全国高中数学竞赛专题-不等式
高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式
高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w zx y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A．417+B．417-C ．417D ．以上答案都不对3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]nii i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦10．（2023·全国·高三专题练习）设0()n ii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos 22x x a a +≥．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z ，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nn k k k k x x x x λ==≥+++∑∑ ．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c ab λ+-的最大值.21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk kn i i i kD C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111n n k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n n i i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w zx y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对【答案】D【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项.【详解】根据题意，有2111122222w z w x y w w x w x y x y x y y +-+≥+=++-≥+-≥-，等号当1::::12x y z w =12-．2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A ．417+B ．417-C ．417D ．以上答案都不对【答案】A【分析】根据题设条件可设1ab =，利用柯西不等式可求最小值.【详解】由111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭可得22111a b c ab a b ab c +⨯=⨯++，由对称性可设1ab =，则条件即1()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭即221a b c c a b ++=+，从而2221a b a b a b+≥⇒+≥++根据柯西不等式()()24444444411a b c a b a b c ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭242()4()3a b a b ⎡⎤=+-++⎣⎦417≥+等号当1,1c a b =+=417+3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对【答案】B【分析】利用非负性可求最小值.【详解】根据题意，有5a b c ++=≥=，等号当cyc (,,)(5,0,0)a b c =时可以取得，因此所求最小值为5．二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．【答案】6+++【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.【详解】记题中代数式为M ，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=，于是tan tan 2tan tan 3tan tan M A B B C C A=++2(1cot cot cot cot cot cot A B B C C A ≥++2(16=+=+，等号当tan tan tan tan tan :tan :tan A B B C C A A B C ==⇒=时取得，因此所求最小值为6+++5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．【详解】由柯西不等式知()()()22220201212232220112232021a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ ()2122201a a a ≥+++= ，且()()()1223202012a a a a a a ++++++= ，所以2222201212232020112a a a a a a a a a +++≥+++ ，且当12202012020a a a ==== 时取到等号．故答案为：12.6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.【答案】7316【详解】由题意可得1abc d=，且a b c d ，则()222222911141f a a b c a b c a b c abc=+++++++，原问题等价于求函数()f a 的最小值.322291()2214()d f a a a b c a b c d a '-⎛⎫=-+⋅-⋅- ⎪+++⎝⎭322221924()a da a a d a abcd --=+⋅-⋅+++()22223232229()4()a d a d a d a d a a b c d d --=-+++()()222222328()9()4()a d a b c d a d a d a a b c d d -+++--=+++()2223228()()94()a d a d a b c d a d a a b c d d -=⋅++++-+++，3a b c d a d ++++ ，22()(3)12a b c d a d ad ∴++++ ，2228()()9a d a b c d a d ∴++++-[]228()129332()3a d ad a d ad a d ad +⋅-=+- ，令()32()3g a a d ad =+-，则()323g a d '=-，由a b c d可得1d ≤，则()()'0,g a g a >单调递增，2()()643(643)0g a g d d d d d ∴=-=-> ，则()()'0,f a f a >单调递增，()()f a f d ≥，此时1a b c d ====，73()(1)16f a f =.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．【答案】1【详解】解析：最大值为1记01202011min,1,11ii i k ii k kk a S x a x a ≤≤====+=+∑∑，则1i i i a x x -=-，故111i i i i i x x xS x x ---≤=-，即11i ix S x --≥，对1,2,3,,2020i = ,求和，并结合算术-几何平均不等式，有120202020101202020202020(1)202020202i i i x x S x x -=⎛⎫-≥≥⨯=⎪⎝⎭∑，故1S ≤1(((1,2,3,,2020)i i i a i -=-= 时取到．所以原式的最大值为18．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．【答案】52或2.5【分析】巧妙利用换元2log z x =得到111022z y ++=+，将12y y M x +=取对数运算得到2log (1)(1)1M y z =++-，将所求问题转化为求(1)(1)y z ++的最大值问题，由111022z y ++=+使用两次基本不等式可求出(1)(1)y z ++的最大值，考查等号取得条件即可.【详解】设12y y M x +=，则22log (1)log M y y x =++，设2log z x =，则2z x =，可知225z y +=，2log (1)(1)(1)1M y y z y z =++=++-.1111210222222z y z y +++++=+≥⋅≥⋅，(当且仅当z y =，即522yx ==时取等号.)所以5≥，故(1)(1)y z ++有最大值22(log 5)，所以2log M 就有最大值，即12y y M x +=有最大值.【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变形拼凑.在此题中拼凑的定值有:①225z y +=及111022z y ++=+，为求(1)(1)z y +++最大值做准备;②通过提取公因式实现因式分解拼凑乘积，(1)(1)(1)1y y z y z ++=++-，产生了(1)(1)y z ++与上面(1)(1)z y +++遥相呼应，可以使用基本不等式.三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]nii i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦【分析】根据给定条件，利用多项式平方运算求出2[()]f x ，再利用赋值法结合已知及进行不等式的放缩，推理判断作答.【详解】22200[()]()()nni si i ji s i j sf x a x a a x==+===∑∑∑，于是s iji j sb a a+==∑，222000001111[(1)]()(2)(2)2222n n i i i j i j i j i i i j n i j n i j n f a a a a a a a a ==≤<≤≤<≤≤<≤==+≥=∑∑∑∑∑001ni j j i j n j a a a a =<≤=≥=∑∑，因为00,1,2,,i a a i n ≤≤= ，则211211001010111[(1)]2nn i j n n n n n ji j n j b a a a a a a a a a a a a a a a a f +--+=+===+++≤+++=≤∑∑ ，所以211[(1)]2n b f +≤.10．（2023·全国·高三专题练习）设0()nii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+【分析】根据给定条件，利用多项式恒等定理求出多项式(),()f x g x 的对应项系数的关系，再按||1r ≤和||1r >讨论，并结合含绝对值不等式的性质推理作答.【详解】因为()()()g x x r f x =-，即1110101()()n n nn niii ii n i i i i i i n i i i i i c x x r a x a xra x ra a ra x a x +++-======-=-=-+-+∑∑∑∑∑，则有()0011,1,2,,,i i i n n c ra c a ra i n c a -+=-=-== ，于是2211121101231,,,,nn n n n n n n n n n a c a c rc a c rc r c a c rc r c r c +-+--++==+=++=++++ ，若1r ≤，则1111,||2n n n n n n n a c c a c rc c r c c +-++=≤=+=+⋅≤，2221111||3,n n n n n n n a c rc r c c r c r c c --+-+=++≤+⋅+≤ ，()22012311231||||||||||||||||1n n n n a c rc r c r c c r c r c r c n c ++=++++≤+⋅+⋅++⋅≤+ ，所以()1i a n c ≤+，于是()1a n c ≤+，若1r >，则11,r<由()0011,1,2,,,i i i n n c ra c a ra i n c a -+=-=-== ，得()0011111,1,2,,,i i i n n a c a a c i n a c r r r-+=-=-== ，于是00101012120122321111111111,,,,a c a a c c c a a c c c c r r r r r r r r r r =-=-=--=-=--- 101111111,n n n n n n a c c c a c r r r--+-=----= ，于是0001010122111111,2a c c c a c c c c c r r r r r r =-=<=--≤+<，201201232321111113,,a c c c c c c c r r r r r r=---≤++< 1011011111111111,n n n n n n n n n a c c c c c c nc a c c r r r r r r---+--=----≤+++<=≤ ，所以i a nc <，于是()1a n c <+，综上得：()1a n c ≤+.11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.【详解】()()()()111abc a b ab bc ca c a b ab ⎡⎤⎣⎦++-++=-+⨯-，因为a ，b ，0,2c a b c ≥++=，所以()1,1c a b ab +≤≤.于是()1abc a b ab bc ca ++≥++，同理()1abc b c ab bc ca ++≥++，()1abc c a ab bc ca ++≥++.则：1()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++++++++1bc ca abab bc ca ab bc ca ab bc ca≤++=++++++.故题中的不等式成立.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos 22x x a a +≥．【详解】设22sin x t a =，则不等式化为20at t+-≥．当01a <<时，2[,1]t a ∈；当1a =时，1t =；当1a >时，2[1,]t a ∈．因此不等式可化为220t t a +≥-．设2()2f t t t a =-+，考虑()f t 在1和2a 之间恒小于零，则2(1)0,()0,0f f a a <<>，故()()21110a a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩，1a <<．所以a的取值范围是10,[1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥ ⎝⎦．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z ，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．【详解】（1）不妨设x y z ≤≤，则||||||-+-+-=-+-+-x y y z z x y x z y zx2()=-=≤≤=z x .（2）因为2023为奇数，则1220231,, i x x x x x 中必存在1,i i x x +（令20241=x x ）同号，不妨设12,x x 同号，则：20233232023112112211232++===-=-+-≤-+++=∑∑∑ii i i i i i i xx x x x x x x x x x S ．不妨设210≥≥x x ，则122122-++=x x x x x，所以：20232322=⎫⎫=+≤≤=⎪⎪⎪⎪⎭⎭∑i i S x x当且仅当124130,,====== x x x xx或124130,,====== x x x x x 因此12232022202320231-+-++-+- x x x x x x xx 的最大值为14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．【分析】第一步化简原式，第二步利用AM GM -不等式即可得到1k =或2m ，这两种情况是对称的，不妨证明1k =的时候成立，所以原式成立.【详解】由已知22121,1,2,,i i njj mx x i nx==+=⋅⋅⋅∑，得22121ni jj i mx x x ==-∑，故221i i mx x -全相等．注意到若实数a b ¹满足2211a b a b =--，则ab a b =+，即1b a b =-．因此,1i b x b b ⎧⎫∈⎨⎬-⎩⎭，0,1,2,,b i n ≠= ．设i x 中有1bb -，21n k m k -=+-个b ，则有201k m ≤≤+，且()2222221(1)1b mb k m k b b b ⋅++-=--，即()21(1)21km k b m b ++--=-．由AM GM -不等式，若201k m <<+，()21(1)21km k b m b ++--≥≥-，因此必取等，即1k =或2m ，这两种情况是对称的，不妨1k =，则21(1)21m b m b +-=-，知11b m -=，则1,1m b a m m+==+．若0k =，则()21(1)2m b m +-=，即222(1)(1),12m m b a m m++==+．若21k m =+，则2121m m b +=-，即222(1)(1),21m m b a m m ++==+．综上可知，12,,,n x x x 要么1个21,+m m 个1m m +；要么全是22(1)1m m ++．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nnk k k k x x x x λ==≥+++∑∑ ．【分析】先取101231,2,4,,2n n x x x x x -===== ，通过对其求和可得λ的范围，再利用放缩法可得010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++ ，最后求出最大的正实数λ的值.【详解】一方面，取101231,2,4,,2n n x x x x x -===== ，得1111322nn kk λ-=-≥∑即1113122n n λ-⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭．令n →∞，得3λ≤．另一方面对正实数x ，y 有114x y x y+≥+，故0101114x x x x +≥+，012012114x x x x x x +≥+++，01230123114x x x x x x x x +≥+++++，……01101114n n nx x x x x x x -+≥++++++ ．以上各式相加，得010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++ ．故3λ=时，原不等式恒成立．综上，λ的最大值为3．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.【详解】不妨1210x x x ≤≤≤ ，设()(,)i j j i f i j x x x x =-，当010i j ≤≤≤时，因为()()()22333i j j i i i j j j i j i x x x x x x x x x x x x -≤++-=-，即333(,)j i f i j x x ≤-，当且仅当i j =时，等号成立.故()()10103311131,1i i i i f i i x x -==-<-<∑∑，所以存在{1,2,,10}i ∈ ，使得13(1,)10f i i -<，即1(1,)30f i i -<.所以存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.【分析】构造一个直角三角形，，<cos )2αα+≤,即得证.【详解】证明：为了使得条件1a b +=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：11222a b ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有222⎫+=⎪⎪⎭.①（如图所示）.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1a b +=.由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”<.α=，α=.cos )24πααα⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭∴2<成立.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹2112a b a b+>>>+.【分析】如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证.=可先构造Rt ABC △，使得2a b BC +=，2a bAC -=，如图所示.此时，AB =.再以2a bBC +=为斜边，2a b CD -=为直角边构造Rt BCD，则BD =最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2BD BE BC =⋅'得22112BD BE a b BC a b=='+，由图形直观得AB BC BD BE >>>，2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥【详解】证法一：由AM-GM 不等式有：()=120222022ni i i x x +∏=11=2022nk i i k x ≠+∑∏()11i n n =⎛≥- ⎝∏()()=11=2022nn i i n x -+∏，2022≥.证法二：不妨设12022i i y x =+,则12022,1iix i n y =-≤≤.从而原题转化为:已知111=,0<<20222022ni i i y y =∑,求证()=11ln 2022ln 20221ni i n n y ⎛⎫-≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑.令()11ln 20222022i f y y y ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭,则()()2214044=2022''y f y y y --.不失一般性,我们设12n y y y ≤≤≤ ,则：(1)若1214044n y y y ≤≤≤≤,由Jesen 不等式有：()()1111ln 202212022nn i i i f y nf y nf n n n n ==⎛⎫⎛⎫≥==-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑.(2)若12114044n n y y y y -≤≤≤≤≤ .容易得到()1ni i f y =∑取得最小值当且仅当121n y y y -=== .20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c ab λ+-的最大值.【分析】解法一：设12x m λ=-，22x m λ=+，()30x m t t =+>，利用韦达定理可化简所求式子为解法二：由()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x +-=+-+-+-可令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，由此可化简所求式子为3922n n λλ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，令0n t λ=>，()()39202g t t t t =->，利用导数可求得()max g t ，即为所求式子的最大值.【详解】解法一：由题意可设：12x m λ=-，22x m λ=+，()31212x x x m >+= ，∴可令()30x m t t =+>，由韦达定理得：()()123221223312232123332444a x x x m t b x x x x x x m mt c x x x m m t m t λλλ⎧⎪=-++=-+⎪⎪=++=+-⎨⎪⎪=-=--++⎪⎩，则()323222327929292727244a ab a a b m m t m t t λλ-=-=+---，3222272727272744c m m t m t λλ=--++，则323332279942a c abt t λλλ+--=要取得最大值，则23940t t λ->，()3223322791942a c abt t λλλ+-=-2=（当且仅当222948t t λ-=，即t=时取等号），又t =满足23940t t λ->，∴取0m =，2λ=，则t =，此时11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =时，3322792a c ab λ+-=，332279a c abλ+-∴解法二：323227927273333a a a a a c ab a b c f⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()12312327333333a a a x x x a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------=------ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又123a x x x -=++，()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x ∴+-=+-+-+-，令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，322339227922224a c ab n n n n n λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233339222799422n n a c ab n n λλλλλ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅- ⎪⎝⎭；令0nt λ=>，则3332279922a c abt t λ+-=-，令()()39202g t t t t =->，则()2962g t t '=-，令()0g t '=，解得：t =，∴当0,2t ⎛∈ ⎝⎭时，()0g t '>；当,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g t '<；()g t ∴在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()max22482g t g ⎛⎫∴==-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；∴当2λ=，n =11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =332279a c ab λ+-=332279a c abλ+-∴21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk k ni i i k D C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．【详解】任取121,,,k i i i a a a + ，由柯西不等式，有：()()1211211212111(1)(1)k j k k k j i i i i i i i i i i k a a a a k a a a a a a ++++=+≥+++-++++-+++∑ 1212(1)1k i i i k k a a a ++=⋅+++ ．所以()1211212111(1)1k k jk j i i i i i i i k k aa a aa a a +++=+++++++-∑∑∑．其中求和对1，2，…，n 的所有1k n C +个1k +元组合进行．上式左边实际上是一些k 元组合的求和，因对任意k 元组合12,,,k i i i a a a ，选这k 个数的1k +元组合有n k -个（余下的n k -个数中任意一个数都与其构成一个1k +元组合），故121121111()k j kk j i i i i i i i n k a a a a a a a ++==-+++-+++∑∑∑ ．这样便有1212121(1)1()k k i i i i i i k n k a a a k aa a ++-≥++++++∑∑ ，所以1212121(1)1C ()C k k kkni i i ni i i kk a a a n k aa a ++≥+++-+++∑∑ ．再注意到1()(1)k k n n n k C k C +-=+，即得：121211111C C k k k k ni i i n i i i k k aa a a a a +++≥++++++∑∑．这就证明了1k k D D +≥，其中1,2,,1k n =- ．即有121k k n D D D D D +≥≥⋅⋅⋅≥≥≥⋅⋅⋅≥．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.【答案】当n为偶数时，最大值为n为奇数时，最大值为【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立.（1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112nn nii i i i i i i a aa a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立.（2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a ----- 必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn nii i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122a a a a a -++=，所以：23A 2222ni i a a ==+≤≤=⎝∑当且仅当124130,a a a a a =======L L124130,,a a a a a ======L L .23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．【详解】当4n ≥时，由平均值不等式知1111111n nn j i nj i j j j ia a a a n n --==≠⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭∑∏ ．又111i a n -<-，则131111n i i a a n n ---⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以231312112222n n n n a a a a a a a a a a n a n a n -++++-+-+- ()()3311(1)2ni i i a n a n =-≤-+-∑33321(10)1(1)(02)(1)(2)(1)ni n n n n n n =-<=≤-+----∑．当3n =时，即证312311(1)4=≤+∑i i i a a a a a ．由于()()()()11123121311111111411a a a a a a a a a ⎛⎫=≤+ ⎪+-+---⎝⎭，所以3112131111((1)4(1)(1)=≤++--∑∑i i i a a a a a a ()()2131111411a a a a ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭∑()2323123111414a a a a a a a +==-∑∑，所以31231111(1)44=≤=+∑∑i i i a a a a a a ．命题得证．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111nn k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．【详解】由题意2112a a =+=．对2n ≥，我们有：11nn k k na n a +==+∑；()1111n n k k n a n a -=-=-+∑．两式相减，得：11n n na na +-=，即()111n n a a n n+=+≥．对2n ≥有1111n n k a k-==+∑．取403621n =+，则114035220211122i i n n k i k a k k +-===+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑1403521021122i i i i k ++==+⎛⎫>+ ⎪⎝⎭∑∑403501220202i ==+=∑，从而403621n =+满足要求．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．【答案】3,3,41, 4.n M n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩【详解】当4n ≥时，令1(1,2,,1)k k a xa k n +==- ，则2221111(1)11nk n k k k a x n a a x x -=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．当0x →时，2211(1)111n x n x x -⎛⎫⎛⎫-+→ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．令1k k k a x a +=，则问题化为：121n x x x = ，证明：21111n k k x =⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑．当4n =时，首先证明：22111111x y xy⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．①①式332212x y xy x y xy ⇔++≥+，由均值不等式知成立．由①式知2412341123412341234211111111k k x x x x x x x x x x x x x x x x x =⎛⎫++≥+== ⎪++++++⎝⎭∑．假设n k =时，对任意正实数12,,,k x x x 结论成立．则1n k =+时，由对称性不妨设121,,,,k k x x x x + 中1k x +最大，则11k x +≥，所以22211111111k k k k x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由归纳假设知，此时结论成立．由数学归纳法知，2111nk k k k a a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑．故1M =．当1233,n a a a ===时，231134k k k k a a a =+⎛⎫= ⎪+⎝⎭∑．由于24111k k k k a a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑，令34a a =，则231134k k k k a a a =+⎛⎫≥⎪+⎝⎭∑，所以34M =．综上所述，3,3,41, 4.n M n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .【详解】原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C--- .在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++ .而上式左边8=，故原不等式得证27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．【详解】332211a b a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()55234234222211(1)(1)11a b a b a aa ab b b b a b a b ----++++++++==()()23423411a aa ab b b b ab++++++++=23231111a a a b b b a b ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭231ab ⎫≥++++⎪⎭（柯西不等式），122a b +=，令t =231()1g t t t t t=++++，其中102t <≤，则2213()12341104g t t t t =-+++≤-+++<'，所以131()28g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭．所以2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】解同除!n ：()()11111!3!2nnn nn n n n ++⋅<<，设()1!nnn a n +=，原题即证：23n nn a <<，而()2211111111C C 2nn nn n n n n n n aa n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++⋅+⋅⋅⋅+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以112121···2n n n n n a a a a a a ----⋅⋅⋅>，即1122n nn a a ->⋅=，1n >，又2211111C C nn n n n n a a n n -⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 11122!3!!n <+++⋅⋅⋅+211112222n -<+++⋅⋅⋅+11332n -=-<，所以112121···<3n n n n n a a aa a a ----⋅⋅⋅，即1133n nn a a -<⋅<，1n >，综上可得：1n >时，23nnn a <<，即11!32n nn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n n i i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.【分析】由特例可得当n 为偶数时，1||ni i a =∑的最小值为0，当n 为奇数时，问题可转化为“给定正奇数n ，设11,,n x x +⋯满足1(1,2,)i i x x i n +≠=，111n n i i i i x x +===∏∏,则111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑恒成立.”，利用逐步调整法可证后者.【详解】当n 为偶数时，取10n a a =⋯==，故1||ni i a =∑的最小值为0；当n 为奇数时，也可只取121,1a a =-=，其余为0，此时1||2ni i a ==∑，下证当n 为奇数时，12ni i a =≥∑恒成立.（利用换元可以得到更直观的形式如问题2）.问题2：给定正奇数n ，设11,,n x x +⋯满足1(1,2,)i i x x i n +≠=，111n n i i i i x x +===∏∏,则111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑恒成立.证明：注意到若10i i x x +⋅≥同号，即有111i i i i x x x x +++≥-，因为n 为正奇数，则必定存在一组0010i i x x +⋅≥同号，否则若1,i i x x +均异号，则111,nni i i i x x +==∏∏的符号必定相异.若还存在其他组10i i x x +≥，则可得111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑成立，若无其他组10,i i x x +≥同号，不妨10n n x x +≥，可设10,0n n x x +>>，（若等于0的可以进行小范围微调，只要不影响绝对值内数值的符号即可）.因为无其他组10,i i x x +≥同号，故122221221110,0,,0,0,0,0,,0,0,0k k k k n n n x x x x x x x x x --+-+><<>><<>> ，此时11,n x x +同号.记1i i i x d x +=，则11ni i d ==∏且对1i n ≤≤，11111.1i i i ii i i i i i x x d x x x x x x d ++++--+==-++设1121|1|1(,,,)11n i n n i i nd d f d d d d d -=-+=++-∑ ，下面将在11n i i d ==∏条件下进行调整.①若存在1,1k d k n >≤-.令()1,,,,n n k n i k i d d d d d d d i k n '==>='≠'则()()()()()'''1212211,,,,,,0.111n k k n n k n n k d d d f d d d f d d d d d d d --⋯-⋯=+>+--②若存在,1,1k l d d k l n <<≤-.令()'''1,,,,k l k l i i d d d d d d i k l ===≠则()()1212111,,,,,,111k l k l n n k l k l d d d d f d d d f d d d d d d d '''---⋯-⋯=+-+++()()()()()()1110111k l k l k l k l d d d d d d d d ---=>+++由上述讨论知，经过有限次调整可得：对1i n ≤-，除至多一个1i d ≠（设为)1d 外，其余1i d =.因此就有11n d d =，不妨设1n d >，则101d <<，故1121|1|1(,,,)11n i n n i i n d d f d d d d d -=-+⋯=++-∑111111n n n nd d d d -+≥+-+1111n n n n d d d d -+=++-2≥，原不等式得证.至此我们完成了问题2在奇数情况下的解答，即所求()max 2n λλ==.综上，当n 为偶数时，1||ni i a =∑的最小值为0；当n 为奇数时，1||ni i a =∑的最小值为2.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.【详解】等价于已知x ，y ，0z >，1x y z ++=，证：()8445221x y z x y z +≥+∑，由三元均值不等式有()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()84444622()x y z x y xyz yx ∏+⎛⎫=≥∏+ ⎪⎝⎭，所以有()()8446653()()xy z x y xyz xyz ++≥∏∏，则可知()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()()()866444444322()893xyx y x xyxyz xxy ++≥≥≥+∏∏∑∑∑∏，则有()844522x y z x y z+≥+∑1x y z =++≥13≥，所以()8445221x y z x y z +≥+∑,所以原不等式成立.。
全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编
全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编一、简介不等式是数学中一种重要的概念，涉及到数的大小关系和数的取值范围等问题。
全国高中数学历届联赛一直重视不等式的考核，下面将为大家汇编一些历年来的不等式试题。
二、一元一次不等式1. 第一题已知不等式3x - 2 > 5，求解x的取值范围。
解析：首先将不等式中的常数移到一边，得到3x > 7，然后通过除以正数的操作得到x > 7/3。
所以x的取值范围为[7/3, +∞)。
2. 第二题已知不等式2x + 1 < 7，求解x的取值范围。
解析：同样地，将不等式中的常数移到一边得到2x < 6，然后除以正数得到x < 3。
所以x的取值范围为(-∞, 3)。
三、一元二次不等式1. 第一题已知不等式x^2 - 5x + 6 > 0，求解x的取值范围。
解析：首先将不等式转化为对应的方程x^2 - 5x + 6 = 0，并求得方程的解x1 = 2，x2 = 3。
然后绘制一元二次函数的图像，根据函数的凹凸性和与x轴的交点，可以得出x的取值范围为(-∞, 2) ∪ (3, +∞)。
2. 第二题已知不等式x^2 - 4x + 3 < 0，求解x的取值范围。
解析：同样地，将不等式转化为对应的方程x^2 - 4x + 3 = 0，并求得方程的解x1 = 1，x2 = 3。
绘制函数图像，可以得出x的取值范围为(1, 3)。
四、综合不等式1. 第一题已知不等式2(x - 1) + 3 < 4(x + 2)，求解x的取值范围。
解析：先将不等式中的括号展开，得到2x - 2 + 3 < 4x + 8。
整理得到x > -13/2。
所以x的取值范围为(-13/2, +∞)。
2. 第二题已知不等式(x - 1)(x + 2) > 0，求解x的取值范围。
解析：首先将不等式的等号两边进行因式分解，得到(x - 1)(x + 2) = 0。
近五年全国高中数学联赛选编——不等式
近五年全国高中数学联赛选编——不等式 2015.8.171.（2010年 加试3）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤=，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==．求证：1112nnk k k k n a A ==--<∑∑ 解：由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11111max ,nk i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ 111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1k n =-， 故111nnnk k n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑()1111n n n k n kk k A A A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑12n -=．111n nnk k n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑()1111n n n k n k k k A A A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑12n -=．2.（2011年 加试3）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j k ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．证明：对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且r a a a a jk i j =-- ①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j ．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j ． 同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j -≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj jm j j n j j n r gr g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．3.（2012年 加试3）4.（2013年加试3）5.（2014年加试1）。
全国高中数学竞赛专题：不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
高中数学竞赛 不等式
高 中 数 学 竞 赛 不等式 有答案1．不等式的概念与性质 【一】知识要点1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用性质正确、迅速地对不等式进行转换。
2．在利用不等式的性质时，应特别注意条件的限制。
【二】解题指导 例1： 若610≤≤a ，122a b a ≤≤，c a b =-，求c 的取值范围。
例2：设c d R ,∈+，且c d a +≤，c d b +≤，证明：ca db ab +≤例3：已知函数f x ax c ()=-2满足-≤≤-411f ()，-≤≤125f () 求证：-≤≤1320f ()【三】巩固练习 一、选择题1、下列四个命题：（1）若ax b >，则x b a>；（2）若a x a y 22>，则x y >；（3）若()()a x a y 2211+>+，则x y >； （4）若xa y a 22>，则x y >。
其中正确的命题的个数是（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2、若a b ,是任意实数，且a b >，则（A ）a b 22> （B ）b a>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）b a )21()21(< 3、若a b >+1，下列各式中正确的是 （A ）a b 22> （B ）ab>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）lg lg a b > 4、已知a b <-<<010,，则下列不等式成立的是（A ）a ab ab >>2 （B ）ab ab a 2>> （C ）ab a ab >>2 （D ）ab ab a >>2 5、若x y z ,,均为大于-1的负数，则一定有 （A ）x y z 2220--< （B ）xyz >-1（C ）x y z ++<-3 （D ）()xyz 21> 6、当a b c >>时，下列不等式成立的是（A ）ab ac > （B ）a c b c ||||> （C ）||||ab bc > （D ）()||a b c b -->0 二、填空题1、已知a b c R ,,∈，且a c b <<，则c ab 2+ ()a b c +（用不等号连结）。
全国高中数学联赛-不等式专题排序不等式与琴生不等式.pdf
1. ABC 中，求 sin A sin B sin C 的最大值。
2. f (x) ax 2 bx c ，若 a 0 ，证明 f (x) 是下凸的；若 a 0 ，证明 f (x) 是上凸的。
3. 用函数 f (x) lg x 的凸函数性质证明平均值不等式：对 ai 0 （ i 1,2,..., n ）有
2
x分
别是 (0,
), (0,)
上的下凸函数。
f
(x)
sin
x, lg
x
分别是 [0,
], (0,)
上的上凸函数。
2
定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
幂平均：
设
a1, a2 ,..., an
是任意
n
个正数，我们称 ( a1r
a2r n
...
an r
1
)r
(r
在命题与逻辑用语的学习过程中，我们常常会列举与不等式性质相关的问题作为范例. 不仅在大纲版人教社教材和课标版各教材的简易逻辑部分，都配有与此相关的例题、练习题 作为逻辑学习的载体，在各类教辅用书和重要考试的考题中， 以不等式性质或其运用作为 素材的逻辑问题也是屡见不鲜的.这不仅是因为不等式的性质具有形式简洁明确、易于体现 逻辑关系的特点，还因为它的工具作用使得我们在以许多其他教学内容作为题材提出围绕命 题与逻辑用语的问题时，也与不等式的性质相关.
高一对函数单调性的证明， 由于学生对不等式相关知识和方法的掌握方面还很欠缺，所以
我们将证明 f (x1 )与f (x2 ) 的大小关系，转化为判断 f (x1 ) f (x2 ) 的符号问题，从而以 f (x1 ) f (x2 ) 的恒等变形作为主要步骤，避免了对运用不等式性质进行变形的依赖.
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全
高中数学竞赛中涉及到不等式的公式大全包括但不限于以下内容：
1. 平均值不等式（AM-GM不等式），对于非负实数a1,
a2, ..., an，有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)。
这个
公式在解决求最值问题时非常常用。
2. 柯西-施瓦茨不等式，对于实数a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，有|(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)| ≤ √(a1^2 +
a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
这个不等
式在向量和内积的相关问题中经常被应用。
3. 阿贝尔不等式，对于实数序列a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，若a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an且b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn，则有a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... + bn)。
这个不等式在求和问题中有着重要的应用。
4. 杨辉不等式，对于非负实数a, b, c，有(a+b)^n ≥ a^n + b^n，其中n为自然数。
这个不等式在代数不等式证明中经常被使用。
5. 三角不等式，对于任意实数a, b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
这个不等式在解析几何和向量的运算中常常被用到。
以上是高中数学竞赛中常见的不等式公式，当然还有其他一些不等式公式和定理，但这些是比较基础和常见的。
希望这些内容能够对你有所帮助。
全国高中数学竞赛专题-不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。
）例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|. 解：因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,|)1(log ||)1(log |x x aa -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11>log (1-x)(1-x)=1（因为0<1-x 2<1，所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1）. 所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
）例3 已知a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab - 证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+，因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+， 所以原不等式成立。
例 4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21，求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤-证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-， 所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-， 所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-， 也就是证)1)(1()1)(1(b a b b a b a a b a ---≤---，只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。
高中数学竞赛holder不等式
高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。
它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。
2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。
霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。
霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。
3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。
4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。
当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。
5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。
根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。
高中竞赛常用的不等式
高中竞赛常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
附：给出大家可能没见过的证明:对于一元二次方程0)()(2)(2n 2221n 221122n 2221=+++++++-+++b b b x b a b a b a x a a a n 等价于0)()()(2222211=-++-+-n n b x a b x a b x a ，该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ， 得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系： 平方平均na a a Q n 2n 2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均n n n a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和） （乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
全国高中数学联赛辅导课件─不等式(“尝试”相关文档)共9张
2.(第 36IMO 试题)设 a, b, c 为正实数,且满足abc 1 ,
求
a3
1 (b
c)
1 b3(a
c)
1 c3(a
b)
的最小值.
3 2
3.已知 a, b, c, d, e 是满足 a b c d e 8 ,
16
a2 b2 c2 d 2 e2 16 的实数解,试求 e 最大值.
∵ 2007 669 3 ∴最大值为 3669
7
1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式;
的最小值为( A )
1思路: 构造重要不等式;
(A) ( a 1思路: 构造重要不等式;
1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式;
b )2 (B) 1 ( a 2
b )2 (C) a b (D) a b 2
2.(200 0 1思路: 构造重要不等式;
满足条件 ab＋bc＋ca＝1，则 1 1 1 的最小值 1a 1b 1c
是____. 3(3 3 )
2
9
1思路: 构造重要不等式;
23
(A)5
(B)6 (C)8
(D)9
1思路: 构造重要不等式; 构造均值不等式; 换元法.
2020全国高中数学联赛《不等式》专题真题汇编
2020全国高中数学联赛《不等式》专题真题汇编1、已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定 【答案】A2、已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+99－y 2的最小值是（ ）(A) 85 (B) 2411 (C ) 127 (D) 125 【答案】D3、不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为（ ）A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 【答案】C【解析】令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，⇒x ∈[2，4)，选C ． 4、使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A B C ． D 【答案】D 5、设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为（ ）A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x <<【答案】B6、设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ）A.]31,31[- B. ]21,21[- C.]31,41[- D. [−3，3] 【答案】A【解析】令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R=-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式
不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 切比雪夫不等式★ ★ ★§1。
柯西不等式定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当时成立。
本不等式称为柯西不等式。
思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1∴右-左=当且仅当定值时，等式成立。
思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
证明2当时等式成立；当时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。
证明3 构造函数。
由于恒非负，故其判别式即有等式当且仅当常数时成立。
若柯西不等式显然成立。
例1 证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。
证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1)先证①注意到欲证①,即需证②此即由柯西不等式,易知②成立,从而①真(11)再证, ③欲证③,只需证④而④即要证⑤(注意)由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)（其中，结合代换，即当且仅当时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链其中等式成产条件都是．§２．排序不等式定理２设有两组实数，满足则(例序积和)（乱序积和）（须序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全（实用版）目录1.竞赛不等式的基本概念2.高中竞赛不等式的分类3.高中竞赛不等式的解题技巧4.高中竞赛不等式的应用实例正文【高中竞赛不等式公式大全】一、竞赛不等式的基本概念竞赛不等式是高中数学竞赛中经常出现的一类题型，它涉及到较深的数学知识，需要运用较高的数学技巧来解决。
竞赛不等式主要考察学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式主要分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是一次的。
2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是二次的。
3.多元不等式：涉及多个未知数。
4.绝对值不等式：包含绝对值符号的不等式。
5.复合不等式：包含多个不等式的不等式。
三、高中竞赛不等式的解题技巧1.符号法则：根据不等式的符号，确定未知数的取值范围。
2.同向相乘，反向相加：将不等式中的乘法项同向相乘，加法项反向相加，使不等式变形，便于求解。
3.移项：将不等式中的项移到同一侧，使未知数的系数为 1。
4.分类讨论：根据不等式的特点，对未知数的取值范围进行分类讨论，求解不等式。
5.利用基本不等式：运用基本不等式求解复杂的不等式。
四、高中竞赛不等式的应用实例1.求解一元一次不等式：根据符号法则，同向相乘，反向相加，移项等技巧，求解一元一次不等式。
2.求解一元二次不等式：运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解一元二次不等式。
3.求解多元不等式：根据不等式的特点，运用分类讨论，符号法则等技巧，求解多元不等式。
4.求解绝对值不等式：利用绝对值不等式的性质，运用符号法则，同向相乘，反向相加等技巧，求解绝对值不等式。
5.求解复合不等式：根据不等式的特点，运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解复合不等式。
高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)
（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：1.竞赛不等式的概念和意义2.高中竞赛不等式的分类和特点3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧4.高中竞赛不等式的应用实例5.总结与展望正文：【1.竞赛不等式的概念和意义】竞赛不等式是指在解决各类数学竞赛题目中，涉及到的不等式问题。
这类问题不仅在高中数学竞赛中占有重要地位，也是选拔和培养优秀数学人才的重要手段。
高中竞赛不等式作为数学竞赛的一个组成部分，对于提高学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
【2.高中竞赛不等式的分类和特点】高中竞赛不等式可以分为以下几类：（1）代数不等式：涉及变量的代数式大小关系问题。
（2）几何不等式：涉及线段、角、三角形等几何元素的大小关系问题。
（3）三角不等式：涉及正弦、余弦、正切等三角函数的大小关系问题。
（4）对数不等式：涉及对数函数的大小关系问题。
（5）指数不等式：涉及指数函数的大小关系问题。
高中竞赛不等式的特点主要表现在：题目难度较大，需要运用一定的数学知识和技巧进行解答。
同时，这类题目具有较高的灵活性和广泛性，能够充分检验学生的数学能力。
【3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧】解决高中竞赛不等式问题，需要掌握一定的解题方法和技巧：（1）分析法：通过对题目中的条件进行分析，找到不等式成立的充分条件。
（2）综合法：将题目中的条件综合起来，利用数学公式和定理进行推导。
（3）代换法：将题目中的变量进行代换，化简原不等式，便于求解。
（4）构造法：通过构造新的数学对象，将原不等式转化为更容易解决的问题。
（5）特殊值法：通过取特殊值，检验原不等式是否成立。
【4.高中竞赛不等式的应用实例】例题：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x+1，求证：f(x)≥0。
解：首先，我们可以求出函数的导数f"(x)=6x^2-6x+1，然后令f"(x)=0，解得x=1/2 或x=1。
接着，我们可以通过分析法，得出当x∈(-∞,1/2]∪[1,+∞) 时，函数f(x) 单调递增；当x∈[1/2,1] 时，函数f(x) 单调递减。
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全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。
） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0A ＞B ．）例1 设a, b, c ∈R +，试证：对任意实数x, y, z, 有x 2+y 2+z 2.))()((2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++≥xz b a c yz a c b xy c b a a c c b b a abc 证明：左边-右边=x 2+y 2+z 2222()()()()()()ab bc caxy yz xz b c c a a b c a a b b c ---++++++222222()()()()b ab a c bc b x xy y y yz z b c b c c a c a c a a b c a a b =-++-+++++++++ 222()()a ca c z xz x a b a b b c b c+-+++++ 2220.b a c b a c x y y z z x b c c a c a a b a b b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以左边≥右边，不等式成立。
（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。
）例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|.解：因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11>log (1-x)(1-x)=1（因为0<1-x 2<1，所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1）.所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
）例3 已知a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab - 证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+， 因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+，所以原不等式成立。
例4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21，求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤- 证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21，由二次函数性质可证a(1-a)≤b(1-b)≤c(1-c)， 所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-，所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-，所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-，也就是证)1)(1()1)(1(b a b ba b a a b a ---≤---，只需证b(a-b)≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。
所以命题成立。
3．综合法例5若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)。
证明:∵(a+b -c)+(b+c-a)=2b ＞0, (b+c-a)+(c+a-b)=2c ＞0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a ＞0,∴a+b -c,b+c-a,c+a-b 中至多有一个数非正.(1) 当a+b-c,b+c-a,c+a-b 中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立. (2) a +b-c,b+c-a,c+a-b 均为正时,则()()()()2a b c b c a a b c b c a b +-++-+-+-≤=同理()()()(),,a b c a c b a b c a a c b c +-+-≤+-+-≤三式相乘得abc ≥(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)例6已知△ABC 的外接圆半径R=1，S △ABC =，a,b,c 是△ABC 的三边长，令S=，t=。
求证：t>S 。
解：由三角形面积公式:1sin 2bc A .正弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.所以2t=2bc+2ac+2ab.由因为a.b.c 均大于0。
所以bc ac ab a abc b abc c abc a b c 所以t>s 。
4．反证法例7 设实数a 0, a 1,…,a n 满足a 0=a n =0，且a 0-2a 1+a 2≥0, a 1-2a 2+a 3≥0,…, a n-2-2a n-1+a n ≥0，求证a k ≤0(k=1, 2,…, n-1). 证明：假设a k (k=1, 2,…,n-1) 中至少有一个正数，不妨设a r 是a 1, a 2,…, a n-1中第一个出现的正数，则a 1≤0, a 2≤0,…,a r-1≤0, a r >0. 于是a r -a r-1>0，依题设a k+1-a k ≥a k -a k-1(k=1, 2, …, n-1)。
所以从k=r 起有a n -a k-1≥a n-1-a n-2 ≥…≥a r -a r-1>0.因为a n ≥a k-1≥…≥a r+1≥a r >0与a n =0矛盾。
故命题获证。
5．数学归纳法例8 对任意正整数n(≥3)，求证：n n+1>(n+1)n .证明：1）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。
2）设n=k 时有k k+1>(k+1)k，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即12)2()1(++++k k k k >1.因为1)1(1>++k k k k ，所以只需证12)2()1(++++k k k k kk k k )1(1+>+， 即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证k 2+2k+1>k 2+2k. 显然成立。
所以由数学归纳法，命题成立。
6.分类讨论法例9 已知x, y, z ∈R +，求证：.0222222≥+-++-++-yx xz x z z y z y y x 证明：不妨设x ≥y, x ≥z.ⅰ）x ≥y ≥z ，则zy z x y x +≤+≤+111，x 2≥y 2≥z 2，由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222，原不等式成立。
ⅱ）x ≥z ≥y ，则zy y x z x +≤+≤+111，x 2≥z 2≥y 2，由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222，原不等式成立。
7.放缩法（即要证A>B ，可证A>C 1, C 1≥C 2,…,C n-1≥C n , C n >B(n ∈N +).）例10 已知a, b, c 是△ABC 的三条边长，m>0，求证：.mc cm b b m a a +>+++ 证明：m b a m m b a b a m b a b m b a a m b b m a a ++-=+++=+++++>+++1mc cm c m +=+->1 （因为a+b>c ），得证。
8.引入参变量法例11 已知x, y ∈R +, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=2323yb x a +的最小值。
解： 设k x y =，则k kly k l x +=+=1,1，f(x,y)==⎪⎪⎭⎫⎝⎛++23322)1(k b a l k 22333233333211111l k a k b k b k b k a k a b a l ≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅+⋅++++ (a 3+b 3+3a 2b+3ab 2)=23)(l b a +， 等号当且仅当y bx a =时成立。
所以f(x, y)min =.)(23l b a + 例12 设x 1≥x 2≥x 3≥x 4≥2, x 2+x 3+x 4≥x 1，求证：(x 1+x 2+x 3+x 4)2≤4x 1x 2x 3x 4. 证明：设x 1=k(x 2+x 3+x 4)，依题设有31≤k ≤1, x 3x 4≥4，原不等式等价于(1+k)2(x 2+x 3+x 4)2≤4kx 2x 3x 4(x 2+x 3+x 4)，即kk 4)1(2+(x 2+x 3+x 4)≤x 2x 3x 4，因为f(k)=k+k 1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31上递减，所以k k 4)1(2+(x 2+x 3+x 4)=)21(41++k k (x 2+x 3+x 4)≤42313++·3x 2=4x 2≤x 2x 3x 4. 所以原不等式成立。