离散数学第八章A.ppt
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离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编
17
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
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函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
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实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
离散数学8-代数系统基础
理学院
第八章 代数系统基础
第八章 代数系统基础
8.1 代数系统概念 8.2 半群与独异点 8.3 群的基本定义与性质 8.4 子群与陪集 8.5 循环群和置换群 8.6 环和域
2
一、基本概念
定义1: 设A是个非空集合且函数f:A*A→A，则称f为 A上的二元运算。
二元运算的两个重要特点： 一是运算封闭性，集合内任意两个元素都可以运算，运算后仍在同
主要包括运算所具有的算律和特殊元素 算律主要：结合律、交换律、分配律、吸收律和消去律 特殊元素：等幂元、幺元、零元和逆元。
9
1.结合律
定义3: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素a,b,c， (ab)c=a(bc)，都称运算满足结合律，或是可结合的 。
实数集合上的加法和乘法满足结合律。幂集P(A)上的交、并和对称差 都满足结合律。矩阵的加法和乘法满足结合律。代数系统(Nk,＋k)和 (Nk, ×k)中的＋k和×k都满足结合律。
例设<A,*>是一个代数系统，其中*定义为a*b=a，证明运算是不可交 换的。
11
3.幂等律
定义5: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素有 x*x=x，则称运算*在A上满足幂等律。
设A为集合，<P(A), ∩>和<P(A), ∪>中的∩和换律、结合律和幂等律。
则称<A,*>是群。
如果<A,>是独异点且每个元素存在逆元，则称<A,>是群。 （R，+），（Z，+）都是群，幺元为零，x -1 = -x；（R-{0}，×）是群，幺
元为1，x -1 =1/x ；<Q,>不是群，1是幺元，而0是无逆元。
第八章 代数系统基础
第八章 代数系统基础
8.1 代数系统概念 8.2 半群与独异点 8.3 群的基本定义与性质 8.4 子群与陪集 8.5 循环群和置换群 8.6 环和域
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一、基本概念
定义1: 设A是个非空集合且函数f:A*A→A，则称f为 A上的二元运算。
二元运算的两个重要特点： 一是运算封闭性，集合内任意两个元素都可以运算，运算后仍在同
主要包括运算所具有的算律和特殊元素 算律主要：结合律、交换律、分配律、吸收律和消去律 特殊元素：等幂元、幺元、零元和逆元。
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1.结合律
定义3: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素a,b,c， (ab)c=a(bc)，都称运算满足结合律，或是可结合的 。
实数集合上的加法和乘法满足结合律。幂集P(A)上的交、并和对称差 都满足结合律。矩阵的加法和乘法满足结合律。代数系统(Nk,＋k)和 (Nk, ×k)中的＋k和×k都满足结合律。
例设<A,*>是一个代数系统，其中*定义为a*b=a，证明运算是不可交 换的。
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3.幂等律
定义5: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素有 x*x=x，则称运算*在A上满足幂等律。
设A为集合，<P(A), ∩>和<P(A), ∪>中的∩和换律、结合律和幂等律。
则称<A,*>是群。
如果<A,>是独异点且每个元素存在逆元，则称<A,>是群。 （R，+），（Z，+）都是群，幺元为零，x -1 = -x；（R-{0}，×）是群，幺
元为1，x -1 =1/x ；<Q,>不是群，1是幺元，而0是无逆元。
离散数学第八章-最新版
定义 8.4 若 m, n∈N 使 m∈n, 则称 m小于n ( 或 n大于m ), 记为 m＜n ( 或 n＞m)。
“小于” 关系 ＜是自然数集 N上的反自反、反对称、传
递
的二元关系
可以用归纳定义法在 N 上定义 “ + ” 与 “ ·” 如下 ：
[加法/乘法] 对任意的 n, m∈ N ，令
i) m + 0 = m，
构造自然数系统＜N，+，·＞
冯 诺依曼（Von Neumann）方案：
0= 1 = 0+ = { } = { 0 } 2 = 1+ = { , { } } = { 0, 1 } 3 = 2+ = { , { }, { , { } } } = { 0, 1, 2 } n+1 = n+ = = { 0, 1, , n }
自然数集合 N（归纳定义法）
i) 0∈N， 这里 0 = ； ii) 若 n∈ N ，则 n＋∈ N ； iii) 若 S N 满足
1) 0∈S 2) 如果 n∈S, 则 n+∈S 则 S = N。
（极小化）
大于/小于、加法、乘法
对每个自然数 n∈ N ，皆有 n∈n＋ 及 n n＋，据此有:
自然数和归纳法
主要概念： 集合的后继 主要方法：归纳原理、第一归纳法、第二归纳法
自然数的引进方法
① 公理化方法：皮亚诺公理（G. Peano）； ② 构造性方法：借助集合论，具体构造出 N。
自然数构造的出发点
1) 自然数的各种性质 ( 运算、大小次序 及 基本定律 ) , 都可以从 Peano 公理一一推导出来；
∪ ( n＋ ) ＋ = ∪ ( n＋∪{ n＋ } ) = ( ∪ n＋ ) ∪ (∪{ n＋ } ) = n ∪ n＋ = n＋ 。
“小于” 关系 ＜是自然数集 N上的反自反、反对称、传
递
的二元关系
可以用归纳定义法在 N 上定义 “ + ” 与 “ ·” 如下 ：
[加法/乘法] 对任意的 n, m∈ N ，令
i) m + 0 = m，
构造自然数系统＜N，+，·＞
冯 诺依曼（Von Neumann）方案：
0= 1 = 0+ = { } = { 0 } 2 = 1+ = { , { } } = { 0, 1 } 3 = 2+ = { , { }, { , { } } } = { 0, 1, 2 } n+1 = n+ = = { 0, 1, , n }
自然数集合 N（归纳定义法）
i) 0∈N， 这里 0 = ； ii) 若 n∈ N ，则 n＋∈ N ； iii) 若 S N 满足
1) 0∈S 2) 如果 n∈S, 则 n+∈S 则 S = N。
（极小化）
大于/小于、加法、乘法
对每个自然数 n∈ N ，皆有 n∈n＋ 及 n n＋，据此有:
自然数和归纳法
主要概念： 集合的后继 主要方法：归纳原理、第一归纳法、第二归纳法
自然数的引进方法
① 公理化方法：皮亚诺公理（G. Peano）； ② 构造性方法：借助集合论，具体构造出 N。
自然数构造的出发点
1) 自然数的各种性质 ( 运算、大小次序 及 基本定律 ) , 都可以从 Peano 公理一一推导出来；
∪ ( n＋ ) ＋ = ∪ ( n＋∪{ n＋ } ) = ( ∪ n＋ ) ∪ (∪{ n＋ } ) = n ∪ n＋ = n＋ 。
《离散数学》图论 (上)
12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
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无向图与有向图
A B C
D E F
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无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
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无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
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特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
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握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
离散数学第8章 图论
ij
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
离散数学8
再证R传递：任取 a,b,cA 设<a,b>R，
<b,c>R。(要证出<a,c>R ) 由R是对称的,得<b,a>R ，由 <b,a>R且<b,c>R，根据已知条件得 <a,c>R ， 所以R是传递的。
(4). R是A上关系， 设 S={<a,b>|c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R} 求证若R是等价关系，则S也是等价关系。 证明：a)证S自反：任取a∈A，∵R是自反的，∴有 <a,a>∈R,由S定义得<a,a>∈S, (S定义中c就是a)∴ S自反. b)证S对称: 任取a,b∈A，且有<a,b>∈S,由S定义得 c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R, 由R对称得 c∈A∧<b,c>∈R∧<c,a>∈R,由S定义得<b,a>∈S,S对称. c)证S传递:任取a,b,c∈A,有<a,b>∈S,<b,c>∈S,由S定义 得 (d∈A∧<a,d>∈R∧<d,b>∈R)∧(e∈A∧<b,e>∈R∧ <e,c>∈R) , 由于R传递,所以有<a,b>∈R,<b,c>∈R, 由S定义得<a,c>∈S, 所以S传递. 所以S是A上等价关系. (6). R是A上对称和传递的关系，证明如果a∈A,b∈A, 使得<a,b>∈R,则R是一个等价关系. 证明:任取a∈A,有已知得b∈A,使得<a,b>∈R,由R对称 得<b,a>∈R,又由R传递得, <a,a>∈R,R自反, ∴R是等价 关系.
离散数学(第二版)第8章图的基本概念
第八章 图的基本概念
用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数列 为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与有n-1度 顶点相矛盾(因为是简单图)，所以必有两个顶点的度数相 同。
2. 子图 在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的概念 是非常重要的。 所谓子图， 就是适当地去掉一些顶点或 一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是原图的顶点 集和边集的子集。
第八章 图的基本概念
一般称长度为奇数的圈为奇圈，称长度为偶数的圈为 偶圈。 显然，初级通路必是简单通路，非简单通路称为复 杂通路。 在应用中，常常只用边的序列表示通路，对于 简单图亦可用顶点序列表示通路，这样更方便。
第八章 图的基本概念
定理8.2.1 在一个n阶图中，若从顶点u到顶点v(u≠v) 存在通路， 则必存在从u到v的初级通路且路长小于等于n1。
第八章 图的基本概念
图8.1.2 图与子图
第八章 图的基本概念
3. 补图 定义8.1.3 G为n阶简单图，由G的所有顶点和能使G 成为完全图的添加边所构成的图称为G的相对于完全图的 补图，简称G的补图，记作。 【例8.1.6】图8.1.3(a)中的G 1是G1相对于K5的补图。 图8.1.3(b)中的G 2 是G2相对于四阶有向完全图D4的补图。 对于补图，显然有以下结论： (1) G与 G 互为补图，即 G =G。 (2) E(G)∪E(G )=E(完全图)且E(G)∩E( G )= 。 (3) 完全图与n阶零图互为补图。 (4) G与G 均是完全图的生成子图。
所谓子图就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图子图的顶点集和边集是原图的顶点第八章图的基本概念定义812设gvegve均是图同为第八章图的基本概念导出的导出子图记作gv第八章图的基本概念例815在图812中g均是g的真子图其中g第八章图的基本概念图812第八章图的基本概念补图定义813g为n阶简单图由g的所有顶点和能使g成为完全图的添加边所构成的图称为g的相对于完全图的补图简称g的补图记作
离散数学离散数学第8章 一些特殊的图 PPT课件
在23岁时，他发表了他还是一个17岁的孩子时作出的“奇怪的发 现”，…即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于 光学，就象拉格朗日的《分析力学》之于力学。
哈密尔顿最深刻的悲剧既不是酒精，也不是他的婚姻，而是他顽固地
相信，四元数是解决物质宇宙的数学关键。…从来没有一个伟大的数学
家这样毫无希望地错误过。
2
1
3
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(2) 有限面与无限面：面积有限的区域称为有 限面(或内部面)，否则为无限面(或外部面) 。 上图中，面4是无限面。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
(3) 面的次数等于面边界的边数(注意：悬挂边算2 次)，记为deg(R).
(4) 平面图中面的次数之和等于边数m的两倍，即
d(u)+d(v)≥n-1 则G是半哈密尔顿图。
注意:
此定理条件显然不是必要条件，如n≥6的n边形，对于 任意不相邻的顶点u, v, d(u)+d(v)=4，4<n-1，而n边形显 然有哈密尔顿通路。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
18
哈密尔顿图的充分条件
❖ 设G是n(n≥3)阶无向简单图，若G中 任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)≥n 则G是哈密尔顿图。
a
bc
d
e
f g
h
i j
k
l
ba
d
g
e j
f
l
b
a
c
d
g
j
i
e
h
f
k
7/1/2020 9:05 PM
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学第08章 环和域
本定理表明<S，+，·>为<R，+，·>的子环 的主要条件是S对减法运算封闭和S对乘法运算 封闭。
由此看出，含幺环的子环未必也含幺元， 因为<I,+,·>是含幺元1的环，其子环<E,+,·>不再 含乘法幺元。
下面引进一种特殊的子环，称之为理想， 理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。
定义8.2.2 设<T，+，·>为<R，+，·>的子 环，若对于T中任何元t和R中任何元a，有 a·t∈T 且 t·a∈T ， 则 称 <T ， + ， ·> 为 环 <R ， +，·>的理想。
则<S，+，·>为<R，+，·>的子环。 由此及上节定理7.6.3：<S，⊙>是<R，⊙> 的子群的充要条件是对任意a，b∈S则a⊙b-1∈S， 便可得到下面定理。
定理8.2.1 给定环<R，+，·>及≠SR，则 <S，+，·>是<R，+，·>的子环(a)(b)(a， b∈S→a-b∈S∧a·b∈S)
注意到子环与理想的定义，不难证明如下 定理：
定理8.2.2 给定环<R，+，·>及≠TR，则 <T，+，·>为环<R，+，·>的理想 (t)(t1)(a)(t，t1∈T∧a∈R→(t-t1)∈T∧
t·a∈T∧a·t∈T)
定义8.2.3 令<T，+，·>是环<R，+，·>之 理 想 ， 若 在 T 中 存 在 元 g ， 使 得 T=R·g ， 其 中 R·g={a·g|a∈R} ， 则 称 <T ， + ， ·> 为 环 <R ， +，·>的主理想。并称g为<T，+，·>的生成元或 说由g生成<T，+，·>，常常用(g)表示T。
由此看出，含幺环的子环未必也含幺元， 因为<I,+,·>是含幺元1的环，其子环<E,+,·>不再 含乘法幺元。
下面引进一种特殊的子环，称之为理想， 理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。
定义8.2.2 设<T，+，·>为<R，+，·>的子 环，若对于T中任何元t和R中任何元a，有 a·t∈T 且 t·a∈T ， 则 称 <T ， + ， ·> 为 环 <R ， +，·>的理想。
则<S，+，·>为<R，+，·>的子环。 由此及上节定理7.6.3：<S，⊙>是<R，⊙> 的子群的充要条件是对任意a，b∈S则a⊙b-1∈S， 便可得到下面定理。
定理8.2.1 给定环<R，+，·>及≠SR，则 <S，+，·>是<R，+，·>的子环(a)(b)(a， b∈S→a-b∈S∧a·b∈S)
注意到子环与理想的定义，不难证明如下 定理：
定理8.2.2 给定环<R，+，·>及≠TR，则 <T，+，·>为环<R，+，·>的理想 (t)(t1)(a)(t，t1∈T∧a∈R→(t-t1)∈T∧
t·a∈T∧a·t∈T)
定义8.2.3 令<T，+，·>是环<R，+，·>之 理 想 ， 若 在 T 中 存 在 元 g ， 使 得 T=R·g ， 其 中 R·g={a·g|a∈R} ， 则 称 <T ， + ， ·> 为 环 <R ， +，·>的主理想。并称g为<T，+，·>的生成元或 说由g生成<T，+，·>，常常用(g)表示T。
离散数学(Ch8自然数和基数)
19
第七章 函数
•基本概念
关系到函数的要求： 处处有定义 (定义的全域性)
单值
(值的唯一性)
•函数的复合
g◦f = {<x,z> | y(y=f(x) z=g(y)) } 称为 f 和g 的复合，写成 g(f(x))
•特殊性质的函数
满射、单射、双射： #X = #Y
•集合的特征函数 A的特征函数A: U{0,1},
斜行 0 1 2 3
0 12 34 5 6 78 9 …………………
序偶<m,n>位于第(m+n)斜行上的第m个位置： 此前的(m+n)行共有(m+n)(m+n+1)/2个序偶, 当前本行到此又有m个序偶. 所以 f(<m,n>) = [(m+n)2+3m+n]/2 显然，这是一个NN到N的双射.
9
y( y<a P(y) ) P(a) 可见与P(a)为假矛盾。所以xP(x)为真。
7
§8.2 基数
有穷集合的基数为一自然数n， 而n可定义为集合{0,1,2,…,n-1}， 即有穷集合中的元素可与n中的元素一一对应。
Байду номын сангаас1. 等势
定义8.5 集合A和B是等势的, 当且仅当A和B的元 素一一对应(双射函数)，记作A~B.
1, 若xA A(x) = 0, 若xA
20
第八章 自然数和基数
•自然数及数学归纳法
自然数集N的归纳定义如下： ⑴ 基础语句: N (=0) ⑵ 归纳语句: 若nN, 则n+=n{n} N ⑶ 权限语句: 若SN且S满足⑴⑵, 则S=N
第一归纳法、第二归纳法
•基数
第七章 函数
•基本概念
关系到函数的要求： 处处有定义 (定义的全域性)
单值
(值的唯一性)
•函数的复合
g◦f = {<x,z> | y(y=f(x) z=g(y)) } 称为 f 和g 的复合，写成 g(f(x))
•特殊性质的函数
满射、单射、双射： #X = #Y
•集合的特征函数 A的特征函数A: U{0,1},
斜行 0 1 2 3
0 12 34 5 6 78 9 …………………
序偶<m,n>位于第(m+n)斜行上的第m个位置： 此前的(m+n)行共有(m+n)(m+n+1)/2个序偶, 当前本行到此又有m个序偶. 所以 f(<m,n>) = [(m+n)2+3m+n]/2 显然，这是一个NN到N的双射.
9
y( y<a P(y) ) P(a) 可见与P(a)为假矛盾。所以xP(x)为真。
7
§8.2 基数
有穷集合的基数为一自然数n， 而n可定义为集合{0,1,2,…,n-1}， 即有穷集合中的元素可与n中的元素一一对应。
Байду номын сангаас1. 等势
定义8.5 集合A和B是等势的, 当且仅当A和B的元 素一一对应(双射函数)，记作A~B.
1, 若xA A(x) = 0, 若xA
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第八章 自然数和基数
•自然数及数学归纳法
自然数集N的归纳定义如下： ⑴ 基础语句: N (=0) ⑵ 归纳语句: 若nN, 则n+=n{n} N ⑶ 权限语句: 若SN且S满足⑴⑵, 则S=N
第一归纳法、第二归纳法
•基数
离散数学图论
1
2
3
(3)为(1)的生成子图，(2)为(1)的真子图。
补图
定义7 设图G=<V, E> ,若G是n阶无向图，则G的补图为： KnG。即为n阶完全无向图与G的差。若G是n阶有向图， 则G的补图为：n阶有向完全图与G的差。
（这一节介绍了图的一些基本概念，如图的定义，图 中顶点的度，图的所有顶点的度为边的2倍，且一个 图中有偶数个奇顶点，简单图等的定义，图的运算， 子图，补图的一些概念。要掌握这些简单的定义）
e3
d e2
d 1 1 1 0 0
c
e
0
0
0
0
0
有向图的矩阵表示
与无向图相对应，有向图也有类似的矩阵表示。 如右图：
称e关联于顶点a和b；称a和b是邻接的。 若边e对应的是无序偶{a,b},则称e为无向边。同样
称a,b是端点，称e关联于顶点a和b；称a和b是邻接 的。 每一条边都是有向边的图，称为有向图。每条边都 是无向边的图，称为无向图。
图中不与任何顶点邻接的点称为 孤立点。全都是孤 立点的图称为零图。关联于一个顶点的边称为自回路， 也称为自圈。
哥尼斯堡七桥问题
城的四个陆地部分分别表以A，B（大岛），C，D（小岛)， 将陆地设想为图的顶点，把桥画成相应的边，
A
B
D
C
则问题等价于在图中从某一顶点出发找一条回径，通过它的每条 边一次且仅一次，并回到原顶点。
（你能否看出，此问题无解，即这样的走法不存在呢？）
主要内容
1.图的基本概念 2.路径与回路 3.图的矩阵表示 4.几种特殊的图 5.无向树, 有向树
定义5 在有向图G中，如果在任两个顶点中，存在从一个顶点到 另一个顶点的路径，则称图G为单向连通的。如果在G中，任 何两个顶点都互相可达，则称G为强连通的。如果它的基础图 （底图）是连通的，则称之为弱连通的。
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c e
c′
e′
a′
b′ d′
(b)
b
(a)
d
上述二图就不是同构的,因为在图(b)中形如 {b′,d′}的 边在图(a)中找不到.
四.关于图中的路
定义10: 图G中L条边的序列{vi0,vi1}{vi1,vi2}……{v i(l-1),vil} 称为连接vi0到vil的长为L的路. 表示{vi0,vi1}{vi1,vi2}……{v i(l-1),vil}= vi0vi1vi2……vil 若vi0≠viL则路vi0vi1vi2……vil称为开路,
在右图G中, V2与V3, V2与
V1均为相邻接的结点; 边{V1,V3}关联于V1,也关 V2
V1
V
3
联于V3, 边{V5,V3}与{V2,V3}
也关联于V3. V4
V5
而边 {V1,V3}, {V5,V3}, {V2,V3}是两两相互邻接的. 定义4: 在图G中,如果任意两个不同的 结点都是邻接的,则称图G 是完 全图,n个结点的完全图记为kn 右图是个完全图, 而右上图则不是 V2 V1
deg( v) 2m
vVΒιβλιοθήκη 证明: 因为每条边必关联两个结点,而一条边给予所关 联的每个结点的度数都为1,即一条边对应两度,故 总度数应为总边数的两倍.即
deg( v) 2m
vV
定义7: 设图G的所有结点都具有同一度数d,则称图G为 V1 d次正则图.
3次正则图
图的二要素: 结点集; 边集.
一般一个图G (V,E) 可用平面的图解(通常意义下的图)表 示: 用平面上的一些点表示图的结点.图的边用连接相应结 点(两个)而不经过其他结点的直线(或曲线)来表示.
定义2: 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图,
(n,0)称为零图, 零图事实上是由孤立点组成的图; (1,0)称为平凡图,即为一个孤立点构成的图.
vV
deg(v) 是偶数,而 deg(v)是上述二偶数之差,
vV1
所以必为偶数, 但其中的每个结点的度数是奇数,所以 ＃V一定是偶数,(偶数个奇数的和才是偶数).证毕.
三.图的同构
定义8: 设G=(E,V )与G1=(E1,V1 )为二图, 1).若V1 E1 V,
E， 则称G1是G的子图， 2).若V1 V, E1 E， E1 ≠ E,则称G1是G的真子图， 3).若V1= V, E1 E， 则称G1是G的生成子图.
第八章
图论
讨论关系图时,我们已经涉及到图论的一些相关概念, 这里将那些概念一般化并深入讨论. 图论是建立和处理离散数学模型的一个重要工具,在 社会科学,语言学,计算机科学,物理学,化学,信息学,控制
论等方面有着广泛的应用.图论在计算机科学的许多领
域中,如开关理论与逻辑设计,数据结构,形式语言,操作 系统,编译程序的编写以及信息的组织与检索中起着重 要的作用. 我们主要介绍图论的基本概念和基本性质,然后再介
由归纳假设及aikLakj是以vk为倒数第二个结点(aij(L)表示vi到 vj长为L的路的总数目.)连接vi到 vj长为L+1的路的数目. 这是因为aik(L)表示vi到 vk长为L的路的总数目,而由vk到vj的路
若有时是长为1的, (akj=1),所以这时vi到 vj的路长为L+1;若没
有时是长为0的, (akj=0),所以这时vi到 vj的路长为0 (aijLakj=0).
到一条真路,它连接 vi到vj ,并且短于前述的任意一条
非真的路,因此只有真路才是短程,然而,任一条长度为 L的真路vivi1vi2……vil-1vj中,其结点各不相同,即L+1≤n. 所以L≤n- 1. 证毕
定义15 :称vi到vj 的短程的长度为vi到vj 的距离,用d(i,j )
表示. 则定理8.1可表为: 在n个结点的图中,任意vi,vj ,必有d(i,j )≤n-1. 规定d(i,i)=0.
一.邻接矩阵
定义16:设图G=(V,E) 中,其中V={v1,v2,v3,v4,……vn},则n 阶方阵A=(aij)称为G的邻接矩阵,元素
aij 1 0 若{vi , v j } E 否则
v1
v2 v3
v1 该图的邻接 v 2 矩阵为: A v3 v5 v4 v5
v4
v1 0 1 1 1 1
从定义 上讲,两个同构的图,除结点的标记不同以外.
其他完全相同,故对G的结论，在G1中也成立。 v1 v2 v3 v6′ v4 v5 v6 v3′ v5 ′ v1′ v4′ v2′ 二图同构
若G与G1同构,则结点之间是一一对应,边数也相等,度数
相同的结点的数目也相同. 上述条件是必要而非充分,即满足上述三条的不一定同 构.如下图: a
(b) (a) 是 (b)真子图,也 是生成子图
注: 任一图都是自己的生成子图.
(a)
定义9 设G和G1是两个分别是有n个结点的结点集 V和
V1的图,若存在一个双射h: V→ V1, 使得当且仅 当{vi ,vj}是G中的边时,{h(vi),h(vj)}是G1中的边, 则称G同构于G1. 显然同构是互相的.
定理8. 2的证明(对L进行归纳): 当L=1时, AL=A,aij=1或0 定理显然是成立的 ; 设定理对L时是成立的,即aij(L)表示AL的(i,j) 元,且aij(L)表示
vi到vj的长为L的路的总数目.
看L+1的情形.因为 A L+1=AL ．A 所以
( aijL 1) L aik a kj k 1 n
V2
V
3
5次正则图
V4
V5
命题8.3 任何图中,度数为奇数的结点的数目必为偶数个.
证明:
由命题8.2, deg(v)
vV1
vV2
deg(v) deg(v)
vV
V1,V2分别表示G奇数度数和偶数度数的结点集,由于V2的
每个结点的度数为偶,故
vV2
) deg(v是偶数,且
v2
v3
v5
v6
命题8.3在图G中,结点的连接关系,看作结点集V上的二元
关系ρ,则ρ是等价关系.
证明: 1) . viρvi; 2) .viρvj的充要条件是vjρvi; 3) . viρvj且vjρvk ,显然有viρvk . 我们可以把与vi连接的结点的集合看作一个等价类,所有的
等价类构成V的一个分划.
绍一些重要的特殊图.
§8.1 一.图的概念
基本概念
定义1:一个图G是一个有序二元组,记为G=(V,E),其中
1.V={v1,v2.v3.…,vn}是一个有限非空集合,V的元素称为G的
结点,V称为G的结点集. 2.E是V中不同(不一定是所有)的元素的非有序序偶( 每一个 形如 {vi,vj},其中vi≠vj )的集合,这些序偶称为G的边{vi,vj}, 其中vi≠vj (或弧),而E称为G的边集.
所需要添加的那些边所组成的图.用 G 表示. 图G与图 G 是互补的.
V1
V2
V
3
图中的虚线与实线互为补图（结点
相同）。
V5 定义6: 在图G=(V,E)中,与结点v(v∈V)关联边的总数称为 该结点的度数,记为degv. 可以分别讨论上图实线部分的每个结点的度数. 命题8.2 在图G=(m,n)中,结点度数的总和等于边数的两倍. 即 V4
v2 1 0 1 0 0
v3 1 1 0 1 0
v4 1 0 1 0 1
v5 1 0 0 1 0
定理8.1 设G是具有结点集V={v1,v2,v3,……vn}的图,则对于任
意两个相连接的结点vi≠vj,其短程是一条长度不大 于的n-1真路.(d(i.j)≤n-1)
定理8.2 设G是具有结点集V={v1,v2,v3,……vn}和邻接矩阵A
若vi0=viL则路vi0vi1vi2……vil称为回路.
若vi0,vi1,vi2,……vil各不相同,则称vi0vi1vi2……vil为真路. 若vi0,vi1,vi2,……vil-1各不相同,则称回路vi0,vi1,vi2,……vil-1 vi0 为环. 规定vivjvi为回路.
V1
V2 V3 v1v2v3v1是 回路也是环; v1v3v2v4v5v3v1是 回路不是环;
V
3
完全图,
V4
V5
命题8.1 设G是n个结点,m条边的完全图(n,m),则
m=1/2(n-1)n 证明: 在图Kn中的任意两点间都有边相连, n个结点任意 取两点的组合数即为边数m. m=Cn2=1/2(n-1)n 即为所证
给定任意一个有n个结点的图,总可以把它补成具有同
样结点的完全图,方法是把那些没有联上的边添加上去. 定义5: 图G的补图是由G的所有结点和为G成为完全图
推论:在n个结点的图G中, 则G中的任意环的长度不大于n.
因为任意真路vivi1vi2……vil-1中长度不大于n-1,所以,相 应的环vivi1vi2……vil-1vi长度不大于n. 关于伪图,多重图,有向图,有权图后面涉及到相应内容时 我们再讨论.
§2 图的矩阵表示 矩阵用来反映图的某些关系.特性在很多情形下是 有用的.
2 0 2 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 0 2 3 3
0 0 0 3 2 3
0 0 0 3 3 2
v4
v1
由A3可看出v1到v2有两条长3的路 图中看出:v1v2v3v2, v1v2v1v2
v5
v6
v2