2.1.3函数单调性第二课时
浅谈高中数学函数的单调性
浅谈高中数学函数的单调性【摘要】高中数学函数的单调性是数学学习中一个重要的概念，本文将探讨函数的增减性及其判定方法、一阶导数与函数的单调性、函数单调性的应用举例、函数单调性的性质以及单调函数的图像特征。
通过这些内容，我们可以更好地理解函数的单调性在数学中的应用，以及单调性在数学学习中的重要性和深层意义。
通过学习函数的单调性，我们可以提高数学学习的效果，深化对数学知识的理解，从而更好地应对数学学习的挑战。
函数的单调性不仅是数学学习中的一个基础概念，更是我们理解数学世界中规律和关系的重要窗口。
通过本文的学习，我们将更深入地掌握高中数学函数的单调性，为提高数学学习效果提供有效的方法和思路。
【关键词】高中数学、函数、单调性、增减性、判定方法、一阶导数、应用举例、性质、图像特征、重要性、深层意义、提高学习效果1. 引言1.1 高中数学函数的重要性高中数学函数是数学学科中非常重要的一个概念，它在数学领域中具有重要的应用和意义。
在高中数学课程中，函数是一个核心概念，贯穿于整个数学学习的过程中。
函数不仅是理解和掌握数学知识的基础，更是解决实际问题和进行数学推理的重要工具。
函数是数学分析和推理的基础。
通过研究函数的性质和变化规律，可以辅助我们解决各种数学问题，例如求解方程、不等式，进行极限计算等。
函数在数学建模和实际问题中具有重要作用。
通过建立数学模型，可以用函数来描述和分析各种现实生活中的问题，如物理运动问题、经济增长问题等。
函数的概念也是数学学习中对逻辑推理和数学思维能力的锻炼。
通过分析函数的性质和特点，培养学生的数学思维和逻辑推理能力，提高他们的解决问题的能力。
1.2 单调性在数学中的应用单调性在数学中的应用十分广泛。
在数学中，函数的单调性直接关系到函数的增减性以及各种函数性质的研究和应用。
函数的单调性是判断函数增减性的基本方法之一。
通过研究函数在定义域内的单调性，我们可以轻松地确定函数在各个区间上是增函数还是减函数，从而更好地理解函数的变化规律。
2.1.3函数的单调性教案学生版
2.1.3 函数的单调性【学习要求】1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念．2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．【学法指导】考察函数的单调性，可以从函数的图象、函数值的变化情况，增(减)函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增(减)函数的定义加以证明.填一填：知识要点、记下疑难点1.增函数与减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数.2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性. (区间M称为单调区间).研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．探究点一函数单调性的有关概念问题1 观察下列函数的图象，回答当自变量x的值增大时，函数值f(x)是如何变化的？问题2 如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？问题3在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1，如何用Δx与Δy来描述：“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大”？“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次减小”？问题4 对于函数f(x)，当Δx>0时，有Δy>0，我们说f(x)是增函数；当Δx>0时，有Δy<0. 我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈A，你能给增函数和减函数下个定义吗？例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？跟踪训练1 根据下图说出函数在每一个单调区间上，是增函数还是减函数．探究点二增函数、减函数的证明或判断问题1 判断函数单调性的方法有哪些？问题2证明函数单调性的方法有哪些？问题3根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数f(x)在区间D上单调性的一般步骤有哪些？例2 证明函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．跟踪训练2 证明函数f(x)＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数．探究点三函数单调性的应用问题1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？问题2已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对应自变量的大小关系吗？例3 已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)<f(x)，求满足f(1－a)<f(2a－1)的a的取值范围．跟踪训练3 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，判断f(a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系．练一练：课堂检测、目标达成落实处1.若函数f(x)＝4x 2－mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m 的值为________．2.函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x 的取值范围是_______．3.物理学中的玻意耳定律p ＝k V(k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．课堂小结：1.若f(x)的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f(x)在A 和B 上都单调递减，未必有f(x)在A ∪B 上单调递减．2.对增函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0或1－2x 1－x 2>0. 对减函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]<0或1－2x 1－x 2<0. 3.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③1单调递减(f(x)≠0)．4.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商12与1比较.。
单调性与最大(小)值(第二课时)教案
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)一、教材分析：二、学习目标：①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.三、教学重点：理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．四、教学难点：了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．五、课时安排：1课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为m,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?2、自主探索,尝试解决老师给出学生们一些问题让学生思考，并对学生的回答进行点评，然后一起总结得出结论.层层引入，完成本节课学习的主题.问题1:作出函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象如图所示.观察这三个图象的共同特征.函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.问题4:问题1中,在所作函数y=f(x)的图象上任取一点A,设图像最高点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象的最高点C?由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.3、信息交流,揭示规律问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?函数最大值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.问题7:函数最大值的几何意义是什么?函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?不是,因为该函数的定义域中没有-1.问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.问题11:类比函数的最大值,请大家思考一下给出函数最小值的定义及其几何意义.函数最小值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.（二）、合作学习 让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题. 【例1】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？解：作出函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时，函数有最大值h =24( 4.9)1814.74( 4.9)⨯-⨯-⨯-≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.【例2】已知函数y =21x -(x [2，6])，求函数的最大值和最小值.分析：由函数y =21x -(x [2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) =122211x x --- =21122[(1)(1)](1)(1)x x x x -----=21122()(1)(1)x x x x ---. 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2 –x 1＞0，(x 1–1) (x 2–1)＞0，于是 f (x 1) – f (x 2)＞0，即 f (x 1)＞f (x 2).所以，函数y =21x -是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4（三）、当堂检测1、课本题组题，1,5,3932B p p2、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3，若x ∈[t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t ≤–1时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当22t t ++≤1＜t +2，即–1＜t ≤0时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (1) = – 4.（3）当t ≤1＜22t t ++，即0＜t ≤1，f (x )max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，3、.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.解:设商品售价定为x 元时,利润为y 元,则y=(x-8)[60-(x-10)·10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16).当且仅当x=12时,y 有最大值160元,即售价定为12元时可获最大利润160元.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)请同学们从下列几方面分组讨论:1．最值的概念2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.3..函数的最值及几何意义如何?4..你学了哪几种求函数最值的方法?5..求函数最值时,要注意什么原则?七．课外作业课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.八、教学反思：。
浅谈高中数学函数的单调性
浅谈高中数学函数的单调性【摘要】高中数学函数的单调性是高中数学中重要的概念之一。
本文首先介绍了高中数学函数的重要性，并定义了函数的单调性。
随后，探讨了单调递增函数和单调递减函数的性质，以及函数单调性的判定方法。
通过例题分析，进一步探讨了高中数学函数单调性的具体应用。
讨论了函数单调性与导数的关系，并总结了函数单调性在数学学习中的重要性。
未来，应用函数单调性的方法将会在高中数学学习中得到更广泛的应用。
为了提高对函数单调性的理解，鼓励学生多加练习，并深入探讨函数单调性的相关知识。
【关键词】高中数学函数、单调性、单调递增、单调递减、判定方法、例题分析、导数、重要性、应用、练习、理解。
1. 引言1.1 介绍高中数学函数的重要性高中数学函数是数学学科中一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有着重要的应用。
函数在数学中被定义为一种特殊的关系，它描述了自变量和因变量之间的依赖关系。
在高中数学中，学生需要掌握各种类型的函数，了解它们的性质和特点，从而能够更好地理解和解决数学问题。
函数的单调性是函数性质中的一个重要概念。
一个函数在定义域内的某个区间上，如果对于任意两个不同的自变量，函数值之间始终保持单调关系（单调递增或单调递减），则称该函数在该区间上是单调的。
函数的单调性直接反映了函数图像的走势和变化规律，对于理解函数的性质和解题有着重要的意义。
通过研究和探讨高中数学函数的单调性，可以帮助学生深入理解函数的性质，提高数学建模和问题解决能力。
在高中数学学习中，函数的单调性是一个必须要重视和掌握的概念。
通过对函数单调性的认识和应用，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高数学思维和解题能力。
1.2 定义函数单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减关系。
对于定义域为区间的函数来说，如果函数的值随着自变量的增加而增加，则称该函数在此区间上是单调递增的；如果函数的值随着自变量的增加而减少，则称该函数在此区间上是单调递减的。
3.2.1函数的单调性与最值(第2课时)
（1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x_)_≤__M_； （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
函数最小值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足： 请同学们仿此给 （1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x出_)_≥函__M数_定；最义小值的 （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
解： 因为函数f(x)在区间[-2,2]上是增函数，且
f(1-m)<f(m)，
- 2 1- m 2
所以， - 2 m 2
1- m m
解得 1 m 2
2
故实数m的取值范围是
( 1 ,2] .
2
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落， 经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单 调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让 我们来研究——函数的最大值与最小值.
对函数最值的理解
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ,
使得 f x0 M .并不是所有满足 f (x) M 的函数都有
最大值M.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函
数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小
y
的函数值.
3.最值几何意义：f(x)的最大值 M
所以函数 f(x)图像的对称轴为直线x=a,
①当a 5时，f (x)在[5,5]为增函数，
所以f (x)min f (5) 27 10a ②当- 5 a 5时，则f (x)min f (a) 2 a2
函数的单调性教学设计
“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1第２.1.3节）【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性起着承前启后的作用。
一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。
2.1.函数的单调性-人教B版必修一教案
2.1.函数的单调性-人教B版必修一教案教学目标1.能够明确函数的单调性的概念和性质；2.能够运用一阶导数的正负判定函数的单调性；3.能够掌握二次函数、三次函数、正比例函数、反比例函数的单调性。
教学重点1.函数单调性的概念和性质；2.一阶导数的符号可以判断函数的单调性。
教学难点1.二次函数、三次函数、正比例函数、反比例函数的单调性的判定。
教学方法1.归纳总结法：学生自主学习单调性相关概念和性质，然后通过教师梳理和归纳总结掌握方法；2.讨论法：教师发起问题，学生分组讨论，多角度、多方面地讨论单调性相关问题和例题，从而进一步深化理解。
教学过程Step 1 引入新知识（5分钟）教师介绍本节课所要学习的内容：函数的单调性，并与前一节课所学习的函数解析式和研究真数域等相关概念进行联系。
Step 2 阐述概念（10分钟）教师向学生讲解函数的单调性的概念和性质，并较详细地说明一阶导数的正负判定函数的单调性的方法和步骤。
Step 3 分组讨论（15分钟）教师将学生分为若干组，每组分别拿到一组函数通式（二次函数、三次函数、正比例函数、反比例函数等），让学生研究和讨论这些函数的单调性，掌握如何根据一阶导数的符号判断这些函数的单调性。
Step 4 练习（20分钟）教师让学生自主完成若干关于函数单调性的例题，并在完成后进行对比和讨论，进一步令学生熟练掌握根据一阶导数符号判断函数单调性的方法和过程。
Step 5 小结（5分钟）教师让学生回答问题，总结今天所学的内容，强化学生的记忆和理解。
教学反思通过这节课的教学，学生在梳理和归纳总结中理解了函数单调性的相关概念和性质，掌握了一阶导数的符号判断函数单调性的方法和步骤，并通过讨论和练习深化了对单调性的理解和认识。
同时，学生也锻炼了自主学习和合作学习的能力，所以今天的教学取得了良好的教学效果。
2.3 (3) 函数的单调性第二课时
§2.3 函数的单调性第二课时【学习目标】1、能从代数与几何两个方面加深对函数单调性的理解，体会数形结合思想在数学中的重要应用；2、能应用函数的单调性求函数的最大（小）值及函数的值域，参数的取值范围；3、能判断常见的复合函数的单调性；4、激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验学习的快乐和成功的愉悦。
【学习重点】：能应用函数的单调性求函数的最大（小）值及函数的值域，参数的取值范围。
【学习难点】：能从代数与几何两个方面加深对函数单调性的理解。
预习案Ⅰ、相关知识1、增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f （x1）＜f （x2）〔或都有f （x1）＞f （x2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y=f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.2、函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.3、讨论复合函数单调性的根据：设y=f （u ），u=g （x ），x ∈［a ，b ］，u ∈［m ，n ］都是单调函数，则y=f ［g （x ）］在［a ，b ］上也是单调函数.（1）若y=f （u ）是［m ，n ］上的增函数，则y=f ［g （x ）］与u=g （x ）的增减性相同；（2）若y=f （u ）是［m ，n ］上的减函数，则y=f ［g （x ）］的增减性与u=g （x ）的增减性相反.这样我们会发现y=f （u ）和u=g （x ）单调性相同时，y=f ［g （x ）］在［a ，b ］是 。
【高中数学】第二课时 导数与函数的单调性(二)
第二课时导数与函数的单调性(二) 课标要求素养要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性. 进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.题型一含参数函数的单调性【例1】讨论函数f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－a＋1x＝ax2＋x－（a＋1）x.①当a＝0时，f′(x)＝x－1 x，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.②当a>0时，f′(x)＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋a＋1a（x－1）x，∵a>0，∴a＋1 a>0.由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.规律方法(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.【训练1】求函数f(x)＝1x2＋a ln x(a∈R)的单调递减区间.解 易得函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 3＋a x ＝ax 2－2x 3. ①当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递减. ②当a >0时，若0<x <2a ，则f ′(x )<0；若x >2a ，则f ′(x )>0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递增. 综上可知，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a . 题型二 根据函数的单调性求参数【例2】 (1)若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，4] C.(－∞，8]D.[－2，4](2)已知函数f (x )＝ln x ＋（x －b ）22在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，94 B.(－∞，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.(－∞，2)解析 (1)易得f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x .∵函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立， ∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.(2)易得f ′(x )＝12x ＋x －b ＝2x 2－2bx ＋12x .根据题意，得f ′(x )>0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解.令h (x )＝2x 2－2bx ＋1，因为h (0)＝1>0，所以只需h (2)>0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，解得b <94，故选A.答案 (1)B (2)A规律方法 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解(需验证解的两侧导数是否异号).【训练2】 若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则实数k 的取值范围是( )A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)B.(－3，－1)∪(1，3)C.(－2，2)D.不存在这样的实数k解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－12＝0在区间(k －1，k ＋1)上至少有一个实数根. 又f ′(x )＝3x 2－12＝0的根为±2，且f ′(x )在x ＝2或－2两侧导数异号，而区间(k －1，k ＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k －1，k ＋1)内， ∴k －1<2<k ＋1或k －1<－2<k ＋1， ∴1<k <3或－3<k <－1，故选B. 答案 B题型三 函数单调性的应用【例3】(1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则()A.e－2 019f(－2 019)<f(0)，e2 019f(2 019)>f(0)B.e－2 019f(－2 019)<f(0)，e2 019f(2 019)<f(0)C.e－2 019f(－2 019)>f(0)，e2 019f(2 019)>f(0)D.e－2 019f(－2 019)>f(0)，e2 019f(2 019)<f(0)(2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是()A.(0，1)B.(2，＋∞)C.(1，2)D.(1，＋∞)解析(1)构造函数h(x)＝e x f(x)，则h′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)＝e x(f(x)＋f′(x))>0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2 019)<h(0)，即e－2 019f(－2 019)<e0f(0)，即e－2 019f(－2 019)<f(0).同理，h(2 019)>h(0)，即e2 019f(2 019)>f(0)，故选A.(2)构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋1<x2－1，解得x>2或x<－1(舍).所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B.答案(1)A(2)B【迁移1】把例3(1)中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2 019f(－2 019)和f(0)的大小.解令g(x)＝f（x）e x，则g′(x)＝f′（x）－f（x）e x，因为对任意的x∈R，都有f′(x)>f(x)，所以g′(x)>0，即g(x)在R上单调递增，所以h(－2 019)<h(0)，即f （－2 019）e－2 019<f （0）e 0，所以e 2 019f (－2 019)<f (0). 【迁移2】 把例3(2)中的条件“f (x )<－xf ′(x )”换为“f (x )<xf ′(x )”，解不等式(x 2＋1)f (2x ＋1)>(2x ＋1)f (x 2＋1).解 设g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，∵f (x )<xf ′(x )，∴g ′(x )>0，故g (x )在(0，＋∞)上是增函数， 由(x 2＋1)f (2x ＋1)>(2x ＋1)f (x 2＋1)得 f （2x ＋1）2x ＋1>f （x 2＋1）x 2＋1即g (2x ＋1)>g (x 2＋1)，所以⎩⎨⎧2x ＋1>0，2x ＋1>x 2＋1，解得0<x <2. 即不等式(x 2＋1)f (2x ＋1)>(2x ＋1)f (x 2＋1)的解集为(0，2).规律方法 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： (1)对于f ′(x )>g ′(x )，构造h (x )＝f (x )－g (x ). (2)对于f ′(x )＋g ′(x )>0，构造h (x )＝f (x )＋g (x ). (3)对于f ′(x )＋f (x )>0，构造h (x )＝e x f (x ). (4)对于f ′(x )>f (x )，构造h (x )＝f （x ）e x . (5)对于xf ′(x )＋f (x )>0，构造h (x )＝xf (x ). (6)对于xf ′(x )－f (x )>0，构造h (x )＝f （x ）x .【训练3】 (多选题)已知定义在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (0)＝0，f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，则下列判断中正确的是( ) A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<62f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln π3>0C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3解析 令g (x )＝f （x ）cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin xcos 2x，因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，所以g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x cos 2x <0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上恒成立，因此函数g (x )＝f （x ）cos x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递减， 又π6<π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>62f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故A 错；又f (0)＝0，所以g (0)＝f （0）cos 0＝0，所以g (x )＝f （x ）cos x ≤0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上恒成立，因为ln π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln π3<0，故B 错；又π6>π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故C 正确； 又π4<π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故D 正确；故选CD.答案 CD一、素养落地1.通过学习导数与函数的单调性，提升数学运算与逻辑推理素养.2.对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏.3.利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在性问题，再利用分离参数法或函数的性质求解. 二、素养训练1.设函数f (x )＝2x ＋sin x ，则( ) A.f (1)>f (2)B.f (1)<f (2)C.f(1)＝f(2)D.以上都不正确解析f′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)<f(2). 答案 B2.若f(x)＝13x3－ax2的单调减区间是(0，2)，则正数a的值是()A.1B.2C.3D.4解析f′(x)＝x2－2ax，令f′(x)<0，由于a>0，故解得0<x<2a，故2a＝2，即a＝1. 答案 A3.已知f(x)＝ln xx，则()A.f(2)>f(e)>f(3)B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(3)>f(2)>f(e)D.f(e)>f(3)>f(2)解析f(x)的定义域是(0，＋∞)，∵f′(x)＝1－ln xx2，∴x∈(0，e)，f′(x)>0，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，故x＝e时，f(x)max＝f(e)，又f(2)＝ln 22＝ln 86，f(3)＝ln 33＝ln 96，则f(e)>f(3)>f(2).答案 D4.若函数y＝x2－2bx＋6在(2，8)内是增函数，则实数b的取值范围是________. 解析由题意得y′＝2x－2b≥0在(2，8)内恒成立，即b≤x在(2，8)内恒成立，所以b≤2.答案(－∞，2]5.若f(x)＝－12x2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________.解析∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.∵f′(x)＝－x＋bx＋2，∴－x＋bx＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立. 设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.答案(－∞，－1]基础达标一、选择题1.已知函数f(x)＝e xx，当1<x<3时，下列关系正确的是()A.f(x)<f(x)<f2(x)B.f(x)<f(x)<f2(x)C.f2(x)<f(x)<f(x)D.f2(x)<f(x)<f(x)解析由题意得f′(x)＝（x－1）e xx2，当1<x<3时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，3)上单调递增.又1<x<x<3，所以f(x)<f(x).由f(x)在(1，3)上单调递增，可知当x∈(1，3)时，f(x)>f(1)＝e，所以f2(x)>f(x).综上f(x)<f(x)<f2(x).答案 A2.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A.f′(x)>0，g′(x)>0B.f′(x)>0，g′(x)<0C.f′(x)<0，g′(x)>0D.f′(x)<0，g′(x)<0解析由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.答案 B3.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上为增函数，则a＝()A.1B.2C.0D. 2解析∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，∴a2≥1，得a≥2.g′(x)＝2x－a x ，依题意g ′(x )≥0在(1，2)上恒成立，即2x 2≥a 在x ∈(1，2)时恒成立，有a ≤2，∴a ＝2. 答案 B4.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3]∪[3，＋∞)B.[－3，3]C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，3)解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，由题意，可知f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在R 上恒成立，∴(2a )2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a ≤ 3. 答案 B5.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析 由题意，得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x .令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝－12(舍去).当0<x <12时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减；当x >12时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<12<k ＋1，解得－12<k <32.又k －1≥0，所以1≤k <32.故选C. 答案 C 二、填空题6.若函数f (x )＝(x 2＋mx )e x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，则实数m 的值为________.解析 f ′(x )＝[x 2＋(m ＋2)x ＋m ]e x .因为f (x )的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以f ′(x )＝0的两个根分别为x 1＝－32，x 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0，f ′（1）＝0，解得m ＝－32.答案 －327.函数f (x )＝13x 3－12(2a ＋1)x 2＋(a 2＋a )x ＋4的单调减区间是________.解析 f ′(x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝[x －(a ＋1)](x －a )，令f ′(x )<0，得a <x <a ＋1，故f (x )的减区间是(a ，a ＋1). 答案 (a ，a ＋1)8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，若当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，则不等式xf (x )>0的解集是________. 解析 由题意设g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x ).∵当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (x )是定义在R 上的偶函数. 又f (2)＝0，则g (2)＝2f (2)＝0， ∴不等式xf (x )>0等价于g (x )>0＝g (2)， ∴|x |>2，解得x <－2或x >2，∴不等式xf (x )>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞). 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a >0，求函数f (x )的单调区间. 解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴f ′(1)＝4.又f (1)＝3，∴切点坐标为(1，3)，∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0. (2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝－a 或x ＝a3. 又a >0，由f ′(x )<0，得－a <x <a3， 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3，故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为()－∞，－a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞.10.试讨论函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间. 解 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x .当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递减. 当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x <0， 解得0<x <1k ； 由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k. ∴当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.能力提升11.已知函数f (x )＝x ln x ＋x (x －a )2(a ∈R ).若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )>xf ′(x )成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.(2，＋∞)D.(3，＋∞)解析 由f (x )>xf ′(x )成立，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0.设g (x )＝f （x ）x ＝ln x ＋(x －a )2，则存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得g ′(x )＝1x ＋2(x －a )<0成立，即a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x min .又x ＋12x ≥2x ·12x ＝2，当且仅当x ＝12x ，即x ＝22时取等号，所以a > 2.故选C. 答案 C12.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3). 当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时， 令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0， 解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33.故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).创新猜想13.(多选题)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )，对任意的x ∈R 恒成立，则( ) A.f (ln 2)<2f (0) B.f (2)<e 2f (0) C.f (ln 2)>2f (0)D.f (2)>e 2f (0)解析 令g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x <0，故g (x )在R 上单调递减，而ln 2>0，2>0，故g (ln 2)<g (0)，g (2)<g (0)，即f （ln 2）2<f （0）1，f （2）e 2<f （0）1，所以f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0). 答案 AB14.(多空题)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由题知h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.由h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，可得当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x (x >0)，所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.因为a ≠0，所以－1<a <0或a >0.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减，得当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立.设H (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1，4]，所以a ≥H (x )max ，而H (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以H (x )max ＝－716(此时x ＝4). 因为a ≠0，所以－716≤a <0或a >0.答案 (1)(－1，0)∪(0，＋∞) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2.1.3函数的单调性(二)
2.1.3函数的单调性(二)【学习目标】（1） 准确说出函数单调性的定义，会用定义证明函数的单调性 。
（2）会函数的单调性比较大小求参数的取值范围。
【学习重点】证明判断函数的单调性，利用单调性解决问题。
【学习难点】利用单调性求参数范围。
自主学习探究1、设函数y=ƒ（x ）在（0，2）上是增函数，函数图像关于x=2对称，则)27(),25(),1(f f f 的大小关系是注意：解这类题应利用函数的单调性作图，根据题目中的变量大小关系，寻找其对应函数 值大小的规律即可。
探究2、已知函数1222-+-=a ax x y 在(－∞,1)上是减函数，求a 的取值范围。
探究提升例1、如果5)1()(2+--=x a x x f 在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？注：解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化。
例2：已知：f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x －1)<f(x2－1), 求x 的取值范围。
注： 在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制。
保证实施的是等价转化 巩固练习的取值范围。
求实数上是减函数，在区间（已知函数a x a x x f ]5,2)1(2)(.12∞-+++=课后练习与提高1、函数2xy-=的单调增区间为（）A.]0,(-∞ B.),0[+∞ C.),(+∞-∞ D.),1(+∞-2、函数32)(2+-=mxxxf，当),2[+∞-∈x时是增函数，当]2,(--∞∈x时是减函数，则)1(f等于（）A.-3B.13C.7D.由m而定的常数3、函数||)(xxf=的减区间是____________________.4、若函数nxmxf+-=)12()(在),(+∞-∞上是减函数，则m的取值范围是______.5、.若)(xfy=在R上是减函数,且)1()2(mfmf+<，,求实数m的取值范围.的取值范围。
函数的基本性质单调性教案
函数的基本性质-单调性教案第一章：函数单调性的概念与定义1.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性的存在。
1.2 单调性的定义：函数单调递增和单调递减的定义。
1.3 单调性的表示：用符号表示函数的单调性。
1.4 单调性的性质：单调性的一些基本性质，如传递性、复合函数的单调性等。
第二章：函数单调性的判断与证明2.1 单调性的判断方法：通过导数或者图像来判断函数的单调性。
2.2 单调性的证明：利用导数或者定义来证明函数的单调性。
2.3 单调性的应用：利用单调性解决一些实际问题，如最值问题、不等式问题等。
第三章：函数单调性与极值的关系3.1 极值的概念：函数的极大值和极小值的定义。
3.2 极值与单调性的关系：函数在极值点附近的单调性变化。
3.3 利用单调性求极值：通过单调性来确定函数的极值点。
第四章：函数单调性与图像的关系4.1 图像的单调性：函数图像的单调递增和单调递减。
4.2 单调性与图像的交点：函数图像的交点与单调性的关系。
4.3 利用图像判断单调性：通过观察函数图像来判断函数的单调性。
第五章：函数单调性的应用5.1 函数的单调区间：确定函数的单调递增或单调递减区间。
5.2 单调性与函数值的关系：函数值的变化与单调性的关系。
5.3 应用实例：利用单调性解决实际问题，如最大值、最小值问题等。
第六章：单调性在实际问题中的应用6.1 引言：通过实际问题引入单调性的应用。
6.2 单调性在优化问题中的应用：如最短路径问题、最大收益问题等。
6.3 单调性在经济学中的应用：如市场需求、价格调整等。
第七章：函数单调性的进一步探讨7.1 函数的严格单调性：严格单调递增和严格单调递减的定义。
7.2 单调性的不变性：函数单调性在坐标变换下的性质。
7.3 单调性与连续性的关系：连续函数的单调性性质。
第八章：复合函数的单调性8.1 复合函数的定义：两个函数的组合。
8.2 复合函数的单调性：复合函数单调性的判定方法。
函数的单调性案例分析
猜商品的价格
求方程的解的问题可以转化为求函数的零点的问题. 零点一定在函数值异号的两个自变量的值之间，它 就是方程的解．再根据精确度的要求，逐步缩小区 间就行了．
方程解的问题 找函数零点的问题
怎样逼近
缩小区间 怎样缩小区间 用二分法来缩小
感谢各位专家和同行！
问题5： 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA, 在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用 数学符号语言来刻画呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果 对于区间I内的任意两个值x1，x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.
我认为这节课如果结合多媒体教学，让学生结 合多个函数的图象观察奇、偶函数的图象的对称性 效果会更好些。
用二分法求方程的近似解
引导学生去探究发现“逼近”这个重要的数学思 想． 引导学生去探索缩小区间的“方法”．
逼近思想应该让学生去探索． 前一节课已经研究了函数零点的概念，研究了函 数零点附近两侧的函数值异号的特性，这两者就 构成了思考这节课问题的基础，就能成为这节课 要学习的知识的生长点．因而，这节课的教学就 应该建立在这个生长点上．
案例分析
南京市金陵中学 凌惠明
函数的单调性
《函数的单调性》是苏教版高中数学必修一第 二章第2.1.3节的内容，共2课时，我讲的是第一课 时中一些教学内容的处理方法．
情境的创设
在一杯温水中，加入适量的糖，随着糖的不
断加入，杯中的糖水就越来越甜． 问题1：
在这一现象中，有定量也有变量，哪些是定 量，哪些是变量？
感受生活中的对称之美
用对称的观点看函数图象
y
人教A版高中数学必修第一册第三章函数单调性的应用课件
/人A数学/ 必修 第一册
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3.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，则y＝f(|x－3|)的单调
减区间是( B )
A．(－∞，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．[－3，＋∞)
D．(－∞，3]
/人A数学/ 必|，则当x≥3时，函数t＝|x－3|单调递增， 当x≤3时，函数t＝|x－3|单调递减． ∵y＝f(t)在R上是减函数，∴根据复合函数单调性之间的关系可知， y＝f(|x－3|)的单调减区间是[3，＋∞).
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[解析] ∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的单调减区间是(－∞，1－a]. ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数． ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合， ∴1－a≥4，解得a≤－3. 故a的取值范围为(－∞，－3].
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已知单调性求参数时，视参数为已知数，依据函数的图 象或单调性的定义确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参 数．
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2.已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)， 则a的值为__6______． 解析：f(x)＝|2x－a|＝2－x－2xa＋，ax，≥xa2<，a2，
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3 ． 设 函 数 f(x) ＝ (1 － 2a)x ＋ b 是 R 上 的 增 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 _(_－__∞__，__12_)_．
解析：由
f(x)＝(1－2a)x＋b
是
R
上的增函数，得
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一2.1.3《函数的单调性》课件
自学导引
1．增函数与减函数
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M⊆A.如果取
区间 M 中的 任意两个值x1，x2
，改变量 Δx＝x2－x1>0，则
当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0 时，就称函数 y＝f(x)在区间 M 上是增
函数，当 Δy＝f(x2)－f(x1)<0 时，那么就称函数 y＝f(x)在区间
审题指导 本题考查了抽象函数单调性的判定，及由单调性 求函数的最值．
【 解 题 流 程 】 赋值、变形 → 定义证明单调性
→ 单调性求最值 → 赋值、求值 [规范解答](1)证明：令 x＝y＝0，则 f(0)＋f(0)＝f(0)， ∴f(0)＝0.又令 y＝－x，则有 f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)…………………………………………2 分 设 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． ∵x2－x1>0，依题意 x>0 时，有 f(x)<0， ∴f(x2－x1)<0，即 f(x2)－f(x1)<0， f(x2)<f(x1)，∴y＝f(x)在 R 上是减函数…………………6 分
单击此处进入 活页规范训练
【训练 3】 已知函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比 较 f(34)与 f(a2－a＋1)的大小．
解 ∵a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34， ∴34与 a2－a＋1 都属于[0，＋∞)． 又∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴f(34)≥f(a2－a＋1)．
误区警示 利用函数单调性时忽视定义区间而出错 【示例】 已知 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－ 1)<f(1－3x)，求 x 的取值范围． [错解] ∵f(x)是增函数， 由 f(x－1)＜f(1－3x)得：x－1＜1－3x 解得：x＜12. 思维突破 当函数 y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当 x1 ＜x2 时，f(x1)＜f(x2)；反之也成立；但 x1，x2 的取值需在所给定 区间上．
高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1
1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法） 师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？ 意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。
人教新课标高中数学B版必修1《2.1.3 函数的单调性》教学设计(表格式)
§2.1.3函数的单调性
一、教学目标
1.知识与技能目标
使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法;
2.过程与方法目标
引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
3.情感态度与价值观目标
在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.
二、教学重点与难点
重点：函数单调性的概念形成和初步运用．
难点：函数单调性的概念形成．
三、教法与学法
（一）教法
在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法，通过“提出问题、思考问题、解决问题”的教学过程，借助实物试验、多媒体课件引导学生进行试验探究、观察类比、概括归纳出增函数和减函数的定义,再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。
（二）学法
学生通过“试验观察、思考探究、归纳总结”的自主学习解惑过程，体验从特殊到一般的数学思维过程，体会学以致用和数学的严谨之美，增强学习的兴趣和信心。
四、教学教具
多媒体课件
五、教学过程设计。
2.1.3 函数的单调性
2.1.3 函数的单调性教材知识检索考点知识清单1．增函数与减函数一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，区间.A M ⊆如果取区间M 中的 ，当改变量012>-=∆x x x 时，有____，那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当改变量-=∆2x x 01>x 时，有____．那么就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数．2．单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M 上是 或是 ，就说这个函数在这个区间M 上具有____，区间M 称为3．平均变化率因变量的改变量与自变量的改变量的比=∆∆xy叫做函数)(x f y =在1x 到2x 之间的 要点核心解读1．函数单调性的概念(1)函数单调性的定义要注意三点：一是任意取,,21x x “任意”二字不能丢，更不能用两个特殊值替换；二是21,x x 有大小顺序，习惯上是21x x <；三是21,x x 同属一个单调区间．单调性是在函数定义域内的性质，必须优先考虑定义域．(2)在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性，即必须是⋅><)]()()[()(2121x f x f x f x f 或(3)函数的单调性是针对区间而言的，所以要受到区间的限制，如xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞上是单调递减的，但不能说它在),0()0,(+∞-∞ 内单调递减．2．证明（判断）函数的单调性(1)用定义证明（判断）函数在指定区间上的单调性．证明（判断）函数)(x f y =在指定区间A 上的单调性的一般步骤是：①设元：设,,21A x x ∈且⋅<21x x 目的是使21x x -在区间A 内，并规定1x 与2x 的大小顺序；②作差：⋅-)()(21x f x f 目的是将)()(21x f x f -与0比较大小； ③变形：将)()(21x f x f -变形至可以与0比较大小为止；④判号：确定⎪⎩⎪⎨⎧<=>-0,0,0)()(21是x f x f 三种情况之一；⑤定论：根据①和④作出结论． 以上五个步骤可以简记为：设元→作差→变形→判号→定论．当0)(>x f 时，判断)(x f 的单调性可以通过作比的方法去解决，其一般步骤是： 设元→作比→变形→与1比较大小→定论．(2)用已知函数的单调性判断函数的单调性． (3)用函数的图象判断函数的单调性． 3．对单调性问题的几点理解(1)对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题． (2)在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但如果函数在某些点处无意义时，函数的单调区间就不能包括这些点，例如：12+=x y 的增区间是),,0[+∞也可以记为),,0(+∞但函数),0(1+∞=在xy 上是减函数，却不能写成它在),0[+∞上为减函数．(3)并不是任何一个函数都有单调区间，有的函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间，例如函数,6x y =}.4,3,2,1{∈x(4)有单调区间的函数在其定义域上的单调性可以分为两类：一类是函数在整个定义域上具有单调性，例如x y 2=在),(+∞-∞上是增函数；另一类是函数在整个定义域上不具有单调性，但在定义域内的某些区间上是单调函数，例如2x y =在)0,(-∞⋅上是减函数，在),0(+∞上是增函数．又如xy 1=在)0,(-∞上是减函数，在),0(+∞上也是减函数，但它们在定义域),0()0,(+∞-∞ 上就没有单调性了．4．关于函数单调性的重要结论(1)若函数)()(x g y x f y ==和在公共区间A 内都是增（减）函数，则函数)()(x g x f y +=在区间A 内是增（减）函数．(2)若两个正值函数)()(x g y x f y ==和在公共区间A 内都是增（减）函数，则函数)()(x g x f y ⋅= 在区间A 内是增（减）函数．(3)若两个负值函数)()(x g y x f y ==和在公共区间A 内都是增（减）函数，则函数)()(x g x f y ⋅=在区间A 内是减（增）函数．(4)设函数)()(x g u u f y ==和在公共区间A 内都是单调函数，那么函数)]([x g f y =在区间A 内也是单调函数；并且，若)()(x g u u f y ==和的单调性相同（反），则)]([x g f y =是增（减）函数．这个性质可以按下面两种方式去记忆：①同增异减：若)()(.x g u u f y ==与的增减性相同（反），则函数)]([x g f y =是增（减）函数． ②用“↗”和“↘”代表“递增”和“递减”，则复合函数的单词性如下表：典例分类剖析考点1 函数单调性的证明[例1] 证明函数),0[)(32+∞=在x x f 上是增函数．[解析] 设,0,01221>-=∆<≤x x x x x 则32132212)()(x x x f x f y -=-=∆ ))((311312311312x x x x -+=.0))((32131131232212311312>++-+=xx x x x x x x,0)()(,01212>-=∆>-=∆x f x f y x x x),0[)(32+∞=∴在x x f 上是增函数．[点拨] 本题由311312x x -到32131131232212xx x x x x ++-=这一步，依据是立方差公式，即把12x x -视为33113312）（）（x x - 母题迁移1．证明函数x x f -=)(在其定义域内是减函数．考点2 函数单调性的判定或讨论[例2] 讨论函数xx x f 1)(+=的单调性． [解析] 本题重点要求能对问题进行分析、判断和转化．合理分区间．xx x f 1)(+=的定义域为,|{R x x ∈且},0=/x 设,|{21R x x x x ∈∈、且},0=/x 且,21x x <则,012>-=∆x x x)1()1()()(112212x x x x x f x f y +-+=-=∆ )11)(()(2112211212x x x x x x x x x x --=---=2121212121.1)(x x x x x x x x x x x t -∆=--= ∵ 当01102121<<≤-≤<<x x x x 或时，,0,012121><-x x x x)(,0x f y ∴<∆∴在区间（0，1]和[ -1，0）上为减函数．又 ∵ 当1.12121/-≤<<≤x x x x 时，,0,0,012121>∆∴>>-y x x x x)(x f ∴在区间),1[]1,(+∞--∞和上为增函数．),1[]1,()(+∞--∞∴和在x f 上单调递增，在（O ，1]和[一1，0）上单调递减．[点拨】 函数的单调性是对某个区间而言的，不是两个或两个以上不相交区间的并集．尽管)(x f 在[ -1，0）上是减函数，在（0，1]上也是减函数，但不能说)(x f 在]1,0()0|,[ -上是减函数，也不能说)(x f 在[ -1，1]上是减函数，更不能说)(x f 在定义域上是单调函数，母题迁移2．判断函数11-=x y 的单调性，并用定义加以证明． 考点3 函数的单调区间[例3] 求函数32-+=x x y 的单调减区间．[解析】 由,0322≥-+x x 得3-≤x 或.1≥x ∴ 函数的定义域是⋅+∞--∞),1[]3,( ①设32,3222-+=-+=x x y x x u 则可化为.u y =),0[+∞=A u y 上是增函数，∴ 求32-+=x x y 的单调递减区间，只需求322-+=x x u 的单调递减区间，且满足u≥0，即满足①．而322-+=x x u 的单调递减区间是),1,(--∞②由①和②得，函数32-+=x x y 的单调递减区间是,(-∞⋅--∞=+∞--∞-]3,()],1[]3,[()1[点拨] (1)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域； ②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．(2)可以借助函数图象直观地得到函数的单调区间，还可以用定义法探求．母题迁移3．求下列函数的单调区间．;3||2)()1(2++-=x x x f⋅>+=)0(1)()2(x xx x f 考点4抽象函数的单调性[例4] 已知定义在),0(+∞上的函数)(x f 对任意∈y x ,),,0(+∞恒有),()()(y f x f y x f +=⋅且当10<<x 时，>)(x f ,0判断),0()(+∞在x f 上的单调性．[解析] 设,),0(,2121x x x x <+∞∈且 则 )()()()(222121x f x x xx f x f -⋅=-)()()(2221x f x f x x-+=⋅=)(21x x f,),0(,2121x x x x <+∞∈且,0)(,102121>∴<<∴x xx x),()(,0)()(212x f x f x f x f t >>-∴即 ),0()(+∞∴在x f 上单调递减．[点拨] 判断抽象函数的单调性，要注意掌握一些变形的技巧，一个典型的方法技巧是根据所给式子+=⋅)()(x f y x f )(y f 进行适当的赋值或配凑．母题迁移4．设f (x)是定义在R 上的增函数，令⋅--=)2()()(x f x f x F (1)求证：)(x F 在R 上是增函数；(2)若,0)()(21>+x F x F 求证：.221>+x x考点5 单调性的逆向应用[例5]设f(x)是定义在),0(+∞上的增函数，,1)2(=f 且),()()(y f x f xy f +=求满足不等式2)3()(≤-+x f x f 的x 的取值范围．[解析] 依题意，得⋅-=-+)3()3()(2x x f x f x f由)4()2()2()2(22f f f f =+==可知，不等式+)(x f 2)3(≤-x f 可化为)4()3(2f x x f <-⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<⇔>≤-⇔03.43,0,432x x x x x∴ x 的取值范围是(3，4]．[点拨] 解这类函数不等式，关键是将常数项表示成函数在某点处的函数值，然后利用函数的单调性去掉函数关系符号f ，把抽象不等式（组）转化为具体不等式（组）求解，在变形中，要注意函数的定义域，母题迁移5．)(x f y =为定义在（-1，1）上的减函数，且),1()1(2-<-a f a f 求a 的取值范围，考点6单调性的应用[例6] (1)已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围； (2)已知ax x x f +-=3)(在(0，1)上是增函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)要使)(x f 在]4,(-∞上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴42)1(2≥---=a x 即可，解得.3-≤a (2)设,1021<<<x x 则,012>-=∆x x x)()()()(13123212ax x ax x x f x f y +--+-=-=∆⋅-++-=-+-=))(()()(22212121123231a x x x x x x x x a x x)1,0()(E x f =/ 上是增函数，,012>-=∆x x x.,0222121221221x x x x a a x x x x ++><-++∴则 .3,3,1022212121≥∴<++∴<<<a x x x x x x 又[点拨] 关于单调性的问题，当我们感觉太陌生、不熟悉、走投无路时，回到单调函数的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.母题迁移6．若函数)()(x g x f 、分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足,)()(x e x g x f =-则有( )．)0()3()2(g f f A <<⋅ )2()3()0(f f g B <<⋅ )3()0()2(f g f C <<⋅ )3()2()0(f f g D <<⋅优化分层测训第一课时学业水平测试1．设)(x f 为定义在A 上的减函数，且,0)( x f 则下列函数：);(3x y γ-=① ;)(11x f y +=② );(2x f y =③ ⋅+=)(2x f y ④ 其中为增函数的个数是( )．1.A2.B3.C4.D2．已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是( )．),3.[+∞A ]3,.(--∞B ),3[+∞-⋅C ]5,.(-∞D3．下列函数中，在)1,(-∞上是增函数的是( )．31x y A -=⋅ xxy B -=⋅1 x x y C +=⋅2 x y D -=⋅1 4．函数xy 1-=的单调区间是____，单调性是 5．函数xky =的单调区间是k>0时，____；k<0时， 6．作出函数3||22--=x x y 的图象，并写出单调区间，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．函数b x a x f +-=)12()(是R 上的减函数，则有( )．21.≥a A 21.≤a B 21.->a C 21.<a D 2．函数,32)(2+-=mx x x f 当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则f1）等于( )． A. -3 B.13 C.7 D.m3．若一次函数),()0(+∞-∞=/+=在k b kx y 上是减函数，则 点(k ，b)在直角坐标平面的( )． A ．上半平面 B ．下半平面 C ．左半平面 D ．右半平面 4．函数),0(),0,()1(1+∞-∞=/-=在k xky 上都是增函数，则实数k 的取值范围是( )． ),1()1,.(+∞-∞ A )0,.(-∞B )1,.(-∞C ),1.(+∞D5．若1)(2)(2+=+-=x ax g ax x x f 与在区间[1，2]上都是减函数，则 a 的取值范围是( )． )1,0()0,1.( -A ]1,0()0,1.( -B )1,0.(C ]1,0.(D6．函数)1(||x x y -=在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )．)0,.(-∞A ]21,0.[B ),0[+∞⋅C ),21.(+∞D7．（2009年湖南高考题）设函数),()(+∞-∞=在x f y 内有定义，对于给定的正数K ，定义函数=)(x f K⎩⎨⎧>≤,)(,,)(),(K x f K K x f x f 取函数21.2)(||=⇒=-K x f x 、时，函数)(x f K 的单调递增区间为( )． )0,.(-∞A ),0.(+∞B )1,.(--∞C ),1.(+∞D8．已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则f(l)的取值范围是( )．25)1(≥⋅f A 25)1(=⋅f B 25)1(≤⋅f C 25)1(>⋅f D二、填空题（5分×4 =20分）9．若函数),0[2||)(+∞+-=在b x a x f 上是增函数，则实数a 、b 的取值范围是10.函数11+-=x x y 的增区间为 11.（2008年湖南高考题）已知函数⋅=/--=)1(13)(a a ax x f (1)若)(,0x f a 则>的定义域是(2)若以茗）在区间（0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是____．),1(11)(12+∞++=⋅r mx x f 上递减，则∈m 三、解答题（10分×4 =40分） 13.用函数单调性的定义，证明函数)1,(.11)(--∞+=在x x f 上是减函数．14．用定义证明函数x x x f -+=1)(是减函数．15.设函数)(),0()(x f b a bx a x x f 求⋅>>++=的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性．16.（2008年广东高考题）设,R k ∈函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<-=,1,1,1,11)(x x x xx f ,,)()(R x H x f x F ∈-=试讨论函数 )(x F 的单调性．第二课时学业水平测试1．函数11-++=x x y 的最小值为( )．1.A2.B 2.C 0.D2．设区间(a ，b)，(c ，d)都是函数)(x f 的单调增区间，且∈1x ,),,(),,(212x x d c x b a <∈则)()(21x f x f 与的大小关系是( )．)()(21x f x f A <⋅ )()(21x f x f B >⋅ )()(21x f x f C =⋅ D ．不确定3．函数)(x f 在R 上单调递增，且),()(2m f m f ->则实数m 的取值范围是( )．)1,.(--∞A ),0.(+∞B )0,1(-⋅C ),0()1,.(+∞--∞ D4．若函数)(x f 是R 上的增函数，对于实数a ，b ，若,0>+b a 则)(a f )()(),(b f a f b f +-+-)(a f ⋅-)(b f （填“>”“<”或“=”）5．函数3-+=x x y 的值域是6．已知函数⋅-∈++=]5,5[,22)(2x ax x x f(1)当1-=a 时，求函数)(x f 的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使函数)(x f 在区间[ -5，5]上是单调函数，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．二次函数的二次项系数为正，且满足),1()1(x f x f -=+那么)3(),2(),1(f f f 的大小关系是( )．)3()2()1(f f f A >>⋅ )3()2()1(f f f B <<⋅)2()3()1(f f f C <<⋅ )1()3()2(f f f D <<⋅2．已知定义域为R 的函数)(x f 在区间)5,(-∞上单调递减，对任意实数t ，都有),5()5(t f t f -=+那么下列式子成立的是( )．)13()9()1(f f f A <<-⋅ )1()9()13(-<<⋅f f f B)13()1()9(f f f C <-<⋅ )9()1()13(f f f D <-<⋅3．下列说法正确的有( )．①若2121,,x x I x x <∈当时，有),()(21x f x f <则)(x f y =在I 上是增函数；②函数2x y =在R 上是增函数； ③函数xy 1-=在定义域内是增函数； xy 1=④的单调递减区间是).,0()0,(+∞-∞ A.O 个 B.l 个 C ．2个 D ．3个4．函数f(x)在区间（-2，3）上是增函数，则的递增)5(+=x f y 区间是( )．)8,3.(A )2,7(--⋅B )3,2.(--C )5,0.(D5．设)(),(x g x f 都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增；则)()(x g x f -单调递增；②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减．其中正确的命题是( )．A ．①② B．①④ C．②③ D．②④6．设f(x)是定义在R 上以6为周期的函数，f(x ）在(0，3)内单调递减，且)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，则下列结论正确的是( )．)5.6()5.3()5.1(f f f A <<⋅ )5.6()5.1()5.3(f f f B <<⋅)5.1()5.3()5.6(f f f C <<⋅ )5.1()5.6()5.3(f f f D <<⋅7．（2009年浙江高考题）若函数),()(2R a xa x x f ∈+=则下列结论正确的是( ) ),0()(,.+∞∈∀在x f R a A 上是增函数),0()(.+∞∈∀在，x f R a B 上是减函数)(.x f R a C ，∈∃是偶函数)(.x f R a D ⨯∈∃是奇函数8．已知函数)(x f 在区间[a ，b]上单调，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在区间[a ，b]上( )．A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根二、填空题（5分×4 =20分）9．若函数),()(+∞-∞在x f 上是减函数，那么)2(2x x f -的单调增区间是10.已知函数)(x f 是区间),0(+∞上的减函数，那么+-a a f 2()1与)43(f 之间的大小关系是11.已知函数)(x f 在区间[a ，c]上单调递减，在[c ，b]上单调递增，则f(x)在[a ，b]上的最小值是12.若函数在R 上为单调函数，则m 的取n x m x f +-=)12()(值范围是三、解答题（10分×4 =40分）13．已知),(1)(3R x x x x f ∈++=求证：(1) )(x f 是R 上的增函数；(2)满足等式0)(=x f 的实数x 至多只有一个．14.已知函数)(x f y =是R 上的减函数，且)(x f y =的图象经过点A(O ，1)和B （3，-1），求使不等式 1|)1(|<+x f 成立的x 的取值范围．15．已知函数)(x f 对任意,R y x ∈、总有),()()(y x f y f x f +=+且当0>x 时，⋅-=<32)1(,0)(f x f (1)求证：);()(x f x f -=-(2)求证:)(x f 是R 上的单调递减函数；(3)求)(x f 在[-3，3]上的最大值和最小值．16.设函数22)(2+-=x x x f （其中)],1,[R t t t x ∈+∈的最小值为)(),(t g t g 求的表达式．。
函数的单调性
《函数的单调性》的教学设计
一．教材分析：函数单调性是学生了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是学生进入高中后学习的第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习其他函数性质提供了方法依据。
二．学情分析：对于函数单调性学生在初中已经从图象的上升和下降角度有了初步的了解，本节课的内容就是引导学生用数学符号语言去刻画图象的上升和下降，这种由直观到抽象的转化对于刚升入高中的学生是困难的，另外对于函数单调性证明的代数化简也是一个难点，考虑到我校学生基础薄弱，数学思维能力相对较弱的特点，本节课将函数单调性的概念的形成和理解作为重点和难点。
三．教学目标：1.理解函数单调性的概念,根据函数图象会判断函数的单调性.
2.通过对函数单调性的探究，体会数形结合的思想，培养学生抽象概括能力.
3.通过引导学生用符号语言刻画函数单调性的过程让学生体会到严谨的态度，认真细心对于数学学习的重要性，让学生体会从具体到抽象由特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
四．学习重难点
重点：函数单调性的概念，函数单调性的判断。
难点：归纳抽象函数单调性的定义。
五．教学方法：学生自主探究与教师启发讲授相结合。
以学生为本，通过课前自主学习，教师初步掌握学生的理解深度和思维想法，针对学生思维上的问题，教师课堂通过提问给予纠正和完善，最后通过练习检测学生理解掌握情况，做好课后完善工作。
函数的单调性课件
综上, 函数() 图象的大致形状如图所示.
反思感悟
函数图象与导函数图象之间的关系
研究一个函数的图象与其导函数图象之间关系时，注意抓住各自的关键要素.对
于原函数，要注意其图象在哪个区间内递增，在哪个区间内递减；对于导函数，
要注意其图象在哪个区间内大于0，在哪个区间内小于0，并分析这些区间与原
∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为(
3
3
, +∞)，单调递减区间为(0, ).
3
3
判断函数y＝f (x)的单调性
第1步：确定函数的定义域；
第2步：求出导数f ′(x)>0的解；
第3步：由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
一 导数与函数图象间的关系
例1 已知导函数 ′ 的下列信息，试画出函数 () 的图象的大致形状.
解：f ′(x)=3 2 − 2 − 1, 令 ′() ≥ 0即3 2 − 2 − 1 ≥ 0
1
解得 ≤ − 或 ≥ 1
3
∴ 函数的单调增区间为 −∞， −
1
3
减区间为 − ，1
1
3
， 1， + ∞
三 含参函数的单调性问题
试确定下列函数的单调减区间
（1）() = +
>0
②若a＞0，则由f ′(x)＝0，得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
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y
称区间D为单调增区间
在给定区间上任取 x1 , x2 ,
x1 x2 f(x1 ) f(x2 )
y f (x)
f (x1 )
f (x 2 )
O
x1
x2
函数f (x)在给定区间 上为减函数。
x
y随的增大而减小 性 称区间D为单调减区间
调
证明函数单调性应该按 下列步骤进行： 3、证明函数单调 性的步骤是什么？
复习：函数的单调性 １.定义
y
y随的增大而增大Βιβλιοθήκη ２.如何判断单调性呢？用图 象 判 断 单 调 性
y f (x)
f (x1 )
f (x 2 )
x2
x
在给定区间上任取 x1 , x2 ,
x1 x2 f(x1 ) f(x2 )
用 定 义 证 明 单
O
x1
函数f (x)在给定区间 上为增函数。
证明：设x1,x2是(-∞,0)上的任意两个实数, 且 x1<x2 ， f(x1)-f(x2)=(x1 2+2)-(x22+2)
= x12- x22 =(x1-x2)(x1+x2) 由x1<x2<0 ，得 x1- x2 <0 , x1+x2<0
所以，(x1-x2)(x1+x2)>0
于是 f(x1)-f(x2)＞0
即 f(x1)＞f(x2)
所以，函数f(x)=x2+2在(-∞,0)上是减函数。
练 习 巩 固
1 练习2.证明函数 f ( x) 在 0, )上是增函数. x
题型二：图象法对单调性的判断
例2：指出下列函 数的单调区间：
1y x
(2) y x (3) y ( x 2) 2
第一步：取值
第二步：作差变形
第三步：判断符号
第四步：得结论
题型一：用定义证明函数的单调性
例 题 练 习 及 讲 解
证明函数f(x)=x2+2在(-∞,0)上是减函数。
证明：设x1,x2是(-∞,0)上的任意两个实数, 且 x1<x2 ，
例 题 练 习 及 讲 解
证明函数f(x)=x2+2在(-∞,0)上是减函数。
判断函数单调性的方法:
1、图象法 2、定义法
证明函数单调性的方法: 定义法
定义法判断证明函数单调性的一般步骤： 任意取值 作差变形 判断符号 下结论
教材 P 46 ，练习A 组第5题． 练习2．