可测函数与连续函数
连续与可测函数
，当 x < δ 时，
1 g ( x ) − g (0) < 4
1 则若 g ( 0 ) ≥ 2 ， ( −δ , 0 ) ⊆ E ( f ≠ g ) 1 则若 g ( 0 ) ≤ 2 ， ( 0, δ ) ⊆ E ( f ≠ g )
因此， m ( E ( f ≠ g ) ) ≥ δ > 0 ，即不会几乎处处相等
8
令
Eδ = ∩ Fk
k =1
∞
则 Eδ ⊆ E 是闭集，且
m ( E \ Eδ ) = m
(∪
∞
∞
E \ F ( k )) k =1
<δ
≤ ∑ m ( E \ Fk )
k =1
由于每个 f k 在闭集 Eδ 上连续，且
fk ⇒ f ，
f 在 Eδ 上连续。
9
例：考虑 Dirichlet 函数 D ( x ) 。
1
定义：
2
例1． 考察 R 上的 Dirichlet 函数
⎧1, x ∈ D ( x) = ⎨ ⎩0, x ∉
则 D ( x ) 处处不连续。
但是考察函数
D Q ，即
D在有理数集合上的限制。
D Q是 Q 上的连续函数。
类ห้องสมุดไป่ตู้的，Dirichlet函数在无理数集合上的限制也连续。 这个例子表明，对于不连续函数，若缩小定义域，则 不连续函数可以变成连续函数。 度？
3
引 理 1 设 F1 ,
k
, Fk 是 互 不 相 交 闭 集 ， F = ∪ Fi ， 则
i =1
k
f ( x ) = ∑ ai χ Fi ( x ) 是 F 上连续函数。
证明：设 x0 ∈ F 。则存在 i0 ：x ∈ Fi 。 0 由于 F , , F 互不相交， x ∉ ∪ Fi 。由闭集性质，
可测函数与连续函数
可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。
由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。
【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。
特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。
一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m(E∖E1)=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。
2、可测函数：设E⊂ℝ是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。
假如对于任意实数CE(f>C)={x∈E:f(x)>C}都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。
3、几乎处处有限的可测函数：设E⊂ℝ是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1，m(E∖E1)=0，f在E1上有限，假如对于任意实数CE(f>C)={x∈E:f(x)>C}都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设D⊂ℝ，f是定义于D的函数，x∈D，假如lim y→x,y∈D f(y)=f(x)则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。
5、预备定理、引理定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。
若{ f n}在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。
定理2.3（Egoroff ） 设 f 和 f n (n ≥1) 都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。
若 f n 在 D 上几乎处处收敛于 f ，则对任何 ε>0，有D 的闭子集 F ，使 m ( D − F )<ε，并且 f n 在 F 上一致收敛于 f 。
引理2.1 设 F 是 R 中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数 f ∗，并且sup x∈R | f ∗(x )|=sup x∈R| f (x )|。
可测函数与连续函数
连续。由引理 1， 作
引理证毕。
定理 1（Lusin）设 为可测集 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的
，有沿 连续的函数 使
，并且
。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）
证明：不失一般性设 在 上处处有限。
3 / 6'.
.
先设 是有限可测集。由定理 2.3，有 上的简单函数列 ,使 。现对每一 ,由引理 2.2，存在沿 连续的函数
，使
中去掉有限个或可数多 ，现在我们定义一个函数
此外，当
时，令 的图形是联
及 时，分别联 ,
及,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。
的直线，当 的直线，于是 是
三、小结
一方面，可测集上的连续函数是可测的，另一方面，Lusin定理表明， Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近。可测集 上的连续函数一定为可测函 数，但可测函数不一定连续。如Dirichlet函数,Riemann函数都是可测函数但都 不连续。显然，可测函数要比连续函数更加广泛。
上的连续函数 ，并且
=
。
引理 2.2 设 是可测集 上的简单函数。则对任何
续的函数 使
。
有沿 连
二、可测函数和连续的关系
1、连续函数的可测性
定理1 可测集上的连续函数都是可测函数。
证明: 对任意 ，设
，则由连续性假设，存在x的某邻域 ，
使
。因此，令
，则：
反之，显然有
，因此：
从而：
但 G 是开集（因为它是一族开集这并），而 E 为可测集，故其交 仍
此时
是闭集，并且 沿 连续。由引理 2.1， 作为 上的函数
可以开拓成 上的连续的函数 ，并且
可测函数与连续函数
连续。由引理 1， 作
引理证毕。
定理 1（Lusin）设 为可测集 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的
，有沿 连续的函数 使
，并且
。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）
证明：不失一般性设 在 上处处有限。
先设 是有限可测集。由定理 2.3，有 上的简单函数列 ,使 。现对每一 ,由引理 2.2，存在沿 连续的函数
，使
，
令 ,
则
并且在
上
。
由于 有界,所以存在
的有界闭子集 ,使得 在 上一致收敛于 并且
。再由定理 2.2， 沿 连续.这样由引理 2.1， 作为 上
的函数可以开拓成沿 连续的函数 。此时 样我们在 有界的条件下证明了定理。
。这
对一般的
，此时对每一整数 ，令
则 都是有界的。从而由上段证明，对每一 ，存在 的闭子集 ,使 沿 连续，并且
一、基本概念
1、几乎处处：
给定一个可测集 E，假如存在 E 的一个子集 ， 在 上处处成立，则称性质 P 在 E 上几乎处处成立。
，且使得性质 P
2、可测函数：
设
是 Lebesgue 可测集， 是 上的实值函数。假如对于任意实数
都是可测集，则称 是 上的 Lebesgue 可测函数（简称 是 上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数：
此时
是闭集，并且 沿 连续。由引理 2.1， 作为 上的函数
可以开拓成 上的连续的函数 ，并且
。
定理证毕。
推论 若 是 上几乎处处有限的可测函数，则对任何 ，有 上连
续函数 ，使
，并且
。
定理 2 设 为可测集， 为 上的实函数，如果对任何 ，存在闭集
第四章可测函数
§1 可测函数及其性质 §2 叶果洛夫定理 §3 可测函数的构造 §4 依测度收敛
§1 可测函数及其性质
要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可 测函数是勒贝格积分的基本对象。
记号：一个定义在 E Rn 上的实函数 f (x) 确定了E的一组
子集
E f a x | xE, f (x) a
不是一个函数值，而是一个集合
可测函数等价定义 设f (x)是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数a,b (a b)
f (x) 在E上可测 （1）E f a 都可测。
（2） E f a 都可测。 （3） E f a 都可测。 （4）Ea f b 都可测。
推论：设 f (x)在E上可测，则 E f a 总可测，不论 a 是有 限实数或 即：可测集E上的常值函数是可测函数。
函数 n 的极限函数，其中 1(x) 2(x)
注：1°简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。 2°简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数
可能为 ，然而简单函数一定是可测函数。
5、几乎处处成立
设 是一个与集合E的点 x 有关的命题，如果存在E的子集 M，适合 mM 0 ，使得 在E\M上恒成立，即E\E[ 成 立]=零测度集，则我们称 在E上几乎处处成立， 或说
n
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测，特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时，
它也在可测。
4、简单函数及其性质
（1）定义：设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ，使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ，则称 f (x)
第三章可测函数
第三章Lebesgue 可测函数1f 是[a,b ]上几乎处处有限的可测函数.证明：m ({x ∈[a,b ]:f (x )>α})是α的右连续函数,m ({x ∈[a,b ]:f ≥α})是α的左连续函数.证明我们仅仅考虑第二个结论.假如{Δn }n ≥1,Δn ↑0,0≤m ({x ∈[a,b ]:f (x )≥α+Δn })−m ({x ∈[a,b ]:f (x )≥α})≤m ({x ∈[a,b ]:α+Δn ≤f (x )<α}).一个明显的事实是集合列{{x ∈[a,b ]:α+Δn ≤f (x )<α}}n ≥1是单调下降的集合列且测度都有限,从而lim n →∞m ({x ∈[a,b ]:α+Δn ≤f (x )<α})=m (︁∩∞n =1{x ∈[a,b ]:α+Δ≤f (x )<α})︁这就证明了我们理想的结论.2设E =[0,1]上的可测函数f 几乎处处有限，证明：存在实数α0,使得m (E (f ≥α0))≥1/2,m (E (f ≤α0))≥1/2.证明我们知道：lim λ→−∞m (E (f ≥λ))=1,lim λ→∞m (E (f ≤λ))=1,令α=sup {λ:m (E (f ≥λ))≥1/2},β=inf {λ:m (E (f ≤λ))≥1/2}.则α,β都是有限实数.我们来证明:m (E (f ≥α))≥1/2,m (E (f ≤β))≥1/2.我们仅考虑前面一个不等式(后者可以用同样的方式证明).对于任意的自然数n ,存在λ,使得λ>α−1/n ，并且m (E (f ≥λ))≥1/2,46这样就得到m(E(f≥α−1/n))≥1/2.再利用单调增加的可测集合列的测度的极限性质就给出理想的结论.现在回到我们要证明的结论.假如β≤α,明显地β就是我们需要的α0.假如α<β,则存在γ∈(α,β),m(E(f≥γ))<1/2,m(E(f≤γ))<1/2.这是不可能的！(3)设D是可测集合,f沿D连续，证明：f在D上可测.证明我们首先断言Fσ型集合上的连续函数一定可测.事实上，假如E是Fσ型集合，则E可以表示成一列闭集的并集，即E=∪∞E n,n=1其中E n是闭集.由于闭集上的连续函数是可测函数,从而Fσ型集合上的连续函数可测.对于可测集合D,利用可测集合的充分必要条件,我们知道存在Fσ型集合E使得m(D∖E)=0.f在D上可测,所以也在E上连续，当然在E上可测,而f在D∖E上可测很明显，这样就知道f在D上可测。
可测函数
第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE ix E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩ 注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。
第四章可测函数解析
第四章 可测函数教学目的：1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质.2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点：1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明,Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.§4.1 可测函数及相关性质由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 记=αD 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.我们知道,f 在D 上连续⇔R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为=)(x f )(x E λ⎩⎨⎧=01ED x Ex -∈∈由于 {}αα>∈=)(:x f D x D⎪⎩⎪⎨⎧=D E φ0101<<≤≥ααα是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、{}α≥f 、{}α<f 、{}α≤f 、{}α=f 等的意义同上. 问:定义中α>f 可否换成α<f ?答:可以.定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下面四件事等价. (i)f 在D 上可测;(ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α<f 可测; (iv)对任何R ∈α,{}α≤f 可测.其证明就是利用集合的运算. 证明:(i)⇒(ii) {}α≥f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=∞=n f n 11α ,由(i), ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->n f 1α可测,从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧->∞=n f n 11α 可测,即{}α≥f 可测.(ii)⇒(iii){}α<f -=D {}α≥f(iii)⇒(iv){}α≤f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<=∞=n f n 11α(iv)⇒(i) {}α>f -=D {}α≤f定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα<<f 、{}βα<≤f 、{}βα≤≤f 、{}βα≤<f 都是可测集,其中+∞≤<≤∞-βα,λ是广义实数. (ii){}g f >是可测集.证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集;若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞=1可测;若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞=1可测.可见, 对任何广义实数λ,{}λ=f 是可测集.对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得.(ii)分析:⇒>g f x ∃,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则{}g f >{}{}{}g r r f n n n >>=∞= 1再利用函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集.在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限函数连续,否则未必.如:n n x x f =)(,]1,0[∈x .)()(x f x f n →⎩⎨⎧=01101<≤=x x不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性.定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数,则函数)(sup 1x f n n ≥、)(inf 1x f n n ≥、)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1α>≥x f n n })({1α>=∞=x f n n 可测.(此等式表明至少有一个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最小上界,便会得出α≤≥)(sup 1x f n n )})(inf {1α<≥x f n n })({1α<=∞=x f n n 可测.(至少有一个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最大下界α≥≥)(inf 1x f n n ) 再由)(l i m x f n n ∞→)(s u p i n f 1x f k nk n ≥≥=、)(lim x f n n ∞→)(inf sup 1x f k nk n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数.(n x 的上极限k nk n n n x x ≥≥∞→=sup inf lim1,k nk x ≥sup ↓;n x 的下极限k nk n n n x x ≥≥∞→=inf sup lim 1,k nk x ≥inf ↑)实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.§4.2 可测函数的其它性质设D 是可测集,)(x p 是一个与D 中每一点有关的命题.若除了D 的一个零测子集E 外,使)(x p 对每一E D x -∈都成立,则称)(x p 在D 上几乎1xy处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere).例如,{}x n sin 在R 上几乎处处收敛于0或说0sin lim =∞→x n n a.e.在R(因为只有2ππ+=k x 时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor 集上的特征函数0)(=x C λ a.e.在]1,0[(因为Cantor 集为零测集).若说)(x f 在R 上a.e.有限,意即)(x f 不有限的点的集合为零测集. 为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数,数学分析中求R 积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设f 是可测集D 上的一个函数,若)(D f是由有限个实数1a ,2a ,…,n a 组成,并且{}k k a x f D x E =∈=)(: n k ,,2,1 =都是可测集,则我们称f 是D 上的一个简单函数.由此f 可以表示为)()(1x a x f K E k nk λ=∑=其中)(x kE λ可记作)(x k λ,为k E 上的特征函数.由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测).易知,若f 、g 都是简单函数,则f λ、||f 、fg 、g f +、g f -等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的.下面说明可测函数一定是简单函数的极限.定理4.2.1 设f 是可测集D 上的可测函数,则有D 上的简单函数列{}1≥k k ϕ,使对每一D x ∈,)()(x f x k →ϕ,此外(i)当0≥f 时,可使上述{}1≥k k ϕ满足对每一D x ∈,{}1≥k k ϕ单增收敛于)(x f ;(ii)当f 有界时, 可使上述{}1≥k k ϕ在D 上一致收敛于f . (即对任何0>ε,有K ,K k >∀,有εϕ<-|)()(|x f x k )提问:试举例说明,一列函数在每一点都收敛于)(x f ,但不一致收敛.答:如k k x x f =)( ]1,0[=D ,则⎩⎨⎧=01)(x f101<≤=x x ,这时)(x f k 在每一点都收敛,但不一致收敛.其原因是极限函数不连续.上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述一下上述定理的证明思路.第一次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长21; 第二次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长221,其中-1和1之间是将第一次的段分一半,分细了,这段的一部分向上移了,所以-1和1之间的第二个阶梯函数部分比第一个大……,即)(1x ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=12111k1)(2)(211)(11-<<≤-≥x f kx f k x f 2,1,0,1-=k(k 的取法可由中间一段得出,因此时)(x f 必在-1和1之间,左等右不等,由1211-=-k 得1-=k ,由121=k得2=k ,所以2,1,0,1-=k .第二次k 的取法类似).)(2x ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=22122k2)(2)(212)(22-<<≤-≥x f kx f k x f 8,,6,7 --=k证明:对每一1≥n ,令)(x n ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=nk nn 21 n x f k x f k n x f n n -<<≤-≥)(2)(21)(若若若 n n n n k 2,,12⋅+⋅-=(i)显然{}1≥n n ϕ是一列简单函数,现固定D x ∈.若∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n =)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 若-∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n -=)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 最后,若)(x f 是一个实数,则当n 充分大时,存在唯一的n k ,使得n n n n k n 212⋅≤≤+⋅-,并且nnn n k x f k 2)(21<≤- 于是)(x n ϕn n k 21-=,nn x x f 21)()(0<-≤ϕ.令∞→n ,即得)()(x f x n →ϕ. 特别,设f 非负.由)(x n ϕ的构造方法(如图x 轴上方),易知:)(x n ϕ单增.(ii)最后若f 有界,M 是||f 的一个上界,则当M n >时,{}n f ≥及{}n f -<都是空集,从而对一切D x ∈,有nn x f x 21)()(<-ϕ,故{}1)(≥n n x ϕ一致收敛于)(x f .注1.由可测函数的定义,f 在可测集D 上是否可测,与f 在D 上的一个零测子集上的值无关.f 可测⇔{}α>∈)(:x f D x R ∈∀α 是可测集.若0)(=E m ,D E ⊂,即使f 在E 上乱动,对{}α>∈)(:x f D x 可测没有影响.即只要f 在E D -上可测,就说f 在D 上可测(在E 上无定义也可).说明:若)(1x f )(2x f = a.e.D ,则当1f ,2f 中有一个可测时,另一个也可测.而连续函数斤斤计较,动一点则不连续.注 2.设是D 上的可测函数列, 0)(=E m ,D E ⊂.若对每一个E D x -∈,)()(x f x f n →,由定理4.1.4知f 在E D -上可测,从而由注1, f 在D 上可测.这个结论也可以说成“可测函数列{}1≥n n f 在D 上几乎处处收敛的极限f 在D 上可测”.注 3.设f 和g 都是D 上的可测函数,若对某D x ∈,∞=)(x f ,且-∞=)(x g 或-∞=)(x f 且∞=)(x g ,则)()(x g x f +就没有意义.但如果所有使)()(x g x f +没有定义的点x 的全体是零测集,则我们同样可以讨论g f +的可测性,对g f -也如此.定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.证明思路.以f 为例.因f 是可测集D 上的可测函数,从而有简单函数列)()(x f x f n →,进而简单函数列)()(x f x f n →,所以极限函数f 可测.再如证fg 可测,由已知,因)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,)(x f n 、)(x g n 为简单函数列,所以)(x f n )(x g n 也是简单函数列,且)(x f n )(x g n )()(x g x f →,因此极限函数)()(x g x f 可测.一定注意:可测与否与零测集无关.例题4.2.1 ]1,0[上的实函数是否一定可测?答:不一定.找]1,0[中的不可测子集E ,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合]1,0[⊂E ,令⎩⎨⎧==01)()(x x f E λE x E x -∈∈]1,0[则{}α>∈)(:]1,0[x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=]1,0[E φ0101<<≤≥ααα ——→不可测.所以)(x E λ在]1,0[上不可测.例题4.2.2 零测集上的实函数是否一定可测?答:因{}E x f E x ⊂>∈α)(:,故也是零测集,从而零测集上的实函数一定可测.例题 4.2.3 设D E ⊂,其中D 可测,0)(=E m .若f 在E D -上可测,是否f 在D 上可测?答:{}α>∈)(:x f D x ={}α>-∈)(:x f E D x {}α>∈)(:x f D x 可测. 复述定理4.2.1f 在D 上可测⇒有D 上的简单函数列)()(x f x f n →,D x ∈∀且 (i)0≥f 时,)()(x f x f n ↑→(ii)当f 有界时, )(x f n )(x f .之后三个“注”说明可测函数与零测集无关.这样,若可测函数列)()(x f x f n → a.e.,则)(x f 是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的.重复定理4.2.2设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.什么叫g f +几乎处处有定义?即{}( ∞=)(x f {})-∞=)(x g {}( -∞=)(x f {})∞=)(x g 是零测集. 其证明思路:①可测函数一定是一列简单函数列处处收敛的极限. ②也可用定义.如{}αλ>f 由)0}({>>λλαf 或)0}({<<λλαf 来证. 此处用方法①最清楚.简单函数)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,则)()(x f x f n λλ→,)()(x f x f n →, )(x f n )(x g n )()(x g x f →,)(x f n +)(x g n )()(x g x f +→ a.e.D(简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,无∞±的情况,简单函数不允许取∞±)g f +在E D -可测,0)(=E m ,由注1, g f +在D 可测(即例题3).例题4.2.4 f 在D 上可测,f sin 在D 上是否可测? 答:因f 可测,则有简单函数列)()(x f x f n →D x ∈∀ 所以 )(sin )(sin x f x f n →由于n f 是简单函数,取有限个实数,当然)(sin x f n 也取有限个实数,因而n f sin 也是简单函数,所以f sin 可测.由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数比较复杂.sin 连续故必可测.但若随便问))((x f g 可测吗?一下子说不清楚.f 、g 可测,则有简单函数f f n →、g g n →,这时))((x f g n n 也是简单函数,但))((x f g n n →))((x f g ? g 若连续,有))(())((x f g x f g n →g 若不连续,则没有))(())((x f g x f g n →,更不用说))((x f g n n →))((x f g 了.所以,连续函数的复合还连续,而可测函数的复合却不一定可测. 要点: 1.可测函数与零测集无关.2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限.§4.3 可测函数用连续函数来逼近称F 是一个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要条件是F 是有界闭集.定理4.3.1 设F 是一个紧集,{}1≥n n f 是一列沿F 连续的函数.若{}1≥n n f 在F 上一致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈∀,)()(lim 00x f x f Fx xx =∈→). 前面曾提到n x →⎩⎨⎧01101<≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续⇒n x 不一致收敛.定理的证明思路与数学分析同.问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a 一致收敛⇒)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈∀,0>∀ε,0>∃δ,∀),(0δx x ∈=-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-)()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n -3ε<3ε+3ε+ε=若改为),(b a 也一样.本节中非常重要的一个结果:定理4.3.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上几乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上几乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭子集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上一致收敛于f .(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛)证明:令{})()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞→都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令)(r nA 1D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞=r x f x f k n k 1)()( ,2,1,=r n()(r n A 是1D 里那样的点: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取∞+= ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质)对每一1≥r ,{}↑→≥1)(n r n A 1D ,且每一个)(r n A 都可测.(首先,每一个)(r n A 都是1D 子集,由{}↑≥1)(n r n A知)(1)(lim r n n r nn AA∞=∞←= ,也就是要证1)(1D A r n n =∞= ),易见)(1r n n A ∞= 1D ⊂，这是因为每个1)(D A r n ⊂,现在对1D x ∈∀,取01>r,由)()(lim x f x f n n =∞→知N∃,Nk >∀,有rx f x f k 1)()(<-,说明}1)()({rx f x f x k N n <-∈∞= ,当然1D x ∈}]1)()({[rx f x f k Nn <-∞= )(r N A =.所以)(1r nn Ax ∞=∈ ,因此⊂1D )(1r nn A ∞= ,于是得到1)(1D A r n n =∞= .即1)(lim D A r n n =∞←. 由测度性质(定理3.3.6(i)))(lim )(r n n A m ∞→)lim ()(r n n A m ∞→=)(1D m = (1)又∞<=)()(1D m D m ,所以对每一1≥r ,有r n ,使)()()(1r n r A m D m -)()(1r n rA D m -=12+<r ε (2)(对 (1)式利用极限定义,再根据测度的减法,∞<)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-)此时n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .(即0>∀ε有N ,N n ≥∀,E x ∈∀,有ε<-)()(x f x f n (下证)0>∀ε ,有00>r ,使ε<01r ,从而当0r n n >时,对一切)(00r n r A x ∈,有ε<<-01)()(r x f x f n .显然)(00r n r A E ⊂所以上述结论对E x ∈∀都成立.即n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .))(E D m -)(1E D m -=)()(11r n r rA D m ∞=-= ))(()(11r n r rA D m -=∞= (由)(11r n r r AD ∞=- )()(11r n r rA D -=∞= ) )()(11r n r rA D m -∑<∞= 112+∞=∑<r r ε2ε=此时有E 的闭子集F ,使2)(ε<-F E m ,则n f 在F 上一致收敛于f 且)]()[()(F E E D m F D m --=- )()(F E m E D m -+-≤ε<.思路是:几乎处处收敛→处处收敛→一致收敛→闭集上↑ ↑ ↑ ↑ D ⊃ 1D ⊃ E ⊃ F注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件非常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理.如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m 而且n f 在F 上一致收敛于0?这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R引理4.3.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成R上的连续函数*f ,并且)(sup *x f Rx ∈)(sup x f Fx ∈=.n R证明:此时),(1n n n cb a F ∞== ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义,不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义) 今定义⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)()()()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞=∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x F x 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+)()()()(n n n n n n a x a b a f b f a ff*a nnn b n 1122kk显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f Rx )(sup x f Fx ∈.引理 4.3.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m .(是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令{}k k k a f E == n k ,,2,1 =,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k nk E D 1== .对每一k ,有闭集k k E F ⊂,使F E m k k ε<-)((因可测集与闭集“差不多”)则f 沿F F k nk ==1连续.(对k nk F F x 10==∈∀ ⇒00k F x ∈⇒x 充分接近0x 时即 ⇒<),(0x x d ),(min 0,,2,10k k k n k F x d ≠=⇒00k k E F x ⊂∈所以0)(k a x f =.⇒从而)()(lim 00x f x f Fx x x =∈→.⇒即f 沿F 连续.)由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .{}())(*F D m f f m -≤≠)(11k nk k nk F E m ==-=)]([1k k nk F E m -≤=)(1k k nk F E m -∑≤=ε<(由第一章习题:-∞=n n A 1n n B ∞=1-⊂∞=n n A (1)n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地方在F 外,即{}F D f f -⊂≠*).定理 4.3.3(Lusin)设f 是可测集D 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(s u p *x f Dx )(s u p x f Dx ∈.证明:不妨设f 处处有限.先设∞<)(D m (为了应用Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每一个1≥n ,由引理4.3.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使{}()1*2+<≠n n n f f m ε,2,1=n令{}*1n n n f f E ≠=∞= ,则)(E m ∞=∑≤1n {}()11*2+∞=∑<≠n n nn ff m ε2ε=此时对每一E D x -∈(即{}*1n n n f f =∞= ),有)()(*x f x f n n = ,2,1=n从而对每一E D x -∈,)()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可用Egoroff 定理)由Egoroff 定理,,有有界闭集E D F -⊂使2)(ε<--F E D m而且*n f 在F 上一致收敛于f .由定理 4.3.1,f 在F 上连续,再由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时{}()f f m ≠*)(F D m -≤()[]E F E D m --=)()(E m F E D m +--≤ε<这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理.若∞=)(D m ,令)1,[+=n n D D n ,2,1,0±±=n则∞<)(n D m .由已证,对每一n ,有n D 的闭子集n F ,使f 沿n F 连续,而且2||2)(+<-n n n F D m ε,2,1,0±±=n此时,n n F F +∞-∞== 是闭集而且f 沿n F 连续.(一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1nn ∞= ]2,0(=.开集是σF 集是由于]1,1[),(1nb n a b a n -+=∞= .此处n n F F +∞-∞== 是闭集是因F x n ∈∀,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故又由F x n ∈,当n 充分大时0n n F x ∈.由0n F 闭且x x n →知F F x n ⊂∈0.)由引理4.3.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且{}()*f f m ≠)(F D m -≤)(n n n n F D m ∞-∞=∞-∞=-=)]([n n n F D m -≤∞-∞=2||2+∞-∞=∑<n n εε<对于)(sup *x f Dx ∈)(sup x f Dx ∈≤,由引理4.3.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f Dx ∈≤而得(因D F ⊂).记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m .推论:若f 是],[b a 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(max *],[x f b a x ∈)(sup ],[x f b a x ∈≤.例:⎩⎨⎧=01)(x D无理数有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则{}()ε<=≠0)()(*x D x D m .这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”.000§4.4 测度收敛)()(x f x f n Dn ∞→−→−已经学过三种,即()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧测度收敛一致收敛几乎处处收敛逐点收敛4321 {}()εδεδε<≥-⇒>∀∃>∀>∀⇔⇒∈∀>∀∃>∀=-∈∀∈∀f f m N n N f f Dx N n N E m E D x Dx n n ,,0,0,,,00)(,第四种即今天要学习的测度收敛.设f 和n f )1(≥n 都是D 上几乎处处有限的可测函数.若对任何0>δ,{}()0→≥-δf f m n ()∞→n ,则称n f 在D 上测度收敛于f .记为f f n ⇒. 例 4.4.1.对每一1≥n ,把]1,0[n 等分,得到n 个小区间],1[n kn k -,n k ,,2,1 =.令 0≡f1)()(]1,0[1≡=x x f λ)()(]21,0[2x x f λ= )()(]1,21[3x x f λ=)()(]31,0[4x x f λ= )()(]32,31[5x x f λ= )()(]1,32[6x x f λ=………………图形见演示文稿《测度收敛反例》 此时对任何0>δ{}()δ≥-f f m n {}()δ≥=n f m 0−→−()∞→n .(因n 越大,n f 等于1的区间越小)即f f n ⇒.但对任何]1,0[∈x ,{}1)(≥n n x f 中有无穷项为1,无穷项为0,可见n f 不收敛.例 4.4.2.对每一1≥n ,令)()(),[x x f n n ∞=λ,0)(≡x f ,R x ∈.此时对∀R x ∈,)()(x f x f n →,但对21=δ,})21|({|≥-f f m n })21({≥=n f m )),((∞=n m ∞=.所以n f ⇒f .以上二例说明:测度收敛与几乎处处收敛和逐点收敛没有因果关系.但还是有关系的.即定理4.4.1(Riesz)设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的几乎处处有限的可测函数,则(i)若f f n ⇒,则{}1≥n n f 中有子列{}1≥k n kf 几乎处处收敛于f .(ii)若∞<)(D m ,并且n f 几乎处处收敛于f ,则f f n ⇒. 证明:(i)此时对每一1≥k ,})21|({|k n f f m ≥-)(0∞→→n ,因此有k n 使 kk n f f m k 21})21|({|<≥- ,2,1=k <<<<k n n n 21 11f 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f 10令})21|{|(1kn pk p f f E k≥-=∞=∞= (即集合序列的上极限) 则对每一1≥p})21|{|()(k n p k f f m E m k ≥-≤∞= })21|({|k n p k f f m k≥-∑≤∞=kp k 21∞=∑< 121-=p 令∞→p 得0)(=E m .即E 为零测集. 此时 cEE D -=})21|{|(1kn pk p f f k ≥-=∞=∞= 从而对每一E D E x c-=∈,必有10≥p 使∈x }21|{|0k n p k f f k<-∞= ,即0p k ≥∀有kn x f x f k 21|)()(|<-.也即)()(x f x f kn → )(∞→k .说明kn f 在c E 上处处收敛于f ,也就是说kn f 在D 上几乎处处收敛于f .(ii) (注意条件∞<)(D m ,否则即使n f 处处收敛于f ,也未必f f n ⇒)任给0>δ,0>ε,由于∞<)(D m ,由Egoroff 定理,有D 的可测子集E 使ε<-)(E D m 并且n f 在E 上一致收敛于f .于是有N,使δ<-|)(|f x f n E x ∈∀ N n >∀此时 {}δ≥-)()(x f x f n E D -⊂故 {}()δ≥-)()(x f x f m n ()E D m -≤ε< N n > 即f f n ⇒.例4.4.3.设)()(x f x f n ⇒,)()(x g x f n ⇒,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立.证明:由于)()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤,故对任何自然数n ,}1|:|{n g f E x ≥-∈⊂}21|:|{n f f E x k ≥-∈ }21|:|{ng f E x k ≥-∈, 从而})1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21|:|({ng f E x m k ≥-∈+令∞→k ,即得})1|:|({ng f E x m ≥-∈0=. 但是}:{g f E x ≠∈}1|:|{1ng f E x n ≥-∈=∞=故0}):({=≠∈g f E x m ,即)()(x g x f = a.e.于E.讲可测函数最重要的一条是其与连续函数“差不多”,即Lusin 定理.我们所说的“差不多”是{}()ε<≠f f m *而不是f f =* a.e . 不要混同.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈 兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子 己所不欲，勿施于人——孔子 读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹 立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修 读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿 书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦 书犹药也，善读之可以医愚——刘向 莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞 发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅 立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元 非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。
§.Rn（Euclid空间）上的可测函数和连续函数（精品）
§3.3 n R 上的可测函数与连续函数教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将证明重要的Lusin 定理, 它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数逼近. 这个结果在有些情况下是很有用的.本节要点 一方面, L 可测集上的连续函数是可测的, 另一方面, Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 另外, 作为准备定理的Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果.在§1.4我们已经给出了在nR 的任意子集上E 连续函数的定义. 这里先看两个例子. 例1 考虑1R 上的Dirichlet 函数=.1)(为无理数若为有理数若x x x D显然)(x D 在1R 上处处不连续. 若用Q 表示有理数的全体,则将)(x D 限制在Q 上所得到的函数Q D 在Q 上恒等于1. 故Q D 是Q 上的连续函数.(注意D 与Q D 是两个不同的函数). 这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数.例2 设k F F ,,1 是nR 上的k 个互不相交的闭集, ∪ki iFF 1==. 则简单函数∑==ki F i x I a x f i 1)()(是F 上的连续函数.证明 设,0F x ∈ 则存在0i 使得.00i F x ∈ 由于k F F ,,1 互不相交, 故∪0i i iFx ≠∉.由于∪0i i iF ≠是闭集, 因此.0),(00>=≠∪i i i F x d δ对任意,0>ε 当F x ∈并且δ<),(0x x d 时, 必有.0i F x ∈ 于是0)()(0=−x f x f .ε<因此)(x f 在0x 连续. 所以)(x f 在F 上连续(图3—1). ■图3—1定理1 设E 是nR 中的Lebesgue 可测集. f 是E 上的连续函数连续. 则f 是E 上Lebesgue 可测函数.证明 设∈a ,1R 记}.)(:{}{a x f E x a f E <∈=<我们证明, 存在nR 中的开集G , 使得.}{G E a f E ∩=< (1)事实上, 对任意},{a f E x <∈ 由于a x f <)(并且f 在x 连续, 故存在x 的邻域),(x x U δ,使得当),(x x U y δ∈并且E y ∈时, 成立.)(a y f < 即}.{),(a f E x U E x <⊂∩δ (2)令,),(}{∪a f E x xx U G <∈=δ则G 是开集. (2)式表明}.{a f E G E <⊂∩另一方面, 包含关系G E a f E ∩⊂<}{是显然的. 因此(1)式成立. (1)式表明对任意∈a ,1R }{a f E <是Lebesgue 可测集. 因此f 是E 上Lebesgue 可测函数. ■定理2 (Lusin 鲁津)设E 是nR 上的Lebesgue 可测集, f 是E 上a.e.有限的Lebesgue 可测函数. 则对任意,0>δ 存在E 的闭子集,δE 使得f 是δE 上的连续函数(即δE f 在δE 上连续), 并且.)(δδ<−E E m证明 分两步证明. (1) 先设f 是简单函数, 即,1∑==ki E i i I a f 其中k E E ,,1 是互不相交的L 可测集, .1∪ki i E E ==由§2.3定理6, 对任意给定的,0>δ 对每个,,,1k i = 存在XY 1F 0xδ+0x δ−0x 2F 3F 1a 2a 3ai E 的闭子集,i F 使得.,,1,)(k i kF E m i i =<−δ令,1∪ki i F E ==δ 则δE 是E 的闭子集, 并且.)())(()(11δδ<−≤−=−∑==ki i i k i i i F E m F E m E E m ∪由于∑==ki F i E i I a f1,δ由例2知f 是δE 上的连续函数.(2) 一般情形. 设f 是E 上的L 可测函数.不妨设f 是处处有限的.若令).1(,1ggf ff g −=+=则g 是有界可测函数, 并且f 连续当且仅当g 连续. 故不妨设f 有界. 由§3.1推论10, 存在简单函数列}{k f 在E 上一致收敛于f . 对任给的,0>δ 由已证的情形(1), 对每个k f 存在E 的闭子集kF , 使得k f 在k F 上连续,并且.2)(kk F E m δ<− 令,1∩∞==k k F E δ 则δE 是E 的闭子集,并且.)())(()(11δδ<−≤−=−∑∞=∞=k k k k F E m F E m E E m ∪由于每个k f 都在δE 上连续并且}{k f 在δE 上一致收敛于f , 因此f 在δE 上连续. ■例3 仍考虑例1中的Dirichlet 函数).(x D 设},,{21 r r Q =是有理数集. 对任意,0>δ 令.2,2(1111∪∞=++−−−=i i i i i r r R E δδδ则δE 是闭集, 并且.2)2,2()2,2()(11111111δδδδδδδ==−−≤−−=−∑∑∞=++∞=∞=++i ii i i i i i i i i i r r m r r m E R m ∪由于δE 中不含有理数, 因此)(x D 在δE 恒为零. 所以)(x D 在δE 上连续.下面我们将给出鲁津定理另一种形式. 为此, 先作一些准备.引理3 若⊂B A ,n R 是两个闭集并且,∅=∩B A ∈b a ,,1R .b a <则存在nR 上的一个连续函数f , 使得,a fA= b fB=并且∈≤≤x b x f a ,)(n R .证明 容易证明, 若A 是闭集, 则),(A x d 作为x 的函数在nR 上连续, 并且0),(=A x d 当且仅当A x ∈(见第一章习题第34题). 因此, 若令.),(),(),(),()(A x d B x d A x bd B x ad x f ++=容易验证f 满足所要求的性质.■定理4 (Tietze 扩张定理)设F 是nR 中的闭子集, f 是定义在F 上的连续函数. 则存在n R 上的连续函数,g 使得,f gF= 并且.)(sup )(sup x f x g Fx R x n∈∈=证明 先设.sup +∞<=∈M f Fx 令},3{M f M A −≤≤−=}.3{M f MB ≤≤= 则B A ,是两个闭集并且.∅=∩B A 由引理3, 存在nR 上的连续函数,1g 使得,31Mg A−= .31Mg B=并且 ∈≤x Mx g ,3)(1.n R .,32)()(1F x M x g x f ∈≤−对函数1g f −应用引理3, 注意此时g f −的上界是.32M 因此存在nR 上的一个连续函数2g , 使得∈⋅≤x M x g ,3231)(2.n R.,323232)()(221F x M M g x g x f ∈=⋅≤−−这样一直作下去, 得到nR 上的一列连续函数},{k g 使得∈⋅≤−x M x g k k ,3231)(1,n R ,,2,1 =k (4),,32)()(1F x M x g x f kki i ∈≤−∑= ,2,1=k . (5)由(4)知道级数∑∞=1)(k kx g在n R 上一致收敛. 记其和为),(x g 则)(x g 是n R 上的连续函数.而(5)表明在F 上).()(x f x g = 并且,323)()(111M Mx g x g k k k k =≤≤∑∑∞=−∞= ∈x .n R因此当f 有界时, 定理的结论成立.若)(x f 无界, 令),(tg )(1x f x −=ϕ 则≤)(x ϕ.2π由上面所证, 存在n R 上的连续函数,ψ 使得.ϕψ=F令)(tg )(x x g ψ=. 则g 是n R 上的连续函数并且.f gF=■定理5 (Lusin 鲁津) 设E 是n R 上的Lebesgue 可测集, f 是E 上a.e.有限的Lebesgue 可测函数. 则对任意,0>δ 存在n R 上的连续函数g ,使得.)})()(:({δ<≠∈x g x f E x m并且.)(sup )(sup x f x g Ex R x n∈∈≤证明 由定理2, 对任意,0>δ 存在E 的闭子集F , 使得f 在F 上连续并且.)(δ<−F E m 由定理4, 存在n R 上的连续函数,g 使得当F x ∈时, ).()(x f x g =并且.)(sup )(sup )(sup x f x f x g Ex Fx R x n∈∈∈≤=由于.)}()(:{F E x g x f E x −⊂≠∈ 因此.)()})()(:({δ<−≤≠∈F E m x g x f E x m ■思考题: 在直线上的情形, 用直线上开集的构造定理给出定理5的另一证明.小 结 本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节的主要结果是Lusin 定理(有两个等价形式). Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数在某种意义下逼近. 由于连续函数的具有较好的性质, 比较容易处理, 因此这个结果在有些情况下是很有用的. 本节还证明了Tietze 扩张定理, 它也是一个很有用的结果. 习 题 习题三, 第29题—第31题.。
可测函数与连续函数
可测函数与连续函数【摘要】本文从是什么，为什么，怎么样三个角度出发，首先介绍了一些相关的基本概念，之后叙述了将可测函数与连续函数联系起来的必要性和实际方法。
【关键词】可测函数连续函数几乎处处逼近1.是什么——什么是可测函数第三章主要围绕可测函数展开，那么本文首先对可测函数进行一个简单的概述，同时对之后证明是需要用到的一些定义和引理进行描述。
1.1基本定义可测函数：设f ( x)是定义在可测集E< Rn 的实函数. 如果对于任何有限实数a, E [ f > a ]都是可测集,则称f ( x)为定义在E上的可测函数连续函数：设f ( x)是定义在集U ( x) ∩E< E [ f > a ] E上的有限函数,如果对Pε > 0, v 5 > 0,使得P x∈∪( x0 ; 5) ,有| f ( x) - f ( x0 ) | <ε,那么称函数f ( x)在点x0 处连续. 如果f ( x)在E中每一点都连续,则称f ( x)在E上连续.几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。
几乎处处有限的可测函数：设，是定义于的函数，，假如则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。
1.2基本定理定理3.3.1 设是一个紧集，是一列沿连续的函数。
若在上一致收敛于，则也沿连续。
定理3.3.2（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。
若在上几乎处处收敛于，则对任何，有的闭子集，使，并且在上一致收敛于。
引理3.3.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，并且=。
引理3.3.2设是可测集上的简单函数。
则对任何，有沿连续的函数使。
2.为什么——为什么把可测函数与连续函数联系起来数学分析中，我们关注的是函数的分析性质：连续性，可微性，可积性。
但是一旦我们发现一个函数不连续，就认为这个函数性质不好，不再关心他。
可测函数
第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。
可测函数及其性质(最新版)
证明：由于
f (x 1 f ( x x) f ( x) n ) f ( x) f ' ( x) lim lim 1 x o n x n
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数. 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
(4)先证f 是可测函数。（ a 0） R,
2
E[ f 2 a ] E[ f a ] E[ f a ], 所以E[ f 2 a ]是可测集。
a（<0） R, E[ f 2 a ] E , 所以E[ f 2 a ]是可测集， 1 因此f 2是可测函数。fg [( f g) 2 ( f g) 2 ], 所以fg也是 4 可测函数。
i 1
n
E ( x)
i
1 xEi 0 xE Ei
注：[0,1]上的Dirichlet函数是简单函数。
例（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续
若 0, 0, 使得f (U ( x , ） E ) U ( f ( x ), )
一般情况，a R, E[ f g a] E[ f - g +a],
由（1）知-g是可测函数，所以-g +a也是E上的可测函数。 由引理可知，E[ f - g +a]是可测集，即E[ f g a]是可测集， 因此f g是E上的可测函数。
E[ f 0] E[ f 1 / a ], a 0 (3)E[1 / f a ] E[ f 0] \ E[ f ], a 0 E[ f 0] E[ f 1 / a ], a 0
第四章勒贝格可测函数
第四章勒贝格可测函数4.2.1可测函数的定义及可测函数的判定正如数学分析中需要建立连续函数一样，在这里我们需要建立可测函数. 今后我们总是假设点集是可测的，设是可测集上的函数，那么对给定的实数，集合就是的一个子集，但它不一定是的可测子集，如果对任何实数，都是的可测子集，那么这个性质就反映了的性质. 因此，我们给出下面的定义.定义 4.2.1 设是可测集上定义的函数，如果对任何实数，集合都是可测集，则称是上的勒贝格可测函数，简称为可测函数.定理4.2.1 设是可测集上的函数. 则下列条件是等价的：(1) 是可测函数；(2) 对任何实数，是可测集；(3) 对任何实数，是可测集；(4) 对任何实数，是可测集．证(1)与(2)是等价的. 事实上，对任何实数，恒有故当可测时，由第一式知是可测集；当条件(2)成立时，由第二式知是可测集，从而为可测函数.(2)与(3)是等价的，事实上，对任何实数，，故(2)和(3)是等价条件.(1)与(4)是等价的. 事实上，对任何实数，，故(1)与(4)是等价条件.推论 4.2.1 设是可测集上几乎处处有限的函数，则在上可测的充要条件为对任何实数和，是可测集.证必要性因是可测函数，故和都是可以测集，又因为故也是可测集.充分性对任意实数，恒有由于每个皆为可测集，是零测度集，故为可测集. 由定义4.2.1知，是可测函数.例 4.2.1 设是可测集上的连续函数，则是可测函数.证往证对任何实数，是可测集.实事上，对任意，由连续函数的保号性知，存在的邻域，使得(*)令，其中满足(*)式要求，则为开集. 且而是显然的，于是有由于和皆为可测集，所以是可测集，由的任意性，知是可测函数.由例4.2.1可知，区间上的连续函数是可测函数.例4.2.2 迪里克雷函数是可测函数.对任意实数，有其中是中有理点集合. 显然是可测集. 故是可测函数.从例4.2.1 和例4.2.2可以看出：可测集上的连续函数都是可测函数. 然而可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的.因此可测函数是比连续函数更广的一类函数.例4.2.3 测度为零的集合上的任何函数都是可测的.证明设，是上任一函数. 对任何实数，是的子集，而测度为零的集合的任何子集都是可测的（且测度为零），因此，是上的可测函数.定理 4.2.2 (1)设是可测集上的可测函数，而为可测子集，则看作是定义在上函数时仍是可测函数.(2)设在每个可测集的上都可测，则在上也可测.证(1)对任意实数，有上式右端是可测集，故左端亦是可测集.(2)对任意实数，有上式右端是可测集，故左端亦是可测集.4.2.2可测函数的运算性质现在我们来讨论可测函数类在四则运算和极限运算下的封闭性.为此，先作一个准备.引理4.2.1 设和都是上的可测函数，则是可测集.定理 4.2.3 设和都是上的可测函数，则⑴对任何实数，是上的可测函数；⑵当在上几乎处处有意义时，是上的可测函数；⑶当在上几乎处处有意义时，是上的可测函数；⑷当在上几乎处处有意义时，是上的可测函数.证明(1) 当时，，显然它是上的可测函数.当时，对任何实数，由于而是可测集，所以是可测集，因此是可测函数，同样可考察的情况.(2) 先设，这里是某一常数. 对任意实数，故是可测集，所以是可测函数.一般地，对任意实数，注意到由(1)的结论及前面的证明可知，是可测函数，由引理4.2.1可知是可测集，即是可测集，因此是可测函数.(3) 令则都是可测集，在上. 故在上都可测. 由定理 4.2.2之(2)，只需证在上可测. 注意到在上，都有意义，从而可测.对任意实数，当时，(4.2.1)当时，(4.2.2)(4.2.1)及(4.2.2)两式的右边都是可测集，因此都是上的可测函数，从而也是上的可测函数.(4) 只需证在上几乎处处有意时，是上可测函数.令. 因在上几乎处处有意义，所以.从而在上可测. 现证在上可测. 实际上，对任意实数.由的可测性知上式右边都是可测集，所以也是可测集，从而是上的可测函数.一、勒贝格可测函数（2）4.2.3可测函数与简单函数的关系定义4.2.4 设是可测集，是上的函数. 如果可分解为有限个互不相交的可测子集的并：，使在每个上都恒取某个常数值，则称是上的简单函数.例 4.2.1中的迪里克雷函数就是简单函数，康托集的特征函数也是简单函数.由简单函数定义知，两个简单函数的和、差、积仍是简单函数. 由定理4.2.2之(2)，容易得到下面的结果.推论4.2.3 简单函数是可测函数.定理4.2.6 设是上的非负可测函数，则存在非负简单函数列满足推论4.2.4 设是上的可测函数，则存在上的简单函数列，使得.本节所讨论的内容是第五章中研究积分理论的基础.首先，我们给出了可测函数的定义及其等价条件(定理4.2.1和推论4.2.1)，定理4.2.2在判定可测函数时也时常用到. 习题4中的第6题说明，如果点集上的两个函数和满足于，那么它们之中有一个可测时，另一个也可测. 这就是说，在一个测度为零的集合上可以任意改变函数值，而函数的可测性保持不变. 其次，我们讨论了可测函数类在四则运算和极限运算之下的封闭性. 最后，我们证明了任何可测函数能可表为简单函数列的极限. 通过本节的讨论还可以看出可测函数确实是连续函数的推广.二、练习4.21．设是中不可测集，令问在上是否可测？是否可测？答：是上的连续函数，因此，在可测，而是不可测集，故不可测.2．设是上的可测函数，则对任意实数，是可测集，反之，若对任意实数，是可测集，能判定是上的可测函数吗？答：若对任意实数，是可测集，还不能判定的可测性. 如上题中的，对任意的实数，是单点集或是空集，当然是可测的，但在上不可测.3．设是中康托集，是中任一可测集. 令4.3可测函数列的收敛性4.3.1几乎处处收敛与一致收敛的关系在数学分析中学习黎曼（Riemann）积分时，我们知道，一致收敛性在研究极限函数的连续性及逐项积分和逐项微分等问题时起着重要作用．但是，收敛函数列不一定是一致收敛的．例如函数列在上处处收敛于0，但不一致收敛于0．如果从去掉一个任意小的区间(是任给的)，那么在余下的区间上就一致收敛了．这就是说，可以从点集中去掉一个测度“很小”的子集，使函数列在上一致收敛．人们自然会想到，对可测函数列，几乎处处收敛与一致收敛是否也有上述类似的关系呢？这就是叶果洛夫（Egoroff）定理所回答的问题．定理4.3.1 （叶果洛夫）设(1) ；(2) 是上一列几乎处处取有限值的可测函数；(3) 于，且于．则对任意，存在的可测子集，使，且在上一致收敛于证明分两步进行．第一步，构造的子集，使在上一致收敛于1°一致收敛的定义是说：对任意，都存在自然数，使时，对所有的，都有．显然这等价于：对任意的（为正整数），存在，使时，对所有的，都有（4.3.1）由此可知，对任意，中使（4.3.1）式不成立，即使得的那些点都应从中去掉．即都应从中去掉，令．2°上，一致收敛于．事实上，对任意，总存在，使，于是，当时，如果，则，所以，．即在上一致收敛于.第二步，往证对任意，必有满足第一步中条件的，使．由的定义，，要使，只须充分小．实际上，只要充分大，是确实可以任意小的．这是因为，由定理4.1.2，的点所成的集是由定理条件．从而，对每个k都有由第3章定理3.2.6，便得可见，只要充分大，确实可以使任意小，比如对每个，可取充分大的，，并且于是有定理证毕．定理4.3.1中条件“”不能去掉．例如，取，则有．定义函数列显然是上可测函数列，且，但对给定的，每个在中总存在一个测度为1的子集，使在其上取值为1．所以找不到满足定理要求的子集．即找不到的子集，使，且在上，一致收敛于0.4.3.2依测度收敛，依测度收敛同几乎处处收敛的关系定义4.3.1 设是点集上一列几乎处处取有限值的可测函数，是上几乎处处有限的可测函数，如果对任意的，有，则称函数列依测度收敛于，记为．由测度收敛定义可知，函数列依测度收敛于可改述为：对任意和任意，总存在自然数，当时，就有下面我们来研究依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系．例4.3.1 收敛而不依测度收的函数列．令，作函数列则，．但是对，有所以不依测度收于1．例4.3.2 依测度收敛而处处不收敛的函数列．取，作函数列：一般地，把作等分，定义函数于是我们定义了一列函数现令，则是定义在上处处有限的可测函数列，并且．事实上，对任意，由定义可知，必有某个，使，于是当时，也有．故所以．但处处不收敛于0．这是因为对任意，由定义可知，中必有无穷多个值为1，也必有无穷多个值为0，所以不是收敛数列，即在上处处不收敛0．上面的两个例子说明，函数列依测度收敛与几乎处处收敛是两个互不包含的概念．那么函数列的这两种收敛性是否还存在什么联系呢?下面的两个定理作出了回答.定理4.3.2（勒贝格定理）设(1) ；(2) 是E上一列几乎处处取有限值的可测函数；(3) 于，且于。
可测函数与连续函数之间的关系
可测函数和连续函数是非常重要的数学概念，它们之间存在着一些关联。
首先，可测函数是一种特殊的函数，仅定义在闭集上。
它们有着特殊
的性质，比如，它们可以与许多分支的函数组成一个完整的函数图象，同时可以被定义为可测函数。
这种特殊的性质允许可测函数可以对许
多种函数求积，比如函数的非抛出积分，曲面积分或合成数分析；它
们还可以应用于一些特定的解决方案，如定性单值解，简单论来求解
数学问题。
另一方面，连续函数则是一种常见的函数，可以被定义在任何设定的
实函数域上，比如定义在整个实数域上的函数；它们可以在任何点处
可微分，并且具有可微分性。
它们也有一些其他的性质，比如它们在
其他点处具有双连续性，即使一个函数在一个点上不可微分，它也可
以在另一点处得到微分的结果。
从数学上讲，连续函数和可测函数之间的关系很特殊，即连续函数都
是可测函数，但并非所有的可测函数都是连续函数；一般而言，可测
函数具有更大的函数类别，而连续函数则是其中一类可测函数。
总之，可测函数和连续函数之间有着一种相关关系，而这种关系的研
究可能会是未来数学应用的一个重要方面，它将为我们提供解决各种
科学和技术问题的工具。
关于简单函数,连续函数和可测函数三者关系的研究 终
xE f a
U x ,则
. G E U x E Ux E f a xE f a xE f a
反之,显然有 G E f a .因此, E f a G E f a G E ,从而
关于简单函数，连续函数和可测函数三者关系的研究
摘要： 本文主要讨论的是简单函数,连续函数和可测函数三者之间的关系,首先从两两关系出 发,分别讨论简单函数与连续函数,简单函数与可测函数,连续函数与可测函数之间的关系, 由此总结出三者之间的循环关系和包含关系,从而帮助我们更好的理解实变函数论中可测函 数的概念. 关键词：简单函数,连续函数,可测函数,关系
0 ,存在 1 0 ,只要 x y 1 , x, y F 有 f x f y .
现在研究 F F ,由定理可知：存在 2 0 ，使得 F F - 2， 2 .取
min 1 , 2 , 则当 z , 时，由于存在 x, y F ，使得 z x y, 故可得
-2-
②将定理中的“连续函数”的条件改成“只包含可数多个第一类间断点的函数”, 结论只是在定义域上几乎处处成立. 这时我们把这些间断点构成的集合设为 F ,且有 mF 0 .而简单函数在 F 上的 取值为某一常数,则在 E \ F 上,该函数为连续函数,仍可以表示为一列简单函数 的极限函数. ③将定理中的“连续函数”的条件改成“包含有限个第二类间断点的函数”,结 论在定义域上去掉一个测度无限小的区间后成立. 设其中一个间断点为 x0 ,则由第二类间断点的定义,在这 x0 点处,函数必至少 有一侧极限不存在;不妨设 lim f x ,则有 0 , a E ,且 a x0 ,使得
第三章可测函数
= 因为实数， 而对可测集上的简单函数，易证是可测集（证明留给读者）， 所以 为可测集. 充分性 若实数，均为可测集，而 (其中)，所以也为可测集，任取自然数， 记 ，，
，.
定理6 设定义在可测集上，则在上可测的充要条件是 与均在上可测.
证明 必要性 若在上可测，因为 =max{,0}= 所以由定理5知，均在上可测. 充分性 若与均在上可测，因为，所以 由定理5知在上可测，证毕. 定理7 若{}是上可测函数列，则 （1） 都在上可测, （2） 都在上可测. 特别若存在，或几乎处处存在，则也在上可测. 证明 （1）因 （2）因，再由（1）立即可得，证毕.
定理1（Lusin定理）设是可测集上几乎处处有限的可测函数，则，存 在闭子集.
证明 我们分三种情形进行。 (1) 当为上的简单函数时, 不失一般性，设 , 其中，均为的可测子集，所以 ，存在闭集 记，从而 又，
由于 ，从而 ，故在连续，从而在上连续.
(2) 当，为上可测函数时， 由可测函数与简单函数的关系知，存在上一列简单函数
下面给出一般可测函数的几种等价定义. 定理2 设是可测集上的实函数，则下列各条件是等价的 （1）实数，是可测集， （2）实数，是可测集， （3）实数，是可测集， （4）实数，是可测集. 证明 等价性只要注意到下面的集合关系立即可得
， ， ， . 推论 如果在上可测，则（1）]
]均可测. （2）在上可测. 证明 因为 , 所以由定理4(2)即得结论. 引理 设均在上可测，则是可测集. 证明 因为全体有理数为可数集，记为{,,…}而 所以为可测集，证毕.
第四章 ,第一节 可测函数的定义及其简单性质
1可测函数定义
定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取
)，
若 a R, E[ f a] 可测，则称f(x)是E上的可测函数。
例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
Th1.可测函数的等价描述
⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)
（2）E[ f
E[ f a] E[ f
a]
E,
a], a 0 a0
(3)E[ f
E[
f
1 a
]
E[
f
0] E[ f 1 ] a
0] \ E[ f ]
1
a0 a0
E[ f
0] E[ f
] a
a0
(4)E[ f
•
g
a]
E
\
E[
f
{(E[ f 0] • g a] E
若 lim xx0
f (x)
f (x0 )
() ( ) ( )
即 0, 0,当| x x0 | 时，有| f (x) f (x0 ) |
即 0, 0,当x U (x0, )时，有f (x) U ( f (x0 ), )
即 0, 0,使得f (U (x0, )) U ( f (x0 ), )
f(x) 在 x0 [a,b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
Th2 可测集E上的连续函数定为可测函数 证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
存在x的某邻域U (x,x ) 使得U(x,x ) E E[ f a]
令G
§3.1 可测函数的基本性质
若c > 0 若c < 0.
(2). 先设 f 和 g 不取异号 ∞ 为值. 设 {rn } 是有理数的全体. 由于 f + g < a 当且仅当 存在 rn 使得 f < rn 并且 g < a − rn . 因此
{ f + g < a} = ∪ ({ f < rn } ∩ {g < a − rn }).
因此, (1)—(4)是等价的. 为证(1)—(4)蕴涵(5), 我们证明(2) ⇒ (5). (2) ⇒ (5).令 A = { A ⊂ R : f
1 −1
( A) ∈ F } . 利用逆像的性质
∞ ∞
f −1 ( ∪ An ) = ∪ f −1 ( An ),
n =1 n =1
f
容易证明
−1
( Ac ) = ( f
1
别地, X 上的可测函数也称为可测空间 ( X , F ) 上的可测函数. ( X , F ) 上的可测函数和非 负可测函数的全体分别记为 M ( X , F ) 和 M + ( X , F ).
R1
f ( x)
a
E1
E2
X
{x : f ( x) < a} = E1 ∪ E 2
图 1—1 注 1 设 (X , F ) 为 一 可 测 空 间 ,
( f ∨ g )( x) = max{ f ( x), g ( x)}, ( f ∧ g )( x) = min{ f ( x), g ( x)}.
f
+
f ( x) = 0
若f ( x) ≥ 0 若f ( x) < 0.
70
f
−
0 = − f ( x )
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定理1指的是可测函数f 限制在 E 的一个闭子集上可以 是连续的，然而我们对一般闭集上的连续函数远不象
对区间或区域上的函数那样直观易理解，所以我们总
是希望用通常意义下的连续函数来描述可测函数。即
n
是说，对 E 上任意可测函数，我们能不能找到 R 上
的连续函数，使得它们在E 的一个测度充分接近 mE
n i 1
U ( x0 ) C Rn
i i0
Fi U ( x0 )
Fi U ( x0 )
Fi0 ,
当x ( x0 ) F时， | f ( x) f ( x0 ) || ci0 ci0 | 0
f ( x)在F 上连续。
2018年8月12日12时3分
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Fδ 为互不相交的闭集的并的条件不可少。比如：
下午12时3分27秒
⑵ f 在E上有界可测． 设 f 在E上可测，则存在简单函数列φn 在E上
收敛到 f ．
利用叶果洛夫定理，
存在集合 E0 E，使 φn 在E0 上一致收敛到
f ，且 m ( E－ E0 ) < /2，
可测函数与连续函数的关系
下午12时3分27秒
下午12时3分27秒
定理 1 （鲁津 Лузин） 设 f 是 E 上几乎
处处有限的可测函数，则对任意 > 0，存在闭
子集 F E，使 f 在F 上是连续函数，且
m( E \ F ) .
结论：连续函数与可测函数的关系：
连续函数一定是可测函数;
2018年8月12日12时3分
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由（1）知，存在闭集 Fi E0 ，i =1, 2, ， 使φi 限制在Fi 上是连续的，且
m( E0 \ Fi )
令
于是
2
i 1
.
F Fi E0 ,
i 1
m( E0 \ F ) m( E0 \ Fi ) m( ( E0 \ Fi ))
i 1
n
.
下证: f 在 Fδ 连续.
2018年8月12日12时3分
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下证: f 在 Fδ 连续.
x0 F Fi i0 , s.t.x0 Fi0
i 1
n
x0
i i0
Fi x0 C Rn
i i0
Fi (开集）
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可测函数未必是连续函数，但它“基本上”连 续.
2018年8月12日12时3分
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下午12时3分27秒
证明的方法分三步， ⑴ f 是简单函数． 设
f ( x ) ci Ei ( x ) ,
i 1
n
对任意可测集 E 及任 意 > 0，存在闭子集 F E，使 m ( E－F ) < (p75#8)．
的闭子集上相等．
这等价于说，闭集 F 上的连续函数可不可以连续地延 拓到 R 上？下面我们对R 情形来讨论这个问题．
2018年8月12日12时3分
n
1
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鲁津定理的另一形式： 定理 2 设 f 是 E R 上几乎处处有限的可测函数，
1
则对任意 > 0，存在闭集 F E 及R 上的连续函数 g ,
2018年8月12日12时3分
上一页 下一页 上可测．
2018年8月12日12时3分
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从上述定理的证明中可得：
闭集上的简单函数为连续函数． 叶果洛夫定理中的Eδ可取为闭集．
2018年8月12日12时3分
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2018年8月12日12时3分
i 1 i 1
m( E0 \ Fi )
i 1 i 1
2018年8月12日12时3分
2
i 1
2
.
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存在集合 E0 E，使 φn 在闭集F 上是一致收敛 到 f 的连续函数列，从而f 在F 上连续且 m ( E－ F )
m ( E－ E0 ) + m ( E0 － F ) < ．
2018年8月12日12时3分
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f ( x) 当 x F, f (bi ) f (a i ) ( x a i ) 当 x (a i , bi ), a i , bi 有限 f (a i ) bi a i g( x ) f (a i ), 当 x (a i , bi ), bi f (bi ), 当 x (a i , bi ), bi
n
其中 Ei 是互不相交的可测集，且 E Ei ,
i 1
于是对任意 > 0，存在闭集 Fi ⊂ Ei，且 m( E i Fi ) 令 F Fi ,
i 1
n i 1
n
,
n
则 Fδ 为闭集，f 在 Fδ 连续，且
n
m( E \ F ) m( ( Ei \ Fi ) m( Ei \ Fi ) n
使在F 上 g(x) = f(x)，且 m ( E－F ) < ．
1
此外还可要求 supg( x ) sup f ( x ) ,
xR1 xF
xR
inf1 g( x ) inf f ( x ) .
xF
证
由定理 1 ，存在闭集 F E ，使 f 在 F 上连续且
1
m ( E－F ) < ．下面将闭集 F 上的连续函数 f 延拓 成 R 上的连续函数．
2018年8月12日12时3分
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