特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项

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用特征方程求数列的通项

用特征方程求数列的通项特征方程是解决数列通项问题的一种重要方法。

通俗地说，特征方程可以帮助我们找到数列中每一项与前几项之间的关系，从而得到数列的通项表达式。

在这篇文章中，我将详细介绍特征方程的定义、求解步骤以及一些常见的数列例题，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一方法。

一、特征方程的定义和基本概念特征方程是一个与数列相关的代数方程，它可以帮助我们找到数列的通项表达式。

一般而言，数列通项表示为fn = a^nm + b^nm + ... + z^nm，其中n表示数列中的项数，a、b、...、z表示一组系数，m是一个正整数指数，用于表示数列中前几项之间的关系。

要求解特征方程，首先需要根据数列的已知条件列出方程，然后通过求解方程得到一组满足条件的系数。

最后将这些系数代入到通项表达式中，即可得到数列的通项。

二、特征方程的求解步骤下面以一个具体的数列例题来说明特征方程的求解步骤。

例题：已知数列{an}满足a1 = 1，a2 = 3，an = 2an-1 + 4an-2 (n ≥ 3)，求数列的通项。

Step 1：根据已知条件列出方程根据已知条件an = 2an-1 + 4an-2 (n ≥ 3)，我们可以得到a3 =2a2 + 4a1，a4 = 2a3 + 4a2，以此类推。

Step 2：列出特征方程将以上的等式转化为特征方程，我们得到an - 2an-1 - 4an-2 = 0。

这就是数列的特征方程。

Step 3：求解特征方程接下来，我们需要求解特征方程。

这里我们将其写成代数形式，设特征方程的解为r，得到r^2 - 2r - 4 = 0。

将上述方程进行因式分解，得到(r - 2)(r + 2) = 0。

解方程得到r1 = 2，r2 = -2。

所以，特征方程的解是r1 = 2，r2 = -2。

Step 4：代入通项公式将特征方程的解r1 = 2，r2 = -2代入通项公式fn = a^nm + b^nm+ ... + z^nm中，得到通项公式为an = Ar1^n + Br2^n，其中A、B为待定常数。

特征方程解数列递推关系

用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2=aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n(其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列类型二递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+x A n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。

然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n11+X k n22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=Xn Q n)(11+X n Q n)(22+…+X n Q s n s)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。

人教A版高中数学必修五特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数。

特征方程解数列递推关系

用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n (其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列类型二递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+xA n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。

然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=Xn Q n)(11+X n Q n )(22+…+X n Q s n s)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。

特征方程法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。

特征方程法求递推数列的通项公式

特征方程法求解递推关系中的数列通项之吉白夕凡创作一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.采纳数学归纳法可以求解这一问题, 然而这样做太过繁琐, 而且在猜想通项公式中容易犯错, 本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行论述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x , 则那时10a x =,na 为常数列, 即0101,;x b a a x a a n n n +===时当, 其中}{n b 是以c 为公比的等比数列, 即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cd x -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 那时10a x ≠, 01≠b , 数列}{n b 是以c 为公比的等比数列, 故;11-=n n c b b那时10a x =, 01=b , }{n b 为0数列, 故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例, 说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则那时41=a , .21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单元.当1a 取何值时, 数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360ix +-=要使n a 为常数, 即则必需.53601ix a +-== 二、（二阶线性递推式）定理2：对由递推公式nn n qa pa a +=++12, βα==21,a a 给出的数列{}n a , 方程02=--q px x , 叫做数列{}n a 的特征方程.若21,x x 是特征方程的两个根, 那时21x x ≠, 数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a , 其中A, B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n , 代入1211--+=n n n Bx Ax a , 获得关于A 、B 的方程组）；那时21x x =, 数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a , 其中A, B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n , 代入11)(-+=n n x Bn A a , 获得关于A 、B 的方程组）. 例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++, 求数列{}n a 的通项公式.解法一（待定系数——迭加法）由025312=+-++n n n a a a , 得)(32112n n n n a a a a -=-+++, 且a b a a -=-12.则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项, 32为公比的等比数列, 于是11)32)((-+-=-n n n a b a a .把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入, 得a b a a -=-12,)32()(23⋅-=-a b a a ,234)32()(⋅-=-a b a a ,21)32)((---=-n n n a b a a .把以上各式相加, 得])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-.a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--.解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x .32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A . 又由b a a a ==21,, 于是故1)32)((323--+-=n n b a a b a三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对N ∈n , 都有hra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数, 且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,）, 那么,可作特征方程hrx qpx x ++=.（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时, 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a , 则,N ,1∈+=n b a nn λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地, 当存在,N 0∈n 使00=n b 时, 无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时, 则112--=n n n c c a λλ, ,N ∈n其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3、已知数列}{n a 满足性质：对,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根, 使用定理2的第（2）部份, 则有∴.N ,)51(521∈-=-n c n n∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n n λλ即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例5．已知数列}{n a 满足：对,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时, 无穷数列}{n a 不存在？解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部份解答.(1)∵∴=∴=.,511λa a 对,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(11 令0=n b , 得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在, 当n ≤4, N ∈n 时, 51751--=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对.0b N,n ≠∈n ∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ (4)、显然那时31-=a , 数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知, 51=a 时, 数列}{n a 是存在的, 那时51=≠λa , 则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时, 数列}{n a 从第n 项开始便不存在.于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时, 无穷数列}{n a 都不存在. 练习题：求下列数列的通项公式：1、在数列}{n a 中, ,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n , 求n a .（key ：21)1(32---+⋅=n n n a ）2、在数列}{n a 中, ,5,121==a a 且2145---=n n n a a a , 求n a .（key ：)14(31-=n n a ）3、在数列}{n a 中, ,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n , 求n a .（key ：121-=+n n a ）4、在数列}{n a 中, ,2,321==a a n n n a a a 313212+=++, 求n a .（key ：2)31(4147--⋅+=n n a ）5、在数列}{n a 中, ,35,321==a a )4(3112n n n a a a -=++, 求n a .（key ：1321-+=n n a ）6、在数列}{n a 中, ,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12, 且1=+q p .求n a .（key ：1=q 时, ))(1(a b n a a n --+=；1≠q 时, qq a b b aq a n n +---+=-1))((1）7、在数列}{n a 中, ,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa （qp ,是非0常数）.求n a .（key ：b pq q p p a a n n )](1[1---+=(q p ≠)；b n a a n )1(1-+=）(q p =)8、在数列}{n a 中, 21,a a 给定, 21--+=n n n ca ba a .求n a .(key:122211)(a c a a n n n n n ⋅--+⋅--=----αβαβαβαβ)(βα≠；若βα=, 上式不能应用, 此时,.)2()1(1122----⋅-=n n n a n a n a αα附定理3的证明定理3(分式递推问题)：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对N ∈n , 都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数, 且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,）, 那么, 可作特征方程hrx qpx x ++=.（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时, 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a , 则,N ,1∈+=n b a nn λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地, 当存在,N 0∈n 使00=n b 时, 无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时, 则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第（1）部份. 作交换N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++hra qpa a d n n n n 11λλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2① ∵λ是特征方程的根, ∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ②将rp x =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ③ 当01=d , 即λ+=11d a =λ时, 由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ立即01≠d λ≠1a 时, 由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变动：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+④由λ是方程hrx qpx x ++=的两个相同的根可以求得.2rhp -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr hp h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以r p rλ-为公差的等差数列. ∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n r p r n b b n λ 其中.11111λ-==a d b 那时0,N ≠∈n b n , .N ,1∈+=+=n b d a n n n λλ 当存在,N 0∈n 使00=n b 时, λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时, 无穷数列}{n a 是不存在的.再证明定理的第（2）部份如下： ∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ, ∴其中必有一个特征根不即是1a , 无妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ 故21111λλ--=+++n n n a a c , 将h ra q pa a n n n ++=+1代入再整理得 N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a h q r p a c n n n λλλλ⑤ 由第（1）部份的证明过程知r px =不是特征方程的根, 故.,21r p r p ≠≠λλ故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n r p h q a r p hq a r p r p c n n n λλλλλλ⑥ ∵特征方程h rx qpx x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ, 而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程. ∴222111,λλλλλλ-=---=--r p h q r p h q 将上两式代入⑥式得立即,01=c 11λ≠a 时, 数列}{n c 是等比数列, 公比为r p rp 21λλ--.此时对N ∈n 都有立即01=c 11λ=a 时, 上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕)注:那时qr ph =,h ra qpa n n ++会退化为常数;那时0=r ,hra q pa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.。

特征方程解数列递推关系

用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn特征方程为 X 2=aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n(其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列类型二递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+x A n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。

特征方程法求数列通项

特征方程法求数列通项一、递推数列的定义和初值条件首先需要明确递推数列的定义和初始条件。

通常情况下，递推数列可以表示为：an = p1 * an-1 + p2 * an-2 + … + pk * an-k，其中p1、p2、…、pk为常数，an为数列的第n项，n为整数。

除了定义外，还需要给出数列的一些初始条件，如数列的第一项a1、第二项a2等。

二、构造特征方程在特征方程法中，首先需要构造递推数列的特征方程。

特征方程的构造与递推式相关，通常可以通过将递推式中的n项移到等式的一边，然后利用项的移位，将递推式表示为一个递推关系式：an - p1 * an-1 - p2 * an-2 - … - pk * an-k = 0然后，令n = k+1，得到an+1 - p1 * an - p2 * an-1 - … - pk * an-k+1 = 0再通过移项，将递推式表示为：an+1 = p1 * an + p2 * an-1 + … + pk * an-k+1三、寻找递推数列的特征值接下来需要找出递推数列的特征值（或称为根）。

特征值是使得特征方程成立的值。

根据以上递推式，可以得到特征方程的形式：x^(k+1) - p1 * x^k - p2 * x^(k-1) - … - pk * x = 0其中x为特征值。

四、确定递推数列的通项公式已知递推式的通解形式为：an = c1 * x1^n + c2 * x2^n + … + ck * xk^n通常，我们可以通过给定的初始条件，求解出常数c1、c2、…、ck，进而确定递推数列的通项公式。

举例说明：假设有一个递推数列满足an = 3 * an-1 - 2 * an-2，且a1 = 2，a2 = 5首先，可以将递推式变换为特征方程：an - 3 * an-1 + 2 * an-2 = 0再令n=2，可以得到a3-3*a2+2*a1=0将初始条件代入，即可得到一个关于c1和c2的方程：2c1+5c2=-4然后，我们需要求解特征值。

特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列｛a n ｝的项满足a j = b,a n 4 = ca n • d ,其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式•下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0，则当x 0 = a 4时，a n为常数列，即a n 二a i ；当X o 二a i 时,a^ b n ' x o ，其中｛b n ｝是以c 为公比的等比数列，即 b n = b 4c n J,b 4 =a 4-x 0.pl证明：因为c = 0,1,由特征方程得x 0——.作换元b n = a n - x 0,贝U 1 -c n 1当X 。

=a 1时，b 1 =0 ,数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列，故b n =b1C _; 当 x ° 二a 1 时，d =0 , ｛b n ｝为 0 数列，故 a * =a 1,n • N.（证毕）下面列举两例，说明定理 1的应用.1例1•已知数列｛a n ｝满足：a n^^a -2,- N,a—,求a n.13 解：作方程x x -2,则x 0. 3 2b"a n「x0 © d—注乂a .cd1 -c二 c(a n -X °) = cb n . 11一2 -3 一2 +X — a-fl等的比公为11 1 n4丁 3) ,a n-3b n —3叫-」)n‘, n N. 2 2 2 3b n列是例2.已知数列｛a n｝满足递推关系：a n ^（2a n - 3）i, n，N,其中i为虚数3单位。

当a i 取何值时，数列｛a .｝是常数数列?a^ :-,a 2二：给出的数列：a n 爲方程x 2- px -q =0，叫做数列 :a n / 的特征方程。

特征方程解数列递推关系

特征方程解数列递推关系数列递推关系是指由已知的一些项推导出后续项的关系，通常用特征方程解决数列递推问题。

特征方程是一个代数方程，其解决了递推关系的数学性质，因此能够推导出数列的通项公式。

在讨论特征方程解数列递推关系之前，首先让我们来了解一下数列和递推关系的概念。

数列是一列有序的数的集合，其中每个数都有其对应的位置，称为项。

数列通常用a1,a2,a3,...,an表示，其中ai表示数列的第i项。

数列是离散的，即项之间没有连续性。

递推关系是指通过已知的一些项，推导出后续项之间的关系。

数列递推关系一般具有以下的形式：an = f(an-1, an-2, ..., an-k)，其中f是一个函数，表示通过前面的k个项来推导出当前项。

解决数列递推关系的一种常用方法是利用特征方程。

特征方程是通过将递推关系转化为代数方程，并求解该方程得到的根来得出通项公式。

接下来，我们将详细介绍如何通过特征方程解数列递推关系。

首先，考虑一个简单的数列递推关系 an = k * an-1，其中k是一个常数。

我们希望通过已知的一些项，推导出后续项之间的关系。

将an-1代入递推关系中得到 an = k * (k * an-2) = k^2 * an-2，依次类推，可以得到 an = k^n * an-n。

这是一个简单的等比数列，通项公式为 an= a1 * k^(n-1)，其中a1为初始项。

下面，我们通过特征方程解决一个稍复杂一些的数列递推关系。

考虑递推关系 an = an-1 + 2an-2，其中n > 2、假设已知a1和a2，我们可以通过这两个初始项来推导出后续项之间的关系。

首先，我们猜测通项公式为 an = r^n，其中r为待确定的常数。

将该通项公式代入递推关系中得到 r^n = r^(n-1) + 2r^(n-2)。

我们希望将递推关系转化为一个代数方程，从而求解r的值。

将r^(n-2)整体提取出来，得到r^(n-2)(r^2-r-2)=0。

特征方程求递推数列通项公式

特征方程求递推数列通项公式特征方程是解递推数列通项公式的一种常用方法。

递推数列是指数列中的每一项都是前一项的一些函数关系的数列。

假设我们的递推数列是{a_n}，并且已经知道其通项公式是An。

如果我们能够找到一个方程f(x)=0（称为特征方程），其中x是未知数，且满足特征方程的根为r1、r2、..、rk，那么递推数列的通项公式可以表示为An=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1、C2、..、Ck是常数。

下面我们以一些具体的例子来说明如何使用特征方程求递推数列的通项公式。

【例子一】已知递推数列的前两项是a_0=1，a_1=1，且每一项都是前两项之和，即a_n=a_(n-1)+a_(n-2)。

首先，我们将递推数列的通项公式假设为An=r^n，其中r是未知数。

代入递推数列的定义式，我们得到r^n=r^(n-1)+r^(n-2)。

进行整理，我们得到r^2=r+1，这就是递推数列的特征方程。

现在我们需要找到特征方程的根。

我们将特征方程转化为二次方程的标准形式，即r^2-r-1=0。

使用求根公式，我们可以得到两个根：r1=(1+√5)/2≈1.618和r2=(1-√5)/2≈-0.618因此，递推数列的通项公式可以表示为An=C1*(1+√5)/2^n+C2*(1-√5)/2^n。

【例子二】已知递推数列的前两项是a_0=2，a_1=6，且每一项都是前一项的两倍，即a_n=2*a_(n-1)。

同样地，我们假设递推数列的通项公式为An=r^n，其中r是未知数。

代入递推数列的定义式，我们得到r^n=2*r^(n-1)。

进行整理，我们得到r=2因此，递推数列的通项公式可以表示为An=C*2^n，其中C是常数。

通过以上两个例子，我们可以看出使用特征方程求递推数列的通项公式的基本步骤如下：1.假设递推数列的通项公式为An=r^n，其中r是未知数。

2.代入递推数列的定义式，得到一个关于r的方程，即特征方程。

高中数学特征方程求递推数列通项公式

特征方程求递推数列通项公式一、一阶线性递推数列通项公式若数列{}n a 已知11,(1),n n a a ca d c +=+≠求数列{}n a 的通项n a推导：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=-=-++则，令d t c =-)1(，即cd t -=1，得)1(11c d a c c d a n n --=--+，知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+c d a n 1是以c 为公比的等比数列， 11()n n d d a a c -∴-=-得11+()n n d d a a c -=-. 例1.1已知数列}{n a 满足：,4,N ,2311=∈--=+a n a a n n 求.n a111111112,N,4,3114+(),333433132,+()32232311122331113111=(),(),N223223n n n n n n n n n n n n n a a n a a a a a a a a a a n λλλλλ++++--=--∈==-+∴=--===-+⎧⎫+-⎨⎬⎭⎩+-∴=-+-∈方法一：，即，是以为初项，为公比的等比数列方法二：作特征方程132,.32x x x =--=-则11331+(+)()223n n a a -=-，当41=a 时，101311,.22a x a ≠+=数列3{+}2n a 是以31-为公比的等比数列. 于是：11113311113111+(+)()(),(),N.22323223n n n n n a a a n ---=-=-=-+-∈二、二阶线性递推数列通项公式推导：若数列{}n a 满足,11-++=n n n qa pa a 设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11)(-++-=n n n sta a t s a , 令⎩⎨⎧==-q st pt s ①（1）若方程组①有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s ,1111112221()()n n n n n n n n a t a s a t a a t a s a t a +-+-+=+⎧⎨+=+⎩,即{}n n a t a 11++、{}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列性质可得1111211)(-++=+n n n s a t a a t a , 1212221)(1-++=+n n n s a t a a t a ,∵,21t t ≠由上两式消去1+n a 可得()()()nn n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+=.（2）若方程组①有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11s t -=，则())(2112111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a =…)(11211a t a s n +=-，211121111s a s a s a s a nn n n -=-∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列性质可知()21112111.1s a s a n s a s a nn --+=，所以n n s n s a s a s a s a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=．通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去t 即得02=--q ps s ，显然1s 、2s 就是方程q px x +=2的两根，称此方程为二阶线性递推数列11-++=n n n qa pa a 的特征方程。

用特征方程求数列的通项

用特征方程求数列的通项通项公式（或递推公式）是一个能够描述数列中每一项与前面的项有何种关系的方程式。

特征方程是解决递推公式的常用方法之一、接下来我将详细介绍特征方程的应用过程。

为了说明特征方程的用法和应用，我将以一个简单的数列为例，展示如何使用特征方程来求解这个数列的通项公式。

假设我们有一个数列：1, 2, 4, 8, 16, ...。

我们可以观察到每一项等于前一项乘以2，因此可以得出递推公式为an = 2 * an-1、其中an 表示第n项。

现在，我们来利用特征方程来推导这个数列的通项公式。

首先，我们设数列的通项公式为f(n)，并设特征方程为an = r * an-1根据递推公式an = 2 * an-1，我们有f(n) = 2 * f(n-1)。

将f(n)替换为an，f(n-1)替换为an-1，则特征方程变为an = 2 * an-1接下来，我们将特征方程的右边移到左边，并将an除以an-1，得到2 = an / an-1、由于an / an-1等于f(n) / f(n-1)，我们可以将特征方程改写为f(n) / f(n-1) = 2继续化简，得到f(n)=2*f(n-1)。

可以注意到这个递推公式与原数列的递推公式相同。

因此，我们可以得出结论，这个数列的通项公式为f(n)=2^n。

所以，数列1,2,4,8,16,...的通项公式为f(n)=2^n。

通过这个简单的例子，我们可以看到特征方程的应用过程。

通过将递推公式变形为特征方程的形式，我们可以通过求解特征方程得到数列的通项公式。

特征方程的应用不仅仅局限于这个简单的数列，它可以用于解决更加复杂的递推关系。

我们可以将递推关系转化为特征方程，并通过解特征方程来求解数列的通项公式。

总结一下，特征方程可以帮助我们求解数列的通项公式。

它将递推关系转化为一个以未知数为变量的等式，通过解这个等式得出数列的通项公式。

通过特征方程的应用，我们能够更好地理解和推导数列的递推关系，从而更加深入地研究数列的性质和特点。

特征方程法求递推数列的通项公式之欧阳德创编

特征方程法求解递推关系中的数列通项时间：2021.03.07 创作：欧阳德一、（一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。

当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。

若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

例3：已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。

则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。

把代入，得，，，。

把以上各式相加，得。

解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。

,。

又由，于是故三、(分式递推式)定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即例5．已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)∵对于都有(2)∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，. (3)∵∴∴令则∴对于∴(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.练习题：求下列数列的通项公式：1、在数列中，，求。

用特征根方程法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子：1n n n aa b a ca d++=+ 令 ax b x cx d +=+，即2()0cx d a x b +--= ，令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+-- （其中2c p a d =+）(2)若12x x ≠,则有111122n n n n a x a xq a x a x ++--=-- （其中12a cx q a cx -=-）例题1：设23()27x f x x -+=-，(1)求函数()y f x =的不动点； (2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <，求使()()f x a x akf x b x b--=--恒成立的常数k 的值；(3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a 。

23()27x f x x -+=-解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则0002327x x x -+=-解得012x =-或03x = (2)由231111()1272222238248(3)83327x x x x x x x x x x -++---++-===⋅-++-----可知使()()f x a x a kf x b x b --=--恒成立的常数18k =。

(3)由(2)可知1111122383n n n n a a a a --++=⋅--，所以数列 123n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以34-为首项，18为公比的等比数列。

则11312()348n n n a a -+=-⋅-，则11911()482311()48n n n a ---=+例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14N,,23n n n a n a a ++∈=+ 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有11411234231114244651052223n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++--++---+-====-+++++++++即11111252n n n n a a a a ++--=-++ 又1113122325a a --==++ ∴数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以25为首项，15-为公比的等比数列 1121()255n n n a a --=-+ 1141()1(5)455,N.212(5)1()55n n n n n a n ---+--==∈+--- 例3．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a解：作特征方程.32513+-=x x x变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根 5.x =（1）∵115,.a a x =∴=∴对于,N ∈n 都有5;n a x == （2）∴543,N.7n n a n n +=∈+ 一、数列的一阶特征方程（1n n a pa q -=+型）在数列{}n a 中，1a 已知，且2n ≥时，1n n a pa q -=+（,p q 是常数），（1）当1p =时，数列{}n a 为等差数列；（2）当0p =时，数列{}n a 为常数数列；（3）当1,0p q ≠=时，数列{}n a 为等比数列；（4）当0,1,0p q ≠≠时，称x px q =+是数列{}n a 的一阶特征方程，其根1qx p=-叫做特征方程的特征根，这时数列{}n a 的通项公式为：11()n n a a x p x -=-+；例1：已知数列{}n a 中，15a =，且2n ≥时，求n a ；（参考答案：122273n n a -=-）二、数列的二阶特征方程（21n n n a pa qa ++=+型）在数列{}n a 中，1a 与2a 已知，且21n n n a pa qa ++=+（,p q 是常数），则称2x px q =+是数列{}n a 的二阶特征方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根。

特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项

用特征方程求数列的通项

特征方程解数列递推关系

人教A版高中数学必修五 特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程解数列递推关系

特征方程法求数列通项

特征方程法求递推数列的通项公式

特征方程解数列递推关系

特征方程法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项

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特征方程求递推数列通项公式

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