刘金旺6线性空间与线性变换
《矩阵分析》课程教学大纲
《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。
要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。
二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。
2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。
（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。
（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。
线性变换考研知识点总结
线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。
1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。
则称T为从V到W的线性变换。
1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。
若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。
1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。
（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。
二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。
（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。
2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。
（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。
2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。
第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
刘金峰线代讲义
刘金峰线代讲义（最新版）目录1.刘金峰线代讲义概述2.线性代数概念与基本理论3.矩阵及其运算4.线性方程组及其解法5.特征值与特征向量6.二次型7.线性变换与矩阵8.应用实例与习题解答正文一、刘金峰线代讲义概述《刘金峰线代讲义》是一部关于线性代数课程的辅导讲义，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念、理论和方法。
全书共分为八个部分，依次为线性代数概念与基本理论、矩阵及其运算、线性方程组及其解法、特征值与特征向量、二次型、线性变换与矩阵、应用实例与习题解答。
本书在内容编排上注重理论与实践相结合，既有丰富的例题分析，又有实际应用案例，适合于各类本科生、研究生及教师学习和参考。
二、线性代数概念与基本理论线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、向量空间（或称线性空间）、线性方程组、矩阵、线性变换等概念及其性质。
线性代数的基本理论包括向量空间的概念、性质、基与维数、子空间、线性相关与线性无关等。
三、矩阵及其运算矩阵是线性代数的核心概念之一，可以用来表示线性方程组、线性变换等。
矩阵的运算包括矩阵加法、数乘、矩阵乘法、求逆、行列式等。
本书对矩阵的运算进行了详细的讲解，并给出了丰富的例题。
四、线性方程组及其解法线性方程组是线性代数的一个基本对象，可以用来描述现实世界中的许多问题。
本书介绍了线性方程组的基本解法，如有唯一解、无解、有无穷多解的情况，以及高斯消元法、克莱姆法则等求解方法。
五、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论的重要概念，可以用来描述线性变换对向量的作用。
本书详细介绍了特征值与特征向量的概念、求解方法，以及它们在矩阵对角化、线性变换等方面的应用。
六、二次型二次型是线性代数的一个重要概念，可以用来描述空间中的点或向量的平方和。
本书介绍了二次型的概念、性质、标准型、正定二次型等，以及它们在几何、物理等领域的应用。
七、线性变换与矩阵线性变换是一种将向量空间映射到另一个向量空间的运算，而矩阵是线性变换的一种表示。
刘金峰线代讲义
刘金峰线代讲义线性代数简介线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换和线性方程组的理论和应用。
它在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。
向量空间向量空间是线性代数的核心概念之一，它是由一组向量组成的集合，满足一定的性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，同时满足一些基本性质，如封闭性、结合律、分配律等。
向量向量是向量空间中的基本元素，可以表示为一个有序的数组或列向量。
向量可以表示空间中的一点、一个力、一个速度等等。
向量空间的性质向量空间具有以下性质： - 封闭性：向量空间中的任意两个向量进行加法或数乘运算后仍然在向量空间中。
- 结合律：向量加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
- 分配律：数乘运算对向量加法满足分配律，即k(a + b) = ka + kb。
- 零向量：向量空间中存在一个零向量，它与任意向量相加得到自身。
线性变换线性变换是向量空间中的一种特殊的变换，它保持向量空间中的加法和数乘运算不变。
线性变换可以表示为一个矩阵乘以向量的形式。
矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个由数字排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性变换，同时也可以进行加法和乘法运算。
线性变换的性质线性变换具有以下性质： - 保持加法：对于向量空间中的任意两个向量a和b，线性变换T满足T(a + b) = T(a) + T(b)。
- 保持数乘：对于向量空间中的任意向量a和标量k，线性变换T满足T(ka) = kT(a)。
- 保持零向量：线性变换T保持零向量不变，即T(0) = 0。
线性方程组线性方程组是线性代数中的另一个重要概念，它由一组线性方程组成。
线性方程组的解可以表示为一个向量。
齐次线性方程组齐次线性方程组是指线性方程组右边的常数项都为零的线性方程组。
齐次线性方程组总是有零向量作为解。
非齐次线性方程组非齐次线性方程组是指线性方程组右边的常数项不全为零的线性方程组。
第六章线性空间与线性变换
第六章线性空间与线性变换第六章线性空间与线性变换柴中林(A)1. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：（1）全体n 阶上三角矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。
（2）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数乘运算。
（3）平面上的全体向量对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k 。
a =0 .2. 设V 1和V 2都是线性空间V 的子空间，如果V 1∪V 2也是的子空间，求证有：V 1 V 2或V 2 V 1。
3. 检验下列各向量集合是否是R 3的子空间：（1）},0|),,{(213211R x x x x x x V i ∈≥=,（2）}(|),,{(3212有理数）Q x x x x V i ∈=.4. R 4中，求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标，已知：（1）α1（1，1，1，1），α2=（1，1，-1，-1），α3=（1，-1，1，-1），α4=（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）。
（2）α1（1，1，0，1），α2=（2，1，3，-1），α3=（1，1，0，0），α4=（1，1，-1，-1），ξ=（0，0，0，1）。
5. R 4中，求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，并求向量ξ在指定基下的坐标。
已知：（1）α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），α3=（0，0，1，0），α4=（0，0，0，1），β1=（2，1，-1，1），β2=（0，3，1，0），β3=（5，3，2，1），β4=（6，6，1，3）。
ξ=（1，2，1，1）在基β1，β2，β3，β4下的坐标。
（2）α1=（1，1，1，1），α2=（1，1，-1，-1），α3=（1，-1，1，-1），α4=（1，-1，-1，1），β1=（1，1，0，1），β2=（2，1，3，1），β3=（1，1，0，0），β4=（0，1，-1，-1）。
ξ=（1，0，0，-1）在基α1，α2，α3，α4下的坐标。
刘金峰线代讲义
刘金峰线代讲义【实用版】目录1.刘金峰线代讲义简介2.线性代数概念及应用3.刘金峰线代讲义的特点4.刘金峰线代讲义的使用方法5.总结正文一、刘金峰线代讲义简介《刘金峰线代讲义》是一本关于线性代数课程的辅导教材，作者是刘金峰教授。
线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间、线性方程组、矩阵、行列式等概念，具有广泛的应用价值。
刘金峰教授凭借多年的教学经验，为学生编写了这本实用性强的讲义，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的相关知识。
二、线性代数概念及应用1.向量空间：向量空间是线性代数的基本概念之一，主要研究向量的加法、数乘等运算。
向量空间可分为有限维和无限维两种，常见的向量空间有欧几里得空间、希尔伯特空间等。
2.线性方程组：线性方程组是线性代数的另一个重要概念，主要研究如何求解线性方程组。
常用的求解方法有高斯消元法、矩阵分解法等。
3.矩阵：矩阵是一种特殊的向量，用于表示线性方程组、线性变换等。
矩阵具有行、列、元素等概念，可以进行加法、数乘、乘法等运算。
4.行列式：行列式是一种衡量矩阵大小的量，具有重要的几何意义。
行列式可以用来求解线性方程组、判断矩阵的正定性等。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是矩阵理论的重要概念，用于研究线性变换的性质。
特征值与特征向量可以应用于求解线性方程组、矩阵对角化等问题。
三、刘金峰线代讲义的特点1.体系完整：刘金峰线代讲义按照线性代数的知识体系进行编排，从基础到进阶，体系完整，便于学生系统学习。
2.内容详尽：讲义对每个知识点都进行了详细的讲解，举例丰富，便于学生理解。
3.难点突出：讲义对线性代数的难点知识进行了深入剖析，帮助学生突破难点。
4.习题丰富：讲义配备了丰富的课后习题，有利于学生巩固所学知识。
四、刘金峰线代讲义的使用方法1.结合教材使用：学生可以在学习教材的过程中，参考刘金峰线代讲义，以获得更全面的知识体系。
2.系统学习：学生可以按照讲义的知识体系进行系统学习，从基础到进阶，逐步掌握线性代数的相关知识。
线性代数(修订版) (刘金旺 夏学文 著) 复旦大学出版社 课后答案-线代习题答案(1)
4. 本行列式4512312123122xxxDxxx
.的展开式中包含和的项.
解： 设 123412341234()
41234(1)iiiiiiiiiiiiDaa....
4D3x
，其中分别为不同列中对应元素
的行下标，则展开式中含
1234,,,iiii
项有
(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5xxxxxxxxx...................
.
.
.
.
.
....
.
将第一行乘（.1）后加到其余各行，得
2311101001100100001nnnniiiaaaDa
..
........
..
..
.
.
.
....
.
10. 计算阶行列式（其中）. n0,1,2,,iai...
1111232222112233222112233111123nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaababababDababababbbbb
...
....
...
...
；
(3)
23232232111()111aaaabbabbccabbcccc
...
(4) 20000()
0000nnababDacdcd
..
..
..
；
(5)
121111111111111nniiiinaaaaa
..
.
32213142412222-2-
2232221446921262144692126021446921262144692126ccccccccccaaaaaabbbbbbccccccdddddd
刘金峰线代讲义
刘金峰线代讲义摘要：1.刘金峰线代讲义概述2.线性代数的基本概念3.线性方程组的解法4.特征值与特征向量5.矩阵的谱分解6.二次型7.奇异值分解8.总结正文：一、刘金峰线代讲义概述《刘金峰线代讲义》是一本关于线性代数（又称“线代”）的教材，适用于本科生学习。
线性代数是数学的一个分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵、线性变换等概念，具有广泛的应用价值。
刘金峰教授以其丰富的教学经验和深厚的学术造诣，为学生提供了一本内容详实、逻辑清晰的线代教材。
二、线性代数的基本概念线性代数的基本概念包括向量、线性方程组、矩阵、行列式等。
向量是具有大小和方向的量，可以用来表示空间中的点或者方向。
线性方程组是包含多个变量的代数方程，这些方程的解构成了一种特定的关系。
矩阵是一种特殊的数表，可以用来表示线性方程组、线性变换等。
行列式是矩阵的一种性质，可以用来判断矩阵的性质。
三、线性方程组的解法线性方程组的解法有多种，如高斯消元法、克莱姆法则等。
高斯消元法是一种基于矩阵的行变换的方法，可以将线性方程组化为简化阶梯形矩阵，从而求解方程组。
克莱姆法则是求解线性方程组中逆矩阵的一种方法，可以用来求解具有唯一解的线性方程组。
四、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足矩阵与特征向量的乘积等于特征值与特征向量的乘积。
特征值与特征向量可以用来描述线性变换的性质，具有重要的理论意义和实际应用价值。
五、矩阵的谱分解矩阵的谱分解是将矩阵分解为特征值对角矩阵与特征向量矩阵的乘积，可以更好地描述矩阵的结构和性质。
谱分解在很多领域有广泛的应用，如信号处理、图像处理等。
六、二次型二次型是一种特殊的线性方程组，可以用来描述空间中的曲面或者超曲面。
研究二次型的性质可以帮助我们更好地理解空间几何中的问题。
七、奇异值分解奇异值分解是一种线性代数中的分解方法，可以将矩阵分解为三个矩阵的乘积，从而揭示矩阵的内部结构。
线性变换知识点总结
线性变换知识点总结一、引言线性变换是线性代数中的重要概念，它是在向量空间中的一种特殊映射。
线性变换具有许多重要的性质和应用，因此研究线性变换对于理解线性代数和应用数学有着重要的意义。
本文将从线性变换的基本概念、性质和应用进行总结，希望能够帮助读者对线性变换有更深入的理解。
二、线性变换的定义线性变换是向量空间之间的一种映射，具体来说，设V和W是两个向量空间，f:V→W是从V到W的映射。
如果对于V中的任意向量u、v和任意标量a，b,都有f(au+bv)=af(u)+bf(v)那么f称为一个线性变换。
三、线性变换的矩阵表示线性变换可以用矩阵来表示，假设V和W是n维向量空间，我们选择V和W的基，那么可以得到V和W中的向量可以用n维列向量表示。
设f:V→W是一个线性变换，选择V和W的基分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wn}，那么f的矩阵表示为[f]=(f(v1) f(v2) ... f(vn))其中f(vi)表示w中的基向量wi在f映射下的像，也就是f(vi)对应的列向量。
根据线性变换的定义，我们可以得到映射f的矩阵表示满足下列关系f(av1+bv2)=af(v1)+bf(v2)等价于[f](av1+bv2)=a[f]v1+b[f]v2其中[f]v1和[f]v2为f(v1)和f(v2)的列向量表示。
四、线性变换的性质1. 线性变换的保直性线性变换f:V→W将V中的任意向量线性映射到W中，这种映射保持向量之间的直线性质，即通过f映射后的图像仍然是一条直线。
这是线性变换的一个重要性质，它保证了线性变换后的图像具有一些有用的性质，比如直线上的点在f映射后仍然在同一条直线上。
2. 线性变换的局部性线性变换f:V→W保持向量之间的“相对位置”不变，即如果向量v1和v2之间的相对位置关系在V中是一定的，那么在映射f下，向量f(v1)和f(v2)之间的相对位置关系也是一定的。
这一性质对于理解线性变换的几何意义有着重要的作用，它意味着线性变换可以保持向量之间的某些几何性质。
刘金峰线代讲义
刘金峰线代讲义摘要：1.刘金峰线代讲义简介2.线性代数概念与基本概念3.矩阵与向量的基本运算4.线性方程组的解法5.特征值与特征向量6.二次型与正定二次型7.奇异值分解8.广义逆矩阵9.线性变换与线性变换的矩阵表示10.结束语正文：线性代数是数学中一个重要的分支，它主要研究的是向量、矩阵、线性方程组、特征值、特征向量等概念。
刘金峰线代讲义是一本非常优秀的线性代数教材，它对线性代数的基本概念和方法进行了详细的讲解，并且配有丰富的例题和习题，是学习线性代数的好帮手。
首先，让我们来看一下线性代数的基本概念。
线性代数主要研究的是向量和矩阵，向量是既有大小又有方向的量，它可以用来表示空间中的点或者箭头。
矩阵则是由若干个数按照横行和纵列的方式排列而成的矩形阵列，它可以用来表示线性方程组、线性变换等。
接下来，我们来看一下矩阵和向量的基本运算。
矩阵和向量的加法、数乘、点积、叉积等是线性代数中的基本运算，它们在解决线性方程组、特征值、特征向量等问题中都有着重要的应用。
然后，我们来看一下线性方程组的解法。
线性方程组是指由若干个线性方程组成的方程组，它可以用高斯消元法、矩阵求逆法等方法求解。
特征值和特征向量是线性代数中的另一个重要概念。
特征值是指矩阵乘以特征向量后的结果，它可以用来描述线性变换的性质。
二次型和正定二次型是线性代数中的另一个重要概念。
二次型是指一个二次方程在某个变量上的取值，它可以用正定二次型来描述。
奇异值分解是线性代数中的一个重要方法，它可以用来分解矩阵，求解线性方程组等问题。
广义逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以用来解决矩阵求逆的问题。
最后，我们来看一下线性变换和线性变换的矩阵表示。
线性变换是指把一个向量映射到另一个向量的过程，它可以用矩阵表示。
线性代数(修订版) (刘金旺 夏学文 著) 复旦大学出版社 课后答案线代习题答案(3) 课后答案
当 k≠1 时，1,2 ,3 线性无关，秩为 3，极大无关组为其本身.
12. 确定向量 3 (2, a,b) ,使向量组 1 (1,1, 0), 2 (1,1,1), 3 与向量组1 =(0,1,1),
2 =(1,2,1),3 =(1,0,1)的秩相同，且 3 可由1,2 ,3 线性表出.
【解】由于
c (1,2 ,3, 3 ) 1 2
0
a
0
1
1
2
,
1 1 1 b 0 0 0 b a 2
要使 3 可由1,2 ,3 线性表出，需 ba+2=0,故 a=2,b=0 时满足题设要求，即 3 =(2,2,0).
13. 设1,2 ,,n 为一组 n 维向量.证明：1,2 ,,n 线性无关的充要条件是任一 n 维向
1 1 1
可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且
R(1,2 ,3 ) 3 ，
又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向 量组等价，且
R(1, 2, 3, 4 ) 3 ，
所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.
以 能由1,2 ,,n 线性表示.
14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向 量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.
1 0 0 证明：由已知条件， R 1 1 0 3 ，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）
24. 求由向量1 (1, 2,1, 0),2 (1,1,1, 2),3 (3, 4,3, 4),4 (1,1, 2,1) 所生的向量空间的
线代第六版知识点总结
线代第六版知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支，它主要研究向量空间、线性变换以及矩阵理论。
第六版线性代数教材通常会对这些核心概念进行深入讲解，并可能包含一些新的理论发展或应用实例。
以下是对线性代数第六版可能包含的一些关键知识点的总结：1. 向量与向量空间：向量是具有大小和方向的量，向量空间是向量的所有可能线性组合的集合。
理解向量空间的基、维数以及向量在不同基下的表示是基础。
2. 矩阵运算：矩阵是数字的有序排列，可以进行加法、乘法、转置和求逆等运算。
矩阵的乘法规则、矩阵的行列式以及矩阵的秩是矩阵理论的核心内容。
3. 线性变换：线性变换是保持向量加法和标量乘法的函数。
理解线性变换的矩阵表示、特征值和特征向量是理解线性变换的关键。
4. 特征值与特征向量：特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们与矩阵的对角化密切相关。
特征值问题在许多领域都有应用，如量子力学和经济学。
5. 正交性与正交投影：正交性是向量空间中的一种特殊关系，正交投影是将一个向量投影到另一个向量或向量空间上的操作。
理解正交基和正交补是解决许多几何和代数问题的基础。
6. 内积空间：内积空间是定义了内积运算的向量空间，它允许我们定义向量的长度和夹角。
欧几里得空间是最常见的内积空间。
7. 二次型：二次型是表达为变量的二次多项式的函数。
它们在优化问题和几何中有着广泛的应用。
8. 线性方程组：线性方程组是线性代数中最基本的问题之一。
解线性方程组的方法包括高斯消元法、克拉默法则和矩阵方法。
9. 矩阵分解：矩阵分解是将矩阵表示为更简单矩阵的乘积。
常见的矩阵分解有LU分解、QR分解和奇异值分解（SVD）。
10. 应用：线性代数在工程、物理、计算机科学、经济学和统计学等领域都有广泛的应用。
理解线性代数的基本概念对于解决这些领域的问题至关重要。
这些知识点构成了线性代数第六版教材的主要内容，为学习者提供了一个坚实的理论基础和丰富的应用实例。
通过深入学习这些概念，可以更好地理解和应用线性代数在现代科学和工程中的重要性。
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和课后习题考研真题复习答案
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第1章行列式
1.1复习笔记
1.2课后习题详解
1.3考研真题详解
第2章矩阵及其运算
2.1复习笔记
2.2课后习题详解
2.3考研真题详解
第3章矩阵的初等变换与线性方程组
3.1复习笔记
3.2课后习题详解
3.3考研真题详解
第4章向量组的线性相关性
4.1复习笔记
4.2课后习题详解
4.3考研真题详解
第5章相似矩阵及二次型
5.1复习笔记
5.2课后习题详解
5.3考研真题详解
第6章线性空间与线性变换
6.1复习笔记
6.2课后习题详解
6.3考研真题详解。
线性空间和线性变换概况PPT课件
3 5
A
4
2
在基F11,F12,F21,F22下的坐标。
第21页/共85页
1.3 线性子空间
(a) 线性子空间 设V1是数域F上的线性空间V上一个非空子集合， 且对已有的线性运算满足以下条件：
1. 如果x,y∈V1，则x+y∈V1； 2. 如果x∈V1，k∈F，则kx∈V1； 则称V1是V的线性子空间(linear subspace)或子空间。
则称x1,…,xm是线性相关(linearly dependent)的。否 则称x1,…,xm是线性无关(linearly independent)的。
第12页/共85页
例5 在Rn中，分别讨论下面两个向量组的线性相关 性：
例6 讨论下面2阶矩阵的线性相关性：
a 1
1 a
1 1
1 1
A1 1
1 , A2 1
• 范数、序列、级数：定义了范数，我们就可以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限， 并讨论其收敛和发散性。
第4页/共85页
• 矩阵函数：以矩阵为变量的函数称为矩阵函数。Jordan标准形在此起了很重要的 作用。
• 函数矩阵与矩阵微分方程：将矩阵的概念推广，元素为任意函数的矩阵称为函数 矩阵。这样我们可以求矩阵的导数、微分、积分，并求解相应的微分方程。
一、线性空间概念 (a) 数域
数域(field)：关于四则运算封闭的数的集合。 ✓任何数域都含有元素0和元素1；
✓典型数域：复数域C，实数域R，有理数域Q； ✓任意数域F都包括有理数域Q。
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阿贝尔群V和数域F上的线性运算具有良好性质，则<V，F>构
(b) 线性空间 成一个线性空间。
给定非空集合V ，数域F，如果满足：
刘金峰线代基础讲义
刘金峰线代基础讲义线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性映射，并通过矩阵和行列式等工具来描述和解决线性方程组、矢量空间、线性变换等问题。
刘金峰教授的线性代数基础讲义是线性代数学习的重要参考资料之一，下面将简要介绍一些讲义的内容。
一、向量空间向量空间是线性代数的核心概念之一。
讲义首先介绍了向量的定义和运算，然后通过一些例子引入了向量空间的概念。
向量空间具有加法和数乘运算，满足一些基本性质，如封闭性、结合律、分配律等。
讲义还介绍了向量空间的子空间和线性组合的概念，并给出了一些实际应用的例子。
二、线性映射和矩阵线性映射是向量空间之间的一种特殊映射关系。
讲义详细介绍了线性映射的定义和性质，并给出了一些常见的线性映射的例子。
矩阵是线性映射的一种表示方式，通过矩阵可以将线性映射转化为矩阵乘法。
讲义详细介绍了矩阵的定义、矩阵乘法的计算规则以及矩阵的逆和转置等概念。
三、线性方程组线性方程组是线性代数的重要应用之一。
讲义介绍了线性方程组的概念，并给出了解线性方程组的一般方法。
讲义详细介绍了系数矩阵、增广矩阵和行阶梯形矩阵的概念，以及高斯消元法和矩阵的秩等解线性方程组的方法。
讲义还介绍了线性方程组解的唯一性和解的个数与矩阵的秩的关系。
四、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，讲义介绍了特征值和特征向量的定义，并给出了计算特征值和特征向量的方法。
讲义还讨论了特征值和特征向量的性质，以及特征值和特征向量在线性变换中的应用。
五、内积空间内积空间是向量空间的一种扩展，讲义介绍了内积的定义和性质，并给出了一些内积空间的例子。
讲义还介绍了正交和正交补的概念，以及正交投影和最小二乘法在实际问题中的应用。
六、二次型和正定矩阵二次型是线性代数中的一个重要概念，讲义介绍了二次型的定义和性质，并给出了二次型的标准形式。
讲义还介绍了正定矩阵和半正定矩阵的概念，以及它们在优化和最小二乘法中的应用。
以上是刘金峰线代基础讲义的主要内容概述。
第1章线性空间与线性变换
1.3线性子空间
定义1.3.2 设 1 , 2 ,, r 是数域K上线性空间V中的一组 向量，则这组向量所有可能的线性组合所组成的集合 记为 span1 , 2 ,, r 。 定理1.3.2 span1 , 2 ,, r 是线性空间V的一个子空 间，称为由向量组 1 , 2 ,, r 生成的子空间。 定理1.3.3 两个不同向量组生成相同线性子空间的充要 条件是两个向量组是等价的。并且子空间的维数是向 量组的秩。 证明： ① 生成相同线性子空间→两向量组是等价的 1, 2 ,, s 两个向量组，如果 设 1, 2 ,, r
1.1线性空间的定义与性质
1.2线性空间的基与坐标
• 零空间---θ={0} • 问题： ① 一般线性空间有无穷多个元素组成，能否找到有 限个向量使得线性空间中的任意一个向量都可以 用这有限个向量表示？ ② 线性空间中的向量是抽象的，能否把向量与数域K 上的数组联系起来，将向量的线性运算转化为数 域K上数组的运算？
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
A是可逆矩阵？
1.2线性空间的基与坐标
北京科技大学
第一章 线性空间与线性变换
2012年11月4日
本章的主要内容
• 线性空间
– – – – – – – – 1.1 线性空间的定义与性质 1.2 线性空间的基与坐标 1.3 线性子空间 1.4 线性空间的同构 1.5 线性映射与线性变换 1.6 线性变换的值域与核 1.7 不变子空间 1.8 特征值与特征向量
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(2) 设 一组向量
是线性空间V 的一个基，对于V 是线性空间 n的一个基，对于 n任意 一定有一个线性变换T使 ，一定有一个线性变换 使
证
设
，作变换T 作变换
容易验证T是 的线性变换， 容易验证 是Vn的线性变换，且
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定理4 定理
设
是线性空间V 的一个基， 是线性空间 n的一个基， 中任意n个向量 个向量， 是Vn中任意 个向量，则存在唯一的线
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凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性 凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性 运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（ 运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（或线 性空间）。 性空间）。 •向量不一定是有序数组； 向量不一定是有序数组； 向量不一定是有序数组 注 意 •向量空间 对加法与数量乘法（数乘）封闭； 向量空间V对加法与数量乘法 向量空间 对加法与数量乘法（数乘）封闭； ： •向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律， 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律 一定是有序数组的加法及数乘运算。 一定是有序数组的加法及数乘运算。 n的 数 R上 数不 上 的 的 ， 为 P[x]n， P[x]n ={anxn+…+a1x0+a0|an, an-1,…a1, a0 R} R上的向量 对 的 加法 数乘 上的向量 空间。 空间。
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定理2 上的两个有限维线性空间同构当且仅当它 定理 R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它 们的维数相等。 们的维数相等。 同构主要是保持线性运算的对应关系，因此， 同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，Vn中 的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，并且 n中 的线性运算就可转化为 中的线性运算，并且R 凡只涉及线性运算的性质都适用于V 凡只涉及线性运算的性质都适用于 n，但Rn中超出 线性运算的性质， 中就不一定具备，如内积。 线性运算的性质，在Vn中就不一定具备，如内积。
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对应， 对应，就记
ϕ的像的全体构成的集合称为ϕ的像集，记作ϕ (A)，即 的像集， ，
例
设A=R,B=R+, ϕ(x)=x2+3是R到R+的一个映 是 到
它把x映射到 在下的像. 射,它把 映射到 2+3 ,7是-2在下的像 它把 映射到x 是 在下的像
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定义6 设U,V是R上的两个线性空间，ϕ是V到U上的 上的两个线性空间， 定义 是 上的两个线性空间 到 上的 一个映射， 一个映射，如果ϕ满足 (1) ； (2) , 的线性映射。 那么， 那么， ϕ就称为V 到U的线性映射。 的线性映射称为V的线性变换。 当V=U时，V到U的线性映射称为 的线性变换。 时 到 的线性映射称为 在线性空间P[x]3中，微分运算D是一个线性变换。 是一个线性变换。 例 在线性空间
上一 一
实数域R上次数 的多项式的全体，记为W， 上次数n的多项式的全体 例 实数域 上次数 的多项式的全体 ， 记为 ， 即 W={anxn+ an-1xn-1 +…+a1x+a0|an, an-1,…a1, a0∈R，且 ， 对于通常的多项式加法、 an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成 。 对于通常的多项式加法 R 上的向量空间。 因为 nxn+…+a1x0+a0)=0∉W，即 上的向量空间。 因为0(a ∉ ， W对数乘不封闭。 对数乘不封闭。 对数乘不封闭 例 n个有序实数组成的数组的全体 个有序实数组成的数组的全体 Sn={x=(x1,x2,…xn)| x1,x2,…xn∈R} 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 k•(x1,x2,…xn)=(0,0,…0) 不构成R上的向量空间 因为1x=0 ，不满足运 上的向量空间， 不构成 上的向量空间，因为 算规律（ ） 算规律（5） 返回 上一页
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线性变换的性质
(3) 若 线性相关，则 线性相关， 也线性相关。 也线性相关。 (4) 线性变换 的像集是 的子空间，称为 的像空间。 线性变换T的像集是 的子空间，称为T的像空间 的像集是V的子空间 的像空间。 也是V的子空间，称为线性变换T的核 记为T 也是 的子空间，称为线性变换 的核，记为 -1(0). 的子空间 线性变换 的核，
满足： 满足： (1) (2) V中任一元素 中任一元素 么， 性空间V的维数。 性空间 的维数。 的维数
维数为n的线性空间称为 维线性空间 记作V 维数为 的线性空间称为n维线性空间，记作 n。 的线性空间称为 维线性空间， 如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量， 如果在 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么 中可以找到任意多个线性无关的向量 V就称为无限维的。 就称为无限维的。 就称为无限维的
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若知
的一个基， 为V的一个基，则对任何 的一个基
，
都有一组有序数x 都有一组有序数 1,x2,…xn使： 并且这组数是唯一的(否则 并且这组数是唯一的 否则 线性相关)。 线性相关 。
反之，任给一组有序数 可唯一确定V 反之，任给一组有序数x1,x2,…xn，可唯一确定 n中 元素： 元素： 这样， 的元素与有序数组(x 这样，Vn的元素与有序数组 1,x2,…xn)之间存在着 之间存在着 一种一一对应。 一种一一对应。
定理3 定理 （ （
设Vn中的元素 ），在基 ），在基
在基
下的坐标为 下的坐标为
），若两个基满足基变换公式的第二 ），若两个基满足基变换公式的第二
式，则有坐标变换公式
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6.4
线性变换
定义5 是两非空集合， 定义 设A、B是两非空集合，如果对于 中的任一 是两非空集合 如果对于A中的任一 元素 ，按照一定的法则，总有B中的一个确定的元素 按照一定的法则，总有 中的一个确定的元素 从集合A到集合 与之对应，那么这个法则称为从集合 到集合B的映 与之对应，那么这个法则称为从集合 到集合 的映 如果A=B，A到A的映射称为 的变换。 的映射称为A的变换 ， 到 的映射称为 的变换。 射，如果 表示， 的变换常用 表示。 的变换常用T 映射常用 ϕ 表示，A的变换常用 表示。 A到B的映射ϕ使B中的 与A中的 到 的映射 中的 中的 称为 在映射ϕ下的像， 下的像 原像. 称为 在ϕ下的原像 下的原像
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设有n阶方阵 例 设有 阶方阵
Hale Waihona Puke 返回上一页下一页
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6.5
线性变换的矩阵
(1) 设 是线性空间V 的一个基，如果V 是线性空间 n的一个基，如果 n的线 性变换T与 在这组基上的作用相同 在这组基上的作用相同， 性变换 与T'在这组基上的作用相同，即 那么， 那么，T=T'. 证 T与T '相等的意义是它们对 n的每个向量的作用 与 相等的意义是它们对V 相同， 相同，即
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性质１ 性质１
零元素是唯一的。 零元素是唯一的。
假设0 是线性空间V中的两个零元素 中的两个零元素， 假设 1,02是线性空间 中的两个零元素，即对任何 ∈V，有 ， 故 ＋01＝ ， ＋02＝ ，于是特别有 02＋01＝02，01＋02＝01 01＝01＋02＝02＋01＝02 任一元素的负元素是唯一的。 任一元素的负元素是唯一的。 （ 的负元素记作 假设 有两个负元素 ） 。于是
在线性空间P[x]3中， 例 在线性空间 就是P[x]3的一个基， P[x]3的维数是 ， P[x]3中的任 的一个基， 的维数是4， 就是 一多项式 可写成 因此f(x)在基 在基 因此 下的坐标为
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在线性空间V 在线性空间 n中取定一个基 ，则Vn中的向 维数组向量空间R 量 与n维数组向量空间 n中的向量 1,x2,…xn)之间有 维数组向量空间 中的向量(x 之间有 一个一一对应的关系， 一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合 的对应， 的对应，即 , 设 ；则 (1) ； (2) 。 可以说V 有相同的结构，称为V 同构。 可以说 n与Rn有相同的结构，称为 n与Rn同构。 一般地， 上的两个线性空间， 一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在它们 与 是 上的两个线性空间 的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线 的元素之间有一一对应关系， 性组合的对应，那么就说线性空间V与 同构 同构。 性组合的对应，那么就说线性空间 与U同构。
第六章 线性空间与线性变换
第一节 线性空间的定义与性质 维数、 第二节 维数、基与坐标 第三节 基变换与坐标变换 第四节 线性变换 第五节 线性变换的矩阵
6.1 线性空间的定义与性质
定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任 是一个非空集合， 为实数域 为实数域， 定义 是一个非空集合 意两个元素 ∈V ，总有唯一的一个元素 ∈V与 与 的和， 之对应， 之对应，称为 α, β 的和，记作 ；对于任一 个数k∈ 与任一个元素 个数 ∈R与任一个元素 ∈ V ，总有唯一的一个元 与之对应，称为k与 的积， 素 ∈V 与之对应，称为 与 的积，记为 ； 两种运算满足以下八条运算规律 两种运算满足以下八条运算规律 （对任意 ∈V , ∈R）： ）：
充分必要条件是W对于 中的两种运算封闭 充分必要条件是 对于V中的两种运算封闭。 对于 中的两种运算封闭。
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6.2 维数、基与坐标 维数、
定义3 定义 在线性空间V中 如果存在 个元素 在线性空间 中，如果存在n个元素 线性无关。 线性无关。 都可由 线性表示， 线性表示，那 就称为线性空间V的一个基，n称为线 就称为线性空间 的一个基， 称为线 的一个基