高中数学竞赛中不等式的解法

思路分析 ：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明 .
证明 ：不妨设 a b c ，则有 lg a lg b lg c
根据排序不等式有：
a lg a b lg b c lg c alg b b lg c c lg a
a lg a blg b c lg c a lg c b lg a c lg b
以上两式相加，两边再分别加上
ak bk 2 a12 a2 2
ak 2 b12 b2 2
bk 2
当且仅当 a1 a2 b1 b2
ak 时等号成立。 bk
那么当 n=k+1时，
a1b1 a2b2 a1b1 a2b2
2
ak bk ak 1bk 1 ak bk 2 2ak 1bk 1 a1b1
a2 b2
ak bk
ak
12bk
2 1
n
2
aibi
i1
i1
n
ai 2
i1
n
bi 2 . 当且仅
i1
当 cos ,
1，即 , 平行时等号成立。
数学归纳法证明
i ) 当 n=1时，有 a1b1 2
a12b2 2 ，不等式成立。
当 n=2时， a1b1 a2b2 2 a12b12 a 22b2 2 2 a1b1a2b2
7 / 15
a12
a
2 2
得
bn 1 ... b1 及已证明的不等式右端，
(a1bn a2bn 1 ... anb1 )
(a1br1 a2br2 ... an brn )
即
a1bn a2 bn 1 ... an b1 a1br1 a2br2 ... an brn .
abc
例 1 （美国第 3 届中学生数学竞赛题）设 a,b,c 是正数，求证： a abbc c (abc) 3 .
记 c n a1a2...an ，令
bi ai ， c
则 原不等式 b1 b2 ... bn n
1
其中 b1b2...bn
(a1a2...an ) 1
cn
取 x1, x2 ,..., xn 使 b1 x1 , b2 x2 ,..., bn 1 xn 1 , 则 bn xn .
x2
x3
xn
x1
由排序不等式，易证
数形式，尝试用调和平均 .
证明 ：不等式左边化为
n ai i 1 2 ai
n
2
(
i 1 2 ai
1) ，
对
2
2
,
,...,
2
，利用 A(n)
H (n) 有
2 a1 2 a2 2 an
1 n ai n i 1 2 ai
n n 2 ai i1 2
2
可看为倒
2 ai
6 / 15
即
n 2 ai
n2
n2
2n2
n
ai2 x2
2 ai bi x
2
bi
i1
n
ai x
i1
2
bi
0故
f x 的判别式
4B 2 4AC 0
移项得 AC B2 ，得证。
向量法证明
令
a1, a2, , an ，
b1,b2, , bn . 则 对 向 量 , 有
cos , 1 ， 由
a1b1 a2b2
2
anbn ，
n
ai 2 ,
2
i1
n
bi 2 ，得
c2 a2 2b
a3 b3 c3
.
bc ca ab
思路分析 ：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明
.
证明 ：不妨设 a b c ，则 a2 b2 c2 且 1 1 1 cba
根据排序不等式，有
a 2 b 2 c2 a 2 1 b2 1 c 2 1
cab
abc
a2 b2 c2 a2 1 b2 1 c2 1
和 bn 后，再调整 an 1 和 bn 1 会使和增加 . 经过 n 次调整后，和 S 达到最大值 a1b1 a2b2 ... anbn ，这就证明了
a1br1 a2 br2 ... anbrn
再证不等式左端 ,
a1b1 a2b2 ... anbn .
1 / 15
由 a1 a2 ... an, bn
a1 a2
an
n
11 1
n
...
a1 a2 an
即 H (n) G( n) （等号成立的条件是显然的） .
例 4 已知 0
a
2
1, x
2
y
x
0 ，求证： log a( a
y
a)
log a 2
1
.
8
证明 ：由于 0 a 1， ax 0, a y 0 ，
有 ax ay 2 axay 2 ax y
从而 log a (a x xy
1 ( a1
a2
...
an )2
n
所以
a1 a2 ... an
a12 a22 ... an2 .
n
n
从上述证明知道，当且仅当 a1 a2 ... an 时，不等式取等号 .
下面证明 H (n) G (n)
对 n 个正数
11 1 , ,..., ，应用
G ( n)
H (n) ，得
a1 a2
an
1 1 ... 1
a lg a b lg b c lg c
有
3(a lg a b lg b c lg c) (a b c)(lg c lg a lg b)
即
lg aabbcc a b c lg abc
3
abc
故
a abbc c (abc) 3 .
例 2 设 a,b,c
R ，求证： a b c
a2 b2 2c
b2 c2 2a
. 在解决
竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、
切比雪夫不等式 . 本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用
.
1 ． 排序不等式
定理 1 设 a1 a2 ... an , b1 b2 ... bn ，则有
a1bn a2bn 1 ... anb1 ( 倒序积和 ) a1br1 a2br2 ... an brn （乱序积和）
下证
2 又因为 x y
所以
a y ) log a (2 a xa y ) log a 2 x y 2
1
1
，即 x y 。
8
4
Байду номын сангаас
x x2
1 11
1
1
(x )
，等号在 x= ( 这时 y= ) 时取得
2 44
2
4
log a (a x
ay)
log a 2
1
.
8
例 5（IMO）设 a,b,c 是正实数，且满足 abc=1.
bca
abc
两式相加除以 2，得
2 / 15
abc
a2 b2 2c
b2 c2 2a
c2 a2 2b
再考虑 a 3 b3 c 3 ，并且 1
1
1
bc ca ab
利用排序不等式，
a3 b3 c3 a3 1 b3 1 bc ca ab ca ab
c3 1 bc
a3 b3 c3 a3 1 b3 1 bc ca ab ab bc
1
1
1
因为 b1 b2 ... bn ， 且
...
r n r (n 1)
r1
由排序不等式
n bs
dr
s1r s
又因为
a1 a2 ... an
所以
n
ar dr
r1
n
air d r 且
r1
n
ar
r1
n s1
bs rs
n
ar d r （注意到 ar
r1
0）
3 / 15
故
a b n n
ir j s
r1s1r s
.
如果恰有一个负数，那么 uvw 0 xyz ，（ 2-1 ）式成立 .
如果这三个数都大于 0，由算术—几何平均不等式
1 uv ( x y z y z x) x
2 同理可证， vw y ， wu z
于是
uv vw wu xyz
即
uvw xyz ，（ 2-1 ）式得证 .
（ 2-1 ）
例 6 已知 a1, a2,..., an 0 ，且 a1 a2 ... an 1.
不 等 式 S a1br1 a2br2 ... anbrn 的 意 义 ： 当 r1 1,r2 2,..., rn n 时 ， S 达 到 最 大 值
a1b1 a2 b2 ... anbn . 因此，首先证明 a n 必须和 bn 搭配，才能使 S 达到最大值 . 也即，设 rn n 且 bn 和某个
a1b1 a2b2 ... anbn （顺序积和）
其中 r1,r2 ,..., rn 是实数组 b1,b2 ,..., bn 一个排列，等式当且仅当 a1 a2 ... an 或 b1 b2 ... bn 时成立 .
（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和
乱序积和 顺序积和 . ）
证明 ：考察右边不等式，并记 S a1br1 a2br2 ... anbrn 。
求证：
a1
a2
an
n
.
1 a2 a3 ... an 1 a1 a3 ... an 1 a1 a2 ... a n 1 2 n 1
思路分析 ：左边各项形式较复杂，首先将其化简为
n ai i 1 2 ai
n
2
(
1) .
i 1 2 ai
左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项
b12
b2 2
a12b12
a
2
2b
2 2
a12b22
a22b12
因为 a12 b2 2
a2 2b12
2
2a1b1a2b2 ，故有 a1b1 a 2b2
2
22
2
a1 a2 b1 b2
当且仅当 a1b2
a2 b1 ，即 a1 b1
a2 时等号成立。 b2
ii ）假设 n=k 时不等式成立，即
a1b1 a2b2
求证：
n
a b n ir js
r 1s1 r s
n n ar bs . r 1s 1r s
（1-2 ）
思路分析 ：已知条件中有两组有序实数，而式（ 1-2 ）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式 .
证明 ：令 dr
b n js
（ r= 1,2,..., n ）
s1r s
显然 d1 d 2 ... dn
1
1
1
证明： (a 1 )( b 1 )( c 1 ) 1
b
c
a
5 / 15
证明 ：令 a
y ,b x
y,c z
z
，其中 x,y,z 是正实数，将原不等式变形为
x
(x y z)( y z x)( z x y) xyz
记 u x y z, v y z x, w z x y ，
注意到 u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数
高中数学竞赛中不等式的解法
摘要 ：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并
挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型
n
n
air
bjs
r 1 s1 r s
n
air dr
r1
故 原式得证 .
n
ar dr
r1
n
n
ar
bs
r 1 s1r s
n n ar bs r 1 s1r s
2. 均值不等式
定理 2 设 a1, a2,..., an 是 n 个正数，则 H (n) G (n) A(n) Q (n) 称为均值不等式 .
其中，
H ( n)
1
，
1 1 ... 1
a1 a2
an
G(n) n a1a2 ...an ，
A(n) a1 a2 ... an ， n
Q(n)
a12 a22 ... an2 n
分别称为 a1 , a2 ,..., an 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数
.
证明 ： 先证 G ( n) A(n) .
b1 b2 ... bn
x1 ... xn 1
x2
xn
xn n x1
4 / 15
下证 A(n) Q (n)
因为
2
2
2
a1 a2 ... an
1 [( a1
a2
2
... an )
( a1
2
a2 )
( a1
2
a3)
... (a1
2
an )
n
( a2 a3 )2 ( a2 a4 )2 ... (a2 an )2 ... (an 1 an ) 2 ]
i1 2
1n n 2 i 1 ai
1 n
2
2n 1
所以
n ai
n
2
(
1) n 2 ai n 2n2 n
n
.
i 1 2 ai i 1 2 ai
i1 2
2n 1
2n 1
3．柯西不等式
定理 3 设 ai ， bi
n
n
R （i=1,2, …n）, 恒有不等式
ai2. bi2
i1
i1
n
( ai bi ) 2 ，当且仅当
ak (k n) 搭配时有
事实上，
akbn an brn akbrn anbn .
（ 1-1 ）
anbn ak brn (ak bn anbrn ) (bn brn )( an ak ) 0
不等式 （1-1 ）告诉我们当 rn n 时，调换 bn 和 brn 的位置 （其余 n-2 项不变），会使和 S 增加 . 同理，调整好 an
c3 1 ac
两式相加并除以 2，即得
a2 b 2 b 2 c 2 c2 a2 a3 b 3 c3
2c
2a
2b bc ca ab
综上所述，原不等式得证 .
例 3 设 0 a1 a2 ... an ,0 b1 b2 ... bn ，而 i1,i2 ,..., in 与 j1, j2 ,..., jn 是 1,2,..., n 的两个排列 .
i1
b1 a1
b2 a2
...
bn 时， an
等式成立 .
构造二次函数证明
当 a1 a2
an 0 或 b1 b2
bn 0 时，不等式显然成立
令A
n
ai 2 B
n
ai bi C
n
bi 2 ，当 a1 , a2 , , an 中至少有一个不为零时，可知 A>0
i1
i1
i1
构造二次函数 f x Ax 2 2 Bx2 C ，展开得： f x