高三一轮总复习材料(全部知识点)

不等式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若a ＞b ＞0，则( )．

A ．a 2c ＞b 2c (c ∈R ) B.b a ＞1 C ．lg(a －b )＞0

D.()12

a

＜()12b

2．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )．

A.5

2 B.72 C.154

D.152

3．“x ＞y ＞0”是“x

y

＞1”的( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2y －2≥0，x －y －1≤0，

x －2y ＋2≥0，

则x ＋y 的最大值为( )．

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

5．若x ∈(e －

1,1)，a ＝ln x ，b ＝(12

)ln x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )．

A ．c ＞b ＞a

B ．b ＞c ＞a

C ．a ＞b ＞c

D ．b ＞a ＞c

6．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )．

A.23

B.22

3 C.33

D.

23

3

7．若存在x 使不等式x －m

e

x ＞x 成立，则实数m 的取值范围为( )．

A ．(－∞，－1

e )

B ．(－1

e ，e)

C ．(－∞，0)

D ．(0，＋∞)

8．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，

3x －y －3≤0

上的一个动点，则|AM |的

最小值是( )．

A.

35

5

B. 2

C. 5

D.13

9．已知不等式x ＋2x ＋1

＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m ＋1

n 的

最小值为( )． A ．4 2 B ．8 C ．9

D ．12

10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x ，x ＞0，

－x 2＋4x ，x ≤0，

若|f (x )|≥ax －1恒成立，则实数a 的取值范围是( )．

A ．(－∞，－6]

B ．[－6,0]

C ．(－∞，－1]

D ．[－1,0]

二、填空题

11．不等式x ＋5

(x －1)2

≥2的解集是__________．

12．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，

3x －y －3≤0，

且目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为11，则实数k ＝________.

14．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1

c

的最小值是________．

15．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧

x ＋y ≤2，

x ≥1

2，

y ≥x

上的一个动点，则OM →·ON

→

的最大值是__________．

参考答案

一、选择题

1．解析 取a ＝2，b ＝1，c ＝0验证可得D 正确．答案 D 2．解析 由题意知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两个根，

∴x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝－8a 2，∴|x 2－x 1|＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝15. 又a ＞0，解得a ＝5

2

.

答案 A

3．解析 x y ＞1⇔(x －y )y ＞0，由x ＞y ＞0，得(x －y )＞0，y ＞0，所以x ＞y ＞0⇒x y ＞1，具有充分性．由x

y ＞1，

得⎩⎨⎧ x ＞y ，y ＞0或⎩⎨⎧

x ＜y ，y ＜0，所以x

y ＞1⇒/ x ＞y ＞0，不具有必要性，故选A.答案 A

4．

解析 画出可行域(如图)，目标函数向上平移至点A 时，取得最大值，由⎩⎨⎧

x －y －1＝0

x －2y ＋2＝0得A (4,3)，

∴(x ＋y )max ＝4＋3＝7.

答案 D

5．解析 ∵x ∈(e －

1,1)，∴－1＜ln x ＜0,1＜(12)ln x ＜2，1e ＜e ln x ＜1，∴b ＞c ＞a .

答案 B

6．解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋1

3x ≥2

29＝223(当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝2

2

时等号成立)．

答案 B

7．解析 依题意得，关于x 的不等式x －m

e x ＞x ，即－m ＞e x x －x 有解．记

f (x )＝e x x －x (x ≥0)，则f ′(x )＝e x ⎝

⎛⎭

⎫x ＋

12

x －1≥e x ×2x ×

12x

－1＝2e x －1＞2－1＞0(x ＞0)，因此函数f (x )在[0，＋∞)上是增函

数，f (x )的最小值是f (0)＝0，于是有－m ＞0，m ＜0，实数m 的取值范围是(－∞，0)． 答案 C

8．解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，|AM |的最小值等于

点A (－1,1)到直线2x ＋y －2＝0的距离，即等于

|2×(－1)＋1－2|22＋12

＝35

5. 答案 A

9．解析 易知不等式

x ＋2x ＋1

＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2

m ＋

1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1

n 的最小值为9. 答案 C

10．