小学奥数质数合数分解质因数

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

2． 质因数与分解质因数

质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

3． 唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯L 其中为质数，

12k a a a <<

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

4. 部分特殊数的分解

5-5质数合数分解质因数

教学目标

知识点拨

111337

=⨯⨯⨯⨯；

=⨯；199535719

=⨯⨯⨯；1998233337

=⨯；1000173137

=⨯；100171113

=⨯⨯；1111141271

=⨯⨯⨯.

=⨯⨯⨯；10101371337

200733223

=⨯⨯；2008222251

5. 判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找

K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那一个大于且接近p的平方数2

么p就为质数.

例如：149很接近1441212

=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.

例题精讲

模块一、质数合数的基本概念的应用

【例 1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：

美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；

杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；

九天九霄志凌云，九七共庆手相握；

聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．

请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大

找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．

【巩固】(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我

们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对

任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，3

k=时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔

为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．

【巩固】(2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π

的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左

起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，在3141，31415，314159，3141592，31415926，

31415927中恰有一个是质数，是哪个？

【巩固】(2004年全国小学奥林匹克)自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？

【例 2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.

【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。

【巩固】如果a，b均为质数，且3741

+=______.

+=，则a b

a b

【巩固】 A ，B ，C 为3个小于20的质数，30A B C ++=，求这三个质数.

【巩固】 已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？

【巩固】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba ，其中a b ≠，而且ab 和ba 都是质数(a 和b 是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？

【例 3】 (“祖冲之杯”小学数学邀请赛)九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去

参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？

【巩固】 (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个

数字的和，那么这个数是几？

【巩固】 (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之

和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．

问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?

【巩固】 (全国小学数学奥林匹克)从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排

好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？

【巩固】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L 表示所有被3除余1的全体正整数．如果L 中的数(1

不算)除1及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？

【例 4】 9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组

【巩固】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，

每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来． 质数列乙填“积数”甲填“和数”97

8913117532351561285........................

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