构造问题之数列构造
巧用构造法求数列的通项公式
解题宝典求数列的通项公式问题比较常见,解答的方法有很多种,其中最常用的是构造法.构造法常用于求递推式较为复杂的数列的通项公式.我们运用构造法,将原数列构造成等差、等比数列，然后利用等差、等比数列的通项公式就可以求得数列的通项公式.一、a n +1=pa n +q (p ，q 均为常数)型递推式对于形如a n +1=pa n +q （p ,q 均为常数）的递推式，要求其数列的通项公式，一般需先引入参数x ，使a n +1+x =p ()a n +x ，然后将其整理为a n +1=pa n +px +x ，那么px +x =q ，由此解出x ，便可得到一个以a 1+x 为首项、p 为公比的等比数列，然后运用等比数列的通项公式即可解出.例1.已知数列{}b n 的前n 项和为S n ，满足b 1=1，S n =b n +1-n 2-n +22，求{}b n 的通项公式.解：由S n =b n +1-n 2-n +22可得S n -1=b n -n 2-3n +42，则2b n +n -1=b n +1，设2()b n +pn +q =b n +1+p ()n +1+q ,则2b n +2pn +2q =b n +1+pn +p +q ,所以p =1,q =0，即2()b n +n =b n +1+n +1，则{}b n +n 是以2为公比，2为首项的等比数列，所以b n +n =2×2n -1，故b n =2n -2..解答本题，首先需利用b n 与S n 的关系式求得b n的表达式，然后引入参数p 、q ，构造出等比数列{}b n +n ，进而利用等比数列的通项公式求得结果.二、a n +1=pa n +q n (其中p ，q 均为常数，pq (p -1)≠0)型递推式由a n +1=pa n +q n (其中p ，q 均为常数，pq (p -1)≠0)型递推式求数列的通项公式，一般有两种思路：1.先在递推关系式两边同除以q n +1,得a n +1qn +1=p q ·a n q n +1q ,引入辅助数列{b n }(其中b n =a n q n )，得b n +1=p q ·b n +1q ，再用待定系数法求解；2.将原递推关系式两边同除以p n +1，得a n +1pn +1=a np n +1q ·(q p )n ，引入辅助数列{b n }(其中b n =a npn )，得b n +1-b n =1p (q p)n ，再利用累加法(逐差相加法)求解．例2.已知数列{a n }中，a 1=56，a n +1=13a n +(12)n +1，求a n .解法一：在a n +1=13a n +(12)n +1两边同乘以2n +1，得2n +1·a n +1=23(2n ·a n )+1.令b n =2n ·a n ，则b n +1=23b n +1，根据待定系数法，得b n +1-3=23(b n -3)．所以数列{b n -3}是以b 1-3=-43为首项、以23为公比的等比数列．所以b n -3=-43·(23)n -1，即b n =3-2(23)n.于是a n =bn 2n=3(12)n -2(13)n .解法二：在a n +1=13a n +(12)n +1两边同乘以3n +1，得3n +1a n +1=3n a n +(32)n +1.令b n =3n ·a n ，则b n +1=b n +(32)n +1.所以b n -b n -1=(32)n ，b n -1-b n -2=(32)n -1，…，b 2-b 1=(32)2.将以上各式累加，得b n -b 1=(32)2+…+(32)n -1+(32)n .又b 1=3a 1=52=1+32，所以b n =1+32+(32)2+…+(32)n -1+(32)n=2(32)n +1-2，即b n =2(32)n +1-2.故a n =b n 3n=3(12)n -2(13)n .解法一采用了第一种思路：在递推式左右两边同乘以2n +1,通过对应系数，构造出等比数列；解法二采用了第二种思路：在递推式左右两边同乘以3n +1，运用累加法求得数列的通项公式.由递推式求数列的通项公式问题的题型多种多样，但无论怎么变化，其解题的思路、方法基本相同：通过构造、变形等方式，将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的等差、等比数列问题来求解.（作者单位：南京航空航天大学附属高级中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高三总复习---数列构造法题型方法整理总结归纳
构造法,所有本身不是等差或等比数列的数列,通过一定构造之后，变成新的等差或等比数列的方法。
题型有四种常见的：①对于类型的，构造成形式，然后再展开求，得到一个以为首项，为公比的新的等比数列；②对于类型的,构造成形式，再展开求，然后得到一个以为首项，为公比的新的等比数列；③对于类型的，左右两边同除以,构造成形式，得到一个以为首项,为首项的新的等差数列；④对于类型的，先左右两边同除以以后,构造成形式后，再二次构造成，解出，得到一个以为首项，为公比的新的等比数列。
这里还有一些注意事项：①这里等都是常数，但是注意不能为1,为1的时候就会变为等差数列或者累加法;②待定系数并求出之后，为了避免出错，尽量把以什么为首项，什么为公差或公比写出来；③为了能快速分辨出题型和方法,大家尽量把类型和构造的方法都记住。
④构造法不止于以上四种,除此之外，还有一些不常见的构造法,碰到的话要大胆猜测,仔细验证。
另外还有一个技巧大家要牢记，就是很多构造的方法其实隐藏在问题里面,因此，问题即提示。
1、已知数列满足求数列的通项公式.2、已知数列中，，则此数列的一个通项公式是_________。
3、设有数列,,若以为系数的二次方程都有根，且满足.(1）求证：数列是等比数列。
（2)求数列的通项以及前项和.4、已知数列满足，（)(1）求证：数列是等比数列；(2)求的通项公式及前项的和5、已知数列中，，求。
6、，求通项公式。
7、,求通项公式。
8、，求通项公式。
9、,求通项公式。
10、设数列的前项和为已知（1）设,证明数列是等比数列(2）求数列的通项公式.11、已知数列满足,（1）令证明：是等比数列;(2）求的通项公式。
12、为等差数列，中的部分项组成的数列恰为等比数列，且，求。
13、已知数列是公差不为零的等差数列,数列是公比为的等比数列，，求公比及。
14、设数列的前项和为，满足，，且成等差数列。
求的值，求数列的通项.10倒数法，对于形如的数列，可以把左右同时打颠倒，变成，就成了一个以为首项,为公差的新的等差数列,求出这个新数列的通项公式之后，就可以得到的通项公式了。
数列构造法开题报告
数列构造法开题报告数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。
在数学中，数列构造法是一种通过特定的规则和方法来生成数列的方法。
本文将探讨数列构造法的应用和意义。
一、数列构造法的基本概念数列构造法是指通过一定的规则和方法，按照一定的顺序生成一系列数字。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列构造法可以通过递推公式、迭代公式、递归关系等方式来定义。
二、数列构造法的应用数列构造法在数学中有着广泛的应用。
首先，数列构造法可以用于解决一些实际问题。
例如，通过构造数列，可以描述一些物理过程中的变化规律，如自由落体运动中物体的位置随时间变化的规律。
其次，数列构造法可以用于解决一些数学问题。
例如，通过构造数列，可以证明一些数学定理，如数学归纳法的证明过程中常常使用数列构造法。
此外，数列构造法还可以用于解决一些算法问题，如排序算法中的冒泡排序、快速排序等。
三、数列构造法的意义数列构造法的意义在于它可以帮助我们理解和掌握数学中的一些概念和定理。
通过构造数列，我们可以发现其中的规律和特点，从而更好地理解和应用数学知识。
此外，数列构造法还可以培养我们的逻辑思维能力和创造力。
在构造数列的过程中，我们需要分析问题、寻找规律、进行推理，这些过程可以锻炼我们的思维能力。
同时，数列构造法还可以激发我们的创造力，通过构造不同的数列，我们可以发现其中的奇妙之处，从而开拓我们的思维空间。
四、数列构造法的实例下面以斐波那契数列为例，介绍数列构造法的具体过程。
斐波那契数列是一个无限数列，其定义如下：第一项和第二项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
按照这个规则，我们可以构造出如下的斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...通过观察斐波那契数列，我们可以发现其中的规律：每一项都等于前两项之和。
这个规律可以用递推公式来表示：an = an-1 + an-2。
利用这个递推公式，我们可以计算出斐波那契数列中的任意一项。
专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)
专题05构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2n nna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列{}n a 满足112,31n n na a a n +==⋅+,求n a .【解析】因为11n n na a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n n b na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即221,33n n n na a a n=⨯==.【经典例题2】已知数列{}n a 中,12n n na a n +=+且12a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】因为12n n na a n +=+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯422,(1)n a n n ⨯=+【经典例题3】已知数列{}n a 中,12(1(1))n n na n a n n +++=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成1121n n a a n n +=++,令n n ab n=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==,21n n b =-,所以21n na n=-,(21)n n a n =-.【经典例题4】已知11a =,且1(2)n n na n n a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +=++++++,即1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(111)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-323411b b -=-434511b b -=-111(1)n n b b n n ---=+叠加得1112(1)n b b n --=+,11122a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即(1)1n a n n n n =++，2n a n =.【练习1】已知数列{}n a 满足1111,3n n n n a a a a a ++=-=,则10()a =A.28 B.128C.28- D.128-【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:1113n na a +-=(常数)则：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,3为公差的等差数列。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解41 数列中的构造问题
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§6.4 数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一 形如a n ＋1＝pa n ＋f (n )型命题点1 a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)例1(1)数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2)且a 1＝0，则a 2 024等于( )A ．22 023－1B ．42 023－1C ．22 023＋1D ．42 023＋1 答案 B解析 ∵a n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4(a n －1＋1)(n ≥2)，∴{a n ＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则a n ＋1＝4n －1.∴a n ＝4n －1－1，∴a 2 024＝42 023－1.(2)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且1a n ＋1＝3a n＋2，则数列{a n }的通项公式为__________． 答案 a n ＝12·3n －1－1解析 ∵1a n ＋1＝3a n ＋2，等式两边同时加1整理得1a n ＋1＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，又∵a 1＝1，∴1a 1＋1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为2，公比为3的等比数列．∴1a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝12·3n －1－1.命题点2 a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)例2已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝2a n －n ＋1，∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )，∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2，∴数列{a n －n }是以a 1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n －n ＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋n .命题点3 a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3(1)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1，n ∈N *.则数列{a n }的通项公式为() A ．a n ＝(2n ＋1)·3n B ．a n ＝(n －1)·2nC ．a n ＝(2n －1)·3nD ．a n ＝(n ＋1)·2n答案 C解析 由a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋2·3n ＋13n ＋1，∴a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n3n ＝2n －1，故a n ＝(2n －1)·3n .(2)在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝6a n ＋3n ，则a n ＝________.答案 6n 3－3n －1解析 将已知a n ＋1＝6a n ＋3n 的两边同乘13n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝2·a n 3n ＋13， 令b n ＝a n 3n ，则b n ＋1＝2b n ＋13，利用命题点1的方法知b n ＝2n 3－13，则a n ＝6n 3－3n －1. 思维升华跟踪训练1(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．n ·2n －1B ．n ·2nC ．(n －1)·2nD ．(n ＋1)·2n 答案 A解析 由a n ＋1＝2a n ＋2n 得a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1，设b n ＝a n 2n －1，则b n ＋1＝b n ＋1， 又b 1＝1，∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．∴b n ＝n ，∴a n ＝n ·2n －1.(2)(2023·黄山模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，(2＋a n )·(1－a n ＋1)＝2，设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则a 2 023(S 2 023＋2 023)的值为( )A．22 023－2 B．22 023－1 C．2 D．1 答案 C解析(2＋a n)(1－a n＋1)＝2，则a n＋1＝a na n＋2，即1a n＋1＝2a n＋1，得1a n＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a n＋1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，1a n＋1＝2n，1a n＝2n－1，a n＝12n－1，S2 023＋2 023＝2＋22＋…＋22 023＝22 024－2，∴a2 023(S2 023＋2 023)＝2.(3)已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n＋n，a1＝2，则a n＝________. 答案2n＋1－n－1解析令a n＋1＋x(n＋1)＋y＝2(a n＋xn＋y)，即a n＋1＝2a n＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，所以a n＋1＋(n＋1)＋1a n＋n＋1＝2，所以数列{a n＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以a n＋n＋1＝4×2n－1，即a n＝2n＋1－n－1.题型二相邻项的差为特殊数列(形如a n＋1＝pa n＋qa n－1)例4(1)已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，则a9＋a10等于() A．47 B．48C．49 D．410答案 C解析由题意得a1＋a2＝4，由a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，得a n＋a n－1＝4(a n－1＋a n－2)，即a n ＋a n －1a n －1＋a n －2＝4(n ≥3)， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a 9＋a 10＝49.(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 3n －(－1)n 4解析 方法一 因为a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)， 设b n ＝a n ＋1＋a n ，所以b n b n －1＝a n ＋1＋a n a n ＋a n －1＝3(a n ＋a n －1)a n ＋a n －1＝3， 又因为b 1＝a 2＋a 1＝3，所以{b n }是以首项为3，公比为3的等比数列．所以b n ＝a n ＋1＋a n ＝3×3n －1＝3n ，从而a n ＋13n ＋1＋13·a n 3n ＝13， 不妨令c n ＝a n 3n ，即c n ＋1＋13c n ＝13，故c n ＋1－14＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫c n －14，即c n ＋1－14c n －14＝－13，又因为c 1－14＝a 13－14＝112，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫c n －14是首项为112，公比为－13的等比数列， 故c n －14＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＝a n 3n －14，从而a n ＝3n －(－1)n 4. 方法二 因为方程x 2＝2x ＋3的两根为－1,3，可设a n ＝c 1·(－1)n －1＋c 2·3n －1，由a 1＝1，a 2＝2，解得c 1＝14，c 2＝34，所以a n ＝3n －(－1)n 4. 思维升华可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2若x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 4－a n x 3－a n ＋2x ＋1(n ∈N *)的极值点，数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 3n －1解析 f ′(x )＝4a n ＋1x 3－3a n x 2－a n ＋2，∴f ′(1)＝4a n ＋1－3a n －a n ＋2＝0， 即a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1－a n ＝2×3n －1，则a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝2×3n －2＋…＋2×30＋1＝3n －1.题型三 倒数为特殊数列⎝⎛⎭⎪⎫形如a n ＋1＝pa n ra n ＋s 型 例5(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)，则满足a n >137的n 的最大取值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 因为a n ＋1＝a n 4a n ＋1，所以1a n ＋1＝4＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝4，又1a 1＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以1a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3，所以a n ＝14n －3，由a n >137，即14n －3>137，即0<4n －3<37，解得34<n <10，因为n 为正整数，所以n 的最大取值为9.(2)(多选)数列{a n }满足a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，a 1＝1，则下列结论正确的是( ) A.2a 10＝1a 3＋1a 17B.1{2}n a 是等比数列 C ．(2n －1)a n ＝1 D ．3a 5a 17＝a 49答案 ABC解析 由a n ＋1＝a n 1＋2a n， 可得1a n ＋1＝1＋2a n a n ＝1a n ＋2，所以1a n ＋1－1a n ＝2，且1a 1＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2， 所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，则(2n －1)a n ＝1，其中n ∈N *，故C 对； 1111112=22n n n n a a a a ++-＝22＝4，所以数列1{2}na 是等比数列，故B 对； 由等差中项的性质可得2a 10＝1a 3＋1a 17，故A 对； 由上可知a n ＝12n －1，则3a 5a 17＝3×12×5－1×12×17－1＝199，a 49＝12×49－1＝197，所以3a 5a 17≠a 49，故D 错．思维升华两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p 的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n 的表达式，再求a n .跟踪训练3已知函数f (x )＝x 3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为____________．答案 a n ＝13n －2(n ∈N *) 解析 由已知得，a n ＋1＝a n 3a n ＋1， ∴1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，∴1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2. 故a n ＝13n －2(n ∈N *)． 课时精练1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 4的值为( )A ．15B ．23C ．32D ．42答案 B解析 因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－1，a 4＝23.2．在数列{a n }中，a 1＝5，且满足a n ＋12n －5－2＝a n 2n －7，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．2n －3 B ．2n －7C ．(2n －3)(2n －7)D ．2n －5答案 C解析 因为a n ＋12n －5－2＝a n 2n －7，所以a n ＋12n －5－a n 2n －7＝2， 又a 12－7＝－1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －7是以－1为首项，公差为2的等差数列， 所以a n 2n －7＝－1＋2(n －1)＝2n －3， 所以a n ＝(2n －3)(2n －7)．3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ＋1－2a n ＝n －1，其中n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －nB ．a n ＝2n ＋nC ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n ＋1答案 A解析 由题设，a n ＋1＋(n ＋1)＝2(a n ＋n )，而a 1＋1＝2， ∴{a n ＋n }是首项、公比均为2的等比数列， 故a n ＋n ＝2n ，即a n ＝2n －n .4．已知数列{a n }满足a 2＝14，a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1，则数列的通项公式a n 等于( )A.13n －2B.13n ＋2C ．3n －2D ．3n ＋2 答案 A解析 ∵a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1，a 2＝14，∴a 1－a 2＝3a 1a 2，即a 1－14＝34a 1，解得a 1＝1.由题意知a n ≠0，由a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝3， 又1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2， 则a n ＝13n －2. 5．在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1＝a 2n ，则a n 等于( )A ．2n －1B.3n －1C ．132n －D ．123n － 答案 D解析 由a 1＝3，a n ＋1＝a 2n 知a n >0，对a n ＋1＝a 2n 两边取以3为底的对数得，log 3a n ＋1＝2log 3a n ，则数列{log 3a n }是以log 3a 1＝1为首项，2为公比的等比数列， 则log 3a n ＝1·2n －1＝2n －1，即a n ＝123n －.6．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝－a n －1＋2n (n ≥2)，则数列的通项公式a n 等于( )A.13·2n ＋13B.13·2n ＋13·(－1)nC.2n ＋13＋13D.2n ＋13＋13·(－1)n答案 D解析 ∵a n －1＋a n ＝2n ，两边同时除以2n 得，a n 2n ＋12·a n －12n －1＝1.令c n ＝a n 2n ，则c n ＝－12c n －1＋1.两边同时加上－23得c n －23＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫c n －1－23.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫c n －23是以c 1－23为首项，－12为公比的等比数列，∴c n －23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∴c n ＝23＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∴a n ＝2n ·c n ＝2n ＋13＋13·(－1)n .7．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n (n ∈N *)，则下列结论正确的是() A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3为等差数列B ．{a n }的通项公式为a n ＝12n －1－3C ．{a n }为递减数列D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n －4 答案 CD解析 因为a n ＋1＝a n 2＋3a n， 所以1a n ＋1＝2＋3a n a n ＝2a n ＋3， 所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3， 且1a 1＋3＝4≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n＋3＝4×2n －1， 所以1a n＝2n ＋1－3， 可得a n ＝12n ＋1－3， 故选项A ，B 错误；因为1a n＝2n ＋1－3单调递增， 所以a n ＝12n ＋1－3单调递减， 即{a n }为递减数列，故选项C 正确；⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－3n＝22×1－2n1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4， 故选项D 正确．8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M ，则M 等于( )A ．2 023×22 020B ．2 024×22 021C ．2 023×22 021D ．2 024×22 022答案 B解析 记第n 行的第一个数为a n ，则a 1＝1，a 2＝3＝2a 1＋1，a 3＝8＝2a 2＋2，a 4＝20＝2a 3＋4，…，a n ＝2a n －1＋2n －2，∴a n 2n －2＝a n －12n －3＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －2是以a 12－1＝2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n 2n －2＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)×2n －2. 又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2 023行，∴M ＝a 2 023＝2 024×22 021.9．已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n a n ＋3，若c n ＝3na n，则c n ＝____________. 答案 (n ＋1)3n －1解析 因为a 1＝32，a n ＋1＝3a n a n ＋3， 所以1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝13＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝23，公差为13的等差数列， 所以1a n＝23＋13(n －1)＝n ＋13， 则c n ＝3na n＝(n ＋1)3n －1. 10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，a 6＝124，则a 2＝________.答案 4解析 由a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)，若a n －a n －1＝0，则a 6＝a 5＝…＝a 1，与题中条件矛盾，故a n －a n －1≠0，所以a n ＋1－a n a n －a n －1＝2，即数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋1－a n ＝a 2·2n －1，所以a 6－a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋a 5－a 4＋a 6－a 5＝a 2·20＋a 2·21＋a 2·22＋a 2·23＋a 2·24＝31a 2＝124，所以a 2＝4.11．在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝3a n ＋2n ，则a n ＝________.答案 52·3n －1－n －12解析 ∵a n ＋1＝3a n ＋2n ①，∴a n ＝3a n －1＋2(n －1)(n ≥2)，两式相减得，a n ＋1－a n ＝3(a n －a n －1)＋2，令b n ＝a n ＋1－a n ，则b n ＝3b n －1＋2(n ≥2)，利用求a n ＋1＝pa n ＋q 的方法知，b n ＝5·3n －1－1，即a n ＋1－a n ＝5·3n －1－1②，再利用累加法知，a n ＝52·3n －1－n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫或联立①②解出a n ＝52·3n －1－n －12. 12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n }满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，则称数列{x n }为牛顿数列．如果函数f (x )＝2x 2－8，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n ＋2x n －2，且a 1＝1，x n >2.数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.答案 2n －1解析 ∵f (x )＝2x 2－8，∴f ′(x )＝4x ，又∵x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －2x 2n －84x n ＝x 2n ＋42x n， ∴x n ＋1＋2＝(x n ＋2)22x n ，x n ＋1－2＝(x n －2)22x n， ∴x n ＋1＋2x n ＋1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋2x n －22， 又x n >2，∴ln x n ＋1＋2x n ＋1－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋2x n －22＝2ln x n ＋2x n －2， 又a n ＝ln x n ＋2x n －2，且a 1＝1， ∴a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴{a n }的前n 项和S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.。
2025年高中数学高考精品备课教案：数列中的构造问题
数列中的构造问题＝pa n＋f（n）（p≠1）命题点1形如a n＋1例1（1）在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝3a n－2n－1，则a n＝2n－1.＝3a n－2n－1，所以r12r1＝32·2－14，解析因为a n＋1即r12r1－12＝32（2－12）.因为121－12＝0，所以2－12＝0，故a n＝2n－1.（2）设数列{a n}满足a1＝3，a n＋1＝3a n－4n，则a n＝2n＋1.－（2n＋3）＝3[a n－（2n＋1）]，a n－（2n＋1）＝3[a n－1－（2n－解析由已知可得a n＋11）]，…，a2－5＝3（a1－3）.因为a1＝3，所以a n＝2n＋1.命题拓展[变条件]若例1（2）中的a1＝4，则a n＝3n－1＋2n＋1.＋x（n＋1）＋y＝3（a n＋xn＋y），则展开利用对应项系数相等可得出x＝解析设a n＋1－2，y＝－1，所以{a n－2n－1}是以a1－2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以a n－2n－1＝3n－1，所以a n＝3n－1＋2n＋1.方法技巧＝pa n＋f（n）（p≠1）的递推式，一般采用构造法求通项：形如a n＋1＋x＝p（a n＋x）的形式（利用待定系数法（1）若f（n）为非零常数，则一般凑配成a n＋1求x），构造等比数列；＋x（n＋1）＋y＝p（a n＋xn＋y）（2）若f（n）为关于n的一次函数，则一般凑配成a n＋1的形式（利用待定系数法求x，y），构造等比数列；（3）若f（n）为指数幂（如q n）的形式，则一般两边同时除以p n＋1或q n＋1，再利用累加法或构造法求通项.训练1在数列{a n}中，a1＝5，a n＋1＝3a n－4，则a n＝3n＋2.＝3a n－4，可得a n＋1－2＝3（a n－2），又a1＝5，所以{a n－2}是以a1－2＝3解析由a n＋1为首项，3为公比的等比数列，所以a n－2＝3n，所以a n＝3n＋2.＝B B＋命题点2形如a n＋1例2[多选/2023江苏镇江中学5月考前模拟]已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2+3，则下列结论正确的有（ABD）A.{1＋3}为等比数列B.{a n}的通项公式为a n＝12r1－3C.{a n}为递增数列D.{1}的前n项和T n＝2n＋2－3n－4解析因为a1＝1，a n＋1＝2+3，所以1r1＝2+3＝2＋3，所以1r1＋3＝2（1＋3）.又11＋3＝4，所以数列{1＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1＋3＝4×2n－1＝2n＋1，即a n＝12r1－3，故A，B正确.因为a n＋1－a n＝12r2－3－12r1－3＝（2r1－3）－（2r2－3）（2r2－3)(2r1－3）＝－2r1（2r2－3)(2r1－3），n≥1，所以2n＋2－3＞0，2n＋1－3＞0，－2n＋1＜0，所以a n＋1－a n＜0，所以{a n}为递减数列，故C错误.易知1＝2n＋1－3，则T n＝（22＋23＋24＋…＋2n＋1）－3n＝4（1－2）1－2－3n＝2n＋2－3n－4，故D正确.故选ABD.方法技巧形如a n＋1＝B B＋的递推式，一般采用取倒数法求通项，先变形为1r1＝·1＋，再利用累加法或构造法求通项.训练2（1）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝+2，则a10＝（C）A.11021B.11022C.11023D.11024解析由a n＋1＝+2，两边同时取倒数得1r1＝+2＝2＋1，则1r1＋1＝2（1＋1），所以数列{1＋1}是以2为公比的等比数列，则1＋1＝（11＋1）·2n－1＝2n，所以a n＝12－1，故a10＝1210－1＝11023.故选C.（2）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2+2，则a n＝2r1.解析依题意知a n≠0，由a n＋1＝2+2可得1r1＝+22＝12＋1，即1r1－1＝12，又a1＝1，可知数列{1}是以11＝1为首项，12为公差的等差数列，则1＝1＋12（n－1）＝r12，即a n＝2r1.命题点3形如a n＋1＝pa n＋qa n－1（n≥2）例3已知数列{a n}满足a n＋1＝5a n－6a n－1（n≥2），且a1＝1，a2＝4，则数列{a n}的通项公式为a n＝2×3n－1－2n－1.解析解法一当n≥2时，令a n＋1－xa n＝y（a n－xa n－1），即a n＋1＝（x＋y）a n－xya n－1.于是得＋=5，－B＝－6，解得=2，=3或=3，=2.当x＝2，y＝3时，a n＋1－2a n＝3（a n－2a n－1）（n≥2）.由于a2－2a1＝2≠0，所以数列{a n＋1－2a n}是以2为首项，3为公比的等比数列，即a n＋1－2a n＝2×3n－1①.当x＝3，y＝2时，a n＋1－3a n＝2（a n－3a n－1）（n≥2）.由于a2－3a1＝1≠0，所以数列{a n＋1－3a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，即a n＋1－3a n＝2n－1②.由①－②得a n＝2×3n－1－2n－1.解法二当n≥2时，由a n＋1＝5a n－6a n－1得a n＋1－2a n＝3a n－6a n－1，即a n＋1－2a n＝3（a n－2a n－1），因为a2－2a1＝2≠0，所以数列{a n＋1－2a n}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n＋1－2a n＝2×3n－1，两边同除以2n＋1，得r12r1－2＝12×（32）n－1.所以2＝（2－－12－1）＋（－12－1－－22－2）＋…＋（222－121）＋121＝12×（32）n－2＋12×（32）n－3＋…＋12×（32）0＋12＝12×1－（32）－11－32＋12＝（32）n－1－12.故a n＝2×3n－1－2n－1.方法技巧形如a n＋1＝pa n＋qa n－1（n≥2）的递推式，一般采用构造法求通项，将原式变形为a n＋1＋λa n ＝μ（a n＋λa n－1）（n≥2），由待定系数法求出λ，μ，再依据相邻两项的递推关系求通项.训练3已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，都有a n＋2＝3a n＋1－2a n.则{a n}的通项公式为a n＝2n－1.解析由a n＋2＝3a n＋1－2a n，得a n＋2－a n＋1＝2（a n＋1－a n），又a2－a1＝1，易知a n＋1－a n≠0，所以r2－r1r1－＝2，所以数列{a n＋1－a n}是以1为首项，2为公比的等比数列.所以a n＋1－a n＝2n－1，所以a n＝（a n－a n－1）＋（a n－1－a n－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋21＋20＋1＝20＋21＋…＋2n－3＋2n－2＋1＝20×2－1－12－1＋1＝2n－1，所以{a n}的通项公式为a n＝2n－1.思维帮·提升思维快速解题用“不动点法”求数列的通项公式例4已知数列{a n}满足a1＝2，a n＝－1+22－1+1（n≥2），则数列{a n}的通项公式为a n＝3－（－1）3＋（－1）.解析令x＝r22r1，解得x＝1或x＝－1，令r1－1 r1+1＝c·－1+1①，由a1＝2，a n＝－1+22－1+1，得a2＝45，令①式中的n＝1，可得c＝－13，∴数列{－1+1}是以1－11+1＝13为首项，－13为公比的等比数列，∴－1+1＝13·（－13）n－1，∴a n＝3－（－1）3＋（－1）.方法技巧利用不动点法求数列通项的步骤对于一个函数f（x），我们把满足f（m）＝m的值m称为函数f（x）的“不动点”.利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式.设f（x）＝B＋B＋（c≠0，ad－bc≠0），数列{a n}满足a n＋1＝f（a n），a1≠f（a1）.（1）若f（x）有两个相异的不动点p，q，则r1－r1－＝k·－－（此处k＝－B－B）.步骤如下：i.令x＝B＋B＋，解出两个根p，q，即两个不动点；ii.构造新数列{r1－r1－}，并将已知递推关系a n＋1＝f（a n）代入化简，得出r1－r1－＝k·－－，并得出等比数列{－－}的通项；iii.解方程得出a n.（2）若f（x）有两个相同的不动点p，则1r1－＝1－＋k（此处k＝2＋）.训练4已知数列{a n}满足a1＝3，a n＋1＝7－2+4，则该数列的通项公式为a n＝4·6－1－5－12·6－1－5－1.解析由方程x ＝7－2r4，得数列{a n }的不动点为1和2，则r1－1r1－2＝7－2+4－17－2+4－2＝7－2－（+4）7－2－2（+4）＝65·－1－2，所以{－1－2}是首项为1－11－2＝2，公比为65的等比数列，所以－1－2＝2·（65）n －1，解得a n ＝12·（65）－1－1＋2＝4·6－1－5－12·6－1－5－1.学生用书·练习帮P3141.数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝r1（r1）（n ∈N *），则na n 的最小值是（C ）A.0B.12C.1D.2解析由a n －a n ＋1＝r1（r1）（n ∈N *），易知a n ≠0，两边同时除以a n a n ＋1，得1r1－1＝1（r1）＝1－1r1，所以当n ≥2时，1＝（1－1－1）＋（1－1－1－2）＋…＋（12－11）＋11＝（1－1－1）＋（1－2－1－1）＋…＋（12－13）＋（1－12）＋1＝2－1，当n ＝1时，a 1＝1，满足上式，故na n＝22－1＝1－（1－1）2+1，所以当n ＝1时，na n 取得最小值1.故选C.2.[多选/2023云南玉溪一中7月模拟]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1+3（n ∈N *），则（BCD）A.{1}为等比数列 B.a n ＝13－2C.{a n }为递减数列 D.{1}的前n 项和T n ＝32－2解析因为1r1＝1+3＝1＋3，所以{1}是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A 错误；因为1＝1＋3（n －1）＝3n －2，所以a n ＝13－2，故选项B 正确；因为函数y ＝3x －2在[1，＋∞）上单调递增，且3x －2＞0，所以函数y ＝13－2在[1，＋∞）上单调递减，所以数列{a n }为递减数列，故选项C 正确；{1}的前n 项和T n ＝（3－1）2＝32－2，故选项D 正确.故选BCD.3.[2024河南焦作统考]已知数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋2，a3＋a2＝22，则满足a n＞160的最小正整数n＝5.解析由3=32+2，3＋2=22，解得2=5，3=17，又a2＝3a1＋2，所以a1＝1.又由a n＋1＝3a n＋2，可得a n＋1＋1＝3（a n＋1），所以{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为3的等比数列，所以a n ＝2×3n－1－1，易知{a n}是递增数列，又a4＝2×27－1＝53，a5＝2×81－1＝161，所以满足a n＞160的最小正整数n＝5.4.[2023合肥六中三模]已知在数列{a n}中，a1＝5，a2＝2，a n＝2a n－1＋3a n－2（n≥3），则数列{a n}的通项公式为a n＝74×3n－1＋134×（－1）n－1.解析∵a n＝2a n－1＋3a n－2（n≥3），∴a n＋a n－1＝3（a n－1＋a n－2）（n≥3），又a1＋a2＝7，∴{a n＋1＋a n}是首项为7，公比为3的等比数列，则a n＋1＋a n＝7×3n－1①，又a n－3a n－1＝－（a n－1－3a n－2）（n≥3），a2－3a1＝－13，∴{a n＋1－3a n}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则a n＋1－3a n＝（－13）×（－1）n－1②，由①－②得，4a n＝7×3n－1＋13×（－1）n－1，∴a n＝74×3n－1＋134×（－1）n－1.5.[2023厦门双十中学三模改编]已知数列{a n}满足a1＝1，r12＝10a n（a n＞0），则{a n}的通项公式为a n＝10×（110）（12）－1.解析已知r12＝10a n，等式两边取以10为底的对数可得2lg a n＋1＝lg a n＋1，即lg a n＋1－1＝12（lg a n－1），所以数列{lg a n－1}是以lg a1－1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以lg a n－1＝（－1）×（12）n－1＝－（12）n－1，即lg a n＝1－（12）n－1，即a n＝10×（110）（12）－1.6.[2023山东威海三模]已知数列{a n}中，a1＝56，a n＋1＝13a n＋（12）n＋1，则{a n}的通项公式为a n＝32－23.解析解法一（待定系数法）令a n＋1＋λ（12）n＋1＝13[a n＋λ（12）n]，即a n＋1＝13a n－3（12）n＋1，由对应项系数相等得λ＝－3，设b n＝a n－3×（12）n，则b1＝a1－3×（12）1＝－23，b n＋1＝13b n，则数列{b n}是以－23为首项，13为公比的等比数列，则b n＝－23×（13）n－1，所以a n＝32－23.解法二（变形转化＋待定系数法）将a n＝13a n＋（12）n＋1两边同时乘以2n＋1，得2n＋1a n＋1＋1＝23×（2n a n）＋1.令c n＝2n a n，则c n＋1＝23c n＋1，可得c n＋1－3＝23（c n－3），所以数列{c n－3}是首项为c1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列，所以c n－3＝－43×（23）n－1，即c n＝3－2×（23）n，所以a n＝2＝32－23.解法三（累加法）将a n＝13a n＋（12）n＋1两边同时除以（13）n＋1，得3n＋1a n＋1＝3n a n＋＋1（32）n＋1.令t n＝3n a n，则t n＋1＝t n＋（32）n＋1，所以当n≥2时，t n－t n－1＝（32）n，…，t3－t2＝（32）3，t2－t1＝（32）2.将以上各式相加，得t n－t1＝（32）2＋（32）3＋…＋（32）n（n≥2）.又t1＝3a1＝3×56＝52＝1＋32，所以t n＝1＋32＋（32）2＋…＋（32）n＝2×（32）n＋1－2（n≥2），当n ＝1时也符合上式，故t n＝2×（32）n＋1－2，所以a n＝3＝32－23.7.[2024名师原创]设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1（n∈N*），且a1，a2＋5，a3成等差数列.（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式.解析（1）2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，令n＝2得2S2＝a3－23＋1，即2a1＋2a2＝a3－7①.因为a1，a2＋5，a3成等差数列，所以2（a2＋5）＝a1＋a3，即a3＝2（a2＋5）－a1②，将②代入①可得2a1＋2a2＝2（a2＋5）－a1－7，解得a1＝1，故a1的值为1.（2）因为2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，当n≥2时，2S n－1＝a n－2n＋1，两式作差可得a n＋1＝3a n＋2n，所以a n＋1＋2n＋1＝3（a n＋2n），n≥2，（原式难以配凑时，不妨先将原等式变形为r12r1＝32·2＋12，再令r12r1＋λ＝32（2＋λ），求得λ＝1，构造出新的等比数列再继续求解）易知a2＝5，所以a n＋2n＝（a2＋22）×3n－2＝（5＋4）×3n－2＝3n，即a n＝3n－2n，n≥2，将n ＝1代入a n＝3n－2n得a1＝31－21＝1，符合题意.故数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2n.8.[2024浙江宁波模拟]已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意正整数m，n都有a m＋n＝a n＋a m＋2mn.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（－1）n a n}的前n项和S n.解析（1）对任意正整数m，n都有a m＋n＝a n＋a m＋2mn，取m＝1，得a n＋1＝a n＋1＋2n，所以a n＋1－a n＝2n＋1.当n≥2时，a n＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a n－a n－1）＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝（1+2－1）2＝n2，当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以a n＝n2.（2）当n为偶数时，S n＝（－12＋22）＋（－32＋42）＋…＋[－（n－1）2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋（2n－1）＝2（3+2－1）2＝（r1）2＝2＋2；当n为奇数时，S n＝S n－1＋（－1）n a n＝S n－1－a n＝（－1）2－n2＝－2－2.综上所述，S n为偶数，为奇数.。
数列的构造方法公式
数列的构造方法公式
数列的构造方法公式用于描述数列中每一项的生成规律。
下面是常见的几种构造方法公式：
1. 等差数列构造方法公式：
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
等差数列的构造方法公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列构造方法公式：
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
等比数列的构造方法公式为：an = a1 * r^(n - 1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
3. 斐波那契数列构造方法公式：
斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的构造方法公式为：an = a(n-1) + a(n-2)，其中an表示第n项，a1和a2是初始的前两项。
4. 平方数序列构造方法公式：
平方数序列是指数列中的每一项都是某个自然数的平方的数列。
平方数序列的构造方法公式为：an = n^2，其中an表示第n项。
5. 级数构造方法公式：
级数是指数列中的每一项都是前面所有项之和的数列。
级数的构造方法公式为：an = a1 + a2 + ... + a(n-1)，其中an表示第n项，a1, a2, ..., a(n-1)表示前面所有项的和。
以上是一些常见的数列的构造方法公式，它们可以帮助我们确定数列中每一项的值，并理解数列中的规律。
数列中的构造问题+课件-2025届高三数学一轮复习
训练1 (1)(2024·广州调研)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2， 则an＝________．
答案：2×3n－1－1
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，则an＝________． 答案：n·3n－1
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限时规范训练
9．已知数列{an}的首项 a1＝1，且an1＋1＝a3n＋2，则数列{an}的通项公 式为________．
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限时规范训练
培优增分 第4讲 数列中的构造问题
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限时规范训练
命题解读 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、 累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利 用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的 数列)求解．
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题型一 形如an＋1＝pan＋f(n)型 角度 1 an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
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所以数列{ an＋1}是首项为 a1＋1＝2， 公差为 1 的等差数列， 所以 an＋1＝2＋(n－1)×1＝n＋1， 所以 an＝n2＋2n， 所以 a10＝102＋20＝120.故选 C．
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由题意知 an≠0，由 an－an＋1＝3anan＋1 得an1＋1－a1n＝3，又a11＝1， ∴数列{a1n}是以 1 为首项，3 为公差的等差数列， ∴a1n＝1＋3(n－1)＝3n－2，则 an＝3n1－2.
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构造数列的方法总结
构造数列的方法总结数列是数学中的重要概念，它是由一系列按照某种规律排列的数所组成的序列。
构造数列的方法有很多种，下面我们将对一些常见的构造数列的方法进行总结和介绍。
首先，最简单的构造数列的方法就是等差数列。
等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列，通常用a1，a2，a3，……，an表示。
其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
通过这个公式，我们可以很容易地构造出等差数列。
其次，还有等比数列的构造方法。
等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列，通常用a1，a2，a3，……，an表示。
其中a1为首项，q为公比，n为项数。
等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)。
通过这个公式，我们可以很容易地构造出等比数列。
另外，还有一种常见的构造数列的方法是递推数列。
递推数列是指数列中的每一项都是由前面的项递推而来的数列，通常用a1，a2，a3，……，an表示。
递推数列的构造方法是通过给定一些初始项和递推关系，然后依次计算出数列中的每一项。
递推数列的构造方法相对灵活，可以根据具体的递推关系构造出各种不同的数列。
此外，还有一些特殊的数列构造方法，如斐波那契数列、等差-等比数列混合数列等。
这些数列构造方法都有各自的特点和应用场景，可以根据具体的问题选择合适的构造方法来得到所需的数列。
总的来说，构造数列的方法有很多种，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际问题中，我们可以根据具体的需求选择合适的构造方法来得到所需的数列，从而解决问题和推导结论。
希望本文所总结的构造数列的方法能够对读者有所帮助。
培优增分 第4讲 数列中的构造问题
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C 因为 an＋1＝a2n＋an2， 所以an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n(an≠0，an＋1≠0)， 即an1＋1－a1n＝12. 又a11＝12， 故数列{a1n}是首项为12，公差为12的等差数列，
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B 因为an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝3·2n－1， 所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.
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限时规范训练
反思感悟
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0 的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的 根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求an.
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限时规范训练
训练2 若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值 点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________．
∵an＋1＝3an＋3n，∴a3nn＋ ＋11－a3nn＝13， ∴数列{a3nn}是等差数列，公差为13， 又a31＝13，∴a3nn＝13＋(n－1)×13＝n3， ∴an＝n·3n－1.
答案：n·3n－1
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限(形如an＋1＝pan＋qan－1型)
例4 已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)， 求这个数列的通项公式．
数列构造法λ公式
数列构造法λ公式数列构造法λ公式是指一种能够根据一定的规则构造出序列的数学公式。
这种方法可以用来解决很多数学问题，比如找到一串数字的规律或者确定一组数列的通项公式。
在这篇文章中，我们将详细介绍数列构造法λ公式及其应用，并提供一些实用的指导建议。
首先，让我们来看看数列构造法λ公式的形式。
这种公式通常采用以下形式：$u_n=λ_1u_{n-1}+λ_2u_{n-2}+\cdots+λ_ku_{n-k}$其中，$u_n$表示第$n$项，$k$表示序列的长度，$u_{n-1}$,$u_{n-2}$,$\cdots$,$u_{n-k}$表示前面的若干项，$λ_1$,$λ_2$,$\cdots$,$λ_k$表示序列中各项的系数。
这个公式意味着每一项都可以由前面若干项的加权和得到。
如果我们知道前面的若干项，并有足够的信息来确定系数，就可以用这个公式来计算任意一项。
这是一种非常强大而常用的数学工具。
接下来，让我们看看如何应用数列构造法λ公式。
假设我们想要构造一个长度为$k$的序列，需要满足以下条件：1.第1项为$a$；2.每一项都等于前面所有项的和。
那么我们可以写出如下的公式：$u_1=a,u_n=u_{n-1}+\cdots+u_1,(n>1)$首先，$u_1$等于给定的$a$。
在确定下一项之前，我们需要先计算前面所有项的和，即$u_1+u_2+\cdots+u_{n-1}$。
然后，我们将该和加到上一项$u_{n-1}$中，得到下一个数$u_n$。
通过重复这个过程，我们可以构造出一个满足条件的序列。
此时，$λ_1=λ_2=\cdots=λ_k=1$。
此外，数列构造法λ公式还可以用来确定一组数列的通项公式。
例如，如果我们有一个等差数列，知道前面若干项的值，但是不知道公差或项数，我们可以利用数列构造法λ公式来解决这个问题。
假设我们已知前$k$项的值为$a_1,a_2,\cdots,a_k$，那么根据等差数列的性质，我们可以写出如下公式：$a_n=a_1+(n-1)d$其中，$a_n$表示第$n$项，$d$表示公差。
数学运算最值构造之构造数列
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最值问题一直是公事员考试数学运算的重点考察问题，而最值问题中的数列构造问题又是近两年国家公事员考试和各地址公事员考试当中考察的热点问题，准确把握构造数列类题目的题型特点和提问方式，而且熟练运用解决这种问题的方式技术，其实这种问题是很容易拿到分数的。
题型特点：1. 当题问中显现“最……最……”或“排名第n的最......”。
2. 给出总和。
这种题目做法确实是在极端思维情形下，构造出知足条件的一个数列，然后数列求和等于题目所给总和，再依照提问方式通过求解方程取得最终结果。
专门提示：在解决这种问题的时候，要专门注意题目当中有无要求各要素“不相等”的条件。
若是存在不相等的条件，咱们在构造数列的时候构造的是等差数列;若是不存在不相等的条件，咱们在构造数列的时候那么要构造出一个常数数列的形式就能够够了。
下面咱们就通过近些年考察的一些例题的讲解来熟悉这部份知识点的应用。
【例1】(2021-国家-65)某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每一个城市的专卖店数量都不同。
若是专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店?( )【答案】C。
【解析】设排名最后的城市专卖店数量为x，假设x要最大即其他要最小，列表如下：【例2】(2021-北京-85)老王和老赵别离参加4门培训课的考试，两人的平均分数别离为82和90分，单个人的每门成绩都为整数且彼此不相等。
其中老王成绩最高的一门和老赵成绩最低的一门课分数相同，问老赵成绩最高的一门课最多比老王成绩最低的一门课高多少分?( )【答案】D。
【解析】由于老王的成绩最高的一门和老赵成绩最低的一门相等，而每人的各个成绩都不相等，求老赵最高的一门最多比老王成绩最低的一门高多少分，那么应该使老赵的其他两门分数尽可能低，而老王的其他两门分数尽可能高，那么可设老王高分数为x，最低的成绩为y，老赵的最高成绩为z。
第四章 习题课 数列中的构造问题
2.下列说法错误的是 A.任意等差数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等差数列 B.存在等差数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等差数列
√C.任意等比数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等比数列
D.存在等比数列{an}ຫໍສະໝຸດ {bn}，数列{anbn}是等比数列
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解析 A项，若{an}和{bn}都是等差数列，不妨设an＝k1n＋b1，bn＝k2n＋b2， 故可得an＋bn＝(k1＋k2)n＋b1＋b2，则an＋1＋bn＋1＝(k1＋k2)(n＋1)＋b1＋b2， 则an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝k1＋k2，故数列{an＋bn}是等差数列，则A正确； B项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn} 是数列2,2,2，是等差数列，故B正确. C 项，若{an}和{bn}是等比数列，设 an＝a1qn1，bn＝b1qn2，故可得 an＋bn＝ a1qn1＋b1qn2，an＋1＋bn＋1＝a1qn1＋1＋b1qn2＋1， 则ana＋n1＋＋bbnn＋1＝a1aqn11＋ q1n1＋ ＋bb11qq2n2n＋1，不是常数，故{an＋bn}不是等比数列，故 C 错误；
延伸探究 1.本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求 数列{an}的通项公式.
解 等式两边同时除以 2n，得a2nn＝a2nn－－11＋2，即a2nn－a2nn－－11＝2， 所以a2nn是以12为首项，以 2 为公差的等差数列， 所以a2nn＝12＋(n－1)×2，即 an＝2n－23×2n.
第四章 §4.3 等比数列
学习目标
1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法. 2.会用构造法公式解决一些简单的问题.
第六章数列中的构造问题
§6.4 数列中的构造问题题型一 形如a n ＋1＝pa n ＋f (n )型命题点1 a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0，其中a 1＝a )例1 (2022·九江模拟)在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＋1＝3a n －4，求数列{a n }的通项公式． 解 由a n ＋1＝3a n －4，可得a n ＋1－2＝3(a n －2)，所以a n ＋1－2a n －2＝3. 又a 1＝5，所以{a n －2}是以a 1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以a n －2＝3n ，所以a n ＝3n ＋2.命题点2 a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)例2 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝2a n －n ＋1，∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )，∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2， ∴数列{a n －n }是以a 1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴a n －n ＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋n .命题点3 a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1，求数列{a n }的通项公式． 解 方法一 原递推式可化为a n ＋1＋λ·3n ＝2(a n ＋λ·3n －1)．① 比较系数得λ＝－4，①式即是a n ＋1－4·3n ＝2(a n －4·3n －1)．则数列{a n －4·3n －1}是首项为a 1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列，∴a n －4·3n －1＝－5·2n －1，即a n ＝4·3n －1－5·2n －1.方法二 将a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1的两边同除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝23·a n 3n ＋432， 令b n ＝a n 3n ， 则b n ＋1＝23b n ＋49， 设b n ＋1＋k ＝23(b n ＋k )，比较系数得k ＝－43， 则b n ＋1－43b n －43＝23， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －43是以－53为首项，23为公比的等比数列．∴b n －43＝⎝⎛⎭⎫－53·⎝⎛⎭⎫23n －1， 则b n ＝43－53·⎝⎛⎭⎫23n －1， ∴a n ＝3n ·b n ＝4·3n －1－5·2n －1.思维升华 (1)形如a n ＋1＝αa n ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．(2)递推公式a n ＋1＝αa n ＋β的推广式a n ＋1＝αa n ＋β×γn (α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn ＋1后得到a n ＋1γn ＋1＝αγ·a n γn ＋βγ，转化为b n ＋1＝kb n ＋βγ(k ≠0,1)的形式，通过构造公比是k 的等比数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n －βγ(1－k )求解． 跟踪训练1 (1)(2022·武汉二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝－3×2n －1B ．a n ＝3×2n －1 C ．a n ＝5n ＋3×2n －1D ．a n ＝5n －3×2n －1 答案 D解析 方法一 将递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25·a n 5n ＋35， ① 令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35， 即b n ＋1－1＝25(b n －1)， 所以数列{b n －1}是首项为b 1－1＝a 15－1＝－35， 公比为25的等比数列， 所以b n －1＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫25n －1， 即b n ＝1－35×⎝⎛⎭⎫25n －1＝1－3×2n －15n， 故a n ＝5n －3×2n －1.方法二 设a n ＋1＋k ×5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n )，则a n ＋1＝2a n －3k ×5n ，与题中递推公式比较得k ＝－1，即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n )，所以数列{a n －5n }是首项为a 1－5＝－3，公比为2的等比数列，则a n －5n ＝－3×2n －1，故a n ＝5n －3×2n －1.(2)(2022·衡水质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝2n －1，n ∈N *解析 因为S n ＋1－2S n ＝1，所以S n ＋1＝2S n ＋1.因此S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)，因为a 1＝S 1＝1，S 1＋1＝2，所以{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以S n ＋1＝2n ，S n ＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，a 1＝1也满足此式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 例4 已知在数列{a n }中，a 1＝5，a 2＝2，a n ＝2a n －1＋3a n －2(n ≥3)，求这个数列的通项公式． 解 ∵a n ＝2a n －1＋3a n －2，∴a n ＋a n －1＝3(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝7，∴{a n ＋a n －1}是首项为7，公比为3的等比数列，则a n ＋a n －1＝7×3n －2，① 又a n －3a n －1＝－(a n －1－3a n －2)，a 2－3a 1＝－13，∴{a n －3a n －1}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则a n －3a n －1＝(－13)·(－1)n －2， ② ①×3＋②得，4a n ＝7×3n －1＋13·(－1)n －1，∴a n ＝74×3n －1＋134(－1)n －1. 思维升华 可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2 (1)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__________．答案 a n ＝10－2n (n ∈N *)解析 由题意知，a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n }为等差数列．设公差为d ，由题意得2＝8＋3d ⇒d ＝－2，得a n ＝8－2(n －1)＝10－2n .(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 由题意知，a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∵a 2－a 1＝2，∴{a n －a n －1}是首项为2，公比为2的等比数列，a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)， 当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1. 显然n ＝1时满足上式，∴a n ＝2n －1.题型三 倒数为特殊数列⎝⎛⎭⎫形如a n ＋1＝pa n ra n＋s 型 例5 (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则a n ＝________. 答案 2n ＋1 解析 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1， ∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12， 又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列． ∴1a n ＝1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，则a n ＝________. 答案 22×3n －1－1解析 ∵1a n ＋1＝3·1a n ＋1， ∴1a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋12，1a 1＋12＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴1a n ＋12＝3n －1， ∴1a n ＝3n －1－12， ∴a n ＝22×3n －1－1(n ∈N *)． 思维升华 两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p 的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n 的表达式，再求a n .跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝x 3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为____________．答案 a n ＝13n －2(n ∈N *) 解析 由已知得，a n ＋1＝a n 3a n ＋1， ∴1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n ＝3， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列， ∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2. 故a n ＝13n －2(n ∈N *)． (2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2na n ＋1，则a n ＝__________. 答案 1n 2－n ＋1解析 对递推关系两边取倒数，得1a n ＋1＝2na n ＋1a n ＝1a n＋2n .即1a n ＋1－1a n＝2n ，分别用1,2,3，…，n －1替换n ，有 1a 2－1a 1＝2×1，1a 3－1a 2＝2×2，1a 4－1a 3＝2×3，…，1a n －1a n －1＝2(n －1)，以上n －1个式子相加，得1a n －1a 1＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n (n －1)，所以1a n ＝n 2－n ＋1.所以a n ＝1n 2－n ＋1.课时精练1．数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2)且a 1＝0，则此数列第5项是() A ．15 B ．255C ．16D ．63 答案 B解析 ∵a n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4(a n －1＋1)(n ≥2)，∴{a n ＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列， 则a n ＋1＝4n －1.∴a n ＝4n －1－1，∴a5＝44－1＝255.2．(2022·许昌模拟)数列{a n}的首项a1＝2，且a n＋1＝4a n＋6(n∈N*)，令b n＝log2(a n＋2)，则b1＋b2＋…＋b2 0222 022等于()A．2 020 B．2 021C．2 022 D．2 023答案 D解析∵a n＋1＝4a n＋6(n∈N*)，∴a n＋1＋2＝4a n＋6＋2＝4(a n＋2)>0，即a n＋1＋2a n＋2＝4且a1＝2，∴数列{a n＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列，故a n＋2＝4n，由b n＝log2(a n＋2)得，b n＝log24n＝2n，设数列{b n}的前n项和为S n，则S2 022＝2(1＋2＋3＋…＋2 021＋2 022)＝2 022×2 023，∴b1＋b2＋…＋b2 0222 022＝2 022×2 0232 022＝2 023.3．(2022·绵阳模拟)已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47B．48C．49D．410答案 C解析由题意得a1＋a2＝4，由a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，得a n＋a n－1＝4(a n－1＋a n－2)，即a n ＋a n －1a n －1＋a n －2＝4(n ≥3)， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是首项为4，公比为4的等比数列， 所以a 9＋a 10＝49.4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N *，则a 4等于( )A ．64B ．56C ．32D ．24答案 C解析 由a n ＋1＝2a n ＋2n 得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12， 而a 12＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2， ∴a n ＝n ·2n －1，∴a 4＝4×24－1＝32.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＝log 2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，则数列{b n }的通项公式b n 等于( )A.12n B ．n －1 C ．nD ．2n答案 C解析 由a n ＋1＝a n a n ＋2， 得1a n ＋1＝1＋2a n ， 所以1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1， 又1a 1＋1＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为2，公比为2的等比数列，所以1a n＋1＝2·2n －1＝2n ， 所以b n ＝log 2⎝⎛⎭⎫1a n＋1＝log 22n ＝n . 6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3为等比数列 B ．{a n }的通项公式为a n ＝12n －1－3C ．{a n }为递增数列D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n ＋4 答案 A解析 因为a n ＋1＝a n 2＋3a n， 所以1a n ＋1＝2＋3a n a n ＝2a n ＋3， 所以1a n ＋1＋3＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋3， 且1a 1＋3＝4≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n ＋3＝4×2n －1， 所以1a n＝2n ＋1－3， 可得a n ＝12n ＋1－3， 故选项A 正确，选项B 不正确；因为1a n＝2n ＋1－3单调递增， 所以a n ＝12n ＋1－3单调递减， 即{a n }为递减数列，故选项C 不正确； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－3n＝22×1－2n1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4. 故选项D 不正确．7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ，则a 5等于( )A ．405B ．300C ．450D ．500 答案 A解析 ∵a n ＋1＝3a n ＋3n ，∴a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列，公差为13， 又a 13＝13， ∴a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n 3， ∴a n ＝n ·3n －1，a 5＝5×34＝405.8．(2022·甘肃西北师大附中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝110，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)，则n ＋2na n的最小值为( )A.252 B ．12 C ．24 D.392答案 D解析 ∵a 1＝110，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)， ∴1a 1＝10，1a n ＋1－1a n＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以10为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n＝n ＋9， ∴n ＋2na n ＝(n ＋2)(n ＋9)n ＝n ＋18n＋11. ∵y ＝n ＋18n在(0,32)上单调递减，在(32，＋∞)上单调递增，∴当n ＝4时，n ＋2na n 取得最小值为392. 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a n ＝________. 答案 12n －1解析 因为a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，所以等式两边同除以a n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2 为公差的等差数列， 所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1， 所以a n ＝12n －1. 10．已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1，则a n ＝__________. 答案 3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n 解析 由a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两边同除以⎝⎛⎭⎫12n ＋1，即两边同乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1， 令b n ＝2n ·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1， b n ＋1－3＝23(b n －3)， 所以{b n －3}是以b 1－3＝－43为首项，23为公比的等比数列， 即b n －3＝－43×⎝⎛⎭⎫23n －1， 所以b n ＝3－2×⎝⎛⎭⎫23n ，所以a n ＝b n 2n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n .11．已知首项为1的数列{a n }各项均为正数，且na 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＝a n a n ＋1，则a n ＝________.答案 n解析 因为na 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＝a n a n ＋1，所以n (a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝a n (a n ＋1＋a n )， 因为数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以n (a n ＋1－a n )＝a n ，所以a n ＋1n ＋1＝a n n， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列， 由a 1＝1，所以a n n ＝a 11＝1， 所以a n ＝n .12．已知数列{a n }满足递推公式a n ＋1＝2a n ＋1，a 1＝1.设S n 为数列{a n }的前n 项和，则a n ＝______，4n ＋7－n －S n a n ＋1的最小值是________． 答案 2n －1 174解析 因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列， 所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1；所以S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n ， 所以4n ＋7－n －S n a n ＋1＝4n ＋7－n －(2n ＋1－2－n )2n ＝2n ＋92n －2， 由对勾函数的性质可得，当n ＝1时，21＝2,21＋921－2＝2＋92－2＝92；当n ≥2时，2n ≥4，所以y ＝2n ＋92n －2单调递增， 当n ＝2时，22＋922－2＝4＋94－2＝174<92， 所以4n ＋7－n －S n a n ＋1的最小值是174.。
高考数学复习：数列中的构造问题
故b1n＋3是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 于是b1n＋3＝2·2n－1＝2n，可得 bn＝2n－1 3.
课时精练
一、单项选择题
1.已知数列{an}满足 a1＝12，an＋1＝ana＋n 1，则 a1 000 等于
1 A.1 000
√1 B.1 001
1 C.1 002
1 D.1 003
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.(2024·商洛模拟)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和，a1＝a2＝1，an＋an＋1＝
2n＋1(n≥2)，则SS22
024等于
023
√1 013
A.1 012
2 023 B.2 024
2 025 C.2 023
1 013 D.1 011
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
又a311＝6，∴a13nn是首项为 6，公差为 1 的等差数列，故 C 错误；
设an＋1＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)， 所以an＋1＝2an＋kn＋b－k，
由an＋1＝2an＋n－1， 得kb＝－1k，＝－1， 解得kb＝＝10，. ∴an＋a1＋n＋nn＋1＝2，
即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列. ∴an＋n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、多项选择题 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N*)，则下列 说法正确的有
√A.a1＝13
√B.S4＝1390
C.{an}是等比数列
√D.Sn＋23是等比数列
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2，
构造数列的方法总结
构造数列的方法总结构造数列的方法总结：构造方法如下： 1、定义：(1)有界闭区间上函数的和，即对于有界闭区间上每一个点P，只要它属于某一正整数集内，就存在唯一的一个y，使得y=mx+c(x>0)(x∈H(P))(m∈K)(m>0)2、单调性：函数在任何一个闭区间上都连续，那么它在这个闭区间上就可以取到一个最小值或者一个最大值，并且从这个最小值或者最大值出发，在任何一个闭区间上，函数图像都会向右上方或者左下方无限延伸； 3、等比数列定义法：如果把一个有界闭区间上的数列看作是由一个定比数列和一个函数所构成，则这两种不同形式的数列是可以通过合理的运算得到一个等比数列； 4、切割法：如果把有界闭区间上的数列看作是由一个基本函数和另外一个复合函数所构成，我们称其为切割函数，那么将原数列按照切割函数所确定的某个区间进行分段后，得到的数列与原数列相比，具有相同的性质。
这种切割法可以得到一些新的等比数列。
5、单调递减法：如果把一个有界闭区间上的数列看作是由一个非递增序列和一个递减序列所构成，那么在这个非递增序列的起始点之前和递减序列的终止点之后，都存在一个最小值或最大值，这个递减序列和这个非递增序列分别对应着两个不同的数列；2。
判断递减与否(见第4条) 3。
将原数列在某个区间进行划分，再找一个和原数列相同的数列，且新数列能将原数列分成的两个子列，新数列必须满足前面两条，但需注意的是，因为原数列的开区间是一个有界闭区间，因此只有第二条可以在有界闭区间上得到，其余三条均只能在无穷区间上得到，在这样的情况下，依然有一种较好的切割法可以解决这个问题。
在这里要特别提醒一点的是，在有些题目中经常会出现原数列属于一个无穷序列，但它的切割法却是在一个有限序列，这时候一定要灵活处理，很多时候可以用无穷数列做一个解释，如果这样的话，那么此时就可以写成一个无穷序列上的数列的形式，再来求最值或者判断是否属于一个无穷序列，这时候也可以有效的节省计算的时间，从而得到更好的结果。
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构造问题之数列构造
数列构造问题属于最值问题的一类，其特征为“最……最……”，或者“排名第……最……”。
一般的做题思路为：排序——定位——构造——计算。
【例】要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵?( )
A.7
B.8
C.10
D.11
题目要求“面积最大的草坪至少”，即“最大最小”的问题，按四步骤进行：排序：按照栽种面积从大到小排序为1-5;定位：求谁设谁(也就是第一个“最”所指的项目，如问面积最大的最少，即求排名第一的项目，可设其为未知数X);构造：最为重要的一步，原则为“此消彼长”，总数一定，如问题所涉及的项目要求多，则除此之外都要少;计算：加和等于总数。
如上面的例题，可如下构造：少1 X (求谁设谁)
多2 X-1
多3 X-2
多4 X-3
多5 X-4
构造时，要留意是否有“各不相同”类似的字眼，如本题中强调“5处面积不同的草坪”，则在构造排名第2-5的值时需要各自构造(反之，若没有各不相同，则第2-5可一样多)。
也是因为各不相同，排名第2在数量上肯定比X少，
而少多少才是第2最多的时候，显然少一个即可，所以第二的数值为X-1，以此类推，往下依次少一个，即是其对应排名最多的时候。
最后，加和等于总，可得等式：X+(X-1)+(X-2)+(X-3)+(X-4)=21，解得X=6.2.结果必然得是整数，而最少为6.2，不可少到6，则向上取整选7，也可直接记忆“问多取少，问少取多”的规律。
例题答案为A选项。
又如【例】100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样，那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加?( )
A.22
B.21
C.24
D.23
排序、定位、构造如下：
少1 X+3
少2 X+2
少3 X+1
多4 X
少5 3
少6 2
少7 1
问题为“参加人数第四多的活动最多有几个人参加”，数列由第4项分为两个数列，需要分两边构造，如上边的数列，因为有“各不相同”，则第3肯定比X大，而大1个即为第3最少的时候，其他同理。
下边的数列，第7最少为1，第6最少为2，第五最少为 3.最后加和等于总：(X+3)+(X+2)+(X+1)+X+3+2+1=100,解得X=22，选择A选项。
数列构造问题，初学时最好严格按照步骤进行，构造——解方程，多少则由方程的结果决定。
自行配数去满足题干要求，若思考不周全，如可并列时没有考虑到，可能结果就会有偏差。
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