数形结合专题

4.(2006年湖南）若圆 上至少有三个不同点到直线 : 的距离为 ,则直线 的倾斜角的取值范围是( B )
A.[ ] B.[ ] C.[ D.
【重点 难点 热点】
问题1利用函数的图象、方程的图形数形结合
例1．在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f（ ）＞ 恒成立的函数的个数是（B）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】用图像法，只有上凸函数才满足题意，即只有y=log2x才满足上式，故选B．
例2已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）．
（1）求函数f（x）的表达式；
分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部
分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，
则 _______ _________;
三、解答题：
17．若方程 上有唯一解，求m的取值范围。
18．若不等式 ≥ x+11-a的解集为{x|-4≤x≤-2}，求实数a的值。
19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（ ，0）对称，且在区间［０， ］上是单调函数．求φ与ω的值．
例5．求函数 的最大值。
解：由定义知1-x2≥0且2+x≠0
∴-1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有 可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])与定点A（-2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程 ，θ∈[0，π]，即x2+y2=1（y∈[0，1]是半圆。
设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2
A．（2－2）a万元B．5a万元
C．（2+1）a万元D．（2+3）a万元
8.（2005辽宁）已知 是定义在R上的单调函数，实数 ， ，若 ，则（A）
A． B． C． D．
9．（2006年江西）若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0， ）成立，则a的取值范围是（C）
A．0 B. –2 C.- D.-3
分析：
，选D
演变1.
分析： 构造直线的截距的方法来求之。
截距。
问题3利用几何意义转化、构造
例4．已知α、β、γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证：tanα+tanβ+
tanγ≥ 。
命题意图：本题主要考查三角——几何——代数间的转化，以及代数不等式的证明。
证明：由已知条件作长方体ABCD—A1B1C1D1，如图，使∠C1AD=α，∠C1AB=β，∠C1AA1=γ，设AD=a，AB=b，AA1=c，则：tanα= ，tanβ= ，tanγ=
17．
解：原方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等价于
令 ，在同一坐标系内，画出它们的图象，
其中注意 ，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或 时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0] {1}。
点评：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。
数形结合常用的辅助工具：数轴(直角坐标系)、两点间距离公式、向量的模，函数的图象，曲线的方程，直线的斜率、截距，二元一次不等式表示平面区域等．
【临阵磨枪】
一、选择题：
1．方程 的实根的个数为（C）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．函数 的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（D）
A． B．
C． D．
又∵f2（2）=4，f3（2）=－4+a2+ ，当a＞3时，
f3（2）－f2（2）=a2+ －8＞0，
∴当a＞3时，在f3（x）第一象限的图象上存在一点（2，f3（2））在f2（x）图象的上方．
∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
故方程f（x）=f（a）有三个实数解．
7 B
8 A点拨：数形结合解决定比分点问题．：当 ，如图Ａ所示，
有 ，当 时，
如图Ｂ所示，有 ，
故选A．
9 C点拨：不等式x2＋ax＋10对于一切x(0， ]成立，则 ，当x(0， ]时， 的最大值是－ ，所以a≥－ ，选C.
10 C点拨：已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，∴ ≥ ，离心率e2= ，∴e≥2，选C
4 D点拨：P是双曲线 的右支上一点，F1(－5，0)、F2(5，0)是两个焦点，则 =6，又M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点， ， ，∴ |PM|－|PN|≥ =9，选D.
5 A
6 D点拨：运用图形,根据图形表示 的面积,将实际问题转化成数学问题.
当 即 时,面积最大.
13．若集合 ，集合 ，且
则实数 的取值范围是。
14．（2005上海）函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则 的取值范围是_____ _____。
15．（2006年浙江）对a,b R,记max|a,b|= 函数f（x）＝max||x+1|,|x-2||(x R)的最小值是3/2.
16．（2006年四川）如图，把椭圆 的长轴
专题十三
【考点聚焦】
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
【自我检测】
1 方程sin(x– )= x的实数解的个数是( B )
3．（2005福建） 是定义在R上的以3为周期的偶函数，且 ，则方程 =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（D）
A．2B．3C．4D．5
4．（2006年江西）P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（D）
A. 6 B.7C.8 D.9
10．（2006年福建卷）已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（C）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
11.若关于x的方程 有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为____。
12.函数 的最小值为___________。
11
12
13 点拨：M中的点集是右半圆，平移直线就可以了。
14 点拨：
从图象可以看出直线 有且仅有两个不同的交点时,
153/2点拨：对 ，记 ，函数 ，(x∈R)，当x> 时，|x+1|>|x－2|，当x< 时，|x+1|<|x－2|，
∴ = ，所以f(x)的最小值是 .
16 35点拨：如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知， ，同理其余两对的和也是 ，又 ，∴ =35
5．定义在R上的函数 上为增函数，且函数 的图象的对称轴为 ，则（A）
A． B． C． D．
6．（2005江西）在△OAB中，O为坐标原点， ，则当△OAB的面积达最大值时， （D）
A． B． C． D．
7．如图所示，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（B）
20．(2006湖南)已知函数 .
（Ｉ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若曲线 上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.
21．（2006安徽）如图，F为双曲线C： 的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于 轴上方，M为左准线上一点， 为坐标原点。已知四边形 为平行四边形， 。
tanα+tanβ+tanγ= ≥
≥
故tanα+tanβ+tanγ≥
点评：(1)还可将已知条件改为sin2α+sin2β+sin2γ=2；
(2)运用此模型，还可设α、β、γ分别为AC1与C1B、C1A1、C1D所成的角，则cos2α
+cos2β+cos2γ=2(或sin2α+sin2β+sin2γ=1)。
A 2 B 3 C 4 D 5
2.（2005福建）设 的最小值是（C）
A． B． C．－3D．
3 已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b ，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β ，则实数a、b、α、β的大小关系为( )
A α＜a＜b＜βB α＜a＜β＜b
C a＜α＜b＜βD a＜α＜β＜b
演变1
解法一（代数法）： ，
解法二（几何法）：
演变2
分析：
转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。
解：
第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）
相切于第一象限时，u取最大值
专题小结
利用数形结合思想解决问题，要注意数与形的完整结合，由数想形时，一定要准确、全面，特别是图形一定要准确．
【评析】用数形结合思想，可把一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题．
演变1：函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0,2 ］的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点，则k的取值范围。(1<k<3)