概率分布和抽样分布
概率与统计中的频率分布与抽样分布
概率与统计中的频率分布与抽样分布概率与统计是数学中一门重要的学科，它研究的是事物发生的概率和统计规律。
在概率与统计中，频率分布和抽样分布是两个重要的概念。
本文将分别介绍频率分布和抽样分布，并探讨它们在实际应用中的意义和作用。
一、频率分布频率分布是指将数据按照不同的区间进行分类，并统计每个区间内数据出现的频数或频率。
频率分布是对数据进行整理和总结的方式，它可以帮助我们更直观地了解数据的分布情况和规律。
频率分布可以通过直方图、饼图等图表形式进行展示。
直方图是一种常见的频率分布图，它将横坐标划分为若干个区间，纵坐标表示每个区间内数据出现的频率或频数。
通过直方图，我们可以清楚地看到数据的分布情况，包括数据的集中趋势、分散程度、偏态和峰度等信息。
在实际应用中，频率分布可以帮助我们了解各类数据的分布规律。
例如，在市场调研中，我们可以通过对消费者购买金额的频率分布进行分析，来确定产品的定价策略；在医学研究中，我们可以通过对患者体温的频率分布进行分析，来判断患者的健康状态。
二、抽样分布抽样分布是指从总体中随机抽取样本，并根据样本数据推断总体的分布情况。
抽样分布是概率与统计中非常重要的概念，它为我们进行统计推断和参数估计提供了基础。
抽样分布可以通过抽样分布图进行展示。
抽样分布图是一种曲线图，横坐标表示样本统计量（例如样本均值、样本比例等），纵坐标表示抽样分布的概率密度。
通过抽样分布图，我们可以了解到样本统计量的变化情况，以及估计量的准确程度和可靠性。
在实际应用中，抽样分布可以帮助我们进行统计推断和参数估计。
例如，在市场调研中，我们可以通过从总体中抽取样本，计算样本平均值的抽样分布，并根据抽样分布来估计总体的平均值；在医学研究中，我们可以通过从总体中抽取样本，计算样本比例的抽样分布，并根据抽样分布来推断总体的比例。
总结：概率与统计中的频率分布和抽样分布是两个重要的概念，它们在数据分析和统计推断中发挥着重要的作用。
频率分布可以帮助我们了解数据的分布规律，抽样分布可以帮助我们进行统计推断和参数估计。
理论分布和抽样分布的概念
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
常用的三种抽样分布
如果总体服从正态分布N（m，s2），
则从该正态总体中抽取样本，得到的
样本均数也服从正态分布，但该分布
为N（m，s2/n ），此时的方差是总 体的1/n倍，即有
mx m,
sx
s
n
中心极限定理
• 如果总体不是正态总体，但其均数和标
准差分别为μ和σ，则当样本含量n不断
增大时，样本均数的分布也趋近于正态
由度的大小有关。
自由度越小，则t值越分散，曲线越低平； 自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近Z分 布(标准正态分布)；当趋于∞时，t分布即 为Z分布。
t 界值表
（P279，附表2）
问单侧t0.025,10 ?
f (t) ν=10的t分布图
✓ 举例：
t
1.812 -2.228
2.228
① 10，单 =0.05，t , t0.05,10 1.812 ，则有
单侧t0.05，9＝1.833 双侧t0.01/2，9＝3.250
＝单侧t0.005，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.05/2，∞＝1.96
＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
三、 F 分布
令 2 (1) 和 2 ( 2 ) 分别为服从自由度为 1 和 2 的
独立变量的卡方分布，则称 F 2 (1) 1 服从分子自由度
F 分布曲线
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度
分子的自由度，υ1
υ2
1
2
3
4
5
概率论参数估计和抽样分布
概率论参数估计和抽样分布
一、极大似然估计MLE
极大似然估计（MLE）是一种用来近似概率分布参数的统计学方法。
它的基本原理是根据样本来估计一组参数，使单独参数的极大似然函数最大化，即最大前提下来达到样本可能性的最大化，这种方法可以让样本观测数据的期望值吻合该参数的假设值。
这种估计方法的优点是简单易行，它不需要指定模型的具体参数，而且参数的估计结果可以很容易地进行验证和分析。
它的缺点是需要多次计算，收敛速度慢，容易受噪声影响，而且模型假设受到限制，可能会有明显的偏离。
二、贝叶斯估计BE
贝叶斯估计（BE）是指在概率论估计中，采用以贝叶斯概率论的原理来估计模型参数的一种方法。
该方法将未知状态作为随机变量，根据贝叶斯公式及赋予先验分布，以最大后验概率的原则估计模型参数。
贝叶斯估计具有优点是可以用来估计模型参数的概率分布，而不仅仅是估计其期望值，可以将主观经验纳入参数估计过程中，也可以迅速得到模型参数的分布。
第四章 (概率论基础与抽样分布)
4 - 25
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
分布函数与密度函数的图示
1. 密度函数曲线下的面积等于1 2. 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
f(x)
4 - 26
F ( x0 )
x0
x
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
连续型随机变量的期望和方差
1. 连续型随机变量的数学期望为
E(X ) xf (x)dx
4 - 41
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
4 - 42
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
【例】已知x~N(12.86，1.332),若 P(x<l1)=0.03,P(x≥l2)=0.03,求l1,l2
概率的性质
1. 非负性 对任意事件A，有 0 P 1
2. 规范性 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即
P ( ) = 1； P ( ) = 0
3. 可加性 若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
标准正态分布
=1
0.1664
2.9 5 7.1 X
.0832 .0832
-.21 0 .21 Z
4 - 37
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
【例】已知x~N(30.26，5.12), 求P(|x-30.26|<5.1); P(20.06≤x<40.46)
P(| X 30.26 | 5.1) P 5.1 X 30.26 5.1
统计学的概率分布与抽样
统计学的概率分布与抽样统计学是一门研究数据的收集、分析和解释的学科，它在许多领域中起着重要的作用。
其中一个关键的概念是概率分布和抽样。
本文将介绍统计学中的概率分布和抽样方法，并讨论它们在实际应用中的作用。
一、概率分布概率分布是指描述一个随机变量所有可能取值的概率。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可列无限个值的分布。
其中最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布描述了在进行有限次的独立重复试验时，成功的次数的概率分布。
而泊松分布用于描述单位时间或者单位空间内某事件发生次数的概率分布。
连续概率分布是指随机变量可以取任意实数值的分布。
其中最常见的是正态分布。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，它是一个对称的钟形曲线，具有许多重要的特性。
二、抽样方法抽样是指从总体中选取样本的过程。
样本是指总体中的一个子集，通过对样本的研究和分析，可以推断总体的特征。
常见的抽样方法包括随机抽样、系统抽样和分层抽样。
随机抽样是指在总体中随机选择样本，使每个个体被选中的概率相等。
系统抽样是指按照一定的规则，选择样本中的个体。
分层抽样是将总体分为若干层次，然后在每个层次中进行抽样。
抽样方法的选择取决于研究的目的和总体的特点。
合适的抽样方法可以提高样本的代表性和可靠性，从而提高统计分析的准确性。
三、概率分布与抽样的应用概率分布和抽样在许多领域中都有重要的应用。
以下将介绍几个具体的例子。
1. 市场调研：在市场调研中，研究者通常需要从总体中选取样本，然后通过对样本的调查和分析来推断总体的特征。
这时候可以使用随机抽样或者分层抽样的方法，并根据样本数据的概率分布来进行统计分析。
2. 医学研究：医学研究中经常需要进行临床试验，以评估某种治疗方法的有效性和安全性。
在临床试验中，研究者需要随机选取一部分患者接受治疗，然后比较治疗组和对照组的结果。
这时候可以使用随机抽样的方法，并根据结果的概率分布做出结论。
003理论分布与抽样分布28
生k次的概率恰好等于展开式中的第k+1项，所以也
把上式称作二项概率公式 。
2.2 二项分布的意义及性质
2.2.1 二项分布定义
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：
0,1,2,…，n，且有
Pn (k )
=
C
k n
p k q nk
k=0,1,2…，n
其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从
2.3 二项分布的概率计算
【例2.1】 纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理 论，子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔10 头，有7头白猪的概率。
解：根据题意，n=10，p=3／4=0.75，q=1／4=0.25。 设10头仔猪中白色的为x头，且x～B(10，0.75)
于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率为：
A1 A2 A 3 A4
A1
A2
A3
A4 p 2 q 42
2.1贝努力试验及其概率公式
又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互 不相容的，按概率的加法法则，在4 次试验中， 事件A恰好发生2次的概率为
P4(2) = P(A1 A2 A3 A4) + P(A1 A2 A3 A4) + …+ P(A1 A2 A3 A4)
1.2离散型随机变量的概率分布
要了解离散型随机变量 x 的统计规律，就必须知道它 的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。
如果我们将离散型随机变量 x 的一切可能取值xi ( i=1, 2 , … )，及其对应的概率pi，记作 P(x=xi)=pi i=1,2,…
则称上式为离散型随机变量 x 的概率分布或分布。常 用分布列 (distribution series)来表示离散型随机变量：
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
概率论抽样分布
例1-1 设X1, X2,, Xn为来自正态总体N (, 2 )
的一个简单随机样本，则样本均值X n
服从＿＿＿＿，又若 ai为常数，则 ai X i i 1
服从＿＿＿＿. 解 因同为样相互独立的正态随机变量的线性和服从
正态分n布
n
n
n
E[
因而
i
ai X
1EX
i]
, DiX1
ai ,D2[i
确定样本容量n，使得两样本均值的距离
超过的概率不超过0.01.
解
由于X
~
N(,
2
), i
1,2,且独立，故
X1
X2
n ~
N (0, 2 2
n
)
于是
P(
X1
X2
)
P(
X1 X2
2 2 / n
) 2 2 / n
2[1 ( n)] 0.01 2
等价于
n
n
Φ( ) 0.995 2
2 u10.995 2.575 n 13.26
n
X n1
~
N (,
2)
所以，由正态分布的线性性得
因此
(
X n1
X
)
~
N (0, n n
1
2)
( Xn1 X ) n ~ N (0,1)
n1
从而有
[( Xn1 X ) n ]2 ~ 2(1)
n1
另一方面，有样本方差的性质知
nSn2
2
~
2(n
1)
且
[( Xn1 X )
n
n
]2 1
例2-2
设X
1
,
X
抽样调查中的基本概念
这个定理告诉我们：在大样本情况下样本成数p近似服从
正态分布，记作
p
～N
P
，P（1－ n P）
。
统计学
2、总体的分类
按单位标志的性质不同：分为变量总体和属性总体两种。
如果构成总体的每个单位标志的具体表现是用标志值表示 ，这种总体就是变量总体。
如果构成总体的每个单位的具全表现是用文字表示，这种 总体就是属性总体。
通常用符号N表示总体中的单位数量。
抽样调查中的基本概念
(二)样本（也称样本总体）
它是从全及总体中随机抽取出来的，用来代表全及总 体的那一部分单位的集合体。
(一)总体参数
1、什么是总体参数？
在抽样调查中，用来反映总体数量特征的总体指标，也称为总 体参数。
研究目的一经确定，总体也就唯一地确定了。所以总体指标 的数值是客观存在的、确定的、未知的，需要用样本资料去估计 推断的。分析一个总体常常可运用多个总体指标，通常所需要估 计的总体参数有总体平均数、结构相对指标、总体方差或总体标 准差等。
方差： P P(1 P)
标准差： P P(1 P)
X
1 0 合计
表7-1 属性总体平均数和方差计算表
F
F
X
F
F
(X X )2
(X X )2 F
F
P
P
（1−P)2
Q2P
Q
0
（0−P)2
P2Q
1
P
—
PQ
抽样调查中的基本概念
(二)样本统计量
1、什么是样本指标
根据样本资料计算的指标称为样本指标，又称为样本统计量
B
n N
N2
抽样调查中的基本概念
概率分布与抽样分布
x 2.5
2 x
0.625
样本均值的抽样分布
一般的当总体服从 Nμσ二 时来自该总体的容量为n的 样本的均值X也服从正态分布X 的期望为μ方差为σ
二/n即X～Nμσ二/n
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
中心极限定理
中心极限定理：从均值为方差为 二的一个任意
§四.二.二 正态分布和有关概率计算
若随机变量 X 的概率密度为
f(x) 1 e2 12x2 , x
2
其中 和 都是常数，任意，>0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.
记作 X~N(,2)
fx所确定的曲线叫作正态曲线
正态曲线图形的特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟
形曲线
决定了图形的中心位置；
0
不同自由度的t分布
tZ
§四.三.二 样本比例的抽样分布
设总体比例等于p则总体方差等于p一-p 重复抽样时样本比例 pˆ服从二项分布 中心极限定理：n很大时二项分布趋向于正态
分布 一般认为np≥五、n一-p≥五时可以用正态分布
来进行近似计算：
pˆ ~N(p, p(1p)) n
样本比例的抽样分布不重复抽样
Z=0.三一
对于已知的概率求X值
.六二 一七
.六二 一七
10
0
Z=0.三
5 X=
一
Xz5 0 .3* 1 0 5 .31
在Excel和 SPSS 中计算概率
在实际应用中现在可以直接使用Excel或统计软件 中的有关函数进行有关概率计算具体方法参见配 套教材
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
概率、概率分布与抽样分布
– 一个试验中所有结果的集合，用 表示
– 例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间表
示为：{1,2,3,4,5,6} – 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
2）样本点 – 样本空间中每一个特定的试验结果
– 用符号 表示
3－15
3.1.2 事件的概率
3－16
1. 定义: 概率是对随机事件发生可能性大小的度量 .
P(A|B)
=
P(AB) P(B)
事件A 事件B
一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
3－35
【例】一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是 来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食 品也购买其他商品。求：
(1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率 (2)已知某顾客购买其他的条件下，也购买食品的概率
(mutually exclusive events)
在试验中，两个事件有一个发生时，另 一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥
事件,(没有公共样本点)
A B
互斥事件的文氏图(Venn diagram)
3－21
【例】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥 有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：
2. 事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用 以度量试验完成时事件A发生的可能性大小， 记为P(A)
3. 概率的计算:
1）古典概率
特征：（1）试验的基本事件总数是有限的；
（2）每个基本事件出现的可能性都相同 。
计算方法：
3－17
2）统计概率 当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察
概率与统计中的随机抽样与抽样分布知识点
概率与统计中的随机抽样与抽样分布知识点概率与统计是数学中重要的分支之一，它研究了随机事件和随机现象的规律。
在概率与统计的领域中，随机抽样与抽样分布是基础而重要的概念。
在本文中，我们将深入探讨随机抽样与抽样分布的相关知识点，包括其定义、性质以及在实际应用中的重要性。
1. 随机抽样的定义与性质随机抽样是指从整体中以一定的概率选择出一部分样本的过程，以便对整体的某些特征进行推断。
随机抽样应具备以下几个基本性质：a. 独立性：每个样本在抽取过程中的选中与否应该是彼此独立的，不受前一个样本的影响。
b. 随机性：每个样本在被选中的概率应该是相等且随机的，确保对整体进行推断时具有普遍性。
c. 大样本量：所抽取的样本数量足够大，可以保证对整体的推断具有较高的精确度。
2. 抽样分布的定义与性质抽样分布是指针对不同样本规模的抽样所得到的某个统计量的分布。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。
a. 正态分布：当样本量趋于无穷大时，根据中心极限定理，样本均值的分布逼近于正态分布。
正态分布在统计分析中经常应用，具备对称性和稳定性等特点，受到广泛的关注和应用。
b. t分布：在样本量较小的情况下，当总体近似于正态分布时，使用t分布来进行推断更加准确。
t分布相较于正态分布而言，具有更宽的尾部，样本量较小时可提供更精确的结果。
c. F分布：F分布是一种比值分布，常用于方差分析以及回归分析等。
它是基于正态分布的样本方差比值构成的。
3. 随机抽样与抽样分布在实际应用中的重要性随机抽样与抽样分布在各个领域的实际应用中具有重要意义，例如：a. 市场调研：通过随机抽样方式，可以从总体中选取一部分样本进行调查和数据收集。
然后通过对样本数据的分析，可以推断总体市场的特征、趋势以及用户行为等。
b. 医学研究：在进行药物疗效试验时，需要通过随机抽样的方式从患者中选取一部分进行试验。
通过对试验结果的分析，可以推断药物的疗效以及副作用等情况。
统计学简答题参考答案
统计学简答题参考答案第一章绪论1.什么是统计学？怎样理解统计学与统计数据的关系？答：统计学是一门收集、整理、显示和分析统计数据的科学。
统计学与统计数据存在密切关系，统计学阐述的统计方法来源于对统计数据的研究，目的也在于对统计数据的研究，离开了统计数据，统计方法以致于统计学就失去了其存在意义。
2．简要说明统计数据的来源。
答：统计数据来源于两个方面：直接的数据：源于直接组织的调查、观察和科学实验，在社会经济管理领域，主要通过统计调查方式来获得，如普查和抽样调查。
间接的数据：从报纸、图书杂志、统计年鉴、网络等渠道获得。
3.简要说明抽样误差和非抽样误差。
答：统计调查误差可分为非抽样误差和抽样误差。
非抽样误差是由于调查过程中各环节工作失误造成的，从理论上看，这类误差是可以避免的。
抽样误差是利用样本推断总体时所产生的误差，它是不可避免的，但可以控制的。
4.解释描述统计和推断统计的概念？（P5）答：描述统计是用图形、表格和概括性的数字对数据进行描述的统计方法。
推断统计是根据样本信息对总体进行估计、假设检验、预测或其他推断的统计方法。
第二章统计数据的描述1描述次数分配表的编制过程。
答：分二个步骤：（1）按照统计研究的目的，将数据按分组标志进行分组。
按品质标志进行分组时，可将其每个具体的表现作为一个组，或者几个表现合并成一个组，这取决于分组的粗细。
按数量标志进行分组，可分为单项式分组与组距式分组单项式分组将每个变量值作为一个组；组距式分组将变量的取值范围（区间）作为一个组。
统计分组应遵循“不重不漏”原则（2）将数据分配到各个组，统计各组的次数，编制次数分配表。
2. 一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度？答：数据分布特征一般可从集中趋势、离散程度、偏态和峰度几方面来测度。
常用的指标有均值、中位数、众数、极差、方差、标准差、离散系数、偏态系数和峰度系数。
3.怎样理解均值在统计中的地位？答：均值是对所有数据平均后计算的一般水平的代表值，数据信息提取得最充分，具有良好的数学性质，是数据误差相互抵消后的客观事物必然性数量特征的一种反映，在统计推断中显示出优良特性，由此均值在统计中起到非常重要的基础地位。
概率论与数理统计 --- 第六章{样本及抽样分布} 第四节：抽样分布
P T 1.059
0.15.
例2:
从正态总体N ( , 0.5 )中抽取样本X 1 , , X 10 .
2
数理统计
10 2 （1）已知 0，求概率P X i 4 ; i 1 10 2 （2）未知，求概率P ( X i X ) 2.85 . i 1
S1 和S2 分别是这两个样本的样本方差, 则有:
2 2
(1)
S1
2 2
S2
~ F ( n1 1, n2 1);
2 2
若两方差 1 2，则
S1 1
2 2
2 2
S2 2
~ F ( n1 1, n2 1);
(2)
X Y ( 1 2 ) ( n1 1) S1 ( n2 1) S2
n取不同值时
( n 1) S
2
2
的分布
定理3 (样本均值的分布) 数理统计 设X1, X2, …, Xn是取自正态总体 N(μ, σ2)的样本, 2 X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有:
X S n ~ t ( n 1)
证:由定理1、和t分布的定义可得： 2
X ~ N (0,1), ( n 1) S
2) F分布的分位点:
对于给定的， 1, 称满足条件: 0
P F F ( n1 , n2 )
( y )dy
F ( n1 , n2 )
的点F ( n1 , n2 )为F ( n1 , n2 )分布的上 分位点.
F分布的上分位点的性质：
F1 ( n1 , n2 ) 1 F ( n2 , n1 )
抽样分布的概念及重要性
抽样分布的概念及重要性抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本的过程中，统计量的分布情况。
在统计学中，我们通常无法对整个总体进行研究，而是通过抽取样本来推断总体的特征。
抽样分布的概念帮助我们理解样本统计量的变异性，并为统计推断提供了理论基础。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性。
一、抽样分布的概念抽样分布是指在相同条件下，重复从总体中抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
在抽样过程中，每次抽取的样本可能不同，因此样本统计量的取值也会有所不同。
抽样分布描述了样本统计量的所有可能取值及其对应的概率分布。
常见的样本统计量包括样本均值、样本方差、样本比例等。
以样本均值为例，假设总体均值为μ，样本均值为x̄，抽样分布描述了在相同样本容量的情况下，样本均值的所有可能取值及其对应的概率分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
二、抽样分布的重要性抽样分布在统计学中具有重要的意义，它对统计推断和假设检验提供了理论基础，具体体现在以下几个方面：1. 参数估计：抽样分布可以用于估计总体参数。
通过抽取样本并计算样本统计量，我们可以对总体参数进行估计。
例如，通过计算样本均值来估计总体均值，通过计算样本比例来估计总体比例等。
抽样分布提供了样本统计量的分布情况，帮助我们确定估计值的可信度和置信区间。
2. 假设检验：抽样分布可以用于假设检验。
在假设检验中，我们通常需要比较样本统计量与假设值之间的差异，以判断差异是否显著。
抽样分布提供了样本统计量的分布情况，可以帮助我们计算出观察到的差异在抽样误差范围内的概率，从而判断差异是否显著。
3. 抽样方法选择：抽样分布可以帮助我们选择合适的抽样方法。
不同的抽样方法会对样本统计量的分布产生不同的影响。
通过了解抽样分布的特性，我们可以选择合适的抽样方法，以提高样本统计量的准确性和可靠性。
4. 统计推断：抽样分布是统计推断的基础。
统计推断是指通过样本数据对总体特征进行推断。
金融数学CH4 概率分布：在资产收益率中的应用
CH4 概率分布：在资产收益率中的使用第一节基本概念1.概率分布抽样分布概率是度量某一个不确定性事件发生可能性的方法，概率分布是不确定事件发生的可能性（概率）的一种数学模型。
它描述了和一个随即变量相关的概率是如何在这个变量的所有可能值中分布的。
一般有正态分布，对数正态分布，二项式分布，Poisson分布和Pareto-Levy分布。
金融市场及其产品的不确定性决定了概率这个工具是研究的主要工具之一。
抽样分布：有时也不加区别是称其概率分布，现实中在不知道资产的概率分布的情况下，假设其服从某一个分布，然后用有限的样本去估计这个资产随机变量的描述性统计量，而这些统计量的概率分布就是抽样分布。
一般有Student-t分布，2分布，F分布。
2.先验概率和后验概率先验概率是描述事件的不确定结果的可能范围是已知的，且具有同等的可能性的数学模型。
属于频率统计学派。
适用于先验概率的事件，可以用逻辑判断来确定每种结果的概率，典型的例子就是古典概率事件，如扔硬币(50%)，掷骰（tou）子(1/6)。
后验概率是指在得到"结果"的信息后重新修正的概率,如贝叶斯公式.先验概率和后验概率有不可分割的联系,后验概率的计算要以先验概率为基础.是一种条件概率，属于贝叶斯学派。
多先验概率：扔硬币预掷骰子，资产服从多个正态分布。
关于概率的经典讨论题目：有三个门，里面有一个门里有汽车，如果选对了就可以得到这辆车，当应试者选定一个门之后，主持人打开了另外一个门，空的。
问应试者要不要换一个选择。
假设主持人知道车所在的那个门。
用概率方法计算后给出结果。
3.经验概率和主观概率通过分析事件的历史数据来确定时间未来发生的概率就是经验概率。
例如技术分析派。
不能依靠逻辑判断，也不能从足够的历史观察中得到，而是通过分析家运用主观判断得到的概率就是主观概率。
预测公司利润。
经验先验概率和主观先验概率4.事件的不相交和独立事件的不相交（教材翻译成“不相关”，不妥，容易和独立混淆）是指事件发生的结果只能是结果集中之一，不能同时有多个结果发生。
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Stata软件基本操作和数据分析入门第三讲概率分布和抽样分布赵耐青概率分布累积函数1.标准正态分布累积函数norm(X)2.t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度3.χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度4.χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度5.F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度6.F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度累积函数的计算使用正态分布计算X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96)display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。
X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则X服从N(μ,σ2)，则~(0,1)=，因此对其他正态分布只要在函Y Nσ数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。
例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下χ2分布累积概率计算设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下χ2分布右侧累积概率计算设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下t分布右侧累积概率计算设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下F分布累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：F分布右侧累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：概率分布的临界值计算正态分布的临界值计算函数invnorm(P)例如：双侧U0.05(即：左侧累积概率为0.975)，操作如下t分布的临界值计算函数invchi2tail(df,P)例如计算自由度为28的右侧累积概率为0.025的临界值t28，α，操作如下χ2分布的临界值计算函数invchi2(df,P) 或invchi2tail(df,P)例如：计算自由度为1的χ2右侧累积概率为0.05的临界值χ20.05，操作如下：或者操作如下：F分布的临界值计算函数invF(df1,df2,P) 或invF(df1,df2,P)例如计算分子自由度为3和分母自由度27的右侧累积概率为0.05的临界值，操作如下：或者操作为：产生随机数计算机所产生的随机数是通过一串很长的序列数模拟随机数，故称为伪随机数，在实际应用这些随机数时，这些随机数一般都能具有真实随机数的所有概率性质和统计性质，因此可以产生许许多多的序列伪随机数，一个序列的第一个随机数对应一个数，这个数称为种子数(seed)，因此可以利用种子数，使随机数重复实现。
设置种子数的命令为set seed 数。
每次设置同一种子数，则产生的随机序列是相同的。
产生(0,1)区间上的均匀分布的随机数uniform()例如产生种子数为100的20个在(0,1)区间上的均匀分布的随机数，则操作如下：clear 清除内存set seed 100 设置种子数为100set obs 20 设置样本量为20gen r=uniform()产生20个在(0，1)区间上均匀分布的随机数。
list 显示这些随机数结果如下利用均匀分布随机数进行随机分组：例：某实验要把20只大鼠随机分为2组，每组10只，请制定随机分组方案和措施。
第一步、把20只大鼠编号，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20。
并且标明。
第二步、用Stata软件制定随机分组方案，操作如下：clear 清除内存set seed 200 设置种子数为200set obs 20 设置样本量为20range no 1 20 建立编号1至20gen r=uniform() 产生在(0,1)均匀分布的随机数gen group=1 设置分组变量group的初始值为1 sort r 对随机数从小到大排序replace group=2 in 11/20 设置最大的10个随机数所对应的记录为第2组，即：最小的10个随机数所对应的记录为第1组sort no 按照编号排序list 显示随机分组的结果结果如下：随机分组整理如下第一组编号 3 4 7 9 11 12 15 17 18 20第二组编号 1 2 5 6 8 10 13 14 16 19产生服从正态分布N(μ，σ2)的随机数invnorm(uniform())*σ+μ。
例如产生10个服从正态分布N(100，62)的随机数，操作如下: clear 清除内存set seed 200 设置种子数为200set obs 10 设置样本量为10gen x=invnorm(uniform())*6+100 产生服从N(100，62)的随机数list 显示随机数结果如下：教学应用：考察样本均数的分布。
由于个体变异的原因，样本均数X的抽样误差(其定义为样本均数与总体均数的差值)是不可避免的，并且样本均数的抽样误差是呈随机变化的。
对于一次抽样而言，无法考察样本均数的抽样误差的规律性，但当大量地重复抽样，计算每次抽样的样本均数X，考察样本均数X的随机分布规律性和统计特征。
举例如下：利用计算机模拟产生100000个服从正态分布N(100,62)的样本，样本量分别为n=4，n=9，n=16，n=36，每个样本计算样本均数。
这里关键处是要清楚什么是样本量(每次抽样所观察的对象个数，也就是每个样本的个体数n)、什么是样本个数(指抽样的次数)，现以n=4为例，一条记录存放一个样本，样本量n=4，也就是每个样本的第1个数据放在第1列，第2个数据放在第2列，第3个数据放在第3列，第4个数据放在第4列，因此第1行是第一个样本，第2行是第2个样本，第100000行是第100000个样本，计算样本均数放在第5列，因此共有100000个样本均数。
具体操作如下：结果现共有100000个样本，每个样本计算一个样本均数，因此有100000个样本均数，现在把一个样本均数X视为一个数据，把100000个样本均数视为一个样本量为100000的新样本(这个样本里有100000个X)，计算这100000个X的平均值和标准差：得到：这100000个X的平均值＝99.98388非常接近总体均数μ=100这100000个X的标准差＝3.0022253≈==(理论上可以证明样本均数的总体均数与样本所在的总体的总体均数相同，样本均数的标样本所在总体的总体标准差)准差再考察这100000个X的频数图graph mean,bin(50) xlabel ylabel norm可以发现正态分布的样本均数仍呈正态分布，峰的位置在 ＝100。
再考察这100000个X的百分位数比较理论上的百分位数百分位数Stata操作理论百分位数模拟百分位数P2.5 di 100+invnorm(0.025)*3 94.120108 94.11224P5 di 100+invnorm(0.05)*3 95.065439 95.04831P50 di 100+invnorm(0.5)*3 100 99.97672P95 di 100+invnorm(0.95)*3 104.93456 104.9248P97.5 di 100+invnorm(0.975)*3 105.87989 105.8656可以发现理论上的百分位数与模拟数据的百分位数非常接近。
可以证明：样本量越大，这种X的误差小的可能性越大。
由于在实际研究中，只有一个样本，因此只有一个样本均数，无法如模拟数据一样计算样本均数的标准差，但是一个样本的数据可以计算样本的标准差S近似σ，利用样本均数的标准差σ=关系，间接估计得到样本均数的标准差估计为S=，为了区分样本的标准差和样本均数的标准差，故称S=为标准误。
为了帮助大家方便地进行模拟实习，特地编制的相应的stata模拟程序:模拟正态分布的样本均数分布的模拟程序simumean.ado复制到stata软件安装的目录下的子目录ado\base。
例如：stata软件安装在D:\stata，则simumean.ado 复制到d:\stata\ado\base然后启动stata软件后，输入连接命令:net set ado d:\stata\ado\base 若stata安装在其他目录下，则相应改变上述路径便是(这是一次性操作，以后无需再重复进行)。
这是模拟抽10000个正态分布的样本，具体说明如下：举例说明simumean 样本量均数标准差例如模拟抽10000个正态分布的样本，样本量为4、总体均数是20、标准差为6，则操作如下：simumean 4 20 6得到下列结果(随机的)Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max-------------+-----------------------------------------------------mean | 10000 19.99352 2.990616 8.344506 31.40937ssd | 10000 5.511469 2.346368 .258496 15.51934即10000个样本均数(视为一个新的样本数据)的平均值为19.99352≈总体均数20，10000个样本均数的标准差＝2.9906163≈==总体标准差。
变量 样本量 ％ 百分位数-- Binom. Interp. -- Variable | Obs Percentile Centile [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------------------------------- mean | 10000 2.5 14.19629 14.01392 14.31436 | 5 15.08899 14.96281 15.2017 | 50 19.96537 19.88963 20.03251 | 95 24.91111 24.78268 25.05202 | 97.5 25.92742 25.75092 26.05995理论上，样本均数X 的95%范围是μ±＝20±1.96×3=(14.12,25.88) 比较10000个样本均数的95％百分位数=(14.196,25.927) 模拟习题1)运行正态分布的样本均数模拟程序simumean.ado ，考察不同样本量情况下，X95％范围的比较。