四川省宜宾市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)答案
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末联考试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知21zi i=++，则复数z =（ ）A B ．2C ．13i -D ．13i +【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．指数函数x y a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ） A ．推理的形式错误 B ．大前提是错误的 C ．小前提是错误的 D ．结论是真确的【答案】B 【解析】分析: 指数函数xy a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。
详解：指数函数x y a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，若a 1>,则xy a =是增函数，若0a 1<<,则xy a =是减函数 所以大前提是错误的。
所以B 选项是正确的。
点睛：本题主要考查指数函数的单调性和演绎推理，意在考查三段论的推理形式和指数函数的图像性质，属于基础题。
3．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是（ ）A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,0【分析】先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可． 【详解】圆2sin ρθ=化为22sin ρρθ=,222x y y +=，配方为22(1)1y x +-= ，因此圆心直角坐标为(0,1)，可得圆心的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选B 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础． 4．王老师在用几何画板同时画出指数函数x y a =（1a >）与其反函数log ay x =的图象，当改变a 的取值时，发现两函数图象时而无交点，并且在某处只有一个交点，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，a 的值为（ ） ABC ．2e D．e【答案】B 【解析】 【分析】当指数函数与对数函数只有一个公共点00(,)x y 时，则在该点的公切线的斜率相等，列出关于0,a x 的方程. 【详解】设切点为00(,)x y ，则000000,log ,1ln ln x a x y a y x a a x a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⋅⎪⎩，解得：00,,x e y e a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故选B.【点睛】本题考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，要注意根据指数函数与对数函数图象的凹凸性，得到在其公共点处公切线的斜率相等.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C 上，若12AF F ∆的周长为10a ，则12AF F ∆面积为（）A．2B2C ．230aD ．215a点A 在双曲线C 上，不妨设点A 在双曲线C 右支上，所以122AF AF a -=，又12AF F ∆的周长为1212122c 10?AF AF F F AF AF a ++=++=. 得1210?2c AF AF a +=-. 解得126,?4AF a c AF a c =-=-. 双曲线C 的离心率为2，所以2ca=，得2c a =. 所以122,?AF c AF c ==. 所以112AF F F =，所以12AF F ∆为等腰三角形. 边2AF2==. 12AF F ∆的面积为2221122224AF c ===n n n .故选B.6．已知函数()6,2,3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ ，()0,1a a >≠且的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．（1,2） B ．(]1,2C ．（1,3）D ．（1,4）【答案】B 【解析】 【分析】先求出当x ≤2时，f （x ）≥4，则根据条件得到当x ＞2时，f （x ）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可． 【详解】当x ≤2时，f （x ）=﹣x +6≥4， 要使f （x ）的值域是[4，+∞），则当x ＞2时，f （x ）=3+log a x≥4恒成立， 即log a x≥1，若0＜a ＜1，则不等式log a x≥1不成立， 当a ＞1时，则由log a x≥1=log a a ， 则a ≤x ， ∵x ＞2，∴a≤2，【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x ≤2时的函数的值域是解决本题的关键． 7．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 以作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】 ∵分别是的中点，∴.又，∴.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力． 8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立('()f x 是函数()f x 的导函数), 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =, 则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】由导数性质推导出当x ∈（﹣∞，0）或x ∈（0，+∞）时，函数y=xf （x ）单调递减．由此能求出结果． 【详解】∵ 函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，∴()y f x =关于y 轴对称， ∴函数()y xf x =为奇函数.因为()()()''xf x f x xf x ⎡⎤=+⎣⎦，∴当(),0x ∈-∞时，()()()''0xf x f x xf x ⎡⎤=+<⎣⎦，函数()y xf x =单调递减， 当()0,x ∈+∞时，函数()y xf x =单调递减.Q 110sin22<<，11ln22>>=，121log 24= 12110sin ln2log 24<<<，∴ a b c >>，故选A 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 9．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥1．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ￢∧C ．p q ∧￢D ．p q ∧￢￢【答案】B 【解析】 【分析】先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定. 【详解】命题p ：∃x=1∈R ，使x 2-x+1≥1成立． 故命题p 为真命题；当a=1，b=-2时，a 2＜b 2成立，但a ＜b 不成立， 故命题q 为假命题，故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题； 命题p ∧￢q 为真命题， 故选：B ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档． 10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N 、分别是11BC CD 、的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．1MNCC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．//MN ABD ．//MN 平面ABCD【答案】C 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【详解】∵在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则B （2，2，0），C 1（0，2，2），M （1，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），N （0，1，1），1110002MN CC =--=u u u u v u u u u v （，，），（，，），10MN CC ∴⋅=u u u u v u u u u v，∴MN⊥CC 1，故A 正确；112002202200A AC AC MN AC MN MN CC AC CC C =-⋅=-+=∴⊥⊥⋂=u u u v u u u v u u u u v（，，），（，，），，，又，，∴MN⊥平面ACC 1A 1，故B 成立；∵ 020110AB MN ==--u u u v u u u u v（，，），（，，），∴MN 和AB 不平行，故C 错误；平面ABCD 的法向量 0010n MN n =⋅=u u u u v vv（，，），， 又MN ⊄平面ABCD ，∴MN∥平面ABCD ，故D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．设向量(,4)a x r=-，(1,)b x r=-，若向量a r与b r同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2C ．±2D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由a v与b v平行，利用向量平行的公式求得x,验证a v与b v同向即可得解 【详解】由a v与b v平行得24x -=-，所以2x =±，又因为同向平行，所以2x =. 故选A 【点睛】本题考查向量共线（平行）的概念，考查计算求解的能力，属基础题． 12．下列有关结论正确的个数为（ ）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9P A B =； ②设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->的充分不必要条件；③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】对于①，4344443273()()464432A PB P AB ⨯====，，所以()2()()9P AB P A B P B ==，故①正确；对于②，当22log log a b >，有0a b >>，而由21a b ->有a b >，因为0,0a b a b a b a b >>⇒>>≠>>> ，所以22log log a b >是21a b ->的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线3ξ=对称，且27σ= 所以3,7D μξ==，故③正确．点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若()f x =，则()f x 的定义域为____________.【答案】1(,0)2-【解析】 【分析】根据幂函数和对数函数的性质即可求得． 【详解】由题12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩解得1(,0)2-【点睛】本题考查函数定义域，属于基础题． 14．函数，且是上的减函数，则的取值范围是____.【答案】【解析】试题分析：因为函数 且是上的减函数，即⇒．故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；故答案为．考点：分段函数的单调性.【方法点晴】本题是对分段函数单调性的考查，难度适中，容易进入陷阱，要想整个函数单调递减，前提必须为分段函数的每一段都有自己的单调性，所以在研究整函数的单调性时每一段都在考查范围内．当函数为减函数时，故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；当函数为增函数时，故其每一段都为增函数，且前一段的最大值须小于等于后一段的最小值.15．一个口袋里装有5个不同的红球，7个不同的黑球，若取出一个红球记2分，取出一个黑球记1分，现从口袋中取出6个球，使总分低于8分的取法种数为__________种． 【答案】112 【解析】根据题意,设取出x 个红球,则取出6x -个黑球,此时总得分为()26x x +-， 若总分低于8分,则有()268x x +-<，即2x <， 即x 可取的情况有2种，即0x =或1x =， 即总分低于8分的情况有2种：①、取出6个黑球,有677C=种取法，②、取出1个红球,5个黑球,有1510557C C ⨯=种取法， 故使总分低于8分的取法有7+105=112种； 故答案为：112.16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=，设2log n n b a =，则122320172018111b b b b b b +++L 的值是__________． 【答案】40332017【解析】 【分析】根据{}n S 是等比数列得出2nn S =，利用数列项与和的关系，求得n a ，从而得出n b ，利用裂项相消法求出答案. 【详解】由12n n S S +=可知，数列{}n S 是首项为112S a ==，公比为2的等比数列，所以2nn S =.2n ≥时， 111222n n n n n n a S S ---=-=-=.211log 1,2n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩，.2n ≥时,()1111111n n b b n n n n+==--- 12232017201811111111140331122232016201720172017b b b b b b +++=+-+-++-=-=L L . 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； (2)记实验次数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）37；（2）x 的分布列为 x1234p1328928528128()14E x =【解析】 【分析】 【详解】（I ）1126283()7C C P A C == （II ）1122622813(1)28C C C P X C +===；2112642222869(2)28C C C C P X C C +==⋅=； 22112642222228645(3)28C C C C C P X C C C +==⋅⋅=；；X 的分布列为 X 1234P1328928528128()12342828282814E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：对于古典概型的问题，主要是理解试验的基本事件空间，以及事件发生的基本事件空间利用比值来求解概率，结合排列组合的知识得到．而分布列的求解关键是对于各个概率值的求解，属于中档题．18．已知抛物线Ω：24y x =的焦点为F ，过F 作互相垂直的直线AB ,CD 分别与Ω交于点A 、B 和C 、D .（1）当AB 的倾斜角为45o 时，求以AB 为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=⋅恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(3)(2)16x y -+-=（2）存在14λ=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立，详见解析【解析】【分析】（1）由题意可设AB 的方程为1y x =-，代入Ω可得2610x x -+=，通过韦达定理与中点坐标公式求出AB 的中点坐标，即圆心坐标，由焦点弦公式求出直径，进而得出答案。
2019-2020学年四川省宜宾市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间不重合的三条直线 、 、 及一个平面 ，下列命题中的假命题是（）．
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】B
7．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 的外接圆的半径，然后取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，由于 平面 ，故点 为三棱锥 的外接球的球心， 为外接球半径，求解即可.
【详解】
在 中， ， ，可得 ，
则 的外接圆的半径 ，取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，
【解析】
【分析】
根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定是假命题的选项.
【详解】
对于A选项，根据平行公理可知，A选项正确.
对于B选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，故B选项是假命题.
对于C选项，由于 ， ，根据空间角的定义可知， ，C选项正确.
对于D选项，由于 ，所以 平行于平面 内一条直线 ，而 ，所以 ，所以 ，即D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面有关命题真假性的判断，属于基础题.
2．设 ，下列不等式中正确的是（ ）
①D．②和④
【答案】C
【解析】
分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断.
详解：因为ab>0,所以a,b同号.
对于①，由绝对值三角不等式得 ，所以①是正确的；对于②，当a,b同号时， ，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得 ，所以④是正确的.
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】D【解析】【分析】求出两次点均为偶数的所有基本事件的个数，再求出在两次均为偶数而且和不大于8的基本事件的个数后可得概率．【详解】记{}A =两次的点数均为偶数，{}8B =两次的点数之和不大于，因为()339n A =⨯=，()6n AB =， 所以()()()6293n AB P B A n A ===． 故选：D.【点睛】本题考查条件概率，本题解题关键是求出两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8所含有的基本事件的个数．2．若集合{|2,}x M y y x R ==∈，2{|,}N y y x x R ==∈，则有（ ）A ．M N R ⋃=B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N = 【答案】B【解析】分析：先分别求出集合M 和N ，由此能求出M 和N 的关系.详解：{}{}|2,0x M y y x R y y ==∈=， {}{}2|,|0N y y x x R y y ==∈=≥，故M N ⊆.故选：B.点睛：本题考查两个集合的包含关系的判断，考查指数函数、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.3．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y =(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．16【答案】C【解析】【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．【详解】 联立2y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）3123120021()()|33x x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCA S A S ===正方形． 故选：C ．【点睛】 本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且423S S =，715a =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件得111463(2),615a da d a d +=++=，由此可得d 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得427315S S a =⎧⎨=⎩，即111463(2)615a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩． 故选B ．【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和，关键是掌握等差数列的前n 项和公式的形式特点，属于基础题． 5．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种【答案】A【解析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种． 故选：A ．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．6．双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为60︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆C 的离心率为( )ABCD【答案】B【解析】【分析】求出直线方程,利用过过点1F 作倾斜角为60o 的直线与圆222x y b +=相交的弦长为列出方程求解即可.【详解】 双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1(,0)F c - 过点1F 作倾斜角为60o的直线)y x c =+与圆222x y b +=,可得：222222,a b a b c ⎫+=+=⎪⎪⎝⎭, 可得:227a c =则双曲线的离心率为: c e a ==故选:B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查离心率的求法,考查计算能力. 7．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是异面直线且m n ⊥，则下列条件能推出αβ⊥的是（ ） A ．//m α，//n β B ．m α⊥，//n β C ．//m α，n β⊥ D ．m α⊥，n β⊥【答案】D【解析】分析：根据线面垂直的判定定理求解即可.详解：A. //m α，//n β，此时α，β两平面可以平行，故错误；B. m α⊥，//n β，此时α，β两平面可以平行，故错误；C. //m α，n β⊥，此时α，β两平面仍可以平行，故错误，故综合的选D. 点睛：考查线面垂直的判定，对答案对角度，多立体的想象摆放图形是解题关键，属于中档题. 8．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程．【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9．已知i 是虚数单位，21i z =+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】先由复数的除法，化简z ，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 所以1z i =+.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型.10．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种 【答案】C【解析】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.考点：排列组合.11．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ）A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<【答案】A【解析】【分析】 根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小. 【详解】因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y < 由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z <<故选：A.【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 12．记函数()ln(1)f x x =+A ，函数3()221x x g x x -=-++，若不等式(2)(1)2g x a g x ++->对x A ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(4,)+∞B ．(2,4]-C ．[4,)+∞D ．(,2)-∞-【答案】C【解析】【分析】列不等式求出集合(1,1]A =-，设3()22x x F x x -=-+，可得()F x 既是奇函数又是增函数，故原题等价于(2)(1)0F x a F x ++->，结合奇偶性和单调性以及分离参数思想可得13a x >-在(]1,1-上恒成立，根据13x -的范围即可得结果.【详解】由1010x x +>⎧⎨-≥⎩得11x -<≤，即(1,1]A =- 设3()22x x F x x -=-+，()()322x x F x x F x --=-=--，即函数()F x 在R 上为奇函数，又∵22x x y -=-和3y x =为增函数，∴3()22x x F x x -=-+既是奇函数又是增函数由(2)(1)2g x a g x ++->得(2)(1)0F x a F x ++->，则(2)(1)(1)F x a F x F x +>--=-，∴21x a x +>-即13a x >-在(]1,1-上恒成立，∵13[2,4)x -∈-，∴4a …， 故选C .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，恒成立问题，构造函数3()22x x F x x -=-+是解题的关键，属于中档题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P(X≤6)＝________. 【答案】1335【解析】根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X 相应为4，6，8，1．∴()()31404343447713(6)4635C C C C P X P X P X C C ≤==+==+=. 14．已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线11:3l y x =与21:3l y x =-上，且2//PM l ，1//PN l ，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______.【答案】3 【解析】【分析】设00(,)P x y ，求出M ，N 的坐标，得出22PM PN +关于00,x y 的式子，根据P 在椭圆上得到,a b 的关系，进而求出离心率.【详解】设00(,)P x y ，则直线PM 的方程为00133x y x y =-++，直线PN 的方程为00133x y x y =-+，联立方程组0013313x y x y y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00003(,)2262x x y M y ++， 联立方程组0013313x y x y y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得00003(,)2262x x y N y --+，则 222222220000000000335()()()()5226222629x y x y x x y PM PN y x y +=-++-++++=+ 又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为2200559x y +为定值，则2251959b a ==，222289a b e a -==，3e =【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度.15．101)2x dx ⎰= . 【答案】14π+ 【解析】，则221x y +=（y≥0），∴10dx ⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰，所以1201(1)2x x dx -+⎰=120(1)x dx -⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+. 考点：定积分.16．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有______个.【答案】54【解析】【分析】运用排列组合，先求出偶数的可能一共有多少个，然后减去三个数字都是偶数的情况【详解】当个位是偶数的时候共有215360A C ⋅=种可能三个数字都是偶数时，有336A =种可能则满足题意的三位数共有60654-=种故答案为54【点睛】本题考查了排列组合的数字的排序问题，只要按照题目要求进行分类求出一共的情况，然后减去不符合情况即可得出结果三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入27．万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩. （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）【答案】（1）（2）当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大【解析】试题分析：解：（Ｉ）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--； 当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--． ∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为38.110,010,30{100098 2.7,10.3x x x W x x x--<≤=--> （Ⅱ）当010x <≤时，由28.100910x W x =->⇒<<'， 即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）．当10x >时，100098( 2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元．考点：本试题考查了函数模型在实际生活中的的运用。
2019-2020学年宜宾市数学高二下期末联考试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二(下)期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ） A ．310 B ．25 C ．35 D ．7102．当a 输入a 的值为16，b 的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a 的结果是( )A ．2B ．3C ．4D ．63．设,a b r r 是两个平面向量，则“a b =r r ”是“a b =r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若:p “直线+b y x =与圆221x y +=相交”，:q “01b <<”；则p 是q ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A 7B 42C 3D 1841 6．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)·z ＝2i ，z 是复数z 的共轭复数，则下列关于复数z 的说法正确的是( )A ．z ＝1－iB ．2z =C ．2z z ⋅=D ．复数z 在复平面内表示的点在第四象限 7．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且满足1(1)f e =，32351()()x x x x f x f x e'-+-+=，若2()x e f x m x -=有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,0)-∞C ．[0,)+∞D ．(0,)+∞8．设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则的取值范围是A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．ln210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln211,42+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（ ） A ．-2 B ． C ．2 D ．10．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72 B ．4 C ．92 D ．511． “中国梦”的英文翻译为“China Dream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ）A ．360种B ．480种C ．600种D ．720种12．已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a 的值为( )ξ 4a 9 P0.5 0.1 b A ．5 B ．6C ．7D ．8 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．二项式1893x x ⎛+ ⎝的展开式的常数项为________(用数字作答). 14．设()3f x x x =-，过下列点()()()()3230,0,0,2,2,1,,2,0A B C D E --⎝⎭分别作曲线()f x 的切线，其中存在三条直线与曲线()y f x =相切的点是__________．15．已知F 为抛物线2:C y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且12OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），若ABO ∆的面积是1S ，AFO ∆的面积是2S ，则124S S +的最小值是______.16．在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知{}2|230A x x x =--≤，{|()(4)0}B x x k x k =--+≤.（1）若[]0,3A B =I ，求实数k 的值；（2）若:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q ⌝的充分条件，求实数k 的取值范围.18．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（6分）已知复数31(1)z i i =-，i 为虚数单位．（1）求1z ；（2）若复数z 满足2z =，求1z z -的最大值．20．（6分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （Ⅰ）证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与C 1交于P ,Q 两点， 求证：11MN PQ+是定值，并求出该定值. 21．（6分）已知函数()4f x x x =-+.（1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围.22．（8分）在极标坐系中，已知圆C 的圆心4C π⎫⎪⎭，，半径r =（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若0,4a π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，直线l 的参数方程为22x tcosa y tsina=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 交圆C 于,A B 两点，求弦长|AB|的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有2510C =种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有11236C C =,所以所求概率为63.105= 选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2．C【解析】【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a ，b 的值，可得当a=b=4时，不满足条件a≠b，输出a 的值为4，即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得a=16，b=12满足条件a ≠b ，满足条件a>b ，a=16−12=4， 满足条件a ≠b ，不满足条件a>b ，b=12−4=8， 满足条件a ≠b ，不满足条件a>b ，b=4−4=4， 不满足条件a ≠b ，输出a 的值为4.故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.3．A【解析】【分析】由a b =r r ，则a b =r r 是成立的；反之，若a b =r r ，而a b =r r 不一定成立，即可得到答案.【详解】由题意,a b r r 是两个平面向量，若a b =r r ，则a b =r r 是成立的； 反之，若a b =r r ，则向量,a b r r 可能是不同的，所以a b =r r 不一定成立，所以a b =r r 是a b =r r 是成立的充分而不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的概念以及向量模的概念的应用，以及充分条件与必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B【解析】【分析】直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交1，解得b ．即可判断出结论． 【详解】直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交1，解得b∴“直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查了充分必要条件，直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．A【解析】【分析】以A 为坐标原点，以AB u u u r ，AD u u u r ，1AA u u u r 为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-u u u r ,设11A M t A E =u u u u r u u u r ，得(2,,22)M t t t -，求出2MN 取最小值时t 值，然后求1,AM CD u u u u r u u u u r 的夹角的余弦值．【详解】以A 为坐标原点，以AB u u u r ，AD u u u r ，1AA u u u r为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-u u u r ,设11A M t A E =u u u u r u u u r ，由11AM AA A E =+u u u u r u u u r u u u r 得(2,,22)M t t t -， 则2222222164(2)(22)5(22)55MN t t t a t t a ⎛⎫=+-+--=-++-- ⎪⎝⎭， 当205220t t a ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩即25t =，65a =时，2MN 取最小值165.此时1(2,0,2)CD =-，4262,,(2,1,3)5555AM ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭u u u u r ，令(2,1,3)n =r ．得1111cos ,cos ,14n CD AM CD n CD n CD ⋅<>=<>===u u u u r r u u u u r u u u u r u u u u r r u u u u r r ． 故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键求得MN 的取最小值时M 的位置．解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角．6．C【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出z ，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】(1)2,22(1)1,1(1)(1)2,1(1)(1)112i z i i i i z i i i i z z izz i i -⋅=+∴===-+--+∴==--=-+--=+=Q复数z 在复平面内表示的点在第二象限，故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．D【解析】【分析】根据2()x e f x m x -=进行参变分离，构造函数()()2x g x e f x x =-，利用已知条件得到()g x '，并判断()g x 单调性，因而求出m 范围【详解】若2()x e f x m x -=有两个不同的零点，则()2x m e f x x =-， 设()()2x g x e f x x =-，则y m =与()y g x =有两个交点，()()()2x x g x e f x e f x x ''∴=+- 由题，32351()()x x x x f x f x e'-+-+=，()()32351x x e f x e f x x x x '∴+=-+- ()()3323311g x x x x x '∴=-+-=-令()0g x ¢=，则1x =，故()g x 在(),1-∞递减，在()1,+?递增，()()11110m g e f ∴>=-=，故选D【点睛】本题考查构造函数判断单调性，用参变分离的方法转化零点为交点问题，及利用单调性求参 8．D【解析】令()'()ln 21g x f x x ax ==-+，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，1'()20g x a x=-=Q 有解，故0a >,10221{()02(2)0a g ag <<∴>⇒<ln 211(,)42a +∈ 点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()()ln f x x ax =-(a R ∈)在区间()0,2上有两个极值点，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，所以1'()20g x a x=-=有解，故0a >,只需要满足10221{()02(2)0ag ag <<><解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用 9．C【解析】试题分析：因为，所以，所以，故选C.考点：复数的运算.视频10．C【解析】【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b=+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得： 14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152⎛≥⨯+ ⎝92=， 当且仅当24,33a b ==时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92. 故选：C.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11．C【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“ea ”进行全排列,共有4555600C A =,故选B.12．C【解析】分析：先根据分布列概率和为1得到b 的值，再根据E(X)=6.3得到a 的值.详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质：①0i P ≥，1,2,3,,,i n =L L ；②121n P P P ++++=L L .二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．18564【解析】由已知得到展开式的通项为：318183632(9)31818r r r r r r C x C x ---=，令r=12,得到常数项为01231856418C=；故答案为：18564. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14．CE .【解析】【分析】设切点坐标为()3,t t t -，求出切线方程，将点()00,x y 代入切线方程，整理得32000230t x t x y -++=，令()3200023h t t x t x y =-++，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求得极值，利用数形结合列不等式，将五个点逐一代入检验即可得结果.【详解】设切点坐标为()3,t t t -，则切线方程为()()()3231y t t t x t --=--， 设切线过点()00,x y ，代入切线方程方程可得()()()320031y t t t x t --=--， 整理得32000230t x t x y -++=， 令()3200023h t t x t x y =-++， 则()()200'666h t t x t t t x =-=-， 过()00,x y 能作出三条直线与曲线()y f x =相切的充要条件为：方程32000230t x t x y -++=有三个不等的实数根，即函数()3200023h t t x t x y =-++有三个不同的零点， 故只需()()000h h x <，分别把()()()0,0,0,2,2,1A B C -，(),2,039D E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代入可以验证，只有,C E 符合条件，故答案为CE .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为()f M ，极小值为()f m ：一个零点()0f M <或()0f m >；两个零点()0f m =或()0f M =；三个零点()()0f m f M <. 15．【解析】【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，利用12OA OB ⋅=uu r uu u r，可得出124y y =-，并设直线AB 的方程为x my b =+，将此直线与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出b 的值，可得出直线AB 过定点()4,0E ，再利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出124S S +的最小值.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，221212121212OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=uu r uu u r ，则()21212120y y y y +-=，易知120y y <，得124y y =-，214y y ∴=-. 设直线AB 的方程为x my b =+，代入抛物线的方程得20y my b --=，则124y y b =-=-，得4b =，所以直线AB 的方程为4x my =+，直线AB 过x 轴上的定点()4,0E ，12121111111114158444222422S S y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯⨯=++=+≥ ⎪⎝⎭=，当且仅当15y =时，等式成立，因此，124S S +的最小值为【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，常规思路就是设出直线方程，将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理求解，另外在求最值时，充分利用基本不等式进行求解，难点在于计算量较大，属于难题.16．45°【解析】【分析】先确定直线PA 与平面ABCD 所成的角，然后作两异面直线PA 和BE 所成的角，最后求解．【详解】∵四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，∴PAC ∠就是直线PA 与平面ABCD 所成的角，即PAC ∠＝60°，∴PAC ∆是等边三角形，AC ＝PA ＝2，设BD 与AC 交于点O ，连接OE ，则OE 是PAC ∆的中位线，即//OE PA ，且112OE PA ==， ∴OEB ∠是异面直线PA 与BE 所成的角，正四棱锥P －ABCD 中易证BD ⊥平面PAC ，∴BD EO ⊥， EOB ∆中，OE OB =，∴EOB ∆是等腰直角三角形，∴OEB ∠＝45°．∴异面直线PA 与BE 所成的角是45°．故答案为45°．【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查正四棱锥的性质．要注意在求空间角时，必须作出其“平面角”并证明，然后再计算．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）4k =（2）7k >或1k <-【解析】【分析】（1）求解出集合B ，再根据交集范围计算k 的值；（2）由p 是q ⌝的充分条件，得到集合A B 、之间的关系，然后再计算k 的取值.【详解】解：{|13}A x x =-剟， {}|4B x k x k =-剟，（1）[]0,3A B =I∴403k k -=⎧⎨⎩… ∴43k k =⎧⎨⎩…∴4k =； （2）∵p 是q ⌝的充分条件，∴{|4R A B x x k ⊆=<-ð或}x k >，∴43k ->或1k <-即7k >或1k <-.【点睛】现有集合A B 、，且:p x A ∈，:q x B ∈，若集合A 是集合B 的充分条件，则有：A B ⊆；若集合A 是集合B 的必要条件，则有：A B ⊇.18．（1）43,55； （2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【解析】【分析】（1）从题中所给的22⨯列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人， 所以男顾客对商场服务满意率估计为1404505P ==, 50名女顾客对商场满意的有30人， 所以女顾客对商场服务满意率估计为2303505P ==, （2）由列联表可知22100(40203010)100 4.762 3.8417030505021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算2K 的值，独立性检验，属于简单题目.19． (1) 122.z i =-(2) 2.【解析】分析：（1）化简复数即可；（2）设z x yi =+，则224x y +=，则复数z 对应点的轨迹是以为()0,0O 圆心，2为半径的圆，复数1z 对应点()2,2A -，所以即可先求点到圆心的距离再减去半径即可.详解：（1）()()()()2111212 2.z i i i i i i i =--=--=-（2）设z x yi =+，因为2z =，所以224x y +=， 在复平面中，复数1z 对应点()2,2A -，复数z 对应点的轨迹是以为()0,0O 圆心，2为半径的圆；因为AO=22,所以1z z -的最大值为222+． 点睛：与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题． (2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质． 20．（I ）22143x y +=（0y ≠）；（II ）712 【解析】【分析】（I ）根据几何关系，即可证明EA EB +为定值，再利用椭圆的定义即可求出点E 的轨迹方程； （Ⅱ）利用点斜式设出直线l 的方程，与椭圆方程联立方程组，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系以及弦长公式表示出MN ，同理可得PQ ，代入11MN PQ +中进行化简即可证明11MN PQ+为定值。
四川省宜宾市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理、文)试题 含答案
高二理科数学答案 第 2 页 共 4 页
x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增；
┈┈┈┈┈┈9 分
②当 0 a 1时， x (a,1) ， f '(x) 0 ， f (x) 递减；
x (0, a) 或 x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增.
┈┈┈┈┈┈11 分
（Ⅱ）求 f (x) 在 3,1上的最大值和最小值．
19.（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，且 2a cos B b cos C c cos B . （I）求证： B ；
3 （Ⅱ）若 a ， b ， c 成等比数列，求证： ABC 为正三角形.
见制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
一、选择题
ACDBCB
二、填空题
13．一
三．解答题
CBADCD
14．0
15． 2n 1 n
16． a 1 2 ln 2
17.解：（I)若 q 为真，则 c x 2 在 x [2,3] 上恒成立，
c
x2 min
4 ， c 的取值范围是{c | 0
c
4} ；
（II） “ p q ”为真，“ p q ”为假， p ， q 一真一假；
┈┈┈6 分
当
p
真
q
假时，
0 c
c 4
1
无解；当
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题含解析
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ） A ．(2,7) B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)222．设复数21iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．13．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点” D ．“第二次的点数是奇数”4．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）A ．990B ．1320C ．1430D ．15605．角α的终边与单位圆交于点52555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,则cos2=α（ ） A ．15B ．-15C ．35D ．356．0121834521C C C C ++⋯++的值等于（ ）A ．7351B ．7355C ．7513D ．73157．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．34A 种 B ．3134A A 种C ．2343C A 种 D ．113433C C A 种8．在中，，且，则的面积为（ ）A ．B ．C ．3D ．9．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤<10．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x-≤，则实数a 的最小值是（ ）.A ．-1B ．122-C ．222-D ．22-11．如图，在正方体1AC 中，,,,E F G H 分别是11,AA BB ,11,CD C D 的中点，则四面体EFGH 在平面11CC D D 上的正投影是A ．B ．C ．D ．12．若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,0][,)4-∞⋃+∞B ．1(,][0,)4-∞-⋃+∞C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(,1]-∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_________个个体．14．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则1()2S a b c r =++，利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V =________．15．已知二项式7x x 展开式的第4项与第5项之和为零，那么x 等于____________.16．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表： 分数段 [)60,65[)65,70[)70,75[)75,80[)80,85[)85,90[)90,95人数１３６６２１１若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ （2）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？ 18．某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：（1）记甲的日工资额为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．19．（6分）已知()y f x =在()0,+∞上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+. (1)求证：()()22f xf x =；(2)求()1f 的值；(3)求不等式的()()()34f x x f +≤的解集20．（6分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[)100120，内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．表1：甲套设备的样本频数分布表（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（6分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率. ②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.22．（8分）某球员是当今CBA 国内最好的球员之一，在20172018-赛季常规赛中，场均得分达23.9分。
2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题 含答案参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）。
如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）。
若（x ，y ），…，（x ，y ）为样本点，=+为回归直线，则 =，==∑∑=-=-----ni ini i ix xy y x x121)())((=∑∑=-=----ni i ni iixn x yx n yx 1221，=－。
K=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-，其中n=a+b+c+d 为样本容量一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 函数f （x ）=3x －x 的单调增区间是A. （0，+）B. （－，－1）C. （－1，1）D. （1，+）2. （x+1）的展开式中x 的系数为A. 4B. 6C. 10D. 203. 在复平面内，复数6+5i ，－2+3i 对应的点分别为A ，B 。
若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i4. 用数字0，1，2，3组成无重复数字的四位数，这样的四位数的个数为A. 24B. 18C. 16D. 125. =A. 1B. e －1C. eD. e+16. 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表：则随机变量K 的观测值为班组与成绩统计表 优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计1971 90A. 0.600B. 0.828C. 2.712D. 6.0047. 设随机变量~N （0，1），若P （≥1）=p ，则P （－1<<0）=A. 1－pB. pC. +pD. －P8. 某游戏规则如下：随机地往半径为l的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为A. B. C. D.9. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项。
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．由2y x =-与直线23y x =-围成的图形的面积是（ ）A ．53B ．643C ．323D ．9【答案】C【解析】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的面积，即可求得结论．详解：由y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3联立，解得y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3围成的图形的面积是S=12-3-23)x x dx -+⎰（ =（﹣13x 3﹣x 2+3x ）13|-=323 ． 故答案为：C ．点睛：（1）本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()ba f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. 2．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.3．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.） 附表：则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】分析：根据列联表中数据利用公式求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论.详解：根据卡方公式求得()223081281020101218K -==⨯⨯⨯，27.89710.828K <<，∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断. 4．若6ax⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( ) A ．4B ．4±C ．2D ．2± 【答案】D【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出第k 1+项，求出常数项的系数，列方程即可求解.【详解】因为6ax⎛- ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-， 令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.5．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差2.4DX =，(4)(6)P X P X =>=，则期望EX =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】【分析】 X 服从二项分布，由二项分布的方差公式计算出p 的可能值，再根据(4)(6)P X P X =>=，确定p 的值，再利用均值计算公式计算()E X 的值.【详解】因为()(1)10(1)0.24D X np p p p =-=-=，所以0.4p =或0.6，又因为 (4)(6)P X P X =>=，则4646461010C (1)C (1)p p p p ->-，解得0.5p <，所以0.4p =，则()100.44E X =⨯=.故选：A.【点睛】二项分布的均值与方差计算公式：()E X np =，()(1)D X np p =-.6．设实数，满足约束条件，已知的最大值是，最小值是，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】 试题分析：画出不等式组表示的区域如图，从图形中看出当不成立，故，当直线经过点时,取最大值，即，解之得，所以应选D.考点：线性规划的知识及逆向运用．【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的求参数值的问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的平面区域,然后分类讨论参数的符号,进而移动直线,发现当该直线经过点时取得最大值,以此建立方程,通过解方程求出参数的值.7．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（ ）A ．1eB ．0C ．44eD ．22e【答案】A【解析】【分析】 先算出1()x x f x e-'=，然后求出()f x 的单调性即可 【详解】由()x f x xe -=可得1()x x f x e-'= 当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增当(]1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减所以函数()x f x xe-=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e= 故选：A【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单.8．已知06π⎛⎫⎪⎝⎭，为()()sin 2f x x ϕ=-+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个对称中心，则()f x 的对称轴可能为（ ） A ．2x π= B ．12x π=- C ．3x π=- D ．23x π= 【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定ϕ的值，然后求解函数的对称轴即可.【详解】 由题意可知，当6x π=时，()226x k k Z πϕϕπ-+=-⨯+=∈， 据此可得：()3k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得3πϕ=，则函数的解析式为()2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的对称轴满足：()232x k k Z πππ-=+∈，解得：()5212k x k Z ππ=+∈， 令1k =-可知函数的一条对称轴为12x π=-，且很明显选项ACD 不是函数()f x 的对称轴.本题选择B 选项.【点睛】 本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．[)(]3,24,5--⋃ B ．()()3,24,5--⋃ C ．(]4,5D ．（4,5）【答案】A【解析】【分析】 不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列函数一定是指数函数的是（） A ．12x y +=B ．3y x =C ．32x y =⋅D ．3x y -=2．如图，在正方体1AC 中，,,,E F G H 分别是11,AA BB ,11,CD C D 的中点，则四面体EFGH 在平面11CC D D 上的正投影是A ．B ．C ．D ．3．由曲线2(0)y x x =≥和直线0x =，1x =，2y t =（01t <<）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．A ．12B ．23C ．14D ．134．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治1班 物理A 层3班 政治2班 政治3班 A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种5．设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|1}B x y x ==-，则（ ）A ．AB ⊆B ．A B A ⋃=C ．AB =∅D ．()I A B ⋂≠∅6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．7．设全集U ＝R ，集合{}3A x x =≤， {}6B x x =≤，则集合()⋂=U C A B ( ) A ．{}36x x <≤ B ．{}36x x << C ．{}36x x ≤<D ．{}36x x ≤≤8．观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=（）A ．28B ．76C ．123D ．1999．下列命题中为真命题的是（ ） A ．若10,2x x x≠+≥ B ．命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠ C ．“=1a ”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件 D ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>10．已知随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()2,()1E X D X ==，则(3)P X ==（ ） A ．14B ．13C ．38D ．1211．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( ) A ．112种B ．100种C ．90种D ．80种12．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为 A ．715B ．730C ．115D ．130二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．关于x 的方程422525x xC C +=的解为x =________14．已知函数()()2log 41xf x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________．15．71()7x x-的展开式的第3项为______. 16．若正实数{}n a 满足21a b +=，则12a b+的最小值为______ ．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()1n f x x ax =-+ 11()aa R x--∈. (1)当12a ≤时,讨论()f x 的单调性； (2)设2()24g x x bx =-+，当14a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在2[1,2]x ∈使12()()f x g x ≥,求实数b 取值.18．已知函数()()()2122f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值． 19．（6分）已知函数()xmf x nx e =+. （1）若函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值；（2）当1n =时，在区间(,1]-∞上至少存在一个0x ，使得0()0f x <成立，求实数m 的取值范围.20．（6分）已知实数，设函数．（1）证明：；（2）若，求的取值范围．21．（6分）已知数列{}n a 满足12a =，()12n n a a n N *+=∈，设()23log 2n n b a n N *=-∈，数列{}n c 满足n n n c a b =.（1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）求数列{}n c 的前n 项和n S .22．（8分）已知不等式21214x x ++-<的解集为M ． （1）求集合M ；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据指数函数定义，逐项分析即可. 【详解】A ：12x y +=中指数是1x +，所以不是指数函数，故错误；B ：3y x =是幂函数，故错误；C ：32x y =⋅中底数前系数是3，所以不是指数函数，故错误；D ：13()3xx y -==属于指数函数，故正确. 故选D. 【点睛】指数函数和指数型函数：形如xy a =（01a <<且1a ≠）的是指数函数，形如x cy b a +=⋅（01a <<且1a ≠且0b ≠且0c ≠）的是指数型函数. 2．C 【解析】分析：根据正投影的概念判断即可. 详解：根据正投影的概念判断选C. 选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题. 3．C 【解析】利用定积分求出阴影部分区域面积关于t 的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果． 【详解】设阴影部分区域的面积为()f t ， 则()()()1222223321320011413333t t t tf t t x dx x t dx t x x x t x t t ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰， ()()242221f t t t t t '∴=-=-，其中01t <<，令()0f t '=，得12t =， 当102t <<时，()0f t '<；当112t <<时，()0f t '>. 所以，函数()y f t =在12t =处取得极小值，亦即最小值，且最小值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因此，阴影部分区域面积的最小值为14，故选C ． 【点睛】本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 4．B 【解析】 【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班； （7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B.本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解. 【详解】∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥， 由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，A B A =，I A B ⋂=∅，故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ. 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题． 7．A 【解析】 【分析】求出U C A ，然后求解()U C A B ⋂即可.全集U =R ，集合{}{}|3,|6A x x B x x =≤=≤， 则集合{}|3U C A x x =>， 所以{}()|36U C A B x x =<≤，故选A. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目. 8．C 【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即1010123a b += 考点：归纳推理 9．B 【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论． 详解：对于A ，0x ＞，利用基本不等式，可得12x x+≥，故不正确； 对于B ，命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠ ，正确；对于C ，“1a =± ”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件，故不正确； 对于D ，命题命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥ ，故不正确． 故选：B ．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题． 10．A 【解析】 【分析】由二项分布与n 次独立重复实验的模型得：4n =，12p =，则34411(3)()24P X C ===，得解． 【详解】因为X 服从二项分布~(,)X B n p ，()2E X =，()1D X =， 所以2np =，(1)1np p -=，即4n =，12p =， 则34411(3)()24P X C ===，故选：A ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复实验的模型，属于基础题． 11．A 【解析】分析：根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数． 详解：∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，∴每个个体被抽到的概率是14， 根据分层抽样要求，应选出8×14=2名女生，4×14=1名男生，∴有C 82•C 41=1． 故答案为：A ．点睛：本题主要考查分层抽样和计数原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 12．A 【解析】分析：先求出基本事件的总数21045n C ==，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件个数117321m C C ==，由此即可求出.详解：含有3件次品的10件产品中，任取2件，基本事件的总数21045n C ==，恰好取到1件次品包含的基本事件个数117321m C C ==，恰好取到1件次品的概率2174515m P n ===. 故选：A.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．4或7 【解析】 【分析】根据组合数的性质，列出方程，求出x 的值即可. 【详解】解：∵422525x xC C +=，∴24x x =+或2(4)25x x ++=， 解得4x =或7x =. 故答案为：4或7. 【点睛】本题考查了组合数的性质与应用问题，是基础题目. 14．()0,1 【解析】 【分析】首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为()()3log 0f x f <，进一步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果. 【详解】当0m =时，()()2log 41xf x =+是R 上的增函数，且()()20log 111f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为()()3log 0f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从而得答案为()0,1. 故答案为()0,1 【点睛】解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要. 15．337x 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式7717rrr C x x -⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭，令2r可得出答案．【详解】717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第3项为225371377C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为337x ． 【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题．16．9 【解析】 【分析】根据()12122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值.【详解】()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件是22b aa b=，即22a b =， 22210,0a b a b a b ⎧=⎪+=⎨⎪>>⎩，解得：11,33a b == 12a b∴+的最小值是9. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值的问题，属于简单题型.基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，这三个要素缺一不可.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)上单调递减；函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当12a =时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a -上单调递增;函数()f x 在1(1,)a-+∞上单调递减；（2）17[,)8+∞． 【解析】分析：（1）先求定义域，再对函数求导，()221ax x af x x-+-'= ()0,x ∈+∞， 令()21h x ax x a =-+- ()0,x ∈+∞，分0a =，12a =，102a <<，0a <，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间。
2019-2020学年宜宾市数学高二下期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ） A ．15B ．-15C ．60D ．-602．已知单位圆有一条长为2的弦AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ⋅≥u u u ru u u r的概率为( ) A ．24ππ- B ．2ππ- C ．324ππ- D ．2π3．函数f （x ）=1232,(2){log (1),(2)x e x x x -<-≥，则不等式f （x ）＞2的解集为（ ）A ．(2,4)-B ．（4-，-2 ）∪（1-，2 ）C ．（1，2）∪（10，+∞）D ．（10，+∞）4．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C 上，若12AF F ∆的周长为10a ，则12AF F ∆面积为（）A ．2215aB ．215aC ．230aD ．215a5．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1 6.5PF =，则2PF 等于（ ）． A ．0.5B ．12.5C ．4或10D ．0.5或12.56．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X ，则（ ） A ．(5,1)X B : B ．(0.5,5)X B : C ．(2,0.5)X B :D ．(5,0.5)X B :7．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）A ．r 1＝r 2B ．r 1<r 2C ．r 1>r 2D ．无法判定8．已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为 5，则a =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．-19．以下说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．若命题:P 存在0x R ∈，使得20010x x -+<，则p ⌝:对任意x R ∈，都有210x x -+≥D ．若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题10．已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x +-的取值范围是（ ） A ．30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．31,13⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．函数y ＝﹣ln （﹣x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知a R ∈，且复数2i1ia ++是纯虚数,则a =_______. 14．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的左视图如图所示，则该三棱锥的体积是________；15．课本中，在形如()011nn n n n a b C a C a b -+=++…rn rr n C ab -+…n nn C b 的展开式中，我们把()0,1,2,rn C r n =…,）叫做二项式系数，类似地在()201221nn n n x x D D x D x ++=+++…212122n n n n n n D x D x --+的展开式中，我们把()0,1,2,rn D r n =…,2叫做三项式系数，则001122201520152015201520152015D C D C D C ⋅-⋅+⋅-…()201520151kk kD C +-+ (201520152015)2015D C -⋅的值为______.16．函数g()x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(2)0f =，当x>0时，()()0xg x f x -<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*11132n n a r S a n +==-∈N ，. （1）若{}n a 为等比数列，求r 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，设22log nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$ ，根据表中数据已经正确计算出b$=0.6，试求出$a的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．（6分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）sin 213°+cos 217°-sin13°cos17° （2）sin 215°+cos 215°-sin15°cos15° （3）sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°（4）sin 2（-18°）+cos 248°- sin 2（-18°）cos 248° （5）sin 2（-25°）+cos 255°- sin 2（-25°）cos 255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论20．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x ty m t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，m R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()223032cos ρθπθ=≤≤-． （1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C ，求m 的值．21．（6分）已知函数()22xxf x -=+.（1）解不等式()52f x >； （2）若对任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值．22．（8分）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】试题分析：依题意有()224426260C x y x y -=，故系数为60.考点：二项式． 2．A 【解析】 【分析】 【详解】建立直角坐标系，则()1,1AB =u u u r ，设P 点坐标为(),x y ，则(),1,?12AP x y AP AB x y =+⋅=++≥u u u r u u u r u u u r，故10x y +-≥，则使得2AP AB ⋅≥u u u r u u u r的概率为24S P S ππ-==阴影圆，故选A ． 【点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度､面积､体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 3．C 【解析】 当时，有，又因为，所以为增函数，则有，故有；当时，有，因为是增函数，所以有，解得，故有．综上．故选C4．B 【解析】点A 在双曲线C 上，不妨设点A 在双曲线C 右支上，所以122AF AF a -=，又12AF F ∆的周长为1212122c 10?AF AF F F AF AF a ++=++=. 得1210?2c AF AF a +=-. 解得126,?4AF a c AF a c =-=-. 双曲线C 的离心率为2，所以2ca=，得2c a =. 所以122,?AF c AF c ==. 所以112AF F F =，所以12AF F ∆为等腰三角形. 边2AF 222221215()4242AF c c F F c ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 12AF F ∆的面积为222115115151522224c c AF c a ===n n n .故选B. 5．D 【解析】由230x y +=，可得23y x =-， 又由题意得双曲线的渐近线方程为2y x a=±， ∴223a = ∴3a =，根据双曲线的定义可得126PF PF -=，∴20.5PF =或212.5PF =．经检验知20.5PF =或212.5PF =都满足题意．选D ．点睛：此类问题的特点是已知双曲线上一点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离，实质上是考查双曲线定义的应用．解题时比较容易忽视对求得的结果进行验证，实际上，双曲线右支上的点到左焦点的最小距离为c a +，到右焦点的最小距离为c a -．同样双曲线左支上的点到右焦点的最小距离是c a +，到左焦点的最小距离是c a -． 6．D 【解析】分析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数152X B ～（，） ，由此能求出正面向上的次数X 的分布列详解：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数152X B ～（，）. 故选D.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用． 7．C 【解析】 【分析】利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可. 【详解】根据,A B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关， ∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ． 【点睛】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）. 8．D 【解析】 【分析】将化简为：55(1)(1)x ax x +++分别计算2 x 的系数，相加为5解得a .【详解】555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++5(1)x +中2 x 的系数为：2510C =5(1)ax x +2 x 的系数为：155aC a =2 x 的系数为：10551a a +=⇒=-故答案选D 【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算. 9．D 【解析】 【分析】根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出,A C 正确；解方程得到解集和2x =的包含关系，结合充要条件的判定可知B 正确；根据复合命题的真假性可知D 错误，由此可得结果. 【详解】A 选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”，可知A 正确；B 选项：由2320x x -+=，解得1,2x =，因此“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要，可知B正确；C 选项：根据命题的否定可知:p ⌝对任意x ∈R ，都有210x x -+≥，可知C 正确；D 选项：由p 且q 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题，因此D 不正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 10．B 【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，2y x z =-+，可知截距越大z 值越大，根据图象得出最优解为(1,0)，则2z x y =+的最大值为2，选B.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． 11．C 【解析】分析：由题意得曲线C 是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子111y x y x x +--=+，1y x-的形式可以联想成在单位圆上动点P 与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵21x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩即21x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩22211x y ∴-+-=（）（）， 其中[12]y ∈， 由题意作出图形，111y x y x x+--=+， 令11y k x-=+，则k 可看作圆22211x y ∴-+-=（）（），上的动点P 到点01C （，）的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，在直角三角形ACB 中，3303ACB k ∠=︒⇒=， 由图形知，k 的取值范围是3[0]3，．则1y x x +-的取值范围是1,1⎡+⎢⎣⎦．故选C ．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想． 12．C 【解析】 【分析】分析函数的定义域，利用排除法，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数ln()y x =--的定义域为(,0)-∞，所以可排除A 、B 、D ， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理使用函数的性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了判断与识别能力，属于基础题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2- 【解析】 【分析】由复数的运算法则可得2(2)(2)12a i a a i i +++-=+，结合题意得到关于a 的方程，解方程即可确定实数a 的值. 【详解】由复数的运算法则可得：222(2)(1)22(2)(2)1112a i a i i a i ai a a ii i i ++-+-+++-===+--， 复数为纯虚数，则：2020a a +=⎧⎨-≠⎩，据此可得：2a =-.故答案为2-． 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，纯虚数的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【解析】 【分析】由左视图得出三棱锥中线面关系及棱的长度． 【详解】由左视图知三棱锥的高为1h =，底面等腰三角形的底边长为2，这个等腰三角形的面积为12S =⨯=，111333V Sh ===．【点睛】本题考查棱锥的体积，解题是由左视图得出棱锥的高为1，底面等腰三角形的底边长为公式可求得棱锥的体积，本题还考查了空间想象能力． 15．0 【解析】 【分析】 根据()()201520152201531(1)1x x x x ++⋅-=-的等式两边的2015x 项的系数相同，从而求得要求式子的值.【详解】()()20152201501224030140301403040302015201520152015201520151(1)r r x x x D D x D x D x D x D x--++⋅-=+++⋯++⋯++Q ()0201512014220133201220142015201520152015201520152015C x C x C x C x C x C ⋅⋅-⋅+⋅-+⋯+⋅-，其中2015x 系数为001122201520152015201520152015D C D C D C ⋅-⋅+⋅-…()201520151kk k D C +-+ (201520152015)2015D C -⋅， ()()201520152201531(1)1x xx x ++⋅-=-Q ，而二项式()201531x -的通项公式()2015312015rrr T C x -+=⋅，因为2015不是3的倍数，所以()201531x -的展开式中没有2015x 项，由代数式恒成立可得001122201520152015201520152015D C D C D C ⋅-⋅+⋅-…()201520151kk kD C +-+…20152015201520150D C -⋅=，故答案为：0. 【点睛】本题考查二项式定理，考查学生的分析能力和理解能力，关键在于构造()2015220151(1)x x x ++⋅-并分析其展开式，是一道难题. 16．(2,0)(2,)-+∞U【解析】【分析】 根据条件构造函数()f x x ，其导数为2()()g x x f x x -，可知函数偶函数()f x x 在x>0时是减函数，结合函数零点即可求解.【详解】 构造函数()f x x ,其导数为2()()g x x f x x -，当x>0时，2()()0g x x f x x -<，所以函数()f x x 单调递减，又(2)02f =， 所以当2x >时，()0f x x<，即()0f x <， 因为()f x 为奇函数，所以()f x x 为偶函数，所以当0x <时，()0f x x >的解为20x -<<， 即()0f x <的解为20x -<<，综上x 的取值范围是(2,0)(2,)-+∞U .【点睛】本题主要考查了抽象函数，导数，函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点，属于难题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）132，62n n a -=；（2）1(11)222n n n n T +-=+-. 【解析】【分析】 （1）利用n S 和{}n a 关系得到12(2)n n a a n +=…，验证1n =时的情况得到132r =，再利用等比数列公式得到数列{}n a 的通项公式.（2）计算数列{}n b 的通项公式26n n b n =+-，利用分组求和法得到答案. 【详解】（1）当1n =时，122111,3232S a a a =-=+， 当2n …时，1132n n S a -=- ，与已知式作差得1n n n a a a +=-，即12(2)n n a a n +=…， 欲使{}n a 为等比数列，则2122a a r ==，又21113232a a r =+∴=，. 故数列{}n a 是以为首项，2为公比的等比数列，所以62n n a -=.（2）由（1）有62n n a -=得622log 226n n n n b n -=+=+-.12n n T b b b =+++L L122(5)2(4)2(6)n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-+++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦L()12222[(5)(4)(6)]n n =++++-+-++-L L1(11)222n n n +-=+-. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生的计算能力.18．（1）ˆ 3.2a= ，6.1（2）见解析 【解析】试题分析：（1）由线性回归方程过点（，）,可得ˆa,再求x=6时对应函数值即为6月份生产的甲胶囊产量数（2）先确定随机变量取法：ξ=0，1，2，3，再利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据公式求数学期望试题解析：解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因线性回归方程=x+过点（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生产甲胶囊的产量数： =0.6×6+3.2=6.1．（2）ξ=0，1，2，3，P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，P （ξ=3）==，其分布列为ξ0 1 2 3 P所以Eξ==． 19．见解析【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想【解析】试题分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据式子的结构规律，得223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=o o ，由三角函数中的恒等变换的公式展开即可证明．试题解析：（1）选择（2），计算如下：sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=34， 故这个常数为34． （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin 2α+cos 2（30°-α）-sinαcos （30°-α）=34证明：sin 2α+cos 2（30°-α）-sinαcos （30°-α）=sin 2α+21(cos sin )22αα+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin 2α+34cos 2α+14sin 2α+2sinαcosα-2sinαcosα-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34 考点：三角恒等变换；归纳推理．20．（1）0x y m -+=，()221013x y y +=≤≤；（2）2m =--4m = 【解析】【详解】分析：（1）由曲线1C 的参数方程，利用代入法消去参数t ，可得1C 的普通方程，由曲线2C 的极坐标方程得22232cos 3ρρθ-=，利用互化公式可得2C 的直角坐标方程；（2）设曲线2C 上任意一点P为),sin αα，[]0,απ∈，利用点到直线距离公式结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果. 详解：（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，可得1C 的普通方程为：0x y m -+=．由曲线2C 的极坐标方程得22232cos 3ρρθ-=，[]0,θπ∈， ∴曲线2C 的直角坐标方程为()221013x y y +=≤≤． （2）设曲线2C 上任意一点P为),sin αα，[]0,απ∈，则点P 到曲线1C的距离为d ==． ∵[]0,απ∈，∴cos 6πα⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2cos 6πα⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，当0m <时，即2m =-当20m ->时， 4m =．∴2m =--4m =．点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．21．（1）{}|11x x x <->或（2）4【解析】【分析】换元法，先换元再解不等式。
2019-2020学年宜宾市数学高二下期末联考试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二下期末联考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则等于（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：由，所以，故选D ．考点：集合的运算．2．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A ．3 B ．1C ．－1D ．－3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， 当x≥0时，f （x ）=2x +2x+b （b 为常数）， ∴f （0）=1+b=0， 解得b=-1∴f （1）=2+2-1=1． ∴f （-1）=-f （1）=-1． 故选D ．3．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下： 月份1 2 3 4 5 广告投入（x 万元） 9.5 9.3 9.1 8.9 9.7 利润（y 万元）9289898793由此所得回归方程为7.5ˆyx a =+，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ） A ．97万元 B ．96.5万元C ．95.25万元D ．97.25万元【答案】C 【解析】【分析】首先求出x y ，的平均数，将样本中心点代入回归方程中求出a 的值，然后写出回归方程，然后将10x =代入求解即可 【详解】()19.59.39.18.99.79.35x =⨯++++=()19289898793905y =⨯++++=代入到回归方程为7.5ˆyx a =+，解得20.25a = 7.25ˆ50.2yx ∴=+ 将10x =代入7.50.5ˆ22yx =+，解得ˆ95.25y = 故选C 【点睛】本题是一道关于线性回归方程的题目，解答本题的关键是求出线性回归方程，属于基础题。
4．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）A ．12B ．3122C ．116D 113【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中ACB △为等腰直角三角形，90,2,2,1ACB AB BE AG EF ︒∠=====，再由棱锥体积剪去棱锥体积求解.【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中ACB △为等腰直角三角形，90,2,2,1ACB AB BE AG EF ︒∠=====， ∴该几何体的体积111112*********V =-⨯⨯⨯⨯=， 故选：C. 【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题. 5．设实数a,b,c 满足a+b+c =1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0 B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++< ∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B.6．已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．73B ．53C 5D 6【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数yt x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()23C ，处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即312t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 题中的不等式即：()2222224a x yx xy y +≤++，则：22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立， 原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值，整理函数的解析式有：()22211112424221211131224112122t t t f t t t t t ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪++- ⎪ ⎪=⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭-++⎪ ⎪-⎝⎭，令12m t =-，则112m ≤≤， 令()34g m m m=+，则()g m 在区间1322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间312⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增， 且()172124g g ⎛⎫==⎪⎝⎭，，据此可得，当112m t ==，时，函数()g m 取得最大值，则此时函数()f t 取得最小值，最小值为：()2241211712113f ⨯+⨯+==⨯+．综上可得，实数a 的最大值为73．本题选择A 选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．7．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()x x a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a 的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=，解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用． 8．已知()1in 32s πθπθ⎛-<=⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2θ=A ．9 B ．3C ．9D ．9【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求出sin cos θθ，，再求sin 2θ. 【详解】 因为()1in 32s πθπθ⎛-<=⎫⎪⎝⎭，故1cos 33sin θθ==，，从而1sin 223θ=⨯=. 故选C 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若cos c A b =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形【答案】C 【解析】分析：由已知构造余弦定理条件：2cos bc A b =，再结合余弦定理2222cos a b c bc A =+-，化简整理得222a b c +=，即ABC ∆一定为直角三角形.详解：由已知cos c A b =，得 2cos bc A b=①由余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ② 将①代入② 22222a b c b =+- 整理得 222a b c += ABC ∆一定为直角三角形 故选C点睛：判断三角形形状 （1）角的关系：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状． ① 若sin sin A B =；则A=B ； ②若sin2sin2A B =；则A=B 或2A B π+=（2）边的关系：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ① 若222a b c +=，则90C =； ② 若222a b c +>，则90C <； ③ 若222a b c +<，则90C >．10．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，输出的S=（ ）A．67B．37C．89D．49【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.11．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种【答案】B【解析】分析：先不考虑限制条件，则共有2343C A种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可.详解：先不考虑限制条件，则共有234336C A =种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有22326C A =种方法；甲分到2本（包括《周髀算经》），此时共有326A =种方法，则分配方法共有366624--=种.点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题 12．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为（ ）A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a ≤<D ．56a <≤【答案】C 【解析】 输入0,1S i ==执行循环体1,12S S i i i =+==+=，不满足i a > 继续执行循环体3,13S S i i i =+==+=，不满足i a > 继续执行循环体6,14S S i i i =+==+=，不满足i a > 继续执行循环体10,15S S i i i =+==+=，不满足i a >继续执行循环体15,16S S i i i =+==+=，由题可知满足6i a =>，输出15S = 故[)5,6a ∈ 故选C二、填空题：本题共4小题13．已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是__________．234f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 234f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ③()023f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭ ④()024f π⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】①构造函数()()cos f x F x x =，则2()cos ()sin ()0cos f x x f x x F x x +''=>，即函数()()cos f x F x x=是单调递增函数。
2019-2020年高二下学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学理含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，则A. B. C. D.2．已知是虚数单位，则等于A．B．C．D．3．公差不为零的等差数列第项构成等比数列，则这三项的公比为A．1 B．2 C．3 D．44．从中任取个不同的数，设表示事件“表示事件“取到的个数均为偶数”，则A．B．C．D．5.在中,已知,且,则A.B.C. D.6．执行如右图所示的程序框图，输出的值为A．B．C．D．7. 如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为锐角的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为A．B．C．D．8．函数的图象是A．B．C．D．9. 已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为A．B．C．D．10．已知球的直径，是球球面上的三点，是正三角形，且，则三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）俯视图11. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.12．已知函数的两个极值点分别为且，记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数的取值范围为A．B．C．D．试卷Ⅱ（共90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A、B、C三所学校共有高二理科学生1500人，且A、B、C三所学校的高二理科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二理科学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_____人.14．过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为.15. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为．16．观察下列算式：，若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17. （本题满分12分）已知中，角所对的边分别是，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，为 中点，与交于点，丄面．(Ⅰ )证明：(Ⅱ)若求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率且经过点，抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合．（Ⅰ）过的直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，求直线的交点的轨迹方程； （Ⅱ）从圆上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为，试问的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是区间上的“双中值函数”.已知函数是区间上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，3）C ．（，1）D ．（，1） 【答案】C 【解析】 试题分析：，，所以函数是区间上的“双中值函数”等价于在区间有两个不同的实数解，即方程在区间有两个不同的实数解，令，则问题可转化为在区间上函数有两个不同的零点，所以，解之得，故选C.考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数的运算法则.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能力与运用新知识的能力，难题.新定义问题是命题的新视角，在解题时首先是把新定义问题中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识，然后再去求解、运算.2．已知点P 在椭圆221123x y +=上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，1PF 的中点在y 轴上，则12||||PF PF 等于（ ） A ．7 B ．5 C ．4 D ．3【答案】A 【解析】由题意可得212PF F F ⊥，设P 2(,)bc a，且3,3,3a b c ===，所以12PF PF =222b a a b a-=222224373a b b --==，选A. 【点睛】若1(,0)F c -，2F (,0)c 是椭圆的左、右焦点，且212PF F F ⊥，则点P 的坐标为2(,)b c a±．3．已知函数()2f x x ln x =-，则函数()y f x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果． 【详解】由题意()()2ln f x x x f x -=--=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ； 又()211ln110f =-=>，所以排除B,C ．故选A ． 【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一．4．已知||1a =r ，||2b =r ，||3a b +=rr ）A ．2a b ⋅=-r rB ．()()a b a b +⊥-r rr rC ．a →与b →的夹角为3π D ．||7a b -=rr【答案】D【解析】 【分析】根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案. 【详解】()2222||2a b a ba ab b +=+=+⋅+=r r r r r r r r ，故1a b ⋅=-r r ，故A 错误；22()()30a b a b a b +⋅-=-=-≠r r r r r r ，故B 错误； cos 1a b a b θ⋅=⋅=-r r r r ，故1cos 2θ=-，故23πθ=，C 错误；222||27a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r ，故||a b -=r r D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查了向量数量积，向量夹角，向量模，意在考查学生的计算能力.5．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( ) A ．112种 B ．100种C ．90种D ．80种【答案】A 【解析】分析：根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数． 详解：∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，∴每个个体被抽到的概率是14， 根据分层抽样要求，应选出8×14=2名女生，4×14=1名男生，∴有C 82•C 41=1． 故答案为：A ．点睛：本题主要考查分层抽样和计数原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平.6．为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分的含量x 之间的相关关系，现取了8组观察值．计算得8152ii x==∑，81228i i y ==∑，821478ii x ==∑，811849i i i x y ==∑，则y 对x 的回归方程是( )A ．$y ＝11.47＋2.62xB ．$y ＝－11.47＋2.62xC ．$y ＝2.62＋11.47xD ．$y ＝11.47－2.62x【答案】A 【解析】分析：根据公式计算ˆb≈2.62，ˆa ≈11.47，即得结果. 详解：由1221,()ˆˆˆni ii nii x y nxyba y bx xn x ==-==--∑∑，直接计算得ˆb ≈2.62，ˆa ≈11.47，所以ˆy＝2.62x ＋11.47.选A.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .7．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（ ）A ．14π- B ．24π- C ．13π- D ．23π-【答案】C 【解析】 【分析】根据x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形建立不等式224x y +<，其几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分，用此部分去掉AOB V 即为符合条件的P 的运动区域，作出面积比即可 【详解】由题，2x ≤，2y ≤，故设2为最长边长，Q 以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形，224x y ∴+<即以原点为圆心，半径为2的圆，()12112131222AOBABCDS P S πππ-⨯⨯--∴===⨯+⨯V ，故选C 【点睛】本题考查钝角三角形的三边关系，几何意义转化的能力及几何概型8．一工厂生产某种产品的生产量x （单位：吨）与利润y （单位：万元）的部分数据如表所示：从所得的散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归方程为 1.23y x a =+$，则a =（ ） A ． 2.15- B ． 1.15-C ．0.08D ．2.15【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据计算出x 和y ，再将点(),x y 的坐标代入回归直线方程可求出实数a 的值. 【详解】 由题意可得2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.5755y ++++==，由于回归直线过样本中心点(),x y ，则有1.2345a ⨯+=，解得0.08a =，故选：C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点(),x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.9．计算52752C 3A +的值是（ ）A ．72B ．102C ．5070D ．5100【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值. 【详解】依题意，原式227576232354426010221C A ⨯=+=⨯+⨯⨯=+=⨯，故选B. 【点睛】本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题. 10．在某项测量中测量结果()2~3,(0)X N σσ>，若X 在(3,6)内取值的概率为0.3，则X 在(0,)+∞内取值的概率为（ ） A ．0.2 B ．0.4C ．0.8D ．0.9【答案】C 【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性求解ξ在(0,+∞)内取值概率即可. 【详解】由正态分布的性质可知正态分布的图象关于直线3x =对称， 则()()03360.3P P ξξ<<=<<=,()()1610.320.22P ξ>=⨯-⨯=, ()00.320.20.8P ξ>=⨯+=，即ξ在(0,+∞)内取值概率为0.8. 本题选择C 选项. 【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 11．已知点，抛物线的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若，则的值等于（ ）A ．B ．C ．2D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：设,是点到准线的距离，,,即,那么,即直线的斜率是-2，所以，解得，故选C ．考点：抛物线的简单性质【思路点睛】此题考察抛物线的性质，和数形结合思想的考察，属于偏难点的基础题型，对于抛物线的考察不太同于椭圆和双曲线，对应抛物线的基础题型，当图形中有点到焦点的距离，就一定联想到点到准线的距离，再跟据平面几何的关系分析，比如此题，，转化为，那分析图像等于知道的余弦值，也就知道了直线的斜率，跟据斜率的计算公式，就可以得到结果．12．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ） A ．3 B ．22C ．12D ．3 【答案】A 【解析】分析：利用椭圆定义2PEF ∆的周长为12PE 2a PF EF +-+，结合三点共线时，1PE PF -的最小值为1EF -，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：2PEF ∆的周长为2212PE PE 2PF EF a PF EF ++=+-+21212a PE 2a 2a 4b EF PF EF EF =++-≥+-==，∴213e 1142c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知x ，y 之间的一组数据如表表示，y 关于x 的回归方程是 3.2.8ˆ0yx =+，则a 等于______【答案】0.6 【解析】 【分析】根据表中数据，计算出x ，y ，代入到回归方程中，求出a 的值. 【详解】根据表中数据，得到()17012444x =⨯+++=，()1253.97 4.144a y a +=⨯+++=，代入到回归方程 3.2.8ˆ0yx =+中， 得2573.20.844a +=⨯+， 解得0.6a =. 故答案为：0.6. 【点睛】本题考查线性回归方程过样本中心点，属于简单题. 14．已知x y R +∈，，且41x y +=，则11x y+的最小值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接将代数式4x+y 与11x y +相乘，利用基本不等式可求出11x y+的最小值． 【详解】由基本不等式可得()11114=4559.x y x y x y x y y x⎛⎫+++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1 4=61413x y xy xyx y⎧⎧=⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩，等号成立，因此11x y+的最小值为1，故答案为：1．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的左视图如图所示，则该三棱锥的体积是________；【答案】33【解析】【分析】由左视图得出三棱锥中线面关系及棱的长度．【详解】由左视图知三棱锥的高为1h=，底面等腰三角形的底边长为232，这个等腰三角形的面积为221232(3)32S=⨯-=，11331333V Sh===．3【点睛】本题考查棱锥的体积，解题是由左视图得出棱锥的高为1，底面等腰三角形的底边长为23公式可求得棱锥的体积，本题还考查了空间想象能力．16．已知抛物线()220y px p=>的准线与圆()22316x y-+=相切，则p的值为__________．【答案】2【解析】抛物线的准线为2px =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是棱AB 、BC 和1DD 所在直线上的动点：（1）求1EB F ∠的取值范围：（2）若N 为面1EB F 内的一点，且45EBN ∠=︒，60FBN ∠=︒，求1B BN ∠的余弦值：（3）若E 、F 分别是所在正方形棱的中点，试问在棱1DD 上能否找到一点M ，使BM ⊥平面1EFB ?若能，试确定点M 的位置，若不能，请说明理由. 【答案】（1）0,2π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12；（3）点M 为1D D 的中点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设,BE x BF y ==，求出11,,E B B F EF ，利用余弦定理求解1cos F EB ∠，然后求出1EB F ∠的取值范围．（2）设N 在1,,BE BF BB ，三边上的投影分别是11,,E F 1G ，转化求出1B BN ∠，即可得到它的余弦值． （3）设EF 与BD 的交点为G ，连接1B G ，说明EF ⊥平面11BB D D ，过B 作1BK G B ⊥于K ，延长后交1D D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面1B EF ．通过1BG B BDM ∆∆:，求解即可． 【详解】解：（1）设,BE x BF y ==， 则22222211,,x B a y EF B E a F x y =+=+=+所以22211111cos 2B E B F EF EB B E B F F +-∠==⋅22222222122x a y a a a<=+⋅+⋅，1EB F ∠的取值范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）解：设N 在1,,BE BF BB ，三边上的投影分别是1E ，1F ，1G ，则由于45,60EBN FBN ︒︒∠=∠=，1121cos 45,cos 602BE BN B BN N F B ︒︒∴====． 2222111BE BF BG BN ++=Q ，112BG BN ∴=， 即160BN B ︒∠=，它的余弦值为12（3）解：设EF 与BD 的交点为G ．连接1B G ， 则由EF BF ⊥以及1EF B B ⊥，知EF ⊥平面11BB D D ，于是面1B EF ⊥面11BB D D ，在面11BB D D 内过B 作1BK G B ⊥于K ，延长后交1D D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面1B EF ，在平面11BB D D 内，由1BG B BDM ∆∆:，知1B B BD BG DM =，又12,,24a BG a B B B D a ===， ∴2aDM =． 这说明点M 为1D D 的中点． 【点睛】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12,2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 3sin cos 0m ρθρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值. 【答案】（1）()2212x y -+=，()33y x m =-（2）13m =±0m =或2m =. 【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=.直线l )33x m y x m -+⇒=-.（2）由题可知12PA PB t t =,所以联立3,12x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和()2212x y -+=得 22231122m t t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()231120m t m +-+--=，代入韦达定理即得答案 解析：（1）()2212,122x cos x y y sin αα⎧=+⎪⇒-+=⎨=⎪⎩， 故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=. 直线l 的直角坐标方程为()33y x m y x m -+⇒=-. （2）直线l 的参数方程可以写为3,212x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=可以得到222311222m t t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()231120m t m +-+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--= 2211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，解得13m =±或0m =或2m =.19．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（Ⅰ）0.02m =，0.025n =；（Ⅱ）不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频数计算出月工资收入在[)45,50（百元）内的频率，利用频率总和为1和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于,m n 的方程组，解方程组求得结果；（Ⅱ）根据题意得到列联表，从而计算出2 5.7610.828K =<，从而得到结论.【详解】（Ⅰ）Q 月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15∴月工资收入在[)45,50（百元）内的频率为：150.15100=； 由频率分布直方图得：()0.02240.0150.151m n +++⨯+= 化简得：20.07m n +=……①由中位数可得：()0.025********.5m n ⨯+⨯+⨯-= 化简得：540.2m n +=……② 由①②解得：0.02m =，0.025n = （Ⅱ）根据题意得到列联表：()2210019193131 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯∴==<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关【点睛】本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型.20．已知函数()325f x x ax bx ＝＋＋＋，曲线()y f x ＝在点()()11P f ，处的切线方程为31y x ＝＋. （1）求a b ，的值；（2）求()y f x ＝在[]3,1－上的最大值． 【答案】（1）2a ＝，4b ＝－；（2）1 【解析】 【分析】(1)依题意，由()f 14＝，得到a b 2＋＝－，再由()f'13＝，得到2a b 0＋＝，联立方程组，即可求解； (2)由(1)，求得()()()f'x 3x 2x 2＝－＋，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案． 【详解】(1)依题意可知点()()P 1f 1，为切点，代入切线方程y 31x ＝＋可得，()f 13114⨯＝＋＝， 所以()f 1154a b ＝＋＋＋＝，即b 2a ＋＝－， 又由()32f x 5x ax bx ＝＋＋＋，则()2f'x 32x b x a ＝＋＋， 而由切线y 31x ＝＋的斜率可知()f'13＝，∴32b 3a ++＝，即2b 0a +＝，由220a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩，∴a 2＝，b 4＝－．(2)由(1)知()32f x x 2x 4x 5＝－++，则()()()2f x 3x 4x 43x 2x 2+'+＝－＝－， 令()f'x 0＝，得2x 3=或x 2＝－， 当x 变化时，()f x ，()f'x 的变化情况如下表：∴()f x 的极大值为()f 213－＝，极小值为295f 327⎛⎫=⎪⎝⎭， 又()f 38－＝，()f 14＝，所以函数()f x 在[]3,1－上的最大值为1． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 21．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数的两个零点分别为，且，求证：函数的图像在处的切线的斜率恒小于.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间，（2）先求导数得函数的图像在处的切线的斜率，再根据零点将斜率转化为积的形式，利用导数研究因子单调性，进而根据最值确定符号即得结果. 【详解】 （1）所以当时，，所以增区间，减区间当时，，所以增区间，减区间；当时，，所以增区间，无减区间 当时，，所以增区间，减区间（2）因为，所以，因此函数的图像在处的切线的斜率为因为函数的两个零点分别为， 所以即，所以令，则所以，从而.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属难题. 22．已知抛物线2:4C y x =，过定点(,0)(0)M a a >作不垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于A ，B 两点. （1）设O 为坐标原点，求证：OA OB ⋅u u u v u u u v为定值；（2）设线段AB 的垂直分线与x 轴交于点(,0)N n ，求n 的取值范围；（3）设点A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1）见解析；（2）(2),a -+∞；（3）定点为(,0)a -。
2019-2020学年四川省宜宾市数学高二下期末综合测试试题含解析
2019-2020学年四川省宜宾市数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是 A ．24 B ．32 C ．36 D ．48【答案】A 【解析】 【分析】特殊元素优先排，相邻元素捆绑排，然后再分析剩余元素的排列. 【详解】先排5,6，方法有：222A =种；将1,2捆绑在一起，方法有：222A =种；将1,2这个整体和3以及4全排列，方法有：336A =种，所以六位数的个数为：22322324A A A =个，故选：A. 【点睛】本题考查排列组合的简单应用，难度一般.在排列组合的过程中，一般我们要注意：特殊元素优先排，相邻元素捆绑排这样一个原则.2．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹. 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把 各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示， 十位、千位、十万位用横式表示， 以此类推．例如 8455 用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据题意直接判断即可. 【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有D 符合，故选D. 【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型.3．函数()ln 1ln 1f x x x =--+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：利用函数的解析式，判断x 大于1时函数值的符号，以及x 小于1-时函数值的符号，对比选项排除即可.详解：当1x >时，函数()()()1ln 1ln 1ln 01x f x x x x -=--+=<+， 排除选项,A D ；当1x <-时，函数()()()1ln 1ln 1ln 01x f x x x x -=----=>+， 排除选项C ，故选B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 4．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因为双曲线的离心率为，所以，双曲线的左顶点坐标为（-a,o ）,其中一条渐近线方程为，由题意可得的 ，解得a=8,则b=4,所以双曲线的标准方程为．考点：双曲线的性质．5．曲线y=e x 在A 处的切线与直线x ﹣y +1=0平行，则点A 的坐标为（ ） A ．（﹣1，e ﹣1） B ．（0，1）C ．（1，e ）D ．（0，2）【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合导函数研究函数的性质即可确定点A 的坐标. 【详解】设点A 的坐标为()00,x A x e，'xy e=，则函数在0x x =处切线的斜率为：00'|xx x k y e ===，切线与直线x ﹣y+1=0平行，则01x e =，解得：00x =， 切点坐标为()00,x A e ，即()0,1A .本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线，直线平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6． “所有9的倍数都是3的倍数.某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理 A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．错误，因为大小前提不一致D ．错误，因为大前提错误【答案】A 【解析】 【分析】根据三段论定义即可得到答案. 【详解】根据题意，符合逻辑推理三段论，于是完全正确，故选A. 【点睛】本题主要考查逻辑推理，难度不大.7．等差数列{n a }中，385a a +=，则前10项和10S =( )A．5 B．25 C．50 D．100 【答案】B【解析】试题分析：因为38 381010()5,55252a aa a S++=∴==⨯=.考点：等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质．点评：等差数列的性质之一：若,,,,m n p q m n p q N*+=+∈,则m n p qa a a a+=+．8．由曲线1xy=与直线y x=，3y=所围成的封闭图形面积为（）A．2ln3-B．ln3C．2D．4ln3-【答案】D【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，图中从左至右三个交点分别为1(,3),(1,1),(3,3)3，所以题中所求面积为1312311131311(3)(3)(3ln)|(3)|4ln32S dx x dx x x x xx=-+-=-+-=-⎰⎰，故选D9．在三棱锥P ABC-中，平面PAB⊥平面ABC，CA⊥平面PAB，23PA PB AB===，4AC=，则三棱锥P ABC-的外接球的表面积为（）A．24πB．32πC．48πD．64π【答案】B【解析】【分析】如图，由题意知，AC AB⊥，BC的中点E是球心O在平面ABC内的射影，设点O E，间距离为h，球心O在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，则有()22743h h +=+-，可得球的半径，即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 中的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，2AB =，4AC =，PA PB AB ===又平面PAB ⊥平面ABC ，PF AB ⊥，则PF ⊥平面ABC ，BC ∴=P 到平面ABC 的距离为3，∴()22743h h +=+-，解得：1h =，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径R ==，故可得外接球的表面积为2432R ππ=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了棱锥的外接球的表面积的求解，考查了学生直观想象和运算求解能力，确定三棱锥P ABC -的外接球的半径是关键.10．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()22()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)- B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项. 【详解】若0a =，()()()20212,00,120f f f -===>符合题意，由此排除C,D 两个选项.若1a =，则()()2211f f -=不符合题意，排除B 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.11．已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．512π C ．6π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+， 因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.12．已知函数()f x 与'()f x 的图象如图所示，则函数()x f x y e=（ ）A ．在区间(1,2)-上是减函数B ．在区间31(,)22-上是减函数 C ．在区间1(,3)2上减函数 D ．在区间(1,1)-上是减函数【答案】B 【解析】分析：求出函数y 的导数，结合图象求出函数的递增区间即可． 详解：()()xf x f x y e'='-，由图象得：3122x -＜＜时，0f x f x '-（）（）＞ ， 故()xf x y e =在31,22⎛⎫-⎪⎝⎭递增， 故选：B ．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道中档题． 二、填空题：本题共4小题13．在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60 【解析】 【分析】首先写出二项展开式的通项公式，并求指定项的r 值，代入求常数项. 【详解】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 当1230r -=时，4r =24416260T C +=⋅=.故答案为：60 【点睛】本题考查二项展开式的指定项，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型.14．要用三根数据线将四台电脑A ，B ，C ，D 连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案种数为______． 【答案】16 【解析】 【分析】由题目可以联想到正方形的四个顶点，放上四台电脑，正方形的四条边和它的两条对角线，六条线中选3条，满足题意的种数为：全部方法减去不合题意的方法来解答. 【详解】解：画一个正方形和它的两条对角线，在这6条线段中，选3条的选法有3620C =种.当中，4个直角三角形不是连接方案，故不同的连接方案共有36420416C -=-=种.故答案为：16. 【点睛】连线、搭桥、几何体棱上爬行路程、正方体顶点构成四面体等，是同一性质问题，一般要用排除法. 15．()()5212x x +- 展开式中，2x 项的系数为______________ 【答案】70 【解析】5122552122124x x x C x C x +-=+-⋅+⋅-⋯（）（）（）（），∴二项式()()5212x x +-展开式中，含2x 项为2221024070x x x ，-+⨯= ∴它的系数为1． 故答案为1． 16．函数的图象在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式方程写出切线方程。
2019-2020学年高二(下)期末数学试卷(理科)带答案
2019-2020学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3．（5分）数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件4．（5分）图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4，其大小关系为（）A．a1＜a2＜a3＜a4，B．a2＜a1＜a3＜a4，C．a1＜a2＜a4＜a3，D．a2＜a1＜a4＜a35．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 7．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°8．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F 与面GEF成角的正弦值（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1] 10．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1611．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∀x∈R，都有x3+1＞0”．②双曲线﹣=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为．③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列．④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个12．（5分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．16．（5分）已知a＞b，且ab=1，则的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m 与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围，并求x2﹣x1的最小值；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1•k2是定值吗？证明你的结论．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．3．（5分）数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列和等差数列的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}是等差数列，设公差为d，则当n≥2时，=为非零常数，则数列{b n}是等比数列，若数列{b n}是等比数列，设公比为q，则当n≥2时，===q，则a n﹣a n﹣1=2q为常数，则数列{a n}是等差数列，则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列和等差数列的定义是解决本题的关键．4．（5分）图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4，其大小关系为（）A．a1＜a2＜a3＜a4，B．a2＜a1＜a3＜a4，C．a1＜a2＜a4＜a3，D．a2＜a1＜a4＜a3【分析】先根据椭圆越扁离心率越大判断a1、a2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a3、a4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．【解答】解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a1＜a2＜1根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a3＜a4∴可得到a1＜a2＜a3＜a4故选A．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率大小的判断．考查对基础知识的理解和记忆．5．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．6．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．7．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式整理后代入求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，变形得：（b+c）2﹣a2=3bc，整理得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，则A=60°．故选B【点评】此题考查了余弦定理，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8．（5分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，E ，F ，G 为 AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与面GEF 成角的正弦值（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用等体积，计算B 1到平面EFG 距离，再利用正弦函数，可求B 1F 与面GEF 成角的正弦值．【解答】解：取A 1B 1中点M ，连接EM ，则EM ∥AA 1，EM ⊥平面ABC ，连接GM ∵G 为A 1C 1的中点，棱长为∴GM=B 1C 1=1，A 1G ═A 1F=1，FG=，FE=，GE=在平面EFG 上作FN ⊥GE ，则∵△GFE 是等腰三角形，∴FN=，∴S △GEF =GE ×FN=， S △EFB1=S 正方形ABB1A1﹣S △A1B1F ﹣S △BB1E ﹣S △AFE =，作GH ⊥A 1B 1，GH=，∴V 三棱锥G ﹣FEB1=S △EFB1×GH=，设B 1到平面EFG 距离为h ，则V 三棱锥B1﹣EFG =S △GEF =， ∵V 三棱锥G ﹣FEB1=V 三棱锥B1﹣EFG ， ∴，∴h= 设B 1F 与平面GEF 成角为θ，∵B 1F=∴sinθ==∴B1F与面GEF所成的角的正弦值为．故选A．【点评】本题考查线面角，考查三棱锥的体积计算，考查转化思想，解题的关键是利用等体积计算点到面的距离．9．（5分）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1]【分析】利用S△ABF =2S△AOF，先求出e2=，再根据α∈[，]，即可求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴r22+r12═4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF =2S△AOF，∴r1r2═2•c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．10．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∀x∈R，都有x3+1＞0”．②双曲线﹣=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为．③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列．④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】①利用命题的否定，即可判断其真假；②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误，③将cosB=﹣cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin2B，再利用正弦定理可判断③的正误；④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误．【解答】解：①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∃x0∈R，使得+1≥0”，故①错误；②，依题意，F（c，0），A（﹣a，0），∵点B（0，b），∴=（a，b），=（c，﹣b），∵•=0，∴ac﹣b2=0，而b2=c2﹣a2，∴c2﹣ac﹣a2=0，两端同除以a2得：e2﹣e﹣1=0，解得e=或e=（舍去），故②正确；③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，∴cosB=﹣cos（A+C），∴原式化为：cos2B﹣cos（A+C）+cos（A﹣C）=1，∴cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1﹣cos2B，∵cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC，1﹣cos2B=2sin2B，∴sinAsinC=sin2B，由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比数列错误；④，∵，是夹角为120°的单位向量，∴（λ+）⊥（﹣2）⇔（λ+）•（﹣2）=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）•=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）×1×1×（﹣）=0⇔2λ﹣2﹣=0，∴λ=．故④正确；综上所述，正确命题的个数是2个．故选B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定，向量的坐标运算，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查双曲线的性质，综合性强，属于难题．12．（5分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b＞0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵=+=++≥+2=，（当且仅当=，即a=，b=时取到等号）∴≤﹣（当且仅当=，即a=，b=时取到上确界）故选：D．【点评】这是一个常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．14．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=3．【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得，解出即可．【解答】解：∵向量，共面，∴存在唯一一对实数m，n使得，∴，解得．故答案为：3．【点评】本题考查了向量共面定理，属于基础题．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n=（2n﹣1）•a n，我们可得，，则=，代入﹣1若=，即可得到答案．=（2n﹣1）•a n，【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1∴，，则=，又∵=，∴=即=故答案为：【点评】在等差数列中，S2n=（2n﹣1）•a n，即中间项的值，等于所有项值的﹣1平均数，这是等差数列常用性质之一，希望大家牢固掌握．16．（5分）已知a＞b，且ab=1，则的最小值是2．【分析】将条件进行整理，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．【解答】解：∵ab=1，a＞b，∴==a﹣b+，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时取等号，故的最小值是2，故答案为：2【点评】本题主要考查基本不等式的应用，将条件转化为基本不等式的形式是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣1或m≥3…（2分）若q为真：则…（3分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…（8分）由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…（9分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…（12分）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py，由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得M，N的横坐标，运用弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为x2=2py，由焦点为F（0，1），可得=1，即p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，，由y=x﹣2和y=x联立，得，同理，所以=，令4k﹣3=t，t≠0，则，则，则所求范围为．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的能力，属于中档题．21．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，【分析】故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差﹣1的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m 与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围，并求x2﹣x1的最小值；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1•k2是定值吗？证明你的结论．【分析】（1）由l与圆相切，知m2=1+k2，由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，所以由此能求出k的取值范围和x2﹣x1的最小值．（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），，=．由此能证明k1•k2是定值．【解答】解：（1）∵l与圆相切，∴∴m2=1+k2（2分）由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，∴，∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k 的取值范围为（﹣1，1）．（5分）由于，∵0≤k2＜1∴当k2=0时，x2﹣x1取最小值．（7分）（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），∴，∴=（10分）====，由m2﹣k2=1，∴为定值．（14分）【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。
四川省宜宾市2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题理
四川省宜宾市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理一、选择题1．已知复数z 满足()12i z i +=，i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -2．命题“0x R ∃∈，0202xx <”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，22x x < B ．0x R ∃∈，0202x x >C ．x R ∀∈，22xx ≥D ．0x R ∃∈，0202xx ≥3．已知复数z 满足z =1z -为纯虚数，则z =（ ） A ．12i +B ．2i -C ．2i ±D ．12i ±4．已知命题p ：若x y >，则sin sin x y >；命题q ：222x y xy +≥，则下列命题为假命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．qD ．p ⌝5．计算20cos xdx π⎰的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．π6．下列命题为真命题的是（ ）A ．任意,x y R ∈，若x y >，则22x y > B ．任意,x y R ∈，若x y >，则33x y >C ．若0x >，则12xx+>D ．函数()2f x =的最小值为27．已知p ：0a b c ++=，q ：1x =是方程20ax bx c ++=的一个根，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁4名同学参加了学校组织的科技知识竞赛，学校只推荐一名到市里参加决赛，结果揭晓前，他们4人对结果预测如下：甲说：“是丙或丁”；乙说：“是我”；丙说：“不是甲和丁”；丁说：“是丙”.若这4名同学中恰有2人说的话是对的，则推荐的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．已知()f x 是偶函数，当0x >时，()2ln f x x x =+，则()f x 在1x =-处的切线方程是（ ） A ．320x y ++=B ．320x y +-=C ．320x y -+=D ．320x y --=10．已知函数()()241x f x x x e a =-+-恰有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()32,0e -B ．6,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．36,2e e ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．60,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()3213f x x bx =+在()()1,1A f 点处的切线与直线210x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬'⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20192020B ．20192021C ．20202021D ．2021202212．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x R ∈，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-二、填空题13．已知复数334z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第______象限. 14．已知函数()3cos xf x x x e x =-+，则()0f '=______.15．已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =，前n 项和为n S ，当2n ≥且*n N ∈时，观察下列不等式232S <，353S <，474S <，595S <，…，按此规律，则n S <______. 16．已知函数()2ln 3a f x x x =+-，()322332g x x x x =-+-，对任意的1,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在1,23n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()g m f n ≤成立，则实数a 的取值范围是______ 三、解答题17．已知0c >，p ：函数xy c =在R 上单调递减，q ：不等式20x c -≥在[]2,3x ∈上恒成立.（Ⅰ）若q 为真，求c 的取值范围；（Ⅱ）若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求c 的取值范围. 18．已知函数()32244f x x x x =+-+.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在[]3,1-上的最大值和最小值.19．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos cos cos a B b C c B =+. （Ⅰ）求证：3B π=；（Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC △为正三角形.20．已知函数()()()1ln af x x a x a R x=--+∈. （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的极值； （Ⅱ）若1a <，求()f x 的单调区间. 21．已知函数()1xf x e ex =--.（Ⅰ）求()f x 的零点个数；（Ⅱ）若对任意1x ≥，()ln 1f x a x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：24x y =-的准线为1l ，曲线2C ：22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）写出1l 与2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0l θαρ=>与1l 交于A 点，与2C 交于B 点，求OB OA的最大值.23．已知函数()2f x x a x =++-. （Ⅰ）若2a =，解不等式()6f x <；（Ⅱ）若对任意满足2m n +=的正实数m ，n ，存在实数0x ，使得()0m nf x mn+≥成立，求实数a 的取值范围.2020年春期高中教育阶段教学质量监测高二年级理科数学参考答案一、选择题 ACDBCBCBADCD二、填空题 13．一 14．015．21n n- 16．12ln 2a ≥- 三、解答题17．解：（Ⅰ）若q 为真，则2c x ≤在[]2,3x ∈上恒成立，∴2min 4c x ≤=，c 的取值范围是{}04c c <≤；（Ⅱ）∵“p q ∨”为真，“p q ∧”为假， ∴p ，q 一真一假；当p 真q 假时，∴014c c <<⎧⎨>⎩无解；当p 假q 真时，∴104c c ≥⎧⎨<≤⎩，∴14c ≤≤，综上，c 的取值范围是{}14c c ≤≤.18．解：（Ⅰ）()32244f x x x x =+-+，()()()2344322f x x x x x '=+-=-+令()0f x '>，则2x <-或23x >；令()0f x '<，则223x -<<， 所以增区间为(),2-∞-，2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭；减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.（Ⅱ）令()0f x '=，得2x =-或2x =；又∵()37f -=，()212f -=，268327f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()13f =， ∴函数的最大值为12，最小值为6827. 19．解：（Ⅰ）∵2cos cos cos a B b C c B =+， ∴4sin cos 2sin cos 2sin cos R A B R B C R C B =+， ∴()()2sin cos sin sin sin A B B C A A π=+=-=， ∵0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2B =，0B π<<，∴3B π=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===， ∴()20a c -=，a c =，且3B π=.∴ABC △为正三角形.20．解：（Ⅰ）∵当2a =时，()23ln f x x x x=--，∴()()22320x x f x x x -+'=>， 由()0f x '=得1x =或2x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况列表如下：∴当1x =时()f x 取极大值－1，当2x =时()f x 取极小值13ln 2-.（Ⅱ）()()()()22211x a a x x a x f x x x +-+--'==，①当0a ≤时，0x a ->，()0,1x ∈，()0f x '<，()f x 递减；()1,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 递增；②当01a <<时，(),1x a ∈，()0f x '<，()f x 递减；()0,x a ∈或()1,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 递减区间为()0,1，()f x 递增区间为()1,+∞； 当01a <<时，()f x 递减区间为(),1a ，()f x 递增区间为()0,a 和()1,+∞. 21．解：（Ⅰ）()xf x e e '=-，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(),1-∞上递减，在()1,+∞上递增， 所以()()min 110f x f ==-<，又()1110f e e --=+->，()22210f e e =-->，所以()f x 的零点有两个；（Ⅱ）()ln 1f x a x ≥-即()ln 0xh x e ex a x =--≥，()1x ≥()()1x ah x e e x x '=--≥，0x e e -≥， ①当0a ≤时，0ax-≥，所以()0h x '≥，()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()10h x h ≥=，满足条件；②当0a >时，()10h a '=-<，又()222102aa h a e e e e a +'+=-->-->+所以()01,2x a ∃∈+，使得()00h x '=，且()01,x x ∈时，()0h x '<，()h x 递减， 所以()01,x x ∈时()()10h x h <=，不满足条件； 综上所述，当0a ≤时，()ln 1f x a x ≥-对1x ≥恒成立.22．解：（Ⅰ）1C ：24x y =-的准线为1l ：1y =，极坐标方程为sin 1ρθ=.∵曲线2C ：22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程()2224x y -+=，得曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则11sin ρα=，24cos ρα=，214sin cos 2sin 2OB OA ραααρ===， 当4πα=时，OB OA的最大值为2.23．解：（Ⅰ）2a =，则()22f x x x =++-，当2x ≤-时，由()26f x x =-<，得3x >-，则32x -<≤-； 当22x -<≤时，()46f x =<恒成立，则22x -<≤； 当2x >时，由()26f x x =<，得3x <，则23x <<. 综上，不等式()6f x <的解集为{}33x x -<<. （Ⅱ）由题意2m n +=得()1111112222m n n m m n mn m n m n m n +⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当m n =时取等号） 由绝对值不等式得()22f x x a x a =++-≥+，当且仅当()()20x a x +-≤时取等号，所以()f x 的最小值为2a +. 由题意得22a +≤，解得{}40a a -≤≤.。
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()929012913x a a x a x a x -=++++，则0129a a a a ++++的值为（ ） A ．29B ．49C ．39D ．59 【答案】B【解析】【分析】根据二项式特点知，0a ，2a ，4a ，6a ，8a 为正，1a ，3a ，5a ，7a ，9a 为负，令1x =-，得()901238901913a a a a a a a a a +=-+-++-=+++.【详解】因为0a ，2a ，4a ，6a ，8a 为正，1a ，3a ，5a ，7a ，9a 为负，令1x =-，得()99012389134a a a a a a +=-+-++-=，90190123894a a a a a a a a a +++=-+-++-=故选：B.【点睛】 本题主要考查了二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．已知定义在[]1,25a a --上的偶函数()f x 在[]0,25a -上单调递增，则函数()f x 的解析式 不可能是( )A ．2()f x x a =+B ．()log (||2)a f x x =+C ．()a f x xD ．()x f x a =- 【答案】D【解析】【分析】根据奇偶函数定义域关于原点对称求得a 的值.在根据单调性判断出正确选项.【详解】由于函数()f x 为偶函数，故其定义域关于原点对称，即1250,4a a a -+-==，故函数的定义域为[]3,3-，且函数在[]0,3上递增，故在[]3,0-上递减.对于A 选项，()24f x x =+，符合题意.对于B 选项，()()4log 2f x x =+符合题意.对于C 选项，()4f x x =符合题意.对于D 选项，()4x f x =-，在[]0,3上递减，不符合题意，故本小题选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查含有绝对值函数的理解，属于基础题. 3．数学归纳法证明，过程中由到时，左边增加的代数式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】 求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果．【详解】 当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：，故选D ．【点睛】 本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化，属于中档题.4．设复数1i z =--，z 是z 的共轭复数，则(2)z z ⋅+的虚部为A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2 【答案】C【解析】【分析】由1i z =--，得1z i =-+，代入(2)z z ⋅+，利用复数的代数形式的乘除运算，即可求解.【详解】由题意，复数1i z =--，得1z i =-+， 则(2)(1)(12)2z z i i i ⋅+=---++=-，所以复数(2)z z ⋅+的虚部为2-，故选C.【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，以及复数的代数形式的运算，其中解答中熟记复数的基本概念，以及复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A 表示“第1次取到的是奇数”，事件B 表示“第2次取到的是奇数”，则(|)P B A =（）A ．15B ．310C ．25D ．12【答案】D【解析】试题分析：由题意，2211353531035P AB C C P A C C ====（），（），∴()()332|1105P AB P B A P A ===（），故选D ． 考点：条件概率与独立事件．6．已知3cos tan 4θθ⋅=，则sin 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A．8 B．4± C ．12- D ．18- 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求值得解．【详解】∵cosθ•tanθ＝sinθ34=， ∴sin （22πθ-）＝cos2θ＝1﹣2sin 2θ＝1﹣2231()48⨯=-． 故选D ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．若实数,x y 满足约束条件0102210x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-+≤⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>最大值为1，则ab 的最大值为（ ）A ．18B ．14C ．24D ．22【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到21a b +=，再利用基本不等式的性质即可得到ab 的最大值.【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：目标函数z ax by =+转化为a z y x b b =-+， 由图易得，直线a z y x b b=-+在(1,2)A 时，y 轴截距最大. 所以21a b +=. 因为2(2)1244a b a b +≤=，即18ab ≤， 当且仅当2a b =，即12a =，14b =时，取“=”. 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.8．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β；②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β；③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．命题②不正确，缺少a α⊄条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．9．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）A ．30B ．36C ．48D ．54 【答案】D【解析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.详解：先排乙，有3种，再排甲，有3种，最后排剩余三人，有33A 种因此共有333354A ⨯⨯=， 选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.10．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上的四点A ，B ，C ，D 满足AC AB AD =+，若直线AD 的斜率与直线AB 的斜率之积为2，则双曲线C 的离心率为( )A B C D ．【答案】A【解析】很明显，A ，B ，C ，D 四点组成平行四边形ABDC ，如图所示，设()()(),,,0,,0A x y B a C a -，则： 2222222212AB AD y y y x y k k x a x a x a a a⨯=⨯==⇒=+-+-， 点A 在双曲线上，则：2222222211x y x y a b a b-=⇒=+，据此可得：22222211,22y y b a a b+=+∴=， 结合222c a b =+可得双曲线的离心率为3==c e a. 本题选择A 选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或a 2化为e 的关系式，进而求解． 11．若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．a ≥3B ．a =3C ．a ≤3D ．0< a <3【答案】A【解析】【分析】 由题可得：()2320f x x ax '=-≤在()0,2恒成立.整理得：32x a ≤在()0,2恒成立.求得：36x <，即可得：26a ≥，问题得解．【详解】由题可得：()2320f x x ax '=-≤在()0,2恒成立. 即：32x a ≤在()0,2恒成立．又3326x <⨯=，所以26a ≥.所以3a ≥故选A本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转化能力，属于中档题． 12．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .若4AB =，3AC =，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（3π≈）（ ）A ．2325 B ．1625 C ．2541 D ．1641 【答案】D【解析】【分析】首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.【详解】解：因为直角三角形ABC 的斜边为BC ，4AB =，3AC =，所以222224325BC AC AB =+=+=，以BC 为直径的圆面积为22524BC ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AB 为直径的圆面积为21624AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AC 为直径的圆面积为2924AC ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以图形总面积223141125346424228S πππ=⨯+⨯+⨯⨯=+，215622S S π⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭阴影，所以616254168S P S π===+阴影. 故选：D【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.二、填空题：本题共4小题13．对于a ，b N ∈，规定,*,a b a b a b +⎧=⎨⨯⎩ a b a b 与的奇偶性相同与的奇偶性不同，集合(){,|*36,,}M a b a b a b N +==∈，则M 中的元素的个数为__________．【解析】分析：由⊕的定义，a *b=1分两类进行考虑：a 和b 一奇一偶，则ab=1；a 和b 同奇偶，则a+b =1．由a 、b ∈N *列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a ，b ）的个数即可详解：a *b=1，a 、b ∈N *，若a 和b 一奇一偶，则ab=1，满足此条件的有1×1=3×12=4×9，故点（a ，b ）有6个；若a 和b 同奇偶，则a+b =1，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a ，b ）有35个，所以满足条件的个数为2个．故答案为2．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键． 14．已知点(1,4,1)A ，(2,0,1)B -，则AB =__________．【答案】5【解析】分析：运用向量坐标的求法以及向量的模长公式即可.详解：点()1,4,1A ，()2,0,1B -，∴ ()3,4,0AB =--， (5AB ∴=-=. 故答案为5.点睛：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．15．已知方程20x x p ++=()p R ∈有两个根α、β，且αβ-=p 的值为______.【答案】12-或1 【解析】【分析】对方程的两根分成实根和虚根两种情况讨论，再利用韦达定理和求根公式分别求解．【详解】当△0≥时， 22()()4αβαβαβ-=+-143p =-=，12p ∴=-； 当△0<时，||||αβ-==1p ∴=， 故答案为：12-或1． 【点睛】此题考查实系数二次方程根的求解，考查分类讨论思想的运用，求解的关键在于对判别式分大于0和小于0两种情况． 16．当双曲线M ：222x y 1m m 4-=+的离心率取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为______． 【答案】y 2x =±【解析】【分析】求出双曲线离心率的表达式，求解最小值，求出m ，即可求得双曲线渐近线方程．【详解】解：双曲线M ：222x y 1m m 4-=+，显然m 0>，双曲线的离心率e ==≥= 当且仅当m 2=时取等号，此时双曲线M ：22x y 128-=，则渐近线方程为：y 2x =±． 故答案为：y 2x =±．【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，则'(2)f 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．函数sin y x x =在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-4．已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（ ）A ．718B ．2518C ．718-D ．2518-5．函数()1sin 2=-f x x x 在[0,]2π上的最小值和最大值分别是A ．36π B ．1,04π- C ．3164ππ-- D ．1122,-6．已知直线:0l x y m --=经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，若6AB =，则p 的值为（ ） A ．12B ．32C ．1D ．27．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．32000 cmD ．34000 cm 8．复数52iz i-=的虚部为（ ） A ．2-B ．5C ．5-D ．5i -9．设命题甲：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，命题乙：对数函数42log a y x -=（）在(0,)+∞上递减，那么甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是13、14、15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（ ） A ．5960B ．35C ．12D ．16011．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知复数z 满足1iz i =-，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =__________．14．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上为单调增函数，则k 的取值范围是__________． 15．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_____16． “直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“l α⊥”的______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．将函数(1)2log ,(0,1)aa x y a a x++=>≠ 的图象向右平移1个单位得到()f x 的图象. (1)若2,(3,)a x =∈+∞ ，求函数()f x 的值域；(2)若()f x 在区间(3,1)-- 上单调递减，求实数a 的取值范围. 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 3cos cos 3c CA a=. （1）求角A 的值； （2）若6B π=，且ABC ∆的面积为3BC 边上的中线AM 的大小.19．（6分）已知复数()112z m mi =++，()21z i =+，其中m R ∈，i 为虚数单位. （1）若复数12z z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）在复平面内，若复数122z z =对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.20．（6分）某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀4812（Ⅰ）根据以上22⨯列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？（Ⅱ）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X 的分布列及数学期望.参考公式：()()()()()22=n ad bc a b c d a c b d κ-++++，其中=n a b c d +++参考数据：21．（6分）在极坐标系中，已知圆C 经过点4p π⎫⎪⎭，且圆心为()10，，求圆C 的极坐标方程. 22．（8分）已知定义在[]1,1-上的函数()f x 的图象关于原点对称，且函数()f x 在[]1,1-上为减函数． （1）证明：当120x x +≠时，()()12120f x f x x x +<+；（2）若()()2110f m f m -+->，求实数m 的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C. 【点睛】本题考查对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值. 2．C 【解析】()()()()sin sin f x x x x x f x -=-⋅-==，为偶函数，则B 、D 错误；又当[]0,x π∈时，()'sin cos f x x x x =+， 当()'sin cos 0f x x x x =+=时，得tan x x =-，则则极值点0,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故选C ． 点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除B 、D 选项，在A 、C 选项中，由图可知，虽然两个图象在第一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同，则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象． 3．C 【解析】 【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案. 【详解】2251213+=，设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误． 4．A 【解析】221cos()cos()(cos sin )(cos sin )(cos sin )44222ππαααααααα+-=-⋅+=- 21117(12sin )(12)22918α=-=-⨯=，选A. 5．A 【解析】 【分析】求出f （x ）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可． 【详解】 函数()12f x x sinx =-，()f x '12=-cosx ， 令()f x '＞0，解得：2π≥x 3＞π，令()f x '＜0，解得：0≤x 3π＜，∴f （x ）在[0，3π）递减，在（3π，2π]递增， ∴f （x ）min ＝f （3π）62π=-，而f （0）＝0，f （2π）4π=-1， 故f （x ）在区间[0，2π]上的最小值和最大值分别是：62π-0． 故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题． 6．B 【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为(,0)2p，则由题意，得2p m =①．又由20{2x y m y px --==，得222()0x p m x m -++=，所以6AB ==②，由①②得32p =，故选B ． 考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式． 7．B 【解析】试题分析：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形,且边长为20，那么利用体积公式可知318000202020cm 33V =⨯⨯⨯=,故选B. 考点：本题主要考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．点评：解决该试题的关键是由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积． 8．C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，根据虚部定义得到结果. 【详解】()2525225i ii z i i i--===--Q z ∴的虚部为：5- 本题正确选项：C 【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：若x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，则2(2)440a -⨯<，解得22a -<<；42log a y x -=（）在(0,)+∞上递减，则0421a <-<，解得322a <<，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B.考点：1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质. 10．B 【解析】【分析】计算出事件“至少有1人去厦门旅游”的对立事件“三人都不去厦门旅游”的概率，然后利用对立事件的概率可计算出事件“至少有1人去厦门旅游”的概率. 【详解】记事件:A 至少有1人去厦门旅游，其对立事件为:A 三人都不去厦门旅游， 由独立事件的概率公式可得()11121113455P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由对立事件的概率公式可得()()231155P A P A =-=-=，故选B. 【点睛】本题考查独立事件的概率公式的应用，同时也考查了对立事件概率的应用，在求解事件的概率问题时，若事件中涉及“至少”时，采用对立事件去求解，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题. 11．C 【解析】 【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项. 【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题. 12．B 【解析】分析：先求出z ，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可. 详解：由题可知：11,1iz i z i i-==--=-+，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B. 点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．63 【解析】2160063.1800n n =∴= 14． [1，＋∞) 【解析】函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上为单调增函数等价于导函数在此区间恒大于等于0，故11k k x≥⇒≥ 15．-1 【解析】 【分析】计算a 的值，找出周期，根据余数得到答案. 【详解】 依次计算得：2,1a i ==1,22a i ==1,3a i =-= 2,4a i == ….周期为32019除以3余数为0，1a =- 故答案为-1 【点睛】本题考查了程序框图的相关知识，计算数据找到周期规律是解题的关键. 16．必要不充分. 【解析】 【分析】根据平面α内与斜线l 在平面α内的射影垂直的直线必定与l 垂直，可知充分性不成立；根据线面垂直的定义，可得必要性成立．由此得到正确答案 【详解】解：（1）充分性：当直线l 与平面α斜交，且l 在平面α内的射影为l '，若α内的直线m 与l '垂直时m 与l 垂直，并且满足条件的直线m 有无数条．这样平面α内有无数条直线l 垂直，但l 与α不垂直，因此充分性不成立；（2）必要性：当“l α⊥”成立时，α内的任意一条直线都与l 垂直，因此“直线l 与平面α内无数条直线垂直”成立，所以必要性成立. 故答案为:必要不充分. 【点睛】本题考查了判断两命题间的充分、必要条件，考查了直线与平面的位置关系.对于两个命题p ，q ，判断他们的关系时，常常分为两步，以p 为条件，判断q 是否成立；以q 为条件，判断p 是否成立. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）()1,2 （2）2a ≥ 【解析】 试题分析：(1)整理函数的解析式，令11x t x +=-，换元后讨论可得函数()f x 的值域是()1,2； (2)结合函数的单调性得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得实数a 的取值范围是2a ≥ . 试题解析： (1) 令，，则，∴∴，即的值域为. (2)∵,∴在和上为减函数又在上是减函数,∴在上恒正, 且在上是增函数,即1202a aa ⎧⎪⎨++≥⎪-⎩＞,∴18． (1)6A π=；(2)27AM =【解析】 试题分析：（133sinc cosCcosA sinA=，整理计算可得230sinBcosA sinB =，则32cosA =，6A π=.（2）由题意可得6A π=，6B π=，12ABC S absinC ∆=2124323a sin π==4a =.在AMC ∆中应用余弦定理有2222120AM AC MC AC MCcos ︒=+-⋅，据此计算可得27AM =试题解析：（1cosCcosA =，cosCcosA =，所以2sinBcosA =，所以()20sinBcosA A C +=，20sinBcosA -=. 又因为0sinB ≠，所以cosA =0A π<<，且2A π≠，所以6A π=.（2）据（1）求解知6A π=.若6B π=，则12ABC S absinC ∆=21223a sin π==所以4a =，4a =-（舍）又在AMC ∆中，2222120AM AC MC AC MCcos ︒=+-⋅，所以22211212022AM AC AC AC AC cos ︒⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭22142242282⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭.所以AM =19．（1）1m =.（2）()3,0- 【解析】 【分析】()1利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解； ()2求出2z ，再由复数代数形式的加法运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【详解】（1）由()112z m mi =++，21z i =+得()()12131z z m m i =-+++，又12z z 为纯虚数，所以10m -+=，且310m +≠， 所以1m =.（2）()1232z z m mi ==++，又复数12z z =对应的点在第四象限， 所以30m +>，且20m <，所以m 的取值范围是()3,0-. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于中档题．20． (1)见解析;(2)见解析. 【解析】分析：（1）由列联表和卡方的计算公式，得2K 的字，即可作出判断；（2）根据题意，X 可取的值为0,1,2，求解随机变量取每个值的概率，列出分布列，利用期望的公式即可求解数学期望．详解：（1）由列联表可得()()()()()()2223042816107.87912182010n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响． （2）根据题意，X 可取的值为0，1，2．()242121011C P X C ===，()118421216133C C P X C ===，()2821214233C P X C ===所以X 的分布列是X 的数学期望是()0121133333E X =⨯+⨯+⨯=． 点睛：本题主要考查了独立性检验的应用和随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确独立性检验的计算公式作出准确计算，利用组合数的公式求解随机变量的取值对应的概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.21．2cos ρθ= 【解析】 【分析】首先把极坐标转换为直角坐标，进一步求出圆的方程，再转换为极坐标方程． 【详解】点)4P π转换为直角坐标为(1,1)P ，圆心为(1,0)，故圆的半径为1r =， 圆的方程为22(1)1x y -+=． 整理得222x y x +=，转换为极坐标方程为22cos ρρθ=，即2cos ρθ=.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．22．（1）证明见解析；（2）[)0,1． 【解析】 【分析】（1）由于()f x 是奇函数，()()f x f x -=-，因此要证明的不等式可变形为要证明1212()()0()f x f x x x --<--，因此只要说明12()x x --与12()()f x f x --异号，即1x 与2x -的大小和1()f x 与2()f x -的大小关系正好相反即可，这由减函数的定义可得，证明时可分120x x +>和120x x +<分别证明即可； （2）这个函数不等式()()2110f m f m -+->由奇函数的性质可化为()()211f m f m->-，然后由单调性可去“f ”，并注意将21m -和1m -限制在定义域内，可得出关于m 的不等式组，就可解得m 范围． 【详解】（1）∵定义在[]1,1-上的函数()f x 的图象关于原点对称，∴()f x 为奇函数． 若120x x +<，则1211x x -≤<-≤，∴()()()122f x f x f x >-=-， ∴()()120f x f x +>，∴()()12120f x f x x x +<+成立．若120x x +>，则1211x x ≥>-≥-，∴()()()122f x f x f x <-=-． ∴()()120f x f x +<，∴()()12120f x f x x x +<+成立．综上，对任意[]12,1,1x x ∈-，当120x x +≠时，有()()12120f x f x x x +<+恒成立．（2）()()()()2211011f m f m f m f m -+->⇔->-，得2211111111m m m m ⎧-≤-≤⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得01m ≤<，故所求实数m 的取值范围是[)0,1．【点睛】本题考查函数单调性的定义以及单调性与奇偶性解不不等式，解题的关键就是利用奇偶性将不等式进行变形，结合单调性转化，同时要注意自变量要限制在定义域内，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
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所以 x (1, x0 ) 时 h(x) h(1) 0 ，不满足条件； 综上所述，当 a 0 时， f (x) a ln x 1对 x 1恒成立.
﹍﹍﹍﹍﹍﹍12 分
22.解: （I) C1 : x2 4 y 的准线为 l1 ： y 1，极坐标方程为 sin 中教育阶段教学质量监测
高二年级 理科数学参考答案
注意： 一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分 意
见制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
2
3
┈┈┈┈┈┈6 分
（II）由（I)可知 cos B a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 ac 1 ,
2ac
2ac
2
(a c)2 0, a c, 且B . ABC 为正三角形. 3
┈┈┈┈┈┈12 分
20.解:（I)∵当 a
2
时，
f
(x)
x
2 x
3ln
x
，∴
f
'(x)
y
2 2
2 cos sin
（
为参数），
﹍﹍﹍﹍2 分
曲线 C2 的直角坐标方程为（x 2)2 y2 4 ,
﹍﹍﹍﹍﹍﹍3 分
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将
x
y
cos sin
代入方程（x
2)2
y2
4
,
得曲线 C2 的极坐标方程为 4cos .
（II）设
A(
1,
),
x2
3x x2
2
(x
0)
，
由 f '(x) 0 得 x 1或 x 2 ，
┈┈┈┈┈┈2 分
当 x 变化时， f '(x), f (x) 的变化情况列表如下：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,)
f '(x)
0
-
0
f (x) 单调递增↗ 1 单调递减↘ 1 3ln 2 单调递增↗
∴当 x 1 时 f (x) 取极大值-1，当 x 2 时 f (x) 取极小值1 3ln 2 . ┈┈┈6 分
2 ( − 2, 3 )
2 3
(䴀)
+
0
−
0
2 ( 3 ,1]
+
(䴀) 单调递增 12 单调递减
单调递增
2t
又∵ f (3) 7 ， f (2) 12 ， f ( 2) 68 ， f (1) 3 ， 3 27
68 ∴函数的最大值为12 ，最小值为 ．
27
19.解：（该题源于选修 2-2，85 页例 1）
mn m n 2
mn 2 m n
由绝对值不等式得 f (x) | x a | | x 2 | ≥ a 2 ，
当且仅当（x a)(x 2) 0 时取等号，所以 f (x) 的最小值为 a 2 .
由题意得 a 2 2 ，解得 a 4 a 0．
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10 分
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数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
一、选择题
ACDBCB
二、填空题
13．一 三．解答题
CBADCD
14．0
15． 2n 1 n
16． a 1 2 ln 2
17.解：（I)若 q 为真，则 c x 2 在 x [2,3] 上恒成立，
c
x2 min
4 ， c 的取值范围是{c | 0
当 2 x 2 时， f (x) 4 6 恒成立，则 2 x 2 ；
当 x 2 时，由 f (x) 2x 6 ，得 x 3 ，则 2 x 3 ．
综上，不等式 f (x) 6 的解集为 x | 3 x 3.
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 分
（II）由题意 m n 2 得
m n 1 1 1 (m n)( 1 1 ) 1 (2 n m ) 2(当m n时取等号）
┈┈┈┈┈┈9 分
②当 0 a 1时， x (a,1) ， f '(x) 0 ， f (x) 递减；
x (0, a) 或 x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增.
┈┈┈┈┈┈11 分
综上所述，当 a 0 时， f (x) 递减区间为 (0,1) ， f (x) 递增区间为 (1,) ；
当 0 a 1时， f (x) 递减区间为 (a,1) , f (x) 递增区间为 (0, a) 和 (1,) . ┈12 分
21.解：（I) f '(x) ex e ，当 x 1时， f '(x) 0 ;当 x 1 时， f '(x) 0 ，
所以 f (x) 在 (,1) 上递减，在 (1,) 上递增， 所以 f (x)min f (1) 1 0 ， 又 f (1) e1 e 1 0 ， f (2) e2 2e 1 0 ，
B(2
,
)
，
（0， 2
），
﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 分
则
1
1 sin
, 2
4 cos
，
OB OA
2 1
4sin cos
2sin 2 ，
当 时， OB 的最大值为 2.
4
OA
﹍﹍﹍﹍﹍﹍10 分
23.解：（I) a 2 , 则 f (x) | x 2 | | x 2 | ，
当 x 2 时，由 f (x) 2x 6 ，得 x 3 ，则 3 x 2 ；
（I) 2a cos B b cos C c cos B ，
┈┈┈┈┈12 分
4R sin Acos B 2R sin B cos C 2R sin C cos B ，
2sin Acos B sin(B C) sin( A) sin A ，
0 A ,sin A 0,cos B 1 ,0 B , B
c
4} ；
（II） “ p q ”为真，“ p q ”为假， p ， q 一真一假；
┈┈┈6 分
当
p
真
q
假时，
0 c
c 4
1
无解；当
p
假
q
真时，
c 0
1 c
4
1
c
4
，
综上， c 的取值范围是{c |1 c 4} .
┈┈┈12 分
18.解：（I) f (x) x3 2x2 4x 4 ， f (x) 3x2 4x 4=（3x 2)(x 2)
令 f (x) 0 ，则 x 2 或 x 2 ；令 f (x) 0 ，则 2 x 2 ,
3
3
所以增区间为（-, 2），（ 2 ，+）；减区间为（ 2，2）.
3
3
（II）令 f (x)=0 ，得 x 2 或 x 2 ； 3
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┈┈┈6 分
x [ − 3, − 2) − 2
x h(x) h(1) 0 ，满足条件； ②当 a 0 时， h'(1) a 0 ，又 h'(2 a) e2a e a e2 e 1 0
2a
所以 x0 (1, a 2) ，使得 h'(x0 ) 0 ，且 x (1, x0 ) 时， h'(x) 0 ， h(x) 递减，
（II）
f
'(x)
x2
a
(a x2
1) x
(x a)(x x2
1)
，
┈┈┈┈┈┈7 分
①当 a 0 时， x a 0 ， x (0,1) ， f '(x) 0 ， f (x) 递减；
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x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增；
所以 f (x) 的零点有两个；
┈┈┈┈┈┈5 分
（II） f (x) a ln x 1即 h(x) ex ex a ln x 0 ， (x 1)
h'(x) ex e a (x 1) ， ex e 0 ， x
① 当 a 0 时 ， a 0 ， 所 以 h'(x) 0 ， h(x) 在 1, 上 单 调 递 增 ， 所 以