1.1.3集合中元素的个数(阅读与思考)
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_8
阅读材料集合中元素的个数教材分析本节课是高中数学子教材“阅读与思考”的内容，主要是渗透了一些常见的数学概念与数学思想。
让学生利用韦恩图解决生活实际问题，并且在这一过程中，感悟集合的思想和方法，而不是追求计算的方法与结果。
作为第二课堂活动，本节课能很好地调动学生的学习兴趣，开发学生的创造潜能，有助于学生探究能力和创新能力的提高。
学情分析学生通过前面内容的学习，已经掌握集合的基本概念及基本运算，对于集合的应用，有求知欲，运用知识解决问题的意识较高。
学生具备一定的探究能力，能接受新的学习方式、方法。
教学设计思考1. 重视“情景—问题”教学设计，激发学生探究热情、落实学生主体地位。
2. 突出知识本质和建构过程，培育学生数学核心素养。
教学目标1. 知识目标：学会借助韦恩图、利用集合的思想方法，解决简单的实际问题，并在此过程中，发散思维，培养全面思考问题的能力。
提高阅读理解能力。
2. 素养目标：通过本课的学习，在“思考、体验、表达”的教学理念下，旨在培育学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。
教学重难点1. 重点：体会集合的有关思想方法并能用之来解决实际问题。
3. 难点：公式的猜想、推广及问题解决。
教学过程：一、知识回顾，引入新知1. 集合的元素个数与分类2. 用card(A)来表示有限集A 中的元素个数.如:A={a,b,c} 则card(A)=3集合 有限集无限集二、创设情境，引起认知冲突问题1. 学校小卖部进了两次货,第一次进的货是圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面共4种,两次一共进了几种货物?仔细阅读以上材料，你从中了解到哪些数学信息？尝试用新知card(A)准确表述相关信息【设计意图】让学生感受生活处处有数学，直观感受集合思想，提高阅读理解能力。
【教学活动】教师引导，学生畅所欲言师：第一次进货多少种？（6种）第二次进货多少种？（4种）两次进货一共多少种？（8种）师：请问为什么“6+4=8”？是我们算错还是另有原因？（多算2种）师：很明显，因为多算了圆珠笔和方便面两种，所以应该是：6+4-2=8师：如何用新知card(A)准确表述上述信息？（讨论、尝试）师生达成共识：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)三、合作交流，渗透集合思想问题2. 请设计一个既清晰又简洁的图来解决问题1中的问题【设计意图】体现以学生为主体的教学思想，学生通过画图的方式直观表达自己的思考，感悟学习方法的多样性。
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_30
教学设计1.1.1集合的含义与表示教学分析集合语言是现代数学的基本语言，同时也是一种抽象的数学语言．教材将集合的初步知识作为初、高中数学课程的衔接，既体现出集合在高中数学课程中举足轻重的作用，又体现出集合在数学中的奠基性地位．课本除了从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义、性质、表示方法之外，还特别注意渗透了“概括”与“类比”这两种常用的逻辑思考方法．因此，建议教学时，应引导学生从大量的实例中概括出集合的含义；多创设让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、集合语言和图形语言各自的特点和表示方法，能进行相互转换并且灵活应用，充分掌握集合语言．与此同时，本小节作为高一数学教学的第一节新授课，知识体系中的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流、讨论，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．这样，既能够培养学生自我阅读、共同探究的能力，又能提高学生主动学习、合作交流的精神．三维目标1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．重点难点教学重点：集合的基本概念与表示方法．教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．思路2．你经常会谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？这就是本节课我们所要学习的内容．思路3．“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”推进新课新知探究提出问题①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？②全体自然数能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？③方程x2－3x＋2＝0的所有实数根能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义？讨论结果：①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．②能．这个集合由0,1,2,3，……等无限个元素组成，称为无限集．③能．这个集合由1,2两个数组成．④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．提出问题通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.①近视超过300度的同学能否构成一个集合？②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质？⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？讨论结果：①能．②不能．③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．④一次．⑤4个元素．e，v，r，y这四个字母．⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．提出问题①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a＝1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.讨论结果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．③3∈A,4∉A.提出问题①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？②字母表示法中有哪些专用符号？③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？小于10的质数；不等式x－2＞5的解集.⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！⑦集合的表示方法共有几种？讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．②非负整数集(或自然数集)，记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.③两种，列举法与描述法．④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}．⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．应用示例例1 下列所给对象不能构成集合的是__________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1.80米的学生．活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．答案：(1)(3)变式训练1．下列几组对象可以构成集合的是()A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人答案：D2．已知集合S的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是() A．1B．－2C．6D．2答案：C点评：本题主要考查集合元素的性质．当所描述的对象明确的时候就能构成集合，若元素不明确就不能构成集合，称为元素的确定性；同时，一个集合中的元素是互不相同的，称为元素的互异性；此外还要注意元素的无序性.例2 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{}”内，并用逗号隔开．解：(1)小于10的自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}；(3)1～20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性. 变式训练1．用列举法表示下列集合：(1)一年之中的四个季节组成的集合；(2)满足不等式1＜1＋2x ＜19的素数组成的集合．答案：(1){春季，夏季，秋季，冬季}；(2){2,3,5,7}．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ 86－x ∈N ，试用列举法表示集合A . 解：由题意可知6－x 是8的正约数，当6－x ＝1时，x ＝5；当6－x ＝2时，x ＝4；当6－x ＝4时，x ＝2；当6－x ＝8时，x ＝－2；而x ≥0，∴x ＝2,4,5，即A ＝{2,4,5}． 点评：变式训练1主要对列举法进行了考查；变式训练2考查了两个方面的知识点，一是元素与集合的关系，二是列举法的应用，体现了对知识综合应用的能力.例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x 2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例3(1)——列举法①方程x 2－2＝0的解是什么？②如何用列举法表示方程x 2－2＝0的所有实数根组成的集合？针对例3(1)——描述法①描述法的定义是什么？②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？③如何用描述法表示所求集合？针对例3(2)——列举法①大于10小于20的所有整数有哪些？②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？针对例3(2)——描述法①所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？②如何用描述法表示所求集合？解：(1)设方程x 2－2＝0的实数根为x ，并且满足x 2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x ∈R |x 2－2＝0}；方程x 2－2＝0的两个实根为x 1＝－2，x 2＝2，因此，用列举法表示为A＝{－2，2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10＜x＜20}；大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.变式训练用适当的方法表示下列集合：(1)Welcome中的所有字母组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3)由所有非负偶数组成的集合；(4)直角坐标系内第三象限的点组成的集合；(5)不等式2x－3＞2的解集．解：(1)列举法：{W，e，l，c，o，m}；(2)列举法：{3,5,7,11,13,17,19}；(3)描述法：{x|x＝2n，n∈N}；(4)描述法：{(x，y)|x＜0，且y＜0}；(5)描述法：{x|x＞2.5}.知能训练课后练习1,2.【补充练习】1．考查下列对象能否构成集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．2．用适当的符号填空：(1)0__________N，5__________N，16__________N；(2)－12__________Q，π__________Q，e__________∁R Q(e是个无理数)；(3)2－3＋2＋3＝__________{x |x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q }．答案：(1)∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ (3)∈3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值． 解：∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．∴m 只能取3.4．用适当方法表示下列集合：(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合；(3)不等式x －3＞2的解集；(4)自然数中不大于10的质数集．答案：(1)描述法：{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．(2)描述法：⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝4. 列举法：{(1,4)}．(3)描述法：{x |x ＞5}(4)列举法：{2,3,5,7}．拓展提升问题1：设集合P ＝{x －y ，x ＋y ，xy }，Q ＝{x 2＋y 2，x 2－y 2,0}，若P ＝Q ，求x ，y 的值及集合P ，Q .活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生讨论：本题中集合P ，Q 对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．解：∵P ＝Q 且0∈Q ，∴0∈P .若x ＋y ＝0或x －y ＝0，则x 2－y 2＝0，从而Q ＝{x 2＋y 2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x ＋y ≠0且x －y ≠0；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.当y ＝0时，P ＝{x ，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y ≠0；当x ＝0时，P ＝{－y ，y,0}，Q ＝{y 2，－y 2,0}，由P ＝Q 得⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝y 2，y ＝－y 2，y ≠0， ① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝－y 2，y ＝y 2，y ≠0.②由①得y ＝－1，由②得y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 此时P ＝Q ＝{1，－1,0}．点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．问题2：已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中的元素至多只有一个，求a 的取值范围．活动探究：讨论关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0实数根的情况，从中确定a 的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．解：(1)a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意． (2)a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98. ∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根． 综合(1)(2)，知a ＝0或a ≥98. 点评：“a ＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a ≠0”的条件下，方程ax 2－3x ＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．问题3：设S ＝{x |x ＝m ＋2n ，m ，n ∈Z }．(1)若a ∈Z ，则a 是否是集合S 中的元素？(2)对S 中的任意两个x 1，x 2，则x 1＋x 2，x 1·x 2是否属于S?活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S 中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思考题中所给的元素a 能否表示成m ＋2n 的形式；如果能，m 和n 分别是多少，如果不能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．针对问题(2)——首先引导学生将x 1，x 2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x 1＋x 2，x 1·x 2是否是集合S 中的元素．解：(1)a 是集合S 中的元素，a ＝a ＋2×0∈S .(2)不妨设x 1＝m ＋2n ，x 2＝p ＋2q ，m ，n ，p ，q ∈Z .则x1＋x2＝(m＋2n)＋(p＋2q)＝(m＋p)＋2(n＋q)，m，n，p，q∈Z.∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋2n)·(p＋2q)＝(mp＋2nq)＋2(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．课堂小结本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．课后作业习题1.1A组3,4.设计感想本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生积极思考，主动参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”．备课资料集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分．在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．康托尔把无穷集这一词汇引入数学．对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子．“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示．”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生．但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作．在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释．无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的．这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数21世纪教育网子高斯就持这种观点．由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的．然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷．他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势．由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系——也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数．这与传统观念“全体大于部分”相矛盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集．又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．后来当他又证明了实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集．但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集．有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认．在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献．”。
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_12
《集合中元素的个数》教学设计
知识目标：
1、掌握有限集合中元素个数之间的关系，并能够应用集合中元素个数的关系解决实际问题。
2、探究两个无限集合元素个数的比较方法。
能力目标：
1、培养学生多方面、多角度、多层面独立探究问题的能力。
2、培养学生发散思维和创新思维能力。
3、培养学生归纳总结能力。
4、培养学生从实际生活中发现数学问题，并应用数学知识解决生活中的实际问题的能力。
情感目标：
1、通过小组活动培养学生的合作团队精神。
2、通过生活中实例的引入激发学生的学习兴趣。
3、通过探究让学生享受成功的乐趣。
4、通过总结方法培养学生科学学习态度。
教学重点：掌握有限集合中元素个数之间的关系，并能够应用集合中元素个数的关系解决实际问题。
教学难点：问题一、三个有限集合中元素个数的求法。
2、探究两个无限集合元素个数的比较方法。
教学过程：
Card(A
A
A
Card(A
答：喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动有12人
由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，
A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C
32，从而至少错一题的共32人，因此A，
B={2,4,6,8,
B={2,4,6,8, Card(A。
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_4
学生参与活动，明确“集合”的概念
从实际生活实例入手，引起学生注意，导入课题
思
1.观察下面4个实例：
（1） 以内的所有素数；
（2）我国从 年的13年内所发射的所有人造卫星；
（3）所有的正方形；
（4）武汉为明高级中学2018年9月入学的所有的高一学生。
思考：
（1）它们研究的对象确定吗？
板书设计
1.集合的概念；例1.
2.集合元素的特性；例2
3.集合元素与集合关系；例3.
4.常见集合的记法；
教学反思
检查结果及修改意见：合格[ ]不合格[ ]
组长（签字）：
检查日期：年月日
A.1B.2C.3D.4
4.下列结论不正确的是()
A.0∈NB. ∉QC.0∉QD.－1∈Z
5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()
A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可
B组：
6.已知集合 中含有三个元素 ，集合N中含有三个元素 ，且 ，求 的值.
1.下列给出的对象孩D.方程x2－1＝0的实数根
2.下面说法正确的是()
A.所有在 中的元素都在 中B.所有不在 中的数都在 中
C.所有不在 中的实数都在R中D.方程 的解既在 中又在 中
3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()
数学学科课时教学设计
课题名称
1.1.1集合的含义与表示（1）
授课时间
学生年级
高一
课时
第1课时
课程标准描述
理解集合的含义，与元素的关系、表示，掌握集合的表示方法及常用集合的记法。
考试大纲描述
理解集合的含义，与元素的关系、表示；
阅读与思考集合中元素的个数
②图解法
当集合元素个数较少而不具体时， 据题意画出集合的韦恩图，从而解 决实际问题。并归纳得出： 这一结 论：card(A∪B)=card（A）+card（B） -card(A∩B)
问题3：某班共30人，其中15人喜爱篮球运
动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运 动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓
五：作业
A={1，2，3，4，…，n，…}， B={2，4，6，8，…，2n，…}， 集合A、B中元素的个数有什么关系？ 这两个集合中元素的个数能进行比较吗？ 你采用的是什么方法？
四、小结：
•①列举法 •②图解法 •③数形结合法 •④归纳、猜想法
1、一般的，对任意两个有限集A，B有 card(A∪B)=card（A）+card（B）card(A∩B) 2、一般的，对任意两个有限集A，B，C有 card(A∪B∪C)=card（A）+card（B）+ card（C）-card(A∩B)-card(B∩C)card(A∩C)+card(A∩B∩C)
④归纳、猜想法
通过对问题（3）的求解，并结合问题 （1）、（2）的求解，归纳、猜想出： card(A∪B∪C)=card（A）+card（B） +card（C）-card(A∩B)-card(B∩C)card(A∩C)+card(A∩B∩C)
三、练习
某班54名学生参加三角,代数考试,已知 三角合格的有39人,代数合格的有33人, 两科都不合格的7人,问这两科考试都合 格的有多少人?
①列举法
问题（1）涉及的集合元素个数较少而 且具体，可用列举法写出，很快可解决 此问题，并由特殊到一般的思维方式概 括得出结论。
问题2：学校先举办了一次田径运动会，
高中数学必修1《阅读与思考集合中元素的个数》
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• ㈡关于听讲 • 上课的时候准备课本，一只笔，一本草稿。 做不做笔记你们自己决定，不过我不大提倡数学 课抄一大本的笔记。不过有一点，有些知识点比 较重要，课本上又没有的，我要求你们把它写在 课本上的相应的空白地方。还有如果你觉得某个 例题比较新或者比较重要，也可以把它记在书本 的相应位置上，这样以后复习起来就一目了然了。 那么草稿要来干什么的呢？课堂上你可以自己演 算还有做课堂练习。
Hale Waihona Puke 10• ㈢关于作业 • 绝对不允许有抄作业的情况发生。如果我发现有 谁抄作业，那么既然他这样喜欢抄，我就要你把当天 的作业多抄几遍给我。那有人会问，碰到不会做的题 目怎么办？有两个办法：一、向同学请教，请教做题 目的思路，而不是整个过程和答案。同学之间也要相 互帮助。我非常提倡同学之间的相互讨论问题的，这 样才能够相互促进提高。二、向老师请教，要养成多 想多问的习惯。我非常欢迎大家前来与我交流。
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• • • •
第五：养成良好的学习习惯 ㈠关于预习 怎样预习呢？ 就是自己在上课之前把内容先看一遍，把自己不 懂的地方做个记号或者打个问号，以至于上课的 时候重点听，这样才能够很快提高自己的水平。 但是预习不是很随便的把课本看一边，预习有个 目标，那就是通过预习可以把书本后面的练习题 可以自己独立的完成。上课对于大家来说应该是 复习。
• ㈣关于总结 • 准备一本笔记本，作为自己的问题集，每个人的 问题不同，上课时把自己不懂的和不大理解的还有易 错的记录下来，并且要及时总结消化，不懂的地方问 老师。这是一个很好的办法，到考试的时候就可以有 重点、有针对性的自己复习了。 11
三、高中数学学哪些？
1.必修课程：
2.选修课程：
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课后作业：
高一数学必修1目录
高一数学必修1目录高一数学必修1目录第一章集合与函数概念1.1集合——阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其表示——阅读与思考函数概念的开展历程1.3函数的根本性质——信息技术应用用计算机绘制函数图形实习作业小结复习参考题第二章根本初等函数〔1〕2.1指数函数——信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数——阅读与思考对数的创造探究与发现互为反函数的两个函数图像之间的关系2.3幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1函数与方程——阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术求方程的近似解3.2函数模型及其应用——信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题关于数学：课本上讲的定理，你可以自己试着自己去推理。
这样不但提高自己的证明能力，也加深对公式的理解。
还有就是大量练习题目。
根本上每课之后都要做课余练习的题目(不包括老师的作业)。
数学成绩的提高，数学方法的掌握都和同学们良好的学习习惯分不开的，因此。
良好的数学学习习惯包括：听讲、阅读、探究、作业。
听讲：应抓住听课中的主要矛盾和问题，在听讲时尽可能与老师的讲解同步思考，必要时做好笔记。
每堂课结束以后应深思一下进行归纳，做到一课一得。
阅读：阅读时应仔细推敲，弄懂弄通每一个概念、定理和法那么，对于例题应与同类参考书联系起来一同学习，博采众长，增长知识，开展思维。
探究：要学会思考，在问题解决之后再探求一些新的方法，学会从不同角度去思考问题，甚至改变条件或结论去发现新问题，经过一段学习，应当将自己的思路整理一下，以形成自己的思维规律。
作业：要先复习后作业，先思考再动笔，做会一类题领会一大片，作业要认真、书写要标准，只有这样脚踏实地，一步一个脚印，才能学好数学。
总之，在学习数学的过程中，要认识到数学的重要性，充分发挥自己的主观能动性，从小的细节注意起，养成良好的数学学习习惯，进而培养思考问题、分析问题和解决问题的能力，最终把数学学好。
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_16
第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：元素的确定性；元素的互异性；元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A表示法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=BA⊂①任何一个集合是它本身的子集。
吉林省高中数学教材目录
第一章集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
1.2集合间的基本关系
1.3集合的基本运算
阅读与思考集合中元素的个数
1.4充分条件与必要条件
1.5全称量词与存在量词
阅读与思考命题及其关系
第二章一元二次函数、方程和不等式
（8）
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
第三章函数概念与性质
3.1函数的概念及其表示
阅读与思考函数概念的发展历程
3.2函数的基本性质
信息技术应用用计算机绘制函数图象
3.3幂函数
探究与发现探究函数y=x+1的图象与性质
3.4函数的应用（一）
文献阅读与数学写作*函数的形成与发展
第四章指数函数与对数函数
4.1指数
4.2指数函数
阅读与思考放射性物质的衰减
信息技术应用探究指数函数的性质
4.3对数
阅读与思考对数的发明
4.4对数函数
探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系
4.5函数的应用（二）
阅读与思考中外历史上的方程求解
文献阅读与数学写作*对数概念的形成和发展
数学建模
建立函数模型解决实际问题
第五章三角函数
5.1任意角和弧度制
5.2三角函数的概念
阅读与思考三角学与天文学
5.3诱导公式
5.4三角函数的图象与性质
探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5三角恒等变换
信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6函数
5.7三角函数的应用
阅读与思考振幅、周期、频率、相位。
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_10
《中考专题之解直角三角形的应用》教案考情分析：解直角三角形的应用为历年中考必考题型。
基本稳定在解答题第19题或第20题考查。
分值9分。
学情分析：数学学科的复习如今已进行至第二轮，主要进行对于各个专题的整理和训练的强化。
对于本专题，其独立性相对较强，难度对于本班学生来说属于中等。
在期中考试中根据智学网的统计本题的班级平均分为4.5分，其中满分的同学占17%，6-8分占25%，3-6分占40%，3分以下的同学占18%。
说明在本专题，大多数同学处于会做但是拿不了满分的水平。
在现今的复习阶段，应致力于让绝大多数学生对于这样的题目能够实现满分。
在本次洛阳市一模考试中，该专题考察的是涉及多个直角三角形需设出未知数建立等量关系求解的类型，学生对于本题的得分率相较期中六校联考更低。
故设计本节课，对本专题进行专项强化复习。
教学过程：一、知识储备1.正弦、余弦、正切的定义。
2.特殊角三角函数值。
3.勾股定理。
教师活动：通过提问的形式对该专题涉及的基础知识点进行回顾与强化。
二、考题回放（期中六校联考第19题）改革开放以来，我国的交通事业得到长足发展，不少地方天堑变通途。
如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，以往由A 地到C 地需绕行B 地。
已知B 地位于A 地北偏东067方向，距A 地520km ，C 地位于B 地南偏东030方向。
现要在A 、C 两地建成直达高铁，求高铁线路的长。
（结果保留整数）（参考数据: 012sin 6713≈, 05012 1.73≈设计意图：在本环节所选题目为期中考试原题。
学生通过二次做题与期中考试中本题解题过程进行对比，看看自己在考试中出现的错误有没有重复出现，并在小组合作交流中进一步完善解题过程。
三、错因分析教师活动：通过了解学生在此类题目中存在的主要问题总结造成本题失分的共性原因。
四、合作探究类型Ⅰ单一直角三角形中即可求解例1（2018桂林）如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需3≈，要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据： 1.412≈， 1.736≈结果精确到0.1小时）2.45直击中考（2018河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长.结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）类型Ⅱ需设出未知数，结合两个或多个直角三角形建立等量关系求解例2（2018宜宾）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E 在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（结果保留根号）直击中考（2015河南）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是030，超大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°. 若坡角∠FAE =30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73）设计意图：本环节进行了中考本专题的两种考察形式的总结。
阅读与思考集合中元素的个数
第1讲集合及其运算最新考纲 1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．知识梳理1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系4.集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，则A＝B＝C.(×)(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(×)(3)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1，2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝12.(×)(4)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(√)2．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()A．[－2，－1] B．[－1，2)C．[－1，1] D．[1，2)解析由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.答案 A3．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y ＝x}，则A∩B的元素个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.答案 C4．(人教A必修1P12A10改编)已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则(∁R A )∩B ＝________． 解析 ∵∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |2＜x ＜3或7≤x ＜10}． 答案 {x |2＜x ＜3或7≤x ＜10}5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________． 解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}， 因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0， 且f (0)＝－1<0，根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数， 则这个整数为2， 所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43.即34≤a <43.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43考点一 集合的含义【例1】 (1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4(2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 016＋b 2 016＝________．解析 (1)由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解；当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4(a ＝0不合题意舍去)．(2)由已知得ba ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 016＋b 2 016＝1. 答案 (1)A (2)1规律方法 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【训练1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3 C．5 D．9(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析(1)∵x－y＝{－2，－1，0，1，2}，∴其元素个数为5.(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，故m＝－32.答案(1)C(2)－3 2考点二集合间的基本关系【例2】(1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________．(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁U A)∩B＝∅，则m＝__________．解析(1)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．深度思考①你会用这些结论吗？A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B，(∁U A)∩B＝∅⇔B⊆A；②你考虑到空集了吗？则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)· (－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2. 答案 (1)(－∞，4] (2)1或2规律方法 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．【训练2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅C ．A ⊆BD ．B ⊆A(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析 (1)A ＝{x |x ＞－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得： B ⊆A .(2)由log 2x ≤2，得0＜x ≤4， 即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B＝{x|x＜a}，由于A⊆B，如图所示，则a＞4.答案(1)D(2)(4，＋∞)考点三集合的基本运算【例3】(1)(2014·四川卷)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1}C．{0，1} D．{－1，0}(2)(2015·开封模拟)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，B＝Z，所以A∩B＝{－1，0，1，2}．(2)易知A＝{x|2x(x－2)＜1}＝{x|x(x－2)＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x＜2}．答案(1)A(2)B规律方法(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．【训练3】(1)(2014·浙江卷)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A．∅B．{2}C．{5} D．{2，5}(2)设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围一定是( )A ．[－1，2)B ．(－∞，2]C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析 (1)因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}，所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x ＜5}，故∁U A ＝{2}．(2)借助数轴可知a ＞－1，故选D. 答案 (1)B (2)D微型专题 集合背景下的新定义问题以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力．解决此类问题，要从以下两点入手：(1)正确理解创新定义．分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质． 【例4】 (2014·青岛质检)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{0|0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.512点拨 先理解集合的“长度”，然后求M ∩N 的“长度”的最小值． 解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1.所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34.此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.故选C.答案 C点评 本题的难点是理解集合的“长度”，解题时紧扣新定义与基础知识之间的相互联系，把此类问题转化成熟悉的问题进行求解.[思想方法]1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn 图，这是数形结合思想的又一体现． [易错防范]1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集不含任何元素，但它是存在的，在利用A ⊆B 解题时，若不明确集合A 是否为空集时应对集合A 的情况进行分类讨论．如例2(1)“错解1：由⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，解得－3≤m ≤4；错解2：由⎩⎨⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤7，解得2＜m ≤4，错因都是对集合B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}”认识不清．3．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析因为S＝{x|x＞－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}，而T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．答案 D2．(2015·东北四市联考)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为() A．4 B．5 C．6 D．7解析∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8.∴B中共有6个元素．答案 C3．(2015·贵阳监测)若集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则集合A∪B＝() A．{1} B．{1，2}C．{－1，1，2} D．{－1，1，－2}解析∵A＝{－1，1}，B＝{1，2}，∴A∪B＝{－1，1，2}．答案 C4．已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有() A．2个B．4个C．6个D．8个解析P＝M∩N＝{1，3}，故P的子集共有4个．答案 B5．(2014·武汉检测)设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是() A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R解析由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以P⊆Q，故选A.答案 A6．(2014·山东卷)设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝()A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)解析A＝{x||x－1|＜2}＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}＝{y|1≤y≤4}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜3}∩{y|1≤y≤4}＝{x|1≤x＜3}．答案 C7．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则实数a的取值集合为() A．{－1，0，1} B．{－1，1}C．{－1，0} D．{0，1}解析因为A＝{1，－1}，当a＝0时，B＝∅，适合题意；当a≠0时，B＝{1a}⊆A，则1a＝1或－1，解得a＝1或－1，所以实数a的取值集合为{－1，0，1}．答案 A8．(2015·长沙模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4解析A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选D.答案 D二、填空题9．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则集合(∁U B)∩A＝__________．解析∵∁U B＝{x|x≤1}，∴(∁U B)∩A＝{x|0＜x≤1}．答案{x|0＜x≤1}10．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为__________．解析根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.答案 411．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析A＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x|－1<x<n}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1.答案－1 112．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是__________．解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A . ①当C ＝∅时，满足C ⊆A ， 此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎨⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1. 答案 (－∞，－1]能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．(2015·皖南八校联考)设集合M ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，N ＝{x |y ＝lg x }，则下列结论中正确的是( )A ．M ∩N ≠∅B ．M ∩N ＝∅C ．M ∪N ＝ND ．M ∪N ＝M解析 因为M 为点集，N 为数集，所以M ∩N ＝∅. 答案 B14．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x }，则A ∩B 的元素有 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 在同一直角坐标系下画出函数y ＝log2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图所示：由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 图象有两个交点，则A ∩B 的元素有2个． 答案 B15．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2＞0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B. 答案 B 16．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x ＞2，则∁U P ＝__________． 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}＝{y |y ＞0}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x ＞2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0＜y ＜12，∴∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥12. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥1217．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．知识梳理1．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)“x2＋2x－8＜0”是命题．(×)(2)一个命题非真即假．(√)(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．(×)(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(×)(5)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α≠1B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π4解析命题的条件是p：α＝π4，结论是q：tanα＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”．答案 C3．(2014·安徽卷)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析ln(x＋1)＜0⇔0＜x＋1＜1⇔－1＜x＜0；而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件．答案 B4．(2014·浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC⊥BD”⇒/ “四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．答案 A5．(人教A选修2－1P10练习4改编)下列命题：①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是__________(填序号)．答案②④考点一四种命题及真假判断【例1】(1)(2015·威海模拟)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0(2)(2014·陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析(1)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不是共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．故选B.答案(1)D(2)B规律方法(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(3)判断一个命题为假命题可举反例．【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案 D考点二充分、必要条件的判定与探求【例2 】(1)(2014·北京卷)设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( ) A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1 C ．a ≤1 D ．0＜a ≤1或a ＜0解析 (1)若q ＞1，则当a 1＝－1时，a n ＝－q n －1，{a n }为递减数列，所以“q ＞1”“{a n }为递增数列”；若{a n }为递增数列，则当a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n时，a 1＝－12，q ＝12＜1，即“{a n }为递增数列”⇒/ “q ＞1”，故选D.(2)法一 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根． 当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a ， 当只有一个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a＜0⇒a ＜0；当有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a ＜0，⇒0＜a ≤1.1a ＞0综上所述，a ≤1.法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B. 答案 (1)D (2)C规律方法 判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题． 【训练2】 (1)(2014·湖北卷)设U 为全集．A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分不必要的条件 B ．必要不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件(2)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析(1)由Venn易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A ＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．(2)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.答案(1)C(2)C考点三根据充分、必要条件求参数的范围【例3】(1)已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3](2)若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析(1)由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.(2)由已知易得{x|x2－2x－3>0} {x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴⎩⎨⎧－1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎨⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 答案 (1)A (2)[0，2]规律方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【训练3】 (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ≤0或a ＞1B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ＜0(2)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 (1)因为f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D. (2)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p 綈q 等价于p ⇒q ，且q p .记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0|＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，则A B .从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ≤12，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案 (1)D (2)A[思想方法]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件或“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；若A ＝B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件． [易错防范]对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点．命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是() A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案 B2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案 A3．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是() A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案 C4．(2015·郑州检测)已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m 不成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.答案 B5．(2014·成都二诊)下列说法正确的是() A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“∃x0∈R，x20＞1”的否定是“∀x∈R，x2＞1”C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题解析A项中否命题为“若x2≤1，则x≤1”，所以A错误；B项中否定为“∀x ∈R，x2≤1”，所以B错误；因为逆否命题与原命题同真假，所以C错误；易知D正确，故选D.答案 D6．(2014·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的() A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析结合正弦定理可知，a≤b⇔2R sin A≤2R sin B⇔sin A≤sin B(R为△ABC 外接圆的半径)．故选A.答案 A7．(2014·临沂模拟)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是() A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，所以k＞2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.答案 B8．(2014·东北三省四市联考)下列命题中真命题是() A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件解析由a＞b不能得知ac2＞bc2，当c2＝0时，ac2＝bc2；反过来，由ac2＞bc2可得a＞b.因此，“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故选C.答案 C二、填空题9．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．答案“若x≤y，则x2≤y2”10．“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)．解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤1 4.答案充分不必要11．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案m＝－212．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．答案②③能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2014·天津卷)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析先证“a＞b”⇒“a|a|＞b|b|”．若a＞b≥0，则a2＞b2，即a|a|＞b|b|；若a≥0＞b，则a|a|≥0＞b|b|；若0＞a＞b，则a2＜b2，即－a|a|＜－b|b|，从而a|a|＞b|b|.再证“a|a|＞b|b|”⇒“a＞b”．若a，b≥0，则由a|a|＞b|b|，得a2＞b2，故a ＞b；若a，b≤0，则由a|a|＞b|b|，得－a2＞－b2，即a2＜b2，故a＞b；若a≥0，b＜0，则a＞b.综上，“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件．答案 C14．(2014·成都检测)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④綈p是綈s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件．则正确命题的序号是() A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤解析∵q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．∴q，r，s互为充要条件．又p是r的充分不必要条件．∴①s是q的充要条件正确；②p 是q的充分不必要条件正确；③r是q的必要不充分条件错误；④綈p是綈s 的必要不充分条件正确；⑤r是s的充分不必要条件错误，故选B.答案 B15．(2014·湖南高考诊断)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是 ( )A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xB ．p ：|a |＞|b |，q ：a 2＞b 2C ．p ：x ＞a 2＋b 2，q ：x ＞2abD ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞d解析 A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1⇒/ x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |＞|b |，根据不等式的性质可得a 2＞b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x ＞a 2＋b 2，得x ＞2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c ＞b ＋d ，但是a ＜b ，c ＞d ，反之，由同向不等式可加性得a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.答案 D16．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________． 解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1，2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1，3；当n ＝4时，方程有整数根2.答案 3或417．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案 (2，＋∞)第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p ，q 都是假命题．(×)(2)若命题p ，q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．(√)(3)已知命题p ：∃n 0∈N ，2n 0＞1 000，则綈p ：∃n 0∈N ，2n 0≤1 000.(×)(4)命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜0”．(×)2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．p ∧q解析 由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．答案 A3．(2014·湖南卷)设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0解析 “∀x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“∃x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B.答案 B4．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.答案 [－8，0]5．(人教A选修2－1P27A3改编)给出下列命题：①∀x∈N，x3＞x2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；③∃x0∈R，x20－x0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则以上命题的否定中，真命题的序号为________．答案①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】(1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c ＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是() A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q解析(1)由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴綈p是真命题．命题q 中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a 与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则綈q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选 A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.答案(1)A(2)A规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．【训练1】(1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．解析(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．深度思考常常借助集合的“并、交、补”的意义来理解由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题，你清楚吗？所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.(2)若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．答案(1)D(2)必要不充分考点二全(特)称命题的否定及其真假判定。
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A. 70
B. 55
C. 50
D. 无法确定
能力提升
1. 在某校高一(5)班的学生中, 参加物
理课外小组的有20人，参加数学课外小
组的有25人，既参加数学课外小组又参
加物理课外小组的有10人，既未参加物
理小组又未参加数学小组的有15人，则
这ห้องสมุดไป่ตู้班的学生总人数是
A. 70
B. 55
C. 50
D. 无法确定
思考：对任意三个有限集合A、B、C， card(A∪B ∪C)=？
一般地，对任意三个有限集合A、B、C， card(A∪B ∪C) =card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-
card(A∩C)- card(B∩C)+card(A∩B∩C)
例：学校先举办了一次田径运动会， 某班有8名同学参赛，又举办了一次球类
3. 在一次学校综合运动会上，某班共有28 名同学参加了比赛，其中有15人参加了游泳比 赛，8人参加了田径比赛，14人参加了球类比 赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人， 同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有 人同时参加这三项比赛，问同时参加田径比赛 和球类比赛的有几人？仅参加游泳这一项比赛 的又有几人？
其中正确的命题的序号是__________.
2. 给出下列命题： ① 若card(A)=card(B)，则A=B； ② 若card(A)=card(B)， 则card(A∩B)=card(A∪B) ③ 若A∩B= , 则card(A∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A= ，则card(A∩B)=card(A) ⑤ 若A B，则card(A∩B)=card(A) ③④ 其中正确的命题的序号是__________.
3. 在一次学校综合运动会上，某班共有28 名同学参加了比赛，其中有15人参加了游泳比 赛，8人参加了田径比赛，14人参加了球类比 赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人， 同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有 人同时参加这三项比赛，问同时参加田径比赛 和球类比赛的有几人？仅参加游泳这一项比赛 的又有几人？
运动会，这个班有12名同学参赛，两次运
动会都参赛的人有3人，两次运动会中，
这个班共有多少名同学参赛？
能力提升
1. 在某校高一(5)班的学生中, 参加物
理课外小组的有20人，参加数学课外小
组的有25人，既参加数学课外小组又参
加物理课外小组的有10人，既未参加物
理小组又未参加数学小组的有15人，则
这个班的学生总人数是
集合中元素的个数
在研究集合时，经常遇到有关集合 中元素的个数问题，我们把含有有限个
元素的集合A叫做有限集，用card来表示
有限集合A中元素的个数，
例如，A={a，b，c}，则card(A)=3.
一般地，对任意两个有限集合A、B，有
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
仅参加游泳一项比赛的有9人，同时参 加田径比赛和球类比赛的有3人.
4. 50名学生报名参加A、B两个课外学科小
3 组, 报名参加A组的人数是全体学生的 , 报名 5
参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人,
两个组都没有报名的人数比同时报名参加A、
1 B两组人数的 还多1人. 求同时报名参加A、 3
2. 给出下列命题： ① 若card(A)=card(B)，则A=B； ② 若card(A)=card(B)， 则card(A∩B)=card(A∪B) ③ 若A∩B= , 则card(A∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A= ，则card(A∩B)=card(A) ⑤ 若A B，则card(A∩B)=card(A)
B两个组的人数和两个组都没有报名的人数.