独创多元高次方程组快速消元法

独创多元高次方程组快速消元法
摘要：
以前，对于高于二次的多元方程组消元，往往采取反复辗转方程式的办法进行，因此，不断出现分母，方程要去分母合并就要二边同乘以含未知数的多项式。

这样，就可能使方程也许乘上零的使原方程不相等，也变成相等。

为尽量减少这一现象的出现，我发现了另一种方法效果更好一些。

关健词：多元；高次方程组；消元
发现判别定理
由于这种方法关系到一个新定理问题，在此必须介绍一下这个新定理。

就是指二个一元高次方程，在系数有什么关系时，必然存在相同的根。

例如：x3＋ax2＋bx＋c=0和方程x2＋mx＋n=0之间，a, b, c 与m, n 有何种关系时，二方程之间必有节公共根呢。

假设方程x2＋mx＋n=0的二个根分别为x1 ，x2如果二个方程之间有公共等根存在，则将
x1 ，x2分别代入方程x3＋ax2＋bx＋c=0必有：
（x13＋ax12＋bx1＋c）（x23＋ax22＋bx2＋c）=0
很明显，上面任何一个因式等于零，二方程都存在公共解。

同时上式x1：x2 对换位置等式左边总值不变，符合初等对称多项式原理。

x1：x2 必可用方程系数m, n代换掉。

展开上式整理变成；
x13x23＋a（x13x22＋x12x23）＋b（x13x2＋x1x23）＋c（x13＋x23）＋a2（x12x22）＋ab（x12x2＋x1x22）＋ac（x12＋x22）＋b2（x1x2）＋bc（x1＋x2）＋c2=0 ；
根据韦达定理根与系数有如下关系：
（x1＋x2）=－m ，x1x2 =n ，又可推出：
（x12＋x22）=（x1＋x2）2－2x1x2 =（－m2）－2n=m2－2n ；
（x12x2＋x1x22）=x1x2 （x1＋x2）=－mn ；
（x12x22）=n2；
（x13＋x23）=（x1＋x2）3－3x1x2（x1＋x2）=－m3＋3mn ；
（x13x2＋x1x23）=x1x2 （x12＋x22）=n（m2－2n ）=m2n －2n2；
（x13x22＋x12x23）=（x12x22）（x1＋x2）=－mn2；
x13x23=n3；
将以上等量代换至展开式变成：
n3＋a（－mn2）＋b（m2n －2n2）＋c（－m3＋3mn ）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m 2－2n ）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2=0 ；
这就是关于方程x3＋ax2＋bx＋c=0和方程x2＋mx＋n=0是否有公共根的判别式。

现在我们再来论证一下，如果方程x3＋ax2＋bx＋c=0和方程x2＋mx＋n=0的系数存在n3＋a（－mn2）＋b（m2n －2n2）＋c（－m3＋3mn ）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m 2－2n ）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2=0的函数关系时，二个方程间必存在公共等根的问题。

论证过程如下：
假设二个方程系数之间确实存在上术关系却没有相等的根，说明将方程x2＋mx＋n=0的二个根x1 ，x2分别代入方程x3＋ax2＋bx＋c=0的左边都应当得出如下不等式：
（x13＋ax12＋bx1＋c）（x23＋ax22＋bx2＋c）≠0
根据牛顿对称性定理，它必然只能化成如下结果，展开变成：
x13x23＋a（x13x22＋x12x23）＋b（x13x2＋x1x23）＋c（x13＋x23）＋a2（x12x22）＋ab（x12x2＋x1x22）＋ac（x12＋x22）＋b2（x1x2）＋bc（x1＋x2）＋c2≠0 ；
根据韦达定理根与系数有如下关系：
（x1＋x2）=－m ；x1x2 =n ；又可推出：
（x12＋x22）=（x1＋x2）2－2x1x2 =（－m2）－2n=m2－2n ；
（x12x2＋x1x22）=x1x2 （x1＋x2）=－mn ；
（x12x22）=n2；
（x13＋x23）=（x1＋x2）3－3x1x2（x1＋x2）=－m3＋3mn；
（x13x2＋x1x23）=x1x2 （x12＋x22）=n（m2－2n ）=m2n －2n2；
（x13x22＋x12x23）=（x12x22）（x1＋x2）=－mn2；
x13x23=n3；
将以上等量代换至展开式变成：
n3＋a（－mn2）＋b（m2n －2n2）＋c（－m3＋3mn ）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m 2－2n ）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2≠0 ，
这一必然结果却和前题假设相矛盾。

说明假设不成立。

而判别定理成立。

同样的道理，任意二个一元高次方程，把一个方程的所有根代入到另一方程，每个根代入情况做一个因式，所有N个因式相乗，如果等于零则二个方程必有公共解。

如果所有N 个因式相乗不等于零。

则没有公共相等解。

而所有N个因式相乗，这是一个关于所有关于X 的初等对称多项式，x1与x2对换位置其值不变.因为根据初等对称性多项式原理可知，所有
的根的对称性群都能必然可化成方程的系数来表示，由于方程系数是已知数即定值，由必然性唯一性可知，完全能推算出判别二方程是否存在公共解的判别式来。

利用新定理消元的介绍
由于在我以前论文《发现二个数学新定理》中介绍了公共解方程判别定理，在此省略重复推导和证明，现在我以实例来说明这一方法的可行性。

比如我们要将方程组：
x3＋yx2＋Bxy＋y2 =0………(1式)
x2＋Mxy＋N y3=0………(2式) (方程组中B、M、N是已知数，x 、y是未知数)
若对上面方程进行消元，则可利用公共解方程判别定理来做。

由于公共解方程判别定理可知，若一元三次方程x3＋ax2＋bx＋c=0与一元二次方程x2＋mx ＋n=0的系数存在关系式（x为未知数，a、 b、 c、 m 、n均为已知数）
n3＋a（－mn2）＋b（m2n －2n2）＋c（－m3＋3mn ）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m 2－2n ）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2=0 ；时，
则方程x3＋ax2＋bx＋c=0与一元二次方程x2＋mx＋n=0必有公共解。

对照方程组中的：
x3＋yx2＋Bxy＋y2 =0………(1式)
x2＋Mxy＋N y3=0………(2式) (方程组中B、M、N是已知数，x 、y是未知数)
与判别定理中的
方程x3＋ax2＋bx＋c=0与一元二次方程x2＋mx＋n=0
我们可以把方程组中的y、 By、 y2、My、 Ny3分别对应地当成判别式中的a 、b、c、m、n代入判别式n3＋a（－mn2）＋b（m2n －2n2）＋c（－m3＋3mn ）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m 2－2n ）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2=0中，结果生成只含一个未知数y的方程式，取到消元作用，而用辗转的办法，由于中间过程存在去分母这一程序比用判别式法更易产生增根。

所以用判别定理消元效果更好。