南瓜数学13讲测试第10题

例题：

定义在区间（0，+∞）的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(x y)=yf(x) （1）求f(1)的值

（2）若f(1/2)>0,解不等式f(ax)>0

解：

⑴因为题中给出对任意的实数x，y都满足f(x y)=yf(x)，所以x,y可以任取一个实数(题中指定x>0)，现在令x=1,代入f(x y)=yf(x)

得出f(1)=yf(1) ①式

①式只有在f(1)=0的情况下才成立，因此得出f(1)=0

⑵无论底数>1还是0<底数<1指数函数值均大于0，所以不能知道底数的取数范围是多少，现在需要推导出指数函数的单调性，如果是增函数，则底数>1，如果是减函数，则0<底数<1

现在设x

1

2

，并且均大于0（已知条件就是x>0）

X1=(1/2)s

X2=(1/2)

t

设s>t

f(X1)- f(X2)=f〔(1/2)s〕- f〔(1/2)t〕

由已知：f(x y)=yf(x)

所以：f(X1)- f(X2)=sf(1/2)-t f(1/2)=(s-t) f(1/2)

因为f(1/2)>0，s-t>0 所以：f(X1)>f(X2)

所以此指数函数是减函数，因此可以判定0

当a=0时，x∈Φ，没有意义，因为指数函数的底数不能为0

当a>0时0

当a<0时1/a 0b ,所以x∈Φ

因此不等式f(ax)>0的解集为

a>0时，{x|0