精锐教育学科教师辅导讲义 圆
加乘原理
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 小五 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：王引授课类型 加法原理 乘法原理教学目标1.使学生掌握加法原理的基本内容；掌握加法原理的运用；培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则。
2. 使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系； 培养学生准确分解步骤的解题能力。
授课日期及时段教学内容【本讲知识点】1、加法原理概念：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理。
2、加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决。
我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。
分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。
只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确。
运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数。
通俗地说，就是“整体等于局部之和”。
3、加法原理解题三部曲：①完成一件事分N 类；②每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； ③类类相加。
一、专题精讲例1：从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？例2：甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少种不同的订法？例3：一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．例4：袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能．例5：1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?例6：在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？例7：A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？例8：如图所示，沿线段从A 到B 有多少条最短路线？GFED C B A例9：如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？例10：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？二、专题过关检测题1：从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？检测题2: 大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？检测题3：一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？检测题4：2007的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?检测题5：一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？检测题6：如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有条.ACBD 图1检测题7：1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法．三、学法提炼加法原理解题常用方法总结1.枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数。
第一讲讲义动点问题
A E B 图1 A E B
D F C B E
A
D F C B E
A P
D N F C
M D F C 图 4（备用）
图2 D F
M 图3
（第 25 题） A E B 图 5（备用）
7
C 中国领先的中小学教育品牌
方法回顾
通过这节课的学习，你有哪些收获和感悟？
8
）
3 6． 已知抛物线 y k ( x 1)( x ) 与 x 轴交于 A，B，与 y 轴交于点 C，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条 k
数是（ A. 2 ） B. 3 C. 4 D. 5
二、认真填一填（每个 5 分） 7．数据 1，1，1，3，4 的平均数是________；众数是________ 8．某企业向银行贷款 1000 万元，一年后归还银行 1065.6 多万元，则年利率高于______% 9．已知 a (a 3) 0 ，若 b 2 a ，则 b 的取值范围是________ 10．已知一个底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3，则这个棱柱的下底面积为________cm2；若该棱柱、 侧面展开图的面积为 200cm2， 记底面菱形的顶点依次为 A， B， C， D， AE 是 BC 边上的高， 则 CE 的长为________cm 11、(单动点问题)如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF ∥ BC 交 CD 于点 F ． AB 4，BC 6 ，∠B 60 . （1）求点 E 到 BC 的距离； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN ∥ AB 交折线 ADC 于点 N ， 连结 PN ，设 EP x . ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2） ， △PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 △PMN 的周长；若改变，请说 明理由； ②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点 P ，使 △PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由. N P
数学-初三-圆的相关概念与垂径定理
数学-初三-圆的相关概念与垂径定理精锐教育1对1辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年级： 辅导科目：主题：圆基本概念与垂径定理授课时间：学习目标1、掌握圆的相关基本概念2、运用垂径定理解决问题教学内容1、 圆是如何确定的？大小怎么判定？2、 圆中有哪些概念？3、 垂径定理如何应用？【知识梳理1】圆的确定定理 同圆或等圆中半径相等1.点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
点P 与圆心的距离为d ，则点P 在直线外⇔r d >；点P 在直线上⇔r d =；点P 在直线内⇔r d <。
【例题精讲】例1.如图，圆O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH =9，P 、Q 、R 为l 上的三点.PH =9，QH =12，RH =15，请分别说明点P 、Q 、R 与圆O 的位置关系.【试一试】1.矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； (C) 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P 内．2.如图所示，已知ABC ∆，90ACB ∠=，12AC =，13AB =，CD AB ⊥于点D ，以C 为圆心，5为半径作圆C （ ）A .点D 在圆内，B A 、在圆外 B .点D 在圆内，点B 在圆上，点A 在圆外C .点B 、D 在圆内，A 在圆外 D .点D 、B A 、都在圆外2.过三点的圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
例2.如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆.【试一试】1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是（）A.第①快B.第②快C.第③快D.第④快2.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角：顶点在圆心的角。
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精锐教育学科教师辅导讲义1、假如你是文中的那条鱼，你有什么想法？你为什么要逆流而上？【解析】鱼干的是一件不寻常的事情，那么，原因何在，可以从不寻常的角度去考虑，人为什么要做不寻常【核心思路】紧紧抓住关键词语，从大和小两个方向入手，大的方向，如人一生或一个阶段的舍得与选择，比如，你人生中有没有经验不足但勇于尝试的经历？不要去想大而空的，可以抓住细节去想，一件看似不起眼的事情往往有不一样的内涵，如第一次尝试着写日记去表达自己，这就有很不一样的内涵。
【核心思路】在关键词确定的情况下，学会怎样拓展、拓深这些词语。
【范文欣赏】我既不是运筹帷幄、经验丰富的老雕刻家，也不是那位英气勃发、勇气十足的小徒弟，我是那块有一道裂痕的钻石。
迪生的很多发明，和情感几乎没有关系，而手机却深刻的改变了这一点，这算不算一个突破口呢？【核心思路】要把看似普通的事物作深入挖掘，最好能往人的情感、精神方面总结。
【范文欣赏】爱迪生在天堂生活了多年，2013人物情感，比如，莫言对读者的感谢，能不能体现出某种谦和，或者谦卑，如果有，可不可以和错误结合起【核心思路】把普通材料往人物的心理、情感上引导，得出更好的更深刻的结论。
透过这张试卷看到阅卷老师铁青铁青的脸。
据媒体报道，近十年来房价涨幅为里？普通老百姓一个月的工资只购买样的表。
表哥还说，他在北京还有好几套房子。
于是，我的眼珠子都快要掉下来。
幸好，接下来又有了“房姐”，“房姐”用她的实际行动告诉“表哥”：你娃太嫩了！据媒体报道，房姐在北京有几十套房，有四个户口本。
户口本是真的，连身份证号码都有四个。
这次，我的眼珠子才真的掉下来了，摸了半天才镶回去。
对此，有关部门默不作声，无人承担责任，无人受此事牵连。
突然，我平衡了。
当富二代开着跑车拿着鲜花在校园里泡妞的时候，当跑车的轰鸣与强劲的尾气喷在我脸上的时候，我在想，我爹怎么就不是李刚？这种消极的思想在我身体里肆意蔓延，让我萎靡不振。
此时郭美美同学的事迹又及时点醒了我。
初三数学辅导讲义(13)圆(2-教师)
第13讲 与圆相关的位置关系点与圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d.直线与圆的位置关系设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d.数量关系 ④________⑤________⑥________圆的切线 三角形与圆 确定圆的条件不在○________直线的三个点确定一个圆. 角形○________的距离相等.1．判断一直线是否为圆的切线的方法：(1)连半径，证垂直；(2)作垂线，证半径．2．直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边，c 为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R ＝c2；(2)直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c2.命题点1 点与圆、直线与圆的位置关系(2013·凉山)在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2，－2)，E(0，－3)．(1)画出△ABC 的外接圆⊙P，并指出点D 与⊙P 的位置关系；(2)若直线l 经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，判断直线l 与⊙P 的 位置关系．【解答】判断点与圆和直线与圆的位置关系，都是判断圆心与点或直线的距离与半径的大小关系．1．(2014·梧州)已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．点A 与圆心O 重合2．已知⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是( )(例2题图)3．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，直角边AC ＝6 cm ，以C 为圆心，3 cm 为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是________．命题点2 切线的性质与判定(2015·攀枝花)如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC ⊥AB ，弦CD 与OB 交于点F ，在AB 的延长线上有点E ，且EF ＝ED.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O 的半径r ＝3，求BDAD的值．【解答】证明一条直线是圆的切线常用的方法有：(1)若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先作出过此点的半径，再证其与直线垂直；(2)若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径．若已知切线，连接过切点的半径是常规的辅助线作法．1．(2015·南充)如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°(例2-1) (例2-2) (例2-3) (例2-4) 2．(2014·成都)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，连接AD.若∠A＝25°，则∠C＝________度．3．(2015·宜宾)如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E.若⊙O 的半径为2，则CF ＝________．4．(2015·宜宾)如图，CE 是⊙O 的直径，BD 切⊙O 于点D ，DE ∥BO ，CE 的延长线交BD 于点A.(1)求证：直线BC 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝2，tan∠DEO＝2，求AO 的长．1．(2015·河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y ＝kx ＋43与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB ＝30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 的个数是( )A ．6B ．8C ．10D ．122．(2014·宜宾)已知⊙O 的半径r ＝3，设圆心O 到一条直线的距离为d ，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m ，给出下列命题：①若d ＞5，则m ＝0；②若d ＝5，则m ＝1；③若1＜d ＜5，则m ＝3；④若d ＝1，则m ＝2；⑤若d ＜1，则m ＝4.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．53．(2015·乐山)如图，已知直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA 、PB.则△PAB 面积的最大值是( )A ．8B ．12 C.212 D.1724．(2014·绵阳)如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，OQ ⊥BC 于点Q ，过点B 作半圆O 的切线，交OQ 的延长线于点P ，PA 交半圆O 于R ，则下列等式中正确的是( )A.AQ AP ＝AC AB B.AC OR ＝OQ AB C.AQ AB ＝BP BC D.AC AP ＝OR OP(练-4) (练-5) (练-6)5．(2015·绍兴)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．6．如图所示，已知点A 从点(1，0)出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x 轴的正方向运动，经过t 秒后，以点O 、A 为顶点作菱形OABC ，使点B 、C 都在第一象限内，且∠AOC＝60°，若以点P(0，4)为圆心，PC 为半径的圆恰好与OA 所在的直线相切，则t ＝________．7．(2014·河南)如图，CD 是⊙O 的直径，且CD ＝2 cm ，点P 为CD 的延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PA ，PB ，切点分别为点A ，B.(1)连接AC ，若∠APO＝30°，试证明△ACP 是等腰三角形； (2)填空：①当DP ＝________cm 时，四边形AOBD 是菱形； ②当DP ＝________cm 时，四边形AOBP 是正方形．8．如图，点B 在y 轴上，BA ∥x 轴，点A 的坐标为(5.5，4)，⊙A 的半径为2.现有点P 从点B 出发沿射线BA 运动．(1)当点P 在⊙A 上时，请直接写出它的坐标；(2)设点P 的横坐标为x ，连接OP ，试探究射线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由．参考答案考点解读考点1①d＜r ②d＝r ③d＞r考点2④d＞r ⑤d＝r ⑥d＜r考点3⑦唯一⑧半径⑨垂直于⑩一个○11半径○12半径○13切点○14两○15相等○16平分考点4○17同一○18外接圆○19外心○20三个顶点○21内切圆○22内心○23三边各个击破例1(1)所画的⊙P图略，由图知⊙P的半径为 5.连接PD.∵PD＝12＋22＝5，∴点D在⊙P上．(2)直线l与⊙P相切．理由：连接PE.∵直线l经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，∴PE2＝12＋32＝10，PD2＝5，DE2＝5.∴PE2＝PD2＋DE2.∴△PDE是直角三角形，且∠PDE＝90°.∴PD⊥l.∴直线l与⊙P相切．题组训练 1.C 2.B 3.相切例2(1)证明：连接OD.∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF.∵∠EFD＝∠CFO，∠CFO＋∠FCO＝90°，∴∠EDF＋∠FCO＝90°.∵OC＝OD，∴∠FCO＝∠CDO.∴∠EDF＋∠CDO＝90°，即OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线．(2)∵∠BDE＋∠ODB＝90°，∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠BDE＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠EAD＝∠ADO.∴∠BDE＝∠EAD.又∵∠E＝∠E，∴△DBE∽△ADE.∴DEAE＝BEDE，即DE2＝AE·BE.∵OF∶OB＝1∶3，OB＝3，∴OF＝1，BF＝2.设BE＝x，则DE＝EF＝x＋2. ∴(x＋2)2＝x(x＋6)，解得x＝2.∴BE＝2，DE＝4.∴BDAD＝BEDE＝12.题组训练 1.C 2.40 3.2 34.(1)证明：连接OD.∵DE∥BO，∴∠ODE＝∠BOD，∠OED＝∠BOC.又∵∠ODE＝∠OED，∴∠BOD＝∠BOC.又∵BO＝BO，OD＝OC，∴△BOD≌△BOC.∴∠BCO＝∠BDO＝90°.∴直线BC是⊙O的切线．(2)连接CD，∵∠OCD＋∠OED＝90°，∠ODE＋∠ADE＝90°，∠OED＝∠ODE，∴∠OCD＝∠ADE.又∵∠EAD＝∠DAC，∴△EAD∽△DAC.∴EADA＝EDDC.又tan∠DEO＝DCDE＝ 2.∴2DA＝12，即AD＝2 2.设圆的半径为r，在Rt△AOD中，由勾股定理，得r2＋(22)2＝(r＋2)2.解得r＝1.∴AO＝AE＋EO＝2＋1＝3.整合集训能力提升16．A 17.C 18.C 19.A 20.3或73 21.43－1 22.(1)证明：连接OA.∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°.在Rt △AOP 中，∠AOP ＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°， ∵OA ＝OC ，∴∠ACP ＝∠OAC＝30°. ∴∠ACP ＝∠APO，∴AC ＝AP ，即△ACP 是等腰三角形． (2)①1提示：①要使四边形AOBD 是菱形，则OA ＝AD ＝OD ， ∴∠AOP ＝60°.∴OP ＝2OA ，DP ＝OD ＝12CD ＝1.②2－1②要使四边形AOBP 是正方形，则必须∠AOP＝45°，OA ＝PA ＝1，则OP ＝2， ∴DP ＝OP －1＝2－1.23.(1)点P 的坐标为(3.5，4)或(7.5，4)．(2)过点O 作圆A 的切线OM ，切点为M ，连接AM ，则AM⊥OM，由题意可知：OM 与BA 的交点为P ，BP ＝x ，当点P 在点A 的左侧时，x ＜5.5，点A 的坐标为(5.5，4)，此时⊙A 过P 的切线为OM 1，M 1为切点，图略．AP 1＝5.5－x ，OB ＝4，⊙A 的半径为2，∴AM 1＝2，BA ∥x 轴， ∴∠OBP 1＝90°.∴∠AM 1P 1＝∠OBP 1，∠AP 1M 1＝∠OP 1B. ∴△OBP 1∽△AM 1P 1. ∴OP 1AP 1＝OB AM 1. ∴OP 15.5－x ＝42，即OP 1＝11－2x.在Rt △OBP 1中，(11－2x)2＝42＋x 2，解得x ＝3或x ＝353(舍去)； 当点P 在点A 的右侧时，x ＞5.5，同理可解得x ＝3(舍去)或x ＝353.∴当x ＝3或353时，直线OP 与⊙A 相切；当0＜x ＜3或x ＞353时，直线OP 与⊙A 相离；当3＜x ＜353时，直线OP 与⊙A 相交．。
专题38 动态几何问题
2
3 9 ，S 有最大值，S1＝ ； 2 4 12 ②在 2＜ t ≤3 时，当 t ＝3，S 有最大值，S2＝ ； 5 9 15 ③在 3＜ t ≤4.5 时，当 t ＝ ，S 有最大值，S3＝ ； 2 4
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【点拨】本题重点考查在整个运动过程中，两圆有几次相切的情况．分析好运动过程，就能迎刃而解． 【解答】两圆相切可分为如下四种情况： (1)当两圆第一次外切时，由题意可得 11－2t＝1＋1＋t，t＝3； (2)当两圆第一次内切时，由题意可得 11 11－2t＝1＋t－1，t＝ ； 3 (3)当两圆第二次内切时，由题意可得 2t－11＝1＋t－1，t＝11； (4)当两圆第二次外切时，由题意可得 2t－11＝1＋t＋1，t＝13. 11 所以当点 A 出发后 3 秒、 秒、11 秒、13 秒两圆相切． 3 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”， 如图所示， “海宝”从圆心 O 出发， 先沿北偏西 67.4° 方向行走 13 米至点 A 处，再沿正南方向行走 14 米至点 B 处，最后沿正 东方向行走至点 C 处，点 B、C 都在⊙O 上．
1 1 PC · CQ ＝ (3 t ) 2t ＝ (3 t )t ＝ 2 ， 2 2
C
t1
＝
1
，
t2
＝
2
2
Q P A B
∴当时间 t 为 1 秒或 2 秒时， S△PCQ ＝ 2 厘米 ；
3 9 （2）①当 0＜ t ≤2 时，S＝ t 3t ＝ t ； 2 4
向沿△ABC 的边运动．当点 Q 运动到点 A 时，P、Q 两点运动即停止．点 P、Q 的运动速度分别为 1 厘米/秒、2 厘米/ 秒，设点 P 运动时间为 t （秒） ． （1）当时间 t 为何值时，以 P、C、Q 三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于 2 厘米 2； （2）当点 P、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化．设 PQ 与△ABC 围成阴影部分面积为 S（厘米 2） ，求出 S 与时 间 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围； （3）点 P、Q 在运动的过程中，阴影部分面积 S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 解： （ 1 ） S△PCQ ＝ 解 得
九年级圆全章辅导讲义
九年级圆全章辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：ABCD=12×15×12×12 =45cm 2知识概括、方法总结与易错点分析 1、点与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、内心 外心的理解针对性练习 一、 选择题1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【 】A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．内含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 相切C ． 相离D ． 无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点． 则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,-7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（ ）A ．35B ．45C ．60D ．70（第8题） x yO1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A B C EFD O11、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为 （ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cm D ．5cm 或13cm 二、 填空题1．如图，已知O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为 度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 ．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和 ． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是 ． 7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、 解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．BCA O （第1题）1o 2o 3o 4oCB D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o4o5oA BCEDABC第3题图 （第4题图）A B OA DPE B C（第6题图）AOBNMABO C PMPA2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．3.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过 点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．4.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与O 相切；（2）若O 的半径为3，3DE =，求AE ．5.（08山东潍坊20题）如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．（1）求证ABC ADB △∽△；（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．6.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．7、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.BCPO AB DCEAOA PDBCO CPBO A D8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥． （1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由； （2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ．求证：ABE OCB △≌△．11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，ADBOCE图ODBCF E ADCOABEC（第8题）BDAE连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是 ；②写出求解过程（结果用字母表示）．15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。
九年级圆全章辅导讲义
九年级圆全章辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：ABCD1、点与圆的位置关系2、直线与圆的位置关系3、圆与圆的位置关系4、心 外心的理解针对性练习 一、 选择题1、如图，是奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【 】A ．含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．切 C ．相交 D ．含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 相切C ． 相离D ． 无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-5954, D ．()31,- 7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（ ）A ．35B ．45C ．60D ．7011、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为 （ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cmD ．5cm 或13cm二、 填空题（第8题）x yO 1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A B C EFD O1．如图，已知O 是ABC △的切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为 度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 ．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和 ． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是 ． 7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、 解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；BCA O （第1题）1o 2o 3o 4o CB D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o 4o 5oA B C E D ABC第3题图（第4题图）A B OA DPE BC（第6题图）AOBNMABO C PMP的半径为3，DE潍坊20题）如图，AC⊥，交BPBP，120AB=外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ． 求证：ABE OCB △≌△．11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ．ADBOCE图ODBC F EADCOABEA（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是 ；②写出求解过程（结果用字母表示）．15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。
精锐教育辅导讲义(样本)
精锐教育辅导讲义 学员编号：SJR2007001 年 级：高一 课时数：3学员姓名：郝清华 辅导科目：数学 培训师：陈华庆 课 题基本不等式与最大（小）值 授课时间：10月14日上午9：00—11：00备课时间：10月11日教学目标1. 让学生会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；2. 培养学生探究问题的能力和应用定理进行推理及解决问题的能力。
重点、难点1. 基本不等式的应用；2. 理解基本不等式中的“一正”“二定”“三相等”。
考点及考试要求基本不等式是高考的一个重要知识考点，考试的基本要求是：对基本不等式有实质性的认识并能利用基本不等式解决最大（小）值的有关问题。
同时能解决与之内容和形式变化相关的问题教学内容一、问题：的最小值。
求且已知y x yx y x +=+>>,191,0,0 121226692910,01最小值为又：解法y x xy y x xy xy xy y x y x +∴=≥+≥∴=≥+∴>> 1612,4,9163210910))(91(1910,02的最小值是等号成立时即当且仅当且：解法y x y x yx x y yx x y y x yx y x y x y x +∴====⨯+≥++=++=+∴=+>>（一） 极值问题的回顾设x 、y 都为正数，则有.22.412p y x y x p xy xy y x s y x s 取得最小值和时，则当（积为定值），若、取得最大值时，积（和为定值），则当、若+====+（二）问题探究的最值求函数：问题xx y 11+= . 解：变式题：342)0(4322________;_____)0(3121->--=>+=有最小值且为、判断：函数值是的最、函数x xx y x x x y的最大值。
求函数已知：问题)31(,3102x x y x -=<< 解：变式题：的最大值。
10gz1yw小六语文标准讲义(应用文专题--建议书)
3、如果让你写建议书，你会写给谁或哪个相关的部门？
作前练笔
1．我准备对提建议，我想提的建议或意见是
2．我提这些意见或建议的原因是
创作园地
把要写的内容从头到尾想一遍，看是否做到了叙述有序，理由充分，语气恰当，然后写下来。
（四）总结
（五）练笔：针对你身边的浪费现象（浪费粮食、浪费水资源等）写一封建议书吧。
六（4）中队全体队员
2006年4月10日
你来试试看（批注）：
在生活中，你是否遇到过这些情况：周围的环境被污染，社区购物不方便，供少年儿童活动的场所太少……我们小学生，是社会的小主人，针对存在的问题，我们有责任、有义务向有关部门反映情况，提出自己的建议。
请你写一份建议书。要写清楚提的是什么建议，还要注意建议书的格式。
4、署名在右下角写出建议人的姓名，即提出建议的团体的名称或个人的名字。
5、日期写在建议人姓名的下方。
（三）写建议书具体应该注意以下几点：
1、从实际出发，实事求是
提意见、写建议要根据具体问题、实际需要和可能的条件，而不能凭空想像，不着边际地提，这样才有助于改进工作方法，开展有益活动。
2、说话得体，有分寸
5、语言准确、精练
重点、难点
重点：掌握建议书的格式；
6、难点：从实际出发，实事求是，内容具体、清楚、实在。
考点及考试要求
1、掌握建议书的正确格式；
2、内容具体、清楚、实在、有意义。
教学内容
一、课标解读
《小学语文新课程标准》中对习作的要求是：要学会写常见的应用文，能根据表达的需要，使用常用的标点符号，语句通顺，行款正确，书写规范整洁。
1、本文是由生活中的什么现象引起的呢？
精锐教育学科教师辅导讲义
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：高三课时数：3学员姓名：辅导科目：化学学科教师：授课主题侯式制碱法原理和简单流程教学目的侯氏制碱法在上海高考中占有比较特殊的地位，出现的几率较大；常考的知识点是侯氏制碱法的原理、温度的选择、母液的成分、处理及与氨碱法的优劣比较，学生在温度的控制和母液的处理上出现的错误几率较大。
教学内容1．【2013年上海高考6】与索尔维制碱法相比，侯德榜制碱法最突出的优点是（）A．原料利用率高B．设备少C．循环利用的物质多D．原料易得2．【2012年上海高考八】碳酸氢铵是一种重要的铵盐。
实验室中，将二氧化碳通入氨水可制得碳酸氢铵，用碳酸氢铵和氯化钠可制得纯碱。
完成下列填空：41．二氧化碳通入氨水的过程中，先有________晶体(填写化学式)析出，然后晶体溶解，最后析出NH4HCO3晶体。
3．【2010年上海高考27】工业生产纯碱的工艺流程示意图如下：完成下列填空：1）粗盐水加入沉淀剂A、B除杂质（沉淀剂A来源于石灰窑厂），写出A、B的化学式。
A B2）实验室提纯粗盐的实验操作依次为：取样、、沉淀、、、冷却结晶、、烘干。
3）工业生产纯碱工艺流程中，碳酸化时产生的现象是。
碳酸化时没有析出碳酸钠晶体，其原因是。
4）碳酸化后过滤，滤液D最主要的成分是（填写化学式），检验这一成分的阴离子的具体方法是：。
内容回顾5）氨碱法流程中氨是循环使用的，为此，滤液D 加入石灰水产生氨。
加石灰水后所发生的反应的离子方程式为： 滤液D 加石灰水前先要加热，原因是 。
6）产品纯碱中含有碳酸氢钠。
如果用加热分解的方法测定纯碱中碳酸氢钠的质量分数，纯碱中碳酸氢钠的质量分数可表示为： （注明你的表达式中所用的有关符号的含义）4．【2005年上海高考五26（A ）】我国化学侯德榜（右图）改革国外的纯碱生产工艺，生产流程可简要表示如下：(1) 上述生产纯碱的方法称，副产品的一种用途为 。
(2) 沉淀池中发生的化学反应方程式是。
精锐教育学科教师辅导1
精锐教育学科教师辅导讲年级：初三课时数：2h第二章空气、氧气单元复习）【知识与考点】空气、氧气是化学学习的第一大类物质，空气中氧气含量的测定，化学基本反应类型，混合物、纯净物的分类，氧气的实验室制法，以及空气的污染与防治都是中考命题的热点之一。
在中考命题中形式多样，主要考查学生环保意识，对化学基本概念的理解和实验探究能力，考查学生运用知识解决生活、生产中的实际问题的能力。
【知识点网络】疑难突破利用高锰酸钾制氧气时怎样检查装置的气密性？剖析：先把导气管的一端放入水里，然后两手紧贴容器外壁，如果装置不漏气，里面的空气受热膨胀，导管口有气泡冒出。
松开两手，使它冷却，导管中就会形成一段水柱。
疑难导析要说明检查装置的气密性关键是先后顺序一定不能颠倒；然后说明怎样连接仪器，如何操作；最后说明要注意什么问题，否则会造成怎样的结果。
问题探究问题有四个集气瓶，分别充满了空气、氮气、二氧化碳和氧气，试用简单的方法加以鉴别。
探究：把燃着的木条分别伸入四个集气瓶中，木条正常燃烧的原气体是空气；木条燃烧更旺的原气体是氧气；木条火焰熄灭的原气体是氮气和二氧化碳。
再向使火焰熄灭的两个集气瓶中加入适量的澄清石灰水并振荡，使澄清石灰水变浑浊的原气体是二氧化碳，没有变化的原气体是氮气。
空气、氧气典型例题解析及解题技巧一、学科内综合题例1、装满氧气的集气瓶如图所示，用带火星的木条分别以甲、乙两种方式迅速插入，观察到木条复燃并在甲中燃烧比在乙中更旺。
上述实验说明氧气具有的性质是：（1）。
（2）。
解析：该题属于信息给予题，通过对氧气的物理性质和化学性质的综合应用来解决新情境下的新问题。
带火星的木条在氧气中复燃，体现出氧气的助燃性，即氧气能支持燃烧。
同样的两个瓶子，甲、乙两瓶燃烧现象不同，显然应考虑的是氧气的密度比空气的大，造成乙中含氧气不如甲中多。
答案：（1）氧气能支持燃烧（2）氧气的密度比空气的密度略大二、联系实际的应用题例2、根据下列现象说明空气中含有哪些成分（1）爆米花放在空气中变软，说明空气中含有。
小四奥数(第二讲：巧算乘除法)全体
精锐教育学科教师辅导讲义年 级：小四 辅导科目：奥数 课时数：3 课 题巧算乘除法 教学目的 实际进行乘法、除法以及乘除法混合运算时可利用以下性质进行巧算：①乘法交换律： ②乘法结合律： ③乘法分配律： ④除法的性质：教学内容四则运算中巧算的方法很多，它主要是根据已学过的知识，通过一些运算定律、性质和一些技巧性方法，到达计算正确而快捷的目的.实际进行乘法、除法以及乘除法混合运算时可利用以下性质进行巧算：①乘法交换律：a b b a ⨯=⨯②乘法结合律：()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯③乘法分配律：)a b c a c b c +⨯=⨯+⨯（由此可推出：()a b a c a b c ⨯+⨯=⨯+()a b c a c b c -⨯=⨯-⨯④除法的性质：()a b c a c b a b c ÷÷=÷÷=÷⨯……会使计算更简便．计算：(1) 25×5×64×125(2) 56 ×165÷7÷11.(1)在计算乘、除法时，我们通常可以运用2×5、4×25、8×125来进行巧妙的计算．(2)运用除法的性质，带着符号“搬家”，解(1) 25×5×64×125=25×5×2×4×8×125= (25×4)×(5×2)×(8×125)=100×10×1000=1000000(2) 56×165÷7÷11= (56÷7)×(165÷ll)=8×15=120稳固练习计算：(1) 25×96×125；(2) 77 777×99 999÷11111÷11111.你做对了吗？答案(1)300000. (2)63计算：(1) 4000÷125÷8(2) 9999×2222+ 3333×3334.(1)题运用性质()a b c a b c ÷÷=÷⨯，可简化计算；(2)题将9999分解成3333× 3就与3333×3334出现了相同的因数，可逆用乘法分配律简化运算．解(1) 4000÷125÷8=4000÷(125×8)=4000÷1000=4(2) 9999×2222+3333×3334= 3333×3×2222 +3333×3334=3333×(6666+3334)=3333×10 000=33 330 000．(2)题是创造条件运用乘法运算性质，这需要我们具有一双数学的慧眼，稳固练习计算：(1) 60 000÷125÷2÷5÷8：(2) 99 999×7 +11+111×37．〔2000年吉林省小学数学夏令营试题〕你做对了吗？答案(1)6 (2)1111100计算：218×730+7820×73．此题可以运用“积不变的规律”，即“一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的规律求解．解法一218×730+7820×73=2180×73+7820×73= (2180+7820)×73=10 000×73=730 000;解法二218×730+7820×73=218×730+782×730= (218+782)×730=1000×730=730 000此题运用乘法中积不变的规律，就可以为运用乘法分配律进行巧算创造条件，这种解题方法叫做扩缩法，稳固练习计算：(1) 375×480-2750×48.(2) 2008×2006+2007×2005-2007×2006-2008×2005〔第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试试题〕你做对了吗？答案(1)48000 (2)1不用计算结果，请你指出下面哪道题得数大．452×458 453×457注意到453=452+l．458+457 +1．可运用乘法分配律加以判别，解452×458-452×(457+1)=452×457+452,=453×457-(452+1)×457=452×457 +457；×458<453×457．求1+(2+3)+(3+4)+(4+5)+(5+6)的值．〔第二届“华罗庚金杯”数学邀请赛试题〕÷÷=÷⨯．计观察发现，算式中每个括号里的除数都是下一个括号里的被除数，根据运算性质a b c a b c算时可以消去3，4，5．解原式=1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6=1÷2×6=3．稳固练习不用计算结果，比较下面两个积的大小．A=54 321×12 345 B=54 322×12 344你做对了吗？答案A > B当代世界著名数学录陈省身陈省身，美籍华人，世界著名数学家，中国科学院首批外籍院士．1930年，陈省身毕业于南开大学．1931年考入清华研究院，成为中国国内最早的数学研究生之一．1934年，他毕业于清华研究院，同年，得到汉堡大学的奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学．在布拉希克研究室他完成了博士论文，1936年获得博士学位陈省身对数学有重大奉献，尤其是存几何学方面，他的成就对现代数学的许多分支都产生了深刻的影响．1982年，他回到南开大学，在数学系捐款设立数学奖学金．1984年，他辞去美国国家数学研究所所长的职务，正式应聘到南开大学担任南开数学研究所所长，还担任了中美科技交流协会主席以及北京大学、南开大学和暨南大学等校的名誉教授．多年来，他为祖国数学界举办了三项大活动：一是在中国召开每年一次的国际微分几何、微分方程会议；二是开办暑期数学研究生教学中心；三是每年派20名中国数学研究生赴美国参加“陈省身项目”的研究，陈省身1984年获得了“沃尔夫”数学奖．填空题1.4500÷(25×90) =_______．2.18 000÷125÷18=_______．3 42×35+61×35-3×35=_______．4.(125×99+125)×16=_______．选择题5以下各式中没有反映出简便运算的是( )(A) 19+199 +1999 +19 999= 20+ 200+ 2000+20 000-4(B) 4500÷54×6= 4500÷(54÷6)(C)8×240 ×125÷48= 1920×125÷48(D)10000÷2÷4÷5÷25=10000÷(2×4×5×25)6.一个两位数乘以101的积，就等于把这个两位数连写两遍所得的四位数，如：32×101=3232; 一个三位数乘以1001的积，就等于把这个三位数连写两遍所得的六位数，如：125×1001= 125 125.以下计算题中，不能运用这两条规律进行巧算的是( )．(A) 573×101 (B) 252×1001(C) 101×78 (D) 872×7×11×13简算以下各题7.75×16.8.981+5×9810+49×981.9.1000÷(25÷4).×2222÷6666.11 8÷7+9÷7+ll÷7.÷55.13 1440×976÷488.÷〔7÷11)÷〔11÷16)÷(16÷35).15.2009×2011-2008×2012.课后作业填空题〔每题6分，共60分〕1．8+98+998+9 998+99 998 = ．2．99 +17×19 +17×80= ．3．6 237÷63 = ．4．125×5×32×5= ．.5．(11×9 +11)×(111×999 +111)×(7×11×13-1001) = ．6．90000÷125÷2÷5÷8= ．7．287÷13-101÷13-82÷13 = ．8．99 999×7+11111×37 = ．9．156×28-156×15+87×156 = ．10．找规律计算:73-37=(7-3)×9=4×9=36,64-46= (6-4)×9=2×9=18.92-29=(9-2)×9=7×9=63.87-78=(□-□)×9=□×9=□,74-□=(□-□)×9=□×9=□,解答题〔每题12分，共60分〕11．计算：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1．12．已知: 12+22+32+... +92+102= 385.求:1×2+2×3+3×4+4×5+...+10×11.。
小六圆的面积计算
1、 求下面各图中阴影部分的面积。
2、 如图所示：正方形的面积是 8 平方厘米，你能算出阴影部分的面积吗？
3、 如图：在一个周长为 32 厘米的正方形里画一个最大的圆。求这个圆的面积。
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11
4、 在一个面积为 16 平方厘米的正方形内，画一个最大的圆。这个圆的面积是多少？
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2
题型 3：已知圆的周长，求圆的面积 例：一个圆形蓄水池的周长是 25.12m，这个蓄水池的占地面积是多少
题型 4：已知切拼后的图形周长，求圆的面积 例：将一个圆平均分成 1000 个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长 10 厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？
5π =15.7 10π =31.4 32π =100.48
圆所占面积的大小叫做圆的面积。 ①将圆分成若干（偶数）等分； ②按份数把圆剪开； ③把剪开的圆拼在一起（分的份数越多，拼成的图形越接近长方形）
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1
归纳：
1、长方形的面积=a×b 2、圆的面积=
精锐教育学科教师辅导教案
学员编号： 学员姓名： 年 级：小六 辅导科目： 数学 课 时 数：3 学科教师：
授课类型 授课日期及时段
T 圆的面积基础
2013-11-16 10:10-12:10
C 圆的面积有关计算
T 圆的面积有关计算
教学内容
一、同步知识梳理
知识点 1：简单的平方运算 a×a=a² 1²=1 2²= 4 6²= 36 7²=49 11²= 121 12²=144 16²= 256 17²=289 知识点 2：常见的π 值 1π = 3.14 2π = 6.28 6π =18.84 7π = 21.98 12π =37.68 15π =47.1 36π =113.04 64π =200.96 知识点 3：圆的面积公式推导
精锐教育学科教师辅导讲义
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初二 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型 T(同步知识主题)C （专题方法主题） T （学法与能力主题）授课日期及时段教学内容不等式应用题用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。
例1.现计划把甲种货物1240t 和乙种货物880t 用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元.(1)设运送这批货物的总费用为y 万元,这列货车挂A 型车厢x 节,试写出y 与x 之间的函数关系式. (2)如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35t 和乙种货物15t,每节B 型车厢最多可装甲种货物25t 和乙种货物35t,装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数,那么共有几种方案? (3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用.【分析】题(1)中总费用应该是A 型车厢的费用和B 型车厢的费用的总和.题(2)的要求是A 型车厢的甲种货物最大装载量与B 型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于1240吨；A 型车厢的乙种货物最大装载量与B 型车厢的乙种货物最大装载量的和不少于880吨.【解】 (1) ∵ 用A 型车厢x 节,则B 型车厢为(40-x )节,得 .322.0)40(8.06.0+-=-+=x x x y(2) 依题意,得 ()x x -+402535≥,1240()x x -+403515≥.880解之,得 24≤x ≤.26∵ x 取整数， ∴ 24=x 或25或26.∴ 共有三种方案:① 24节A 型车厢和16节B 型车厢; ② 25节A 型车厢和15节B 型车厢; ③ 26节A 型车厢和14节B 型车厢.(3) 当24=x 时,2.27=y 万元; 当25=x 时,27=y 万元; 当26=x 时,8.26=y 万元;故安排方案③,即A 型车厢26节,B 型车厢14节最省,最省费用为26.8万元.【说明】中考越来越注重能力的考查.本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决.例2. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t 运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车.(1)设用x 辆车装运甲种大蒜,用y 辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围.(2)设此次运输公司的利润为M (单位:百元),求M 与x 的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分配方案.大蒜规格 甲 乙 丙 每辆汽车的满载量/t 8 10 11 运输每吨大蒜获利/百元2.22.12【分析】题(1)中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共100t ；每种大蒜不少于一车.由题意可以列出方程和不等式.题(2)中运输公司的利润M 是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和.【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力.例3. 我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s 的时间共约160天,其中日平均风速不小于6m/s 的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A 、B 两种型号的风力发电机.根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表:日平均风速)//(s m v3<v63<≤v6≥v日发电量h kW ⋅/A 型发电机 0 ≥36 ≥150B 型发电机≥24≥90根据上面的数据回答：(1)若这个发电场购x 台A 型风力发电机，则预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为 h kW ⋅；(2)已知A 型风力发电机每台0.3万元,B 型风力发电机每台0.2万元.该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过 2.6万元,而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000h kW ⋅,请你提供符合条件的购机方案.【分析】 审题的关键在于将文字与表格中的符号对应起来,如一台A 型发电机一年有60d 的日发电量≥150h kW ⋅,有100d 的日发电量≥36h kW ⋅,则可求出一台A 型发电机的年发电量(最小值).题(2)要求提出符合条件的购机方案,因此,只要是符合要求的方案均可,实际上购机方案可能不止一套.【解】(1)12600x(2)设购A 型发电机x 台，则购B 型发电机10(－)x 台. 根据题意，得()x x -+102.03.0≤,6.2()x x -+10780012600≥.102000 解之得：5≤x ≤.6∴可购A 型发电机5台，则购B 型发电机5台；或购A 型发电机6台，则购B 型发电机4台.专题训练：一、 分配问题1.把若干颗花生分给若干只猴子。
家教机构用初中几何讲义-21页文档资料
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：初三课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T ：同步复习 C ：经典例题T：专题训练星级★★★★★★★★★★★★★★教学目的初中几何综合复习（内含：梯形，多边行，四边形，等腰三角形，弧形与扇形）授课日期及时段2019年8月1日 17:00---19:00教学内容T——同步复习（）正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h初中几何公式：线1过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行初中几何公式：角9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补初中几何公式：三角形15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中几何公式：等腰三角形30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形C——经典例题（）一、选择题1.（2019江苏扬州，7,3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。
精锐教育-六年级英语讲义-第2讲：语法专项之-- 动词时态-现在完成时-S.doc
二、 现在完成时的"未完成用法" 指的是动作开始于过去某一时刻，一直延续到现在，或可能还要继续下去。常与 for（+时间段）,since （+时间点）连用. Mary has been ill for three days. Mary has been ill since three days ago.
3. 一般疑问式：
Have/Has ＋主语＋过去分词＋其它 ？
① —Have you ever made dumplings?
—Yes, I have.
② —Has she ever been abroad?
—No, never.
③ —Have they found the lost books yet? —Yes, they have.
B: We are playing basketball. B: My mother is a policewoman. B: Those are peppers(辣椒). B: A lovely doll is in the box. B: The apple is on the table. B:The blackboard is in the classroom.
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重要短语和句型
去购物 家谱 去骑自行车 别的什么
一、定义
语法专题-- 现在完成时讲解
现在完成时用来表示现在之前已发生过或完成的动作或状态,但其结果却和现在有联系,也就是说,动作
或状态发生在过去但它的影响现在还存在. He has turned off the light.他已把灯关了。(动作结束于过去，但说明的是现在的情况--灯现在不亮了。) I have spent all of my money.(含义是:现在我没有钱花了.)
精锐教育学科教师辅导讲义--点、直线、圆与圆的位置关
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名及日期教务长签名及日期课题24.2点、直线、圆与圆的位置关授课时间：备课时间：教学目标1：了解点和圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系2：熟知切线的定义以及判定重点、难点1：根据条件可以判定它们直接的位置关系，以及切线性质的利用2：会利用切线的判定订立证明切线考点及考试要求 1位置关系的判定，2直线与圆相切的证明，3切线性质的利用教学内容一：知识框架_r ____________⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎨⎪⎩⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩点在圆外 点到圆心的距离d d>r 圆与点的位置关系_______ 点到圆心的距离d d_r _______ 点到圆心的距离d d_r相离 圆心到直线的距离d d>r 圆圆与直线的位置关系___ 圆心到直线的距离d ___ 圆心到直线的距离d_r相离圆与圆的位置关系相交____相切⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩二：知识概要 1. 点和圆的位置关系① 点在圆内⇔点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上⇔点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外⇔点到圆心的距离大于半径 2. 直线和圆的位置关系相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
3．圆与圆的位置关系：①相离．如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离． ②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．三：考点纵观1.点与圆的位置关系的性质和判定设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．切线的一些定义及判定与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线；这个公共点叫做切点；两种判定：⑴若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；⑵经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；3．直线和圆位置关系的性质和判定（1）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么d<；①直线l和⊙O相交⇔rd=；②直线l和⊙O相切⇔rd>③直线l和⊙O相离⇔r（2）判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径为r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；三“证明”：证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。
新第5讲 动圆相切问题(2)提高
精锐教育学科教师辅导讲义【第5讲】动圆相切问题（2）
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
．计算：|21|20
-
+= ．
，AB=a ，AC=b ，那么AD = 的半径为5，那么⊙2O 的半径r 的取值范围是知识结构
（第
，AB=4，AD=5，CD=5．（★★★★）
BE x =，DF y =，试建立
练习1：已知，在边长为6的正方形ABCD 的两侧如图作正方形BEFG 、设正方形DMNK ，恰好使得N A F 、、三点在一直线上，联结MF 交线段AD 于点P 。
联结NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y 。
(1)求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
(2)以P 为圆心，AP 为半径的圆能否与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切，若能请求x 的值，若不能，请说明理由。
（★★★★）
A
B
C
D
E
F
G
M
N
K P
（引导学生总结，大概
一．直线与圆相切问题的求解方法和策略：
①利用题目中的条件找到圆心到直线的距离
的的半径为1,圆心A(-2,0), ⊙B的半径为第1题
为半径的M与以FD为半径的F相切，求
❤教师寄语：孩子，加油！努力向上，即使是一小步，也是一个新高度！o(≧v≦)o~~
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精锐教育学科教师辅导讲义例2：已知：如图，CD 是⊙O 的弦，CE=FD ，半径OA ，OB 分别过E ，F 点． 求证：△OEF 是等腰三角形．证明：如图，连接OC 、OD ，∴OC=OD, ∴∠C=∠D, ∵CE=DF, ∴△OCE ≌△ODF, ∴OE=OF, ∴△OEF 是等腰三角形 练习：1. 要确定一个圆，需要知道_________和___________.2. 已知⊙O 的直径为4cm ，则⊙O 的面积为_________，周长为_________。
3. 如果的周长为10π，那么它的半径为_________4. 到定点Ｏ的距离等于２cm 的点的集合是以_________为圆心，_________为半径的圆．5. 在同圆中，如果B A=2D C ，那么弦AB 、CD 的关系为AB____2CD.6.一个圆的最长弦长为１０cm ，则此圆的半径是_________7.Ａ、Ｂ是半径为2的⊙O 上不同两点，则AB 的取值范围是_________ 8.如图：AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ，求证：∠1=∠2。
9.如图：在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，试说明点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，并画出这个圆。
10.已知：两个以O 为圆心的同心圆中，M ，N 是小圆上两点，大圆的弦AB ，CD 分别过点M ，N ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD （如图）．求证：AM=CN ． 2 0CBA 1 AC BOD考点二 、垂直于弦的直径例1：如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB•的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3：2B ．5：2C ．5：2D ．5：4 答案：C小学初中高中各科视频讲义 汇总小学初中高中 Word 汇总 同步培优竞赛 三轮复习 一些书籍Word 还可以订做你需要Word 联系我 468453607 微信t442546597例2：如图所示，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于M ，CD=15cm ，OM ：OC=3：5，求弦AB 的长．11．AB=12cm 练习： 1.判断题1) 1． 过圆心平分弦（直径除外）的直线必平分弦所对的两条弧 ．（ ） 2) 2． 平分弧的直径必平分弦 ．（ ） 3) 3． 平分弦的直线必垂直弦 ．（ ）4) 4． 在圆中,如果一条直线经过圆心,且平分弦,必平分此弦所对的弧 ．（ ） 5) 5． 分别过弦的三等分点作弦的垂线．将弦所对的两条弧分别三等分 ．（ ）。
2.下列命题中,不正确的是( )A ．垂直于弦的直径平分这条弦B ．平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦C ．弦的垂直平分线是圆的直径D ．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦3.圆的半径等于4cm ，圆内的一条弦长为43cm ，则弦中点与弦所对弧中点的距离等于___________． 4． 在⊙O 中, 已知弦AB=m, 弧AB 的中点C 到AB 的距离CD=n, 则圆的半径r 为__________． 5． ⊙O 半径20cm, 弦AB ∥CD, AB 与CD 距离等于4cm, 若AB=24cm, 则CD 的长=__________． 6. 如图，DE 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD=•CE ， •则AC 与BC 的大小关系是 BACDOBACDOM7．如图，⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等，∠A=70°， 则∠BOC=8.已知：如图，⊙O 的半径为25cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40cm ，CD=14cm ．则AB 和CD 间的距离为 ．9．⊙O 的直径是50cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40cm ，CD=48cm ，则AB•与CD•之间的距离为_______． 10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE=1，AB=10，求CD 的长．”根据题意可得CD 的长为________．11．如图，方格纸上一圆经过（2，6）、（-2，2）、（2，-2）、（6，2）四点，•则该圆圆心的坐标为（ ）A ．（2，-1）B ．（2，2）C ．（2，1）D ．（3，1）12.已知P 为⊙O 内一点，且OP=2cm ，如果⊙O 的半径是3cm ，那么过P 点的最短的弦等于（ ） A ．1cm B.2cm C.5cm D.25cm13．某机械传动装置在静止的状态时，如图所示，连杆PB 与点B•运动所形成的⊙O 交于点A ，测得PA=4cm ，AB=5cm ，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离．14.如图，CO 是圆的半径，AB 是弦，且AB ⊥CO 于E ，CE=1cm ，AB=10cm ，求半径CO 的长．B A P OBAC ED O16．已知：如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 是AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．17．已知：如图24-1-28，P 为直径AB 上一点，EF 、CD 为过点P 的两条弦，且∠DPB=∠EPB ．求证：（1）CD=EF ；（2）CE DF ．18．已知：如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN 的中点，P•是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为多少？考点三 、弦、弧、圆心角例1：如图所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC•的三边所得的弦长相等， •则∠BOC=（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 答案：D例2：已知：如图，⊙O 中，M ，N 分别是两条不平行的弦AB 和CD 的中点，且AB=CD ．求证：∠AMN=∠CNM ． B CA OO 2BCADO 1P答案：提示：连接OM ，ON ，则OM ⊥AB ，ON ⊥CD ．所以∠OMA=∠ONC=90°．又AB=CD ，所以OM=ON ．由此得∠OMN=∠ONM ．所以∠AMN=∠CNM ．练习：1.如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D.AB 与2CD 的大小关系无法比较2．AD 是⊙O 的直径，AB 、AC 是它的两条弦，若AD 平分∠BAC ．那么①AB=•AC ，•②AB AC =，③BD CD =，④AD ⊥BC ，以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在半径为2的圆中，长为23的弦所对的圆心角的度数是( ).(A)60° (B)90° (C)120° (D)135° 4. 若⊙O 内一条弦把圆周分为3:1两段弧，若⊙O 的半径为R ，那么这条弦的长为（ ） (A)R (B)2R (C)2R (D) 3R 5、已知AB 、CD 是两个不同圆的弦，如AB=CD ，那么AB 与CD 的关系是（ ） A 、AB CD = B 、AB CD > C 、AB CD < D 、不能确定6、在⊙O 中，弦AB=3，圆心角∠AOB=120°，则⊙O 的半径为 .7、在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是 .8、已知：如图，AB 为半⊙O 的直径，C 、D 、E 为半圆弧上的点，CD DE EA ==， ∠BOE=55°，则∠AOC 的度数为 .9．如图7所示，已知C 为AB 的中点，OA ⊥CD 于M ，CN ⊥OB 于N ，若OA=r ，•ON=•a ，•则CD=_______．10．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中B 点坐标为（4，4），• EODC BABCADO NM11. 已知：如图，两个以O 为圆心的同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D ．求证：AC=BD ．12.如图，在⊙O 中，AB=CD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 求证：∠AEF=∠CFE.13.过⊙O 外一点P 作两条直线分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，PO 平分∠BPD ，求证：AB=CD.14.如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，弦AE ∥CD ，求证： BE=2AC.15.如图，AB 为⊙O 的直径，D 为 AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DE 交AC 于点F.(1)求证：AC=2DE ；(2)求证：AF=DF. ODCBAPD CF EO DC BA考点四、 圆周角例1：如图所示，∠A 是⊙O 的圆周角且∠A=40°，求∠OBC 的度数．解：因为∠A=12∠BOC ，又因为∠A=40°， 所以∠BOC=2∠A=80，在等腰△OBC 中，∠OBC=1801808022BOC ︒-∠︒-︒==50°例2：如图所示，在足球比赛场上，甲、•乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随 冲到B 点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，•还是将球传给乙，让乙射门好？简述理由． 解：让乙射门，连NC ，则∠B=∠NCM>∠A ．练习：1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对圆心角的 。
半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°圆周角所对的弦是 。
2、如图1，已知A 、B 、C 在⊙O 上，∠COA ＝100°，则∠CBA ＝ 度.3、如图2，点A 、 B 、C 是⊙O 上的三点，若∠BOC =56°，则∠A ＝___________°4、一条弦将一个圆分成1：2两部分，则这条弦所对的圆周角为 .5.如图3，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC ＝20°，那么∠ACB ＝ ． A图1OCBA图2O DCBA图36、如图4，在⊙O 中，∠ACB ＝∠D ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长为_____ ____。
7、如图5，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20°8、如图6，△ABC 内接于 ⊙O ，∠C = 45º, AB =4 ，则⊙O 的半径为（ ）A . 2B . 4C . 23D . 59.如图所示，AB 是直径，D 是圆上任意一点，C 不与A 、B 重合，连结BD ，并延长得到C ，使DC=DB ，连结AC ，判断 △ABC 形状并说明理由10.如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，，求CD 的长。