实数与向量相乘
向量与实数之间的计算公式
向量与实数之间的计算公式向量与实数是线性代数中的重要概念，它们之间的计算关系在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨向量与实数之间的计算公式，包括向量的数乘、向量加法、向量减法等基本运算，以及这些运算在实际问题中的应用。
1. 向量的数乘。
向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。
假设有一个向量a和一个实数k，那么向量a乘以实数k的结果是一个新的向量，记作ka。
具体计算公式如下：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)是原始向量，k是实数，ka是数乘后的新向量。
数乘的运算规律包括分配律、结合律和交换律，即：k(a + b) = ka + kb。
(k1k2)a = k1(k2a)。
k(a + b) = ka + kb。
数乘的概念在物理学中有着广泛的应用，例如力的大小和方向就可以用向量来表示，而力的大小和方向的变化可以通过数乘来描述。
2. 向量加法。
向量加法是指两个向量相加的运算。
假设有两个向量a和b，它们的加法结果记作a + b，具体计算公式如下：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a + b是它们相加后的新向量。
向量加法满足交换律和结合律，即：a +b = b + a。
(a + b) + c = a + (b + c)。
向量加法在几何学中有着重要的应用，例如两个力的合成就可以用向量加法来表示。
3. 向量减法。
向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。
假设有两个向量a和b，它们的减法结果记作a b，具体计算公式如下：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a b是它们相减后的新向量。
向量的运算法则
向量的运算法则在数学中，向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示物体的位移、速度、加速度等。
向量的运算法则是指对向量进行加法、减法、数量乘法和点乘等运算的规则。
本文将介绍向量的运算法则及其应用。
1. 向量的加法。
向量的加法遵循平行四边形法则。
假设有两个向量a和b，它们的起点相同，可以将b的起点移动到a的终点，那么a和b的和就是以a和b为邻边的平行四边形的对角线。
用数学公式表示为，a + b = c，其中c为和向量。
2. 向量的减法。
向量的减法可以看作是加法的逆运算。
假设有两个向量a和b，它们的起点相同，那么a减b就是以b的终点为起点，a的终点为终点的向量。
用数学公式表示为，a b = d，其中d为差向量。
3. 数量乘法。
向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，但不改变它的方向。
如果实数为正，则向量的方向不变；如果实数为负，则向量的方向相反。
用数学公式表示为，k a = e，其中k为实数，a 为向量，e为数量乘积。
4. 点乘。
点乘又称为数量积，它是一种二元运算，将两个向量进行运算得到一个标量。
假设有两个向量a和b，它们的夹角为θ，那么a 点乘b的结果为|a| |b| cosθ。
用数学公式表示为，a · b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模，θ为夹角。
5. 叉乘。
叉乘又称为向量积，它是一种二元运算，将两个向量进行运算得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的叉乘结果为一个新的向量c，它的大小为|a| |b| sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，并符合右手定则。
用数学公式表示为，a × b = c。
向量的运算法则在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，力和位移可以用向量表示，并通过向量的加法和数量乘法来计算合力和位移；在工程学中，速度和加速度可以用向量表示，并通过向量的减法和点乘来计算相对速度和相对加速度；在计算机图形学中，光线和表面法向量可以用向量表示，并通过向量的叉乘来计算光照效果和阴影效果。
《24.6实数与向量相乘》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期
《实数与向量相乘》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对实数与向量相乘概念的理解，熟练掌握向量与实数相乘的运算法则，并能解决简单的实际问题。
通过本作业的练习，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，同时提高他们的计算能力和数学逻辑思维能力。
二、作业内容本课时作业内容主要包括实数与向量相乘的基本概念、运算法则及简单应用。
具体包括：1. 理解实数与向量相乘的定义，掌握乘法运算的规则。
2. 掌握实数与向量相乘的几何意义，理解向量长度和方向的变化。
3. 运用实数与向量相乘的法则，解决有关向量模长、方向和坐标的简单计算问题。
4. 通过实际问题，让学生学会用实数与向量相乘的知识解决实际问题，如力的大小与方向等。
三、作业要求1. 要求学生熟练掌握实数与向量相乘的概念和运算法则，能够准确地进行计算。
2. 作业中应包含一定数量的基础练习题和拓展题，难度逐步提升，以适应不同层次的学生。
3. 学生在完成作业时，应注重理解题意，明确解题思路，规范书写过程。
4. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
5. 作业中应包含适量的实际问题，以培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确率、解题思路的清晰度、书写的规范性以及是否独立完成等方面进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，应注重对学生的解题过程进行点评，指出学生的优点和不足，并给出改进建议。
同时，可采取互评、自评等方式，让学生参与评价过程，提高他们的自我反思和评价能力。
3. 评价反馈：教师应及时将评价结果反馈给学生，让学生了解自己的学习情况，同时鼓励学生在下次作业中改正错误，提高正确率。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中出现的共性问题，教师应在课堂上进行讲解和示范，帮助学生掌握正确的解题方法。
2. 对于个别学生的问题，教师可通过个别辅导或课后辅导的方式，帮助学生解决问题，提高学习效果。
3. 教师应根据学生的作业情况，及时调整教学计划和方法，以满足学生的学习需求，提高教学质量。
向量的数乘定义-概述说明以及解释
向量的数乘定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:向量的数乘是线性代数中的重要概念之一，它是描述向量进行数量放缩的操作。
通过数乘，我们可以对向量进行拉伸或压缩，使得向量的长度或方向发生变化。
本文将深入探讨向量的数乘定义、数乘的性质以及数乘的应用，并对未来可能的研究方向进行展望。
通过对向量的数乘进行详细的讨论，我们可以更好地理解和应用向量的数学概念，为进一步的数学学习和应用奠定坚实的基础。
1.2 文章结构本文包括引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将概述向量的基本概念，介绍本文的结构以及论述本文的目的。
在正文部分，我们将详细阐述向量的基本概念，探讨向量的数乘定义以及数乘的性质。
在结论部分，我们将总结向量的数乘定义，探讨数乘在实际应用中的意义，以及展望未来向量研究的方向。
整个文章结构清晰，逻辑严谨，旨在帮助读者全面了解和掌握向量的数乘概念和性质。
1.3 目的本文的目的在于介绍向量的数乘定义及其性质，通过对向量的数乘进行深入分析，以便读者更加全面地了解数乘的概念和作用。
同时，也旨在探讨数乘在实际生活中的应用，并展望未来对向量数乘的研究方向，为相关领域的学术研究提供借鉴和参考。
通过本文的阐述，希望读者能够对向量的数乘有一个清晰的认识，并对其在数学和实际问题中的应用有更深入的了解。
2.正文2.1 向量的基本概念向量是在数学和物理学中经常使用的重要概念。
在几何学中，向量通常用来表示具有大小和方向的量。
在代数学中，向量可以表示为一个有序的数字序列。
向量在现实生活中也有着广泛的应用，比如力的大小和方向、速度、位移等。
在数学中，向量通常表示为一个有序的数对或数组。
比如，可以用(x, y) 表示一个二维向量，用(x, y, z) 表示一个三维向量。
向量的大小通常称为模或长度，用v 表示。
而向量的方向通常用角度或单位向量来表示。
向量可以进行加法和数乘运算。
对于两个向量u 和v，它们的加法运算定义为(u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)，其中ui 和vi 分别表示向量u 和v 的第i 个分量。
《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解
《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。
【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。
比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。
比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。
平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。
2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的方法和应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。
3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.教学PPT或者黑板。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。
2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。
实数与向量相乘及向量的线性运算(基础) 知识讲解
实数与向量相乘及向量的线性运算（基础） 知识讲解【学习目标】1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量； 3．认识两个平行向量的代数表达形式；4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系. 【要点梳理】要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n表示n 个a 相加；用an -表示n 个-相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；-P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反.2．向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（4）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 要点二、平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.2.平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB//BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=. 要点三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解：平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【典型例题】类型一、实数与向量相乘1. 已知非零向量a，求作,a 3,a 25- 并指出它们的长度和方向. 【答案与解析】解：如下图， (1)在平面内任取一点O ，作OA a =； (2)在射线OA 上，取5OB OA 2=，则5OB a 2=；a 25的长度是5a 2且与a 同向.(3)在射线OA 的反向延长线上，取OC =，则OC 3a =-a 且与a 反向.【总结升华】向量既有大小又有方向，作实数与向量相乘的积向量时两方面都要考虑. 举一反三：【变式】已知单位向量e ，若向量a 与e 的方向相同，且长度为4，则向量a = （用e 表示）.【答案】4e2. 已知平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，EG 与FH 相交于点O.设AD a =，BA b =，请用向量a 或b 表示向量,OE OF ，并写出图中与向量OE 相等的量.【答案与解析】解：11OE FA BA b 22===；11OF EA AD a 22==-=-与OE 相等的向量有：BF ，FA ，GO ，CH ，HD【总结升华】用已知向量表示未知向量，既要看未知向量与已知向量之间的大小关系又要看方向关系.类型二、向量的线性运算3．（1）3(a -b )-2(a +2b )； （2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c )【答案与解析】解：（1）原式＝（3a -3b )+（－2）a +（－2）2b ＝ 3a -3b －2a －4b ＝a -7b（2）原式＝2(2a )+2（6b ）-2（3c ）+（-3）(-3a )+（-3）)（4b ）+（-3）(-2c )＝（4a +12b -6c )+9a -12b +6c ＝（4+9）a +（12-12）b +（-6+6）c ＝13a【总结升华】向量的线性运算与多项式的运算相类似. 举一反三：【变式】计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---； 【答案】解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ．4．已知向量a 和向量b ，求作向量a -2b .【答案与解析】解：如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，2OB b =，则2BA OA OB a b =-=-即BA 即为所求.【总结升华】解题的关键是向量加法，减法及数乘运算法则，掌握数形结合思想的应用. 举一反三：【变式】已知向量a 表示“向东航行1km ”，向量b 表示“向南航行1km ”，则向量a+b 表（ ）.A ．向东南航行2km C ．向东北航行2km D ．向东北航行2km 【答案】A5.如图，点M 是△ABC 的边AB 的中点.设CA a =，CB b =，试用a b、的线性组合表示向量CM .【答案与解析】解：∵ M 是线段AB 的中点， ∴12AM AB =,得12AM AB =. 又∵AB b a =-∴111()222CM CA AM a b a a b =+=+-=+【总结升华】若点M 是△ABC 的边AB 的中点，则1122CM CA CB =+，应熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心，设AB a =，AC b = 则向量AG ＝ （用a ，b 表示）．【答案】1()3a b +【答案与解析】解：∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心， AB=a ，AC=b ， ∴1()2AD a b =+，而2211()()3323AG AG a b a b ==⨯+=+ ．类型三、平面向量定理的应用6. 如果2,3a b c a b c +=-=，其中c 是非零向量，求证：//a b【答案与解析】证法一：由2,3a b c a b c +=-=，可得：3()2()a b a b +=-， 化简得：5a b =- 由平面向量定理得：//a b证法二：把已知的向量关系式看作关于,a b 的方程，得向量组：23a b ca b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得: 51,22a cbc ==-由平行向量定理得：//,//a c b c 所以//a b【总结升华】已知条件是两个向量的关系式，其中有三个向量.为判断a 与 b 是否平行，一种思路是利用已知两个向量的关系式，消去c ，找到a 与 b 之间的关系式；另一种思路是把这两个向量的关系式看作关于a 、b 的向量方程，通过解由它们组成的向量方程组，可将这两个向量用c 表示出来.7.如图，已知向量,OA OB 和,p q ，求作：（1）向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量； （2）向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【答案与解析】解：(1)如图1，作向量OP p =；再过点P 分别作//PE OA ,//PD OB ,E 为直线PE 与直线OB 的交点，D 为直线PD 与直线OA 的交点，作向量,OD OE , 则,OD OE 是向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量.(2) 如图2，作向量OQ q =；再过点Q 分别作//QF OA ,//QG OB ,F 为直线QF 与直线OB 的交点，G 为直线QG 与直线OA 的交点，作向量,OG OF , 则,OG OF 是向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【总结升华】这种分解与向量加、减法及数乘运算紧密联系，实际上是这些运算的综合应用. 类型四、综合应用8.如图，已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点A 1、B 1、C 1在射线ON 上，111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==.设OA a =，1OA b =. （1） 分别求向量111AA BB CC 、、关于a 、b 的分解式；（2） 判断向量111AA BB CC 、、是否平行，再指出直线111AA BB CC 、、的位置关系. 【答案与解析】 解：（1）111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==. 设OA a =，1OA b =可得：12,OB k a OC k a ==，1112,OB k b OC k b == 由向量减法的三角形法则可得：11AA OA OA b a =-=-，11111()BB OB OB k b k a k b a =-=-=-； 11222()CC OC OC k b k a k b a =-=-=-(2)由（1）得：111BB k AA =, 121CC k AA = 由平行向量基本定理得： 11//BB AA ,11//CC AA , 所以 111////BB AA CC ，又它们所在的直线不共线， 所以直线111AA BB CC 、、相互平行. 【总结升华】若证直线AA 1与BB 1平行，需证向量1AA 与1BB 平行且没有公共点；若证A 、A 1 、B 、B 1四点共线，需证向量1AA 与1BB 平行且有公共点. 举一反三：【变式】设1e 和2e 是两个不共线的非零向量，若向量1232AB e e =-，1224BC e e =-+ ，1224CD e e =--，试证明：A 、C 、D 三点共线.【答案】证明：12121232(24)2,AC AB BC e e e e e e =+=-+-+=+∴122,CA e e =--又1224,CD e e =-- ∴2,CD CA =∴CD 与CA 共线， ∴A 、C 、D 三点共线.。
24.6 实数与向量相乘
第四节 平面向量的线性运算§24.6实数与向量相乘教学目标(1)理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。
(2)知道实数与向量相乘的运算律，会根据运算律对向量算式进行计算、化简。
(3)知道平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；知道单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。
(4)在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想；在实数与向量相乘和平行向量定理的学习中体会代数与几何的联系。
教学重点引进实数与向量相乘的运算，使学生掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法。
引进实数与向量相乘的运算律，并用于化简关于向量的算式。
引进平行向量定理和单位向量，并让学生了解利用向量关系式判断两个向量平行的方法。
知识精要1.实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，那么我们用na 表示n 个a 相加；用na -表示n 个a -相加。
又当m 为正整数时，n a m 表示与a 同向且长度为na m的向量。
2.实数与向量相乘的运算规定：设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向。
如果0k =或0a ≠，那么0ka =。
根据实数与向量相乘的意义，可知//ka a 。
ka 实际上将a 的长度进行放缩，方向与a 相同或相反。
ka 表示实数k 与a 相乘的运算，规定应把实数写在向量的前面并省略乘号；注意不要将表示向量的箭头写在数字上面。
3.同向的两个向量相加，和向量的方向取同向，长度取和；反向的两个向量相加，和向量的方向同较长向量，长度取差正；相反向量的和向量为零向量。
4.一般地，如果m n 、是非零实数，a 是非零向量，那么 ()m n a ma na +=+。
数乘向量的运算律
数乘向量的运算律数乘向量的运算律是线性代数中的一项重要概念，它描述了数和向量之间的关系以及它们在线性空间中的运算规则。
本文将详细介绍数乘向量的运算律及其应用。
一、数乘向量的定义数乘向量的定义是指一个实数与一个向量相乘的运算。
具体来说，如果k是一个实数，向量v是一个n维向量，那么k乘以v的结果是一个与v同维度的向量，它的每个分量都等于k乘以v对应分量的值，即：k × [v, v, …, vn] = [kv, kv, …, kvn]例如，如果k=2，v=[1, 3, -2]，那么2乘以v的结果是[2, 6, -4]。
二、数乘向量的运算律数乘向量的运算律包括以下几个方面：1. 数量乘法结合律对于任意实数k1和k2，以及任意n维向量v，有：(k1k2) × v = k1 × (k2 × v)这个结合律的意义是，无论先乘以k1还是k2，再乘以向量v，最终结果都是相同的。
2. 数量乘法分配律对于任意实数k1和k2，以及任意n维向量v，有：(k1 + k2) × v = k1 × v + k2 × v这个分配律的意义是，一个实数k1+k2乘以向量v的结果，等于实数k1乘以向量v和实数k2乘以向量v的和。
3. 向量乘法分配律对于任意实数k和任意n维向量v1、v2，有：k × (v1 + v2) = k × v1 + k × v2这个分配律的意义是，一个实数k乘以向量v1+v2的结果，等于实数k分别乘以向量v1和向量v2的结果之和。
4. 数量乘法单位元对于任意实数k和任意n维向量v，有：1 × v = v这个单位元的意义是，一个实数1乘以任意向量v的结果，等于向量v本身。
5. 数量乘法逆元对于任意实数k和任意n维向量v，有：(-1) × v = -v这个逆元的意义是，一个实数-1乘以任意向量v的结果，等于向量v的相反数。
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
数乘向量的运算律
数乘向量的运算律数乘向量的运算律是线性代数中的基本概念之一，它描述了一个数与一个向量相乘的结果。
本文将从定义、性质和应用等方面对数乘向量的运算律进行详细介绍。
一、定义数乘向量的运算律是指一个实数与一个向量相乘的运算法则。
设实数 k 和向量 v，k 与 v 的乘积表示为 kv，即：kv = (k·v1, k·v2, …, k·vn)其中，v1, v2, …, vn 是向量 v 的分量。
二、性质1. 数乘向量的运算满足交换律，即 kv = vk。
2. 数乘向量的运算满足结合律，即 (ab)v = a(bv)。
3. 数乘向量的运算满足分配律，即 (a+b)v = av + bv。
4. 数乘向量的运算满足分配律，即 a(v+w) = av + aw。
5. 数乘向量的运算满足单位元律，即 1v = v。
6. 数乘向量的运算满足零元律，即 0v = 0。
三、应用数乘向量的运算律在线性代数中有广泛的应用，下面介绍其中的几个应用：1. 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加的结果。
例如，设向量 v1、v2、…、vn 和实数 k1、k2、…、kn，则它们的线性组合可以表示为：k1v1 + k2v2 + … + knvn这里的 k1、k2、…、kn 称为系数，它们可以是任意实数。
根据数乘向量的运算律，可以将向量的线性组合写成下面的形式：k1v1 + k2v2 + … + knvn = (k1v1, k2v2, …, knvn) 这种形式更加简洁明了，方便计算和理解。
2. 向量的投影向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。
假设有两个非零向量 u 和 v，它们的夹角为θ，向量 u 在向量 v 上的投影为 p，则有：p = |u|cosθ·(v/|v|)其中，|u| 和 |v| 分别是向量 u 和向量 v 的模，cosθ是向量 u 和向量 v 的夹角的余弦值，v/|v| 是向量 v 的单位向量。
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数n ，a 为向量，我们用表示ann 个a 相加；用表示个相a n -n a -加.又当为正整m 数时，a m n 表示与同向a 且长度为的a mn 向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P 就是将的a a 长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将a a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义 一般地，实数与向量k a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a = ；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka = ，ka 的方向任意.实数与向量k a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （3）ka表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b ）=m a a mb +（向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量与它同方a 向的单位向量0a 的关系：0a a a = ，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量与b 非零向量平a 行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =.要点诠释：（1）定理中，bm a =，m 的符号由与b a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=，此时可以取m 任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b m a =，则向量与非b 零向量平行a .（4）向量平行的性质定理：若向量与非b 零向量平行a ，则存在一个实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共线若存在实⇔AB//BC ⇔数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一12,e e 平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这12,e e 一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形12,e e 1122a e e λλ=+ 式，叫做向量的分解，当相互垂直12,e e时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
向量的加减运算
向量的加减运算向量的加减运算是线性代数中的重要内容，它在很多科学和工程领域有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍向量的加减运算的基本概念和性质，并结合具体实例来解释它们的意义和用途。
首先，我们来定义什么是向量。
在几何上，向量是具有大小和方向的量。
它可以用一个有序实数组成的列来表示。
例如，我们可以用(x, y)来表示二维平面上的向量，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
同样地，我们可以用(x, y, z)来表示三维空间中的向量。
现在我们来讨论向量的加法。
向量的加法是指将两个向量按照对应分量相加得到一个新的向量。
具体而言，对于两个n维向量u和v，它们的和u + v定义为(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn)。
可以看出，向量的加法满足交换律和结合律。
换句话说，无论向量的顺序如何，它们的和始终相同，并且多个向量按任意顺序相加的结果也是相同的。
向量的减法是向量加法的逆运算。
给定两个向量u和v，它们的差u - v定义为(u1-v1, u2-v2, ..., un-vn)。
可以看出，向量的减法实际上是将减数的对应分量取反后与被减数进行加法运算。
类似地，向量的减法也满足交换律和结合律。
向量的加减运算在现实生活中有着广泛的应用。
一个典型的例子是力的合成。
假设我们有两个力F1和F2作用在物体上，我们可以将它们表示为二维向量(F1x, F1y)和(F2x, F2y)。
根据向量的加法，我们可以通过将它们对应分量相加得到合力F = (F1x + F2x, F1y + F2y)。
这样，我们就可以用一个向量来表示两个力的合力。
另一个例子是位移的合成。
假设我们有两个位移向量d1和d2，分别表示两段运动的位移。
我们可以通过将它们对应分量相加得到总位移d = (d1x + d2x, d1y + d2y)。
这个向量表示了从起始点到终点的总位移。
除了向量的加减运算，我们还可以进行向量的数乘运算。
向量的数乘是指将一个实数与向量的每个分量相乘，得到一个新的向量。
向量的四则运算
向量的四则运算在线性代数中，向量是一种常见的数学对象，它们经常出现在不同的数学和科学领域。
向量的四则运算是指向量之间的加法、减法和数乘运算，这些运算可以帮助我们进行向量的组合、计算和分析。
本文将介绍向量的四则运算的定义、性质和应用。
一、向量的定义与表示向量是一种有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
一个向量可以在坐标系中用一组有序的实数表示，这组实数称为向量的分量。
一般情况下，我们用字母加箭头的形式来表示向量，比如$\vec{a}$表示一个向量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加得到一个新的向量。
设$\vec{a}=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,\ldots,b_n)$是两个$n$维向量，它们的和记为$\vec{a}+\vec{b}$，其中$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)$。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设$\vec{a}$和$\vec{b}$是两个$n$维向量，它们的差记为$\vec{a}-\vec{b}$，其中$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,\ldots,a_n-b_n)$。
向量的减法可以看作是加法的逆运算。
四、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设$k$是一个实数，$\vec{a}$是一个$n$维向量，它们的数乘记为$k\vec{a}$，其中$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,\ldots,ka_n)$。
向量的数乘满足结合律和分配律。
五、向量的乘法运算向量的乘法运算有两种常见的形式：点乘和叉乘。
点乘又称为数量积或内积，可以将两个向量的分量相乘再相加得到一个实数。
设$\vec{a}$和$\vec{b}$是两个$n$维向量，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$。
实数与向量相乘-教师版
主课题：实数与向量相乘知识精要1. 实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作k a 。
如果k ≠0，且≠0，那么k 的长度|k |=|k|||；k 的方向：当k ＞0时，k 与同方向；当k ＜0时k 与反方向， 如果k=0或=，那么k =。
2. 实数与向量相乘满足的运算律：设m ，n 为实数，则 （1） 实数与向量相乘的结合律：m(n )=(mn)；（2） 实数与向量相乘对于实数加法的分配律：（m+n ）a =m a +n a ； （3） 实数与向量相乘对于向量加法的分配律：m(a +b )=m a +m b 。
3. 平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m ，使=m 。
4. 单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设为单位向量，则||=1。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作0。
由实数与向量的乘积可知：a =|a |a 0 ，a 0a 。
精解名题例1. 如图，已知非零向量，求作：（1）-2+32； (2)3-25−→−a例2. 计算：（1）-23+（-23） （2） 2(31+21)-5(2+41)=-21a -23b =-328a -41b （3）)3(23c b a c b a -+--+）（ （4）)23(223b a c b a----）（解：原式=cb a cb ac b a25-6-23--=+--+ 原式=c b a b a c b a 6323636--=+---例3. 如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC =a ， AD =b 。
用a 、b 表示下列向量：(1)AB ；(2)CA ;；(3)BE ；(4)CF 。
解：（1）=-21 （2）=－-21（3）=-21b +43 （4）=-21b -43例4. 下列语句中，错误的是（ A ） A. 单位向量与任何向量都平行B. 已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥cC. 已知、、c 是非零向量，如果+=2c ，-=3c ，那么与是平行向量D. 对于非零向量，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0，由实数与向量的乘积，可知0=51例5. 如图，在△ABC 中，=a，AC =b ，延长AB 到点B 1，使AB 1=5AB ，延长AC 到点C 1，使AC 1=5AC ，连接B 1C 1，求和11C B ,并判断BC 与11C B 是否平行。
初中九年级数学学案-实数与向量相乘【省一等奖】
实数与向量相乘【学习目标】1．实数与向量的数量积的几何意义。
2．正确掌握实数与向量的乘法原理，掌握作图方法。
3．理解实数与向量乘积的意义，知道m的大小、方向与的大小、方向之间的关系。
4．掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。
5．掌握两个非零向量，平行的充要条件是=m，解决简单的几何问题。
【学习重难点】1．理解数量积的原理，掌握作图方法。
2．实数与向量的乘积的计算方法。
3．理解实数与向量乘积的意义，知道m的大小、方向与的大小、方向之间的关系。
4．掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。
5．掌握两个非零向量，平行的充要条件是=m，解决简单的几何问题。
【学习过程】一、引入新课1．实数与向量的乘积：设为任意实数，为任意的非零向量。
与的乘积是一个向量，记作______。
模：的模等于的_____倍。
方向：（1）当>0时，规定与的方向______。
（2）当=0时，规定=______。
（3）当<0时，规定与的方向______。
由于规定了的模| |与的方向，这样就能确定了。
2．根据实数与向量的乘积的定义，可知与是____________的向量。
3．两个非零向量与平行的充要条件是：存在非零实数m，使______。
4．实数与向量的乘积满足以下运算律：设m、n为实数，则：（1）mn=mn ；（2）mn=mn；（3）m=mm。
5．已知非零向量的单位向量______，方向与向量______。
例1：下列结论中：（1）是两向量，则的关系必为,,a b a b a b >=<三者中的一个。
（2）两个相等的向量，当它们的起点不同时，终点也一定不同。
（3）平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量。
（4）温度有零上与零下，因此温度是向量。
其中正确的序号为__________。
二、练习（一）选择题。
1．下面给出四个命题：对于实数m 和向量、恒有：()b m a m b a m -=-；②对于实数m ，n 和向量，恒有：()n m n m -=-；③若b m a m =m ∈R ，则有：b a =；④若a n a m =m 、n ∈R ，0≠a ，则m=n 。
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（2）设实数
k
0
指出对算式
k
(a
b)
去括号的法则.
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课堂练习
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巩固练习
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反思小结 1、这节课你学会了什么？ 2、你还有什么疑惑吗？
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实数与向量相乘
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温故知新
已经知非
2
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学习新课
例1
已经知非零向量
a ，求作
(1)
1
ar
3ar, (2)
3
ar
2ar
2
2
(3)
7
a,
(4)
1
a
2
2
提问：实数的乘法法则满足交换律、结合律以及 乘法对加法的分配律，实数与向量相乘有类似的 运算律吗？
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一般地，如果 m, n 是非零实数，a 是非零向量，
那么 (m n)a ma na ，这个等式是实数与向量
相乘对于实数加法的分配律.
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（1例）题等2式、如3(图a，b)已经3a知 3非b零成向立量吗？a作、图b验证所得的结论；