概率与数理统计复习题及答案
概率论与数理统计习题(含解答,答案)
概率论与数理统计习题(含解答,答案)概率论与数理统计复习题(1)⼀.填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴,则=-)(B A P ;若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0,则=-)(B A P 。
2.)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ,则=)(B P 。
3.设),(~2σµN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4.1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布,则=≠}0{X P ;若X 服从均匀分布,则=≠}0{X P 。
5.设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ,则==}{n X P6.,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7.)16,1(~),9,0(~N Y N X ,且X 与Y 独⽴,则=-<-<-}12{Y X P (⽤Φ表⽰),=XY ρ。
8.已知X 的期望为5,⽽均⽅差为2,估计≥<<}82{X P 。
9.设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量,且)?()?(2221θθE E >,则其中的统计量更有效。
10.在实际问题中求某参数的置信区间时,总是希望置信⽔平愈愈好,⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时,则相应的置信区间长度总是。
⼆.假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处,当任⼀河流泛滥时,该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1;⼄河流泛滥的概率为0.2;当甲河流泛滥时,⼄河流泛滥的概率为0.3,试求:(1)该时期内这个地区遭受⽔灾的概率;(2)当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三.⾼射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独⽴),每发炮弹击中敌机的概率均为0.3,⼜知若敌机中⼀弹,其坠毁的概率是0.2,若敌机中两弹,其坠毁的概率是0.6,若敌机中三弹则必坠毁。
《概率论与数理统计》复习答案
概率论复习一、单项选择题1.袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人取到黄球的概率是(B).A.51 B.52 C.53 D.54 2.设B A ,为随机事件,且5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,=)(A B P 8.0.则=)(B A P U (C).A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.设随机变量X 的分布函数为)(x F X ,则35-=X Y 的分布函数)(y F Y 为(C).A.)35(-y F XB.3)(5-y F XC.⎪⎭⎫⎝⎛+53y F X D.3)(51+y F X4.设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}{Y X P ( A ).A.3.0B.5.0C.7.0D.8.05.设随机变量X 与Y 相互独立,且2)(=X D ,1)(=Y D ,则=+-)32(Y X D (D).A.0B.1C.4D.66.设),(~2σμN X ,2,σμ未知,取样本n X X X ,,,21 ,记2,n S X 分别为样本均值和样本方差.检验:2:,2:10<≥σσH H ,应取检验统计量=2χ(C).A.8)1(2S n -B.2)1(2S n -C.4)1(2S n -D.6)1(2S n -7.在10个乒乓球中,有8个白球,2个黄球,从中任意抽取3个的必然事件是(B).A.三个都是白球B.至少有一个白球C.至少有一个黄球D.三个都是黄球8.设B A ,为随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是(A).A.)()(A P B A P =UB.)()(A P AB P =C.)()(B P A B P =D.)()()(A P B P A B P -=-9.设随机变量)4 ,1(~N X ,已知标准正态分布函数值8413.0)1(=Φ,为使8413.0}{<<a X P ,则常数<a (C).A.0B.1C.2D.310.设随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=∞+),(x F (B).A.0B.)(x F XC.)(y F YD.111.二维随机变量),(Y X 的分布律为设)1,0,(},{====j i j Y i X P P ij,则下列各式中错误..的是( D ). A.0100P P < B.1110P P < C.1100P P < D.0110P P< 12.设)5(~P X ,)5.0,16(~B Y ,则=--)22(Y X E (A).A.0B.0.1C.2.0 D.113.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是(C).A.在0H 不成立的条件下,经检验0H 被拒绝的概率B.在0H 不成立的条件下,经检验0H 被接受的概率C.在0H 成立的条件下,经检验0H 被拒绝的概率D.在0H 成立的条件下,经检验0H 被接受的概率14.设X 和Y 是方差存在的随机变量,若E (XY )=E (X )E (Y ),则(B) A 、D (XY )=D (X )D (Y )B 、D (X+Y )=D (X )+D (Y ) C 、X 和Y 相互独立D 、X 和Y 相互不独立 15.若X ~()t n 那么21X ~(B ) A 、(1,)F n ;B 、(,1)F n ;C 、2()n χ;D 、()t n16.设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,2σ的无偏估计量是(B )A 、()211n i i X X n =-∑;B 、()2111n i i X X n =--∑;C 、211n i i X n =∑;D 、2X 17、设随机变量X 的概率密度为2(1)2()x f x --=,则(B ) A 、X 服从指数分布B 、1EX =C 、0=DX D 、(0)0.5P X ≤=18、设X 服从()2N σ0,,则服从自由度为()1n -的t 分布的随机变量是(B ) A 、nX S B、2nX S D 19、设总体()2,~σμN X,其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 取自总体X 的一个样本,则下列选项中不是统计量的是(B ) A 、31(123X X X ++)B 、)(12322212X X X ++σC 、12X μ+D 、123max{,,}X X X20、设随机变量()1,0~N ξ分布,则(0)P ξ≤等于(C )A 、0B 、0.8413C 、0.5D 、无法判断 21、已知随机变量()p n B ,~ξ,且3,2E D ξξ==,则,n p 的值分别为(D )A 、112,4n p ==B 、312,4n p ==C 、29,3n p ==D 、19,3n p == 22.设321,,X X X 是来自总体X 的样本,EX=μ,则(D )是参数μ的最有效估计。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A -B)=( 0.3 )。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求敌机被击中的概率为( 0.94 )。
3. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++ )。
4. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为( 0.496 )。
5. 某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二次的概率为( 0.3456 )。
6. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为( ABC )。
7. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为( ABAC BC I I ); 8. 若事件A 与事件B 相互独立,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=( 0.5 ); 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为( 0.8 ); 10. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=( 0.5 ) 11. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( 0.864 )。
12. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.3 ); 13. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.5 ) 14. A、B为两互斥事件,则A B =U ( S )15. A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为( ABC ABC ABC ++ )16. 若()0.4P A =,()0.2P B =,()P AB =0.1则(|)P AB A B =U ( 0.2 ) 17. A、B为两互斥事件,则AB =( S )18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概率为(110000)。
概率论与数理统计复习题及答案
概率练习题1. 设一箱产品共30件,其中次品5件,现有一人从中随机买走5件,则下一个人买一件产品是次品的概率为_________. 答案:1/6。
2. 袋中有5个黑球,3个白球,一次随机取4个球,则其中恰好有3个白球的概率为______. 答案:1/14。
3.()()1/3,(|)1/6,|.()P A P B P A B A B P ===计算 答案:7/12.4. 设A 、B 是两个相互独立的事件,且()0.6,()0.5,()______.P A P B P A B ==+=则 答案:0.7.5. 设A 、B 是两个互斥事件,且()0.6,()0.5,()______.P A P B P A B ==+=则 答案:1.6. 设0()1,0()1,(|)(|)1,P A P B P A B P A B <<<<+=且则必有[ ] (A) A,B 互斥 (B) A, B 对立 (C)A, B 相容 (D) A,B 独立 答案:D.7. 若()0P AB =, 则AB 未必是不可能事件. 若()1P A B +=, 则A+B 未必是必然事件.8. 已知()()()1/4,()0,()()1/6,P A P B P C P AB P AC P BC ======则A, B 全不发生的概率为_____.答案:3/8. 【提示】()()0,()0.ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂≤≤==因为,所以0即 9. 某种商品成箱出售,每箱24件,各箱有0,1,2件次品的概率分别为0.98, 0.015,0.005. 一顾客随意挑一箱,从中任意查两件,结果未发现次品,于是买下此箱. 求此箱中确实无次品的概率. 答案:0.982.10. 一袋中有a 个红球,b 个白球. 现从中有放回的每次任取一个球,共取求n 次,X 表示所去的n 个球中红球的个数,求X 的分布律. 答案:(1),{},0,1,...,.kkn kn p p aP X k C k bp n a --====+ 【提示】因为是“有放回地”抓球,所以各次抓球的结果是相互独立的,则这n 次抓球就是n 重伯努利试验.11. 书56页,习题二,第八题. 12. 设(2,5)XU ,现对X 进行独立观测,求至少两次观测值大于3的概率.答案:20/27.13. 设X 在(0, 1)上服从均匀分布,求22ln Y X Y X =-=和的概率密度.答案:211();,0(1)().0(2)200,,y Y Y y e f y y y y f -⎧<<⎪>==⎨⎪⎩≤⎩其它 14. 已知随机变量X 的密度函数为20,1,0().k f x x x ≤≤+⎧=⎨⎩其它求(1) k; (2) F (x ); (3) {13}P X <<; (4){}4.P X π=答案:2,010,011,()2,{13}1/4,{}0.2442,k x x x F x x x P X P X π<⎧⎪⎪=-≤≤<<===⎨⎪>⎪⎩=-+15. 设,00,(),(0)x x otherwiseA Be XF x λλ-⎧+⎨⎩>=>. 则A=_____, B=_____,答案: 1,-1,1eλ--, 密度函数略.16. 已知(X, Y )的分布密度为1(),0180,(,).x y y x otherwisef x y +≤≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩ 1{}.P X Y ≤+求答案:1/48.17. 设(X, Y)的密度函数为220,,).,1(cx x y otherwisey f x y ≤≤⎧=⎨⎩ (1)试确定常数c ;(2) 求X ,Y 的边缘密度.答案:c=21/4;22(1)(),21,1180,X x x otherwise x f x -≤≤⎧-⎪=⎨⎪⎩52,0107(,).2Y y y otherwis y e f ⎧<<⎪=⎨⎪⎩18. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为22,0,0(,)0,.x y e x y otherwis f x y e--=>⎧⎨⎩> 问X, Y 是否独立?答案:独立. 2(),,02(),00,0,.Y x y X e x e y otherwise otherw ey i f x f s --⎧⎧=>=⎨>⎨⎩⎩求(1) a =? ; (2) 边缘分布律;(3) X, Y 是否独立? 答案:(1)a =1/6; (2)略;(3) 不独立.答案:略. 21. 设(0,1),(1,1)XN Y N 且X 与Y 独立,则{}___.1___P X Y +=≤答案:0.5. 22. 设(0,4)XN , 则1{0}P X <<=[ ].(A) 281xd x -⎰ (B)14014xe dx -⎰答案:A. 【提示】要记住一般正态分布的密度函数表达式. 23. 设2(3,2)XN , 且{}{},P x c P X c ≤>=则c=_______.答案:3. 24. 设2(2,)XN σ, 且{24}0.3,P X <<=求{0}.P X <答案:0.2.25. 设21211,,...,0,,Cov(,)_____.nn i i X X X Y X X n Y σ=>==∑独立同分布,且则答案:2nσ.26. X 的密度函数为2,0)10,(ax f x bx c x +⎨+<=<⎧⎩其它,已知EX=0.5,DX=0.15,求a , b , c .答案:12,12, 3.a b c ==-=27. 若X 的密度为2,1(0,)1a f x bx x ⎧-≤≤-=⎨⎩其它且27{0.5}32P X ≤=, 求a , b .答案:0.75.a b ==28. 已知2,33__{_}_,_.E P X DX X μσμσμσ==-<<+≥则 答案:8/9. 29. 设(,), 2.4, 1.44,____,_____.Xb n p EX DX n p ====则答案:6, 0.4.30. 设X, Y 相互独立,EX=EY=0,DX=DY=1,则2(2)_____.E X Y ⎡⎤=⎣⎦+答案:5. 31. 设(0,1)XN ,则2____.EX =答案:2.32. 设X 的密度函数为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它. 则(21)_____.E X -=答案:1/3.33. 书117页,习题四,32题.。
《概率论与数理统计》复习题(含答案)
概率论与数理统计复习题一、选择题(1)设0)(,0)(>>B P A P ,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 。
(a)A 与B 互不相容;(b)A 与B 相互独立; (c)A 与B 互不独立;(d)A 与B 互不相容(2)10个球中有3个红球,7个白球,随机地分给10个人,每人一球,则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为 。
(a))103(13C ;(b)2)107)(103(;(c)213)107)(103(C ;(d)3102713C C C (3)设X ~)1,1(N ,概率密度为)(x f ,则有 。
(a)5.0)0()0(=≥=≤X P X p ;(b)),(),()(∞-∞∈-=x x f x f ; (c)5.0)1()1(=≥=≤X P X P ;(d)),(),(1)(∞-∞∈--=x x F x F (4)若随机变量X ,Y 的)(),(Y D X D 均存在,且0)(,0)(≠≠Y D X D ,)()()(Y E X E XY E =,则有 。
(a)X ,Y 一定独立;(b)X ,Y 一定不相关;(c))()()(Y D X D XY D =;(d))()()(Y D X D Y X D -=-(5)样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ,已知μ=)(X E ,但)(X D 未知,则下列随机变量中不能作为统计量的是 。
(a)∑==4141i i X X ;(b)μ241-+X X ;(c)∑=-=4122)(1i i X X K σ;(d)∑=-=4122)(31i i X X S(6)假设随机变量X 的密度函数为)(x f 即X ~)(x f ,且)(X E ,)(X D 均存在。
另设n X X ,,1 取自X 的一个样本以及X 是样本均值,则有 。
(a)X ~)(x f ;(b)X ni ≤≤1min ~)(x f ;(c)X ni ≤≤1max ~)(x f ;(d)(n X X ,,1 )~∏=ni x f 1)((7)每次试验成功率为)10(<<p p ,进行重复独立试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为 。
《概率论与数理统计》复习题及答案
《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题1.未知p(ab)?p(a),则a与b的关系就是单一制。
2.未知a,b互相矛盾,则a与b的关系就是互相矛盾。
3.a,b为随机事件,则p(ab)?0.3。
p(a)?0.4,p(b)?0.3,p(a?b)?0.6,4.已知p(a)?0.4,p(b)?0.4,p(a?b)?0.5,则p(a?b)?0.7。
25.a,b为随机事件,p(a)?0.3,p(b)?0.4,p(ab)?0.5,则p(ba)?____。
36.已知p(ba)?0.3,p(a?b)?0.2,则p(a)?2/7。
7.将一枚硬币重复投掷3次,则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。
8.设立某教研室共计教师11人,其中男教师7人,贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师,则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___26____。
339.设一批产品中有10件正品和2件次品,任意抽取2次,每次抽1件,抽出1___。
611110.3人单一制截获一密码,他们能够单独所译的概率为,,,则此密码被所译的5343概率为______。
5后不送回,则第2次取出的就是次品的概率为___11.每次试验成功的概率为p,进行重复独立试验,则第8次试验才取得第3235cp(1?p)7次顺利的概率为______。
12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为1事件a顺利的概率p?______。
319,则一次试验中27c35813.随机变量x能取?1,0,1,取这些值的概率为,c,c,则常数c?__。
24815k14.随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5,则p(x?3x?5)?_0.4_。
15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数,则x分布律为__??pi?1x?0?0??__。
0.40.6??2?0,x?0??16.随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??,则2?1,x2?p(x??3)?__3__。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A -B)=( 0.3 )。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求敌机被击中的概率为( 0.94 )。
3. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++ )。
4. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为( 0.496 )。
5. 某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二次的概率为( 0.3456 )。
6. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为( ABC )。
7. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为( ABAC BC I I ); 8. 若事件A 与事件B 相互独立,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=( 0.5 ); 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为( 0.8 ); 10. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=( 0.5 ) 11. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( 0.864 )。
12. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.3 ); 13. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.5 ) 14. A、B为两互斥事件,则A B =U ( S )15. A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为( ABC ABC ABC ++ )16. 若()0.4P A =,()0.2P B =,()P AB =0.1则(|)P AB A B =U ( 0.2 ) 17. A、B为两互斥事件,则AB =( S )18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概率为(110000)。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷(附答案)一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分) 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立,则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则X 2+Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立,X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ,E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布,则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分。
把答案填在题中横线上) 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击,每个人击中飞机的概率都是0.4,则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量,设E (X )=33, D (X )=4,10个这种动物的平均体重记作Y ,则D (Y )=_____________________ _______三、有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球,两个黑球。
概率论与数理统计复习题答案
概率论与数理统计复习题 一.填空题1.设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件:, , A B C 都发生_____________;, , A B C 中不多于一个发生______________.解:ABC ; AB BC AC ABC ABC ABC ABC ⋃⋃=⋃⋃⋃2.一副扑克牌共52张,无大小王,从中随机地抽取2张牌,这2张牌花色不相同的概率为解:211413132521317C C C p C ==或者1241325213117C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子,则甲的点数大于乙的点数的概率为 解:155{(,)|,1,,6},{},()3612S i j i j A i j P A ===>== 4.设随机事件A 与B 相互独立,()0.5,()0.6P A P B ==,则()P A B -= ,()P A B ⋃= 。
解:()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ⋃=+-=5.已知61)(,31)|(,41)(===B P A B P A P ,则()P A B ⋃=______________. 解:111()()(|)4312P AB P A P B A ==⨯=,1()()()()3P A B P A P B P AB ⋃=+-=6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ⋃= . 解:()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==⇒=⇒=()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=7.已知 P(A)=0.4,P(B)=0.3,且A,B 互不相容,则()_____,()_____P AB P AB ==. 解:()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =⋃=--=8.在三次独立的实验中,事件B 至少出现一次的概率为19/27,若每次实验中B 出现的概率均为p, 则p=_______________解:设X 表示3次试验中事件B 出现的次数,则(3,)XB p ,3191{1}1{0}1(1),273P X P X p p ≥=-==--=∴= 9.设(),0XP λλ>,则X 的分布律为解:{},0,1,2,!k e P X k k k λλ-===10.设随机变量X 服从泊松分布,且已知{1}{2}P X P X ===,那么{4}P X == 。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N(2,9),Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案:B2. 设X,Y的方差存在,且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件,但不是必要条件B 、独立的必要条件,但不是充分条件C 、不相关的必要条件,但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案:B3. 已知P(A)=0.3 ,P(B)=0.5 ,P(A∪B)=0.6,则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案:A4. 已知随机变量X服从二项分布,且EX=2.4,DX=1.44,则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ,p=0.6B 、n=6 ,p=0.4C 、n=8 ,p=0.3D 、n=24 ,p=0.1答案:B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零,且E(XY)=E(X)E(Y),则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案:B6. 同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案:D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案:D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%,今从中随机取一件产品,结果不是三等品,则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案:A9. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,甲、乙两人依次各取一球,取后不放回,甲先取,则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案:A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ,4) ,Y服从[0 ,4]上的均匀分布,则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案:D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成,三个元件相互独立,已知各元件不正常的概率分别为:P(A)=0.1 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.3,求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案:A12. 一套五卷选集随机地放到书架上,则从左到右或从右到左卷号恰为1 ,2 ,3 ,4 ,5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案:B13. 设随机变量X与Y独立同分布,记随机变量U=X+Y ,V=X-Y,且协方差Cov(U.V)存在,则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案:A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案:D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ,且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案:A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4;0.3;0.2;0.1。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题(每空2分,共20分)1、设X 为连续型随机变量,则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N (1,4)分布,Y 服从P(1)分布,且X 与Y 独立,则 E (XY+1-Y )=( 1 ) ,D (2Y-X+1)=( 17 ).5、已知随机变量X ~N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本,其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值,则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题(每题12分,共48分)1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解:(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上,以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1<X <1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解:(1)由归一性:λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以(2)⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x(3)⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=,求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解:(1)14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E (2)24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E(3)112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ~N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解:(1)E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ(2)D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题(12分)设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解:提出假设检验问题:H 0: μ=70, H 1 :μ≠70,nS X t /70-=-~t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题(每小题4分,共20分) 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为:32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ;)2(()X f x , )(y f Y ;)3( X 与Y 是否相互独立?)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ; )5( )(X D ,)(Y D . 附:Φ(1.96)=0.975; Φ(1)=0.84; Φ(2)=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t , 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =, 0.025(35) 2.0301t = 解:(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时,当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题(每题10分,共70分)1、设P (A )=1/3,P (B )=1/4,P (A ∪B )=1/2.求P (AB )、P (A-B ).解:P (AB )= P (A )+P (B )- P (A ∪B )=1/12P (A-B )= P (A )-P (AB )=1/42、设有甲乙两袋,甲袋中装有3只白球、2只红球,乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取两球,问两球都为白球的概率是多少?解:用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”, B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球,乙袋中有2个白球3个黑球,先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1,且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”,“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的.某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案;若该考生不会做这道题,则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率为85.0.(1)求该考生选出此题正确答案的概率;(2)已知该考生做对了此题,求该考生确实会做这道题的概率.【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(.(1)求系数A 及B ;(2)求X 落在区间)1,1(-内的概率;(3)求X 的概率密度.6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ,求:(1)常数a ;(2))5.15.0(<<X P ;(3)X 的分布函数)(x F .7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求:(1)系数A ;(2)X 的边缘概率密度)(x f X ;(3)概率)(2X Y P ≤.8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求:(1)),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y ;(2)概率)1,21(≤≤Y X P ;(3)判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,]2.0,0[~U X ,Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y(1)求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ;(2)求概率)(X Y P ≤.【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ,已知21)(=X E ,求:(1)b a ,的值;(2))32(+X E .11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求:(1)常数A ;(2))(X E 和)(X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下:XY1104/14/12/10(1)求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ,方差)(X D ,)(Y D .(2)求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R .【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X (百分制)近似服从正态分布,已知满分为100分平均成绩为75分,95分以上的人数占考生总数的2.3%.(1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格);(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ,9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X (单位:mm )表示轴的直径,随机变量Y (单位:mm )表示轴衬的内径,已知)3.0,50(~2N X ,)4.0,52(~2N Y ,显然X 与Y 是独立的.如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间,则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ,521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本,求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=.16、设总体)5 ,40(~2N X ,从该总体中抽取容量为64的样本,求概率)1|40(|<-X P .【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ.设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本,n x x x ,,,21 为样本观测值.(1)求参数λ的矩估计量.(2)求参数λ的最大似然估计量.18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ.设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.(1)求参数λ的最大似然估计量.(2)你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计,请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0(黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准,一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品,测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品?20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明,在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ(单位:mmHg ,毫米汞柱)的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品,并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值,计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ,样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 (取显著性水平05.0=α).解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球,乙袋中有2个白球3个黑球,先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”,B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”,C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”,则AB C =, 又2163)(,74)(===A B P A P ,于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ,A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”,则211A A A A +=,由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1,且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”,“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”,:2A 输入的是“010”,:B 输出的是“000”,则2/1)(1=A P ,2/1)(2=A P ,αα21)1()(-=A B P ,)1()(22αα-=A B P ,从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的.某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案;若该考生不会做这道题,则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率为85.0.(1)求该考生选出此题正确答案的概率;(2)已知该考生做对了此题,求该考生确实会做这道题的概率.【解】设A 表示“该考生会解这道题”,B 表示“该考生选出正确答案”,则85.0)(=A P ,2.0)(=A P ,1)(=A B P ,25.0)(=A B P .(1)由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=.(2)由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P .【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(.(1)求系数A 及B ;(2)求X 落在区间)1,1(-内的概率;(3)求X 的概率密度.【解】(1)由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ,12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ,由此解得 π1,21==B A . (2)X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π, 于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P .(3)X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π.6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ,求:(1)常数a ;(2))5.15.0(<<X P ;(3)X 的分布函数)(x F .【解】(1)由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx , 由此得2=a .(2) )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .(3)当0<x 时,有00)(==⎰∞-xdx x F ;当10<≤x 时,有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-;当1≥x 时,有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以,X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求:(1)系数A ;(2)X 的边缘概率密度)(x f X ;(3)概率)(2X Y P ≤.【解】(1)由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ,由此得41=A . (2)当11<<-x 时,有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ; 当1-≤x 或1≥x 时,显然有0)(=x f X .所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X(3))(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=.8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求:(1)),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y ;(2)概率)1,21(≤≤Y X P ;(3)判断X ,Y 是否相互独立.【解】(1)当10<<x 时,有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-;当0≤x 或1≥x 时,显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时,有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ; 当0≤y 或2≥y 时,显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y(2)⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .(3)容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,]2.0,0[~U X ,Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y(2)求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ;(2)求概率)(X Y P ≤.【解】(1)由题意知,X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立,故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X(2)12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy .【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ,已知21)(=X E ,求:(1)b a ,的值;(2))32(+X E . 【解】(1)由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ; 又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ,23=b . (2) 由数学期望的性质,有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E . 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求:(1)常数A ;(2))(X E 和)(X D .【解】(1)由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x , 由此得2=A .(2)由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==,故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下:XY1104/14/12/10(1)求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ,方差)(X D ,)(Y D .(2)求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R .【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布:4/1)0(==X P ,4/3)1(==X P , 2/1)0(==Y P ,2/1)1(==Y P ,由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E , 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ,由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ,=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X .【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X (百分制)近似服从正态分布,已知满分为100分平均成绩为75分,95分以上的人数占考生总数的2.3%.(1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格);(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ,9772.0)2(=Φ]【解】 由题意,可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ,即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ,由此得977.0)20(=σΦ,于是220≈σ,10≈σ,从而近似有)10,75(~2N X .(1)0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P , 由此可知,本次考试的不及格率约为%68.6.(2))107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ,由此可知,成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X (单位:mm )表示轴的直径,随机变量Y (单位:mm )表示轴衬的内径,已知)3.0,50(~2N X ,)4.0,52(~2N Y ,显然X 与Y 是独立的.如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间,则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.[已知9772.0)2(≈Φ]【解】 设X Y Z -=,由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知,)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z , 即)5.0,2(~2N Z .于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ,521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本,求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=.【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +,于是)1,0(~5221N X X +,又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++,所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=,比较可得53=k .16、设总体)5 ,40(~2N X ,从该总体中抽取容量为64的样本,求概率)1|40(|<-X P . 【解】 由题设40=μ,5=σ,64=n ,于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ.设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本,n x x x ,,,21 为样本观测值.(1)求参数λ的矩估计量.(2)求参数λ的最大似然估计量. 【解】(1)21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ,令)(X E X =,即21+=λX ,解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ. (2)样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ,上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ,上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ, 解得2121-=∑-==x nx nni i λ,从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ. 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ.设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. (1)求参数λ的最大似然估计量.(2)你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计,请说明理由. 【解】(1)样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ, 求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ, 令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ,于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. (2)dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==, λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E , 于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0(黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准,一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品,测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品?【解】由题意,待检验的假设为0H : 618.00==μμ; 1H : 618.0≠μ.因为σ未知,所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ, 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α. 现在646.0=x ,093.0=s ,所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t . 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=,即t 的观测值不在拒绝域内,从而接受..原假设,即可以认为这批产品是合格品.20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明,在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ(单位:mmHg ,毫米汞柱)的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品,并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值,计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ,样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 (取显著性水平05.0=α).【解】由题意,待检验的假设为0H : 220==μμ; 1H : 22<μ.因为σ未知,所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ, 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ,2.5=s ,所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t . 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈,即t 的观测值在拒绝域内,从而拒绝..原假设,即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。
概率论与数理统计复习题--带答案
概率论与数理统计复习题--带答案
这篇文档将提供一系列概率论与数理统计的复题和答案。
以下是一些例题,供您练和巩固知识。
1. 一个骰子投掷三次,计算以下事件的概率:
- A:至少有一次出现6点
- B:三次投掷的和为18点
答案:
- A的概率 = 1 - (5/6) * (5/6) * (5/6) = 91/216
- B的概率 = 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216
2. 一批商品的质量服从正态分布,均值为80,标准差为5。
从中随机取一件,计算以下事件的概率:
- A:质量在75到85之间
- B:质量小于70
答案:
- A的概率 = P(75 < X < 85),其中X服从均值为80,标准差为5的正态分布,可通过查表或计算得到概率值。
- B的概率 = P(X < 70),同样需要查表或计算。
3. 在某次调查中,有50%的受访者表示会购买某个产品。
从100位受访者中随机选择10人,计算以下事件的概率:- A:恰好有5人表示会购买该产品
- B:至少有8人表示会购买该产品
答案:
- A的概率 = C(10, 5) * (0.5)^5 * (0.5)^5 = 0.2461,其中C为组合数。
- B的概率 = P(X >= 8),其中X服从二项分布,可通过计算得到概率值。
这些复习题可以帮助您巩固概率论与数理统计的知识。
建议您自行尝试计算答案,并对比参考答案进行学习。
祝您学习顺利!。
《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案
1、(10分)甲箱中有 个红球, 个黑球,乙箱中有 个黑球, 个红球,先从甲箱中随机地取出一球放入乙箱。混合后,再从乙箱取出一球,
(1)求从乙箱中取出的球是红球的概率;
(2)若已知从乙箱取出的是红球,求从甲箱中取出的是黑球的概率;
2、(8分)设二维随机变量的联合概率密度为:
求关于 的边缘概率密度,并判断 是否相互独立?
7、(8分)设有一种含有特殊润滑油的容器,随机抽取9个容器,测其容器容量的样本均值为10.06升,样本标准差为0.246升,在 水平下,试检验这种容器的平均容量是否为10升?假设容量的分布为正态分布。
( , )
第二套
一、 判断题(2分 5)
1、设 , 是两事件,则 。()
2、若 是离散型随机变量,则随机变量 的取值个数一定为无限个。()
2、(8分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:
求边缘概率密度 ,并判断 与 是否相互独立?
3、(8分)设随机变量 的分布函数为:
求:(1) 的值;
(2) 落在 及 内的概率;
4、(8分)设随机变量 在 服从均匀分布,求 的概率密度;
5、(10分)设 及 为 分布中 的样本的样本均值和样本方差,求 ( )
第一套
一、 判断题(2分 5)
1、设 , 是两事件,则 。()
2、若随机变量 的取值个数为无限个,则 一定是连续型随机变量。()
3、 与 独立,则 。()
4、若 与 不独立,则 。()
5、若 服从二维正态分布, 与 不相关与 与 相互独立等价。()
二、选择题(3分 5)
1、对于任意两个事件 和 ()
5、袋中有5个球(3个新,2个旧),每次取一个,无放回地抽取两次,则第二次取到新球的概率是( )
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,那么P(X=2)等于:A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案:D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25),那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是:A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案:B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球,随机抽取3个球,那么抽到至少2个红球的概率是:A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案:C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p),那么E(Y)等于:A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案:A5. 以下哪个事件是不可能事件:A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案:C二、填空题(每题3分,共15分)6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4),那么P(X>2)等于______。
答案:1/27. 随机变量Z服从标准正态分布,那么P(Z ≤ -1.5)等于______(结果保留两位小数)。
答案:0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ),那么W的期望E(W)等于______。
答案:1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张,抽到黑桃A的概率是______。
答案:1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4),那么P(V=5)等于______(结果保留三位小数)。
答案:0.120三、解答题(共75分)11. (15分)设随机变量ξ服从二项分布B(n, p),已知P(ξ=1) = 0.4,P(ξ=2) = 0.3,求n和p的值。
答案:根据二项分布的性质,我们有:P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程,我们可以得到n=5,p=0.4。
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★编号:重科院( )考字第( )号 第 1 页复习题一一、选择题1.设随机变量X 的概率密度21()01x x f x x θ-⎧>=⎨≤⎩,则θ=( )。
A .1 B.12 C. -1 D. 322.掷一枚质地均匀的骰子,则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为( )。
A .12 B. 23 C. 16 D. 133.设)(~),(~22221221n n χχχχ,2221,χχ独立,则~2221χχ+( )。
A .)(~22221n χχχ+ B. ~2221χχ+)1(2-n χ C. 2212~()t n χχ+ D. ~2221χχ+)(212n n +χ4.若随机变量12Y X X =+,且12,X X 相互独立。
~(0,1)i X N (1,2i =),则( )。
A .~(0,1)Y N B. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 D. ~(1,1)Y N5.设)4,1(~N X ,则{0 1.6}P X <<=( )。
A .0.3094 B. 0.1457 C. 0.3541 D. 0.2543 二、填空题1.设有5个元件,其中有2件次品,今从中任取出1件为次品的概率为 2.设,A B 为互不相容的随机事件,()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B =U 3.设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。
则()D X Y +=4.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f 则{}0.2P X >=三、计算题1.设某种灯泡的寿命是随机变量X ,其概率密度函数为 5,0()0,0x Be x f x x -⎧>=⎨≤⎩(1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。
2.甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品,每个厂的产量分别占总产量的40%,35%,25%,这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04,0.05。
现从三个厂生产的一批产品中任取★编号:重科院( )考字第( )号 第 2 页一件,求恰好取到次品的概率是多少?3.设连续型随机变量X 的概率密度110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它,求(),()E X D X 。
4.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布密度26,01(,)0x y x x f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它分别求随机变量X 和随机变量Y 的边缘密度函数。
四.证明题设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体的一个样本,总体均值为μ(μ为未知参数)。
证明:1234532()()1313T X X X X X =++++是μ的无偏估计量。
一、选择题(1)A (2)D (3)D (4)B (5)A 二、填空题(1)0.4 (2)0.8 (3)13 (4)0.8三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,总计60分) 1、(1)0501()0B B 15x x dx dx e dx ϕ+∞+∞--∞-∞=+==⎰⎰⎰故B=5 。
(2)510.2(0.2)50.3679.x P X e dx e +∞-->==≈⎰(3)当x<0时,F(x)=0;当0≥x 时,xxxx e dx e dx dx x x F 500515)()(-∞-∞---=+==⎰⎰⎰ϕ故⎩⎨⎧<≥-=-00,,01)(5x x ex F x. 2、全概率公式31255354402()()()100100100100100100i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯∑0.0345=★编号:重科院( )考字第( )号 第 3 页3、⎰⎰--++=110)1()1(dx x x dx x x EX =0⎰⎰--++=10110222)1()1(dx x x dx x x EX =6161)(22=-=EX EX DX 4、 ()(,)x f x f x y dy +∞-∞=⎰2266(),010xx dy x x x ⎧=-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它 ()(,)y f y f x y dx +∞-∞=⎰),010y dx y y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 四.证明题证明:因为(),1,2,3,4,5i E X i μ==所以1234532()[()()]1313E T E X X X X X =++++ 1234532[()()()][()()]1313E X E X E X E X E X =++++ (5分)μ=复习题二 一、选择题1.如( )成立,则事件A 与B 互为逆事件。
(其中Ω为样本空间)A .AB φ= B. A B =ΩU C. AB A B φ==ΩU 且 D. A 与B 互为对立事件2.袋中有5个黑球,3个白球,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为( )A .38 B. 331()()88 C. 435831()()88C D. 485C3.设随机变量X 的分布律为{},1,2,3,4,515k P X k k ===,则15{}22P X <<=( )A .3/5 B. 1/5 C. 2/5 D. 4/54.设随机变量(,)X Y 只取下列数组中的值:(0,0)、(-1,1)、(-1,1/3)、(2,0),★编号:重科院( )考字第( )号 第 4 页且相应的概率依次为1115,,,244c c c c.则c 的值为( )A .2 B. 3 C. 4 D. 5 5.设,X Y 相互独立,(2,5),(3,1)X N Y N ::,则()E XY =( ) A .6 B. 2 C. 5 D. 15二、填空题1.从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为 2.设()X πλ:,(泊松分布且0λ>),{1}{2}P X P X ===.则{4}P X == 3.2(,)X N μσ:,则X μσ-: (填分布)三、计算题1.甲、乙、丙三人向同一架飞机射击,设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4,0.5,0.7。
若只有一个人射中,飞机坠毁的概率为0.2,若两人射中,飞机坠毁的概率为0.6,若三人射中,飞机必坠毁。
求飞机坠毁的概率。
2.设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布,求:(1)X Y e =的概率密度函数;(2)2ln Z X =-的概率密度函数3.一袋中装有12只球。
其中2只红球,10只白球。
从中取球两次,每次任取一只,考虑两种取球方式:(1)放回抽样 (2)不放回抽样 。
X 表示第一次取出的白球数, Y 表示第二次取出的白球数.试分别就(1)、(2)两种情况,写出(,)X Y 的联合分布律。
4.把数字1,2,,n L 任意排成一排,如果数字k 恰好出现在第k 个位置上,则称为一个匹配。
求匹配数的期望值。
四.证明题设随机变量,X Y 相互独立,方差(),()D X D Y 存在 证明:)()()()()()()(22X D Y E Y D X E Y D X D XY D ++=,并由此证明)()()(Y D X D XY D ≥一、选择题(1)C (2) D (3)B (4)B (5)A 二、填空题★编号:重科院( )考字第( )号 第 5 页(1)0.4 (2)223e - (3)(0,1)N三、计算题(本大题共计62分)(1)解:设i A 表示有i 个人射中,1,2,3i =1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 2()0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 3()0.40.50.70.14P A =⨯⨯= ()0.360.20.410.60.1410.458P B =⨯+⨯+⨯= (2)解:(){}{ln }(ln )Y X F y P Y y P X y F y =≤=≤= 11()(ln )Y X f y f y y y== 1y e ≤≤ 22(){}{}1()z z Z X F z P Z z P X e F e --=≤=≥=-22211()()22z z z Z X f z f e e e ---== 0z ≤(3★编号:重科院( )考字第( )号 第 6 页(4)设X 表示n 个数字的匹配数,i X 表示第i 个数字的匹配数。
即:1()i E X n =,1()()()1ni i i E X E X nE X ====∑四.证明题222))()(()()()(Y E X E Y E X E XY D -=,2222222))()(())()(())()(()()()()(Y E X E X E Y E Y E X E Y E X E Y D X D +--=(2分))())(())()(()))(()(())(())()())(()(()()()(22222222≥+=-+-=-Y D X E Y E X D Y E Y E X E Y E X E X E Y D X D XY D故)()()(Y D X D XY D ≥。
复习题三一、选择题1.设A B ⊂,且()0P A ≠,则( )成立A .()()()P AB P A P B =+U B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P B A = D. ()()()P A B P A P B -=-2.设(0,1)X N :,若常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<。
则c = ( )A .3 B. 2 C. 1 D. 以上都不对3.设X 服从泊松分布33{},0,1,2,!k e P X k k k -===L ()()D XE X =( ) A .4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空题1.有甲、乙、丙三人,每个人都可能的被分配到四个房间中的任一间去,则三个人被分配到同一间中的概率为 2.设事件,A B 互不相容,且()0P B ≠,则()P A B =3.若随机变量X 的分布律为{}m P X m p ==, 1,2,m =L ,则p =★编号:重科院( )考字第( )号 第 7 页4.设,X Y 为随机变量,且0.5XY ρ=, ()2D X =, ()8D Y =,则()D X Y +=三、计算题1.两批相同产品中各有12件和10件,在每批产品中都有一个废品,今从第一批产品12件中任意的抽取两件放入第二批中,再从第二批中任取一件,求从第二批中取出的是废品的概率。
2.箱中有8个编号分别为1,2,……,8的同样的球,从中任取3球,以X 表示取出的3球中的最小号码,求X 的分布律。