上海高二下数学练习册答案
上海市高二第二学期期终考试数学卷（共3套,含答案）
上海市⾼⼆第⼆学期期终考试数学卷（共3套,含答案）上海市位育中学第⼆学期⾼⼆期终考试数学卷⼀、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平⽅根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平⾯内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四⾯体ABCD 的棱AD 与⾯ABC 所成⾓的⼤⼩为____________．5、从2、4中选⼀个数字，从1、3、5中选两个数字，组成⽆重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正⽅体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，⽅差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖⾯上漂着⼀个⼩球，湖⽔结冰后将球取出，冰⾯上留下了⼀个直径为12cm ，深2 cm 的空⽳，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能⼤赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球⾯上任意⼀点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意⼀个⾮零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是⽅程10x x+=的⼀个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表⾯积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的⽅程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该⽅程有实数根x 1、x 2且满⾜-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发⽣的概率为____________．⼆、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z zB ．0z z +=?z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥?z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平⾯，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ?α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分⾮必要条件B ．必要⾮充分条件C ．充要条件D ．既⾮充分⼜⾮必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n ---++++L 等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )nn C ．2C nn D ．212C nn -三、解答题（本⼤题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1⼩题6分，第2⼩题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ的值．20、（本题满分14分，第1⼩题6分，第2⼩题8分）(1) 两个相交平⾯M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平⾯M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平⾯？(2) 某校以单循环制⽅法进⾏篮球⽐赛，其中有两个班级各⽐赛了3场后，不再参加⽐赛，这样⼀共进⾏了84场⽐赛，问：开始有多少班级参加⽐赛？21、（本题满分14分，第1⼩题5分，第2⼩题5分，第3⼩题4分）某校从参加⾼⼆年级期末考试的学⽣中抽出60名学⽣，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直⽅图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学⽣⼈数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学⽣中选两⼈，求他们成绩⾄少有⼀个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1⼩题5分，第2⼩题6分，第3⼩题5分）如图，在棱长为a的正⽅体ABCD－A 1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为⾯EB1F内的⼀点，且∠EBN=45?，∠FBN=60?，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正⽅体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到⼀点M，使BM⊥平⾯EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1⼩题8分，第2⼩题5分，第3⼩题5分）(1) 已知⼆项式(x+2)n展开式中最⼤的⼆项式系数为252，求展开式中系数最⼤的项；(2) 记(x+2)n展开式中最⼤的⼆项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不⼩于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第⼆学期⾼⼆期终考试数学答案⼀、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、； 5、24； 67、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4； 11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625．⼆、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ==??，∴1sin 2tan θθ?=，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余⽆三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平⾯．6分(2) 设开始有n 个班参加⽐赛，1? 若这两个班级之间⽐赛过1场，则22584n C -+=，⽆解，8分2? 若这两个班级之间没有过⽐赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加⽐赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-?+++?=3分所以低于50分的⼈数为600.16?=（⼈）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第⼀组），频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++?= 8分所以，抽样学⽣成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的⼈数分别是6,9，所以从成绩不及格的学⽣中选两⼈，他们成绩⾄少有⼀个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分）解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=?∠=?111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=?==?=g 2222111,BE BF BG BN ++=Q 112BG BN ∴=，即160B BN ∠=o ，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平⾯BB 1D 1D ，于是⾯B 1EF ⊥⾯BB 1D 1D ，在⾯BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平⾯B 1EF ．在平⾯BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，⼜B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2．这说明点M 在正⽅体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最⼤的项是101102r rr r T C x -+=?(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++?≥??≥??，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+≥??--?-??≥-+?-?， 5分得223193r r ?≤≥??，（r =1,2,…,9），∴ r =7，7分展开式中系数最⼤的项是7373810215360T C x x =?=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离⾸末两端等距离的项相等，且距离越远值越⼤． 15分证明如下：1C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+?--?-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1．若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<22C>C C n n n n nnn n ++->>L ，若n 为偶数，201222C C C CC n n nnnnn-<<<<C>C C n n n nnnn n +->>L ，18分上海市青浦区2017学年第⼆学期⾼⼆年级期终学业质量调研数学试卷（满分150，时间120分钟）考⽣注意：1.答卷前,考⽣务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚.2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案⽆效;在草稿纸、试题卷上答题⽆效.3. 本试卷共有21道试题,可以使⽤规定型号计算器.⼀、填空题(本⼤题满分54分)本⼤题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考⽣应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则⼀律得零分 1. 复数i z 43-=（i 是虚数单位）的虚部是【答案】4-2. 平⾯直⾓坐标系中点）（2,1到直线012=++y x 的距离为【答案】53. 62)12(xx +的展开式中的常数项是【答案】604. 已知正六棱柱的底⾯边长为2，侧棱为3，则该正六棱柱的体积为【答案】185. 已知球的半径为R ，B A 、为球⾯上两点，若B A 、之间的球⾯距离是3Rπ，则这两点间的距离等于【答案】R6. 如图，以长⽅体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建⽴空间直⾓坐标系，若1→DB 的坐标为)2,3,4(，则1→AC 的坐标为【答案】)2,3,4(-7. 过点)1,3(的直线l 与圆4)2()2(:22=-+-y x C 相交于B A 、两点，当弦AB 的长取最⼩值时，直线l 的倾斜⾓等于【答案】4π 8. 抛物线x y 42=上⼀动点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线准线距离之和的最⼩值为【答案】59. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的⼀个焦点到⼀条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线⽅程是【答案】x y 33±= 10. 平⾯上两组平⾏线互相垂直，⼀组由6条平⾏线组成，⼀组由5条平⾏线组成，则它们能围成的矩形个数是【答案】150 11. 设α和β是关于x 的⽅程022=++m x x 的两个虚数根，若O 、、βα在复平⾯对应的点构成直⾓三⾓形，那么实数=m 【答案】212. 已知曲线C 的⽅程为0),(=y x F ，集合}0),(|),{(==y x F y x T ，若对于任意的T y x ∈),(11，都存在T y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成⽴，则称曲线C 为∑曲线.下列⽅程所表⽰的曲线中,是∑曲线的有（写出所有∑曲线的序号）①1222=+y x ；②122=-y x ；③x y 22=；④1||||+=x y【答案】①③⼆. 选择题(本⼤题满分20分)本⼤题共有4题,每题有且只有⼀个正确答案,考⽣应在答题纸的相应编号上,将代表答案的⼩⽅格涂⿊,选对得5分,否则⼀律得零分. 13. “直线l 垂直于平⾯α内的⽆数条直线”是“α⊥l ”的⼀个（）【A 】充分不必要条件【B 】必要不充分条件【C 】充要条件【D 】既⾮充分也不必要条件【答案】B14. 曲线12:22=+-Γy xy x 的图像（）【A 】关于x 轴对称【B 】关于原点对称,但不关于直线x y =对称【C 】关于y 轴对称【D 】关于直线x y =对称，关于直线x y -=对称【答案】D15.下列命题中,正确的命题是【A 】若0,2121>-∈z z C z z 、，则21z z >4)-x 【B 】若R z ∈，则2||z z z =?-不成⽴【C 】0,,2121=?∈z z C z z ，则01=z 或02=z 【D 】0,222121=+∈z z C z z 、，则01=z 且02=z 【答案】C16.如图，正⽅体1111D C B A ABCD -，则下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线D A 1所成⾓的⼤⼩不变；②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平⾯1ACD 所成⾓的⼤⼩不变；③点P 在直线1BC 上运动时，⼆⾯⾓C AD P --1的⼤⼩不变；④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥PC D A 1-的体积不变. 其中的真命题是（）【A 】①③【B 】③④【C 】①②④【D 】①③④【答案】D三、解答题(本⼤题满分76分)本⼤题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分7分.已知复数i m i -==βα,-2，其中i 是虚数单位，R m ∈. （1）若||2||-<+αβα，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的⽅程)(0102R n nx x ∈=+-的⼀个根，求实数m 与n 的值.【答案】（1）)2,6(-；（2）6,36,3-=-===n m n m 或18.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分6分，第（2）⼩题满分8分.如图所⽰圆锥中，CD AB 、为底⾯圆的两条直径，O CD AB =I ，且CD AB ⊥，2==AB SO ，P 为SB 的中点.求:（1）该圆锥的表⾯积；（2）异⾯直线SA 与PD 所成的⾓的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值表⽰）. 【答案】（1）π)15(+；)35arccos 32arcsin (552arctan 或或19.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分7分.已知四边形ABCD 是矩形，⊥PA 平⾯ABCD ，2,1===AD AB PA ，点N M 、在线段DC PB 、上（不为端点），且满⾜→→→→==NC DN MP BM λλ,，其中0>λ.（1）若1=λ，求直线MN 与平⾯ABCD 所成的⾓的⼤⼩；（2）是否存在λ，使MN 是DC PB ，的公垂线，即MN 同时垂直DC PB ，？说明理由.【答案】（1）)322arccos 31arcsin (42arctan 或或；（2）21=λ20.（本题满分16分）本题共有3个⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题6分.已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的左右顶点分别是)0,2(),0,2(B A -.点)21,3(在椭圆上，过该椭圆上任意⼀点P 作x PQ ⊥轴，垂⾜为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||PC QP =. （1）求椭圆Γ的⽅程；（2）求动点C 的轨迹E 的⽅程；（3）设直线AC （C 点不同B A 、）与直线2=x 交于R ，D 为线段RB 的中点，证明:直线CD 与曲线相切.【答案】（1）1422=+y x ；（2）422=+y x ；（3）证明如下【解析】21.（本题满分18分）本题共有3个⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题8分. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线0:=++c by ax l ，我们称2200ba c by ax +++=δ为点),(00y x P 到直线0:=++c by ax l 的⽅向距离.（1）设双曲线1422=-y x 上的任意⼀点),(y x P 到直线02:1=-y x l ，02:2=+y x l 的⽅向距离分别为21δδ、，求21δδ的值；（2）设点)0,()0,(t F t E 、-、到直线02sin 2cos :=-+ααy x l 的⽅向距离分别为21ηη、，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121=ηη成⽴？说明理由；（3）已知直线0:=+-n y mx l 和椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，设椭圆E 的两个焦点21F F 、到直线l 的⽅向距离分别为21λλ、满⾜221b >λλ，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试问的长||AB 与b a +的⼤⼩.【答案】（1）54；（2）1±=t ；（3）b a AB +>|| 【解析】上海市七宝中学⾼⼆第⼆学期期末数学试卷⼀. 填空题 1. 将参数⽅程122x ty t =+??=-?（t R ∈，t 为参数）化为普通⽅程2. 已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是3. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+除以5的余数是 4. 如右图为某⼏何体的三视图，则其侧⾯积为 2cm5. 甲、⼄、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区⾄少有⼀名同学，则甲、⼄两⼈被分在同⼀个社区的概率是6. 在侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中，40AVB BVC CVA ?∠=∠=∠=，若过点A 的截⾯AEF ，交VB 于E ，交VC 于F ，则截⾯AEF 周长的最⼩值是7. 长⽅体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且2AB BC ==，122AA =，则A 、B 两点之间的球⾯距离为8. 已知从装有1n +个球（其中n 个⽩球，1个⿊球）的⼝袋中取出m 个球，0m n <<，,m n ∈N ，共有1mn C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：⼀类是取出的m 个球全部为⽩球，另⼀类是取出1个⿊球和(1)m -个⽩球，共有01111m m nn C C C C -+种取法，即有等式11m m mn n n C C C -++=成⽴，试根据上述思想，化简下列式⼦：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---++++= (1k m n ≤<≤，,,)k m n ∈N9. 已知平⾏六⾯体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ?∠=，60BAA DAA ?''∠=∠=，则AC '的长为10. 某⼏何体的⼀条棱长为7，在该⼏何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该⼏何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最⼤值为11. 数列{}n a 共有13项，10a =，134a =，且1||1k k a a +-=， 1,2,,12k =，满⾜这种条件不同的数列个数为12. 如图，在底⾯半径和⾼均为1的圆锥中，AB 、CD 是底⾯圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平⾯与圆锥侧⾯的交线是以E 为顶点的抛物线的⼀部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为⼆. 选择题13. 若x 、y 满⾜约束条件2,22x y x y ≤≤??+≥?，则2z x y =+的取值范围是（）A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5] 14. 某中学⾼⼆年级的⼀个研究性学习⼩组拟完成下列两项调查：①从某社区430户⾼收⼊家庭，980户中等收⼊家庭，290户低收⼊家庭中任意选出170户调查社会购买⼒的某项指标；②从本年级12名体育特长⽣中随机选出5⼈调查其学习负担情况；则该研究性学习⼩组宜采⽤的抽样⽅法分别是（）A. ①⽤系统抽样，②⽤随机抽样B. ①⽤系统抽样，②⽤分层抽样C. ①⽤分层抽样，②⽤系统抽样D. ①⽤分层抽样，②⽤随机抽样15. 12名同学合影，站成前排4⼈后排8⼈，现摄影师要从后排8⼈中抽2⼈调整到前排，若其他⼈的相对顺序不变，则不同调整⽅法的总数是（）A. 2283C PB. 2686C PC. 2286C PD. 2285C P16. 如图，E 、F 分别为棱长为1的正⽅体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为⾯对⾓线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四⾯体E FGH -的体积正确的是（）A. 该四⾯体体积有最⼤值，也有最⼩值B. 该四⾯体体积为定值C. 该四⾯体体积只有最⼩值D. 该四⾯体体积只有最⼤值三. 简答题17. 有8名学⽣排成⼀排，求分别满⾜下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果. （1）甲不在两端；（2）甲、⼄相邻；（3）甲、⼄、丙三⼈两两不得相邻；（4）甲不在排头，⼄不在排尾. 18. 在⼆项式3121(2)x x+的展开式中.（1）求该⼆项展开式中所有项的系数和的值；（2）求该⼆项展开式中含4x 项的系数；（3）求该⼆项展开式中系数最⼤的项.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ?∠=，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异⾯直线PQ 与1B C 所成⾓的⼤⼩；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12，求四棱锥1C BAPB -的体积.20. 如图，圆锥的轴截⾯为等腰Rt △SAB ，Q 为底⾯圆周上⼀点.（1）若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平⾯SBQ ；（2）如果60AOQ ?∠=，QB =（3）若⼆⾯⾓A SB Q --⼤⼩为arctan 3，求AOQ ∠.21.（1）集合12{|(,,,)n Q x x x x x ==，0i x =或1}，对于任意x Q ∈，定义1()ni i f x x ==∑，对任意{0,1,2,,}k n ∈，定义{|(),}k A x f x k x Q ==∈，记k a 为集合k A 的元素个数，求122n a a na +++的值；（2）在等差数列{}n a 和等⽐数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中，若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）已知当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x =-+-+-++，根据此信息，若对任意1||2x <，都有20123(1)(12)nn x a a x a x a x x x =+++++-+，求10a 的值.参考答案⼀. 填空题1. 250x y +-=2.3. 34. 4π5. 166. 67. 23π 8. mn k C + 9. 10. 4 11. 495 12.⼆. 选择题13. A 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）77630240P ?=；（2）77210080P ?=；（3）535614400P P =；（4）876876230960P P P -+=；18.（1）123；（2）841227920C =；（3）339324121(2)()112640C x x x=；19.（1）2π；（2）14； 20.（1）略；（2）83π；（3）3π；21.（1）k k n a C =，11222n n a a na n -+++=?；（2）b 为正偶数；（3）455-；。
(word版)上海市高二数学复习练习(附答案及过程)
高 二 数 学 4一、填空题〔每题4分，总分值40分，请将正确答案直接填写在相应空格上〕． A2 14，B131，那么AB 。
17530 85． l iman 2b n100，那么ab。
23n1n3．矩阵212 0，那么a 。
4a4．平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为 (2,1)、( 3,2)、(1,3)，如果四边形ABCD是平行四边形，那么D 的坐标是。
5．某个线性方程组的增广矩阵是645，那么该增广矩阵对应的线性832方程组可 以是。
r6．a (2,3),b(3,1)，且ba 与b 垂直，那么实数的值是。
7．假设关于x 、y 的二元一次方程组m x 4ym2无解，那么实数m 。
my m8．无穷等比数列{a n }的各项的和是4，那么首项a 1的取值范围是。
9．某算法的程序框如以下图所示，那么输出量y与输入量x满足的关系式是。
开始输入x是输出y结束10．设点A0为坐标原点，A n(n,)(n N*)，记向量u ur uuuuruuuuruuuuuur否1a n A0A1A1A2An1A n，uur(1,0)〕，设S n tan1tan2tann，n是a与i的夹角〔其中in那么limS n。
n二、选择题〔每题3分，总分值15分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内〕来源：网络转载a b c11．行列式d e f 中元素f的代数余子式g h i是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔〕〔A〕a b；〔B〕a b；〔C〕a c；〔D〕ab。
g h g h g i dex 2a2b 212．关于x的方程x a0的解是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111〔〕〔A〕x a 〔B〕x b〔C〕x a和x b；〔D〕x a和x b 13．以下条件中，A、B、P三点不共的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔〕uuur1uuur3uuuruuuruuuruuur〔A〕MPMAMB；〔B〕MP2MAMB；44uuuruuur uuuruuur3uuur1uuur〔C〕MP3MA3MB；〔D〕MPMAMB；4414．在ABC中，AB2，AC1uuuruuur ，DBC的中点，ADBC⋯⋯⋯⋯〔〕〔A〕3；〔B〕1；〔C〕3；〔D〕1。
上海市浦东新区高二数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= 10 ．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29 ．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A 的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z= 3+5i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C 的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0 ．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值= 10 ．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径 5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离： =5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是 1 ．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的X围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的X围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a﹣4b=0，，．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d==|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7，解得：t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）x=c代入椭圆方程求得y，进而求得d，可知d×a=b2，原式得证；（2）由M坐标可得c，再把M再把代入椭圆方程求得a和b的关系，结合隐含条件得到a 和b的方程组，求得a，b，则椭圆的方程可求．【解答】（1）证明：把x=c代入椭圆方程： +=1，得，则d=|y|=，∴d×a=b2，即b2=ad；（2）解：∵M的坐标为（，1），∴c=，则，解得b2=2，a2=4．故椭圆的方程为．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．【分析】（1）先确定双曲线C1：的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，），建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．【解答】解：（1）∵双曲线C1：，∴焦点坐标为（，0），（，0）设双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）∴，解得∴双曲线C2的标准方程为（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=﹣2x由，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）由，可得x=﹣m，y=m，∴B（﹣m， m）∴∵∴m2=3∴。
高二数学练习册答案
高二数学练习册答案高二数学练习册答案高二数学练习册答案高二(下同步练测答案高二下)同步练测答案练测(1) 1―8 CDCA BCDA 9.无数个;无数个;1 个或无数个;4 个10.④ 11. P ∈ BD练测(2) 1―5 DBDBC，6―10 BBCDC 11. (1)平行 (2)异面 (3)异面 (4)相交(5)异面 (6) 平行 12.(1) 900 (2)600 (3)00 (4)1cm 13. 反证法 14. 略15.600 16 (1)∠ B1CD,60 (2)∠NPQ,60 (3) 90 17. 60练测(3) 1 ― 5 CBDDC 6 ― 10 CDBAD 11. ?, ∈, ∈, ?, ?, ?, ∈ 12. 4 13.6 140 0 0 018.30 1030 , 55 15 ,6 15. 5练测(4) 1―8 CCCB16.2 sin α 22 20. 3CCDD9 无数多11. b // α或b ? α 12.一个 13. 4cm 或 1cm 16.m:n17.(1)略 (2)2a 18. (1)练测(5) 1 ― 5 DBDDC6 ― 10 CDDDA11. 垂直12.a 2 + (b ? c) 213.1 a2 + b2 , a 2 + b2 + c2 , b a2 + c2 2 练测(6) 1―5 BDDAD 6―9 ABCA 10. 716 .1317.3 3 211.外, 内;垂;中点;∠A 的`平分线;外12.3 ,2 313.(1)4 个(2)BC=AB 时垂直,BC ≠ AB 时不垂直14.(1)2 (2)450 215.B 16.(1)450 (2)2 (3)300 2练测(7) 1―5 BBBBD 6―9 DACD 10. 6 11.1 a2 + b2 + c2 212.10cm,10cm5 19 cm 215.2 317.7 ,4练测(8) 1 ― 10 BCDDD CACDA 11.1 a 212.平行或异面13.42 714.a (b + c) a (c ? b) 或 b b15. 10 18. 2 2 19. 2 3km练测(9) 1―6 CDACAB 7. 平行或异面 8.1 个，无数个 9.相似 10. 13.C 14. 4,6,7,8 15.12练测(10) 1―7 DDBA ABB 8. 7cm 9.10 11.相交,平行或异面 33 410.π311.12. a sin θtg?13. 450 14.700 或 1650 15. 900练测(11)16.正弦值为6 417.(1)900(2)正切值为 21―8 CDAC DCAD 9.××√× 10.45 ,练测(12) 1.D 2.C 11.3 311. 7 a13.2.5cm 15.B 16. 603.D4.C5.D6.A7.D8.D 15. 5 ∶ 2 16.略9.B 10. A 17.略 18. 60 19.略3 12.1,1 313. 25 3 14. 12020.(1)略(2)3 5 (3) 5 76.D7.C8.D9.C 10. C练测(13) 1.A 2.D 3.C 4.A 5.B11.若m ∈ a, p ∈ a, m ∈ α , p ∈ α , 则 a ? α 12.( 0 0 ,90 0 ) 13.垂直相交 14. 2 15. 5 或016.用判定定理 17.(1) 30 (2)2 0 18. 90 219.略 20.(1) 45 (2) 90 (3)-2练测(14) 1.B 2.C 3.B 4.C 5.B 6.C 7.D8.D9.C10.B 11.2 π π a 2 + b 2 + c 2 , 2 3cm, 6cm 12. 2 2h 2 P + Q 2 13.3 2 14. , 15. 9cm 16. 24 33 3cm 3 或3 3 3 3 2 2 cm 17.A18. h 19.(1) a (2) 2a 24 2练测(15) 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.C 8.D 9.D 10.C 11. 6 6 12.1 1523 ? 3 2 3 13.2 14.1∶26 15.(1) a (2) a 16. a 17.C 18.DC∥AB 34 4 3 1 2 hl 65.B6.D7.A8.B9.A 10. B 11.B 12.C或 ABCD 为平行四边形 19.练测(16) 1.D 2.C 3.B 4.B13.1760 元 14.18015.3216. 23 4 17.8 Q 18.略 19. 240 2 20.高为 1.2 m 时,容器有最大容积 9为 1.8 m 21.(1)练测(17)31 2 (2) 4 21. B2.C3.B4.D5.B6.D7.B8.C9.C 10.D 11.2a 12. ?1 313.①②③14.14 ( AB = CD = 1, BD = BC = AD = AC = 2) 或 1211 ( AB = AC = AD = 2, BC = CD = DB = 1) 或 AB=1 其余棱均为 2, 得 12V =11 3 2 15. S 表面积 = a n ( n = 4,8,20 )16.三角形晶面有 8 个,八边形晶面有 6 个 6 4 1 18.E=30,F=20,V=12 317. π ? arccos练测(18) 1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D310.B 11.2 5 2+ 63 12. R arccos 13. 10( 5 ? 2) 14.3 15. V球= π , S 球 = 3π 2 16 217. cm 18. θ =16. r =6 ?2 R 25 3π8时, S 全最大,最大值为πR (1+ 2 )2练测(19) 1.B 2.D 10. B 11.C3.B 12.C4.D 13.185.D 14.6.C7.C8.C9.C15 3 5 3 π a 15. 4 41 16. r 2 17. a 18. R 24 8 2 3 21.(1)略(2) 90 (3)略(4)119. cm8 3320.(1)略(2) arctan 3练测(20) 1.C 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C 7.A 8.C 13.9.A 10. B11.B 12. A 20.π6R 14.②④15.216. 105 17. 略 18.750 或 1650 19.4 πcm 3 33∶221.3 55 2 a 64 610 2 πR 3 (2) DDBCA 15.17：7 3 3 a 18 1112 16. 21 km 3 AD 17.2:1练测(21) 15 DADAB13.无数条 1418.略19.(1) 略20.300 或 600 2 3+5 3 3 1112 16. 10 21.(1) 4 5 5 BB21. S 表 = 3，S 侧 = 6 + 3 3，高 =练测(22) 15 BBBDC13.相等或互补 18. 略 19.1:2:3610 14. 3 20.(1)CDBBA15.6cm2 1 2 (2) 4 217.( 2 + 1)ab (2) 1 6 (3) 2 2练测(23) 1.C 2.B 3.C 4.D 5.D 6.A 7.C 8.B 9.63 10.27 11.60 12.32 13.8 14.(1)20 (2)14 15.12 16.20 17.A 18.B 19.n! 20.139练测(24) 1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.D 9.8 15 10. An . An ?1m m ?12511.60 120120 12.720 13.171 14.2450 15.(1)1800 (2)2520 16.(1)59 (2)88 (3)31420 17.C 18.A 19.114 20.(1)5040 (2)2160 (3)240 (4)3720 (5)266 (6)720 (7)144 (8)1440 (9)840 (10)720练测(25) 1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.C 9.(1)2,5 (2)30 (3)161700 (4)2 10.21 11.1680 12.60 13.24 14.25,115 15.(1)126 (2)36 (3)105 (4)1260 16.(1)24 (2)1 (3)144 (4)12 17.B 18.C 19.32.16 20.四种可能练测(26) 1.A 2.C 3.C 4.C 5.D 6.D 7.B 8.A 9.B 10.A 11.D 12.C 13.28514.424 415.1687 216.28800417.(1)60 (2)1 (3)150 20.504 8.A 21.295 9.4 22.7218.(1) C15 C 874(2) C13 C 8 C 4 + 2 C 13 C 6 C 419.252 6.B 7.D练测(27) 1.B 2.D 3.C13.15 19.[ 14.5 104.B55.C10.511.1112.10,0.1 18.BC a15.-5116. 9,10,11 或 14,15,1617.D4 ,+∞ ] 52.A20.m=5,n=6 或 m=6,n=5 时系数最小 25练测(28)1.A 3.C 4.B 5.B 13.18 6.C 7.A 8.D 15. 9. T r = C n 16.(1)5 r ?1an +1? rbr ?110.0.7811.312.21014.x2 和 28x(2)8 9 9 < < 5 b 417.D18.B 19.8-8 n 10.A 11.D 12.A练测(29) 1.B 2.D 3.D 4.C 5.D 6.A 7.B 8.D 9.B 35 7 4 13. 14.179 15.120 16.120 17.(1) A50 (2) C 50 318. 1440练测(30) 1.B 2.D20.560x2 , 280 x 2321.1722.(1)36 (2)12 (3)24 (4)8103.B54.B5.C36.C17.A8.A9. C C10.1 4 5 1611.1 15 1 812.2 A8 A54A10 1013.0.1 19. 5 12 4.C14. C13 C 39 415.(1)0.00001 (2)0.1 13 15 8.B 9. 5 12 17.D16.(1)(2)C5217. C 18.D20.(1)4 15 6.C(2)练测(31)1.C 13. 19. 3 8 1 32.B 14.3.C 5.D 7.D 10.0.5 18.D 11. 1 6 12.0.53015. 0.1 16.(1) (2)1-67 23 (2) 150 9020.(1)1- 0.911029练测(32)1.B2.B3.B4.A5.C 11. 1 32 12.10,0.6106.D 13. 19 257.A8.D 14.(1)9.0.985 10. 81 128 15. N?M( Nn1 7 21 (2) (3) 64 64 32)16.5 17.D 18.A 19.0.25 20.x=9练测(33) 1.C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.Dn?k 13. m+n?k8.C9.B210.B 1 18. , n11.C12.B2 14. 15.0.99 916.0.99(C nn) 2 17. C2n 4nA nk ?1 n ?1 n19.(1)0.97 (2)0.03 20.9 21.0.488 22.(1)0.476 (2)0.407 (3)0.108 (4)0.009练测(34) 一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.D 9.A 10.C 11.B 12.C2 2 二、13. C 9 = 36, A9 ? 6 = 6614.1815.1 216.4三、 17.A46= 36018.(1)409 1225(2)816 122519.2AA311 4= 2420.T10=55a b321. 提示： k ?Ck n=k ? n! k ?1 = n C n?1 k!(n ? k )!22. (1) 第 5 项(2)8 a 9 < < 5 b 4练测(35) 一、1.D 2.D 9.D 10.D 二、13.24 14.( 3.A 11.B 4.B 12.C 5.D 6.B 7.C 8.CA10 2 10)15.0.10416.1+10 5三、 17.(1) 1440(2) 24018.CC211 3= 6种19. 提示： 20.(1) -1 (2) -214(x+1) 2 n = ( x + 1) n ( x + 1) n 两边展出式中 n 次方项系数相等 21.(1)略 (2) 0.45 (3)300 22.C20 301 ( ) 30 25.A6.D7.C8.A练测(36) 一、1.C 2.C 9.B 10.D 二、13.2 三、17.略 14.24cm3.D 11.A4.D 12.D 15. 90 (2) 60016.若m∈ a , P ∈ a , m ∈ α , 则 a ? α (3)2 3 cm (4) 2cm 1921 略18.(1) 45022.(1) arcsin7 5(2) arcsin3 105.D6.A7.C8.B练测(37) 一、1.A 2.B 9.C 10.D 二、13.3.A 11.B4.C 12.C3 214.1:915.1cm316.球的表面积 19.棱数为 4 条 20.S 表=88cm2,三、17.3000( π ? 2) cm318.1 3 225h 15 3 3V=48cm321.(1) 略(2)22.(1)―(2) 略(3)6 6练测(38) 一、1.D 2.C 3.C 4.C 9.B 10. A 11.B 二、13.6 14.1 或-1 15.5.D 12.A6.B7.A8.Bn(n ? 3) 216.6500000 21.20 条直线 7.B 22.54 种 8.D三、17.m =2 18. 略 19.288 种 20.24 种练测(39) 一、1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.A 9.C 10.B 11.D 12.A 二、13. 16. m P 三、 17.1 1014.80%15.0.56甲获胜 m 次的概率 P 0 0.0649 101 0.2882 0.43210 94 10 1003 0.216C0 .9 × 0 .19C 18.1 ? C(2) 0.40951 3.B 11.C 15. ：19.P3(2)= 21.0.6C2 30.7 2 (1 ? 0.7) 3? 2 = 0.44120.(1)0.0729练测(40) 一、1.C 2.D 9.B 10.A 二、13.17922.1-(1-P)m 6.A 7.B 8.A4.C 12.B5.D14.125 提示6 216.58 且三、17.∵ 13 + n ≥ 3n,2n ≥ 17 ? n,∴ n = 6,∴原式=C18 19+C17 18+ +C12 13+C11 12=124418.(1)41 2(2)21 6(3) arccos1 819.(1)n=4(2) 3 =6 3 x(3) 5 = 70a b20.50 6321.分别为 1 和 222.(1)略 (2) 6练测(41) 一、1.C 2.D 9.D 10.C 二、13. C480 14.3.A 11.A4.B 12.C 15.arccos5.D6.B8.A1 3653 316. 4 2三、17.68618.5 819.24 2cm320.335121.3 7 822.(1) 450(2) arctan 2练测(42) 一、1.D 2.C 9.B 10.A 二、13. 三、 17.(3.C 11.D 14.4.D 12.B5.C6.A7.B8.D362 × A4365470 218.P4(3)=15. 7416.12 6 + 1) R 3C3 41 1 1 ( )3 ? ( ) =2 2 425P8(5)=C5 81 1 7 ( )5 ? ( )3 =2 2 32 8 13 19.(1)T6+1=210x3(2) T6=T5+1=252x 1220.(1)略 (2)900 (3)600(2)MN=21.(1)3 4(2)15 16 22.(1) 略。
上海高二数学复习练习附答案及过程
上海高二数学复习练习附答案及过程Last updated on the afternoon of January 3, 2021高二数学4一、填空题（每小题4分，满分40分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1．已知214753A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131085B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A B -=。
2．已知2100lim231n an bn n →∞+-=-，则a b +=。
3．已知矩阵23120460a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a =。
4．平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为(2,1)、(3,2)-、(1,3)-，如果四边形ABCD 是平行四边形，则D 的坐标是。
5．已知某个线性方程组的增广矩阵是645832-⎛⎫⎪-⎝⎭，则该增广矩阵对应的线性方程组可以是。
6．已知(2,3),(3,1)a b =-=，且b a λ-与b 垂直，则实数λ的值是。
7．若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =。
8．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是4，则首项1a 的取值范围是。
9．某算法的程序框如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是。
10121n n A A A A -++⋅⋅⋅+， n n 12tan n n θ+⋅⋅⋅+，则lim n n S →∞=。
二、选择题（每小题3分，满分15分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内） 11．行列式a b c d e f g hi中元素f 的代数余子式是…………………………………………（）（A ）a b g h； （B ）a b g h-； （C ）a c gi；（D ）a b de。
12．关于x 的方程0111222=-b a xb a x 的解是………………………………………………（）（A ）a x = （B ）b x = （C ）a x =和b x =；（D ）a x =和b x -= 13．下列条件中，P B A 、、三点不共线的是……………………………………………（） （A ）1344MP MA MB =+； （B ）2MP MA MB =-； （C ）33MP MA MB =-；（D ）3144MP MA MB =+； 14．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅=…………（）（A ）32； （B ）12；（C ）32-； （D ）12-。
上海市高二下学期第一次测试数学试题(解析版)
一、填空题1．已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为___________.1l 12l l ⊥2l 【答案】0【分析】由直线的倾斜角结合垂直关系得出直线的斜率.1l 2l 【详解】直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为0，则斜率为01l 2π2l 故答案为：02．已知复数满足(为虚数单位)，则________.z 1iz i =+i ||z =【分析】先求出复数，再利用复数的模的计算公式即可求出．z 【详解】， 1i z i ⋅=+， ∴()211111i i i i z i i i ++-====--=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及复数的模的计算公式的应用，属于基础题． 3．方程表示一个圆，则m 的取值范围是．22240+-++=x y x y m 【答案】5m <【详解】试题分析：由题表示一个圆，可得；22240x y x y m +-++=0,5r m =><【解析】圆的方程.4．某表演赛评分（两位数）如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为___________. 7 88 5 5 5 7 89 4【答案】##1.6 85【分析】根据茎叶图得出数据，计算平均值，再由方差公式计算即可.【详解】由题意知，剩下的数据为85，85，85，87，88， 平均分为， 8585858788865++++=方差为， 2223(8586)(8786)(8886)855⨯-+-+-=故答案为： 855．二项式的展开式中，常数项为______（用数值表示）. 82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】1120【分析】先求出二项式的展开式通项，然后令得，即可求出常数项. 82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭820r -=4r =【详解】因为二项式的展开式通项为， 82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭8821882C C 2rr r r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，得，故常数项为. 820r -=4r =4458C 21120T ==故答案为：1120.6．已知直线，则直线与的夹角为___________.12:230,:50l x y l x y +-=--=1l 2l 【答案】【分析】根据两直线方程确定直线的法向量，再根据直线与的夹角的余弦值为，1l 2l cos n m n mα⋅=⋅ 即可求得直线与的夹角大小.1l 2l 【详解】由题意知的法向量为的法向量为，1l ()21,2,n l = ()1,1m =- 则直线与的夹角的余弦值为1l 2l cos n mn m α⋅===⋅则直线与的夹角为1l 2l 故答案为：7．已知向量，，且在上的投影数量等于，则___________.()2,1a =-r (),1b q = a b 1-q =【答案】43【分析】由数量投影的公式直接计算即可.【详解】在上的投影数量为，解得（舍）或. a b 1a b b ⋅==- 0q =43故答案为：. 438．设，若点共线，则的最小值为___________.,0a b>()()()2,2,,0,0,A B a C b 3a b +【答案】##8+8+【分析】由三点共线，利用向量坐标计算可得，再由均值不等式求最小值即可. 422b a =+-【详解】由题意知，与共线，()2,2AB a =-- ()2,2AC b=--则 ()()42242(2)2a b b a a --=⇒=+>- 121236288822a b a a a a ∴+=++=-++≥+=+--当且仅当为时，即. 1222aa -=-2=+a 故答案为：89．棱长为2的正四面体的两条对棱的距离为________．【分析】作出图形，作中点，中点，连接，可证为公垂线，由AP N BC M ,,BN CN MN MN ,PA BC 几何关系可求.MN 【详解】如图，作中点，中点，连接，因为四面体为正四面体，故AP N BC M ,,BN CN MN ,AP BN AP CN ⊥⊥，，所以平面，又平面，所以，又因为，BN CN N = AP ⊥BCN MN ⊂BCN AP MN⊥BN CN =为中点，所以，所以为公垂线，因为正四面体棱长为2，故M BC BC MN ⊥MN ,PA BC BN =，，所以1BM =MN10．已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选个去参观，则他们的选择A B C D 2中，恰有一个馆相同的概率为 _____．【答案】23【分析】根据古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】解：甲选2个去参观，有6种，乙选2个去参观，有6种，共有6×6＝36种， 24C =24C =若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有4种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有14C =6种，共有4×6＝24种，23A =则对应概率， 242363P ==故答案为：．2311．设，定义在上的函数与轴交于点，若对函数图像上任意0a >()1,+∞()21f x a x =--x A ()f x 一点（异于点），都存在另一点在函数图像上，使得且，则实数P A Q ()f x 0AP AQ ⋅= ||||APAQ = ___________.=a【分析】根据题意求出点，设，然后结合图像和已知条件可得2(1,0)A a+00(,)P x y ，整理化简可得，根据条件即可求解. 0000(1)()222()[(1)]2x y a y x a a a -+=⎧⎪⎨+--+=⎪⎩022()(0a y a a a -++=【详解】由题意可知函数与轴的交点为， ()2(1,0)1f x a x a x =->>-x A 则，设，由图像可知，位于点的两侧， 2(1,0)A a+00(,)P x y ,P Q A 又因为且，且的纵横坐标均大于零，0AP AQ ⋅= ||||AP AQ = ,P Q 不妨假设点在点的左侧，所以，设，则， P A 021x a<+11(,)Q x y 002(1,)AP x y a =-- 由可得， 112(1,)AQ x y a =-- 0AP AQ ⋅= 01012222001122(1)(1)022(1)(1)x x y y a a x y x y a a ⎧----+=⎪⎪⎨⎪-++=--+⎪⎩消可得，， 12(1)x a --2222201001202(1)2(1)y y x y y a x a--+=+--整理可得， 4220002210220022(1)(1)2(1)2(1)x y x a a y x a y x a--+--==--+--解得，则点在曲线上， 10102121x y a y x a ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩0022(1,1)Q y x a a +++-21y a x =--又因为点在曲线上， 00(,)P x y 21y a x =--所以，消可得，， 0000(1)()222()[(1)]2x y a y x a aa -+=⎧⎪⎨+--+=⎪⎩01x -00202224()(0y a y a y a a a +⋅+--=+化简可得，由于异于点，所以， 000242(2()()0y a y a y a a-+-+=,P Q A 00y ≠则有，即 0224()()20a y a a a-++-=022(0a y a a a -++=所以，因为，解得，20a a -=0a >a =.【点睛】函数零点的考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点；2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断；3.判定函数零点（方程的根）所在的区间；4.利用零点（方程实根）的存在求相关参数的值或取值范围.（高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主）.12．已知点，动点在函数的图像上，动点在以为圆心半径为2的()()0,1,0,5A C M 214y x =N C 圆上，则的最小值为___________. 12MN NA +【答案】【分析】先得到的轨迹，设出，由列出方程，结合的轨迹方程，求出N (),Q m n 12QN NA =N ，转化为的最小值为的最小值，确定当三点共线，且为抛()0,4Q 12MN NA +MN QN +,,Q M N 物线的法线时，取得最小值，由导函数得到时，取得最小值，利用两点间()2M ±MN QN +距离公式求出最小值.【详解】根据题意画出图像动点满足，设，N 2NC =(),N x y 可得的轨迹为圆，N 2210210x y y +-+=设，且， (),Q m n 12QN NA ==化简可得，，()2222338284410x y mx n y m n +-+-++-=所在方程又为，N Q 223330630x y y +-+=令，解得，此时满足， 802830m n -=⎧⎨-=-⎩04m n =⎧⎨=⎩2244163m n +-=可得，即，0,4m n ==()0,4Q 可得的最小值为的最小值， 12MN NA +MN QN +当三点共线，且为抛物线的法线时，取得最小值，,,Q M N 设，的导数为，可得， (),M s t 214y x =12y x '=1412t s s -⋅=-解得2,t s ==±即，即有()2M ±QM ==【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、单选题13．设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则1111:0l a x b y c ++=1a 1b 2222:0l a x b y c ++=2a 2b “、相交”是“”的（ ）条件1l 2l 1221a b a b ≠A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得12,b b 12,b b 出结论.【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得12,b b 1l 2l ，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成1212a ab b -≠-1221a b a b ≠12,b b 1221a b a b ≠立，故充分性成立； 反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，12,b b 1221a b a b ≠1212a a b b -≠-1l 2l 有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的12,b b 1l 2l 1l 2l 1221a b a b ≠充要条件，故选：C.14．为测量两地之间的距离，甲同学选定了与不共线的处，构成，以下是测量数,A B ,A B C ABC A 据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量,,A B C ∠∠∠,,A B BC ∠∠,,A AC BC ∠.共中要求能唯一确定从地之间距离，则中甲同学应选择的方案的序号为（ ）,,C AC BC ∠,A BA ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理等知识对四个方案进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于①，测量，不能求出的值，,,A B C ∠∠∠AB 对于②，测量，利用三角形内角和定理求得，,,A B BC ∠∠C ∠再利用正弦定理求得，且解唯一，AB 对于③，测量，,,A AC BC ∠利用余弦定理，222||||||2||||cos BC AC AB AC AB A =+-⋅∠解一元二次方程可以求得，可能解不唯一，AB 对于：④，测量，利用余弦定理直接求得，且解唯一，,,C AC BC ∠AB 所以正确的为②④.故选：D15．若直线上的每一点都在曲线上，但不是曲线的方程，则满足该条10x y +-=C 10x y +-=C 件的曲线方程有（ ） A ．B ． 10x y +-=()()110x y x y +-++=C ．D ．()()22110x y x y +-++=10x y +-=【答案】B【分析】对于和，等价于；对于D ，画出的图象，存在直线A C 10x y +-=10x y +-=上的点不在曲线上，即可得出答案.10x y +-=C 【详解】对于和，等价于，即是曲线的方程，A C 10x y +-=C 对于D ，图象如下图，存在直线上的点不在曲线上，不符合题意.10x y +-=C故选:B16．如图，用35个单位正方拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点1234,,,P P P P 处.设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.{}1234Ω,,,P P P P =ΩP ∈P P l P l P l 用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和，若过的直线中有且只()1P D l ()2P D l P l P l P P l 有一条满足，则中所有这样的有（ ）()()12P P D l D l =ΩPA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，将“▲”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示则记为“▲”的四个点是，()()()()0,3,1,0,7,1,4,4A B C D 线段的中点分别为，,,,,DA AB BC CD ,,,E F G H 易知四边形为平行四边形，设其对角线交于，EFGH (),M x y 则.0MA MB MC MD +++= 由此求得与点重合，()3,2M 2P 根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点.P l 2P 而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条；1P 2P 3P 2P 过点和的直线有且仅有一条.4P 2P 所以符合条件的点是，故3个.134,,P P P 故选：D.三、解答题17．已知等比数列满足：,,且．{}n a 21a =4323a a -=50a >(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若数列的前n 项和为,求满足的n 的值．{}n a n S 55101000n S S S <<【答案】(1)；(2)．23n n a -=8,9,10,11n =【分析】(1)运用等比数列的通项公式,结合已知的等式可以求出等比数列的公比,写出通项公式即可；(2)求出数列的前n 项和为,解不等式求出n 的值.{}n a n S 55101000n S S S <<【详解】(1)设等比数列的公比为,因为,所以有{}n a q 4323a a -=或而,所以,222223233a q a q q q q -=⇒-=⇒=1q =-50a >3q =因此数列的通项公式为；{}n a 2223n n n a a q --==(2) ,因为,所以 1(1)1(31)16n n n a q q S -==--55101000n S S S <<,解得,解得 ()()()55111103131100031666n ⨯⨯-<-<⨯⨯-24213242001n <<.8,9,10,11n =【点睛】本题考查了求等比数列通项公式,考查了等比数列前n 项和公式,考查了数学运算能力. 18．如图，在正三棱柱中，是棱的中点111ABC A B C -16,AC CC M ==1CC(1)求证：平面平面；1AB M ⊥11ABB A (2)求与平面所成角的正弦值.1A M 1AB M 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.MO ⊥11ABB A 1AB M ⊥11ABB A （2）判断出与平面所成角，解直角三角形求得所成角的正弦值.1A M 1AB M 【详解】（1）连接交于点，连接，如图所示,1BA 1B A O ,MO MB 在正三棱柱中， 111ABC A B C -平面平面,1CC ⊥,ABC AC ⊂1,ABC CC AC ∴⊥是棱的中点，则同理16,AC CC M ==1CC AM ==1MB =在正方形中，是的中点，则, 11ABB A O 1B A 1MO B A ⊥同理可得是的中点，则, 1MB MA O ==1BA 1MO A B ⊥又平面，则平面, 1111,,A B B A O A B B A ⋂=⊂11ABB A MO ⊥11ABB A 又平面，则平面平面.MO ⊂1AB M 1AB M ⊥11ABBA（2）由（1）得平面平面，平面平面， 1AB M ⊥1111,ABB A A B B A ⊥1AB M 111ABB A AB =平面,1A B ⊂11ABB A 平面，则即为与平面所成的角， 1A B ∴⊥1AB M 1A MO ∠1A M 1AB M 又，11112A O AB MA ===在中，∴1Rt A MO △111sinA O A MO A M ∠==故与平面1A M 1AB M 19．已知圆和圆221:(3)(1)4C x y ++-=2222:(4)(5)(0)-+-=>C x y r r (1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示）1C 2C ,A B r AB r (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值:1l y kx=+1C,P Q 4OP OQ =⋅ k 【答案】(1)；)22148350x y r +-+=【分析】（1）根据两圆相交，得到，求出的取值范围，两圆相减得到相交弦1222r C C r -<<+r 即直线的方程；AB （2）联立直线与圆，得到两根之和，两根之积，利用求出的值，并结:1l y kx =+1C 4OP OQ =⋅ k 合根的判别式舍去不合要求的根.【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为，1C ()3,1-2C ()4,5r因为圆与圆相交于两点，则， 1C 2C ,A B 22r r -<<+解得，)2r ∈+与相减得， 221:(3)(1)4C x y ++-=2222:(4)(5)(0)-+-=>C x y r r 直线的方程为；AB 2148350x y r +-+=（2）设，则联立， ()()1122,,,P x y Q x y ()()223141x y y kx ⎧++-=⎪⎨=+⎪⎩得，()221650k x x +++=则， ()224Δ3645105k k =-⨯⨯+>⇒<则， 12122265,11x x x x k k +=-=++，4OP OQ ⋅= ()()()()21212121212121111x x y y x x kx kx k x x k x x ∴+=+++=++++ ()222561111k k k k -=+⨯+⨯+++， 2266641k k k -+==+解得， k =k =其中不满足，舍去， k =245k <k =则实数k 20．已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（0l ()2,1P :l y x =x i A 不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线N,1,i i i A ∈≥i ()N,1i l i i ∈≥i 所在的直线(1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程；0:23,i l y x A =-x (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光()0,1n n k k ≠±n l :l y x =()110,1n n k k ++≠±线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由；1n l +1,n n k k +(3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的0l {}N,1i A i i ∈≥∣0l 方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第{}N,1i A i i ∈≥∣n n一个反射点的轨迹方程.1A 【答案】(1) 1322y x =-(2)，理由见解析11n n k k +=(3)的最大值为取最大值4时，的轨迹方程为或 n 4,n 1A (01)y x x =<<0(01)y x =<<【分析】（1）根据题意确定即可确定最后一条反射光线的方程； 123,,A A A （2）由于和直线的夹角相等得，即可得两条光线的斜率之间n l 1n l +y x =11111111n n n n k k k k ++--=+⋅+⋅1,n n k k +的关系；（3）由题意得当且时停止反射，设的斜率为，对进行分类讨论确定每[]0,1(N n k n ∈∈1)n ≥0l 0k 0k 种情况下的反射次数，即可得的最大值，及的轨迹方程.n 1A 【详解】（1）由题可得的斜率为，故的方程为， 113,0,2A l ⎛⎫ ⎪⎝⎭2-1l 23y x =-+联立，解得，则， 23y x y x =-+⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩()21,1A 设关丁的对称点为，所以， 13,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x =(),a b 32022301232ab a b b a ⎧+⎪==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=-⎩⎪-⎪⎩则关丁的对称点为， 13,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x =30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭经过和，故的直线方程为， 2l ()1,130,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2l 1322y x =-+所以，的斜率为，故的直线方程为， ()33,0A 3l 123l 1322y x =-后面不会再进行反射，所以最后一条反射光线的方程为. 1322y x =-（2）由于和直线的夹角相等得夹角正切值相等，则， n l 1n l +y x =11111111n n n n k k k k ++--=+⋅+⋅所以或， 11111111n n n n k k k k ++--=+⋅+⋅11111111n n n n k k k k ++--=-+⋅+⋅解得（舍）或.1n n k k +=11n n k k +=（3）由题意得当且时光线停止反射，设的斜率为，[]0,1(N n k n ∈∈1)n ≥0l 0k 1）当在直线上时，或不存在， 1A l ()01,1,2k ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭0k ①当时，，反射1次； ()01,k ∞∈+()1010,1k k =∈②当时，，反射2次； (]0,1k ∞∈--[)(]121011,0,0,1k k k k =∈-=-∈③当时，，反射3次； ()01,0k ∈-()()()12130211,1,1,,0,1k k k k k k ∞∞=∈--=-∈+=∈④当时，不存在，不存在，，反射3次；00k =1k 2k 30k =⑤当时，，反射4010,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1213430211112,,,2,,0,0,22k k k k k k k k ∞∞⎛⎫⎛⎫=∈+=-∈--=∈-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭次；⑥当不存在时，，反射1次；0k 10k =2）当在轴上时，或不存在， 1A x ()01,0,2k ∞∞⎡⎫∈-⋃+⎪⎢⎣⎭0k ①当时，，反射2次； ()0,1k ∞∈--()()102111,,0,1k k k k ∞=-∈+=∈②当吋，，反射1次；[)01,0k ∈-(]100,1k k =-∈③当时，，反射401,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1023241311111,,2,1,1,2,,122k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=-∈--=∈--=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭次；④当时，反射3次； [)01,k ∞∈+(][)(]1023211,1,1,0,0,1k k k k k k ∞=-∈--=∈-=-∈⑤当不存在时，不存在，，反射2次；0k 1k 20k =综上，的最大值为4，由1），2）可知，取最大值4时，的轨迹方程为或n n 1A (01)y x x =<<.0(01)y x =<<【点睛】关键点睛，本题第3小问的解决关键是结合题意，确定当且时光线[]0,1(N n k n ∈∈1)n ≥停止反射，同时，光线与轴发生镜面反射时，前后光线斜率关系为；光线，光线与直线x 1n n k k +=-发生镜面反射时，前后光线斜率关系为，由此得解. :l y x =11n n k k +=。
上海市高二(下)数学期末复习(含答案)
高二（下）数学期末复习一．填空题：1．计算：2(12)(32)1i i i +-++＝ 8＋3i ． 2．ϑ∈(π，23π)，直线l ：ϑsin x ＋ϑcos y ＋1＝0的倾角α＝ 2π－ϑ ． 3. 与两平行直线1l ：3x －y ＋9＝0与2l ：3x －y －3＝0等距离的直线方程 为： 3x －y ＋3＝0 ．4．在复平面上，满足条件2＜|z |≤4的复数z 所对应的点Z 组成的图形的面积是 12π ．5．一条渐近线方程3x ＋4y ＝0，且经过点是(4，6)的双曲线标准方程是272y －482x ＝1． 6．与直线y ＝x ＋1平行，被椭圆2244x y +=截得的弦长为2的直线l 的方程是： y ＝x ±455 ． 7．若|ia ai 222+-|＝2，则实数a 的值是： ±3 ． 8．已知复数1z ＝3＋4i ，2z ＝t ＋i ，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于 34． 9．直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则a 、b 的位置关系是 平行或异面 ．10．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，则AD 、BC 所成角为 60o ．11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1和BB 1的中点，则异面直线C 1M 与DN 所成角的大小为 91arccos ． 12．已知命题：椭圆252x ＋92y ＝1与双曲线112x －52y ＝1的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：椭圆22a x ＋22b y ＝1与双曲线22c x －22dy ＝1)(2222d c b a +=-的焦距相等 ． 二．选择题：13．设M 、N 是空间四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，则下列答案中正确的是（ B ）（A ）MN ＝(21AB ＋CD )； （B ）MN ＜(21AB ＋CD )； （C ）MN ＞(21AB ＋CD )； （D ）MN 与(21AB ＋CD )的大小关系不确定． 14．命题甲：“双曲线C 的方程为22a x －22by ＝1(a ＞0，b ＞0)”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ab ”，那么甲是乙的（ A ） （A ）充分不必要条件；（B ）必要不充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件．15．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ D ）（A ）若22120z z +>，则2212z z >-； （B ）若22120z z +=，则120z z ==；（C ）12z z -= （D ）11z z -是纯虚数或零．16．在实数集R 上定义运算⊕：y y x y x -++=⊕1222，则满足x y y x ⊕=⊕的实数对)(y x ，在平面直角坐标系内对应点的轨迹是（ D ）（A ）一个圆； （B ）双曲线； （C ）一条直线； （D ）两条直线．三．解答题：17．已知z 、ω为复数，(13)i z +为实数，ω＝i z +2，且|ω|＝52，求复数ω． 解：设ω＝x ＋yi （x ，y ∈R ），ω＝iz +2⇒z ＝ω)2(i +． (13)i z +＝ω)2)(31(i i ++＝))(71(yi x i ++-＝－x －7y ＋i y x )7(-，依题意(13)i z +为实数，且|ω|＝52，∴227050x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得17x y =⎧⎨=⎩或17x y =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i ．18．已知1z 、2z 是实系数一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0的两个虚根，且1z 、2z 满足方程21z ＋2)1(z i -＝i i ++-182，求p 、q 的值． 解：ii ++-182＝3＋5i ． 设1z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则2z ＝a －bi ．代入并化简得：(3a －b )＋i a b )(-＝3＋5i ，解得49a b ⎧=⎨=⎩． ∴p ＝－(1z ＋2z )＝－2a ＝－8，q ＝21z z ⋅＝2a ＋2b ＝97．19．已知动圆过定点F (21，0)，且与定直线l ：x ＝－21相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设点O 为坐标原点， P 、Q 两点在动点M 的轨迹上，且满足OP ⊥OQ ，OP ＝OQ ，求等腰直角三角形POQ 的面积．解：（1）根据抛物线定义可得动圆圆心M 的轨迹方程为2y ＝2x ；（2）因为OP ⊥OQ ，设直线OP 的方程为y ＝kx ，则直线OQ 的方程为y ＝－x k 1， 解得点P 、Q 的坐标分别为(22k ，k 2)，(22k ，23k )． 由OP ＝OQ ，得：24k ＋44k＝44k ＋46k ，8k ＝1， 可得点P 、Q 坐标分别为(2，2)，(2，－2)．∴POQ S ＝2||21OP ＝4．20．如图：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝6，AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1和BC 的中点．求：（1）A 1B 与B 1C 所成的角；（2）MN 与AC 所成的角；（3）MN 与平面ABCD 所成的角．解：（1）102arccos ； （2）13132arctan ； （3）13132arctan．。
上海市复旦附中高二(下)数学周周练试卷(十三) (含答案)
复旦附中高二数学第二学期周末练习（13）1．已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B = ．2．已知z ∈C 且满足15z =-i ，求z = ． 3．i 是虚数单位，则51-+ii的值为 ．4．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②m α∥；②l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．5．已知向量(1,0,2)a =，(2,1,0)b =，则a 与b 的夹角为 ． 6．已知二项式5(21)x +，则展开式中含2x 项的系数为 ．7．在二项式9)x 的展开式中，系数为有理数的项的个数是 ．8．过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-，则λ= ．9．某三位数密码，每位数字可在0-9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是 ． 10．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．11．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．12．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ． 13．已知直线方程20x y c -+=的一个方向向量d 可以是（ ）A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(1,2)14．设复数z 满足||1z -=i ，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=15．一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两条直角边旋转得到的两个圆锥的体积的比值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．816．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱V A 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ< 17．设2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++，4n ≥，n *∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(13)3n a b +=+，其中,a b *∈N ，求223a b -的值．18．如图，在长方体1111A BCD A B C D -中，M 为1BB 上一点．已知2BM =，4AD =，3CD =，15A A =．（1）求直线1A C 与平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A M C 的距离．19．如图，直四棱柱1111A BCD A B C D -的底面是菱形，14A A =，2AB =， 60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）证明：MN ∥平面1C DE ； （2）求二面角1A M A N --的正弦值．20．已知椭圆22184x y +=，1F 、2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||A B ；（2）当190F A B ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1A F 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F A B F M N S S =△△， 若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．21．若{}n a 是等差数列，公差(0,]d ∈π，数列{}n b 满足：sin()n n b a =，n *∈N ， 记{|,}n S x x b n *==∈N ． （1）设10a =，23d π=，求集合S ； （2）设12a π=，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素； （3）若集合S 恰有三个元素，且n T n b b +=，其中T 为不超过7的正整数，求T 的所有可能值．参考答案1．(2,3) 2．5+i3 4．若①③，则②；若②③，则① 5．2arccos56．40 7．5 8．3 9．27100 10．0.18 11．4π 12．5313．D 14．C 15．B 16．B【第9题解析】方法一（直接法）：概率为2121023310C C C P ⨯⨯=（分子依次表示密码中出现哪两个数字，哪一个数字出现两次以及该数字出现在哪两个位置）；方法二（排除法）：概率为1310103110C P P +=-（排除密码中三个数字都一样或都不一样的情况）．【第10题解析】即求甲队在第5场比赛取胜，且在前4场比赛中有且仅有1场失利（即1场主场失利或1场客场失利），∴所求概率为121222[0.6(10.6)0.50.60.5(10.5)]0.60.18C C ⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯-⨯=．【第11题解析】由题意，圆柱的高为四棱锥高的一半，为1；底面圆的半径为四棱锥底面中心到底面顶点的长度的一半，为12；∴圆柱的体积为221124πV πr h π⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭．17．（1）因为0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++，4n ≥，所以22(1)2n n n a C -==，33(1)(2)6n n n n a C --==，44(1)(2)(3)24n n n n n a C ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)26224n n n n n n n n n ------⎡⎤=⨯⨯⎢⎥⎣⎦． 解得5n =．（2）由（1）知，5n =．502233445555555(1(1n C C C C C C a +==++++=+．解法一：因为,a b *∈N ，所以0245553976a C C C =++=，1355553944b C C C =++=， 从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1(((((C C C C C C =+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为,a b*∈N ，所以5(1a -=-因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．18．在长方体1111A BCD A B C D -中，因为1A A ⊥平面ABCD ，所以AC 为1A C 在平面ABCD 内的射影，故1A CA ∠为直线1A C 与平面ABCD 所成的角．在1Rt A CA △中，5A C ==，15A A =，于是11tan 1A AA CA A C∠==，得14A CA ∠=π．因此，直线1A C 与平面ABCD 所成角的大小为4π； （2）以A 为原点，AB ，A D ，1A A 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，1(0,0,5)A ，(3,4,0)C ，(3,0,2)M ．设向量(,,)n u v w =是平面1A M C 的法向量，则1n CA ⊥，n CM ⊥．因为1(3,4,5)CA =--，(0,4,2)CM =-，10n CA ⋅=，0n CM ⋅=， 所以3450,420u v w v w --+=⎧⎨-+=⎩．取1u =，得平面1A M C 的一个法向量11,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又(3,4,0)A C =，于是点A 到平面1A M C 的距离||103||n A C d n ⋅==． 19．（1）连结1B C ，M E ．因为M ，E 分别为1BB ，BC 的中点， 所以1M E B C ∥，且112M E B C =．又因为N 为1A D 的中点，所以112N D A D =．由题设知11A B DC ∥，可得11B C A D ∥，故M E N D ∥，因此 四边形MEN D 为平行四边形，MN ED ∥．又MN ⊄平面1EDC ， 所以MN ∥平面1C DE ．（2）由已知可得DE DA ⊥．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，1(2,0,4)A ，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(3,2)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,3,0)M N =．设(,,)m x y z =为平面1A M A 的法向量，则110,0m A M m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以320,40x y z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩．可取(3,1,0)m =．设(,,)n p q r =为平面1A M N 的法向量，则10,0n M N n A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以30,20q p r ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩．可取(2,0,1)n =-．于是2315cos ,||||25m n m n m n ⋅<>===⨯，所以二面角1A M A N --10．20．（1）由题意，2(2,0)F ，直线l 的方程为2x =，代入椭圆Γ的方程，解得2y = 因此，||22A B =（2）设(,)(0)A x y y >，由1(2,0)F -，2(2,0)F ，及190F A B ∠=︒，得A 点坐标满足方程224x y +=．由题意，点A 的坐标为方程组22221,844,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的实数解，解得0,2x y =⎧⎨=⎩． 故点A 的坐标为(0,2)． 直线l 的方程为2y x =-+．由题意，点,A B 的坐标为方程组221,842,x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩的实数解， 可得点B 的坐标为82,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ．显然直线l 的方程不为0y =，可设直线l 的方程为2x my =+． 点,A B 的坐标为方程组221,842,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩的实数解， 消x ，得22(2)440m y my ++-=，于是12242m y y m -+=+，12242y y m -⋅=+． 又直线1A F 的方程为11(2)2y y x x =++，可得为13122y y x =+，同理24222y y x =+． 由11F A B F M N S S =△△，得121213411||||||||22F F y y F O y y ⋅⋅-=⋅⋅-（O 为坐标原点）．其中121||2||F F F O =，1212342121212228||||22|4()16|y y y y y y x x m y y m y y --=-=+++++，结合韦达定理，代入上式，可解得m =因此，存在直线l，其方程为20x ±-=，使得11F A B F M N S S =△△． 21．（1）()()12113n n a a n d -π=+-=，()()21sin sin 3n n n b a -π⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，10b =，2b =3b =40b =，5b =6b =，…，也即320n b -=，3132n b -=，332n b =-，②33,0,22S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （2）②{}n b 的最小正周期为2， 则()()31sin sin sin 212a a d π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭，()()2222d k k d k k ππ⇒+=π+∈⇒=π∈Z Z ， 又(]0,d ∈π，②d =π，此时，211n b -=，21n b =-，{}1,1S =-，符合题意； ②{}n b 的最小正周期为3，则()()41sin sin sin 312a a d π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭，()()232223k d k k d k πππ⇒+=π+∈⇒=∈Z Z ， 又(]0,d ∈π，②23d π=， 此时，321n b -=，313212n n b b --==-，1,12S ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合题意；综上，23d π=或d =π； （3）显然()37T T *∈N ≤≤由sin sin 22x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以及单位圆的知识可得3T =：只要保证构造的单位圆上三点纵坐标均不相等即可（如图1所示）可构造10a =，23d π=，例子不唯一；4T =：只要保证构造的单位圆上四点纵坐标有且仅有两个相等即可（如图2所示）可构造10a =，2d π=，例子不唯一； 5T =：只要保证构造的单位圆上五点纵坐标有两组分别相等即可（如图3所示）（图1）（图2）可构造13 10aπ=，25dπ=，例子不唯一；6T=：②3T=时的例子仍然符合题意；②只要保证构造的单位圆上六点纵坐标有三组分别相等即可（如图4所示）可构造1a=，3dπ=，例子不唯一；7T=：意味着构造的单位圆上的七点，至少有三个点纵坐标相等，显然不成立；综上，符合题意的T的所有可能的值为3、4、5、6．（图4）（图3）。
高二数学作业本参考答案
高二数学作业本参考答案高二数学作业本参考答案作为高二学生，数学课程对于我们来说是非常重要的一门学科。
数学作业本是我们在课后进行巩固和练习的重要工具，而作业本参考答案则是我们检查答案和纠正错误的依据。
在这篇文章中，我将为大家提供一些高二数学作业本的参考答案，希望能帮助大家更好地学习和掌握数学知识。
第一章：函数与方程1. 解方程：a) 2x + 3 = 9解：将3移到等号右边，得到2x = 9 - 3，即2x = 6，再除以2，得到x = 3。
b) 4x - 5 = 3x + 2解：将3x移到等号左边，将-5移到等号右边，得到4x - 3x = 2 + 5，即x= 7。
2. 求函数的定义域：a) f(x) = √(x - 3)解：由于根号内的值不能为负数，所以x - 3 ≥ 0，即x ≥ 3。
因此，函数的定义域为[3, +∞)。
b) g(x) = 1/(x + 2)解：由于分母不能为0，所以x + 2 ≠ 0，即x ≠ -2。
因此，函数的定义域为(-∞, -2) ∪ (-2, +∞)。
第二章：数列与数学归纳法1. 求等差数列的通项公式：a) 2, 5, 8, 11, ...解：首项为2，公差为3，通项公式为an = 2 + 3(n - 1)。
b) 3, 6, 12, 24, ...解：首项为3，公比为2，通项公式为an = 3 × 2^(n - 1)。
2. 求等差数列的前n项和：a) 1, 3, 5, 7, ...解：首项为1，公差为2，前n项和的公式为Sn = (2n^2 - n) / 2。
b) 2, 4, 6, 8, ...解：首项为2，公差为2，前n项和的公式为Sn = n^2。
第三章：平面几何1. 求三角形的面积：a) 已知底边和高：底边长为5，高为4。
解：三角形的面积为(1/2) × 5 × 4 = 10。
b) 已知三边长：三边长分别为3、4、5。
解：利用海伦公式，设半周长为s，s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6，三角形的面积为√(6 × (6 - 3) × (6 - 4) × (6 - 5)) = 6。