数y =αx 的定义域是R 或R {}0-时,幂函数y =αx 必为奇函数或偶函数.由第一节练习6可知,幂函数在R 或R {}0-也连续. 于是,幂函数y =αx (R ∈α)在其定义域内连续.显然,常数函数必在其定义域R 上连续.综上所述,六类基本初等函数:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数在它们各自的定义域都连续.又因为初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算及复合运算所得,于是我们有下述定理:定理3-9 任何初等函数都是在它有定义的区间上的连续函数.习题3.31. 证明:若函数()x f 在a 连续,且()a f <0,则δ∃0>,x ∀:a x -<δ,有()x f <0.2. 设n n x ∞→lim =0>x ,n n y ∞→lim =y .证明ny nn x ∞→lim =yx .3. 求下列极限:(1) 0lim →x ()x x x e x -+++1ln 15cos 2 ; (2) 3lim→x 912132-+-+x x x ;(3) ∞→n lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++2111 ; (4) 0lim →x ()x x 21sin 1+;(5) +∞→x lim ()[]x x x ln 1ln -+.4. 证明:若函数()x f 在闭区间[]b a ,除一个(或有限个)第一类不连续点外连续,则()x f 在[]b a ,上有界.5. 证明:若函数()x f 在[)b a ,连续,且bx →lim ()x f =∞+,则函数()x f 在[)b a ,能取到最小值.6. 证明:若函数()x f 在[]b a ,上连续,且对任何∈x []b a ,,存在相应的∈y []b a ,,使得()()x f y f 21≤,则至少有一点ξ∈[]b a ,,使得()ξf =0. 7.设函数()f x 定义在(),-∞+∞上,且在0,1x =两点连续.证明:若对任何(),x ∈-∞+∞有()()2f f x x =,则()f x 为常量函数.答案3. (1) 6 ; (2) 161-; (3) e ; (4) e ; (5) 1.。

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第三章 连续函数§3.1 连续函数一 函数在一点0x 的连续先回顾一下函数在0x 点的极限 A x f x x =→)(lim 0设函数)(x f 在0x 的某个空心邻域内有定义,A 是一个确定的数,若对0,0>∃>∀δε,当 δ<-<||00x x 时,都有 ε<-|)(|A x f ,则称)(x f 在0x x →时,以A 为极限。

这里)(0x f 可以有三种情况1))(0x f 无定义,比如上章讲过的特殊极限 1)sin(lim00=--→x x x x x x2)A x f ≠)(0,比如 ⎩⎨⎧=+≠=0,1,)(x x x x x x x f , )()(lim 000x f x x f xx ≠=→3)A x f =)(0对1,2两种情况,曲线在 0x 处都出现了间断; 第3种情况与前两种情况不同,曲线在0x 处连绵不断,我们称这种情况为,)(x f 在0x 处连续。

定义1 设函数)(x f 在0x 的某邻域内有定义,若0x0x0x)()(lim 00x f x f x x =→ )2(则称函数)(x f 在0x 点连续。

例如 函数 12)(+=x x f 在点2=x 连续,因为)2(5)22(lim )(lim 22f x x f x x ==+=→→又如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续。

因为)0(01sinlim )(lim 0f xx x f x x ===→→若记 )()(,00x f x f y x x x -=∆-=∆ 则 )()(lim 00x f x f x x =→ 可等价的叙述为0lim =∆∆→y xx ,于是函数)(x f 在0x 点连续的定义又可以叙述为定义1(2)设函数)(x f 在0x 的某邻域内有定义,若 0lim 0=∆→∆y x ,则称)(x f 在0x 点连续。

另外,由于函数)(x f 在0x 点连续是用极限形式表述的,若将 )()(lim 00x f x f x x =→改用δε-语言叙述,则)(x f 在0x 点连续又可以定义为:定义1(3) 设函数)(x f 在0x 的某邻域内有定义,若对0,0>∃>∀δε,使得当δ<-||0x x 时,都有ε<-|)()(|0x f x f , )2(则称)(x f 在0x 点连续。

注意 :函数)(x f 在0x 点连续,不仅要求)(x f 在0x 点有定义,而且要求0x x →时,)(x f 的极限等于)(0x f ,因此这里在极限的“δε-” 语言叙述中把“δ<-<||00x x ”换成了“ δ<-||0x x ”。

最后,)1(式又可表示为)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=,可见“f 在0=x 连续”意味着极限运算0lim x x →对应法则f 的可交换性。

例1证明函数)()(x xD x f =在点0=x 连续,其中)(x D 为狄利克雷函数。

证明 由0)0(=f 及1)(≤x D ,对于任意的0>ε,为使ε<≤=-x x xD f x f )()0()( 只要取εδ=,即可按δε-定义推得在连续。

相应于在的左、右极限的概念,我们给出左右连续的定一如下: 定义2 设函数)(x f 在0x 的某左(右)邻域内有定义,若 )()(lim00x f x f x x =-→ ( )()(lim00x f x f x x =+→ )则称)(x f 在0x 点左(右)连续。

由极限与单侧极限的关系不难得出:定理1 函数)(x f 在0x 点连续的充分必要条件为:)(x f 在0x 点既左连续又右连续。

例2 讨论函数 ⎩⎨⎧<-≥+=0,20,2)(x x x x x f 在0=x 的连续性。

解 因为)0(2)2(lim )(lim )0(2)2(lim )(lim 0000f x x f f x x f x x x x ≠-=-===+=→-→→+→所以 )(x f 在0=x 右连续,但不左连续,从 而)(x f 在0=x 不连续。

二、 间断点及其分类定义3 设函数f 在某)(0x U o内有定义。

若f在点0x 无定义,或在点0x 有定义但不连续,则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点。

由连续的定义知,函数)(x f 在0x 点不连续必出现如下情形:1)A x f x x =→)(lim 0,而f 在点0x 无定义,或有定义但)()(lim 00x f A x f x x ≠=→2)左、右极限都存在,但不相等, 称 |)(lim)(lim |00x f x f x x x x -→+→-=α 为跳跃度3)左、右极限至少一个不存在 据此,函数f 的间断点可作如下分类: 1.可去间断点: 情况1)0x 称为 可去间断点(或可去不连续点);2-2例 ⎪⎩⎪⎨⎧=-≠=0,10,sin )(x x x xx f , )0(11)(lim 0f x f x =-≠=→0=x 是 )(x f 的可去间断点。

例 0)(,1)(lim ,|)sgn(|)(==-=→a f x f a x x f ax ,a x = 是)(x f 的可去间断点。

2.跳跃间断点: 情况2)0x 称为可跳跃间断点; 情况1),2)统称第一类间断点。

例 ][x y = 因为 1lim ,)(lim 0-==-→+→n n x f x x n x ,所以 ][x y =的整数点为跳跃间断点,跳跃度等1.例 x x f sgn )(= 因为 1sgn lim ,1sgn lim 00-==-→+→x x x x所以 x x f sgn )(= 在0=x 处为跳跃间断点,跳跃度等2. 3.第二类间断点;情况3)0x 称为第二类间断点1 2 3 4 5-2 -4-4 -3 -2 -1 -1-3 x o4 3 2 1例 )(lim ,1)(0x f xx f x →=不存在,所以0=x 是)(x f 的第二类不连续点。

为了加强理解和记忆,我们画出两类不连续点的图象-0.500.50.960.970.980.991x sin(x)/x-1-0.500.51-2-1012xsin(x)+sign(x)-0.500.5-1-0.500.51xsin(1/x)-0.500.5510152025xabs(1/(x+eps))三 、区间上的连续函数定义 若函数)(x f 在区间I 上每一点都连续,则称)(x f 为I 上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。

例如 c y =,x y x y x y cos ,sin ,=== 是),(∞+-∞内的连续函数,21xy -=在)1,1(-的每一点都连续,在1=x 左连续性,在1-=x 右连续性,因而是]1,1[- 上的连续函数(参见上章§1的例题)。

定义 如果)(x f 在区间],[b a 上仅有有限个第一类不连续点,则称函数)(x f 在间],[b a 上按段连续。

例如 x y x y sgn ,][== 是按段连续函数。

例 3 讨论黎曼函数⎪⎩⎪⎨⎧===1,0,0,1)(x q p x qx R 的连续性证明 设)1,0(∈ξ为无理数,任给()210〈不妨设εε>,满足ε≥q1正数显然只有有限个q (但至少有有一个,如2=q ),从而使ε≥)(x R 的有理数)1,0(∈x 只有有限个(至少有有一个,如21),设为n x x ,,1 ,取() 1,,, min 1ξξξξδ---=n x x ,(显然0>δ)则对任何)),1,0()(;(⊂∈δξU x 当x 为有理数时有ε<)(x R ,当x 为无理数时0)(=x R .于是,对任何);(εξU x ∈,总有εξ<=-)()()(x R R x R这就证明了)(x R 在无理点ξ处连续。

现设qp 为)1,0(内任一有理数,取q210=ε,对任何正数δ(无论多么小),在);(δqp U 内总可取无理数))1,0((0∈x ,使得001)()(ε>=-q q p R x R所以)(x R 在任何有理点处都不连续。

小结:1)函数在一点连续的三个等价定义;2)函数的左右连续性;3)不连续的分类:可去不连续点;跳跃不连续;第二类不连续点; 4)区间上连续函数的定义。

及)1,0(内的无理数 ,(p,q )为正整数,p/q 为既约真分数§3.2 连续函数的性质一 连续函数的局部性质根据函数的在0x 点连续性,即)()(lim 00x f x f x x =→可推断出函数)(x f 在0x 点的某邻域)(0x U 内的性态。

定理2(局部连续性)若函数)(x f 在0x 点连续,则)(x f 在0x 点的某邻域内有界。

定理3(局部保号性)若函数)(x f 在0x 点连续,且0)(0>>αx f ,则对任意αα<'<0存在0x 某邻域 )(,)(00x U x x U ∈ 时,0)(>'>αx f定理4(四则运算性质)若函数则)(,)(x g x f 在区间I 上有定义,且都在I x ∈0 连续,则)(/)(,)()(,)()(x g x f x g x f x g x f ±(0)(0≠x g )在0x 点连续。

例 因x y c y == 和连续,可推出多项式函数n n n n a a xa x a x P ++++=--1)1(10)( 和有理函数Q P, ( )()()(x Q x P x R =为多项式)在定义域的每一点连续。

同样由R x x 在和cos sin 上的连续性,可推出x tan 与x cot 在定义域的每一点连续。

定理5(复合函数的连续性)若函数)(x f 在0x 点连续,)(u g 在0u 点连续,)(00x f u =,则复合函数))((x f g 在0x 点连续。

证明 由于g 在0u 连续,对任给的0>ε,存在 01>δ,使10δ<-u u 时有 ε<-)()(0u g u g (1) 又由)(00x f u =及)(x f u =在连续,故对上述01>δ,存在0>δ,使得当δ<-0x x 时,有100)()(δ<-=-x f x f u u .联系(1)得: 对任给的0>ε,存在 0>δ,当δ<-0x x 时有 ε<-))(())((0x f g x f g .这就证明了f g 在点0x 连续.注:根据连续性的定义,上述定理的结论可表示为))(())(lim ())((lim 00x f g x f g x f g x x x x ==→→ (2)例1 求)1sin(lim 21x x -→.解 )1sin(2x -可看作函数u u g sin )(=与21x u -=的复合.由(2)式,可得00sin )1(lim sin )1sin(lim 2121==-=-→→x x x x注:若复合函数的f g 内函数f 当0x x →时极限为a ,而)(0x f a ≠或f 在0x 无定义(0x 为f 的可去间断点),又外函数g 在a u =处连续,则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限,即有))(lim ())((lim 0x f g x f g x x x x →→= (3)读者还可证明(3)式对于-∞→∞→x x ,或±→0x x 等类型的极限也是成立的。

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