高中数学竞赛中不等式的解法
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。
解不等式是指找出满足不等式条件的未知数的取值范围。
在解不等式的过程中，可以运用一些特定的方法和技巧，以求得精确的解。
一、一元一次在解一元一次不等式时，可以运用以下几种常见的方法和技巧：1.1 加减法法则：对于不等式中的两边都加上或者减去同一个数，不等式的符号不改变。
1.2 乘除法法则：对于不等式中的两边都乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不改变；若乘以或者除以同一个负数，不等式的符号则反向。
1.3 移项法：将不等式中的项移动到同一边，形成一个相等的等式，然后根据等式求解的方法得到解的范围。
1.4 区间判定法：通过观察不等式中的系数和常数项的正负关系，判断不等式的解的范围。
二、一元二次在解一元二次不等式时，除了可以运用一元一次不等式的解法外，还可以运用以下方法和技巧：2.1 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，然后根据因式的正负情况判断不等式的解的范围。
2.2 二次函数图像法：将一元二次不等式所对应的二次函数的图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。
2.3 完全平方差和平方根法：将一元二次不等式形式化为完全平方差或平方根的形式，然后根据完全平方差和平方根的性质来求解不等式。
三、绝对值绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，其解的范围一般分成两个部分。
解绝对值不等式时，可以采用以下方法和技巧：3.1 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分成正数和负数的情况讨论，并解出相应的不等式。
3.2 辅助变量法：引入一个辅助变量，使得绝对值不等式可以转化为一元一次或一元二次不等式，然后使用已知的解法来求解。
3.3 图像法：将绝对值不等式所对应的函数图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。
四、多元多元不等式是指含有多个未知数的不等式，解多元不等式时可以运用以下方法和技巧：4.1 图像法：将多元不等式所对应的多元函数的图像进行分析，根据图像的几何特征来求解不等式。
高二数学知识：不等式的解法和注意事项
高二数学知识：不等式的解法和注意事项
高二数学知识：不等式的解法和注意事项
不等式的解法：
（1）一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：
（2）绝对值不等式：若，则；；
注意：
（1）.对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；
（2）.通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
（3）.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
（5）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的'解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（6）解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论。
如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性。
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论。
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小，设根为（或更多）但含参数，要讨论。
【高二数学知识：不等式的解法和注意事项】。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：一、引言二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.其他不等式三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧2.柯西不等式的应用及解题技巧3.排序不等式的应用及解题技巧4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧5.其他不等式的应用及解题技巧四、高中竞赛不等式公式大全的总结正文：一、引言不等式作为数学中的一个重要部分，在高中竞赛中占据着举足轻重的地位。
熟练掌握各类不等式及其应用，对于提高竞赛成绩具有至关重要的作用。
本文将为您整理一份高中竞赛不等式公式大全，助您竞赛之路一臂之力。
二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式基本不等式是最常见的不等式类型之一，主要包含算术平均数与几何平均数的不等式、调和平均数与几何平均数的不等式等。
2.柯西不等式柯西不等式是一种在向量空间中的重要不等式，它可以用于证明其他许多不等式，同时也是解决某些问题的重要工具。
3.排序不等式排序不等式是一种与排序相关的不等式，可以用于解决一些与排序有关的问题，如求解排序问题、证明排序的稳定性等。
4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种在概率论和统计学中常见的不等式，可以用于求解一些概率和方差的问题。
5.其他不等式除了以上常见的不等式类型，还有一些其他的不等式，如赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式等。
三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧基本不等式在求解一些最值问题、比较大小问题等方面有着广泛的应用。
解题时需要注意观察题目条件，灵活运用基本不等式。
2.柯西不等式的应用及解题技巧柯西不等式在求解一些向量空间中的最值问题、证明其他不等式等方面具有重要意义。
解题时应熟练掌握柯西不等式的形式，灵活运用。
3.排序不等式的应用及解题技巧排序不等式在解决排序问题、证明排序的稳定性等方面具有重要意义。
解题时需要注意排序不等式的适用范围，正确运用。
4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧切比雪夫不等式在求解一些概率和方差的问题中具有重要作用。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：一、前言二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.赫尔德不等式6.闵可夫斯基不等式7.伯努利不等式8.拉格朗日不等式9.詹森不等式10.其他不等式三、高中竞赛不等式公式应用举例1.基本不等式应用2.柯西不等式应用3.排序不等式应用4.切比雪夫不等式应用5.赫尔德不等式应用6.闵可夫斯基不等式应用7.伯努利不等式应用8.拉格朗日不等式应用9.詹森不等式应用10.其他不等式应用四、结论正文：一、前言在高中数学竞赛中，不等式问题常常出现在各个章节中，解决不等式问题需要掌握一定的技巧和方法。
为了更好地应对这类问题，我们整理了高中竞赛中常见的不等式公式大全，希望能为同学们提供帮助。
二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式基本不等式（Fundamental Inequality）是最常见的不等式之一，形式为：(a^2 + b^2) / 2 >= ab。
当且仅当a = b 时，等号成立。
2.柯西不等式柯西不等式（Cauchy Inequality）是一种特殊的平方和不等式，形式为：(a_1^2 + a_2^2 + ...+ a_n^2) * (b_1^2 + b_2^2 + ...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 + ...+ a_nb_n)^2。
当且仅当存在一个标量k 使得a_i = kb_i 时，等号成立。
3.排序不等式排序不等式（Sorting Inequality）是一种关于排序的数学不等式，形式为：对于任意的实数a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1 + a_n) * n / 2 >= (a_2 +a_(n-1)) * n / 2 >= ...>= (a_n + a_1) * n / 2。
4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式（Chebyshev"s Inequality）是一种概率论中的不等式，形式为：对于任意的实数k > 0，有P(|X - μ| >= k) <= 1 / k^2。
高中数学中的不等式解题方法与实例分析
高中数学中的不等式解题方法与实例分析不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要我们掌握一些解题方法和技巧。
本文将对高中数学中的不等式解题方法进行分析，并通过实例来进一步说明。
一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是不等式中常见的一种形式，解决该类问题可以分以下几种情况进行讨论：1. 若|x| < a，则x的取值范围为(-a, a)；例如，若|3x + 2| < 5，则-5 < 3x + 2 < 5，解得-7/3 < x < 1。
2. 若|x| > a，则x的取值范围为(-∞, -a)∪(a, +∞)；例如，若|2x - 1| > 3，则2x - 1 < -3或2x - 1 > 3，解得x < -1 或 x > 2。
二、一次不等式的解法一次不等式是指不等式中最高次项为一次的情况。
解决一次不等式问题的方法如下：1. 将一次不等式化简为数轴上的区间问题，确定不等式的解集和表示方法；例如，若2x - 3 > 5，则解不等式可得x > 4。
2. 注意一次不等式中系数的正负对不等号的影响；例如，若4x + 6 < 10，则解不等式可得x < 1/2。
三、二次及以上次数不等式的解法对于二次及以上次数的不等式，我们通常会进行如下步骤来解决问题：1. 将不等式转化为二次函数的零点问题，求出二次函数的零点。
2. 根据二次函数的图像特点，确定不等式的解集和表示方法。
实例分析：例如，解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
首先，将不等式化简为(x-1)(x-3) > 0。
得到二次函数的两个零点为x=1和x=3。
其次，根据二次函数的图像特点，我们知道当x小于1或大于3时，二次函数的值大于零。
因此，不等式的解集为x < 1 或 x > 3。
综上所述，我们通过绝对值不等式、一次不等式和二次及以上次数不等式的解题方法及实例分析，详细介绍了高中数学中解决不等式问题的技巧与方法。
不等式解法高中
不等式解法高中在高中数学中，解不等式的方法可以分为以下几种常见的情况：1. 一元一次不等式：对于形如ax + b > c 或ax + b < c 的一元一次不等式，可以通过移项和分析系数的正负来确定解集。
具体步骤如下：-将不等式转化为等式，得到ax + b = c。
-根据系数a的正负，确定不等式的方向（大于或小于）。
-根据不等式方向，判断解集是开区间还是闭区间。
-如果解集是闭区间，根据系数a的正负确定不等式中的等号方向。
-最后将解集写出。
2. 一元二次不等式：对于形如ax^2 + bx + c > 0 或ax^2 + bx + c < 0 的一元二次不等式，可以通过求解对应的二次方程来确定解集。
具体步骤如下：-将不等式转化为等式，得到ax^2 + bx + c = 0。
-求解二次方程，得到其根x1和x2。
-根据系数a的正负和二次方程的性质，确定解集的形式：-若a > 0，解集是开口向上的抛物线在x1和x2之间的区间；-若a < 0，解集是开口向下的抛物线在x1和x2之外的区间。
-最后将解集写出。
3. 绝对值不等式：对于形如|ax + b| > c 或|ax + b| < c 的绝对值不等式，可以通过分情况讨论来确定解集。
具体步骤如下：-将绝对值不等式分为两种情况：ax + b > c 和ax + b < -c，以及-c < ax + b < c。
-对于每种情况，移项得到一元一次不等式。
-对一元一次不等式按照一元一次不等式的解法进行求解。
-根据不同情况的解集，合并得到绝对值不等式的解集。
这些是一些常见的解不等式的方法，但在数学中还存在其他类型的不等式和解法，这里只提供了一些基本的解法作为参考。
在具体的问题中，可以根据不等式的形式和条件选择合适的方法进行求解。
不等式的解法高中数学公式
不等式的解法高中数学公式
高中数学常见的不等式解法有如下几种公式：
1. 二次函数法：
对于一元二次不等式，可以将其转化为二次函数的求解问题。
首先对不等式中的二次项与常数项进行合并，得到一个一元二次函数。
然后通过求解二次函数的根或者根的位置来确定不等式的解集。
2. 直接法：
对于一些简单的不等式，可以直接通过对不等式进行变形，化简得到最终结果。
常见的直接法有加减法、乘除法等。
3. 分段讨论法：
对于一个包含多个不等式的复合不等式，可以将复合不等式拆分成若干个简单的不等式，并通过讨论每个简单不等式的解集的情况来确定复合不等式的解集。
4. 取模法：
对于一些涉及取模的不等式，可以通过取模运算的性质来进行求解。
通过去除不等式中的取模运算，将其转化为普通的不等式，进而求解得到最终结果。
5. 绝对值法：
对于一些含有绝对值的不等式，可以通过绝对值的性质来进行求解。
通过分情况讨论绝对值的取值范围，进而求解得到最终结果。
以上是高中数学中常见的不等式解法公式，通过灵活应用这些公式，可以有效地解决各种不等式问题。
高中数学不等式解题技巧
高中数学不等式解题技巧高中数学中，不等式是一个重要的知识点，也是考试中常见的题型之一。
解不等式题目需要一定的技巧和方法，下面将介绍一些常见的解题技巧，帮助高中学生更好地应对不等式题目。
1. 转化形式有时候，我们可以通过转化不等式的形式来简化问题。
例如，对于不等式3x-2>5，我们可以将其转化为3x>7，进一步得到x>7/3。
这样，我们就得到了不等式的解集。
2. 加减法原则对于不等式中的加减法，我们需要注意一些原则。
当不等式的两边同时加上（或减去）一个数时，不等号的方向不变。
例如，对于不等式2x+3>7，我们可以将其化简为2x>4，进一步得到x>2。
3. 乘法原则对于不等式中的乘法，我们同样需要注意一些原则。
当不等式的两边同时乘以一个正数时，不等号的方向不变。
例如，对于不等式2x<8，我们可以将其化简为x<4。
但是，当不等式的两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要改变。
例如，对于不等式-2x>8，我们需要将其乘以-1，同时改变不等号的方向，得到2x<-8，进一步得到x<-4。
4. 绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中常见的题型之一。
解绝对值不等式的关键是找到绝对值的取值范围。
例如，对于不等式|2x-3|<7，我们可以将其拆分为两个不等式2x-3<7和2x-3>-7，得到x<5和x>-2。
综合起来，我们可以得到-2<x<5，即解集为(-2, 5)。
5. 二次函数不等式二次函数不等式也是高中数学中常见的题型之一。
对于二次函数不等式，我们可以通过求解二次函数的零点来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以将其化简为(x-1)(x-3)>0，得到x<1或x>3。
综合起来，我们可以得到解集为(-∞, 1)∪(3, +∞)。
综上所述，解不等式题目需要一定的技巧和方法。
高中数学不等式求解技巧
高中数学不等式求解技巧高中数学中的不等式求解是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
掌握一些求解不等式的技巧可以帮助我们更快、更准确地解题。
下面我将从不等式性质、基本不等式以及常用的不等式求解方法等方面进行介绍。
一、不等式性质1. 不等式传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
2. 不等式加减性：如果 a<b，c>0，则有 a+c < b+c，a-c < b-c。
3. 不等式乘除性：如果a<b，c>0，则有ac < bc，a/c < b/c（前提是除数c不为0）。
二、基本不等式1. 异号的两个数相乘小于零：如果a<0<b，则有ab<0。
2. 两个数的平方关系：如果a≥b≥0，则有a^2≥b^2。
3. 正数的倒数与大小关系：如果 0<a<b，则 1/b<1/a。
三、不等式求解方法1. 移项法：将不等式中的项按照正负移动到一边形成一个等式，例如 x+2<5 可移项为 x<5-2，得到 x<3。
2. 加减法：根据不等式性质，可以加减一个相同的数使得不等式变形。
例如2x-3>5 可以两边加上3，得到2x>8，再除以2，得到 x>4。
3. 乘除法：根据不等式性质，可以乘除一个大于零的数使得不等式变形，但要注意乘以一个负数要改变不等式方向。
例如-3x < 9 可以两边除以-3，但要改变不等式符号方向得到 x>-3。
4. 绝对值法：对于带有绝对值的不等式，可以根据绝对值的性质进行分段讨论。
例如|x-3|<4 可以分为两种情况：当x-3≥0 时，得到x<7；当x-3<0 时，得到x>1。
综合起来，得到 1<x<7。
四、常用的不等式1. 平均值不等式：对于正数a1，a2，...，an，有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1a2...an)，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种数值关系表达式，描述了数值之间的大小关系。
解不等式就是确定使不等式成立的数值范围，也就是找到不等式的解集。
一、线性不等式的解法线性不等式是指变量之间的关系是一次函数的不等式，可以分为一元线性不等式和多元线性不等式。
解线性不等式的方法如下：1. 利用乘法和除法性质：当不等式两侧同乘或同除一个正数时，不等号的方向不变；当不等式两侧同乘或同除一个负数时，不等号的方向反转。
2. 利用加法和减法性质：当不等式两侧同加或同减一个数时，不等号的方向不变。
3. 将不等式转化为方程：将不等式两边相等的地方标记，再在标记的点处进行讨论，确定不等式成立的范围。
4. 图解法：将不等式对应的线性函数图像进行绘制，通过观察图像的部分确定不等式的解集。
5. 区间表示法：将解集用区间表示，例如[a, b]表示解集的范围在a 到b之间。
二、二次不等式的解法二次不等式是指变量之间的关系是二次函数的不等式，解二次不等式的方法如下：1. 将二次不等式转化为标准形式：将不等式的所有项移项，使得一边为零。
2. 利用乘法性质：当不等式两侧同乘一个正数时，不等式的方向不变；当不等式两侧同乘一个负数时，不等式的方向反转。
3. 利用根的位置和形状：通过求解二次函数的根来确定二次不等式的解集。
4. 图解法：将二次不等式对应的二次函数图像进行绘制，通过观察图像的部分确定不等式的解集。
5. 区间表示法：将解集用区间表示。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指变量的绝对值与一个数之间的大小关系的不等式，解绝对值不等式的方法如下：1. 利用绝对值的定义：讨论变量的取值范围，将绝对值不等式转化为对应的条件不等式。
2. 利用绝对值的性质：当绝对值不等式中的绝对值对应的表达式大于等于0时，可以去掉绝对值符号；当绝对值不等式中的绝对值对应的表达式小于0时，不等式无解。
3. 将绝对值不等式转化为分段函数形式：将绝对值不等式分成多个条件不等式，讨论每个条件不等式的解集。
高中不等式的解题方法与技巧
高中不等式的解题方法与技巧高中不等式是数学中的一个重要部分，它在数学竞赛和日常生活中都有广泛应用。
解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍一些常用的解题方法。
1. 移项法移项法是解决不等式问题最基本的方法之一。
当我们遇到一个不等式时，可以将其看做一个方程，然后通过移项使不等式符号变为相反的符号。
例如：2x + 5 > 7移项后得到：2x > 2x > 12. 合并同类项法合并同类项法是指将含有相同未知数的项合并在一起。
例如：3x + 5 > 4x - 1合并同类项后得到：x > -63. 因式分解法因式分解法是指将不等式中的多项式因式分解，并根据因子的正负性来确定未知数的取值范围。
例如：2x^2 - x - 3 > 0将其因式分解得到：(2x + 3)(x - 1) > 0由于两个因子都为二次函数，所以可以画出函数图像来确定未知数的取值范围。
4. 借助图像法借助图像法是指通过画出函数图像来确定未知数的取值范围。
例如：x^2 - 4x + 3 > 0将其转化为函数图像的形式，得到：从图像中可以看出，不等式的解为x < 1或x > 3。
5. 取绝对值法取绝对值法是指将不等式中的绝对值转化为两个不等式，并根据两个不等式的解来确定原不等式的解。
例如：|2x - 3| > 5将其转化为两个不等式，得到：2x - 3 > 5 或者 2x - 3 < -5解得：x > 4 或者 x < -1综合起来，原不等式的解为x < -1或者 x > 4。
以上是一些常用的高中不等式解题方法和技巧。
需要注意的是，在解决问题时要注意符号的变化和特殊情况。
同时，还需要多做题、多思考、多总结，才能够掌握这些方法和技巧，并在实际应用中灵活运用。
全国高中数学联赛一试常用解题方法之基本不等式法
全国高中数学联赛一试常用解题方法八、基本不等式法 方法介绍基本不等式法是指利用基本不等式求解数学问题的方法.中学数学竞赛中常见的基本不等式有：(1)平均值不等式； (2)柯西不等式； (3)绝对值不等式；(4)函数的单调性的应用. 例题精讲例1设P 是椭圆192522=+x y 的任意一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，试求||||21PF PF ⋅的取值范围.注：设n PF m PF ==||,||21，则10=+n m ，由焦半径公式得9,1≤≤n m ， 所以25)10(||||21≤-==⋅m m mn PF PF ，当5==n m 时等号成立. 例2数列}{n a 定义如下：1,51,2411≥+==+n a a a a nn n .求证：对任意1>n ，均有251<<n a . 注：由条件可知对任意0,1>≥n a n ，51155145154331>⨯≥+=+n n n a a a . 另一方面，当2=n 时，210172<=a .设k n =时，有2<k a .若21<≤k a ，则1+k a 21515815153<⨯+<+=k k a a ；若151<<k a ，则25151********<⨯+<+=+k k k a a a .所以总有21<+k a .下略.例3已知523≤≤x ，求证：1923153212<-+-++x x x .注：利用公式151521522211521a a a a a a +++≤+++ （平方平均值），可得左边15931531632441815331534324418x x x x x x -⨯+-⨯++⨯≤-⨯+-⨯++⨯= 1921541915<⨯==右边. 另法1：利用公式33232221321a a a a a a ++≤++，可得 左边193963913)315()32()1(31<+<++=-+-++++≤x x x x x ，下略.另法2：利用公式22222121a a a a +≤+，可得 左边2)315()32(212)31532(12x x x x x x -+-++≤-+-++=1921422)26()1(42612≤+=-++≤-++=x xx x x . 另法3：利用柯西不等式，可得左边192)14(4)3153211)(1111(≤+=-+-+++++++x x x x x .例4设λ是给定的正数，若对所有非负实数y x ,均有222)(y x c xy y x +≥++λ，求实数c的最大值.注：(1)若2≥λ，则22222)(2y x xy y x xy y x +=++≥++λ，当0=x 或0=y 时取等号，此时c 的最大值为1； (2)若20<<λ，则222222)2(42)2)(2()()2()(y x y x y x xy y x xy y x ++=+--+≥--+=++λλλλ， 当y x =取等号，此时c 的最大值为42λ+. 例5设实数c b a ,,满足2332222=++c b a ，求证：12793≥++---c b a .注：由柯西不等式得[]9)3()2()1()321()32(2222222=⋅+⋅+⋅++≤++c b a c b a ，所以332≤++c b a ，故133332793333)32(=≥≥++-++----c b a c b a . 例6设βα,为锐角，且)sin(sin sin 22βαβα+=+，求证：2πβα=+.注：由βα,为锐角得0)cos(>-βα，又=+)sin(βα)cos()cos(1sin sin 22βαβαβα-+-=+（*）于是0)cos()sin(1)cos(≥-+-=+βαβαβα，故)cos()cos(0,2||0βαβαπβα-<+≤≤-≤，代入（*）式得，)(sin )(cos 1)sin(022βαβαβα+=+-≤+≤，所以1)sin(≥+βα，只能是2,1)sin(πβαβα=+=+.另法：若2πβα>+，则0c o s )2s i n (s i n ,2>=->->ββπαβπα，同理0cos sin >>αβ，故)sin(sin cos cos sin sin sin 22βαβαβαβα+=+>+，与)si n(si n si n 22βαβα+=+矛盾，所以2πβα=+.例7已知不等式632sin 2cos sin 6)4cos()32(2+<-++-+a a θθθπθ对于]2,0[πθ∈恒成立，求a 的取值范围.注：设x =+θθcos sin ，则x x x 22)4cos(,12sin ],2,1[2=--=∈πθθ，从而原不等式可化为0436322,63)1(26)32(22>++---+<--++a xx ax x a x x x a ，也即为 0)2(3)2(2>-+--+a x x a x x x ，故0)2)(32(>-+-a x x x ，故02,032<-+<-a xx x ，即02<-+a xx 对]2,1[∈x 恒成立，从而只要max )2(x x a +>，又容易证明x x x f 2)(+=在]2,1[∈x 上递减，所以3,3)2(max >=+a xx .例8设1,0,,=++≥z y x z y x .求证：311)2(11)2(11)2(11827222≤+-++-++-≤x z z y y x .注：因为z z z z z y x ++-=+-=--=+-1131)1)(3(4)1(44)2(1122，所以原不等式等价于311)313131()111111(827≤-+-+-++++++≤z y x z y x ，由柯西不等式得 []49111111,9)1()1()1()111111(≥+++++≥++++++++++z y x z y x z y x ； []89313131,9)3()3()3()313131(≥-+-+-≥-+-+--+-+-z y x z y x z y x . 又z z y y x x 21111,21111,21111-≤+-≤+-≤+， 故25)(213111111=++-≤+++++z y x z y x . 又)2(6131),2(6131),2(6131z z y y x x +≤-+≤-+≤-， 故67)(611313131=+++≤-+-+-z y x z y x . 下略.例9求函数25501022+++-=x x x y 的值域.注：222255)5(+++-=x x y ，设),5,(),5,5(x OB x OA =-=由55||||||=+≥+知，55≥y ，等号当,同向取到，此时25=x . 说明：本题亦可构造距离求解.例10已知c b a ,,为实数，函数c bx ax x f ++=2)(，当10≤≤x 时，1|)(|≤x f . 求||||||c b a ++的最大值.注：因c b a f c b a f c f ++=++==)1(,42)21(4,)0(， 故)0(3)1()21(4),0(2)21(4)1(2f f f b f f f a --=+-=，=++||||||c b a |)0(||)0(3)1()21(4||)0(2)21(4)1(2|f f f f f f f +--++-|)0(||)0(|3|)1(||)21(|4|)0(|2|)21(|4|)1(2|f f f f f f f ++++++≤17|)0(|6|)21(|8|)1(|3≤++≤f f f .当1)21(,1)0()1(-===f f f ，或1)21(,1)0()1(=-==f f f ，即1,8,8=-==c b a 或1,8,8==-=c b a 或1,8,8=-=-=c b a 时，上式中的两个""≤同时取到.例11将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S ，求S 达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.注：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有!8种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有2!8种.下求使S 达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣统两条路径，对其中任一条路径，设k x x x ,,,21 是依次排列于这段弧上的小球号码，则8|91||)9()()1(||9||||1|211211=-=-++-+-≥-++-+-k k x x x x x x x x ，取等号当且仅当9121<<<<<k x x x ，即每一段弧上的小球编号都是由1到9递增排列，因此1682min =⨯=S .由上知，当每个弧段上的球号}9,,,,,1{21k x x x 确定之后，达到最小值的排列方案便惟一确定.在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们对应为两个子集，元素较少的一个子集共有6372717072=+++C C C C 种情况，每种情况对应圆周上使S 达到最小的惟一排法，即有利事件总数有62种，故所求概率为31512!826==P . 同步操练1．设0,|,lg |)(>=b a x x f ，且b a ≠，则下列关系中不可能成立的是（ ）A.)2()()2(b a ab f ab f b a f +>>+ B. )()2()2(ab f ba fb a ab f >+>+ C. 2()()2(b a f ab f b a ab f +>>+ D. )2()2()(b a f b a ab f ab f +>+>注：利用函数|lg |)(x x f =的图象及ba abab b a +>>+2)2，选D . 2．使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是 .注：由柯西不等式得6)63)(11()63(2=-+-+≤-+-x x x x ，当29=x 时取到等号，因原不等式有解，故6≤k .3．给定正数c b a q p ,,,,，其中q p ≠，若q a p ,,是等比数列，q c b p ,,,是等差数列，则一元二次方程022=+-c ax bx 的根的情况是 .注：由题意得b q c c p b a pq +=+==2,2,2，于是32,32q p c q p b +=+=，进而可得232323232a pq pq q p q p q p bc ==⋅≥+⋅+=，于是0,2<∆>a bc ，无实根.4．直线134=+yx 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点，该椭圆上点P 使得ABP ∆的面积等于3，则这样的点P 共有 个.注：设)20)(sin 3,cos 4(πααα<<P ，即点P 在第一象限的椭圆上，考虑四边形PAOB 的面积)4sin(26)cos (sin 6)sin 4(321)sin 3(421πααααα+=+=⨯+⨯=+=∆∆OBP OAP S S S ，所以)4(26max π==x S ，因64321=⨯⨯=∆AOB S ，所以PAB S ∆的最大值为3)12(6<-，故点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P 满足条件.5．已知y x ,都在区间)2,2(-内，且1-=xy ，则函数229944yx u -+-=的最小值为 . 注：消去y 之后，可得)49(3735122xx u +-+=，求得函数u 的最小值为512.6．已知正实数b a ,满足1=+b a ，则b a M 2112+++=的整数部分是 . 注：因10<<a ，故8)42(2)211(2)211(2222<+-=+++≤+++a a b a b a ，又22112>+++b a ，所以M 的整数部分是2.7．用一张长16厘米、宽10厘米的矩形铁皮，四角各截去一个正方形，折成一个无盖铁盒，由此铁盒的最大容积是 .注：设正方形边长为)50(<<x x （单位：厘米），则x x x V 3)210)(8(32⋅--=， 于是144]33)210()8([323=+-+-≤x x x V ，当2,32108==-=-x x x x 时等等号成立，故最大容积为144立方厘米.8．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且对任意R x ∈，都有1)()1(,5)()5(+≤++≥+x f x f x f x f ，若x x f x g -+=1)()(，则=)2012(g . 注：由x x f x g -+=1)()(得1)()(-+=x x g x f ，所以,1)1()()1()1(,5)1()(1)5()5(+-+≤-++++-+≥-+++x x g x x g x x g x x g 即)()1(),()5(x g x g x g x g ≤+≥+，所以)()2()3()4()5()(x g x g x g x g x g x g ≤+≤+≤+≤+≤，所以)()1(x g x g =+， 即)(x g 是以1为周期的周期函数，又1)1(=g ，故1)2012(=g .9．函数112424+--++=x x x x y 的值域为 .注：构造向量)23,21(),23,21(22-=+=x x ，则||||y -=，而)0,1(=-，又q p ,不同向，所以11,1||||||||<<-=-<-=y q p q p y ；另一方面222222)23()21()23()21(+-≥++x x ，故0≥y ，于是值域为]1,0[.10．过定点)1,2(P 作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于B A ,，使A O B ∆的面积最小，则l的方程为 .注：设直线1=+bya x ，则ab b a 22121≥+=，等号在2,4==b a 时取到，所以使AOB ∆面积最小的直线方程为042=-+y x .11．在ABC ∆中，c b a ,,是角C B A ,,的对边，且满足2222c b a =+，则角C 的最大值是 .注：2142cos 22222≤+=-+=ab b a ab c b a C ，当c b a ==时，等号成立，故3π≤∠C .12．设1122)(----=x x x f ，若20πθ≤≤时，0)22()sin 2(cos 2<--++m f m f θθ恒成立，则实数m 的取值范围是 .注：易知)(x f 为奇函数，又)(x f 在R 上是增函数，故22sin 2cos 2+<+m m θθ，令θsin =t ，则)10(0)12(22≤≤>++-t m mt t 恒成立，即)1()1(22+->-t t m . 当1=t 时，R m ∈；当10<≤t 时，]12)1[(2)(2t t t h m -+--=>，由函数x x x g 2)(+=在]1,0(上递减，知当0=t 时1)(max -=x h ，于是得21->m .综上所述，21->m .13．设*,321N n n S n ∈++++= ，求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值为 .注：)8(50134641)2)(32()32()(1f nn n n n S n S n f n n =≤++=++=+=+. 14．设椭圆16222=+y x 有一个内接PAB ∆，射线OP 与x 轴正向成3π角，直线BP AP ,的斜率适合条件0=+BP AP k k .(1)求证：过B A ,的直线的斜率k 是定值； (2)求PAB ∆面积的最大值.注：(1)直线x y OP 3:=，代入6322=+y x ，得)3,1(P ，设直线PB PA ,的方程分别为)1(3),1(3-=---=-x k y x k y ，得3332,33322222+--=+-+=k k k x k k k x B A ，从而3)632(,3)632(22+---=+--=k k k y k k k y B A ，于是3=AB k 为定值. (2)设直线AB 方程为b x y +=3，故0)6(32622=-++b bx x ，1634||22+-=b AB ，而点P 到直线AB 的距离为2||b d =，于是3)12(12222≤-=∆b b S PAB ，当2212b b -=，即6±=b 时，取到最大值3.15．已知βα,是方程)(01442R t tx x ∈=--的两个不等实根，函数12)(2+-=x t x x f 的定义域为],[βα.(1)求)(min )(max )(x f x f t g -=；(2)证明：对于)3,2,1)(2,0(=∈i u i π，若1sin sin sin 321=++u u u ，则643)(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g .注：(1)设βα≤<≤21x x ，则0144,0144222121≤--≤--tx x tx x ， 因此021)(2,02)(4)(42121212221<-+-≤-+-+x x t x x x x t x x ，又0212)(22)(21212121>+-+>+-+x x x x t x x x x t ， 于是0)1)(1(]22)()[()()(212221211212>+++-+-=-x x x x x x t x x x f x f ， 故函数)(x f 在区间],[βα上是增函数.因41,-==+αββαt ，故)()()(min )(max )(αβf f x f x f t g -=-=，即2516)52(181625)25(11)]22()[()(2222222222+++=+++=++++-+-=t t t t t t t t g αβαββααβαβ. (2)因ii i i i i i i i u u u u u u u u u g 222222cos 916616cos 91624162cos 916cos 24cos 1625tan 16)5tan 2(1tan 8)(tan +=+⨯≥++=+++= 故∑=+≤++312321)cos 916(6161)(tan 1)(tan 1)(tan 1i i u u g u g u g )sin 939316(6161312∑=-⨯+⨯=i i u . 因)2,0(,1sin312π∈=∑=i i i u u ，故1)sin (sin 3231312=≥∑∑==i i i i u u ，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，所以643)31975(6161)(tan 1)(tan 1)(tan 1321=⨯-<++u g u g u g .。
高中卷5不等式的解题方法与技巧
高中卷5不等式的解题方法与技巧不等式是数学中重要的概念之一，也是高中数学中常见的题型。
解决不等式问题需要运用一些常见的方法和技巧。
接下来，我将继续介绍不等式的解题方法和技巧。
1.绝对值不等式的解法：当不等式中含有绝对值时，可以先讨论绝对值内外的两种情况，再进行讨论。
例如：，x-a，<b时，可以讨论x-a<b和-x+a<b两种情况。
2.平方不等式的解法：当不等式中含有平方时，可以利用平方的非负性质来解决问题。
若平方项为非负数，则可以将不等式拆分为两个不等式，其中一个不等式是平方项为0的情况。
例如：x^2-4>0，可以拆分为x^2>4和x^2≠0两个不等式，再求解。
3.乘法原理的运用：乘法原理指的是当两个因子相乘为0时，至少有一个因子为0。
在不等式的求解过程中，可以运用乘法原理来判断不等式的解集。
例如：(x-2)(x+3)>0时，可以得到x-2>0和x+3>0两个不等式，再求解。
4.开方不等式的解法：当不等式中含有开方时，需要注意开方的正负性。
如果开方项是正数，那么开方不会影响不等式的方向；如果开方项是负数，那么开方需要改变不等式的方向。
例如：√(x-1)>2时，可以得到x-1>4和x-1<0两个不等式，再求解。
5.引入辅助变量的解法：有时候，我们可以通过引入一个辅助变量来转化原不等式，使得解题更加方便。
例如：求证a(a-1)(a-2)<0，我们可以引入辅助变量x=a-1，原不等式变为x(x+1)(x-1)<0，再求解。
6.不等式的乘方求解法：对于不等式的乘方，可以利用不等式的性质进行推导。
例如：x^3-3x^2>0时，可以将不等式分解为x^2(x-3)>0，再求解。
7.不等式的递减递增性分析法：不等式的递减递增性是指不等式随自变量增大而增大，或随自变量减小而减小的性质。
通过分析不等式的递减递增性，可以得到不等式的解集。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全（实用版）目录1.竞赛不等式的基本概念2.高中竞赛不等式的分类3.高中竞赛不等式的解题技巧4.高中竞赛不等式的应用实例正文【高中竞赛不等式公式大全】一、竞赛不等式的基本概念竞赛不等式是高中数学竞赛中经常出现的一类题型，它涉及到较深的数学知识，需要运用较高的数学技巧来解决。
竞赛不等式主要考察学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式主要分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是一次的。
2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是二次的。
3.多元不等式：涉及多个未知数。
4.绝对值不等式：包含绝对值符号的不等式。
5.复合不等式：包含多个不等式的不等式。
三、高中竞赛不等式的解题技巧1.符号法则：根据不等式的符号，确定未知数的取值范围。
2.同向相乘，反向相加：将不等式中的乘法项同向相乘，加法项反向相加，使不等式变形，便于求解。
3.移项：将不等式中的项移到同一侧，使未知数的系数为 1。
4.分类讨论：根据不等式的特点，对未知数的取值范围进行分类讨论，求解不等式。
5.利用基本不等式：运用基本不等式求解复杂的不等式。
四、高中竞赛不等式的应用实例1.求解一元一次不等式：根据符号法则，同向相乘，反向相加，移项等技巧，求解一元一次不等式。
2.求解一元二次不等式：运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解一元二次不等式。
3.求解多元不等式：根据不等式的特点，运用分类讨论，符号法则等技巧，求解多元不等式。
4.求解绝对值不等式：利用绝对值不等式的性质，运用符号法则，同向相乘，反向相加等技巧，求解绝对值不等式。
5.求解复合不等式：根据不等式的特点，运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解复合不等式。
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。
本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。
一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。
根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。
5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。
选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。
二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。
以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。
2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。
3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。
八种方法解决高中数学不等式问题
八种方法解决高中数学不等式问题下面用八种方法解决高中数学常见的不等式问题： 例题：224x y ，求34x y 的最大值.【解法一】柯西不等式先备知识：柯西不等式（二维下的）解：3,4,,a b c x d y ，由柯西不等式得：222223434x y x y 所以：3410x y ，当且仅当34x y ，即68,55x y 时，取得最大值10.【总结】柯西不等式常用，建议理解记忆。
【解法二】线性规划解：令34x y t ，则344t y x （将t 看作是直线的截距，转化为求直线截距的范围） ,x y 满足直线方程344t y x ，也满足方程224x y ，因此：显然，由图像得： 2.5104t t .【总结】数形结合典型做法，但是线性规划新高考不考。
建议从数形结合角度理解。
【解法三】判别式法解：令34x y t ，则344t y x ，代入方程：224x y ，得： 223444t x x ， 整理，得：222534016816t x tx ………………（*） 一元二次方程（*）有解，则：2232544081616t t210010t t . 【总结】常用方法之一，解决“条件极值”问题的常用手段。
【解法四】三角换元224x y 22144x y ，不妨令：cos ,sin 22x y x x . 则：34346cos 8sin 10cos sin 10sin 1055x y x x x x x，（3tan 4 ）. 【总结】三角换元、参数法建议学有余力的同学适当了解。
【解法五】对偶式先备知识： 34x y 的对偶式为43x y2223492416x y x xy y (1)2224316249x y x xy y (2)(1)+(2)，得：222234432525100x y x y x y223410043100x y x y .【总结】进阶方法，学有余力可了解。
【解法六】向量法（类似柯西不等式）34x y 可以看作向量 3,4,,a b x y 的数量积：34a b x y .所以：cos ,10a b a b a b.【总结】注意观察代数式的结构特征。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：1.竞赛不等式的概念和意义2.高中竞赛不等式的分类和特点3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧4.高中竞赛不等式的应用实例5.总结与展望正文：【1.竞赛不等式的概念和意义】竞赛不等式是指在解决各类数学竞赛题目中，涉及到的不等式问题。
这类问题不仅在高中数学竞赛中占有重要地位，也是选拔和培养优秀数学人才的重要手段。
高中竞赛不等式作为数学竞赛的一个组成部分，对于提高学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
【2.高中竞赛不等式的分类和特点】高中竞赛不等式可以分为以下几类：（1）代数不等式：涉及变量的代数式大小关系问题。
（2）几何不等式：涉及线段、角、三角形等几何元素的大小关系问题。
（3）三角不等式：涉及正弦、余弦、正切等三角函数的大小关系问题。
（4）对数不等式：涉及对数函数的大小关系问题。
（5）指数不等式：涉及指数函数的大小关系问题。
高中竞赛不等式的特点主要表现在：题目难度较大，需要运用一定的数学知识和技巧进行解答。
同时，这类题目具有较高的灵活性和广泛性，能够充分检验学生的数学能力。
【3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧】解决高中竞赛不等式问题，需要掌握一定的解题方法和技巧：（1）分析法：通过对题目中的条件进行分析，找到不等式成立的充分条件。
（2）综合法：将题目中的条件综合起来，利用数学公式和定理进行推导。
（3）代换法：将题目中的变量进行代换，化简原不等式，便于求解。
（4）构造法：通过构造新的数学对象，将原不等式转化为更容易解决的问题。
（5）特殊值法：通过取特殊值，检验原不等式是否成立。
【4.高中竞赛不等式的应用实例】例题：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x+1，求证：f(x)≥0。
解：首先，我们可以求出函数的导数f"(x)=6x^2-6x+1，然后令f"(x)=0，解得x=1/2 或x=1。
接着，我们可以通过分析法，得出当x∈(-∞,1/2]∪[1,+∞) 时，函数f(x) 单调递增；当x∈[1/2,1] 时，函数f(x) 单调递减。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：1.竞赛不等式的概念与重要性2.高中竞赛不等式的分类3.常见高中竞赛不等式公式4.运用高中竞赛不等式公式的方法与技巧5.总结与展望正文：【1.竞赛不等式的概念与重要性】竞赛不等式是数学竞赛中常见的一种题型，它涉及到解决实际问题的能力，是高中数学竞赛的重要组成部分。
掌握竞赛不等式，对于提高数学竞赛成绩具有重要意义。
【2.高中竞赛不等式的分类】高中竞赛不等式主要分为以下几类：（1）代数不等式：涉及代数运算，如加减乘除、乘方、开方等。
（2）几何不等式：涉及几何概念，如线段、角度、面积、体积等。
（3）三角不等式：涉及三角函数，如正弦、余弦、正切等。
（4）对数不等式：涉及对数函数，如自然对数、常用对数等。
（5）指数不等式：涉及指数函数，如自然指数、幂指数等。
【3.常见高中竞赛不等式公式】（1）均值不等式：对于任意正实数a1, a2,..., an，有(a1^2 + a2^2 +...+ an^2) / n >= (a1 + a2 +...+ an) / n。
（2）柯西不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和b1, b2,..., bn，有(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 +...+ an^2)(b1^2 + b2^2 +...+ bn^2)。
（3）排序不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和b1, b2,..., bn，有a1b1 + a2b2 +...+ anbn <= (a1 + a2 +...+ an)(b1 + b2 +...+ bn)。
（4）赫尔德不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和正整数p，有(a1^p + a2^p +...+ an^p) / p >= (a1 + a2 +...+ an) / n。
【4.运用高中竞赛不等式公式的方法与技巧】（1）熟练掌握各种不等式的基本形式和特点，以便在解题过程中迅速识别和运用。
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证明 ：不妨设 a b c ，则有 lg a lg b lg c
根据排序不等式有：
a lg a b lg b c lg c alg b b lg c c lg a
a lg a blg b c lg c a lg c b lg a c lg b
以上两式相加，两边再分别加上
高中数学竞赛中不等式的解法
摘要 ：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并
挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型
1 ( a1
a2
...
an )2
n
所以
a1 a2 ... an
a12 a22 ... an2 .
n
n
从上述证明知道，当且仅当 a1 a2 ... an 时，不等式取等号 .
下面证明 H (n) G (n)
对 n 个正数
11 1 , ,..., ，应用
G ( n)
H (n) ，得
a1 a2
an
1 1 ... 1
求证：
n
a b n ir js
r 1s1 r s
n n ar bs . r 1s 1r s
（1-2 ）
思路分析 ：已知条件中有两组有序实数，而式（ 1-2 ）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式 .
证明 ：令 dr
b n js
（ r= 1,2,..., n ）
s1r s
显然 d1 d 2 ... dn
b12
b2 2
a12b12
a
2
2b
2 2
a12b22
a22b12
因为 a12 b2 2
a2 2b12
2
2a1b1a2b2 ，故有 a1b1 a 2b2
2
22
2
a1 a2 b1 b2
当且仅当 a1b2
a2 b1 ，即 a1 b1
a2 时等号成立。 b2
ii ）假设 n=k 时不等式成立，即
a1b1 a2b2
i1 2
1n n 2 i 1 ai
1 n
2
2n 1
所以
n ai
n
2
(
1) n 2 ai n 2n2 n
n
.
i 1 2 ai i 1 2 ai
i1 2
2n 1
2n 1
3．柯西不等式
定理 3 设 ai ， bi
n
n
R （i=1,2, …n）, 恒有不等式
ai2. bi2
i1
i1
n
( ai bi ) 2 ，当且仅当
H ( n)
1
，
1 1 ... 1
a1 a2
an
G(n) n a1a2 ...an ，
A(n) a1 a2 ... an ， n
Q(n)
a12 a22 ... an2 n
分别称为 a1 , a2 ,..., an 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数
.
证明 ： 先证 G ( n) A(n) .
n
n
air
bjs
r 1 s1 r s
n
air dr
r1
故 原式得证 .
n
ar dr
r1
n
n
ar
bs
r 1 s1r s
n n ar bs r 1 s1r s
2. 均值不等式
定理 2 设 a1, a2,..., an 是 n 个正数，则 H (n) G (n) A(n) Q (n) 称为均值不等式 .
其中，
1
1
1
证明： (a 1 )( b 1 )( c 1 ) 1
b
c
a
5 / 15
证明 ：令 a
y ,b x
y,c z
z
，其中 x,y,z 是正实数，将原不等式变形为
x
(x y z)( y z x)( z x y) xyz
记 u x y z, v y z x, w z x y ，
注意到 u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数
n
ai2 x2
2 ai bi x
2
bi
i1
n
ai x
i1
2
bi
0故
f x 的判别式
4B 2 4AC 0
移项得 AC B2 ，得证。
向量法证明
令
a1, a2, , an ，
b1,b2, , bn . 则 对 向 量 , 有
cos , 1 ， 由
a1b1 a2b2
2
anbn ，
n
ai 2 ,
2
i1
n
bi 2 ，得
a lg a b lg b c lg c
有
3(a lg a b lg b c lg c) (a b c)(lg c lg a lg b)
即
lg aabbcc a b c lg abc
3
abc
故
a abbc c (abc) 3 .
例 2 设 a,b,c
R ，求证： a b c
a2 b2 2c
b2 c2 2a
c2 a2 2b
a3 b3 c3
.
bc ca ab
思路分析 ：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明
.
证明 ：不妨设 a b c ，则 a2 b2 c2 且 1 1 1 cba
根据排序不等式，有
a 2 b 2 c2 a 2 1 b2 1 c 2 1
cab
abc
a2 b2 c2 a2 1 b2 1 c2 1
i1
b1 a1
b2 a2
...
bn 时， an
等式成立 .
构造二次函数证明
当 a1 a2
an 0 或 b1 b2
bn 0 时，不等式显然成立
令A
n
ai 2 B
n
ai bi C
n
bi 2 ，当 a1 , a2 , , an 中至少有一个不为零时，可知 A>0
i1
i1
i1
构造二次函数 f x Ax 2 2 Bx2 C ，展开得： f x
. 在解决
竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、
切比雪夫不等式 . 本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用
.
1 ． 排序不等式
定理 1 设 a1 a2 ... an , b1 b2 ... bn ，则有
a1bn a2bn 1 ... anb1 ( 倒序积和 ) a1br1 a2br2 ... an brn （乱序积和）
.
如果恰有一个负数，那么 uvw 0 xyz ，（ 2-1 ）式成立 .
如果这三个数都大于 0，由算术—几何平均不等式
1 uv ( x y z y z x) x
2 同理可证， vw y ， wu z
于是
uv vw wu xyz
即
uvw xyz ，（ 2-1 ）式得证 .
（ 2-1 ）
例 6 已知 a1, a2,..., an 0 ，且 a1 a2 ... an 1.
和 bn 后，再调整 an 1 和 bn 1 会使和增加 . 经过 n 次调整后，和 S 达到最大值 a1b1 a2b2 ... anbn ，这就证明了
a1br1 a2 br2 ... anbrn
再证不等式左端 ,
a1b1 a2b2 ... anbn .
1 / 15
由 a1 a2 ... an, bn
c3 1 ac
两式相加并除以 2，即得
a2 b 2 b 2 c 2 c2 a2 a3 b 3 c3
2c
2a
2b bc ca ab
综上所述，原不等式得证 .
例 3 设 0 a1 a2 ... an ,0 b1 b2 ... bn ，而 i1,i2 ,..., in 与 j1, j2 ,..., jn 是 1,2,..., n 的两个排列 .
a1 a2
an
n
11 1
n
...
a1 a2 an
即 H (n) G( n) （等号成立的条件是显然的） .
例 4 已知 0
a
2
1, x
2
y
x
0 ，求证： log a( a
y
a)
log a 2
1
.
8
证明 ：由于 0 a 1， ax 0, a y 0 ，
有 ax ay 2 axay 2 ax y
从而 log a (a x xy
1
1
1
因为 b1 b2 ... bn ， 且
...
r n r (n 1)
r1
由排序不等式
n bs
dr
s1r s
又因为
a1 a2 ... an
所以
n
ar dr
r1
n
air d r 且
r1
n
ar
r1
n s1
bs rs
n
ar d r （注意到 ar
r1
0）
3 / 15
故
a b n n
ir j s
r1s1r s
数形式，尝试用调和平均 .
证明 ：不等式左边化为
n ai i 1 2 ai
n
2
(
i 1 2 ai