上海市高二数学下学期期末考试试题(含解析)
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.________________ ．2.已知复数满足是虚数单位)，则_____________．3.已知是纯虚数，是实数，则4.已知，求=5.复数的值是．6.若关于x的一实系数元二次方程有一个根为，则______7.设复数，则=_____________．8.若且的最小值是_____________9.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为（结果用反三角函数值表示）|为直径的圆的面积为______．10.，那么以|z111.用一个平面去截正方体。
其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是条12.已知空间四边形，、分别是、中点，，，，则与所成的角的大小为_________二、选择题1.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是（）A．>B．=C．<D．=z22.在复平面内，若复数对应的向量为，复数对应的向量为，则向量对应的复数是（）A．1B．C．D．3.如图，正方体中，若分别为棱的中点，、分别为四边形、的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是（）（A）（B）（C）（D）4.若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交三、解答题1.（本小题满分10分）已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R ， 若<|z 1|，求a 的取值范围.2.（本小题满分12分） 如图，长方体中，AD=2，AB=AD=4，，点E 是AB 的中点，点F 是的中点。
（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小；（本题满分12分） 已知，且以下命题都为真命题： 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数； 命题存在复数同时满足且.求实数的取值范围.3.（本小题满分14分）已知实系数一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集，集合，则2.若复数满足（是虚数单位），则3.已知直线的倾斜角大小是，则4.若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是5.已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为6.已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为7.函数的最小正周期8.若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数9.执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是10.已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11.某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12.各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是.13.已知两个不相等的平面向量，()满足||＝2，且与－的夹角为120°，则||的最大值是14.给出30行30列的数表：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数按顺序构成数列，存在正整数使成等差数列，试写出一组的值二、选择题1.已知，，则的值等于（）A．．B．．C．．D．．2.已知圆的极坐标方程为，则“”是“圆与极轴所在直线相切”的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分又不必要条件．3.若直线经过点，则（）A．．B．．C．．D．．4.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合：①②③④其中所有“集合”的序号是（）A．②③．B．③④．C．①②④．D．①③④．三、解答题1.在棱长为的正方体中，分别为的中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小．2.如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是半径的中点，求线段的大小；（2）设，求△面积的最大值及此时的值．3.已知函数．（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．4.已知点，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为，．（1）若坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，是圆上另外一点，求实数的取值范围；（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．5.已知数列的前项和为，且满足 ()，，设，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若≥，，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成(且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知全集，集合，则【答案】【解析】根据题意，由于全集，集合={x|x>3或x<-1}因此结合数轴法可知，。
上海市中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析
上海市中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则a5等于（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：B【考点】8H：数列递推式．【分析】利用已知条件逐步求解即可．【解答】解：4S n=n（a n+a n+1），可得4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，a2=3a1，a3=5a1，从而36a1=3（5a1+7），a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，4S4=4（a4+a5），解得a5=9．故选：B．2. =（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】根据排列数公式计算即可．【解答】解： ===．故选：D．3. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：千瓦·时）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（）A. 56千瓦·时B. 62千瓦·时C. 64千瓦·时D. 68千瓦·时参考答案：A【分析】根据回归直线方程经过样本中心点，求得，代入回归直线可求得；代入回归方程后，可预报当气温为℃时，当天的用电量。
【详解】代入回归直线方程，求得所以回归直线方程为当温度为2℃时，代入求得千瓦·时所以选A【点睛】本题考查了回归方程的简单应用，注意回归直线方程一定经过样本的中心点，而不是样本的某个点，属于基础题。
4. 复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（）A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的答案．【解答】解：∵z=（1﹣i）（4﹣i）=3﹣5i，∴，则复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为5．故选：D．5. 若等于（）A．2 B．－2 C．D．参考答案：D略6. 设f n（x）是等比数列1，﹣x，x2，…，（﹣x）n的各项和，则f2016（2）等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵f n（x）是等比数列1，﹣x，x2，…，（﹣x）n的各项和，x≠﹣1时，∴f n（x）=．∴f2016（2）==．故选：C．7. 已知集合，，则（）A． B． C．D．参考答案：C8. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）A．双曲线 B 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线参考答案：D略9. 设函数，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（）A．（-，2）B．（-，C．（-，）D．参考答案：B略10. 双曲线的渐近线的方程和离心率分别为( )A. B.C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为_______．参考答案：1812. 由直线,,与曲线所围成的封闭图形的面积为 .参考答案：略13. 已知实数满足则的最小值是.参考答案：-514. 某单位有甲、乙、丙三个部门，分别有职员27人、63人和81人，现按分层抽样的方法从各部门中抽取组建一个代表队参加上级部门组织的某项活动；其中乙部门抽取7人，则该单位共抽取__________人。
上海市数学高二下期末经典测试(含答案解析)
一、选择题1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形2．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π3．已知向量a 、b 、c 满足a b c +=，且::1:1:2a b c =a 、b 夹角为（ ） A ．4π B ．34π C ．2π D ．23π 4．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°D ．45°5．已知π(,π)2α∈，π1tan()47α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17-B ．25-C ．15-D ．156．若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π7．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56π B ．53πC ．116πD ．23π 8．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．23C ．2D ．39．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,1)P --，则sin(2)2πα-=（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12-10．已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-11．已知复数1cos 2()z x f x i =+，()23sin cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（） A ．14-B ．14C ．12-D ．1212．已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示.则()y f x =的图象，可由函数cos y x =的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位13．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为314．若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A ．223+B ．23C ．4D ．1215．如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（ ）A ．1122a b + B ．1124a b + C ．1142a b + D ．1144a b + 二、填空题16．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP CB λ=，当PA PC ⋅取到最小值时，λ的值为_________ .17．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______．18．如图在ABC 中，AC BC =，2C π∠=，点O 是ABC 外一点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．19．已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a ﹣b |=3，则a 在b 方向上的投影是__________．20．已知函数()2cos sin 2=-f x x x ，则()f x 的最大值是__________． 21．已知向量a ，b 满足1a =，且()2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．22．计算：2tan81tan8ππ=- __________．23．已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________24．在三角形ABC 所在平面内有一点H 满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+,则H 点是三角形ABC 的___________.25．若x 2+y 2=4,则x −y 的最大值是三、解答题26．已知向量()2sin ,3cos a x x =，()sin ,2sin b x x =，函数()f x a b =⋅ （1）求的单调递增区间；（2）若不等式都成立，求实数m 的最大值．27．已知23cos()(,)41024x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.28．在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.29．已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tanα＝12，求： (1)tan2α的值； (2)sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 30．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1． （1）求常数a 的值；（2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．B 11．B 12．B 13．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算17．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB18．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m则由余弦定理把m表示出来利用四边形OACB面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m则由余19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影20．【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性得到函数的单调区间进而得到函数的最值详解：函数设函数在故当t=时函数取得最大值此时故答案为：点睛：这个题目考查了函数最值的求法较为简单求函数的值域或者最值常用21．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小22．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：23．【解析】由题意得24．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y的最大值【详解】由题意可知xy表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c三、解答题27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由AB DC=可得四边形为平行四边形，由AC·BD＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵AB DC=，∴AB与DC平行且相等，∴四边形ABCD为平行四边形．又0⋅=，AC BD⊥，∴AC BD即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫++=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 2+=+232k ππϕπ∴，12k πϕπ∴=+0ϕ>，∴当0k =时，min 12πϕ=，故选C【点睛】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化3．C解析：C 【解析】 【分析】对等式a b c +=两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出0a b ⋅=，由此可求出a 、b 的夹角. 【详解】等式a b c +=两边平方得2222a a b b c +⋅+=，即2222cos a b b c a θ+⋅+=，又::1:1:a b c =0a b ⋅=，a b ∴⊥，因此，a 、b 夹角为2π，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角.【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-，即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=-故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】 向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos6x π==x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．8．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．9．D解析：D 【解析】 试题分析：因,则,故sin(2)2πα-,选D ．考点：三角函数的定义．10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合诱导公式可得：4sin cos 25παα⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 则2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)23cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos 3cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象可知1A =，根据周期为π知=2ω，过点(,1)12π求得3πϕ=，函数解析式()sin(2)3f x x π=+，比较解析式cos sin()2y x x π==+，根据图像变换规律即可求解.【详解】由()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象可得1A =,11244126T πππω=⋅=+，解得=2ω，图象过点(,1)12π，代入解析式得1sin(2)12πϕ=⨯+，因为2πϕ<，所以3πϕ=，故()sin(2)3f x x π=+，因为cos sin()2y x x π==+，将函数图象上点的横坐标变为原来的12得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移12π个单位得sin[2()]sin(2)()1223y x x f x πππ=-+=+=的图象，故选B. 【点睛】本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.13．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．14．B解析：B【解析】【分析】将a b+平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.【详解】因为2222cos6044412a b a a b b+=+︒+=++=，所以23a b+=，故选：B.【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb+这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出．详解：∵在ABC∆中，BE是AC边上的中线∴12 AE AC=∵O是BE边的中点∴1()2AO AB AE=+∴1124AO AB AC =+ ∵,AB a AC b == ∴1124AO a b =+ 故选B.点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算解析：18【解析】 【分析】将PA PC ⋅用AB ，AC 表示出来，注意AB ，AC 的数量关系，再根据λ的二次函数求最值. 【详解】设AC a =，因为90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，所以3AB a =，2BC a =；22()()PA PC PC CA PC BC CA BC BC BC CA λλλλ⋅=+⋅=+⋅=+⋅，所以22222142cos1204()816a PA PC a a a a λλλ⋅=+⋅⋅⋅︒=--，故当18λ=时，PA PC⋅有最小值. 【点睛】图形中向量的数量积问题，主要是将未知的向量用已知的向量表示，这样可以方便计算.17．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB解析：6 【解析】 【分析】由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得21233y y y ++=， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=，故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴21233y y y ++=，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．18．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m 则由余弦定理把m 表示出来利用四边形OACB 面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC 为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m 则由余解析：5+ 【解析】分析：利用余弦定理，设AOB α∠=,设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理把m 表示出来，利用四边形OACB 面积为S=24sin 4sin 2OACB ABC m S S αα∆∆=+=+．转化为三角形函数问题求解最值．详解：△ABC 为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理，42+22﹣2m 2=16cos α，∴2108cos m α∴=-．108cos 4sin 4sin 4sin 4cos 52OACB ABC S S ααααα∆∆-∴=+=+=-+)554πα=-+≤.当34απ=时取到最大值5+.故答案为5+点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设AOB α∠=，再建立三角函数的模型.19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影 解析：12【解析】分析：根据向量的模求出a •b =1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵|a |=1，|b |=2，|a ﹣b ∴|a |2+|b |2﹣2a •b =3， 解得a •b =1， ∴a 在b 方向上的投影是a b b⋅=12， 故答案为12点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．20．【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性得到函数的单调区间进而得到函数的最值详解：函数设函数在故当t=时函数取得最大值此时故答案为：点睛：这个题目考查了函数最值的求法较为简单求函数的值域或者最值常用解析：2【解析】分析：对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的单调区间，进而得到函数的最值. 详解：函数()2cos sin2f x x x =-，()22sin 2cos24sin 2sin 2,f x x x x x =----'=设()()[]2sin ,422,1,1t x f x g t t t t ===--∈-'，函数在11-1-122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故当t=12-时函数取得最大值，此时,66x f ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故答案为：2. 点睛：这个题目考查了函数最值的求法，较为简单，求函数的值域或者最值常用的方法有：求导研究单调性，或者直接研究函数的单调性，或者应用均值不等式求最值.21．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒【解析】 【分析】先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为1a =，且()2a a b ⋅-=，所以2-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=-因此112πcos ,,1223a b a b a b a b⋅-===-∴=⨯⋅. 【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅；二是坐标公式cos θ=；三是几何方法，从图形判断角的大小.22．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：解析：12【解析】 根据正切公式的二倍角公式得到22tan 8tantan 21481tan 8ππππ=⨯==-，2tan1821tan 8ππ=-. 故答案为：12. 23．【解析】由题意得解析：4-5【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255ααααα=∈∴=+=-=- 24．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想解析：垂心 【解析】 【分析】根据向量运算,用,,HA HB HC 表示出向量,,CA AB BC ,可得HC AB ⊥,从而可得. 【详解】因为BC HC HB =-,CA HA HC =-,AB HB HA =- 所以2222)(()HC HA HB HB HA HC +=--+ 整理得()0HC HB HA ⋅-=,0HC AB ⋅=,即AB HC ⊥; 同理可得AC HB ⊥,BC HA ⊥. 所以可知H 为垂心.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，三角形垂心的向量表示，考查转化化归思想.25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y 的最大值【详解】由题意可知xy 表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c 解析：2√2【解析】 【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题，然后结合辅助角公式即可确定x −y 的最大值. 【详解】由题意可知(x,y )表示坐标原点为圆心，2为半径的圆上的点，设点的坐标为(2cosθ,2sinθ)，则x −y =2cosθ−2sinθ=−2√2sin (θ−π4)， 当sin (θ−π4)=−1时，x −y 取得最大值2√2. 【点睛】本题主要考查三角函数最值的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26． （1）（2）0【解析】试题分析：解：（1）2()2sin 23sin cos f x x x x =+1cos 223sin cos x x x =-+3sin 2cos 21x x =-+2sin(2)16x π=-+由222()262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得所以的单调增区间是(6分)（2）因为所以所以()2sin(2)1[0,3].6f x x π=-+∈所以0m ≤，m 的最大值为0. (12分) 考点：三角恒等变换，三角函数性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．27．(1)45；(2)2450+-. 【解析】【分析】 【详解】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()4x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-45=+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=-所以中sin(2)sin 2coscos 2sin333x x x πππ+=+= 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.28．(Ⅰ) 14-；(Ⅱ) 716-.【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cos B 的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】(Ⅰ)在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =. 又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =. 由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=2224161992423a a aa a +-==-⋅⋅. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-.故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.29．（1）43（2）410＋ 【解析】 (1)因为tanα＝12，所以tan2α＝22413tan tan αα＝－. (2)因为α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2α∈(0，π)． 又tan2α>0，所以sin2α＝45，cos2α＝35. 所以sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin2αcos3π＋cos2αsin 4133525π⨯＝＋ 30．（1）1a =-，（2）2|22,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】试题分析：（1）()(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )cos 6666f x x x x x x a ππππ=++-++cos x x a =++2sin()6x a π=++ ∴max ()21f x a =+=，∴1a =-（2）∵()2sin()16f x x π=+-，∴2sin()106x π+-≥，∴1sin()62x π+≥， ∴522,666k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得222,3k x k k πππ≤≤+∈Z ， ∴使()0f x ≥成立的x 的取值集合为2|22,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 考点：本题考查了三角函数的变换及三角不等式的解法点评：，对三角函数性质和图象的综合考查主要体现为一个题目中考查三角函数的多种性质及图象的变换、作法等.在其具体的解题过程中，一般都需要先将三角函数的解析式转化为只含有一种函数、一个角(ωx ＋Φ)的形式，再根据题目具体的要求进行求解.。
上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含参考答案)
上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2p x的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．；二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？；20．设直线 y= x +2 与双曲线﹣ =1 交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，求：（1）以线段 AB 为直径的圆的标准方程；（2）若 OA 、OB 所在直线的斜率分别是 k OA 、k OB ，求 k OA •k OB 的值．21．已知复数 α 满足（2﹣i ）α=3﹣4i ，β=m ﹣i ，m ∈R ． （1）若|α+β|＜2| |，求实数 m 的取值范围；（2）若 α+β 是关于 x 的方程 x 2﹣nx +13=0（n ∈R ）的一个根，求实数 m 与 n 的值．22．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，PA ⊥底面 ABCD ，E 为 BC 的中点，PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan．（1）求证：CD ⊥PD ；（2）求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）（3）若直线 PE 、PB 与平面 PCD 所成角分别为 α、β，求的值．23．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到定点 F （0，﹣1）的距离与 P 到定直线 y=﹣2 的距离的比为 ，动点 P 的轨迹记为 C ． （1）求轨迹 C 的方程；（2）若点 M 在轨迹 C 上运动，点 N 在圆 E ：x 2+（y ﹣0.5）2=r 2（r ＞0）上运动，且总有|MN |≥0.5， 求 r 的取值范围；（3）过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 交轨迹 C 于 A 、B 两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点 T ，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点 T 的坐标．若不存在，请说明理由．上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2p x的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2p x的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．=．∴圆锥的体积V=故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为：+1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos （结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C 的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．； （三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是 3 米，底面的边长是 8 米： （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计） （2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】 1）求出正四棱锥形的体积即可； （2）求出斜高，在计算侧面积．【解答】解：（1）V= S正方形 ABCDh= =64．∴正四棱锥形冷水塔的容积为 64 立方米．（2）取底面 ABCD 的中心 O ，AD 的中点 M ，连结 PO ，OM ，PM ． 则 PO ⊥平面 ABCD ，PM ⊥AD ，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5，∴S △PAD == =20．∴S 侧面积=4S △PAD =80．∴制造这个冷水塔的侧面需要 80 平方米的钢板．（ （20．设直线 y= x +2 与双曲线﹣ =1 交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，求：（1）以线段 AB 为直径的圆的标准方程；（2）若 OA 、OB 所在直线的斜率分别是 k OA 、k OB ，求 k OA •k OB 的值．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】 1）联立方程组，消去 y 得关于 x 的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求 出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线 y= x +2 代入设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则 x 1+x 2=4，x 1x 2=﹣14，则 AB 的中点 C 的横坐标 x=|AB |=则半径 R=，则圆的标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=﹣ =1 得 x 2﹣4x ﹣14=0，，纵坐标 y== =．，即圆心 C （2，3），=3 ，（2）若 OA 、OB 所在直线的斜率分别是 k OA 、k OB ，则 k OA = ，k OB =，则 k OA •k OB == = = =﹣．21．已知复数 α 满足（2﹣i ）α=3﹣4i ，β=m ﹣i ，m ∈R ． （1）若|α+β|＜2| |，求实数 m 的取值范围；（2）若 α+β 是关于 x 的方程 x 2﹣nx +13=0（n ∈R ）的一个根，求实数 m 与 n 的值． 【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算． 【分析】 1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出； （2）根据韦达定理即可求出．；（【解答】解：（1）∵（2﹣i ）α=3﹣4i ，∴a==2﹣i ，∴α+β=2+m ﹣2i ， ∵|α+β|＜2| |，∴（2+m ）2+4＜4（4+1）， 解得﹣6＜m ＜2，∴m 的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β 是关于 x 的方程 x 2﹣nx +13=0（n ∈R ）的一个根， 则 2+m +2i 也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，PA ⊥底面 ABCD ，E 为 BC 的中点，PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan．（1）求证：CD ⊥PD ；（2）求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）（3）若直线 PE 、PB 与平面 PCD 所成角分别为 α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角． 【分析】 1）由 PA ⊥平面 ABCD 得出 PA ⊥CD ，又 CD ⊥AD 得出 CD ⊥平面 PAD ，故而 CD ⊥PD ；（2）以 A 为坐标原点激励空间直角坐标系，求出 ， 的坐标，计算 ， 的夹角即可得出答案； （3）求出平面 PCD 的法向量 ，则 sin α=|cos ＜ ， ＞|，sin β=|cos ＜ ， ＞|． 【解答】证明：（1）∵PA ⊥平面 ABCD ，CD ⊂ 平面 ABCD ， ∴PA ⊥CD ．∵四边形 ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ．又 PA ⊂ 平面 P AD ，AD ⊂ 平面 PAD ，PA ∩AD=A ， ∴CD ⊥平面 P AD ，∵PD ⊂ 平面 P AD ，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面P AD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴P A==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos （3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则∴，令z=1得=（0，1，1）．．=（﹣2，0，2），，=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．∴=1，=2．∴cos＜∴sinα=∴=＞==，cos＜＞==．，sinβ=．．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为动点P的轨迹记为C．5（ 过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 的方程为：y=k （x + ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程化为： 18+9k 2），化为：x 2+∪（1）求轨迹 C 的方程；（2）若点 M 在轨迹 C 上运动，点 N 在圆 E ：x 2+（y ﹣0.5）2=r 2（r ＞0）上运动，且总有|MN |≥0.5， 求 r 的取值范围；（3）过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 交轨迹 C 于 A 、B 两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点 T ，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点 T 的坐标．若不存在，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】 1）设点 P （x ，y ），由题意可得： = = ，化简即可得出．（2）E （0， ）．分类讨论：①r ≥+ ，根据|MN |≥0.5，可得 r ≥ + + ．②0＜r ＜ + ，设M ，|MN |=|EN |﹣r ，解得 r ≤|EN |﹣ 的最小值，即可得出 r 的取值范围．（3）把 x=﹣ 代入椭圆的方程可得：+ =1，解得 y=± ．取点 T （1，0）时满足 =0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点 T （1，0），使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T （1，0）．设（x 2+6k 2x +k 2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+=0．即可证明．【解答】解：（1）设点 P （x ，y ），由题意可得： = ==1．（2）E （0， ）．分类讨论：①r ≥+ ，∵总有|MN |≥0.5，∴r ≥+ + = +1．②0＜r ＜ + ，设 M，|MN |=|EN |﹣r∴，解得 r ≤|EN |﹣ =．﹣ = ﹣ ，综上可得：r 的取值范围是．（3）把 x=﹣ 代入椭圆的方程可得：+ =1，解得 y=± ．取 A ，B ．取点 T （1，0）时满足 =0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点 T （1，0），使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ．（x 1+x 2）+1+﹣×设过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 的方程为：y=k （x + ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立，化为：（18+9k 2）x 2+6k 2x +k 2﹣18=0，∴x 1+x 2= 则，x 1x 2= ．=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+=（1+k 2）x 1x 2+=（1+k 2）×+1+ =0．∴在此坐标平面上存在一个定点 T （1，0），使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°△，则F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|P A|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C（）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当=3时，求实数m的值．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=3+5i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±的顶点和焦点，，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=10．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°△，则F1PF2的面积是1．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，PF2=90°，∵∠F1∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2PF2的面积为xy=1∴△F1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|P A|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．R【分析】由题意，将根代入实系数方程 x 2+bx+c=0 整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数 a ，b 的方程组 ，解方程得出 a ，b 的值即可选出正确选项【解答】解：由题意 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x 2+bx+c=0 ∴1+2 i ﹣2+b+ bi+c=0∴，解得 b=﹣2，c=3故选 B16．对于抛物线 C ：y 2=4x ，我们称满足 y 02＜4x 0 的点 M （x 0，y 0）在抛物线的内部．若点 M （x 0，y 0）在 抛物线内部，则直线 l ：y 0y=2（x+x 0）与曲线 C （ ）A ．恰有一个公共点B ．恰有 2 个公共点C ．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D ．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去 y ，进而根据 y 02＜4x 0 判断出判别式小于 0 进而判定直线与抛物线 无交点．【解答】解：由 y 2=4x 与 y 0y=2（x+x 0）联立，消去 x ，得 y 2﹣2y 0y+4x 0=0， ∴△=4y 02﹣4×4x 0=4（y 02﹣4x 0）． ∵y 02＜4x 0，∴ ＜△0，直线和抛物线无公共点． 故选 D三、解答题（共 5 小题，满分 52 分）17．已知直线 l 平行于直线 3x+4y ﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求直线 l 的方程． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线 l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令 x=0，解得 y=﹣ ；y=0，x=﹣ ．利用 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，可得=24，解得 m 即可．【解答】解：设直线 l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令 x=0，解得 y=﹣ ；y=0，x=﹣ ．∵l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，∴=24，解得 m=±24．∴直线 l 的方程为 3x+4y ±24=0．18．设复数 z 满足|z|=1，且（3+4i ）•z 是纯虚数，求 ． 【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数 z ，|z|=1 可得一个方程，化简（3+4i ）•z 是纯虚数，又得到一个方程，求得 z ，然后求 ．【解答】解：设 z=a+bi ，（a ，b ∈ ），由|z|=1 得 ；。
上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含答案)
上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V==．故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为： +1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos （结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10] ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C 的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可；（2）求出斜高，在计算侧面积．【解答】解：（1）V=S 正方形ABCD •h==64．∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米．（2）取底面ABCD 的中心O ，AD 的中点M ，连结PO ，OM ，PM ．则PO ⊥平面ABCD ，PM ⊥AD ，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5， ∴S △PAD ===20． ∴S 侧面积=4S △PAD =80．∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板．20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线y=x+2代入﹣=1得x2﹣4x﹣14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|====3，则半径R=，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=．（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，则k OA=，k OB=，则k OA•k OB=====﹣．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【解答】解：（1）∵（2﹣i）α=3﹣4i，∴a==2﹣i，∴α+β=2+m﹣2i，∵|α+β|＜2||，∴（2+m）2+4＜4（4+1），解得﹣6＜m＜2，∴m的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜，＞|，sinβ=|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴PA==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos．（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴=（﹣2，0，2），=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，1，1）．∴=1，=2．∴cos＜＞==，cos＜＞==．∴sinα=，sinβ=．∴=．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化简即可得出．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，根据|MN|≥0.5，可得r≥++．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣的最小值，即可得出r的取值范围．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x1﹣1）（x2﹣1）+ =0．即可证明．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+=1．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥++=+1．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣=﹣=﹣，∴．综上可得：r的取值范围是∪．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，B．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，∴x1+x2=，x1x2=．则=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）×﹣×+1+=0．∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=3+5i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=10．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是1．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；。
上海市高二数学下学期期末考试试题(含解析)
北虹高级中学2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题。
1.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()UA B =_______。
【答案】{}4 【解析】由{}1,2A =,{}2,3B =得：{}1,2,3A B ⋃=，则(){}4U C A B ⋃=，故答案为{}4.2.不等式215x +≤的解集是_______. 【答案】[]3,2- 【解析】 【分析】直接去掉绝对值即可得解.【详解】由215x +≤去绝对值可得5215x -≤+≤即-32x ≤≤，故不等式215x +≤的解集是[]3,2-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.3.最新x 的不等式290x kx ++>的解集是R ，求实数k 的取值范围是 _______. 【答案】()6,6- 【解析】 【分析】利用判别式△＜0求出实数k 的取值范围．【详解】最新x 的不等式290x kx ++>的解集为R ，∴△=k 2-4×9＜0，解得-66k <<∴实数k 的取值范围为()-6,6.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．4.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______。
【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，∴每个个体被抽到的概率是61 244=，丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为1824⨯=,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.有n个元素的集合的3元子集共有20个，则n= _______.【答案】6【解析】【分析】在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20即可得解.【详解】在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20得6n=，故答案为6.【点睛】本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题.6.用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数.【答案】96【解析】【分析】利用乘法原理，即可求出结果．【详解】用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况,故选：A ．【点睛】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题．7.在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）. 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求．【详解】由6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得666316621(2)2rr r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭由6-3r=0，得r=2．∴常数项等于4262240C ⨯=,故答案为240.【点睛】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．8.())25332m i m R i-=∈+其中，则实数m =_______.【答案】2或2- 【解析】 【分析】()252m i i-+()25332m i i-=+.()252m i i-+22533|2+|3i i ==2592m m +=∴=±故答案为2或2.-【点睛】本题考查了复数的模的计算，属于基础题.9.在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示） 【答案】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是.考点：等可能事件的概率.10.集合{}24,A x x x R ==∈，集合{}4,B x kx x R ==∈，若B A ⊆，则实数k = ____. 【答案】0，2，2- 【解析】 【分析】解出集合A ，由B A ⊆可得集合B 的几种情况，分情况讨论即可得解.【详解】{}24,A x x x R ==∈={}-2,2,若B A ⊆，则{}{}{}B=2-2-2,2φ，，，，当B φ= 时，0k =；当 {}2B =时，242k k =∴=； 当{}-2B =时，-24-2k k =∴=；当{}-22B =，时，无k 值存在； 故答案为0，2，2-.【点睛】本题考查了集合子集的应用，注意分类讨论要全面，空集的情况易漏掉.11.若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___. 【答案】9 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可． 【详解】∵0m >，0n >，1m n +=，44()54145219n m n mm n m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭,当且仅当12,33n m ==时“=”成立，故答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．12.定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个。
上海市2021学年高二数学下学期期末考试复习卷(含解析)
【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.
10.已知向量 ， ，若向量 、 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是__________。
【答案】
【解析】
【分析】
பைடு நூலகம்根据向量夹角为钝角，可知 且 ，解不等式可求得结果.
详解】由题意可知：
【答案】40
【解析】
【分析】
将问题分成三步解决，首先将 排列，再将 插空排列，再根据已排好的位置将 整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果.
【详解】第一步：将 进行排列，共有 种排法
第二步：将 插空排列，共有 种排法
第三步：将 整体插空放入，共有 种排法
根据分步乘法计数原理可得共有： 种排法
【详解】编号为 的三个盒子中分别放入 个小球，则还剩 个小球
则问题可变为求 个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球的不同方法的种数
由隔板法可知共有： 种方法
本题正确结果：
【点睛】本题考查隔板法求解组合应用问题，关键是能够首先将问题转化为符合隔板法的形式，隔板法主要用来处理相同元素的组合问题.
14.给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( )
【答案】20．
【解析】
解：∵A、B、C三层，个体数之比为5：3：2．又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C中抽取100× =20．故答案为：20．
3.圆柱的高为1，侧面展开图中母线与对角线的夹角为60°，则此圆柱侧面积是_________。
上海市高二下学期期末考试数学试题(带答案)
高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与 平面N B A 11的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派6人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．13.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一 个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直 线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（ ）A ．112B ．114C ．116D ．11816.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （ ）A ．4xB ．4x -C ．1D ．1- 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程.21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）23.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（1）证明：n OA 的斜率是定值；（2）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（3）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第23题图第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((x x C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120.21.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(b b， 则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m23.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2n p x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；（2）直线方程为x y )51(+-=；（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=， 而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ， 所以所有三角形面积和为22152p p -.。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.抛物线x 2=﹣8y 的准线方程为 ．2.如果直线ax+y+1=0与直线3x ﹣y ﹣2=0垂直，则系数a= ．3.双曲线9x 2﹣4y 2=﹣36的渐近线方程是 ．4.已知复数z=（3+i ）2（i 为虚数单位），则|z|= ．5.已知点A （﹣4，﹣5），B （6，﹣1），则以线段AB 为直径的圆的方程为 ．6.设复数z （2﹣i ）=11+7i （i 为虚数单位），则z= ．7.若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是 ．8.一动点在圆x 2+y 2=1上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点轨迹方程是 ．9.若复数z 满足|z+3i|=5（i 是虚数单位），则|z+4|的最大值= ．10.设F 1和F 2是双曲线﹣y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是 ．11.已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是 米．12.已知圆x 2+y 2+2x ﹣4y+a=0关于直线y=2x+b 成轴对称，则a ﹣b 的取值范围是 ．二、选择题1.直线倾斜角的范围是（ ）A ．（0，]B ．[0，]C ．[0，π）D ．[0，π]2.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.若1+i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）A ．b=2，c=3B ．b=﹣2，c=3C ．b=﹣2，c=﹣1D ．b=2，c=﹣14.对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足y 02＜4x 0的点M （x 0，y 0）在抛物线的内部．若点M （x 0，y 0）在抛物线内部，则直线l ：y 0y=2（x+x 0）与曲线C （ ）A ．恰有一个公共点B ．恰有2个公共点C ．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D ．没有公共点三、解答题1.已知直线l 平行于直线3x+4y ﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．2.设复数z 满足|z|=1，且（3+4i ）•z 是纯虚数，求．3.已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x ﹣3y=0上，且被直线y=x 截得的弦长为，求圆C 的方程．4.已知F 1，F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|=d ．（1）证明：b 2=ad ；（2）若M 的坐标为（，1），求椭圆C 的方程．5.已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.抛物线x2=﹣8y的准线方程为．【答案】y=2【解析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2.如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a= ．【答案】【解析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3.双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．【答案】y=±x【解析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4.已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= ．【答案】10【解析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5.已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．【答案】（x﹣1）2+（y+3）2=29．【解析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6.设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z= ．【答案】3+5i ．【解析】等式两边同乘2+i ，然后化简，即可求出复数z ．解：因为z （2﹣i ）=11+7i （i 为虚数单位），所以z （2﹣i ）（2+i ）=（11+7i ）（2+i ），即5z=15+25i ，z=3+5i ．故答案为：3+5i ．7.若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是 ． 【答案】 【解析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C 的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C 的方程 解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点， ∴椭圆C 的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c= ∴∴椭圆C 的方程是故答案为：8.一动点在圆x 2+y 2=1上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点轨迹方程是 ．【答案】x 2+y 2﹣3x+2=0【解析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．解：设中点坐标为（x ，y ），则圆上的动点坐标为（2x ﹣3，2y ）所以（2x ﹣3）2+（2y ）2=1即x 2+y 2﹣3x+2=0故答案为：x 2+y 2﹣3x+2=09.若复数z 满足|z+3i|=5（i 是虚数单位），则|z+4|的最大值= ．【答案】10【解析】由复数模的几何意义可得复数z 对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径 5．解：由|z+3i|=5，所以复数z 对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10.设F 1和F 2是双曲线﹣y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是 ．【答案】1【解析】设|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，根据根据双曲线性质可知x ﹣y 的值，再根据∠F 1PF 2=90°，求得x 2+y 2的值，进而根据2xy=x 2+y 2﹣（x ﹣y ）2求得xy ，进而可求得△F 1PF 2的面积．解：设|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，（x ＞y ）根据双曲线性质可知x ﹣y=4，∵∠F 1PF 2=90°，∴x 2+y 2=20 ∴2xy=x 2+y 2﹣（x ﹣y ）2=4 ∴xy=2∴△F 1PF 2的面积为xy=1故答案为：1．11.已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是 米．【答案】4．【解析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y 轴，水平轴为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x 2=ay ，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12.已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．【答案】（﹣∞，1）【解析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题1.直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【答案】C【解析】根据直线倾斜角的定义判断即可．解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．2.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|="2a" （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|="2a" （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．3.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣1【答案】B【解析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B4.对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足y 02＜4x 0的点M （x 0，y 0）在抛物线的内部．若点M （x 0，y 0）在抛物线内部，则直线l ：y 0y=2（x+x 0）与曲线C （ ）A ．恰有一个公共点B ．恰有2个公共点C ．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D ．没有公共点【答案】D【解析】先把直线与抛物线方程联立消去y ，进而根据y 02＜4x 0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点． 解：由y 2=4x 与y 0y=2（x+x 0）联立，消去x ，得y 2﹣2y 0y+4x 0=0，∴△=4y 02﹣4×4x 0=4（y 02﹣4x 0）．∵y 02＜4x 0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题1.已知直线l 平行于直线3x+4y ﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．【答案】3x+4y±24=0【解析】设直线l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m 即可．解：设直线l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l 的方程为3x+4y±24=0．2.设复数z 满足|z|=1，且（3+4i ）•z 是纯虚数，求．【答案】．【解析】设出复数z ，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i ）•z 是纯虚数，又得到一个方程，求得z ，然后求． 解：设z=a+bi ，（a ，b ∈R ），由|z|=1得；（3+4i ）•z=（3+4i ）（a+bi ）=3a ﹣4b+（4a+3b ）i 是纯虚数，则3a ﹣4b=0，，．3.已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x ﹣3y=0上，且被直线y=x 截得的弦长为，求圆C 的方程．【答案】（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．【解析】由圆心在直线x ﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r ，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x 的距离d ，由弦长的一半，圆的半径r 及表示出的d 利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解得到t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解：设圆心为（3t ，t ），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x 的距离d==|t|， 由勾股定理及垂径定理得：（）2=r 2﹣d 2，即9t 2﹣2t 2=7，解得：t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．4.已知F 1，F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|=d ．（1）证明：b 2=ad ；（2）若M 的坐标为（，1），求椭圆C 的方程．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）x=c 代入椭圆方程求得y ，进而求得d ，可知d×a=b 2，原式得证；（2）由M 坐标可得c ，再把M 再把代入椭圆方程求得a 和b 的关系，结合隐含条件得到a 和b 的方程组，求得a ，b ，则椭圆的方程可求．（1）证明：把x=c 代入椭圆方程：+=1，得， 则d=|y|=，∴d×a=b 2，即b 2=ad ； （2）解：∵M 的坐标为（，1），∴c=， 则，解得b 2=2，a 2=4．故椭圆的方程为．5.已知双曲线C 1：．（1）求与双曲线C 1有相同焦点，且过点P （4，）的双曲线C 2的标准方程；（2）直线l ：y=x+m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A 、B 两点．当•=3时，求实数m 的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先确定双曲线C 1：的焦点坐标，根据双曲线C 2与双曲线C 1有相同焦点，且过点P （4，），建立方程组，从而可求双曲线C 2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C 1的两条渐近线联立，求出A 、B 两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m 的值．解：（1）∵双曲线C 1：， ∴焦点坐标为（，0），（，0）设双曲线C 2的标准方程为（a ＞0，b ＞0），∵双曲线C 2与双曲线C 1有相同焦点，且过点P （4，） ∴，解得∴双曲线C 2的标准方程为（2）双曲线C 1的两条渐近线为y=2x ，y=﹣2x由，可得x=m ，y=2m ，∴A （m ，2m ） 由，可得x=﹣m ，y=m ，∴B （﹣m ，m ） ∴∵∴m 2=3 ∴。
上海市高二下学期期末数学试题(解析版)
5．双曲线的渐近线方程为22124x y -=6．以为圆心，且经过()1,1C 7．如图所示，靶子由一个中心圆面概率分别为0.35、0.30、0.25A．2 B．315．下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥A ．80厘米B ．100厘米C ．120厘米D ．140厘米三、解答题17．设等比数列的前项和为，已知，.{}n a n n S 34a =632a =- (1)根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中和的值，指出样本的x y(1)当点是棱的中点时，求证：直线M 1CC (2)当时，求点11D M AB ⊥(3)当平面将正四棱柱1AB M 线段的长度.MC 21．如图，已知点(2,1A (1)求椭圆的离心率；Γ(2)直线交椭圆于两点（BD ΓB D 、为2，直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由BD (3)点、点是椭圆上的两个点，圆E G Γ【详解】 由题意可得，，则异面直线11//AC A C ，且为等腰直角三角形，所以CAB ABC 故答案为：45︒2x 【解析】根据方程得出，即可得出该双曲线的渐近线方程2,2a b ==【详解】 设圆锥底面圆半径AO OB ==因为圆锥的体积为，即3π3π，所以333SO SAB OA ===故答案为：. π3①②④设正三棱柱的各条棱长都为111ABC A B C -1(0,0,0),(0,2,0),(3,1,0),(0,0,B A C B于是，.()()()10049991101,49999914900i a i i a =+--=+-=故答案为：4900.13．C【分析】由向量相等的定义即可判断.【详解】由相等向量的定义：方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，故在长方体中，与相等的向量是、、，1111ABCD A B C D -AB DC 11A B 11D C 故选：C14．D【分析】根据球的几何性质，利用截面距及球半径由勾股定理计算即可求得截面圆半径.【详解】如图所示，为球面上一点，则，C 5OC =球心到平面的距离为3，即，且，O α13OO =11OO O C ⊥则小圆的半径长即为，1O 1O C 在中，由勾股定理可得，解得.1OO C 22211OC OO O C =+14O C =故选：D15．A【分析】由正棱锥满足的条件即可判断.【详解】是正棱锥必须满足两个条件：（1）底面是正多边形（2）过顶点作底面垂线，垂足为底面正多边形中心，即侧面是全等的等腰三角形.对于①，底面是正多边形的棱锥，但侧面不是全等的等腰三角形时不满足条件（2），故错误；对于②，比如一个四棱锥满足各侧棱的长都相等，但其底面可以为矩形，此时不满足条件（1），故错误；对于③，比如一个四棱锥满足各侧面是全等的等腰三角形，但其底面可以为菱形，此时不满足条件（1），故错误.丝带从棱上的点出发，沿着长方体的各个表面绕行一圈回到AD G 方体从面1111ABCD A B C D -ABCD 所示：则线段即为最短路径，即为所需丝带的最短长度，1GG 易知，，所以180HG =60HG =2180GG =+所以在捆扎方案一中，丝带长度最短为100厘米；在捆扎方案二中，所需丝带长度为矩形ABCD()(11,1,1,0,1,1AM B M ==- 由，10AM B M ⋅= 1AM D M ⋅ 又，、11B M D M M ⋂=1B M 所以直线平面AM ⊥11B MD （2）如图，以为原点，A（3）作平行于，交MN 1B A 连接，设线段的长为BM CM 由得，12CN h =2hCN =S 梯形可得11324M ABCN h V -⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭又由112132M ABB V -⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪11NMC AB B P AB B P NMC V V V ---=-棱台棱锥棱锥()21111113343h x x x ⎛=⨯⨯+-⨯⨯= ⎝由题意，()1112NMC AB B V -=⨯⨯⨯棱台所以，整理得21121h x ⎛⎫-+=即，则点223n =()(0,E n r y +，整理得()2222y rn rn r =++++由得()220142n r y ++=02y -=。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算．2.已知复数，则= ．3.经过点的直线l的点方向式方程是．4.已知点，则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是．5.已知方程表示的曲线是圆，则实数a的值是．6.已知两点，则以线段PQ为直径的圆的方程是 .7.双曲线C过点(2，3)，且其中一条渐近线是，则双曲线C的标准方程是．8.已知直线与直线的夹角为，则实数k= .9.直角坐标平面上点P与点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程是 .10.直线两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是．11.圆与直线的位置关系是．(相交、相切、相离)12.已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．二、选择题1.若复数是虚数，则a、b应满足的条件是 . [答]( )2.已知，则在复平面上所对应的复数是 .[答]( )3.若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有条． [答]( )A 1B 2C 3D 44.下列说法正确的是． [答]( )(1)若直线l的倾斜角为，则；(2)若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率；(3)若直线l的方程为，则直线l的一个法向量为．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)三、解答题1.本题满分8分．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根、，若，且，求方程的根、．2.本题满分10分．已知椭圆，椭圆上动点P的坐标为，且为钝角，求的取值范围。
3.(本题满分10分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分3分．已知直线讨论当实数m为何值时，(1)4.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知直线l：与双曲线C：相交于A、B两点．(1)求实数a的取值范围；(2)当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．5.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知抛物线，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．(1)若直线l与抛物线交于两点A、B，且(O是坐标原点，M是垂足)，求动点M的轨迹方程；(2)若C、D两点在抛物线上，且满足，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.计算．【答案】【解析】略2.已知复数，则= ．【答案】【解析】略3.经过点的直线l的点方向式方程是．【答案】【解析】略4.已知点，则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是．【答案】【解析】略5.已知方程表示的曲线是圆，则实数a的值是．【答案】【解析】略6.已知两点，则以线段PQ为直径的圆的方程是 .【答案】【解析】略7.双曲线C过点(2，3)，且其中一条渐近线是，则双曲线C的标准方程是．【答案】【解析】略8.已知直线与直线的夹角为，则实数k= .【答案】【解析】9.直角坐标平面上点P与点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程是 .【答案】【解析】略10.直线两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是．【答案】【解析】略11.圆与直线的位置关系是．(相交、相切、相离)【答案】【解析】略12.已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．【答案】【解析】略二、选择题1.若复数是虚数，则a、b应满足的条件是 . [答]( )【答案】D【解析】略2.已知，则在复平面上所对应的复数是 .[答]( )【答案】D【解析】略3.若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有条． [答]( )A 1B 2C 3D 4【答案】C【解析】略4.下列说法正确的是． [答]( )(1)若直线l的倾斜角为，则；(2)若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率；(3)若直线l的方程为，则直线l的一个法向量为．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)【答案】B【解析】略三、解答题1.本题满分8分．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根、，若，且，求方程的根、．【答案】当时，解，得，即方程的根为．当时，解，得，即方程的根为．【解析】本题满分8分．解由题可知，是实数，又，……………………………………2分∵是方程的两个虚数根，∴．……………………4分∴，即，解得．……………6分当时，解，得，即方程的根为．…………………7分当时，解，得，即方程的根为．…………………8分2.本题满分10分．已知椭圆，椭圆上动点P的坐标为，且为钝角，求的取值范围。
2023-2024学年上海中学高二下学期数学期末试卷及答案(2024.06)
1上海中学2023-2024学年第二学期高二年级数学期末2024.06一、填空题(每题3分，共36分)1.已知事件A 满足()0.3P A =，则()P A =___________.2.将4封不同的信投入3个不同的信箱，则不同的投递方式共有___________种.3.已知3223n n C P =，则n =___________.4.在()101x +的展开式中，3x 的系数为.___________(以数字作答)5.函数()242f x lnx x x =−−的驻点为___________.6.若随机变量X 服从正态分布()1,3,21N Y X =+，则[]D Y =___________.7.集合A 是{}12,3,4,5,6,7,8,9,10，的子集，且A 中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A 共有___________个.8.从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面直线的概率为___________. 9.若不等式x e ax ≥对任意1x ≥−成立，则a 的取值范围是___________.10.对于在定义域上恒大于0的函数()f x ，令()()g x lnf x =.已知()f x 与()g x 的导函数满足关系式()()()f x f x g x ′=′.由此可知，函数()2x f x x =在1x =处的切线方程为___________.11.甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票，因此他们决定自行安排这些座位.高铁列车的座位安排如图，甲希望坐在靠窗的座位上，乙不希望坐在B 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上(中间不能隔着过道)，则满足要求的座位安排方式共有___________种.12.将1,2,3,4,5,6的所有排列按如下方式排序:首先比较从左至右第一个数的大小，较大的排列在后;若第一个数相同，则比较第二个数的大小，较大的排列在后，依此类推.按这种排序2方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________. 二、选择题(每题4分，共16分) 13.设()2f x sin x =，则()f x ′=（ ）(A)2cos x (B)2cos x − (C)22cos x (D)22cos x −14.某班级共有40名同学，其中15人是团员.现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，定义随机变量X 为其中团员的人数，则X 服从（ ）(A)二项分布 (B)超几何分布 (C)正态分布 (D)伯努利分布 15.将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为12，且三次抛掷的结果互相独立.记事件A 为“至少两次结果为正面”，事件B 为“第三次结果为正面”，则()P B A =∣（ ） (A)12 (B)23 (C)34 (D)7816.现有编号分别为()1,2,,*n n N …∈的小球各两个，每个球的大小与质地均相同.将这2n 个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为n a ，则（ ） ①对任意,*n n N a ∈都是偶数;②()()()11212n n a n n a n −>−−≥.(A)①②都是真命题 (B)①是真命题，②是假命题 (C)①是假命题，②是真命题 (D)①②都是假命题 三、解答题(本大题共5题，共48分，解答各题须写出必要的步骤) 17.(本题8分)求函数()()231x f x e x x =⋅−+的单调区间.18.(本题8分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33%，且这些消费者可以分为A B C、、三类.其中A类消费者占30%，其在一年内再次购买产品的概率为60%;B类消费者占40%，其在一年内再次购买产品的概率为30%;C类消费者占比x%，其在一年内再次购买产品的概率为y%.(1)求x与y的值.(2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是B类消费者的概率.19.(本题10分)某学校举办知识竞赛，该竞赛共有三道问题，参赛同学须回答这些问题，以其答对的问题的得分之和作为最终得分.每个问题的得分与参赛同学答对的概率如下表(每次回答是否正确相互独立).定义随机变量X为最终得分.(1)求()50P X=.(2)求[]D X.E X与[]3420.(本题10分)设函数()()()1f x x x x a =−−，其中1a >.且()f x 在0x =与x a =处的切线分别为12,l l .(1)若1l 与2l 平行，求a 的值.(2)记(1)中a 的值为0a .当0a a >时，记12,l l 与x 轴围成的三角形面积为S .当S 取到最小值时，求a 的值.21.(本题12分)仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”k n T 为()21nx x ++的展开式中kx 的系数()02k n ≤≤，即()201122221.nn n n n n n x x T T x T x T x ++++++其中0122,,,,n n n n n T T T T Z …∈. (1)求234333,,T T T 的值:(2)对于给定的*n N ∈，计算以下两式的值:20n knk T =∑与20nk n k k T =∑(3)对于*n N ∈，记0122,,,,n n n n n T T T T …中偶数的个数为n a ，奇数的个数为n b .是否存在n 使得2024n n a b −≥?若存在，请给出一个满足要求的n 并说明理由;若不存在，请给出证明.5参考答案一、填空题1.0.7;2.81;3.11;4.120;5.1;6.12;7.896;8.411;9.1,e e−; 10.210x y −−=； 11.11 12.2，3，4，6，1，5二、选择题13.C 14.B 15.C 16.A 三．解答题17.（1）增区间为()(),1,2,−∞−+∞，减区间为[]1,2− 18.（1）30,10x y == （2）123319.（1）0.36 （2）[]57E X =，[]853D X = 20．（1）2 （221．（1）234333676,,T T T ===（2）203nnk nk T ==∑，203n nk n k k T n ==⋅∑ （3）1024n =。
上海高二数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)
上海市静安区第二学期高中教学质量检测高二数学试卷一、填空题1．若一个实系数一元二次方程的一个根是112z i =+，则此方程的两根之积为______.2．1-的平方根为______.3．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，3AB =，14AA =，则11AC 与1BC 所成角的余弦值为______.4．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数为______. 5．设A 、B 是半径为1的球面上一个大圆上的两点，且1AB =，则A 、B 两点的球面距离为______.6．在3名男生和4名女生中选出3人，男女生都有的选法有______种.7．由一条直线和直线外的5个点可确定平面的个数最多为______.8．请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是______.二、选择题9．复数a bi +（a 、b R ∈）和c di +（c 、d R ∈）的积是实数的充要条件是（ ）A ．0ad bc +=B ．0ac bd +=C ．ac bd =D ．ad bc = 10．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；⑤平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题11．（1）设m 、*n N ∈，m n ≤，求证：1111m m n n n C C m +++=+； （2）请利用二项式定理证明：()2*3213,n n n n N >+≥∈. 12．如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，将ABD △沿BD 翻折，使点A 移至点P .（1）求证：BD PC ⊥；（2）若二面角P BD C --的平面角为60︒，求PC 与平面BCD 所成角的大小.13．如图，我们知道，圆锥是Rt AOP △（及其内部）绕OP 所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将直角梯形11AOO A （及其内部）绕1OO 所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设1O 的半径为r ，O 的半径为R ，1OO h =.（1）求证：圆台的体积3313R r V h R rπ-=⋅-； （2）若2R =，1r =，3h =，求圆台的表面积S .14．现新定义两个复数111z a bi =+（1a 、1b R ∈）和222z a b i =+（2a 、2b R ∈）之间的一个新运算⊗，其运算法则为：121212z z a a bb i ⊗=+.（1）请证明新运算⊗对于复数的加法满足分配律，即求证：()1231213z z z z z z z ⊗+=⊗+⊗；（2）设运算○÷为运算⊗的逆运算，请推导运算○÷的运算法则.高二数学试卷答案一、填空题1．52．i ± 3．10 4．－160 5．3π6．30 7．158．4103，4301，4123，4321 二、选择题9．A 10．B三、解答题11．证：（1）()()()()111!1!11!!1!!1m m n nn n n n C C m n m m m n m m +++++==⋅=+-+-+； （2）当3n ≥，*n N ∈时，()122312122...2n n n n n C C =+=+⋅+⋅++122212221n n C C n >+⋅+⋅=+12．（1）证：设BD 的中点为E ，联结,PE CE .∵ABCD 是菱形，∴BD PE ⊥，BD CE ⊥.又PC 在平面PEC 上，∴BD PC ⊥.（2）在AEC △中，作PO EC ⊥，O 是垂足，又由（1）有PO BD ⊥，∴PO ⊥平面BCD ，∴点O 是点P 在平面BCD 上的射影，∴PCO ∠既为PC 与平面BCD 所成角.∵BD PE ⊥，BD CE ⊥，∴60PEC ∠=︒，∵PE CE =，∴AEC △是等边三角形.13．解：（1）证：∵11~PAO PAO △△， ∴11PO r PO h R=+，解得1rh PO R r =-，∴2211133V R PO r PO ππ=⋅-⋅ 221133rh rh R h r R r R r ππ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪--⎝⎭ 2313R r h R rπ-=⋅- （2）在PAO △中，过点1A 作1AB AO ⊥，B 是垂足， 则在1Rt ABA △中，1AB R r =-=，1A B∴160A AB ∠=︒，∴4PA =，12PA =， 所以，该圆台的表面积221112222S R PA r PA R r ππππ=⋅-⋅++ 22111221122R PA r PA R r πππππ=⋅-⋅++= 14．解：（1）证：设333z a b i =+（3a 、3b R ∈）.左()()()()123112323z z z a b i a a b b i =⊗+=+⊗+++⎡⎤⎣⎦()()123123a a a b b b i =+++()()12131213a a a a bb bb i =+++右121312121313z z z z a a bb i a a bb i =⊗+⊗=+++()()12131213a a a a bb bb i =+++左=右，证毕.（2）因为运算○÷为运算⊗的逆运算，所以1z ○÷2z 的运算结果是关于变量z 的方程21z z z ⊗=的解. 设z x yi =+（x 、y R ∈），则()()2211x yi a b i a bi +⊗+=+，即2211xa yb i a bi +=+.当10a ≠，10b ≠时，解得，21a x a =，21b y b =.∴1122a b z i a b =+， 故，当10a ≠，10b ≠时，1z ○÷11222a b z i a b =+.上海市嘉定区第二学期高二年级数学期末质量调研（满分150分，时间120分钟）一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．抛物线24y x =的焦点坐标为 .2．平面直角坐标系中点)2,1(到直线012=++y x 的距离为 ．3．若复数z 满足(1i)4z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是 .4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不同的组合．5．侧棱长为3,底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为 .6．双曲线22133x y -=的两条渐近线的夹角大小为 . 7．底面半径和高均为3的圆柱的表面积为 ．8．双曲线221y x m +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ． 9．已知空间直角坐标系中，某二面角-l-αβ的大小为θ，02πθ<<，半平面α和β的一个法向量分别为1(1,3,0)n =，2(0,2,4)n =，则θ= ．(结果用反三角函数值表示)10．二项式31(2)x x +的展开式中各项系数的和是 ．11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为 厘米．12．已知定点(0,2)P ，点Q 在抛物线24x y =上运动，若复数12z z 、在复平面内分别对应点P Q 、的位置，且12z z z =-，则z 的最小值为 ．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ ）． (A) π(0,)2 (B) π(0,]2(C) π[0,)2 (D) π[0,]214.“14a =”是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的 ……………………………………………………………………………（ ）.（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件15．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像………………………………………………( )．(A)关于x 轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线y x =对称(C)关于y 轴对称 (D)关于直线y x =对称，也关于直线y x =-对称16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( )．(A) 若1z 、2z ∈C ，120z z ->，则12z z >．(B) 若z ∈R ，则2||z z z ⋅=不成立．(C) 12z z ∈C 、，120z z ⋅=，则10z =或20z =．(D) 12z z ∈C 、，22120z z +=，则10z =且20z =．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数2i α=-，i m β=-，m ∈R .（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.如图，长方体1111B ABC A C D D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小为4π． （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知4()2n x x +的二项展开式中，第三项的系数为7．（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)(2,0)A B -，，点1(3,)2在椭圆上．过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于A B 、）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E相切．21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知曲线C 上任意一点(,)P x y （其中0x ≥）到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的,A B 两点，求OA OB ⋅的值；（3）若曲线C 上不同的两点M 、N 满足0,OM MN ⋅=求ON 的取值范围．第二学期高二期末质量调研数学答案（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．抛物线24y x =的焦点坐标为 . (1,0)2．平面直角坐标系中点)2,1(到直线012=++y x 的距离为 ．3．若复数z 满足(1i)4z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 24．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不同的组合．246C =5．侧棱长为3,底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为 . 56．双曲线22133x y -=的两条渐近线的夹角大小为 . π2 7．底面半径和高均为3的圆柱的表面积为 ．36π8．双曲线221y x m+=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ．4- 9．已知空间直角坐标系中，某二面角-l-αβ的大小为θ，02πθ<<，半平面α和β的一个法向量分别为1(1,3,0)n =，2(0,2,4)n =，则θ= ．(结果用反三角函数值表示) 10．二项式31(2)x x+的展开式中各项系数的和是 ．2711．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为 厘米．612．已知定点(0,2)P ，点Q 在抛物线24x y =上运动，若复数12z z 、在复平面内分别对应点P Q 、的位置，且12z z z =-，则z 的最小值为 ． 2二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ B ）． (A) π(0,)2(B) π(0,]2(C) π[0,)2(D) π[0,]214.“14a =”是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的 ……………………………………………………………………………（ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件15．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像………………………………………………( D )．(A)关于x 轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线y x =对称(C)关于y 轴对称 (D)关于直线y x =对称，也关于直线y x =-对称 16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( C )． (A) 若1z 、2z ∈C ，120z z ->，则12z z >． (B) 若z ∈R ，则2||z z z ⋅=不成立．(C) 12z z ∈C 、，120z z ⋅=，则10z =或20z =．(D) 12z z ∈C 、，22120z z +=，则10z =且20z =．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数2i α=-，i m β=-，m ∈R . （1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.解: （1）αα==………………………………………………………………2分于是 222i m i m i αβ+=-+-=+-=…………………………4分又2αβα+< ，所以()22425m ++<62m -<<. …………6分所以实数m 的取值范围为(6,2)-. …………………………………………………7分（2）因为m i -（m ∈R ）是方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，m i +（m ∈R ）也是此方程的一个根，…………………………………………9分于是()()()()10m i m i nm i m i ++-=⎧⎪⎨+⋅-=⎪⎩ …………………………………………………11分解得36m n =⎧⎨=⎩ 或36m n =-⎧⎨=-⎩，且满足2()4130,n ∆=--⨯<……………………13分所以36m n =⎧⎨=⎩或36m n =-⎧⎨=-⎩ ……………………………………………………………14分18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.如图，长方体1111B ABC A C D D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小为4π． （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小． 解：（1）联结AC ， 因为1AA ABCD ⊥平面，所以1ACA ∠就是直线1A C 与平面ABCD 所成的角，………………………………2分 所以14A CA π∠=，所以122AA =……………………………………………4分所以11114233A BD ABD ABD A A V V S A A --==⋅7分（2）联结1A D ，BD因为11//A B CD ，所以11//AD B C 所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角………………………10分在△1BA D 中，2221(23)(23)(22)2cos 322323BA D ∠==⨯⨯所以12arccos3BA D ∠=……………………………………………………………13分 所以异面直线1A B 与1B C 所成角的大小是2arccos 3…………………………………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知4()2n x x+的二项展开式中，第三项的系数为7．（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）． 解：（1）322222341()()42n-n nn T C x C x x-==…………………………………2分22172884n n C C n =⇒=⇒=，……………………………………………4分 所以前三项分别为0804184()()2T C x x x==，131714284()()42T C x x x==，52622384()()72T C x x x==……………………………………………………7分所以前三项系数分别为1,4,7，即前三项系数成等差数列……………………8分 （2）348418841()(),0,1,2,,7,822rr rrr r r T C x C x r x --+===……………10分0,4,8r ∴=时，展开式中x 的指数为整数，所以展开式中所有有理项为：0804184()()2T C x x x==、348178T C x x ==、8288211256256T C x x -==……………………………………………………………14分20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)(2,0)A B -，，点1(3,)2在椭圆上．过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于A B 、）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切．解：（1）由题意可知24a =且22311144b b+=⇒=，………………………………2分 所以椭圆方程为1422=+y x ……………………………………………………………4分 （2）设(,)C x y ，则由QP PC =可得1(,)2P x y ， ………………………………6分 又1(,)2P x y 在椭圆1422=+y x 上，可知224x y +=，……………………………9分 所以动点C 的轨迹E 的方程是224x y +=……………………………………………10分 （3）设(,)C m n ，(2,)R t ，由题意可知A C R 、、三点共线，所以AC AR ，因为(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则44(2)2n n t m t m =+⇒=+，即4(2,)2nR m +， …………………………………………………………………………12分2(2,)2n D m +，从而22224CD nn mn m k m m -+==--，又224m n +=， 故224CD mn mn mk m n n===--- :()40CD ml y n x m mx ny n-=--⇒+-= …………………………………14分则圆心到直线CD的距离2d r === …………………………………15分所以直线CD 与曲线E 相切 …………………………………………………………16分21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知曲线C 上任意一点(,)P x y （其中0x ≥）到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的,A B 两点，求OA OB ⋅的值； （3）若曲线C 上不同的两点M 、N 满足0,OM MN ⋅=求ON 的取值范围．解：（1）依题意知，动点P 到定点F (1,0)的距离等于P 到直线1x =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (1,0)为焦点的抛物线………2分∵12p= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是24y x =…………………4分 （2）当l 平行于y 轴时，其方程为1x =，由214x y x =⎧⎨=⎩解得(1,2)A 、(1,2)B -此时=14=3OA OB ⋅--…………………………………………………6分当l 不平行于y 轴时，设其斜率为k ， 则由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)A x y B x y 则有121x x =，212224+k x x k +=……………………8分∴12121212==(1)(1)OA OB x x y y x x k x k x ⋅++--2221212(1)()k x x k x x k =+-++ 2222224=1+143k k k k k +-⋅+=-=-……………………………10分 （3）设221212(,),(,)44y y M y N y∴222121121(,),(,)44y y y OM y MN y y -==- ………………………………12分 ∵0OM MN ⋅=∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y ∵0,121≠≠y y y ，化简得)16(112y y y +-=………………………………14分∴6432256232256212122=+≥++=y y y ……………………………………14分当且仅当 4,16,2561212121±===y y y y 时等号成立………………………………16分∵22||(64y ON y ==≥∴当222min 64,8||85||y y ON ON ==±=，，故的取值范围是),58[+∞………18分上海市高二下学期期末数学测试卷一、填空题1．已知复数12z i =-，则z =______.2．()()21m i mi ++是实数，则实数m =______.3．若,a b R ∈，且()a i i b i +=+，则a b +=______.4．直线1:10l x y -+=与直线2:50l x y -+=之间的距离是______. 5．若复数z 同时满足2z z i -=，z iz =，则z =______.6．若抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离等于2，则M 到坐标原点O 的距离等于______. 7．若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则实数m 的取值范围是______. 8．过点()3,2P -且与直线210x y ++=垂直的直线方程是______.9．已知点)M，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于,A B ，则ABM △的周长为______.10．设()1,2A ，()3,1B -，若直线2y kx =-与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若1F A AB =，120F B F B ∈=，则C 的渐近线方程为______. 12．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21aa >的点的轨.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则122PF PF a +<；④若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积212S a ≤.其中，所有正确的序号是______. 二、选择题13．已知直角坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，则,a b 满足（ ） A ．0,0a b >> B ．0a >，0b < C ．0a <，0b <D ．0a <，0b <14．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=15．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线16．已知a ，b ，c 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ）A 1B 1C ．2D ．2三、解答题17．设,αβ分别是方程220x x a ++=()a R ∈的两个虚数根.（1）求a 的取值范围及αβ+的值；（2）若4αβ-=，求a 的值.18．已知ABC △的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 的边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且ABC △的面积为7，求点A 的坐标. 19．已知直线:l y x m =+，m R ∈.（1）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （2）若直线l 与抛物线2:4C x y =有且仅有一个公共点，求m 的取值范围.20．已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为()2,0.（1）若M 与A 重合，求C 的焦点坐标； （2）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （3）若PA 的最小值为MA ，求m 的取值范围.21．已知直线1:l y x =及直线2:l y x =-.平面上动点(),A x y ，且x y >，记M 到直线1l 、2l 的距离分别为1d 、2d ，满足：()21202a d d a ⋅=>.（1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）若直线l 的方向向量为()1,2，过),0的直线l 与曲线Γ交于A 、B 两点，问以AB 为直径的圆是否恰过原点O ？若是，求a 的值；若不是，判断原点在圆内还是圆外，并说明理由？（3）若过原点O 作斜率为k 的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，设()0,1P ，求PMN △的面积S 关于k 的函数解析式，并求S 的取值范围.参考答案一、填空题1 2．1- 3．04．5．1o -+67．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．270x y --=9．810．[){}4,1+∞-11．y =12．②④二、选择题13．A 14．C 15．D 16．B 三、解答题17．（1）1a >，（2）518．（1）240x y +-=；（2）()3,0-或()3,419．（1）()2228x y -+=；（2）1m =-20．（1）()；（2）2，5；（3）11m <≤21．（1）222x y a -=；（2）圆外；（3）[),a +∞.。
上海市高二下学期期末考试数学试题(共3套,含答案)
高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.从一副52张扑克牌中第一张抽到“Q ”，重新放回，第二张抽到一张有人头的牌，则这两个事件都发生的概率为________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________．8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=-||y x __________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与平面N B A 11的距离是___________．11.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．12.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外 科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________．(用数字作答)13.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）14.设焦点是)5,0(1-F 、)5,0(2F 的双曲线C 在第一象限内的部分记为曲线T ，若点ΛΛ),,(),,2(),,1(2211n n y n P y P y P 都在曲线T 上，记点),(n n y n P到直线02:=+-k y x l 的距离为),2,1(Λ=n d n ,又已知5lim =∞→n n d ，则常数=k ___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米.A ．32424-πB ．33636-πC ．32436-πD ．33648-π第15题图16.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.使得*)()13(N n x x x n ∈+的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者从装有3个红球、1 个蓝球、6奖如下:奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额一等奖 3红1蓝 200元二等奖 3红1白 50元三等奖 2红1蓝或2红2白 10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X .21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 设点M 在线段E C 1上, 且直线AM 与平面11A ADD 所成角的正弦值为62, 求线段AM 的长.23.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（1）证明：n OA 的斜率是定值；（2）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（3）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第22题图 E D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A金山中学第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((xx C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120. 20.（14分）解：（1）214103713=C C C ； X0 10 50 200 P(X) 4231 358 351 2101 321020035503510420)(=⋅+⋅+⋅+⋅=X E . 21.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+ 则B A ,中点是)1312,134(b b ，则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m23.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n 42=，直线n l 的方程为).(2np x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；（2）直线方程为x y )51(+-=；（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=， 而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ， 所以所有三角形面积和为22152pp -.高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与 平面N B A 11的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派6人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．13.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一 个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直 线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（ ）A ．112B ．114C ．116D ．11816.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （ ）A ．4xB ．4x -C ．1D ．1- 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程.21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）24.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（4）证明：n OA 的斜率是定值；（5）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（6）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第23题图第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((x x C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120.22.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(b b， 则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m24.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2np x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121nnp x y x p y 则有,042211121=-+x y x y 而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ； （4）直线方程为x y )51(+-=；（5）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42nn p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则np AB 10||=，而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积nn pS 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ，所以所有三角形面积和为22152pp -.上海市高二年级第二学期数学学科期终考试试卷（注意事项：本试卷共2页，满分100分，答题时间90分钟。
上海市青浦区高二数学下学期期末考试试题(含解析)新人教A版
2012-2013学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）复数的模是 1 ．解：∵复数=++2．（3分）若直线a和平面α相交，则直线a和平面α所成角的范围是[0，π）．所成角为3．（3分）直线l1：x+3=0与直线l2：x+y﹣1=0的夹角的大小为60°．y 的斜率为﹣4．（3分）以直线x+3=0为准线的抛物线的标准方程是y2=12x ．5．（3分）在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的大小为arccos．=a，CE=CF=2a•sin60°=中，cos∠CEF==arccos6．（3分）若圆锥的侧面展开图是弧长为2πcm，半径为cm的扇形，则该圆锥的体积为cm3．，半径为，半径为V=•12•1=．故答案为：．7．（3分）k取任意实数时，直线2（k﹣1）x+（k﹣6）y﹣k﹣4=0恒过点P，则点P的坐标为（1，﹣1）．，∴8．（3分）多瑙河三角洲的一地点A位于北纬45°东经30°，大兴安岭地区的一地点B位于北纬45°东经120°，设地球的半径为R，则A，B两地之间的球面距离是．．故答案为：．9．（3分）已知复数z1=3﹣i，|z2|=2，则|z1﹣z2|的最大值为．=|=，故答案为10．（3分）若将方程||=6化简为的形式，则a2﹣b2= 2 ．|=6）为焦点的双曲线，方程为11．（3分）曲线上点到直线x﹣2y+8=0距离的最小值为．+=1，利用辅助角公式即可求得解：设椭圆+==上点到直线距离的最小值为故答案为：12．（3分）定义直线关于圆的圆心距单位λ为圆心到直线的距离与圆的半径之比．若圆C 满足：①与x轴相切于点A（3，0）；②直线y=x关于圆C的圆心距单位λ=，试写出一个满足条件的圆C的方程（x﹣3）2+（y﹣1）2=1 ．==，则由题意可得=二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．，即可得到它的一个方向向量（k=，=）14．（3分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下16．（3分）给出下列三个命题：①若z1，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2．②如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹为椭圆．③已知曲线C：和两定点F1，F2，若P（x，y）是C上的动点，则||PF1|﹣|PF2||是定值．﹣（﹣）﹣12c=三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．（1）画出由A，E，F确定的平面β截正方体所得的截面；（保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（2）求异面直线直线EF和AC所成角的大小．=，=，=2cos∠HEF=，故∠HEF=arccosarccos18．（10分）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为2米，球的半径r为0.5米．（1）这种“浮球”的体积是多少立方米（结果精确到0.1m3）？（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）．=r3=π=×2=π=19．（10分）已知虚数z1，z2是方程x2﹣4x+m2﹣3m=0，m∈R的两根，且满足|z1|=．（1）求实数m的值；（2）设虚数z1，z2对应为F1，F2，求以F1，F2为焦点且过原点的椭圆的焦距，长轴的长和短轴的长．得，即m==2，得，=2220．（10分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A在抛物线C上运动．（1）当点A，P满足=﹣2，求动点P的轨迹方程；（2）设M（m，0），其中m为常数，m∈R+，点A到M的距离记为d，求d的最小值．的坐标，由，则，所以==，所以（=21．（12分）已知点A（﹣2，0），B（2，0）（1）过点A斜率的直线l，交以A，B为焦点的双曲线于M，N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为1，求该双曲线的方程；（2）以A，B为顶点的椭圆经过点C（1，），过椭圆的上顶点G作直线s，t，使s⊥t，直线s，t分别交椭圆于点P，Q（P，Q与上顶点G不重合）．求证：PQ必过y轴上一定点．（=，∴，∴，∴a=b，∴；设椭圆方程为，）可得，，﹣x=），=﹣（﹣）。
上海市高二(下)数学期末复习(含答案)
高二（下）数学期末复习一．填空题：1．计算：2(12)(32)1i i i +-++＝ 8＋3i ． 2．ϑ∈(π，23π)，直线l ：ϑsin x ＋ϑcos y ＋1＝0的倾角α＝ 2π－ϑ ． 3. 与两平行直线1l ：3x －y ＋9＝0与2l ：3x －y －3＝0等距离的直线方程为： 3x －y ＋3＝0 ．4．在复平面上，满足条件2＜|z |≤4的复数z 所对应的点Z 组成的图形的面积是 12π ．5．一条渐近线方程3x ＋4y ＝0，且经过点是(4，6)的双曲线标准方程是272y －482x ＝1． 6．与直线y ＝x ＋1平行，被椭圆2244x y +=截得的弦长为2的直线l 的方程是： y ＝x ±455 ． 7．若|ia ai 222+-|＝2，则实数a 的值是： ±3 ． 8．已知复数1z ＝3＋4i ，2z ＝t ＋i ，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于 34． 9．直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则a 、b 的位置关系是 平行或异面 ．10．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，则AD 、BC 所成角为 60o．11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1和BB 1的中点，则异面直线C 1M 与DN 所成角的大小为 91arccos ．12．已知命题：椭圆252x ＋92y ＝1与双曲线112x －52y ＝1的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：椭圆22a x ＋22b y ＝1与双曲线22c x －22dy ＝1)(2222d c b a +=-的焦距相等 ． 二．选择题：13．设M 、N 是空间四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，则下列答案中正确的是（ B ）（A ）MN ＝(21AB ＋CD )； （B ）MN ＜(21AB ＋CD )； （C ）MN ＞(21AB ＋CD )； （D ）MN 与(21AB ＋CD )的大小关系不确定． 14．命题甲：“双曲线C 的方程为22a x －22by ＝1(a ＞0，b ＞0)”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ab ”，那么甲是乙的（ A ） （A ）充分不必要条件；（B ）必要不充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件．15．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ D ）（A ）若22120z z +>，则2212z z >-； （B ）若22120z z +=，则120z z ==；（C ）12z z -= （D ）11z z -是纯虚数或零．16．在实数集R 上定义运算⊕：y y x y x -++=⊕1222，则满足x y y x ⊕=⊕的实数对)(y x ，在平面直角坐标系内对应点的轨迹是（ D ）（A ）一个圆； （B ）双曲线； （C ）一条直线； （D ）两条直线．三．解答题：17．已知z 、ω为复数，(13)i z +为实数，ω＝i z +2，且|ω|＝52，求复数ω． 解：设ω＝x ＋yi （x ，y ∈R ），ω＝iz +2⇒z ＝ω)2(i +． (13)i z +＝ω)2)(31(i i ++＝))(71(yi x i ++-＝－x －7y ＋i y x )7(-，依题意(13)i z +为实数，且|ω|＝52，∴227050x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得17x y =⎧⎨=⎩或17x y =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i ．18．已知1z 、2z 是实系数一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0的两个虚根，且1z 、2z 满足方程21z ＋2)1(z i -＝i i ++-182，求p 、q 的值． 解：ii ++-182＝3＋5i ． 设1z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则2z ＝a －bi ．代入并化简得：(3a －b )＋i a b )(-＝3＋5i ，解得49a b ⎧=⎨=⎩． ∴p ＝－(1z ＋2z )＝－2a ＝－8，q ＝21z z ⋅＝2a ＋2b ＝97．19．已知动圆过定点F (21，0)，且与定直线l ：x ＝－21相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设点O 为坐标原点， P 、Q 两点在动点M 的轨迹上，且满足OP ⊥OQ ，OP ＝OQ ，求等腰直角三角形POQ 的面积．解：（1）根据抛物线定义可得动圆圆心M 的轨迹方程为2y ＝2x ；（2）因为OP ⊥OQ ，设直线OP 的方程为y ＝kx ，则直线OQ 的方程为y ＝－x k 1， 解得点P 、Q 的坐标分别为(22k ，k 2)，(22k ，23k )． 由OP ＝OQ ，得：24k ＋44k＝44k ＋46k ，8k ＝1， 可得点P 、Q 坐标分别为(2，2)，(2，－2)．∴POQ S ＝2||21OP ＝4．20．如图：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝6，AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1和BC 的中点．求：（1）A 1B 与B 1C 所成的角；（2）MN 与AC 所成的角；（3）MN 与平面ABCD 所成的角．解：（1）102arccos ； （2）13132arctan ； （3）13132arctan．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北虹高级中学2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题。
1.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()UA B =_______。
【答案】{}4 【解析】由{}1,2A =,{}2,3B =得：{}1,2,3A B ⋃=，则(){}4U C A B ⋃=，故答案为{}4.2.不等式215x +≤的解集是_______. 【答案】[]3,2- 【解析】 【分析】直接去掉绝对值即可得解.【详解】由215x +≤去绝对值可得5215x -≤+≤即-32x ≤≤，故不等式215x +≤的解集是[]3,2-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.3.关于x 的不等式290x kx ++>的解集是R ，求实数k 的取值范围是 _______. 【答案】()6,6- 【解析】 【分析】利用判别式△＜0求出实数k 的取值范围．【详解】关于x 的不等式290x kx ++>的解集为R ，∴△=k 2-4×9＜0，解得-66k <<∴实数k 的取值范围为 ()-6,6.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．4.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______。
【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，∴每个个体被抽到的概率是61 244=，丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为1824⨯=,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.有n个元素的集合的3元子集共有20个，则n= _______.【答案】6【解析】【分析】在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20即可得解.【详解】在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20得6n=，故答案为6.【点睛】本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题.6.用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数.【答案】96【解析】【分析】利用乘法原理，即可求出结果．【详解】用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况,故选：A ．【点睛】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题．7.在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）. 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求．【详解】由6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得666316621(2)2rr r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭ 由6-3r=0，得r=2．∴常数项等于4262240C ⨯=,故答案为240.【点睛】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．8.)m R =∈其中，则实数m =_______.【答案】2或2- 【解析】 【分析】=.22==2592m m +=∴=±故答案为2或2.-【点睛】本题考查了复数的模的计算，属于基础题.9.在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示） 【答案】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是.考点：等可能事件的概率.10.集合{}24,A x x x R ==∈，集合{}4,B x kx x R ==∈，若B A ⊆，则实数k = ____. 【答案】0，2，2- 【解析】 【分析】解出集合A ，由B A ⊆可得集合B 的几种情况，分情况讨论即可得解.【详解】{}24,A x x x R ==∈={}-2,2,若B A ⊆，则{}{}{}B=2-2-2,2φ，，，，当B φ= 时，0k =；当 {}2B =时，242k k =∴=； 当{}-2B =时，-24-2k k =∴=；当{}-22B =，时，无k 值存在； 故答案为0，2，2-.【点睛】本题考查了集合子集的应用，注意分类讨论要全面，空集的情况易漏掉.11.若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___. 【答案】9 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可． 【详解】∵0m >，0n >，1m n +=，44()54145219n m n mm n m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．12.定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个。
【答案】14 【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：由图可知，不同的“规范01数列”共有14个. 故答案为：14.二、选择题.13.设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的 ( ) A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解； 【详解】∵21a >可得1a <-或1a >，∴由“1a >”能推出“21a >”，但由“21a >”推不出“1a >”， ∴“1a >”是“21a >”的充分非必要条件， 故选A.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，属于基础题.14.已知(),0,1a b ∈，记,1M ab N a b ==+-，则M 与N 的大小关系是( ) A. M N < B. M N >C. M N =D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】作差并因式分解可得M-N=()()11b a -- ，由a ，b ∈（0，1）可作出判断．【详解】由题意可得M-N=()1ab a b -+-=1ab a b --+=()()11a b b ---=()()11b a --， ∵a ，b ∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（a -1）∈（-1，0）， ∴（b-1）（a -1）＞0，∴M ＞N 故选B.【点睛】本题考查作差法比较式子大小，涉及因式分解，属基础题．15.若复数12z z 、满足12z z =，则12z z 、在复数平面上对应的点12Z Z 、( ) A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y x =对称【答案】A【分析】由题意可得z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1，z 2在复数平面上对应的点Z 1，Z 2的关系即可得解．【详解】复数12z z 、满足12z z =，可得z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1，z 2在复数平面上对应的点关于x 轴对称，故选A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．16.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A. 1122a b c ++ B.11+22a b c - C. 1122a b c -+D. 1122a b c -++【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得()111111122B M B B BM A B D c b A a =+=+=+-,化简得到结果． 【详解】由题意可得1111111111111()222B M B B BM A A BD A A B D c A D A B =+=+=+=+-111()222c b a a b c =+-=-++,故选D.【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．17.已知,S T 两个非空集合，定义集合{},S T x x S x T -=∈∉，则()S S T -- 结果是( ) A. TB. SC. S T ⋂D. S T ⋃【解析】 【分析】根据定义集合{},S T x x S x T -=∈∉分析元素特征即可得解.【详解】因为{},S T x x S x T -=∈∉表示元素在S 中但不属于T ，那么()S S T --表示元素在S 中且在T 中即S T ⋂，故选C.【点睛】本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题,三、解答题.18.已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值. 【答案】(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+. 【解析】 【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=. （2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.不等式5212xx ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B 。