湖南省娄底市2016届高三(下)期中数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年湖南省娄底市高三（下）期中数学试卷（文科）一．选择题：（每题5分）1．若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i2．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1] 3．（5分）（2015安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位6．（5分）（2015湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数7．（5分）（2015河北）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．8．（5分）（2015新课标II）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．849．（5分）（2015四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5分）（2015新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．1211．（5分）（2015山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）（2015新课标II）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二．填空题：（每题5分）13．（5分）（2015江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．14．在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．15．（5分）（2015春巫山县校级期末）若非零向量f（x）满足||=||，且，则与的夹角为．16．（5分）（2015北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三．解答题：（第17题10分，其余的每题12分）17．（10分）（2015资阳模拟）已知向量=（1，3cosα），=（1，4tanα），，且=5．（Ⅰ）求|+|；（Ⅱ）设向量与的夹角为β，求tan（α+β）的值．18．（12分）（2015山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．19．（12分）（2016春娄底期中）设a为实数，给出命题p：函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数，命题q：关于x的不等式（）|x﹣1|≥a的解集为∅．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若q为真命题，求a的取值范围；（3）若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．20．（12分）（2015湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）（2013潼南县校级模拟）已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），（1）若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的解析式，并确定函数的单调递减区间；（2）若a=1，且函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数，求b的取值范围．22．（12分）（2015秋石嘴山校级期末）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．2015-2016学年湖南省娄底市高三（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（每题5分）1．若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．3．（5分）（2015安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断．【解答】解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．4．（5分）（2015浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．6．（5分）（2015湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．7．（5分）（2015河北）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．8．（5分）（2015新课标II）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．9．（5分）（2015四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x ，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B ．【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x ，y ）与向量=（m ，n ）共线，那么xn=ym ．10．（5分）（2015新课标Ⅰ）已知{a n }是公差为1的等差数列；S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（ ）A ．B ．C ．10D ．12 【分析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8=4S 4，∴=4×（4a 1+），解得a 1=．则a 10==．故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）（2015山东）设函数f （x ）=，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（ ）A ．[，1]B ．[0，1]C ．[，+∞）D ．[1，+∞）【分析】令f （a ）=t ，则f （t ）=2t ，讨论t ＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t ≥1时，以及a ＜1，a ≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令f （a ）=t ，则f （t ）=2t ，当t ＜1时，3t ﹣1=2t ，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．12．（5分）（2015新课标II）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于xg（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔xg（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二．填空题：（每题5分）13．（5分）（2015江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．14．在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题15．（5分）（2015春巫山县校级期末）若非零向量f（x）满足||=||，且，则与的夹角为．【分析】由，便得到，进行数量积的运算，并带入即可得到，从而得出．【解答】解：根据条件，=；∴；∴；∴与的夹角为．故答案为：．【点评】考查数量积的运算及其计算公式，向量夹角的概念及范围，以及已知三角函数值求角．16．（5分）（2015北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．三．解答题：（第17题10分，其余的每题12分）17．（10分）（2015资阳模拟）已知向量=（1，3cosα），=（1，4tanα），，且=5．（Ⅰ）求|+|；（Ⅱ）设向量与的夹角为β，求tan（α+β）的值．【分析】（Ⅰ）由向量的数量积的坐标公式化简即得sinα，由同角公式，求得cosα，tanα，得到向量m，n，再由模的公式即可得到所求的值；（Ⅱ）运用向量的夹角公式，求得cosβ，进而得到sinβ，tanβ，再由两角和的正切公式，即可得到所求的值．【解答】解：（Ⅰ）由=（1，3cosα），=（1，4tanα），则=1+12cosαtanα=5，解得，因为，所以，．则=（1，2），=（1，）则=，即有||==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（1，2），=（1，），则cosβ=cos＜＞==，即有，所以，所以．【点评】本题考查平面向量的运用和两角和的正切公式及运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质及运用，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2015山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．19．（12分）（2016春娄底期中）设a为实数，给出命题p：函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数，命题q：关于x的不等式（）|x﹣1|≥a的解集为∅．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若q为真命题，求a的取值范围；（3）若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．【分析】（1），（2）根据指数函数的性质求出a的范围即可；（3）通过讨论p，q的真假，求出a的范围即可．【解答】解：（1）命题p：“函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数”为真命题，得0＜a﹣＜1，∴＜a＜；（2）由q为真命题，则由0＜|x﹣1|≤1，得a＞1；（3）∵p且q为假，p或q为真，∴p、q中一真一假，若p真q假，则a不存在；若p假q真，则1＜a≤或a≥；综上，a的取值范围为：1＜a≤或a≥．【点评】本题考查了指数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．20．（12分）（2015湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3+5+7+9+…+（2n﹣1），∴T n=1+3+5+7+…+（2n﹣3）+（2n﹣1），∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）=3﹣，∴T n=6﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（12分）（2013潼南县校级模拟）已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），（1）若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的解析式，并确定函数的单调递减区间；（2）若a=1，且函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数，求b的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=0，f'（3）=24确定函数的解析式，然后令f'（x）＜0求单调递减区间．（2）将a=1代入函数f（x）后对函数进行求导，根据f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立转化为b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立求出b的值．【解答】解：（1）已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax2+b又函数f（x）图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，且函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（3）=27a+b=24，且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=﹣3∴f（x）=x3﹣3x令f′（x）=3x2﹣3≤0得：﹣1≤x≤1，所以函数的单调递减区间为[﹣1，1]（2）当a=1时，f（x）=x3+bx（x∈R），又函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数∴f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立即b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立∴b≤﹣3当b=﹣3时，f′（x）不恒为0，∴b≤﹣3【点评】本题主要考查函数的增减性与其导函数的正负的关系．属基础题．22．（12分）（2015秋石嘴山校级期末）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．【分析】（Ⅰ）求出导数，令它大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，从而求出极小值；（Ⅱ）求出g（x）的表达式，令它为0，则有m=﹣x3+x．设h（x）=﹣x3+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数，求出单调区间得到最值，画出h（x）的图象，由图象即可得到零点个数．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞）．f′（x）=﹣=令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，则0＜x＜e；f′（x）＜0，则x＞e．故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2．（Ⅱ）g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣=，其定义域为（0，+∞）．令g（x）=0，得m=﹣x3+x．设h（x）=﹣x3+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数．h′（x）=﹣x2+1=﹣（x+1）（x﹣1）x （0，1） 1 （1，+∞）h′（x）+ 0 ﹣h（x）递增极大值递减故当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=．作出h（x）的图象，由图象可得，①当m＞时，g（x）无零点；②当m=或m≤0时，g（x）有且仅有1个零点；③当0＜m＜时，g（x）有两个零点．【点评】本题考查导数的综合运用：求单调区间和求极值，考查函数的零点问题，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．。