河南省栾川县第一高级中学高中数学 抽象函数的单调性与奇偶性导学案 新人教A版必修1
高中数学1.3函数的单调性教学设计新人教A版必修1
《函数单调性》教学设计基于函数单调性概念是高中教材中方式化程度较强，先生较难理解和要让先生充分了解概念后面所蕴涵的数学思想的主张，笔者以“数学本原性成绩驱动”数学概念教学为指点理念，在对函数单调性概念在高中教材中的地位和作用进行详细分析的基础上进行了新的教学设计及课堂实录。
◆教材分析教材的地位和作用《函数的单调性》是《高中数学人教A版》（必修1）第一章1.31节的内容。
它既是在先生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研讨指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础，在全部高中数学中起着承上启下的作用。
研讨函数单调性的过程表现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到普通的数学归纳思想方式，这对培养先生的创新认识、发展先生的思想能力，掌握数学的思想方法具有严重意义。
函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式的参数范围、绘函数图象）和与不等式等其它知识的综合运用上都有广泛的运用；同时在这一节中利用函数图象来研讨函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们全部高中数学教学。
教材的重点与难点教学重点：（1）领会函数单调性概念，体验函数单调性的方式化过程，深化理解函数单调性的本质，并明确单调性是一个局部概念；（2）函数单调性概念的运用教学难点：打破抽象，深化理解函数单调性方式化的概念。
◆教学目标分析根据新课标的要求和教学内容的结构特点，根据先生学习认知的心思规律和本质教育的要求，结合先生的理论程度，本节课教学目标如下：知识目标：（1）从本质上理解函数单调性概念；（2）运用方式化的函数单调性概念进行判断与运用。
能力目标：（1）培养先生的观察能力，分析归纳能力，领会归纳转化的思想方法。
（2）使先生体验和理解从特殊到普通的数学归纳推理思想方式。
（3）培养先生从具体到抽象的能力。
情感目标：（1）培养先生自动探求、不畏困难、敢于创新的认识和精神。
人教A版高中数学必修一函数的单调性教案新
§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）第一课时单调性【教学目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．【教学重点难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性【教学过程】（一）创设情景，揭示课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○3函数图象是否具有某种对称性？2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降______?○2在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着________ ．（2）f(x) = -x+2○1从左至右图象上升还是下降______?○2在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
人教A版高中数学必修一1.3.1函数的单调性 导学案
课题：§1.3.1函数的单调性导学案一【学习目标】1.知识目标：理解增函数．减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法2.能力目标：培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力．3.情感态度价值观：在学习过程中感受数形结合思想，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．二、【重点难点】1.【重点】增函数．减函数的概念2.【难点】掌握判断某些函数增减性的方法三、【学习新知】（A级）阅读课本28——30页,找出疑惑之处，并自主探究下列问题：1、函数单调性的定义是什么？2、用定义证明函数单调性的一般步骤什么？四、【合作探究】【活动一】：探究增、减函数的定义（B级）1、引例：观察y=x2的图象，回答下列问题：问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？⇒随着x的增加，y值在增加．问题2：怎样用数学语言表示呢？⇒设x1．x2∈[0，+)∞，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1<x2时，f(x1)< f(x2).结论：这时，说y1=x2在[0，+)∞上是增函数．（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2.定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1．x2,当x1<x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）．如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1．x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)．如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．【活动二】：探究单调性定义中的关键点（B 级）问题一：函数的单调区间与函数定义域的关系是怎样的？问题二：定义中“任意”二字能否去掉？例1 画出下列函数的图像，并写出单调区间．(课本P 34例1，与学生一块看，一起分析作答)（1）y= - x 2+2(2) y= 1x (x ≠0)【解后反思】要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明．下面举例说明． 【活动三】：探究定义法证明函数单调性的一般步骤（A 级）例2 求证：函数f(x)= －x 3+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f(x 1) －f(x 2)= －x 13+1+x 23－1=(x 2－x 1)(x 22+x 1x 2+x 12)，因为x 2>x 1，x 22+x 1x 2+x 12>0，所以f(x 1) －f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减．例3 证明函数f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数.证明：设任意x 1．x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2， 由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0，又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0，∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数．【本题小结】【拓展】函数1y x=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数吗？ 答案：该命题不对；例如121,1x x =-=时， 12()1,()1f x f x =-=，显然12x x <且12()()f x f x <，所以＂函数1y x=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数＂是不成立的． 【小结】如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集．【活动四】：探究二次函数的单调性（C 级）例4 (1)若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数m 的值为 ；（2）若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ；（3）若函数2()45f x x mx m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为 ．解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是2x =-即28m -=-即16m =； （２）由题意可以知道28m -≤-即16m ≥； （３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是2x =-即28m -=-即16m =．五、【达标自测】1（A 级）．函数y=|x+1|的单调递减区间为 [－1，+∞) ，单调递减区间 (－∞，－1] ．2．（C 级）求函数f(x)=x+xk (k>0)在（0，+∞）上的单调性． 解：任取0<x 1<x 2, 则 f(x 2)-f(x 1)=x 2+2x k -(x 1+1x k )=2112x x x x -(x 1x 2-k) 又2112x x x x ->0,x 12<x 1x 2<x 22, ∴x 1x 2-k<x 22-k ≤0，即x 2≤k 时，f(x 2)-f(x 1)<0,f(x)在(]k ,0上单调递增；同理，f(x)在[)+∞,k 上单调递减．3（B 级）．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =，∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数，若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数.∵当12a >时，21()()f x f x >，此时函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上是单调增函数．4（A 级）．证明函数f (x)=3x+2在R 上是增函数． 证明：设任意x 1．x 2∈R ，且x 1<x 2.则f (x 1)- f (x 2)=(3x 1+2)-(3x 2+2)=3(x 1-x 2).由x 1<x 2得x 1-x 2<0.∴f (x 1)- f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x)=3x+2 在R 上是增函数．5．（B 级）求证：1()f x x x=+在区间(0,1)上是减函数． 证明：设1201x x <<<，则21120,01x x x x -><<，∴21()()f x f x -2121212121211212211211()()11()()()()(1)()0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+=-+--=---=-<即21()()f x f x < 故1()f x x x=+在区间(0,1)上是减函数． 六、归纳提升（D 级）1．函数单调性的定义：2.三类基本初等函数的单调性：3．用定义判断函数单调性的一般步骤。
河南省栾川县第一高级中学高中数学 1-3-1 函数的单调性与最大(小)值导学案(1)新人教A版必修1
河南省栾川县第一高级中学2014高中数学 1-3-1 函数的单调性与最大（小）值导学案（1）新人教A 版必修11． 函数y ＝-1x的单调递增区间是 ( ) A ．R B ．(－∞，O)∪(O ，＋∞)C ．(－∞，O)∩(0，＋∞)D ．(－∞，0)，(O ，＋∞)2．设f(x)是定义在R 上的函数．①若存在x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，使f(x 1)<f(x 2)成立，则函数f(x)在R 上单调递增；②若存在x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，使f(x 1)≤f(x 2)成立，则函数f(x)在R 上不可能单调递减；③若存在x 2>0，对于任意x 1∈R ，都有f(x 1)<f(x 1＋x 2)成立，则函数f(x)在R 上单调递增；④对任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，都有f(x 1)≥f(x 2)成立，则函数f(x)在R 上单调递减．以上命题正确的序号是 ( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②3．函数y ＝x 2在区间[－1，2]上 ( )A ．是增函数B ．是减函数C ．是增函数又是减函数D ．不具有单调性4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则 ( )A ．k>12B k<12C ．k>－12D ．k<－125．函数f(x)＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，函数f(x)为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m 等于 ( )A ．－4B ．－8C ． 8D ．无法确定6．函数f(x)在R 上是减函数，则有 ( )A ．f(3)<f(5)B ．f(3)≤f(5)C ．f(3)>f(5)D ．f(3)≥f(5)7. 已知()f x 是R 上的减函数，则满足1()(1)f f x>的x 的取值范围是 （ ） .(,1)A -∞ .(1,)B +∞ .(,0)(0,1)C -∞ .(,0)(1,)D -∞+∞8.已知函数()f x 在()0,+∞上是增函数，3),,22a f b f c f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 .9.若函数()()2212f x x a x =+-+的单调增区间是[)4,+∞，则a 的取值范围为 10.()()0f x mx b m =+≠，当 时()f x 在R 为增函数；当 时()f x 在R 上为减函数.11.若二次函数()23211y x a x =+-+在区间(),1-∞上是减函数，则实数a 取值范围是 12.写出下列函数单调区间，并指出在单调区间上的增减性.(1),[3,4];y x x =∈ 2(2)1,[2,3]y x x =+∈-13.定义在]4,1[上的函数)(x f 为减函数，求满足不等式2(12)(4)0f a f a --->的a 的值的集合.14.证明：函数()21f x x =+在(),0-∞上是减函数；。
人教A版必修一, 1.3 函数的单调性,导学案
人教A版必修一， 1.3 函数的单调性，导学案1.3函数的基本性质第1课时函数的单调性1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) [基础・初探]教材整理1 增函数与减函数的定义阅读教材P27～P28，完成下列问题．增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D条件上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2) 结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数都有f(x1)＞f(x2) 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为f(－1)f(1)．( )(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )【解析】(1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性．(2)√.由减函数的定义可知f(0)>f(1)． ?x＋1，x∈?1，2](3)×.反例：f(x)＝??x－1，x∈?2，3?.第 1 页共 16 页【答案】(1)× (2)√ (3)× 教材整理2 函数的单调性与单调区间阅读教材P29第一段，完成下列问题．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．【解析】因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．【答案】 (－∞，1) [小组合作型]求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．?2x＋1，?x≥1?1(1)f(x)＝－x；(2)f(x)＝?(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.?5－x，?x<1?；【精彩点拨】(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．1【自主解答】(1)函数f(x)＝－x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．第 2 页共 16 页2－x＋2x＋3，x≥0?2?(3)因为f(x)＝－x＋2|x|＋3＝ 2?－x－2x＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)． [再练一题]1．函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.【解析】因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)．【答案】(a，＋∞)(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝3－x 1B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝x D．f(x)＝x2＋2x x2(2)用单调性定义证明函数f(x)＝2在区间(0,1)上是减函数．x－1【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断． (2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．【自主解答】 (1)A.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它1在(0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝x在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．【答案】D第 3 页共 16 页(2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则2x2?x2－x1??x2＋x1?x2x22－x112f(x1)－f(x2)＝2－2＝2＝.x1－1x2－1?x1－1??x22－1??x1－1??x1＋1??x2－1??x2＋1?∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，x2所以，函数f(x)＝2在区间(0,1)上是减函数．x－1利用定义证明函数单调性的4个步骤11[再练一题]2．已知函数f(x)＝a－x，用单调性定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.【证明】设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0.?11??11?11x2－x1∵f(x2)－f(x1)＝?a－x?－?a－x?＝x－x＝xx>0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在?2??1?1212(0，＋∞)上是单调递增函数． [探究共研型]探究1若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学 1.3.3函数的奇偶性全册精品教案 新人教A版必修1
1.3.3 函数的奇偶性（一）教学目标1．知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性.2．过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力.3．情感、态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.（二）教学重点与难点重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断.（三）教学方法应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固.（四）教学过程备选例题.例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f (x ；（2）f (x ) =2||1x x +. 解析：（1）函数的定义域是（–∞，+∞），将函数式分子有理化，得f (x ) =2222(11)(11)(11)(11)x x x x x x x x ++-+--++++-+ =222(11)(11)xx x x x ++++-+，f (–x ) =222()(1()1)(1()()1)x x x x x -+--++---+=222(11)(11)xx x x x -++++-+= – f (x )，∴f (x )是奇函数.（2）函数定义域为（–∞，+∞），f (–x ) =2||()1x x --+=2||1x x += f (x ). ∴f (x )为偶函数.例2 （1）设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x ) + g (x ) =11x +，求函数f (x )，g (x )的解析式；（2）设函数f (x )是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f (x )在(0，+∞)上是减函数，且f (x )＜0，试判断函数F (x ) =1()f x 在(–∞，0)上的单调性，并给出证明. 解析：（1）∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (–x ) = f (x )，g (– x ) = –g (x )，由f (x ) + g (x ) =11x - ①用–x 代换x 得f (–x ) + g (– x ) =11x --， ∴f (x ) –g (x ) =11x --， ②(① + ②)÷2 = 得f (x ) =211x -； (① – ②)÷2 = 得g (x ) =21x x -. （2）F (x )在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明：设x 1，x 2(–∞，0)，且x 1＜x 2.则△x = x 2 – x 1＞0且–x 1，–x 2(0，+∞)，且–x 1＞– x 2，则△(–x ) = (–x 2) – (–x 1) = x 1–x 2 = –△x ＜0，∵f (x )在（0，+∞）上是减函数，∴f (–x 2) – f (–x 1)＞0 ① 又∵f (x )在 (–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f (–x 1) = – f (x 1)，f (–x 2) = – f (x 2)，由①式得 – f (x 2) + f (x 1) ＞0，即f (x 1) – f (x 2)＞0. 当x 1＜x 2＜0时，F (x 2) – F (x 1) =122112()()11()()()()f x f x f x f x f x f x --=⋅， 又∵f (x ) 在(0，+∞)上总小于0，∴f (x 1) = – f (–x 1)＞0，f (x 2) = – f (–x 2)＞0，f (x 1)·f (x 2)＞0， 又f (x 1) – f (x 2)＞0，∴F (x 2) – F (x 1)＞0且△x = x 2 – x 1＞0，故F (x ) =1()f x 在(–∞，0)上是增函数.。
2019-2020学年高中数学 函数奇偶性导学案 新人教A版必修1.doc
2019-2020学年高中数学函数奇偶性导学案新人教A版必修1【学习目标】1.全部学生理解函数奇偶性的定义，了解什么是奇函数，什么是偶函数2.绝大部分学生能够根据函数图像及解析式判断函数的奇偶性3.绝大多数同学在快乐学习的过程中领会合作探究的精神，初步掌握研究问题的方法。
【学习过程】任务1：理解奇函数和偶函数的定义练习：根据下列函数图象,判断函数奇偶性.小结：由图像判断函数的奇偶性步骤：任务3：根据奇偶函数定义，判断函数的奇偶性例2 利用定义判断下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数小结：由定义判断函数的奇偶性步骤：()()()()()()()()()()1)(6 ]2,1[,)(5 14 1312 12223-=-∈=+==+==x x f x x x f x x x f x x f x x f x x f 任务3：利用函数的奇偶性，求函数值及函数表达式 例3、已知f （x ）定义在R 上的偶函数，当x>0时，f （x ）=x 2+2x,求x<0时f （x ）的解析式。
步骤：02 = 34== x<0=∴∴∴f f x R f x f f x 1假设：x<0,则-x 代入：（-x ）摆条件：（）是上的偶函数得结论（）（-x ）当时（）练习1、已知f （x ）定义在R 上的奇函数，当x>0时，f （x ）=x 2+2x, f （x ）的解析式。
注意：对于奇函数，假如x=0定义域中，则一定有f （0）=0练习2．已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为 2x y =，则这个函数在区间)0,(-∞上的解析式为 ．练习3.已知 f(x) 是定义在Ｒ上的奇函数,当x ＞0时, f(x)=x 2+x-1, 求函数f(x)的表达任务4利用奇偶性判断函数值的大小例1．若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数，且)3()1(f f <，则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________. 练习1．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值练习2.f(x)=ax 5+bx 3+cx+12,若f(2)=24,求f(-2)【学习检测】1.下列函数中是偶函数的是?( )A.54+=x yB.13-=x yC. x y 3=D.)0(2>=x x y2.判断下列函数的奇偶性3．若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为____________ .4. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ） A ．增函数，最小值是-5 B ．增函数，最大值是-5 C ．减函数，最小值是-5 D ．减函数，最大值是-52*5()(1)62(0)(1)(2)______________________________f x m x mx f f f =-++-、若是偶函数，则、、从小到大的顺序是6已知)(x f 是定义在[)2,0-⋃(]0,2上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x )的值域是 .7．已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为 2x y =，则这个函数在区间)0,(-∞上的解析式为 ． 8.已知偶函数f(x)定义在R 上,且当x ≥0时,f(x)=x 2-2x,求f(x)的解析式.*9.已知f(x)定义在R 上,且对任意实数x,y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求f(0);(2)求证:f(x)是奇函数;(3)若f(x)在(0,+∞)上是增函数,证明f(x)在(- ∞,0)也是增函数.]3,1[,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22-∈=+===+-=-=x x x f x x f x f x f x x f xx x f。
最新人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案名师优秀教案
人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案函数的奇偶性人教A版必修一第一章第三节课题函数的奇偶性课型新授课课时安排一课时1、知识目标: (1)理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法;(2)能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程。
教学2、能力目标:(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养; 目标(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题;(3)通过教师指导总结知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、德育目标:通过自主探索，培养学生的动手实践能力，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断教学重点教学对函数奇偶性定义的掌握和灵活运用难点1、教法根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采教学用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法、类比法为辅的教学方式。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，方法诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
2、学法让学生在“观察一归纳一应用”的学习过程中，自主参与知识的产生、发展、形成的过程，使学生掌握知识。
教学教学内容师生活动教学设计意图过程观察下面两张图片:通过让学生观察图片导入新课，让学直观感受生感受到数学来源于一、生活中的对称生活，数学与生活是美。
创设密切相关的，从而激发学生浓厚的学习兴情境 ?麦当劳的标志 ?风车趣。
问题1:图像有何共同特点, 引入1新课问题2:你能回忆几类常见函数及指出这两类就是图像吗,请找出哪些关于轴对称，哪本节课要研究和学习些关于原点成中心对称。
1、关于y轴对的对象。
y y 称的轴对称函数图像:??? x x O 2、关于原点对 o 称的中心对称函数图像:?? 1fxx(),? ? fx(), x y yx x O o2f(x),a ? ? f(x),xyx 以提问的方式，O 引出本节课的课题 f(x),x? ----如何用数学语言来描述这种图像的对问题3:如何从数学角度，用数称特征。
人教A版高中数学必修一奇偶性学案新人教
1.3.2 奇偶性学习目的：使学生掌握奇函数和偶函数的概念和意义，会证明一个函数是奇函数或 偶函数。
学习重点：判断一个函数的奇偶性。
学习难点：函数奇偶性的证明。
学习过程：一、新课引入观察课本P39的图象和函数值的对应表，思考并讨论这两个函数的图象有什么 共同的特征？两个函数的图象都关于y 轴对称。
二、新课对于函数f （x ）＝x 2有：f （－3）＝9＝f （3），f （－2）＝4＝f （2），f （－1）＝1＝f （1），实际上，对于R 上的任意一个x ，都有f （－x ）＝（－x ）2＝x 2＝f （x ） 这时我们称函数f （x ）＝x 2为偶函数。
一般地，如果于对函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝f （x ）， 那么函数f （x ）就叫做偶函数（evenfunction ）。
判断：函数 f （x ）＝x 2＋1，f （x ）＝1122 x 是不是偶函数？ 可先画图观察，再证明之。
观察f （x ）＝x 和f （x ）＝x 1的图象，你能发现它们有什么共同的特征吗？ 这两个函数的图象都是关于原点对称的。
对于函数f （x ）＝x 有：f （－3）＝－3＝－f （3），f （－2）＝－2＝－f （2），f （－1）＝－1＝－f （1）， 实际上，对于R 上的任意一个x ，都有f （－x ）＝－x ＝－f （x ），这时我们称函数f （x ）＝x 为奇函数。
一般地，如果于对函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝－f （x ）， 那么函数f （x ）就叫做奇函数（oddfunction ）。
思考：P41例5、判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）＝x 4； （2）f （x ）＝x 5；（3）f （x ）＝x ＋x 1 （4）f （x ）＝21x 分析：通过本例题的讲解，教会学生如何通过证明来判断一个函数是奇函数还是 偶函数，证明严格按定义来完成，注意格式。
河南省栾川县第一高级中学高中数学必修1全册教案
概述教材编写思想教材的内容结构教材的特点集合定位、编写特点、内容分析、教学建议函数定位、编写特点、内容分析、教学建议教材编写思想做好初高中学习过渡知识技能过渡、学习行为过渡突出数学基本思想在集合中，突出分类思想、符号意识在函数中，突出对应（关系）、变化努力创设问题情境、培养学生问题意识逐步发展学生的应用意识、应用能力教材的内容结构本册书由两部分组成：第一部分是集合，第二部分是有关函数的内容教材的内容结构第一章集合第二章函数第三章指数函数和对数函数第四章函数应用教材的特点1. 内容都是高中学习的基础2. 核心内容——函数3. 与时俱进体现“双基”4. 创设问题情境，培养问题意识5. 体现数学文化价值6. 发展数学应用意识和数学应用能力7. 促进学生改进学习方式教材的特点1. 内容都是高中学习的基础（1）高中课程中的集合是作为语言来学习的，是高中(乃至于高等院校)学生进一步学习的工具.（2）函数是重要的数学模型，也是认识数学的基本思想，它是贯穿整套教材的一条主线，学生从本册开始逐步展开研究函数的性质，并用函数思想解决问题.高中数学必修课程各模块是相对独立的，教学时第一模块一定要作为起始模块，其它可以任意变动次序。
2. 核心内容——函数不论从内容的地位上看，还是从教材的实际结构看，均表示出函数是核心。
函数是贯穿高中数学的一条主线3. 与时俱进体现“双基”⏹本册书突出了整体地把握函数（概念—性质—应用，一般函数与重要的特殊函数，函数模型与函数思想）。
⏹本册书突出了基本函数模型和待定系数的方法（通性通法）。
⏹本册书强化了对学生基本运算能力的要求。
⏹本册书突出了数学应用，在应用中认识数学的本质和意义。
⏹根据课程标准的要求，本册书适度地降低了求函数的定义域和值域的要求等。
4. 创设问题情境，培养问题意识⏹通过问题（高速公路）引入函数概念⏹通过问题，引发学生对数学内容进行分析理解，抽象概括，深入思考⏹“思考交流”引导学生进入邮局、机场等场景，用函数的眼光观察生活⏹安排了“课题学习”和“探究活动”的参考案例，帮助学生体会应用数学知识解决实际问题的过程，初步地体会数学建模思想5. 体现数学文化价值除了在讲述数学过程中渗透数学文化，还专门设立了“阅读材料”，例如：康托和集合论，生活中的映射，函数的发展，函数与中学数学等．引导学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用。
河南省栾川县第一高级中学高中数学 抽象函数的单调性与奇偶性导学案 新人教A版必修1
：抽象函数的单调性与奇偶性1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图象上的是 （ ）A.))(,(a f a --B. ))(,(a f a -C. ))(,(a f a -D. ))(,(a f a ---2．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 （ ）A ．奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数3.已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1的解集的补集 （ ）A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞)D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)4.下列判断正确的是 （ ）A.定义在R 上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数B.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R 上不是减函数C.定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，则f(x)在R 上是减函数D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个5．定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在［０，＋∞)上图象与)(x f 的图象重合.设ａ＞ｂ＞０，给出下列不等式：其中成立的是 ( )①)()()()(b g a g a f b f -->--②)()()()(b g a g a f b f --<--③)()()()(a g b g b f a f -->--④)()()()(a g b g b f a f --<--Ａ.①④ Ｂ.②③ Ｃ.①③ Ｄ.②④6.函数y=2x -2ax+1,若它的增区间是[2，+)∞，则a 的取值是_______;若它在区间[2，+)∞ 上递增，则a 的取值范围是___7.若()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时为增函数，那么使()()f f a π<的实数a 的取值范围 8．已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且32)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f.9．有下列命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③定义在R 上的奇函数)(x f 必满足0)0(=f ；④当且仅当0)(=x f （定义域关于原点对称）时，)(x f 既是奇函数又是偶函数。
河南省栾川县第一高级中学高中数学 对数学案 新人教A版必修1
班级 姓名一、认知探究： 1.一般地，如果()0,1a a >≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 .其中 叫做对数的底数，N 叫做 .且N 0 2.对数与指数间的关系：当0,1a a >≠且时，log x a a Nx N ==.3.以10为底的对数叫做 ，记作 . 以无理数 2.71828e =为底的对数叫做 ，记作 . 二、合作探究： 例1：（1）将下列各等式化为相应的对数式或者指数式：()()()()()711211.2.327.100.1.log 32=55.lg 0.0013128a --===-=-2 3 4 .例2：求下列各式中的x 的值：()()()()()()533log log 0log lg 1lg =0x x x ==⎡⎤⎣⎦212 3 ln log .例3：求下式中的x的值：()()()()227123211log 272log 3log 4log 16239x x x x ==-==.例4：对数式()2log 5a a b --=中，实数a 的取值范围是 （ ）()().,5.2,A C -∞+∞()()().2,5.2,33,5B D变式训练：若对数()()1log 45x x --有意义，则x 的取值范围是 （ ）()5.,245.,22,4A C ⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛⎫⋃+∞⎪ ⎭⎝()[].2,5.2,3B D三、迁移应用：1．已知log x 16＝2，则x 等于( )A ．4B ．±4C ．256D ．22．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x3．已知log 2x ＝3，则x －12＝________.4．若log 7[log 3(log 12x )]＝0，则x ＝________.5. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）20.5;x=（2）log x y z =；（3）ln 3x =；（4）lg 0.3x =.5.解关于x 的方程222(log )2log 30x x --=.。
高中数学 第一章 函数的奇偶性导学案 新人教A版必修1 学案
某某省冷水江市第一中学高中数学第一章函数的奇偶性导学案新人教A版必修11．理解函数的奇偶性及其几何意义；2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；一、课前准备（预习教材P33~ P36，完成以下基础知识）1．函数奇偶性的概念(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内________一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内_________一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于_________对称． (2)奇函数的图象关于__________对称．二、新课导学学习探究（一）奇函数、偶函数的概念思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x=、1()f xx=、3()f x x=；（2）2()f x x=、()||f x x=.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？（二）函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(x ＋1)(x －1)； (2)f (x )＝x 3－x 2x －1.方法总结：判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于对称.（三）奇、偶函数的图象的应用如图，给出了偶函数y ＝f (x )的局部图象，试比较f (1)与f (3)的大小．（四）奇偶性与单调性的综合应用思考：f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.动手试试已知()f x 是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）A. (5)(5)>f f>- B.(4)(3)f fC. (2)(2)-=f ff f-> D.(8)(8)三．当堂检测1．下列说法正确的是()A．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为奇函数2.设函数f(x)＝ax3＋bx＋c的图象如图所示，则f(a)＋f(－a)( )A．大于0B．等于0C．小于0D．以上结论都不对3．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使f(x)＜0的x的取值X围是( )A．－2＜x＜2 B．x＜－2C．x＜－2或x＞2 D．x＞2四、总结提升※学习小结1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.4. 定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.五．课后作业1. 对于定义域是R的任意奇函数()f x有（）.A．()()0f x f x--=B．()()0f x f x+-=C．()()0f x f x-=D．(0)0f≠2. 下列说法错误的是（）.A.1()f x xx=+是奇函数B. ()|2|f x x=-是偶函数C. ()0,[6,6]f x x=∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x xf xx-=-既不是奇函数，又不是偶函数3. 函数()|2||2|f x x x=-++的奇偶性是.4. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为.4. 已知()f x是奇函数，()g x是偶函数，且1()()1f xg xx-=+，求()f x、()g x.。
转：高一数学(人教新课标A版)函数的单调性和奇偶性教案
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一、目标认知学习目标：1.理解函数的单调性、奇偶性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；4.掌握利用函数性质在解决相关综合问题方面的应用.重点、难点：1.对于函数单调性的理解；2.函数性质的应用.二、知识要点梳理1.函数的单调性(1)增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间假如对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数；假如对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数.假如函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间.要点诠释：[1]“任意”和“都”；[2]单调区间与定义域的关系----部分性质；[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描绘函数性质的；[4]不能随意合并两个单调区间.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.2.函数的奇偶性偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：[1]奇偶性是整体性质；[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：，f(-x)=-f(x)的等价形式为：；[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0；[6]，.三、规律方法指导1.证明函数单调性的步骤：(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.2.函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.3.常见结论：(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.(4)若奇函数在上是增函数，且有最大值，则在是增函数，且有最小值；若偶函数在是减函数，则在是增函数.类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0则∵x1＞0，x2＞0，∴∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0∴上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：此题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)-f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.总结升华：能够用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此能够尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断以下函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求以下函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.注重：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求以下函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域. 解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断以下函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义实行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断以下函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义实行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x＞0则-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x＜0，则-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a 的取值范围.解：∵f(a-1)＜f(a) ∴f(|a-1|)＜f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出以下不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求以下函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(-3)-f(2)＜0C. f(-2)+f(-5)＜0D. f(4)-f(-1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析基础达标一、选择题1.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D.5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A.7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1.. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2.. 是的增函数，当时，3.. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4..5..三、解答题1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数.2．解：，则，3．解：，显然是的增函数，，4．解：对称轴∴(2)对称轴当或时，在上单调∴或.能力提升一、选择题1.C. 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，则，或，得，或3.B. ，是的减函数，当4.A. 对称轴5.A. (1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有和；(4)对应法则不同6.A.二、填空题1．. 画出图象2. . 设，则，，∵∴，3. .∵∴即4. . 在区间上也为递增函数，即5. . .三、解答题1．解：(1)定义域为，则，∵∴为奇函数.(2)∵且∴既是奇函数又是偶函数.2．证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.3．解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.4．解：(1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，.综合探究1.D. ，画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，则当时，，则2.C. ，3.. ，4.. 设则，而，则5.解：(1)令，则(2)，则.6.解：对称轴当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7．解：对称轴，当即时，是的递减区间，则，得或，而，即；当即时，是的递增区间，则，得或，而，即不存在；当即时，则，即；∴或. 8．解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴。
人教A版高中数学必修一全册导学案奇偶性
§1.3.2 奇偶性1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3336复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.（1）2()1f x x =-； （2）1()f x x=复习2：对于f (x )＝x 、f (x )＝x 2、f (x )＝x 3、f (x )＝x 4，分别比较f (x )与f (－x ).二、新课导学※ 学习探究探究任务：奇函数、偶函数的概念思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x=、3()f x x =； （2）2()f x x =、()||f x x =.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.试试：已知函数21()f x x=在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.※ 典型例题例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x = （2）()f x =（3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x=.小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较.试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f (x )＝x ＋1x； （3）f (x )＝21x x+； （4）f (x )＝x 2, x ∈[-2,3].例2 已知f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.变式：已知f (x )是偶函数，且在[a ,b ]上是减函数，试判断f (x )在[-b ,-a ]上的单调性，并给出证明.小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.※ 动手试试练习：若3()5f x ax bx =++，且(7)17f -=，求(7)f .三、总结提升※ 学习小结1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.※ 知识拓展定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.A．()()0f x f x--=B．()()0f x f x+-=C．()()0f x f x-=D．(0)0f≠2. 已知()f x是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（）A. (5)(5)f f>- B.(4)(3)f f>C. (2)(2)f f-> D.(8)(8)f f-=3. 下列说法错误的是（）.A.1()f x xx=+是奇函数B. ()|2|f x x=-是偶函数C. ()0,[6,6]f x x=∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x xf xx-=-既不是奇函数，又不是偶函数4. 函数()|2||2|f x x x=-++的奇偶性是.5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为.1. 已知()f x是奇函数，()g x是偶函数，且1()()1f xg xx-=+，求()f x、()g x.2. 设()f x在R上是奇函数，当x>0时，()(1)f x x x=-，试问：当x<0时，()f x的表达式是什么？。
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河南省栾川县第一高级中学高中数学人教版必修一
：抽象函数的单调性与奇偶性
1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图象上的是 （ ）
A.))(,(a f a --
B. ))(,(a f a -
C. ))(,(a f a -
D. ))(,(a f a ---
2．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 （ ）
A ．奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
3.已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1的解集的补集 （ ）
A ．(－1,2)
B ．(1,4)
C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞)
D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)
4.下列判断正确的是 （ ）
A.定义在R 上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数
B.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R 上不是减函数
C.定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，则f(x)在R 上是减函数
D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个
5．定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在［０，＋∞)上图象与)(x f 的图象重合.设ａ＞ｂ＞０，给出下列不等式：其中成立的是 ( )
①)()()()(b g a g a f b f -->--②)()()()(b g a g a f b f --<--
③)()()()(a g b g b f a f -->--④)()()()(a g b g b f a f --<--
Ａ.①④ Ｂ.②③ Ｃ.①③ Ｄ.②④
6.函数y=2
x -2ax+1,若它的增区间是[2，+)∞，则a 的取值是_______;若它在区间[2，+)∞ 上递增，则a 的取值范围是___ 7.若()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时为增函数，那么使()()f f a π<的实数a 的取值范围
8．已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且32)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f .
9．有下列命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③定义在R 上的奇函数)(x f 必满足0)0(=f ；④当且仅当0)(=x f （定义域关于原点对称）时，)(x f 既是奇函数又是偶函数。
其中正确的命题有
10.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.
11．已知f (x )是一个定义在R 上的函数，求证：
（1）g(x )= f (x )+ f (－x )是偶函数； （2）h (x )= f (x )－f (－x )是奇函数.
12. 设函数()f x 在),0()0,(+∞-∞ 上是奇函数，又()f x 在（０，＋∞）上是减函数，并且0)(<x f ，指出)
(1
)(x f x F =在（－∞，０）上的增减性?并证明.
13.设函数()f x 对于任意,,x y R ∈都有()()(),f x y f x f y +=+且0x >时()0,f x <(1)2f =-.（1）求(0)f ；
（2）证明()f x 是奇函数； （3）试问()f x 在[3,3]-是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；
（1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫
+-> ⎪⎝⎭。