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北师大版 2010届高三数学步步高(理)总复习 统计、统计案例

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【免费下载】步步高届高三数学北师大版通用理总复习学案学案32 数列的综合应用

【免费下载】步步高届高三数学北师大版通用理总复习学案学案32 数列的综合应用

学案32　数列的综合应用导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．自主梳理1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论．2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n .(2)分期付款中的有关规定①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；②在分期付款中规定每期所付款额相同；③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．自我检测1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S8－S 3＝10，则S 11的值为 ( )A ．12B ．18C ．22D ．442．(2011·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则等a 6a 16于 ( )A. B.2332C ．－D ．－16563．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( )A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝(3n －1)12B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝(3n －1)12C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝(3n －1)－2n12D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝(3n －1)－2n124．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟5．(2011·台州月考)已知数列{a n }的通项为a n ＝，则数列{a n }的最大项为 ( )nn 2＋58A ．第7项B ．第8项C ．第7项或第8项D ．不存在6．(2011·南京模拟)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且＝，则log b 5a 5＝________.Sn Tn n2n ＋1探究点一　等差、等比数列的综合问题例1　设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .变式迁移1　假设a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足0<a 1<2，a 3＝4.若b n ＝2a n (n ＝1,2,3,4)．给出以下命题：①数列{b n }是等比数列；②b 2>4；③b 4>32；④b 2b 4＝256.其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4探究点二　数列与方程、函数、不等式的综合问题例2　(2011·温州月考)已知函数f (x )＝，数列{a n }满足2x ＋33x a 1＝1，a n ＋1＝f ，n ∈N *，(1an )(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝ (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <对一切n ∈N *1an －1an m －2 0012成立，求最小正整数m .变式迁移2　已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，12决吊，对电机组试求m 的取值范围．探究点三　数列在实际问题中的应用例3　(2011·福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？变式迁移3　假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)1．数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，用数列知识求解．2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法：(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·湖北)已知等比数列中，各项都是正数，且a 1，a 3,2a 2成等差数列，则{an }12的值为 a 9＋a 10a 7＋a 8( )A ．1＋B ．1－22C ．3＋2D ．3－2222．(2011·漳州模拟)数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义为A 的“凯S 1＋S 2＋…＋Sn n 森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1 000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为( )A ．1 001B ．991C ．999D ．9904．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( )A ．6秒B ．7秒C ．8秒D ．9秒5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于 ( )A ．24B ．32C ．48D ．64题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·丽水月考)若数列{a n }的通项公式a n ＝52n －2－4n －1，数列{a n }的最大项为(25)(25)第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y ＝________.7．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(ak ，a )处的切线与x 轴的交点的横坐标为2k a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.8．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a42＝8.若a ij ＝2 009，则i 与j的和为________．12　43　5　76　8　10　129　11　13　15　1714　16　18　20　22　24……………………………………三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·湘潭模拟)已知点(1，)是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，13等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝＋(n ≥2)．Sn Sn －1(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{}的前n 项和为T n ，问满足Tn >的最小正整数n 是多少？1bnbn ＋1 1 0002 00910．(12分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造．乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元．甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业．据预测，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上．若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设11．(14分)(2011·广东执信中学模拟)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝.12(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n )，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．f (n ＋1)f (n )答案 自主梳理1．(4)n ＝1或n ≥2自我检测1．C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.919课堂活动区例1　解题导引　1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解　(1)由已知得Error!，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝，a 3＝2q .2q 又S 3＝7，可知＋2＋2q ＝7，2q 即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝.12由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝＝·ln 2.n (b 1＋bn )23n (n ＋1)2故T n ＝ln 2.3n (n ＋1)2变式迁移1　D [设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．]例2　解题导引　这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .解　(1)∵a n ＋1＝f ＝＝＝a n ＋，(1an )2an ＋33an 2＋3an 323∴{a n }是以为公差的等差数列．23又a 1＝1，∴a n ＝n ＋.2313(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－·4343n (53＋4n 3＋13)2＝－(2n 2＋3n )．49(3)当n ≥2时，b n ＝＝1an －1an 1(23n －13)(23n ＋13)＝，92(12n －1－12n ＋1)又b 1＝3＝×，92(1－13)∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝×92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝＝，92(1－12n ＋1)9n 2n ＋1∵S n <对一切n ∈N *成立．m －2 0012即<，9n 2n ＋1m －2 0012又∵＝递增，9n 2n ＋192(1－12n ＋1)且<.∴≥，9n 2n ＋192m －2 001292即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2　解　(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴Error!解之，得Error!或Error!又{a n }单调递增，∴Error!　∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·log 2n ＝－n ·2n ，12∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②电源，中资料规程高中资∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.2(1－2n )1－2由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m <－1恒成立．12n ∵－1>－1，∴m ≤－1，12n 即m 的取值范围是(－∞，－1]．例3　解　依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500，第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300，依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n －300.下面构造一等比数列．设＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ，an ＋1＋xan ＋x ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x .∴0.18x ＝－300.∴x ＝－，即＝1.18.5 0003an ＋1－5 0003an －5 0003∴数列{a n －}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－＝11 500－＝5 0003 5 0003 5 0003.29 5003∴a n －＝×1.18n －1，5 000329 5003∴a 12－＝×1.1811，5 000329 5003∴a 12＝＋×1.1811≈62 396.6(元)，5 000329 5003即到年底该职工共有资金62 396.6元．纯收入有a 12－10 000(1＋25%)＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3　解　(1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200，S n ＝250n ＋×50＝25n 2＋225n ，n (n －1)2令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1.由题意可知a n >0.85b n ，即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85.当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.课后练习区1．C 2.B 3.B 4.B 5.D6．3　7.21　8.1079．解　(1)∵f (1)＝a ＝，∴f (x )＝x .…………………………………………………(1分)13(13)a 1＝f (1)－c ＝－c ，13a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－，29a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－；227又数列{a n }成等比数列，a 1＝＝＝－＝－c ，a 2a 3481－2272313∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝＝，a n ＝－×n －1＝－2×n ，n ∈N *；………………………………(3分)a 2a 11323(13)(13)∵S n －S n －1＝(Sn －Sn －1)(Sn ＋Sn －1)＝＋(n >2)，……………………………………………………………………(4分)Sn Sn －1又b n >0，>0，∴－＝1.Sn Sn Sn －1数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，Sn ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.Sn 当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n ∈N *.……………………………………………………………………(6分)(2)T n ＝＋＋＋…＋1b 1b 21b 2b 31b 3b 41bnbn ＋1＝＋＋＋…＋11×313×515×71(2n －1)×(2n ＋1)＝＋＋＋…＋12(1－13)12(13－15)12(15－17)＝＝.……………………………………………(10分)12(12n －1－12n ＋1)12(1－12n ＋1)n 2n ＋1由T n ＝>，得n >，n 2n ＋1 1 0002 009 1 0009∴满足T n >的最小正整数为112.…………………………………………………(12分)1 0002 00910．解　设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生资料试卷弯扁度固定盒位置保护等，要对对定值，审核与校对图纸，编写调试方或者对某些异常高中资料试卷工误高产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(4分)当n ≥5时，B n ＝＋16[(32)5－1]32－1164(n －5)－400＝81n －594，…………………………………………………………(8分)(32)∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(12分)11．解　(1)令x ＝n ，y ＝1，得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝f (n )，……………………………………………………………(212分)∴{f (n )}是首项为，公比为的等比数列，1212即f (n )＝()n .………………………………………………………………………………(5分)12(2)记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·()n ，……………………………………………………………………(6分)12∴S n ＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n ×()n ，12121212S n ＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n －1)×()n ＋n ×()n ＋1，121212121212两式相减得S n ＝＋()2＋…＋()n －n ×()n ＋1，1212121212整理得S n ＝2－()n －1－n ()n <2.…………………………………………………………(9分)1212(3)∵f (n )＝()n ，而b n ＝(9－n )12f (n ＋1)f (n )＝(9－n )＝.…………………………………………………………………(11分)(\f(1,2))n ＋1(\f(1,2))n 9－n 2当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0，∴n ＝8或9时，S n 取到最大值．……………………………………………………(14分)。

【步步高】高考数学总复习 第十章 概率与统计、统计案例章末检测 理 北师大版

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第十章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 2．(2011·威海模拟)下图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( )A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分 3．(2010·广州一模)商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元 4．(2011·烟台模拟)从2 010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 010人中，每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为5201D ．都相等，且为1405.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( )A ．0.9,35B ．0.9,45C ．0.1,35D ．0.1,45 6．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34 7.如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )A ．304.6B ．303.6C ．302.6D ．301.6 8．(2011·广州联考)为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是( )A ．32B ．27C ．24D ．339．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回的抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A.227B.19C.29D.12711．掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为( ) A.58 B.18 C.14 D.12 12．(2010·安徽)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.618二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2010·北京)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．14．如图所示，墙上挂有一长为2π，宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝1围成的图形．某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．15．(2011·广东五校联考)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：这种血清预防感冒的有效率为95%；s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)①p∧綈q②綈p∧q③(綈p∧綈q)∧(r∨s)④(p∨綈r)∧(綈q∨s)16．(2011·江苏通州调研)将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2011·福建龙岩一中模拟)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个为奇数的概率；(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率．18．(12分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)，解答下列问题：(1)填充频率分布表中的空格；(2)补全频率分布直方图；(3)若成绩在80.5～90.5分的学生可以获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？19．(12分)(2011·安庆模拟)对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如下图.(1)根据图中数据，制作2×2列联表；(2)若要从更爱好文娱和从更爱好体育的学生中各选一人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一男一女的概率；(3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系？参考数据：20．(12分)(2010·天津)有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率． (2)从一等品零件中，随机抽取2个：①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率．21．(12分)(2011·苍山期末)已知关于x 的一元二次函数，f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．22．(12分)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]，上图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm 以上(含180 cm)的人数； (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x 、y ，求满足|x －y |≤5的事件概率．第十章 章末检测1．C [抽样比k ＝2040＋10＋30＋20＝20100＝15，∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是10×15＋20×15＝2＋4＝6.]2．B [由图可知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57.]3．C [由0.40.1＝x2.5，得x ＝10(万元)．]4．C [从2 010名学生中选取50名学生，不论采用何种抽样方法，每名学生被抽到的可能性均相同，谁被剔除或被选中都是机会均等的．所以每人入选的概率都相等，且为502 010＝5201.] 5．A [x ＝0.02＋0.18＋0.34＋0.36＝0.9； y ＝(0.36＋0.34)×50＝35.]6．D [甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.]7．B [x ＝291×2＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋31710＝303.6.]8．D [80～100间两个长方形高占总体的比例：5＋62＋3＋5＋6＋3＋1＝1120即为频数之比．∴x 60＝1120.∴x ＝33.] 9．D [∵x ＋y ＋10＋11＋95＝10，∴x ＋y ＝20.∵(x －10)2＋(y －10)2＋0＋1＋15＝2，∴(x －10)2＋(y －10)2＝8， ∴x 2＋y 2－20(x ＋y)＋200＝8， ∴x 2＋y 2－200＝8，∴x 2＋y 2＝208.由x ＋y ＝20知(x ＋y)2＝x 2＋y 2＋2xy ＝400， ∴2xy ＝192，∴|x －y|2＝x 2＋y 2－2xy ＝208－192＝16，∴|x －y|＝4.]10．B [有放回地取球三次，假设第一次取红球共有如下所示9种取法．同理，第一次取黄球、绿球分别也有9种情况，共计27种．而三次颜色全相同，共有3种情况，故颜色全相同的概率为327＝19.]11．A [有三种可能的情况：①连续3次都掷得正面，其概率为⎝⎛⎭⎫123；②第1次掷得正面，第2次掷得反面，其概率为⎝⎛⎭⎫122；③第1次掷得反面，第2次掷得正面，其概率为⎝⎛⎭⎫122， 因此恰好得3分的概率为 ⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝58.] 12．C [甲共得6条，乙共得6条，共有6×6＝36(对)，其中垂直的有10对，∴P ＝1036＝518.] 13．0.030 3解析 ∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a ＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人． 14.12解析 方法一 由余弦函数图象的对称性知，阴影部分的面积为矩形ABCD 的面积的一半，故所求概率为12.方法二 也可用积分求阴影部分的面积： ∫2π0(1－cos x)d x ＝(x －sin x)|2π0＝2π.∴P ＝2π4π＝12.15．①④解析 本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K 2≈3.918，P(K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．16.112解析 基本事件有6×6×6＝216(个)，点数依次成等差数列的有： (1)当公差d ＝0时，1,1,1及2,2,2，…，共6个．(2)当公差d ＝±1时，1,2,3及2,3,4；3,4,5；4,5,6，共4×2个．(3)当公差d ＝±2时，1,3,5；2,4,6，共2×2个．∴P ＝6＋4×2＋2×26×6×6＝112.17．解 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(1)记“两数之和为5”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件，所以P(A)＝436＝19.答 两数之和为5的概率为19.(3分)(2)记“两数中至少有一个为奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－936＝34.答 两数中至少有一个为奇数的概率为34.(6分)(3)基本事件总数为36，点(x ，y)在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 包含8个事件，所以P(C)＝836＝29.答 点(x ，y)在圆x 2＋y 2＝15的内部的概率为29.(10分)18．解 (1)(4分)(2)频率分布直方图如图所示：(8分)(3)因为成绩在80.5～90.5分的学生的频率为0.32且有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.32×900＝288(人)．(12分)19．解 (1)(3分)(2)恰好是一男一女的概率是： 15×10＋5×1020×20＝12.(6分) (3)K 2＝n (ac －bd )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝40×(15×10－5×10)220×20×25×15＝83≈2.666 7…<2.706，(9分) ∴我们没有足够的把握认为性别与是否更喜欢体育有关系．(12分)20．解 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P(A)＝610＝35.(4分)(2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共有15种．(8分) ②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：(A 1，A 4)，(A 1，A 6)，(A 4，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 5)，(A 3，A 5)，共有6种，所以P(B)＝615＝25.(12分) 21．解 (1)∵函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba，∴要使f(x)＝ax 2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，则a>0且2ba≤1，即2b ≤a.(3分)若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1； 若a ＝3，则b ＝－1,1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分) 又∵总事件数为15，∴所求事件的概率为515＝13.(6分)(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a>0时，函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8≤0a>0b>0.如图所示．构成所求事件的区域为阴影部分．(8分)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83.(10分) ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.(12分)22．解 (1)由频率分布直方图知，前五组频率为 (0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82， 后三组频率为1－0.82＝0.18， 人数为0.18×50＝9(人)，(2分)这所学校高三男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的人数为800×0.18＝144(人)．(4分) (2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2(人)， 设第六组人数为m ，则第七组人数为9－2－m ＝7－m ，又m ＋2＝2(7－m)，所以m ＝4， 即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.(6分) 频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图．(9分)(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4人，设为a ，b ，c ，d.身高在[190,195]的人数为2人，设为A ，B.若x ，y ∈[180,185)时，有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况． 若x ，y ∈[190,195]时，有AB 共1种情况．若x ，y 分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB 共8种情况．所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15(种)．(11分) 事件|x －y|≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7(种)，故P(|x －y|≤5)＝715.(12分)。

步步高 高三数学(理)二轮专题突破课件 专题六 第3讲《统计与统计案例》

步步高 高三数学(理)二轮专题突破课件 专题六 第3讲《统计与统计案例》

取 40 名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按 1～
200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组(1～5 号，6～10 号，…，
196～200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号
本 讲
码应是________．若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应
栏 目
抽取________人．
热点分类突破
专题六 第3讲
附表：
P(K2(χ2)≥k) 0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
本 参照附表，得到的正确结论是
()
讲 栏
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项
目 开
运动与性别有关”
关 B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项
两个数据的平均数) 横坐标
平均数
样本数据的算术平均 数
每个小矩形的面积乘 以小矩形底边中点的 横坐标之和
主干知识梳理
专题六 第3讲
(2)方差：s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]．
标准差：
本
s＝ n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
(2)2
热点分类突破
专题六 第3讲
(1)反映样本数据分布的主要方式有：频率分布
表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确
每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的
本 讲
大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考
栏 目
查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征
开 关
目
开 深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样

北师大版 2010届高三数学步步高(理)总复习 解析几何

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第九编 解析几何 §9.1直线的倾斜角与斜率1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则（ ）A .0°≤α＜180°B .0°≤α＜135°C .0°＜α≤135°D .0°＜α＜135°答案 D2.（2008²全国Ⅰ文，4）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）A .30°B .45°C .60°D .120°答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）A .1B .4C .1或3D .1或4答案 A4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是（ ）A .［0，+∞）B .（-∞，+∞）C .［-1，+∞）D .（-∞,-1）∪［0，+∞）答案 D5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -32例1 若α∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,6ππ，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是( )基础自测A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡26ππ，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，65C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡6,0πD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,2ππ 答案 B例2（12分）已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;2分当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a-11-(a +1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a =-1,5分综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1³2=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2-1)-1³6≠0, 2分∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a4分⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =-1,5分故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8分当a ≠1时，l 1:y =-2ax -3,l 2:y =x a-11-(a +1), 10分 由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ²a-11=-1⇒a =32.12分方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0， 得a +2(a -1)=0⇒a =32. 12分例3 已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为34.1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,22,6ππππB .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,0πD .⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ 答案 B2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交；当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m+52，它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=m+58.（1）由k 1≠k 2,得-43m +≠-m+52，m ≠-7且m ≠-1.∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.（2）由⎩⎨⎧≠=,,2121b b k k ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠-+-=+-m m mm 584355243，m =-7.∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +²⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-313时，l 1与l 2垂直. 3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ）A.21 B.33 C.23 D.3答案 D一、选择题1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是（ ）A .[)π,0B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ43,4C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 答案 D2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则 （ ）A .α一定是直线l 的倾斜角B .α一定不是直线l 的倾斜角C .α不一定是直线l 的倾斜角D .180°-α一定是直线l 的倾斜角答案 C3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A .[)π,0B .⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0πD .⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,22,4 答案 B4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为（ ）A .21 B .-21 C .-2D .2答案 C5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是（ ）A .31-B .-3C .31D .3答案 A 二、填空题6.（2008²浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+27.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34, 代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m. 由已知-1≤-37+m m≤2, 解得-32≤m ≤21. 10.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得： （1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合. 解 （1）由已知1³3≠m (m -2), 即m 2-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当1²（m -2）+m ²3=0，即m =21时，l 1⊥l 2. (3)当21-m =3m ≠m 26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当21-m =3m =m26， 即m =3时，l 1与l 2重合.11.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0，∴k AB ²k BC =0≠-1，即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. （1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴xy 3-=0，即y =3.此时AB 与CD 不平行. 故所求点D 的坐标为（3，3）. （2）若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =x y 3-，k CD =3-x y. 由于AD ⊥AB ，∴xy 3-²3=-1. 又AB ∥CD ，∴3-x y=3. 解上述两式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,59,518y x此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛59,518,综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或⎪⎭⎫⎝⎛59,518.12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=2π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-， ∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33，∴α∈⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ.§9.2 直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式1.下列四个命题中真命题是（ ）A .经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示B .经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示C .不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D .经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 答案 B2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（ ）A .2x -y -1=0B .x +y -5=0C .2x +y -7=0D .2y -x -4=0答案 B3.（2008²全国Ⅱ文，3）原点到直线x +2y -5=0的距离为（ ）A .1B .3C .2D .5答案 D4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为( )A .2x +y =0B .x -2y +5=0C .x -2y =0D .x +2 y -5=0答案 A5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .基础自测答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0例1 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =32x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+aya x ， ∵l 过点（3，2），∴123=+aa ， ∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k2,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32, ∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=32(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43. 又直线经过点A （-1，-3），因此所求直线方程为y +3=-43(x +1), 即3x +4y +15=0.例2 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |²|PB |最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得112=+ba . （1）∵2ba 12⋅≤b a 12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥4. 当且仅当a 2=b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,即x +2y -4=0.（2）由a 2+b1=1,得ab -a -2b =0, 变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |²|PB |=22)01()2(-+-a ²22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-+-b a≥)1(4)2(2--b a . 当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |²|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫⎝⎛-k 12（1-2k ）² ²=21³⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0. （2）|PA |²|PB |=22441)1(k k ++=84422++k k≥4,当且仅当24k =4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.例3 （12分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1. 10分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.12分方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0,²两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ① 6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25② 联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-52121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.12分例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =21(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⋅--122110000x x y y xx yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x ,代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2³(y -1)+3, 整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y =0.1.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =43x ,求直线l 1,l 3的方程. 解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中， 得k =-52，此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为ay a x+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-21， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=43. 于是tan2α=ααsin cos 1-=3153541=-, tan2α=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-αα, 所以所求直线l 1的方程为y -6=31(x-8),即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=724(x -8), 即24x -7y -150=0.2.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24b a ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1, 即2x +3y -12=0.方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k .∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3). 即2x +3y -12=0.3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -21=0, ∴l 1与l 2的距离d =1057)1(2)21(22=-+--a ,∴521+a =1057,∴21+a =27, ∵a ＞0,∴a =3.(2)假设存在这样的P 点.设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，且53-C =52121+C ，即C =213或C =611， ∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+611=0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式53200+-y x =52³2100-+y x ，即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-042021320000y x y x ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=,21,300y x (舍去).由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,042,061120000y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==18379100y x ∴假设成立，P ⎪⎭⎫⎝⎛1837,91即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由⎩⎨⎧=+-=+-.0723,052y x y x得⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴反射点M 的坐标为（-1,2）.又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点'P (x 0,y 0)，由'PP ⊥l 可知,k PP ′=-32=500+x y.而'PP 的中点Q 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,2500y x ,Q 点在l 上，∴3²250-x -2²20y+7=0. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.1332,131700y x根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),则3200-=--xx y y , 又'PP 的中点Q ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在l 上， ∴3³20x x +-2³20y y ++7=0,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⨯-=--07)(23320000y y x x x x y y可得P 点的坐标为 x 0=1342125-+-y x ，y 0=1328512++y x ，代入方程x -2y +5=0中， 化简得29x -2y +33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、选择题1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N +，b ∈N +，则可作出的l 的条数为（ ）A .1B .2C .3D .4答案 B2.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ),若直线l 2过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是（ ） A .x +3y -5=0 B .x +3y -15=0 C .x -3y +5=0D .x -3y +15=0答案 B3.若直线l 与两直线y =1,x -y -7=0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，-1），则直线l 的斜率是（ ）A .32-B .32 C .-23 D .23 答案 A4.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是（ ）A .x +2y -1=0B .2x +y -1=0C .2x +y -3=0D .x+2y -3=0答案 D5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）A .x +2y -6=0B .2x +y -6=0C . x -2y +7=0D .x -2y -7=0答案 B6.点（1，cos θ）到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是41(0°≤θ≤180°)，那么θ等于 （ ）A .150°B .30°或150°C .30°D .30°或210°答案 B 二、填空题7.设l 1的倾斜角为α，α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为-2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转2π-α角得直线l 3：x +2y -1=0，则l 1的方程为 . 答案 2x -y +8=08.若直线l :y =kx -1与直线x +y -1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 三、解答题9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k +4， 由已知，得（3k +4）（k4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ²b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.10.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P 到Q 的长度.解 （1）设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴QQ ′所在直线方程为y -1=1²（x -1） 即x -y =0.由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--21,21.又∵M 为QQ ′的中点，由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+21212121y x.解之得⎩⎨⎧-='-='.2,2y x ∴'Q （-2，-2）.设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线. 则P （2，3），Q ′（-2，-2），得入射方程为 222232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是'QQ 的垂直平分线，因而NQ ='NQ . ∴|PN |+|NQ |=|PN |+'NQ ='PQ =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.11.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程. 解 设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c =0.由⎩⎨⎧=++=+-01022y x y x 得正方形的中心坐标P （-1，0）， 由点P 到两直线l ,l 1的距离相等，则22223113151++-=+--c ,得c =7或c =-5（舍去）.∴l 1：x +3y +7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x -y +a =0,3x -y +b =0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴22133++-a =223151+--，得a =9或-3,∴另两条边所在的直线方程为3x -y +9=0,3x -y -3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0.12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程. 解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B By y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k =833110316=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k k y k k x A A ,由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k k y k k x B B .∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0， ∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时32312≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.§9.3 圆的方程基础自测1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是（ ） A .a ＜-2或a ＞32B .-32＜a ＜0 C .-2＜a ＜0D .-2＜a ＜32 答案 D2.圆x 2+y 2+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,B .⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0C .⎪⎭⎫⎝⎛-,041D .)41,(-∞答案 A3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是 （ ）A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4D .(x +1)2+(y +1)2=4答案 C4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为（ ）A .(x -2)2+(y +1)2=3 B .(x +2)2+(y -1)2=3 C .(x -2)2+(y +1)2=9D .(x +2)2+(y -1)2=9答案 C5.直线y =ax +b 通过第一、三、四象限，则圆(x +a )2+(y +b )2=r 2(r ＞0)的圆心位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 B例1 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为 ( )A .x 2+y 2-2x -3=0B .x 2+y 2+4x =0 C .x 2+y 2+2x -3=0D .x 2+y 2-4x =0答案 D例2 （14分）已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径.解 方法一 将x =3-2y , 代入方程x 2+y 2+x -6y +m =0, 得5y 2-20y +12+m =0.4分设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=512m+. 6分∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0. 8分而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2. ∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径r =25.14分方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，∵O 1M ⊥PQ ，∴M O k 1=2.∴O 1M 的方程为:y -3=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x ,即：y =2x +4.由方程组⎩⎨⎧=-++=03242y x x y .解得M 的坐标为（-1，2）.则以PQ 为直径的圆可设为(x +1)2+(y -2)2=r 2. 6分∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2. 在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.∴2121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+(3-2)2+5=44)6(12m --+.∴m =3.∴半径为25,圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21. 14分方法三 设过P 、Q 的圆系方程为x 2+y 2+x -6y +m +λ(x +2y -3)=0. 由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上. ∴m -3λ=0，即m =3λ. 3分∴圆的方程可化为x 2+y 2+x -6y +3λ+λx +2λy -3λ=0 即x 2+(1+λ)x +y 2+2(λ-3)y =0.6分 ∴圆心M ⎪⎭⎫⎝⎛-+-2)3(2,21λλ，7分又圆在PQ 上， ∴-21λ++2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m =3. ∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25.14分例3 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0. （1）求y -x 的最大值和最小值； （2）求x 2+y 2的最大值和最小值.解 （1）y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距，当直线y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时3202=+-b，解得b =-2±6.所以y -x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22)00()02(-+-=2，所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43，x 2+y 2的最小值是(2-3)2=7-43.1.（2008²山东文，11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A .(x -3)2+(y -37)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .(x -23)2+(y -1)2=1 答案 B2.已知圆C ：(x -1)2+(y -2)2=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l 可化为x +y -4+m (2x +y -7)=0,即不论m 取什么实数，它恒过两直线x +y -4=0与2x +y -7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB |最短，由垂径定理得|AB |=222CM r - =2])21()13[(2522-+--=45. 此时，k l =-CMk1,从而k l =-311-=2. ∴l 的方程为y -1=2(x -3),即2x -y =5.3.已知点P （x ，y ）是圆(x +2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x -2y 的最大值和最小值； （3）求12--x y 的最大值和最小值. 解 （1）圆心C （-2，0）到直线3x +4y +12=0的距离为d =22431204)2(3++⨯+-⨯=56. ∴P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值为 d +r =56+1=511，最小值为d -r =56-1=51. （2）设t =x -2y ,则直线x -2y -t =0与圆(x +2)2+y 2=1有公共点.∴22212+--t ≤1.∴-5-2≤t ≤5-2，∴t max =5-2，t min =-2-5. （3）设k =12--x y ， 则直线kx -y -k +2=0与圆(x +2)2+y 2=1有公共点， ∴1232++-k k ≤1.∴433-≤k ≤433+, ∴k max =433+，k min =433-.一、选择题1.圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为( )A .2B .22C .1D .2答案 D2.两条直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆（x -1）2+(y -1)2=4的内部，则实数a 的取值范围是( )A .-51＜a ＜1 B .a ＞1或a ＜-51 C .-51≤a ＜1D .a ≥1或a ≤-51 答案 A3.已知A （-2，0），B （0，2），C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是( )A .3+2B .3-2C .6D .4答案 A4.圆心在抛物线y 2=2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )A .x 2+y 2-x -2y -41=0 B .x 2+y 2+x -2y +1=0 C .x 2+y 2-x -2y +1=0D .x 2+y 2-x -2y +41=0 答案 D5.若直线2ax -by +2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的周长，则ba 11+的最小值是 ( )A .41 B .2 C .4 D .21 答案 C6.从原点O 向圆：x 2+y 2-6x +427=0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为 ( )A .32πB .πC .23π D .34π 答案 B 二、填空题7.（2008²四川理，14）已知直线l ：x -y +4=0与圆C ：（x -1）2+（y -1）2=2，则C 上各点到l 距离的最小值为 . 答案 28.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 答案 （x +2)2+223⎪⎭⎫ ⎝⎛-y =425三、解答题9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x +3y +1=0上；（2）已知一圆过P （4,-2）、Q (-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：22y x +=22)1()1(-+-y x ，即x +y -1=0.解方程组⎩⎨⎧=++=-+013201y x y x ,得圆心C 的坐标为（4，-3）.又圆的半径r =|OC |=5,所以所求圆的方程为(x -4)2+(y +3)2=25. （2）设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 ①将P 、Q 点的坐标分别代入①得：⎩⎨⎧=---=+-1032024F E D F E D令x =0，由①得y 2+Ey +F =0④由已知|y 1-y 2|=43，其中y 1、y 2是方程④的两根， 所以（y 1-y 2）2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F =48⑤解②、③、⑤组成的方程组得D =-2，E =0，F =-12或D =-10，E =-8，F =4， 故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0.10.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解 将圆方程化为(x -1)2+(y -1)2=1,其圆心为C （1，1），半径r =1,如图， 由于四边形PACB 的面积等于Rt △PAC 面积的2倍，所以S PACB =2³21³|PA |³r =1||2-PC . ∴要使四边形PACB 面积最小,只需|PC |最小.当点P 恰为圆心C 在直线3x +4y +8=0上的正射影时,|PC |最小,由点到直线的距离公式,得 |PC |min =5843++=3, 故四边形PACB 面积的最小值为22.11.已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程;② ③(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). ∵P 点在圆x 2+y 2=4上,∴(2x -2)2+(2y )2=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中, |PN |=|BN |,设O 为坐标原点,连结ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2, 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0. 12.已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x -y +10=0上. (1)若动圆C 过点(-5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明 理由.解 (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=25, 其中圆心(a ,b )满足a -b +10=0.又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a )2+(0-b )2=25. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a , 可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a ,故所求圆C 的方程为(x +10)2+y 2=25或(x +5)2+(y -5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d =1110+=52.当r 满足r +5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切的圆；当r 满足r +5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切；当r 满足r +5=d ,即r =52-5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切.§9.4 直线、圆的位置关系1.若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交，则P （a ，b ）（ ）A .在圆上B .在圆外C .在圆内D .以上都有可能答案 B2.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 （ ）A .-3＜a ＜7B .-6＜a ＜4C .-7＜a ＜3D .-21＜a ＜19答案 B3.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线条数为 （ ）A .1B .2C .3D .4答案 B4.若直线y =k (x -2)+4与曲线y =1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B .),125(+∞C .⎥⎦⎤ ⎝⎛43,21D .)125,0( 答案 A5.(2008²重庆理，15)直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0 (a ＜3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 . 答案 x -y +1=0基础自测例1 已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2-2m -24=0（m ∈R ）. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； （2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x -3m ）2+［y -(m -1)］2=25，设圆心为（x ，y ），则⎩⎨⎧-==13m y m x ，消去m 得l ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上. （2）解 设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0， 则圆心到直线l 1的距离为d =10)1(33bm m +--=103b +.∵圆的半径为r =5，∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3时，直线与圆相交； 当d =r ,即b =±510-3时，直线与圆相切；当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.（3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =103b +，弦长=222d r -且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =33+-b ,根据光的反射定律， 反射光线的斜率k 反=33+b . ∴反射光线所在直线的方程为 y =33+b (x -b ),即3x -(b +3)y -3b =0.∵已知圆x 2+y 2-4x -4y +7=0的圆心为C （2,2），半径为1,∴2)3(932)3(6++-⨯+-b bb =1,解得b 1=-43,b 2=1. ∴k AB =-34或k AB =-43. ∴l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法二 已知圆C ：x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2+(y +2)2=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y -3=k (x +3),则22155kk ++=1,即12k 2+25k +12=0. ∴k 1=-34，k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法三 设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=--1122332k b k k b k k ,消去b 得11552=++k k . 即12k 2+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.例3 已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0,圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切； （2）圆C 1与圆C 2内含.解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1:(x -m )2+(y +2)2=9;C 2:(x +1)2+(y -m )2=4.（1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m =3+2.(m +1)2+(m +2)2=25.m 2+3m -10=0,解得m =-5或m =2.（2）如果C 1与C 2内含，则有22)2()1(+++m m ＜3-2. (m +1)2+(m +2)2＜1,m 2+3m +2＜0, 得-2＜m ＜-1,∴当m =-5或m =2时，圆C 1与圆C 2外切； 当-2＜m ＜-1时，圆C 1与圆C 2内含.例4 （12分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x -12y +24=0. （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.解 （1）方法一 如图所示，AB =43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23， 圆x 2+y 2+4x -12y +24=0可化为（x +2）2+（y -6）2=16， 圆心C （-2，6），半径r =4，故AC =4， 在Rt △ACD 中，可得CD =2.2分设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx , 即kx -y +5=0.由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--k k =2，得k =43. 此时直线l 的方程为3x -4y +20=0. 4分 又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.6分则y 2-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23,∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意.∴所求直线的方程为3x -4y +20=0或x =0.8分方法二 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y -5=kx ,即y =kx +5,联立直线与圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++=024124522y x y x kx y , 消去y 得（1+k 2）x 2+(4-2k )x -11=0 ① 2分设方程①的两根为x 1,x 2,由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221111142k x x k k x x ② 4分由弦长公式得21k +|x 1-x 2| =]4))[(1(212212x x x x k -++=43, 将②式代入，解得k =43， 此时直线的方程为3x -4y +20=0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x =0. 6分 ∴所求直线的方程为x =0或3x -4y +20=0.（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ,y ）,8分则CD ⊥PD ，即CD ²=0， 10分（x +2,y -6）²(x ,y -5)=0,化简得所求轨迹方程为 x 2+y 2+2x -11y +30=0. 12分1.m 为何值时，直线2x -y +m =0与圆x 2+y 2=5. （1）无公共点； （2）截得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直.解 （1）由已知，圆心为O （0，0），半径r =5, 圆心到直线2x -y +m =0的距离d =22)1(2-+m =5m ，∵直线与圆无公共点，∴d ＞r ,即5m ＞5,∴m ＞5或m ＜-5.故当m ＞5或m ＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知r 2-d 2=12，即5-52m =1. 得m =±25,∴当m =±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d =22r ，即225=m ²5, 解得m =±225. 故当m =±225时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2.从圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0外一点P （a ，b ）向圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |=|PO | （O 为原点）.求|PT |的最小值及此时P 的坐标.解 已知圆C 的方程为(x -2)2+(y -3)2=1. ∴圆心C 的坐标为（2，3），半径r =1. 如图所示，连结PC ，CT .由平面几何知， |PT|2=|PC|2-|CT |2=(a -2)2+(b -3)2-1.由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|2=|PO|2，即(a -2)2+(b -3)2-1=a 2+b 2. 化简得2a +3b -6=0. 得|PT|2=a 2+b 2=91（13a 2-24a +36）. 当a =1312时， |PT|min =3136131224)1312(132+⨯-⨯=13136. |PT|的最小值为13136，此时点P 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛1318,1312. 3.求过点P （4，-1）且与圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0切于点M （1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A （m ,n )，半径为r , 则A ,M ,C 三点共线，且有|MA |=|AP |=r ， 因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0的圆心为C （-1，3），则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-+-=--r n m n m m n 2222)1()4()2()1(113212, 解得m =3,n =1,r =5,所以所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=5.方法二 因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0过点M （1，2）的切线方程为2x -y =0, 所以设所求圆A 的方程为 x 2+y 2+2x -6y +5+λ(2x -y )=0,因为点P （4，-1）在圆上，所以代入圆A 的方程， 解得λ=-4,所以所求圆的方程为x 2+y 2-6x -2y +5=0.4.圆x 2+y 2=8内一点P （-1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=43π时,求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.解 （1）当α=43π时，k AB =-1， 直线AB 的方程为y -2=-（x +1），即x +y -1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2100-+=22， 从而弦长|AB |=2218-=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 1+x 2）（x 1-x 2）+（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0， 即-2（x 1-x 2）+4（y 1-y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y .∴直线l 的方程为y -2=21（x +1），即x -2y+5=0.一、选择题1.（2008²辽宁理，3）圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点的充要条件是 （ ）A .k ∈(-2,2)B .k ∈(-∞,-2)∪(2,+∞)C .k ∈(-3,3)D .k ∈(-∞,-3)∪(3,+∞)答案 C2.（2008²重庆理，3）圆O 1：x 2+y 2-2x =0和圆O 2：x 2+y 2-4y =0的位置关系是（ ）A .相离B .相交C .外切D .内切答案 B3.已知圆C ：（x -a ）2+(y -2)2=4 (a ＞0)及直线l :x -y +3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于（ ）A .2B .2-2C .2-1D .2+1。

高三数学一轮(北师大版)第十章+统计、统计案例：课件+基础达标+专题整合+阶段测试卷(4份打包)第1

高三数学一轮(北师大版)第十章+统计、统计案例：课件+基础达标+专题整合+阶段测试卷(4份打包)第1
预测2016年高考仍延 续这种考查形式，单独考 查以选择、填空形式出 现，难度不大，也可能作 为解答题中一问与其他知 识结合命题，应予以关注.
课前自主导学
1.散点图 (1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个 图， 这种图为变量之间的_散__点__图_． (2)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直 线附近波动，则称变量间是线__性__相__关__的．若所有点看上去都在 某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非__线__性__相__关__ 的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间 是不相关的．
4．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持
和不支持两种态度)的关系，运用 2×2 列联表进行独立性检验，
经计算 χ2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有( )的把握
认为“学生性别与支持活动有关系”．( )
附：
P(χ2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
3．(2015·石家庄调研)下列结论正确的是( )
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的
一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的
一种常用方法．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
[答案] C
[解析] 由回归分析的方法及概念判断．
示变量 A 取 A1，且变量 B 取 B2 时的数据；c 表示变量 A 取 A2，
且变量 B 取 B1 时的数据；d 表示变量 A 取 A2－bc2
χ2＝__a_＋__b___c_＋__d__a_＋__c__b_＋__d___

【步步高】高三数学一轮 11.2 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体课时检测 理 (含解析)北师大版

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11.2 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体一、选择题1．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125,120,122,105,130,114,116,95,120,134， 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )． A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5解析 数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求频率为410＝0.4. 答案 C2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65B.65C. 2D ．2解析 由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 答案 D3某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部在[13,18]内，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)；…；第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．且第一组，第二组，第四组的频数成等比数列，则成绩在[13,15)内的学生人数为( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．10解析 由图知第一、三、五小组的频率分别为0.08,0.38,0.06， ∴其频数分别为4,19,3，∴第二、四组的频数和为50－4－19－3＝24.∵第一、二、四组的频数成等比数列，设其公比为q ，则第二、四组的频数为4q,4q 2. ∴4q ＋4q 2＝24，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)， ∴第二小组的频数为4q ＝8，∴成绩在[13,15)内的学生有4＋8＝12(人)． 答案 A4.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A．18 B．36 C．54 D．72答案 B解析本题考查频率分布直方图．做这类题应注意组距、各小矩形的面积和为1等．1－2(0.02＋0.05＋0.15＋0.19)＝0.18，所以0.18×200＝36.5．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )．A ．s 3＞s 1＞s 2B ．s 2＞s 1＞s 3C ．s 1＞s 2＞s 3D ．s 2＞s 3＞s 1 解析 ∵x 甲＝＋8＋9＋20＝8.5， s 21＝－2＋－2＋－2＋－2]20＝1.25，x 乙＝＋＋＋20＝8.5，s 22＝6－2＋－2]＋－2＋－2]20＝1.45，x 丙＝＋＋＋20＝8.5，s 23＝－2＋－2]＋－2＋－2]20＝1.05.由s 22＞s 21＞s 23，得s 2＞s 1＞s 3. 答案 B6．对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100～300 h 的电子元件的数量与使用寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是( )．A.12B.13C.14D.16 解析 寿命在100～300 h 的电子元件的频率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12 000＋32 000×100＝420＝15； 寿命在300～600 h 的电子元件的频率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1400＋1250＋32 000×100＝45. ∴它们的电子元件数量之比为15∶45＝14.答案 C7．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )．A ．57.2,3.6B ．57.2,56.4C ．62.8,63.6D ．62.8,3.6 解析 平均数增加，方差不变． 答案 D 二、填空题8．某企业3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h. 解析 由于三个厂的产量比为1∶2∶1， 所以从三个厂抽出产品比例也应为1∶2∶1.所以100件产品的使用寿命平均值为980×1＋1 020×2＋1 032×14＝1 013.答案 1 0139一个样本a,99，b,101，c 中，五个数顺次成等差数列，则这个样本的标准差为________． 答案 2解析 ∵a,99，b,101，c 成等差数列， ∴b ＝101＋992＝100，∴a ＝98，c ＝102.∴x ＝98＋99＋100＋101＋1025＝100，∴s ＝＝ 2.10．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析 根据样本的频率分布直方图，成绩小于60分的学生的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.20，所以可推测3 000名学生中成绩小于60分的人数为600名． 答案 60011．某校开展“爱我青岛，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________．解析 当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x＜4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x＝1.答案 112．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2＋y 2的值为________．解析 由15(x ＋y ＋10＋11＋9)＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得，x2＋y 2＝208. 答案 208 三、解答题13．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t ＜94，2，94≤t＜102，4，t≥102.估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．解析 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为 1100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)． 14.中学高三年级参加市一轮验收考试的同学有1 000人，用系统抽样法抽取了一个容量为200的学生总成绩的样本，分数段及各分数段人数如下(满分750分)：(2)画出频率分布直方图；(3)模拟本科划线成绩为550分，试估计该校的上线人数． 解析 (1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如下：(3)由频率分布表知，在样本中成绩在550分以上的人数的频率为0.20＋0.15＝0.35.由此可以估计该校本科模拟上线人数约为0．35×1 000＝350(人)．15．某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据进行分组，得到如下频率分布表：(1)补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．解析(1)频率分布表如下：频率颁布直方图如图：(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)整体数据的平均值为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20＝40.00(mm)．16．某市2010年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85 ,75,71,49,45.样本频率分布表：(1)完成频率分布表；(2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价． 解析 (1)频率分布表：(2)频率分布直方图：(3)答对下述两条中的一条即可：①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115.有26天处于良的水平，占当月天数的1315.处于优或良的天数共有28天，占当有月数的1415.说明该市空气质量基本良好．②轻微污染有2天，占当月天数的115.污染指数在80以上接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的1730，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善．。

北师大版版高考数学一轮复习算法初步统计与统计案例统计图表用样本估计总体教学案理解析版

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[考纲传真] １．了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.２．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.３．能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.４．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．１．常用统计图表（１）频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝错误!；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．（２）频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．横轴表示样本数据，纵轴表示错误!，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．（３）频率分布折线图和总体密度曲线１频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．２总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．（４）茎叶图的画法：第一步：将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分；第二步：将各个数据的茎按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右（左）侧．２．样本的数字特征（１）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．（２）中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．（３）平均数：把错误!＝错误!称为x１，x２，…，x n这n个数的平均数．（４）标准差与方差：设一组数据x１，x２，x３，…，x n的平均数为错误!，则这组数据的标准差和方差分别是s＝错误!；s２＝错误![（x１—错误!）２＋（x２—错误!）２＋…＋（x n—错误!）２]．错误!１．频率分布直方图中各小矩形的面积之和为１．２．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系（１）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．（２）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．（３）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．３．若数据x１，x２，…，x n的平均数为错误!，方差为s２，则数据mx１＋a，mx２＋a，mx３＋a，…，mx n＋a的平均数是m错误!＋a，方差为m２s２.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．（２）一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. （）（３）频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．（４）茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．（）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）×２．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x１，x２，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ａ．x１，x２，…，x n的平均数Ｂ．x１，x２，…，x n的标准差Ｃ．x１，x２，…，x n的最大值Ｄ．x１，x２，…，x n的中位数B[标准差反映样本数据的离散波动大小，故选Ｂ．]３．数据１,３,４,8的平均数与方差分别是（）Ａ．２,２．５Ｂ．２,１0．５Ｃ．４,２Ｄ．４,6．５D[平均数为错误!＝４，方差为错误!＝6．５．]４．某学生在一门功课的２２次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）Ａ．１１7 Ｂ．１１8Ｃ．１１8．５Ｄ．１１9．５B[２２次考试中，所得分数最高的为98，最低的为５6，所以极差为98—５6＝４２，将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为４２＋76＝１１8．]５．（教材改编）某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于３５岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[３５,４0），[４0,４５），[４５,５0），[５0,５５），[５５,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于４５岁的有________人．４8 [由频率分布直方图可知４５岁以下的教师的频率为５×（0．0４0＋0．080）＝0．6，所以共有80×0．6＝４8（人）. ]样本的数字特征的计算与应用１．在某次测量中，得到的A样本数据为8１,8２,8２,8４,8４,8５,86,86,86，若B样本数据恰好是A样本数据分别加２后所得的数据，则A，B两个样本的下列数字特征对应相同的是（）Ａ．众数Ｂ．平均数Ｃ．标准差Ｄ．中位数C[由题意可得A，B两组数据的众数分别是86和88，排除A；B组数据的平均数比A组数据的平均数大２，排除B；B组数据的中位数比A组数据的中位数大２，排除D；A，B两组数据的标准差相同，C正确，故选Ｃ．]２．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶５次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）甲乙Ａ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数Ｂ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数Ｃ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差Ｄ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差C[根据条形统计图可知甲的中靶情况为４环、５环、6环、7环、8环；乙的中靶情况为５环、５环、５环、6环、9环.错误!甲＝错误!（４＋５＋6＋7＋8）＝6，错误!乙＝错误!（５×３＋6＋9）＝6，甲的成绩的方差为错误!＝２，乙的成绩的方差为错误!＝２．４；甲的成绩的极差为４环，乙的成绩的极差为４环；甲的成绩的中位数为6环，乙的成绩的中位数为５环，综上可知C正确，故选Ｃ．]３．某人５次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y,１0,１１,9．已知这组数据的平均数为１0，方差为２，则|x—y|的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４D[由题意可知错误!∴错误!∴（x＋y）２＝x２＋y２＋２xy，即２08＋２xy＝４00，∴xy＝96．∴（x—y）２＝x２＋y２—２xy＝１6，∴|x—y|＝４，故选Ｄ．][规律方法] 众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论（１）平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．（２）方差的简化计算公式：s２＝错误![（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）—n错误!２]，或写成s２＝错误!（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）—错误!２，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．【例１】某良种培育基地正在培育一小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了２５亩，所得亩产量的数据（单位：千克）如下：品种A：３５7,３５9,３67,３68,３7５,３88,３9２,３99,４00,４0５,４１２,４１４,４１５,４２１,４２３,４２３,４２7,４３0,４３0,４３４,４４３,４４５,４４５,４５１,４５４．品种B：３6３,３7１,３7４,３8３,３8５,３86,３9１,３9２,３9４,３9４,３9５,３97,３97,４00,４0１,４0１,４0３,４06,４07,４１0,４１２,４１５,４１6,４２２,４３0（１）作出品种A与B亩产量数据的茎叶图；（２）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？（３）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．[解] （１）画出茎叶图如图所示．（２）由于每个品种的数据都只有２５个，样本容量不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且可以随时记录新的数据．（３）通过观察茎叶图可以看出：１品种A的亩产量的平均数（或均值）比品种B高；２品种A的亩产量的标准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产量的稳定性较差．[规律方法] 茎叶图中的两个关注点（１）重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．（２）给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．易错警示：茎叶图中数字大小排列不一定从小到大排列，一定要看清楚．气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～５0为优；５１～１00为良；１0１～１５0为轻度污染；１５１～２00为中度污染；２0１～３00为重度污染；大于３00为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI记录数据中，随机抽取１0个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于１00的天数约为________．（该年为３6５天）（２）如图所示的茎叶图是甲、乙两位选手在某次比赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）Ａ．甲的平均数大于乙的平均数Ｂ．甲的中位数大于乙的中位数Ｃ．甲的方差大于乙的方差Ｄ．甲的平均数等于乙的中位数（１）１４6 （２）C[（１）该样本中AQI大于１00的频数是４，频率为错误!，由此估计该地全年AQI大于１00的频率为错误!，估计此地该年AQI大于１00的天数约为３6５×错误!＝１４6．（２）由茎叶图可知，错误!甲＝错误!×（５9＋４５＋３２＋３8＋２４＋２6＋１１＋１２＋１４）＝２9，错误!乙＝错误!×（５１＋４３＋３0＋３４＋２0＋２５＋２7＋２8＋１２）＝３0，s错误!＝错误!×（３0２＋１6２＋３２＋9２＋５２＋３２＋１8２＋１7２＋１５２）≈２３５．３，s错误!＝错误!×（２１２＋１３２＋0２＋４２＋１0２＋５２＋３２＋２２＋１8２）≈１２0．9，甲的中位数为２6，乙的中位数为２8．所以甲的方差大于乙的方差．故选Ｃ．]频率分布直方图【例２】某城市１00户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以[１60,１80），[１80,２00），[２00,２２0），[２２0,２４0），[２４0,２60），[２60,２80），[２80,３00]分组的频率分布直方图如图．（１）求直方图中x的值．（２）求月平均用电量的众数和中位数．（３）在月平均用电量为[２２0,２４0），[２４0,２60），[２60,２80），[２80,３00]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取１１户居民，则月平均用电量在[２２0,２４0]的用户中应抽取多少户？[解] （１）（0．00２＋0．009 ５＋0．0１１＋0．0１２５＋x＋0．00５＋0．00２５）×２0＝１，解得x＝0．007 ５．即直方图中x的值为0．007 ５．（２）月平均用电量的众数是错误!＝２３0．∵（0．00２＋0．009 ５＋0．0１１）×２0＝0．４５＜0．５，（0．00２＋0．009 ５＋0．0１１＋0．0１２５）×２0＝0．7＞0．５，∴月平均用电量的中位数在[２２0,２４0）内．设中位数为a，则0．４５＋0．0１２５×（a—２２0）＝0．５，解得a＝２２４，即中位数为２２４．（３）月平均用电量在[２２0,２４0]的用户有0．0１２５×２0×１00＝２５（户）．同理可得月平均用电量在[２４0,２60）的用户有１５户，月平均用电量在[２60,２80）的用户有１0户，月平均用电量在[２80,３00]的用户有５户，故抽取比例为错误!＝错误!.∴月平均用电量在[２２0,２４0）的用户中应抽取２５×错误!＝５（户）．[规律方法] 频率、频数、样本容量的计算方法（１）错误!×组距＝频率．（２）错误!＝频率，错误!＝样本容量，样本容量×频率＝频数．从某企业生产的某种产品中抽取１00件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[7５,8５）[8５,9５）[9５,１0５）[１0５,１１５）[１１５,１２５]频数6２6３8２２8（２）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（３）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于9５的产品至少要占全部产品的80%”的规定？[解] （１）如图所示：（２）质量指标值的样本平均数为错误!＝80×0．06＋90×0．２6＋１00×0．３8＋１１0×0．２２＋１２0×0．08＝１00．质量指标值的样本方差为s２＝（—２0）２×0．06＋（—１0）２×0．２6＋0×0．３8＋１0２×0．２２＋２0２×0．08＝１0４．所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为１00，方差的估计值为１0４．（３）质量指标值不低于9５的产品所占比例的估计值为0．３8＋0．２２＋0．08＝0．68．由于该估计值小于0．8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于9５的产品至少要占全部产品的80%”的规定．１．（２0１7·全国卷Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了１月至１２月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）Ａ．月接待游客量逐月增加Ｂ．年接待游客量逐年增加Ｃ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月Ｄ．各年１月至6月的月接待游客量相对于7月至１２月，波动性更小，变化比较平稳A[对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于１２月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选Ａ．２．（２0１8·全国卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）Ａ．新农村建设后，种植收入减少Ｂ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上Ｃ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍Ｄ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A[设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为２x.建设前种植收入为0．6x，建设后种植收入为0．7４x，故A不正确；建设前其他收入为0．0４x，建设后其他收入为0．１x，故B正确；建设前养殖收入为0．３x，建设后养殖收入为0．6x，故C正确；建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的５8%，故D正确．]。

高考数学北师大理一轮复习 第章 统计与统计案例 统计图表用样本估计总体 文档

高考数学北师大理一轮复习 第章 统计与统计案例 统计图表用样本估计总体 文档

1．统计图表统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等． 2．数据的数字特征 (1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (2)样本方差、标准差 标准差s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， 其中x n 是样本数据的第n 项，n 是样本容量，x 是平均数．标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． 3．用样本估计总体(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.(3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且可以随时记录，方便表示与比较．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(√)(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．(×)(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(√)(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(×)(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(√)(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(×)1．(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．93 B．123C．137 D．167答案 C解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C. 2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92解析 ∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数为12×(91＋92)＝91.5.平均数为18×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.3．一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16B.13C.12D.23 答案 B解析 由已知，样本容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率为2266＝13. 4．(教材改编)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为________．答案 19,135．某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析由频率分布直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3000×0.2＝600.题型一频率分布直方图的绘制与应用例1(2015·课标全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]分分组频数281410 6评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．B地区用户满意度评分的频率分布直方图图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．解(1)如图所示．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．思维升华(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．(1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8C．12 D．18 答案 C解析志愿者的总人数为20(0.16＋0.24)×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.(2)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：①求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；②统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．解①设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．②平均分：45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)．题型二茎叶图的应用例2(1)(2015·山东)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8D ．8,8答案 (1)B (2)C解析 (1)甲地5天的气温为：26,28,29,31,31， 其平均数为x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29；方差为s 2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6； 标准差为s 甲＝ 3.6.乙地5天的气温为：28,29,30,31,32， 其平均数为x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30；方差为s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2； 标准差为s 乙＝ 2. ∴x甲＜x 乙，s 甲＞s 乙．(2)由茎叶图及已知得x ＝5，又乙组数据的平均数为16.8，即9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，解得y ＝8. 引申探究1．本例(2)中条件不变，试比较甲、乙两组哪组成绩较好．解 由原题可知x ＝5，则甲组平均分为9＋12＋15＋24＋275＝17.4.而乙组平均分为16.8，所以甲组成绩较好．2．在本例(2)条件下：①求乙组数据的中位数、众数；②求乙组数据的方差． 解 ①由茎叶图知，乙组中五名学生的成绩为9,15,18,18,24. 故中位数为18，众数为18.②s 2＝15[(9－16.8)2＋(15－16.8)2＋(18－16.8)2×2＋(24－16.8)2]＝23.76.思维升华 茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．(2014·课标全国Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解 (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．) 题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例3 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 解 (1)由题图像可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13；x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4；s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．思维升华 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．(2015·广东)某工厂36名工人的年龄数据如下表. 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 4318 3627 4236 39(1)龄数据为44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? 解 (1)44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40.s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009.(3)40－103＝1103，40＋103＝1303在⎝⎛⎭⎫1103，1303的有23个，占63.89%.9．高考中频率分布直方图的应用典例 (12分)(2015·广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？ 规范解答解 (1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075， 所以直方图中x 的值是0.0075.[3分](2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.[4分]因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.[8分](3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5(户)，抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．[12分]温馨提醒 本题的难点是对频率分布直方图意义的理解以及利用这个图提供的数据对所提问题的计算，频率分布直方图中纵轴上的数据是频率除以组距，组距越大该数据越小，在解答这类问题时要特别注意．[方法与技巧]1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．3．若取值x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n；若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x ＋b，方差为a2s2.[失误与防范]频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()A.0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6答案 B解析10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.故选B.2．(2014·陕西)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.x，s2＋1002B.x＋100，s2＋1002C.x，s2D.x＋100，s2答案 D解析x1＋x2＋…＋x1010＝x，y i＝x i＋100，所以y1，y2，…，y10的均值为x＋100，方差不变，故选D.3．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50C．55 D．60答案 B解析由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝150.3＝50.4．在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．平均数B．标准差C．众数D．中位数答案 B解析利用平均数、标准差、众数、中位数等统计特征数的概念求解．由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A 样本不相同，标准差不变，故选B.5.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1、a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关 答案 B解析 去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2>a 1.故选B.6．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367 C ．36 D.677答案 B解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2] ＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367. 7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为________． 答案 2解析 由题意可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.8．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝____________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．答案 0.030 3解析 ∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a ＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人．9．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36. (1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；(2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，96≤x <98，5，98≤x <104，4，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．解(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n.∵样本中产品净重小于100克的个数是36，＝0.300，∴n＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋∴36n0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，∴这批产品平均每个的利润为1120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．B组专项能力提升(时间：30分钟)10．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是()答案 A解析由于频率分布直方图的组距为5，排除C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，排除B，应选A.11．(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.答案24解析底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24. 12．(2015·湖北)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．答案(1)3(2)6000解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6×10000＝6000，故应填3,6000.13．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．解(1)如下表所示频率分布表.(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0．50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x件，依题意505000＝20x＋20，解得x＝5000×2050－20＝1980.所以该批产品的合格品件数是1980. 14．(2014·广东)某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差．解(1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以这20名工人年龄的方差为：12＋320(30－28)2＋320(30－29)2＋520(30－30)2＋420(30－31)2＋320(30－32)2＋120(30－20(30－19)40)2＝12.6.。

【北师大版】高三数学步步高(理)第十编 计数原理

【北师大版】高三数学步步高(理)第十编 计数原理

第十编 计数原理§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（ ）A .7B .64C .12D .81答案 C2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（ ）A .6B .5C .3D .2答案 B3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有不同的选法种数为（ ）A .9B .20C .54D .45答案 B4.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）A .34种B .43种C .18种D .36种答案 D5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？ （2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？ 解 （1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种.(2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有 3×13=39种方法.(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法.例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解 方法一 按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个. 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.方法二 按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有： 1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.例2 已知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2},P (a ,b )表示平面上的点(a ,b ∈M ),问: (1)P 可表示平面上多少个不同的点? (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P 可表示多少个不在直线y =x 上的点?解 （1）确定平面上的点P (a ,b )可分两步完成：基础自测第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法.根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6=36.（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法；第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6.（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x 上的点有6个.由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.例3（12分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）. 3分（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040（种）. 6分（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，10分所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）. 12分1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?解当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法.当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.……当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法.当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法.……当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.由分类加法计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法.2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解先分三步选号，再计算总钱数.按号段选号，分成三步.第一步从01至17中选3个连续号，有15种选法；第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法；第三步从30至36中选1个号，有7种选法.由分步乘法计数原理可知，满足要求的号共有15×10×7=1 050(注),故至少要花1 050×2=2 100(元).3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解（1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法.（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分步计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法.（3）分三类，每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法.一、选择题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A.10种B.20种C.25种D.32种答案D2.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”个数为（）A.2 000B.4 096C.5 904D.8 320答案C3.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（）A.3B.4C.6D.8答案D4.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有（）A.180种B.120种C.96种D.60种答案A5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（）A.6种B.8种C.36种D.48种答案D6.（2008·全国Ⅰ文，12）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A.6种B.12种C.24种D.48种答案B二、填空题7.在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种.答案 2 8808.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案300三、解答题9.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：3×3×3×3=81种报名方法.（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有：4×4×4=43=64种可能的情况.10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解完成该件事可分步进行.涂区域1，有5种颜色可选.涂区域2，有4种颜色可选.涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×（1×4+3×3）=260种涂色方法.11.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.解按点P的坐标a将其分为6类:(1)若a=1,则b=5或6,有2个点;(2)若a=2,则b=5或6,有2个点;(3)若a=3,则b=5或6或4,有3个点;(4)若a=4,则b=3或5或6,有3个点;(5)若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;(6)若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;∴共有2+2+3+3+5+5=20（个）点.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？解设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物，不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理，如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法，由分步乘法计数原理共有1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法.故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14（种）.同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.所以符合要求的种植方法共有3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(种).§10.2 排列与组合1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ）A .9个B .24个C .36个D.54个答案 D2.（2008·福建理，7）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）A .14B .24C .28D.48答案 A3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有 （ ）A .A 77B .A 37C .C 18A 77D.C 18A 37答案 C4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（ ）A .C 16C 294B .C 16C 299C .C 3100-C 394D.A 3100-A 394答案 C5.（2008·上海理，12）组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A .11++n r C 11--r nB .(n +1)(r +1)C 11--r nC .nr C 11--r nD.rn C 11--r n 答案 D例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲、乙站在两端； （6）甲不站左端，乙不站右端.解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A 14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A 55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A 14·A 55=480（种）.方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A 25种站法，然后中间4人有A 44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A 25·A 44=480（种）.方法三 若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站 法：A 66-2A 55=480（种）.基础自测（2）方法一先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22=240（种）站法.方法二先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A15种方法，最后让甲、乙全排列，有A22种方法，共有A44·A15·A22=240（种）.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A25种站法，故共有站法为A44·A25=480（种）.也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由（2）知甲、乙相邻有A55·A22=240种站法，所以不相邻的站法有A66-A55·A22=720-240=480（种）.（4）方法一先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A22种，故共有A44·（3A22）=144（种）站法.方法二先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A22种方法，故共有A24·A33·A22=144（种）站法.（5）方法一首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44=48（种）站法.方法二首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分步乘法计数原理共有A22·A44=48（种）站法.（6）方法一甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66-2A55+A44=504（种）站法.方法二以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A14·A44种，故共有A55+A14·A14·A44=504（种）站法.例2（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.解（1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法.第二步：选2名女运动员，有C24种选法.共有C36·C24=120种选法. 3分（2）方法一至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246种. 6分方法二“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C510-C56=246种. 6分（3）方法一可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有女队长”的选法为C48；“男、女队长都入选”的选法为C38；所以共有2C48+C38=196种选法. 9分方法二间接法：从10人中任选5人有C510种选法.其中不选队长的方法有C58种.所以“至少1名队长”的选法为C510-C58=196种. 9分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法.其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48-C45种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C49+C48-C45=191种. 12分例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C24种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种方法. 故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数； (3)大于3 125的数.解 (1)先排个位，再排首位，共有A 13·A 14·A 24=144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A 35个，以2或4结尾的四位偶数有A 12·A 14·A 24个，则共有A 35+ A 12·A 14·A 24=156（个）. (3)要比3 125大，4、5作千位时有2A 35个，3作千位，2、4、5作百位时有3A 24个，3作千位，1作百位时有2A 13个，所以共有2A 35+3A 24+2A 13=162（个）.2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中 （1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ （2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？ （3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 解 （1）只需从其他18人中选3人即可，共有C 318=816（种）.（2）只需从其他18人中选5人即可，共有C 518=8 568（种）.（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C 12C 418+C 318=6 936（种）.（4）方法一 （直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C 112C 48+C 212C 38+C 312C 28+C 412C 18=14 656（种）.方法二 （间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C 520-（C 58+C 512)=14656(种）. 3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； （3）分成每组都是2本的三组； （4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.解 （1）分三步：先选一本有C 16种选法；再从余下的5本中选2本有C 25种选法；对于余下的三本全选有C 33种选法，由分步乘法计数原理知有C 16C 25C 33=60种选法.（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C 16C 25C 33A 33=360种选法. （3）先分三步，则应是C 26C 24C 22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为（AB ，CD ，EF ），则C 26C 24C 22种分法中还有（AB 、EF 、CD ），（CD 、AB 、EF ）、（CD 、EF 、AB ）、（EF 、CD 、AB ）、（EF 、AB 、CD ）共有A 33种情况，而且这A 33种情况仅是AB 、CD 、 EF 的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有33222426A C C C =15种.（4）在问题（3）的工作基础上再分配，故分配方式有33222426A C C C ·A 33= C 26C 24C 22=90种.一、选择题1.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有（ ）A .60个B .48个C .36个D .24个答案 C2.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法的种数为（ ）A .6B .10C .20D .30答案 B3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A .1 440种B .960种C .720种D .480种答案 B4.在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有不同的读法种数是（ ）A .250B .240C .252D .300答案 C5.(2008·天津理，10)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 （ ）A .1 344种B .1 248种C .1 056种D .960种答案 B6.（2008·安徽理，12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）A .C 28A 23B .C 28A 66C .C 28A 26D .C 28A 25答案C二、填空题7.（2008·海滨模拟）平面α内有四个点，平面β内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定个平面，任取四点，最多可确定个四面体.（用数字作答）.答案72 1208.（2008·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是 .（用数字作答）答案40三、解答题9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？解可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C23A24种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案.由分类加法计数原理可知共有C23A24+A34=60种方案.10.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.解（1）一名女生，四名男生，故共有C15·C48=350（种）.（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311=165（种）.（3）至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长.故共有：C12·C411+C22·C311=825（种）.或采用间接法：C513-C511=825（种）.（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为C25·C38+C15·C48+C58=966（种）.11.已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点.（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解（1）所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身.∴所作的平面最多有C14·C26+C24·C16+2=98（个）.（2）所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C 24·C 26个；α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C 34·C 16个. ∴最多可作出的三棱锥有：C 14·C 36+C 24·C 26+C 34·C 16=194（个）.（3）∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等, 且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有C 36+C 34+C 26·C 24=114（个）.12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？ 解 ∵前排中间3个座位不能坐， ∴实际可坐的位置前排8个，后排12个.（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C 18·C 112·A 22种； （2）两人均在后排左右不相邻，共A 212-A 22·A 111=A 211种；（3）两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，共C 14·C 14·A 22种； ②两人同左同右，有2（A 24-A 13·A 22）种.综上可知，不同排法种数为C 18·C 112·A 22+A 211+C 14·C 14·A 22+2（A 24-A 13·A 22）=346种.§10.3 二项式定理1.在（1+x ）n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 等于（ ）A .8B .9C .10D .11答案 C2.在（a 2-2a 31）n 的展开式中，（ ）A .没有常数项B .当且仅当n =2时，展开式中有常数项 C.当且仅当n =5时，展开式中有常数项 D.当n =5k (k ∈N +)时，展开式中有常数项 答案 A3.若多项式0C n (x +1 n ）-C 1n (x +1)n -1+…+(-1)r C r n (x +1)n -r +…+(-1)n C n n =a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a n ,则a 0+a 1+…+a n -1+a n 等于（ ）A .2nB .0C .-1D .1答案 D4.（2008·山东理，9）(x -31x)12展开式中的常数项为（ ）基础自测A .-1 320B .1 320C .-220D .220答案 C5.（2008·福建理，13）若(x -2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .（用数字作答） 答案 31例1 在二项式(x +421x)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，2n ，81n (n -1)， ∴2·2n =1+81n （n -1）， 解得n =8或n =1（不合题意，舍去），∴T k +1=C k 8x28k -k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421x =C k 82-k x 4-43k ， 当4-43k ∈Z 时，T k +1为有理项， ∵0≤k ≤8且k ∈Z ,∴k =0，4，8符合要求. 故有理项有3项，分别是 T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561x -2.∵n =8，∴展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大.T 5=835x . 例2 已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7. 求:(1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)a 0+a 2+a 4+a 6;(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.解 令x =1,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=-1 ①令x =-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37②(1)∵a 0=C 07=1,∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=-2. (2)(①-②)÷2, 得a 1+a 3+a 5+a 7=2317--=-1 094. (3)(①+②)÷2,得a 0+a 2+a 4+a 6=2317+-=1 093.(4)∵(1-2x )7展开式中,a 0,a 2,a 4,a 6都大于零, 而a 1,a 3,a 5,a 7都小于零, ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=(a 0+a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a 7), ∴由(2)、（3）即可得其值为2 187.例3 （12分）（1）已知n ∈N +,求证：1+2+22+23+…+25n -1能被31整除；（2）求0.9986的近似值，使误差小于0.001. （1）证明 1+2+22+23+…+25n -1=21215--n =25n-1=32n -1 3分=（31+1）n -1=31n +C 1n ·31n -1+C 2n ·31n -2+…+C 1-n n ·31+1-1=31（31n -1+C 1n ·31n -2+…+C 1-n n ）5分显然括号内的数为正整数， 故原式能被31整除.6分（2）解 ∵0.9986=（1-0.002）6=1-C 16（0.002）+C 26（0.002）2-C 36（0.002）3+…8分 第三项T 3=15×(0.002)2=0.000 06＜0.001,以后各项更小,∴0.9986≈1-0.012=0.988.12分1.在（3x -2y ）20的展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项.解 （1）二项式系数最大的项是第11项，T 11=C 1020310（-2）10x 10y 10=C 1020610x 10y 10.（2）设系数绝对值最大的项是第r +1项，于是⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅----+-+-1211202020119120202023C 23C 23C 23C r r r r r r r r r r r r ，化简得⎩⎨⎧≥--≥+r r r r 3)21(2)20(2)1(3，解得752≤r ≤852.所以r =8,即T 9=C 820312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项.（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r -1项系数最大，于是⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅----------rr r r r r r r r r r r 222022022222222042224422022222222023C 23C 23C 23C ， 化简得⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+092416310007711431022r r r r .解之得r =5,即2×5-1=9项系数最大. T 9=C 820·312·28·x 12y 8.2.求x (1-x )4+x 2(1+2x )5+x 3(1-3x )7展开式中各项系数的和. 解 设x (1-x )4+x 2(1+2x )5+x 3(1-3x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n在原式中，令x =1,则1×(1-1)4+12×(1+2)5+13×(1-3)7=115, ∴展开式中各项系数的和为115. 3.求证:3n ＞(n +2)·2n -1（n ∈N +，n ＞2）.证明 利用二项式定理3n =(2+1)n 展开证明.因为n ∈N +，且n ＞2,所以3n =(2+1)n 展开后至少有4项.（2+1）n =2n +C 1n ·2n -1+…+C 1-n n ·2+1≥2n +n ·2n -1+2n +1＞2n +n ·2n -1=(n +2)·2n -1,故3n ＞(n +2)·2n -1.一、选择题1.（1-2x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 6|的值为（ ）A .1B .64C .243D .729答案 D2.（2008·安徽理，6）设（1+x ）8=a 0+a 1x +…+a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为（ ） A .2 B .3 C .4 D .5答案 A3.（2008·全国Ⅱ理，7）(1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数是（ ）A .-4B .-3C .3D .4答案 B 4.已知(x -xa )8展开式中常数项为1 120，其中实数a 为常数，则展开式中各项系数的和为 （ ）A .28B .38C .1或38D .1或28答案 C5.若(1+5x 2)n 的展开式中各项系数之和是a n ,（2x 3+5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ,则nn n b a 13+的值为（ ） A .31B .21 C .1 D .3答案 A6.设m ∈N +,n ∈N +,若f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n 的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A .31B .40C .31或40D .不确定答案 C 二、填空题7.（1+x ）6(1-x )4展开式中x 3的系数是 . 答案 -88.（2008·天津理，11）52⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中x 2的系数是 .（用数字作答） 答案 40 三、解答题 9.已知(x +22x)n (n ∈N +)的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为10∶1.求展开式中系数最大的是第几项？解 依题意，第5项的系数为C 4n ·24，第三项的系数为C 2n ·22，则有2244C 2C 2nn ⋅⋅=110，解得n =8. 设展开式中第r +1项的系数最大，则⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--118811882C 2C ,2C 2C r r rr r r r r 解得5≤r ≤6. ∴第6项和第7项的系数相等且最大， 即最大为56×25=7×28=1 792.10.已知（32x +3x 2）n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.解 令x =1，得各项的系数和为(1+3)n =4n ，而各项的二项式系数和为：C 0n +C 1n +…+C n n =2n ，∴4n =2n +992. ∴(2n -32)(2n +31)=0∴2n =32或2n =-31（舍去），∴n =5 设第r +1项的系数最大，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--;3C 3C ,3C 3C 11551155r r rr r r r r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥;1351,613r r r r ∴27≤r ≤29，又r ∈Z ，∴r =4， ∴系数最大的项是T 5=C 45x 32(3x 2)4=405x326.11.（1）求(x 2-x21)9的展开式中的常数项； （2）已知(x a -2x )9的展开式中x 3的系数为49，求常数a 的值；（3）求（x 2+3x +2）5的展开式中含x 的项. 解 （1）设第r +1项为常数项，则T r +1=C r9(x 2）9-r ·(-x 21)r =(-21)r C r 9x r318- 令18-3r =0,得r =6,即第7项为常数项.。

【步步高】高考数学总复习 第十一章 11.3变量间的相关关系、统计案例强化训练 理 北师大版

【步步高】高考数学总复习 第十一章 11.3变量间的相关关系、统计案例强化训练 理 北师大版

§11.3 变量间的相关关系、统计案例1． 相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 2． 回归方程(1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ，b 是待定参数． ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1(x i－x )(y i－y )∑ni ＝1(x i－x )2＝∑ni ＝1x i y i－n x y∑n i ＝1x 2i－n x 2a ＝y －b x.3． 回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数①r＝∑ni＝1(x i－x)(y i－y)∑ni＝1(x i－x)2∑ni＝1(y i－y)2＝∑ni＝1x i y i－n x y(∑ni＝1x2i－n x2)(∑ni＝1y2i－n y2)；②当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．4．独立性检验设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝A1；变量B：B1，B2＝B1；2×2列联表：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(×)(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(√)(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(√)(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．(×)(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2越大．(√)(6)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(×)2． 下面哪些变量是相关关系( )A ．出租车车费与行驶的里程B ．房屋面积与房屋价格C ．身高与体重D ．铁块的大小与质量 答案 C3． 为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是 ( )A ．有99%的人认为该电视栏目优秀B ．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C ．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 答案 D解析 只有χ2≥6.635才能有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而既使χ2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关．故只有D 正确．4． 在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填“有关”或“无关”)． 答案 有关5． 下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝ －0.7x ＋a ，则a 等于( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25答案 D解析 x ＝2.5，y ＝3.5，∵回归直线过定点(x ，y )， ∴3.5＝－0.7×2.5＋a .∴a ＝5.25，故选D.题型一 相关关系的判断例1 5个学生的数学和物理成绩如下表：思维启迪 将每个学生的数学成绩和物理成绩分别作为点的横坐标和纵坐标，作散点图，然后根据散点图判断两个变量是否存在相关关系．解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示．由散点图可知，各组数据对应点大致在一条直线附近，所以两者之间具有相关关系，且为正相关．思维升华 判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱．(1)对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图②，由这两个散点图可以判断 ( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 答案 C(2)(2012·课标全国)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C.12D ．1答案 D解析 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即y i ＝y i ^，代入相关系数公式r ＝1－∑i ＝1n(y i －y i ^)2∑i ＝1n (y i －y )2＝1.题型二 线性回归分析例2 某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？思维启迪 求线性回归方程的系数b ^时，为防止出错，应分别求出公式中的几个量，再代入公式．解 (1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ＝0.7，∴a ＝1.05，∴y ＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示．(3)将x＝10代入回归直线方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时．思维升华(1)线性回归方程y＝bx＋a必过样本点的中心(x，y)．(2)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．答案0.50.53解析小李这5天的平均投篮命中率y＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x＝3.根据表中数据可求得b＝0.01，a＝0.47，故线性回归方程为y＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.题型三独立性检验例3为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)(2)能否有99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．思维启迪直接计算χ2的值，然后利用表格下结论．解(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70500×100%＝14%.(2)χ2＝500×(40×270－30×160)2200×300×70×430≈9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．思维升华 (1)根据样本估计总体是抽样分析的一个重要内容．要使估计的结论更加准确，抽样取得的样本很关键．(2)根据独立性检验知，需要提供服务的老人与性别有关，因此在调查时，采取男、女分层抽样的方法更好，从而看出独立性检验的作用．某中学对“学生性别和是否喜欢看NBA 比赛”作了一次调查，其中男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看NBA 的人数占男生人数的56，女生喜欢看NBA 的人数占女生人数的13.(1)若被调查的男生人数为n ，根据题意建立一个2×2列联表；(2)若有95%的把握认为是否喜欢看NBA 和性别有关，求男生至少有多少人？ 解 (1)由已知得：(2)χ2＝3n 2(5n 6·n 3－n 6·n 6)2n ·n 2·n 2·n ＝38n .若有95%的把握认为是否喜欢看NBA 和性别有关， 则χ2>3.841，即38n >3.841，n >10.24.∵n 2，n6为整数，∴n 最小值为12. 即：男生至少12人．统计中的数形结合思想典例：(12分)某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示：(2)如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．思维启迪 可以画出散点图，根据图中点的分布判断家庭年收入和年饮食支出的线性相关性． 规范解答解 (1)由题意，知年收入x 为解释变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图如图所示．[3分]从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．[4分]因为x ＝6，y ＝1.83，∑i ＝110x 2i ＝406，∑i ＝110y 2i ＝35.13，∑i ＝110x i y i ＝117.7，所以b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.172，a ＝y －b x ≈1.83－0.172×6＝0.798. 从而得到线性回归方程为y ＝0.172x ＋0.798.[8分](2)y ＝0.172×9＋0.798＝2.346(万元)．所以家庭年收入为9万元时，可以预测年饮食支出为2.346万元．[12分]温馨提醒(1)在统计中，用样本的频率分布表、频率分布直方图、统计图表中的茎叶图、折线图、条形图，去估计总体的相关问题，以及用散点图判断相关变量的相关性等都体现了数与形的完美结合．借助于形的直观，去统计数据，分析数据，无不体现了数形结合的思想．(2)本题利用散点图分析两变量间的相关关系，充分体现了数形结合思想的应用．(3)本题易错点为散点图画的不准确，导致判断错误．方法与技巧1．求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同．)2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．3．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．失误与防范1．相关关系与函数关系的区别：相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．2．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．某地区调查了2～9岁的儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y ＝8.25x＋60.13，下列叙述正确的是()A．该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cmB．该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cmC．该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cmD．利用这个模型可以准确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高答案 B2．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同答案 A解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以B、C错误．D中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以D错误．根据线性回归直线一定经过样本点中心可知A正确．3．(2012·湖南)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是() A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg答案 D解析由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本点中心(x，y)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确．4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：χ2＝110×(40×30－20×20)60×50×60×50≈7.8.下面结论正确的是 ( )A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 A解析 根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A.5． 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元答案 B 解析 ∵x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42， 又y ＝bx ＋a 必过(x ，y )，∴42＝72×9.4＋a ，∴a ＝9.1.∴线性回归方程为y ＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 二、填空题6． 以下四个命题，其中正确的序号是________．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 ；③在线性回归方程y ＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量χ2来说，χ2越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．答案②③解析①是系统抽样；对于④，随机变量χ2越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．7．已知回归方程y＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________．答案5∶22解析x每增长1个单位，y增长4.4个单位，故增长的速度之比约为1∶4.4＝5∶22.事实上所求的比值为回归直线方程斜率的倒数．8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.答案185解析儿子和父亲的身高可列表如下：设线性回归方程为y＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a＝y－b x＝176－173＝3，故线性回归方程为y＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.三、解答题9．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？附χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解 (1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为360500＝72%； 乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为320500＝64%.(2)完成的2×2列联表如下：由表中数据计算得χ2＝1 000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．10．(2013·重庆)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝ i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③回归方程y ＝bx ＋a 必过(x ，y )；④有一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y ＝3－5x ，当x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点(x ，y )，③正确；因为χ2＝13.079>6.635，故有99%的把握确认这两个变量有关系，④正确．故选B. 2． (2013·福建)已知x 与y 之间的几组数据如下表：(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A ．b >b ′，a >a ′B ．b >b ′，a <a ′C ．b <b ′，a >a ′D ．b <b ′，a <a ′答案 C解析 b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ＝∑i ＝16(x i －x )(y i －y )∑i ＝16(x i －x )2求得．b ＝57，a ＝y －b x ＝136－57×72＝－13， ∴b <b ′，a >a ′.选C.3． 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 答案 C解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75， 所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到χ2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.6>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．4． 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ＝0.67x ＋54.9.答案 68解析 由已知可计算求出x ＝30，而必过点(x ，y )， 则y ＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a ，则a＋62＋75＋81＋895＝75，计算得a＝68.5．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：则有________答案0.5%解析χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．6．(2013·福建)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？解(1)40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。

【步步高】高考数学总复习 第十一章 计数原理、随机变量及其分布章末检测 理 北师大版

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第十一章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2011·莱芜调研)正态分布密度函数φμ，σ(x)＝12π·σ·()222x e m s --.其中μ<0的图象可能为( )2．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是( ) A ．1 260 B ．120 C ．240 D ．7203．(2010·重庆)(x ＋1)4的展开式中x 2的系数为( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．204．中央电视台1套连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种5．(1－2x)5(2＋x)的展开式中x 3的项的系数是( ) A ．120 B ．－120 C ．100 D ．－100 6．(2010·四川)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是( )A ．36B ．32C ．28D ．24 7．(2011·聊城模拟)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，不同的参赛方案共有( )A ．24种B ．18种C ．21种D ．9种8．(2011·天津一中月考)若(1－2x)2 010＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 010x 2 010 (x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01022 010的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－29．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.929B.1029C.1929D.2029 10．(2011·福州模拟)袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( )A.C 14C 28C 312C 416C 1040B.C 24C 18C 312C 416C 1040C.C 24C 38C 112C 416C 1040D.C 14C 38C 112C 216C 104011．若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2；又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C ．3 D.11312．设[x ]表示不超过x 的最大整数(如[2]＝2，⎣⎡⎦⎤54＝1)，对于给定的n ∈N *，定义C xn ＝n (n －1)…(n －[x ]＋1)x (x －1)…(x －[x ]＋1)，x ∈[1，＋∞)，则当x ∈⎣⎡⎭⎫32，3时，函数C x 8的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤163，28 B.⎣⎡⎭⎫163，56 C.⎝⎛⎭⎫4，283∪[28,56) D.⎝⎛⎦⎤4，163∪⎝⎛⎦⎤283，28二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一射手射击时其命中率为0.4，则该射手命中的平均次数为2次时，他需射击的次数为________．14．(2010·辽宁)(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________．15．(2010·江西)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．16．设(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n －1x n －1＋a n x n ，a n －1＝2 009，则a 0＋a 1＋…＋a n －1＋a n ＝________(表示成β α－λ的形式)．三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2011·重庆西南师大附中期末)已知(a 2＋1)n 的展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，并且(a 2＋1)n 的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．18(1)(2)若总体服从正态分布，求正态曲线的近似方程．19．(12分)(2011·济宁模拟)一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望E (X )．20．(12分)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中， (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．21．(12分)(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．22．(12分)(2010·山东)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分．②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局．③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．第十一章 章末检测1．A [∵φ(x)图象的对称轴为x ＝μ，且φ(x)图象在x 轴上方，∴由图象知选项A 适合．] 2．D [相当于3个元素排10个位置，共有10×9×8＝720(种)．]3．B [(x ＋1)4的展开式中x 2的系数为C 24＝6.] 4．C [先排最后一个公益宣传广告有C 12种方法，再在前三个位置中选一个排第二个公益宣传广告有C 13种方法．余下的三个排商业广告有A 33种方法．故共有C 12C 13A 33＝36(种)．]5．B [(1－2x)5(2＋x)＝2(1－2x)5＋x(1－2x)5＝…＋2C 35(－2x)3＋x C 25(－2x)2＋…＝…＋(4C 25－16C 35)x 3＋…＝…－120x 3＋….] 6．A [分类：①若5在首位或末位，共有2A 12·A 33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A 13·A 22·A 22＝12(个)． 故共有24＋12＝36(个)．]7．B [先选后排共C 23A 33＝3×3×2×1＝18(种)．]8．C [∵(1－2x)2 010＝1－C 12 0102·x ＋C 22 01022·x 2＋…＋C 2 0102 01022 010·x 2 010∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01022 010＝－C 12 010＋C 22 010＋…＋C 2 0102 010 ＝(1－1)2 010－C 02 010＝－1.]9．D [(间接法)P ＝1－P ＝1－C 320C 330－C 310C 330＝2029.]10．A [分层抽样即按红、蓝、白、黄球之比为16∶12∶8∶4来抽取的，即抽取球的个数依次为4,3,2,1，∴P ＝C 416C 312C 28C 14C 1040.]11．C [由已知得⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432·13＝29，解之得⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.又x 1<x 2，所以x 1＋x 2＝3.] 12．D [当x ∈⎣⎡⎭⎫32，2时，[x]＝1，C x 8＝8x 在⎣⎡⎭⎫32，2上单调递减，故C x 8∈⎝⎛⎦⎤4，163. 当x ∈[2,3)时，[x]＝2，C x 8＝8×7x (x －1)在[2,3)上递减，故C x 8∈⎝⎛⎦⎤283，28. 综上，所求值域为⎝⎛⎦⎤4，163∪⎝⎛⎦⎤283，28.] 13．5解析 设射手射击n 次的命中次数为ξ，则ξ～B(n ，p)，由题意知E(ξ)＝0.4n ＝2，解之，得n ＝5.14．－5解析 (1＋x ＋x 2)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)[C 06x 6(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4(－1x )2＋C 36x 3(－1x )3＋C 46x 2(－1x )4＋C 56x(－1x )5＋C 66x 0(－1x)6] ＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6)，所以常数项为1×(－20)＋x 2·15x2＝－5.15．1 080解析 先将6位志愿者分组，共有C 26·C 24A 22种方法；再把各组分到不同场馆，共有A 44种方法．由乘法原理知，不同的分配方案共有C 26·C 24A 22·A 44＝1 080(种)．16．22 009－2解析 a n －1＝1＋C n －1n ＝2 009，得n ＝2 008， 原式中令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 007＋a 2008 ＝2＋22＋…＋22 008＝22 009－2.17．解 ⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的常数项为：C 45⎝⎛⎭⎫165x 2⎝⎛⎭⎫1x 4＝16，(4分)(a 2＋1)n 展开式的系数之和2n ＝16，n ＝4.(6分) ∴(a 2＋1)n 展开式的系数最大的项为 C 24(a 2)2×12＝6a 4＝54，∴a ＝±3.(10分)18．解 (1)样本的数学平均成绩x ＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，同样可求出方差s 2＝1.5，所以标准差约为1.22.(4分)故样本的数学平均成绩为6分，标准差约为1.22.(6分)(2)由(1)可估计出μ＝6，σ＝1.22.因为总体服从正态分布，所以正态曲线的近似方程为φ(x)＝11.222π()263x e --.(12分)19．解 (1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，则P(A)＝1－C 210－xC 210＝79，得到x ＝5(x ＝14>10，不合题意，舍去)．故白球有5个．(5分)(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，其中P(X ＝k)＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0,1,2,3，于是可得其分布列为(10分)X 的数学期望E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.(12分)20．解 由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n ＝32，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252. ∴T 6＝C 510(2x)5⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－C 510·25 ＝－8 064.(4分)(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，∵T r ＋1＝C r10·(2x)10－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 10·210－r ·x 10－2r，(6分)∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －1102C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r2(r ＋1)≥10－r， 解得83≤r ≤113，(10分)∵r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的是第4项， T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.(12分) 21．解 (1)由题意，得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.(4分)∴甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(6分)(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.(8分)P (ξ＝0)＝14×12＝18；P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P (ξ＝8)＝14×14＝116.(10分)∴E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.(12分)22．解 (1)设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，A 、B 、C 、D 分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意得：P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，∴P (A )＝14，P (B )＝12，P (C )＝23，P (D )＝34.(2分)(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q .则Q ＝ABC ＋A B CD ＋AB C D ＋A BCD ＋A B C D . ∵每题结果相互独立．∴P (Q )＝P (ABC ＋A B CD ＋AB C D ＋A BCD ＋A B C D )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )·P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )·P (D )＝34×12×13＋34×12×13×14＋34×12×23×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14.(7分) (2)由题意知，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4，则P (ξ＝2)＝P (A B )＝14×12＝18，P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B C ) ＝34×12×13＋34×12×23＝38， P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12.(9分)因此ξ的分布列为(10分)所以E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.(12分)。

高考数学总复习第10章统计统计案例教师备课平台课件北师大版

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二、关于用样本估计总体的问题 用样本估计总体，主要包括用样本的频率分布估计总体的 分布，用样本的数字特征去估计总体的数字特征两部分内容， 这两部分是从不同角度对收集到的样本数据进行加工、整理， 并分析、判断样本数据的分布状况和数字特征，进而对总体进 行估计．
[例 2] 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次，每次 命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差； (3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
[解析] (1)－x 甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7 －x 乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7 (2)由方差公式：s2＝n1[(x1－－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2] 得 s2甲＝3.0，s2乙＝1.2.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①甲在生产现场和不在生产现场时，产品中的合格品和次 品数量； ②共调查，然后 具体分析．
[解析] (1)2×2列联表如下：
合格品数 次品数 合计
甲在生产现场
982
8
990
甲不在生产现场
[例 5] 想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都测量 身高，并作出这些数据散点图，这些点将不会落在一条直线上， 但在一段时间内的身高数据有时可以用线性回归分析，下表是 一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁 3
4
5
6
7
8
9
身高/cm 90.8 97.6 104.2 110.9 115.6 122.0 128.5
(3)－x 甲＝－x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当． 又因为 s2甲>s2乙，说明甲战士射击情况波动大．因此乙战士比 甲战士射击情况稳定．

【北师大版】高三数学步步高(理)第十一编 统计、统计案例

【北师大版】高三数学步步高(理)第十一编 统计、统计案例

第十一编 统计、统计案例§11.1 随机抽样1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，200个零件的长度是（ ）A.B.C .总体的一个样本D.答案C2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的 （ ）A.B.C.D.答案D3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为（ ）A .5，10，15B .3，9，18C .3，10，17D .5，9，16答案B4.（2008·广东理，3）某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A .24B .48C .16D .12答案C5.某工厂生产A、B 、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n = . 答案 80例1 某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2007应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请 用抽签法和产生随机数法设计抽样方案. 解 抽签法：第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18)第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀； 第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.基础自测第一步：将18名志愿者进行编号，编号为01，02，03， (18)第二步：由于总体是一个两位数的编号，每次要从随机数表中选取两列组成两位数.从随机数表中任意一个位置，比如比第6列和第7列这两列的第三行开始选数，由上到下读，凡不在01—18中的数或已读过的数都不作记录，依次可得到11，07，18，08，09，12.第三步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.例2 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施.解 （1）将每个人随机编一个号由0001至1003. （2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新随机编号由0001至1000. （4）分段，取间隔k =100001=100将总体均分为10段，每段含100个工人. （5）从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l .（6）按编号将l ，100+l ，200+l ,…，900+l 共10个号码选出，这10个号码所对应的工人组成样本.例3 （12分）某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人 的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程. 解 应采取分层抽样的方法.过程如下：（1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.2分（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×153=60（人）；300×152=40（人）； 300×155=100（人）；300×152=40（人）； 300×153=60（人）， 8分 因此各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人. 10分 （3）将300人组到一起即得到一个样本.12分例4 为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采 取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根据上面的叙述，试回答下列问题：（1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？ （2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？ （3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.解 （1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.（2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法； 第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. （3）第一种方式抽样的步骤如下：第一步，首先用抽签法在这20个班中任意抽取一个班.第二步，然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下：第一步，首先用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a .第二步，在其余的19个班中，选取学号为a 的学生，加上第一个班中的一名学生，共计20人. 第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次.第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个体数之比为：100∶1 000=1∶10，所以在每个层次中抽取的个体数依次为10150，10600，10250，即15，60，25. 第三步，按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.1.有一批机器，编号为1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？解 首先，把机器都编上号码001，002，003，…，112，如用抽签法，则把112个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本.2.某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？解 （1）将624名职工用随机方式编号由000至623. （2）利用随机数法从总体中剔除4人.（3）将剩下的620名职工重新编号由000至619. （4）分段，取间隔k =62620=10，将总体分成62组，每组含10人. （5）从第一段，即为000到009号随机抽取一个号l .（6）按编号将l ，10+l ,20+l ,…，610+l ,共62个号码选出，这62个号码所对应的职工组成样本.3.某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？ 解 可用分层抽样方法，其总体容量为12 000.“很喜爱”占000124352，应取60×000124352≈12(人）；“喜爱”占000125674，应取60×000125674≈23(人）；“一般”占000129263，应取60×000129263≈20（人）；“不喜爱”占000120721,应取60×000120721≈5（人）.因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样答案D一、选择题1.（2008·安庆模拟）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A.15，10，20B.10，5，30C.15，15，15D.15，5，25答案A2.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么（）A.B.C.D.答案A3.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是（）A.某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B.某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样答案C4.（2008·重庆文，5）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是（）A.B.C.产生D.答案D5.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A.B.C.D.答案D6.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）A .4B .5C .6D .7答案C二、填空题7.（2008·天津文，11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的 健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人. 答案 108.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 . 答案 0795 三、解答题9.为了检验某种作业本的印刷质量，决定从一捆（40本）中抽取10本进行检查，利用随机数表抽取这个样本时，应按怎样的步骤进行？分析 可先对这40本作业本进行统一编号，然后在随机数表中任选一数作为起始号码，按任意方向读下去，便会得到10个号码.解 可按以下步骤进行：第一步，先将40本作业本编号，可编为00，01，02， (39)第二步，由于总体是一个两位数的编号，每次要从随机数表中选取两列组成两位数.从随机数表中任意一个位置，比如第9列和第10列这两列的第3行开始选数.由上至下读数超过39的和重复出现的不能选取.这样选取的10个样本的编号分别为：28,33,16,20,31,37,21,05,01,09.第三步找出编号所对应的作业本.10.某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？ 解 用分层抽样抽取. （1）∵20∶100=1∶5， ∴510=2，570=14，520=4∴从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.（2）因副处级以上干部与工人人数较少，可用抽签法从中分别抽取2人和4人；对一般干部可用随机数法抽取14人. （3）将2人、4人、14人编号汇合在一起就得到了容量为20的样本.11.从某厂生产的10 002辆电动自行车中随机抽取100辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程. 解 因为总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样. 抽样步骤如下：第一步，将10 002辆电动自行车用随机方式编号；第二步，从总体中剔除2辆（剔除法可用产生随机数法），将剩下的10 000辆电动自行车重新编号（分别为00001，00002，…，10000）并分成100段；第三步，在第一段00001，00002，…，00100这一百个编号中用简单随机抽样抽出一个作为起始号码（如00006）； 第四步，把起始号码依次加间隔100，可获得样本.12.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解 总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为n 36，分层抽样的比例是36n,抽取工程师36n ×6=6n（人），抽取技术人员36n ×12=3n(人）， 抽取技工36n ×18=2n（人）. 所以n 应是6的倍数，36的约数即n =6,12,18,36.当样本容量为（n +1）时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为135+n ，因为135+n 必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量为6.§11.2 用样本估计总体1.一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（ ）A .2B.5C .15D.80答案B2.（2008·山东理，8）右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇 居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数 字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字.从图中可以得到1997年至2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 （ ） A.304.6B.303.6C.302.6D.301.6答案B3.在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，［a ，b ）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ,该组在频率分布直方图的高为h ，则|a -b |等于（ ） A .hmB .mhC .hm D .h +m答案C4.（2008·山东文，9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）A .3B.5102 C .3 D .58答案B5.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在［56.5，64.5）的学生人数是（ ）基础自测A .20B .30C .40D .50答案C例 1 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？ 解 （1）依题意知第三组的频率为 1464324+++++=51，又因为第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为5112=60. （2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×1464326+++++=18（件）.（3）第四组的获奖率是1810=95， 第六组上交的作品数量为 60×1464321+++++=3（件），∴第六组的获奖率为32=96，显然第六组的获奖率高. 例2 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100 h ～400 h 以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400 h 以上的概率. 解 （1）样本频率分布表如下：（2）频率分布直方图（3）由频率分布表可以看出，寿命在100 h ～400 h 的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在 100 h ～400 h 的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35.例3 为了解A ，B 两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数（单位：1 000 km ） 轮胎A 96， 112, 97, 108, 100, 103, 86, 98 轮胎B108，101，94，105，96，93，97，106（1）分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； （2）分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； （3）根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ 解 （1）A 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 898861031001089711296+++++++=100,中位数为：298100+ =99； B 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 810697939610594101108+++++++=100,中位数为：297101+=99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为：112-86=26， 标准差为： s =821430831242222222+++++++=2221≈7.43； B 轮胎行驶的最远里程的极差为：108-93=15， 标准差为： s =86374561822222222+++++++=2118≈5.43.（3）由于A 和B 的最远行驶里程的平均数相同，而B 轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B 轮胎性能更加 稳定.例4 （12分）某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min 抽取一包产品，称其重量，分别 记录抽查数据如下： 甲：102， 101， 99， 98， 103， 98， 99； 乙：110， 115，90，85，75，115，110.（1）这种抽样方法是哪一种？ （2）将这两组数据用茎叶图表示；（3）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定. 解 （1）因为间隔时间相同，故是系统抽样. 3分（2）茎叶图如下：6分（3）甲车间： 平均值： 1x =71（102+101+99+98+103+98+99）=100， 7分 方差：21s =71［（102-100）2+（101-100）2+…+（99-100）2］≈3.428 6.8分乙车间：平均值：2x =71（110+115+90+85+75+115+110）=100， 9分 方差：22s =71［（110-100)2+（115-100)2+…+（110-100)2］≈228.571 4. 10分 ∵1x =2x ，21s ＜22s ,∴甲车间产品稳定.12分1.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？ 解 （1）第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2. (2)设参加这次测试的学生人数是n , 则有n =第一小组频率第一小组频数=5÷0.1=50（人）.（3）因为0.1×50=5,0.3×50=15,0.4×50=20,0.2×50=10，即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5、15、20、10，所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.2.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：（单位：分） ［40，50），2；［50，60），3；［60，70），10；［70，80），15； ［80，90），12；［90，100］，8.（1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计成绩在［60，90）分的学生比例； （4）估计成绩在85分以下的学生比例. 解 （1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图所示.（3）成绩在［60，90）的学生比例即为学生成绩在［60，90）的频率，即为（0.20+0.30+0.24）×100%=74%. （4）成绩在85分以下的学生比例即为学生成绩不足85分的频率. 设相应的频率为b . 由808560.0--b =809060.084.0--，故b =0.72.估计成绩在85分以下的学生约占72%.3.有甲、乙两位射击运动员在相同条件下各射击10次，记录各次命中环数； 甲：8，8，6，8，6，5，9，10，7，4 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，8，7 （1）分别计算他们环数的标准差； （2）谁的射击情况比较稳定. 解 （1）x 甲=101(8+8+6+8+6+5+9+10+7+4)=7.1, x 乙=101(9+5+7+8+7+6+8+6+8+7)=7.1, 2甲s =101［（8-7.1)2+(8-7.1)2+(6-7.1)2+(8-7.1)2+(6-7.1)2+(5-7.1)2+(9-7.1)2+(10-7.1)2+(7-7.1)2+(4-7.1)2］=3.09, ∴s 甲≈1.76.2乙s =101［(9-7.1)2+(5-7.1)2+(7-7.1)2+(8-7.1)2+(7-7.1)2+(6-7.1)2+(8-7.1)2+(6-7.1)2+(8-7.1)2+(7-7.1)2］=1.29， ∴s 乙≈1.14.（2）∵x 甲=x 乙，s 乙＜s 甲，∴乙射击情况比较稳定.4.（2008·海南、宁夏理，16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295301 303 303 307 308 310 314 319 323325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315315 316 318 318 320 322 322 324 327329 331 333 336 337 343 356由以上数据设计了如下茎叶图：根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①；② . 答案①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm.④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀.一、选择题1.下列关于频率分布直方图的说法中正确的是（）A.B.C.D.答案D2.甲、乙两名新兵在同样条件下进行射击练习，每人打5发子弹，命中环数如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.则这两人的射击成绩（）A.甲比乙稳定B.C.甲、乙的稳定程度相同D.答案A3.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示如下：A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h答案B4.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（）A.0.9,35B.0.9,45C.0.1,35D. 0.1,45答案A5.(2008·佛山模拟)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎，部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a,b的值分别为（）A.0.27，78B.0.27，83C.2.7，78D.27，83答案A6.（2008·菏泽模拟）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示，A.xC.x答案A二、填空题7.（2008·上海理，9）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 .答案10.5、10.58.（2008·滨海模拟）某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分，2分，1分，0分的学生所占比例分别为30%,40%,20%,10%,若全班30人，则全班同学的平均分是分.答案 1.9三、解答题9.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）求这两个班参赛的学生人数是多少？（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？（不必说明理由）解 （1）各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05. ∴第二小组的频率为：1.00-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高=组距频率=1040.0=0.04.则补全的直方图如图所示.（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x 人. ∵第二小组的频数为40人，频率为0.40， ∴x40=0.40，解得x =100（人）. 所以九年级两个班参赛的学生人数为100人.（3）因为0.3×100=30,0.4×100=40,0.15×100=15,0.10×100=10,0.05×100=5,即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.10.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由. 解 （1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为 391517424+++++=0.08.又因为频率=样本容量第二小组频数，所以样本容量=第二小组频率第二小组频数=08.012=150.（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为 39151742391517++++++++×100%=88%.（3）由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内. 11.观察下面表格：（1）完成表中的频率分布表；（2）根据表格，画出频率分布直方图；（3）估计数据落在［10.95，11.35）范围内的概率约为多少？解 （1）频率依次为：0.03，0.09，0.13，0.16，0.26，0.20，0.07，0.04，0.02,1.00. （2）频率分布直方图如图所示（3）数据落在［10.95，11.35）范围的频率为 0.13+0.16+0.26+0.20=0.75.12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50； 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59.（1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；（2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性；（3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？解（1）制作茎叶图如下：从茎叶图上可看出，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.（2）x甲=33，2甲s≈199.09，∴x甲＞x乙, 2甲s＜2乙s，s≈127.23，x乙=27，2乙∴甲运动员总体水平比乙好，发挥比乙稳定.（3）不能说甲的水平一定比乙好，因为上述是甲、乙某赛季的得分情况，用样本估计总体也有一定的偶然性，并不能说一定准确反映总体情况.§11.3 变量间的相关关系基础自测1.下列关系中，是相关关系的为（）①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.A.B.C.D.答案A2.为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是（）A.直线l1,l2有交点（s,t)B.直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t)C.直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行D.直线l1,l2必定重合答案A3.下列有关线性回归的说法，不正确的是（）A.相关关系的两个变量不一定是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系。

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第十一编统计、统计案例§11.1 随机抽样基础自测1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，200个零件的长度是（）A.总体B.个体C.总体的一个样本D.样本容量答案 C2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的（） A.②③ B.①③ C.③ D.①②③答案 D3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为（） A.5，10，15 B.3，9，18 C.3，10，17 D.5，9，16答案 B4.（2008·广东理，3）某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A.24B.48C.16D.12答案 C5.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n= .答案 80例1 某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2007应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请 用抽签法和产生随机数法设计抽样方案. 解 抽签法：第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18)第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀； 第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员. 产生随机数法：第一步：将18名志愿者进行编号，编号为01，02，03， (18)第二步：由于总体是一个两位数的编号，每次要从随机数表中选取两列组成两位数.从随机数表中任意一个位置，比如比第6列和第7列这两列的第三行开始选数，由上到下读，凡不在01—18中的数或已读过的数都不作记录，依次可得到11，07，18，08，09，12.第三步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.例2 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施. 解 （1）将每个人随机编一个号由0001至1003. （2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新随机编号由0001至1000. （4）分段，取间隔k =100001=100将总体均分为10段，每段含100个工人. （5）从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l .（6）按编号将l ，100+l ，200+l ,…，900+l 共10个号码选出，这10个号码所对应的工人组成样本.例3 （12分）某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人 的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程. 解 应采取分层抽样的方法.过程如下：（1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.2分（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×153=60（人）；300×152=40（人）； 300×155=100（人）；300×152=40（人）； 300×153=60（人）， 8分 因此各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人. 10分 （3）将300人组到一起即得到一个样本.12分例4 为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根据上面的叙述，试回答下列问题：（1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？ （2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？ （3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.解 （1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.（2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法； 第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法； 第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. （3）第一种方式抽样的步骤如下：第一步，首先用抽签法在这20个班中任意抽取一个班.第二步，然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下：第一步，首先用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a .第二步，在其余的19个班中，选取学号为a 的学生，加上第一个班中的一名学生，共计20人. 第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次.第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个体数之比为：100∶1 000=1∶10，所以在每个层次中抽取的个体数依次为10150，10600，10250，即15，60，25. 第三步，按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.1.有一批机器，编号为1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？解 首先，把机器都编上号码001，002，003，…，112，如用抽签法，则把112个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本.2.某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？解 （1）将624名职工用随机方式编号由000至623. （2）利用随机数法从总体中剔除4人.（3）将剩下的620名职工重新编号由000至619. （4）分段，取间隔k =62620=10，将总体分成62组，每组含10人.（5）从第一段，即为000到009号随机抽取一个号l .（6）按编号将l ，10+l ,20+l ,…，610+l ,共62个号码选出，这62个号码所对应的职工组成样本.3.某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？ 解 可用分层抽样方法，其总体容量为12 000.“很喜爱”占000124352，应取60×000124352≈12(人）；“喜爱”占000125674，应取60×000125674≈23(人）；“一般”占000129263，应取60×000129263≈20（人）；“不喜爱”占000120721,应取60×000120721≈5（人）.因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A .②、③都不能为系统抽样B .②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D .①、③都可能为分层抽样 答案 D一、选择题1.（2008·安庆模拟）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ）A .15，10，20B .10，5，30C .15，15，15D .15，5，25答案 A2.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么（）A.①是系统抽样，②是简单随机抽样B.①是分层抽样，②是简单随机抽样C.①是系统抽样，②是分层抽样D.①是分层抽样，②是系统抽样答案 A3.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是（）A.某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B.某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样答案C4.（2008·重庆文，5）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是（）A.简单随机抽样法B.抽签法C.产生随机数法D.分层抽样法答案 D5.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A.高一学生被抽到的概率最大B.高三学生被抽到的概率最大C.高三学生被抽到的概率最小D.每名学生被抽到的概率相等答案 D6.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）A .4B .5C .6D .7答案 C 二、填空题7.（2008·天津文，11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的 健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人. 答案 108.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 . 答案 0795 三、解答题9.为了检验某种作业本的印刷质量，决定从一捆（40本）中抽取10本进行检查，利用随机数表抽取这个样本时，应按怎样的步骤进行？分析 可先对这40本作业本进行统一编号，然后在随机数表中任选一数作为起始号码，按任意方向读下去，便会得到10个号码.解 可按以下步骤进行：第一步，先将40本作业本编号，可编为00，01，02， (39)第二步，由于总体是一个两位数的编号，每次要从随机数表中选取两列组成两位数.从随机数表中任意一个位置，比如第9列和第10列这两列的第3行开始选数.由上至下读数超过39的和重复出现的不能选取.这样选取的10个样本的编号分别为：28,33,16,20,31,37,21,05,01,09. 第三步找出编号所对应的作业本.10.某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？ 解 用分层抽样抽取. （1）∵20∶100=1∶5， ∴510=2，570=14，520=4∴从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.（2）因副处级以上干部与工人人数较少，可用抽签法从中分别抽取2人和4人；对一般干部可用随机数法抽取14人. （3）将2人、4人、14人编号汇合在一起就得到了容量为20的样本.11.从某厂生产的10 002辆电动自行车中随机抽取100辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程. 解 因为总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样. 抽样步骤如下：第一步，将10 002辆电动自行车用随机方式编号；第二步，从总体中剔除2辆（剔除法可用产生随机数法），将剩下的10 000辆电动自行车重新编号（分别为00001，00002，…，10000）并分成100段；第三步，在第一段00001，00002，…，00100这一百个编号中用简单随机抽样抽出一个作为起始号码（如00006）； 第四步，把起始号码依次加间隔100，可获得样本.12.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解 总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为n 36，分层抽样的比例是36n,抽取工程师36n ×6=6n（人）， 抽取技术人员36n ×12=3n(人）， 抽取技工36n ×18=2n（人）. 所以n 应是6的倍数，36的约数即n =6,12,18,36.当样本容量为（n +1）时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为135+n ，因为135+n 必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量为6.§11.2 用样本估计总体1.一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（ ）A .2B .5C .15D .80答案 B2.（2008·山东理，8）右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇 居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数 字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字.从图中可以得到1997年至2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 （ ） A .304.6B .303.6C .302.6D .301.6答案 B3.在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，［a ，b ）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ,该组在频率分布直方图的高为h ，则|a -b |等于（ ） A .hmB .mhC .hmD .h +m答案 C4.（2008·山东文，9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）基础自测A .3B .5102 C .3 D .58 答案 B5.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在［56.5，64.5）的学生人数是（ ）A .20B .30C .40D .50答案 C例1 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交 作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？ 解 （1）依题意知第三组的频率为 1464324+++++=51，又因为第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为5112=60. （2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×1464326+++++=18（件）.（3）第四组的获奖率是1810=95， 第六组上交的作品数量为 60×1464321+++++=3（件），∴第六组的获奖率为32=96，显然第六组的获奖率高. 例2 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100 h ～400 h 以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400 h 以上的概率. 解 （1）样本频率分布表如下：（2）频率分布直方图（3）由频率分布表可以看出，寿命在100 h ～400 h 的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在 100 h ～400 h 的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35.例3 为了解A ，B 两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数（单位：1 000 km ） 轮胎A 96， 112, 97, 108, 100, 103, 86, 98 轮胎B108，101，94，105，96，93，97，106（1）分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； （2）分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； （3）根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ 解 （1）A 轮胎行驶的最远里程的平均数为：898861031001089711296+++++++=100,中位数为：298100+ =99； B 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 810697939610594101108+++++++=100,中位数为：297101+=99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为：112-86=26， 标准差为： s =821430831242222222+++++++=2221≈7.43； B 轮胎行驶的最远里程的极差为：108-93=15， 标准差为： s =86374561822222222+++++++=2118≈5.43.（3）由于A 和B 的最远行驶里程的平均数相同，而B 轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B 轮胎性能更加 稳定.例4 （12分）某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min 抽取一包产品，称其重量，分别 记录抽查数据如下： 甲：102， 101， 99， 98， 103， 98， 99； 乙：110，115，90，85，75，115，110.（1）这种抽样方法是哪一种？ （2）将这两组数据用茎叶图表示；（3）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定. 解 （1）因为间隔时间相同，故是系统抽样. 3分（2）茎叶图如下：6分（3）甲车间： 平均值： 1x =71（102+101+99+98+103+98+99）=100， 7分方差：21s =71［（102-100）2+（101-100）2+…+（99-100）2］≈3.428 6. 8分乙车间： 平均值：2x =71（110+115+90+85+75+115+110）=100， 9分方差：22s =71［（110-100)2+（115-100)2+…+（110-100)2］≈228.571 4. 10分 ∵1x =2x ，21s ＜22s ,∴甲车间产品稳定.12分1.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？ 解 （1）第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2. (2)设参加这次测试的学生人数是n , 则有n =第一小组频率第一小组频数=5÷0.1=50（人）.（3）因为0.1×50=5,0.3×50=15,0.4×50=20,0.2×50=10，即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5、15、20、10，所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.2.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：（单位：分） ［40，50），2；［50，60），3；［60，70），10；［70，80），15； ［80，90），12；［90，100］，8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计成绩在［60，90）分的学生比例； （4）估计成绩在85分以下的学生比例. 解 （1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图所示.（3）成绩在［60，90）的学生比例即为学生成绩在［60，90）的频率，即为（0.20+0.30+0.24）×100%=74%. （4）成绩在85分以下的学生比例即为学生成绩不足85分的频率. 设相应的频率为b .由808560.0--b =809060.084.0--，故b =0.72.估计成绩在85分以下的学生约占72%.3.有甲、乙两位射击运动员在相同条件下各射击10次，记录各次命中环数； 甲：8，8，6，8，6，5，9，10，7，4 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，8，7 （1）分别计算他们环数的标准差； （2）谁的射击情况比较稳定. 解 （1）x 甲=101(8+8+6+8+6+5+9+10+7+4)=7.1, x 乙=101(9+5+7+8+7+6+8+6+8+7)=7.1, 2甲s =101［（8-7.1)2+(8-7.1)2+(6-7.1)2+(8-7.1)2+(6-7.1)2+(5-7.1)2+(9-7.1)2+(10-7.1)2+(7-7.1)2+(4-7.1)2］=3.09, ∴s 甲≈1.76.2乙s =101［(9-7.1)2+(5-7.1)2+(7-7.1)2+(8-7.1)2+(7-7.1)2+(6-7.1)2+(8-7.1)2+(6-7.1)2+(8-7.1)2+(7-7.1)2］=1.29， ∴s 乙≈1.14.（2）∵x 甲=x 乙，s 乙＜s 甲，∴乙射击情况比较稳定.4.（2008·海南、宁夏理，16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下： 甲品种：271273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319323325325 328 331 334 337 352 乙品种：284292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图：根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①；② . 答案①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm.④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀.一、选择题1.下列关于频率分布直方图的说法中正确的是（）A.直方图的高表示取某数的频率B.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率C.直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值D.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值答案 D2.甲、乙两名新兵在同样条件下进行射击练习，每人打5发子弹，命中环数如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.则这两人的射击成绩（）A.甲比乙稳定B.乙比甲稳定C.甲、乙的稳定程度相同D.无法比较答案 A3.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示如下：根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A .0.6 hB .0.9 hC .1.0 hD .1.5 h答案 B4.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如 下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （ ）A .0.9,35B .0.9,45C .0.1,35D . 0.1,45答案 A5.(2008·佛山模拟)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎，部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视 力在4.6到5.0之间的学生数为b ,则a ,b 的值分别为（ ）A .0.27，78B .0.27，83C .2.7，78D .27，83答案 A6.（2008·菏泽模拟）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列结论正确的是（ ）A .x 甲＜x 乙；乙比甲成绩稳定B .x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定C .x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定D .x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定答案 A 二、填空题7.（2008·上海理，9）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 答案 10.5、10.58.（2008·滨海模拟）某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分，2分，1分，0分的学生所占比例分别为30%,40%,20%,10%,若全班30人，则全班同学的平均分是 分. 答案 1.9 三、解答题9.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）求这两个班参赛的学生人数是多少？（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？（不必说明理由）解 （1）各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05. ∴第二小组的频率为：1.00-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高=组距频率=1040.0=0.04.则补全的直方图如图所示.（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x 人.∵第二小组的频数为40人，频率为0.40， ∴x40=0.40，解得x =100（人）. 所以九年级两个班参赛的学生人数为100人.（3）因为0.3×100=30,0.4×100=40,0.15×100=15,0.10×100=10,0.05×100=5,即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.10.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ （3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由. 解 （1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为 391517424+++++=0.08.又因为频率=样本容量第二小组频数，所以样本容量=第二小组频率第二小组频数=08.012=150. （2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为 39151742391517++++++++×100%=88%.（3）由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内. 11.观察下面表格：（1）完成表中的频率分布表；（2）根据表格，画出频率分布直方图；（3）估计数据落在［10.95，11.35）范围内的概率约为多少？。

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