牛顿法抛物线法
抛物线交点式的公式
抛物线交点式的公式在数学中，抛物线交点式是一种解决特定问题的公式。
它能够帮助数学家在解决抛物线交点问题时，用一种更简单高效的方式解决数学问题。
抛物线交点式以其精确度而闻名，它使用抛物线方程，以求出抛物线两条线之间的交点。
这种公式可以应用于各种类型的抛物线，例如椭圆形抛物线、三次抛物线和四次抛物线等。
抛物线交点式的形式如下，其中m和n分别表示抛物线的斜率和截距：(x, y) = (m(y-n)+ x2, ny + x2m)抛物线交点式的求解公式有两种方法，一种是使用求导法，另一种是使用牛顿法。
求导法要求将抛物线交点式分别求导，然后将结果带入原式中，求得抛物线的交点，如同上式。
牛顿法的思想是利用函数的迭代过程，逐步接近函数的零点，具体过程如下：1.定一个初始点，如x0；2.该点的梯度，即计算出函数的导数，并计算函数的斜率；3.抛物线的斜率，即求出函数的切线；4.出抛物线的交点；5. 使用该点继续迭代以求精确点。
抛物线交点式能够帮助我们简单有效地计算出抛物线的交点，它以其精确度而闻名。
抛物线交点式也被广泛应用于各种数学方面，例如在计算几何形状的交点时，可以利用抛物线交点式来计算其两条线之间的交点，从而更加准确地绘制出复杂的几何形状。
因此，抛物线交点式也成为数学计算中的重要工具，可以大大提高效率，减少精度误差。
总而言之，抛物线交点式是一种不可多得的公式，它能够帮助数学家们解决抛物线问题，使其计算更加精确和简单。
抛物线交点式还可以应用于其他形式的抛物线，从而更好地发挥其数学计算能力。
此外，抛物线交点式也是数学计算和绘制几何图形的重要工具，它可以大大提高数学分析的效率，改善精度。
抛物线的发明
抛物线的发明抛物线是一种具有特定形状的曲线，最初被古希腊数学家阿基米德研究并研究。
在这篇文章中，我们将探讨抛物线的发明历史、应用以及对现代科学和工程的影响。
第一部分：抛物线的发明历史抛物线最早是由古希腊数学家阿基米德在公元前3世纪提出的。
他发现了一个特定的曲线，这个曲线在数学和物理学中具有重要的应用。
阿基米德对抛物线进行了深入的研究，并提出了一系列抛物线的性质和公式。
他的工作为后来的科学家和数学家提供了重要的启发和指导。
在中世纪，抛物线的研究受到了伽利略和开普勒等著名科学家的关注。
他们发现了抛物线在天体运动和物体抛射等领域的重要作用。
伽利略通过对抛物线轨迹进行精密的观察和计算，发现了地球上物体的自由落体运动具有抛物线轨迹。
这一发现为牛顿的万有引力定律奠定了基础，也为后来的航天工程提供了重要的数学基础。
19世纪是抛物线研究的一个重要时期。
数学家拉格朗日、欧拉和高斯等提出了一系列抛物线的性质和公式，建立了抛物线的数学理论体系。
他们的工作不仅在数学领域具有重要意义，还对物理学、工程学和天文学等领域产生了深远影响。
在现代科学技术的发展中，抛物线的研究也得到了广泛的关注。
许多科学家和工程师通过对抛物线的理论和应用进行深入研究，开发出一系列新的数学模型和计算方法。
这些成果不仅为科学研究提供了重要的依据，还在航天、导弹、火箭、卫星等领域产生了广泛的应用。
第二部分：抛物线的数学性质和公式抛物线是一个具有特定形状的曲线，其数学性质和公式在数学和物理学中具有重要的应用。
抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
抛物线有两个焦点和一条对称轴。
焦点是指定点F1(x1, y1)和F2(x2, y2)，对称轴是曲线的中心线。
抛物线的焦距是焦点和对称轴之间的距离。
焦距的大小决定了抛物线的形状和特性。
当焦距增大时，抛物线的形状变得更开放；当焦距减小时，抛物线的形状变得更尖锐。
抛物线还具有对称性质。
关于对称轴对称的点具有相等的函数值。
抛物线运动实验：研究物体在重力场中的轨迹
抛物线运动实验：研究物体在重力场中的轨迹引言：物体在受到重力的影响下运动的规律一直是物理学研究的重点之一。
抛物线运动是一种常见的运动形式，它在很多领域都有着重要的应用，例如炮弹射击、高尔夫球击球等。
本文将以抛物线运动实验为例，详细解读从物理定律到实验准备和过程，并探讨该实验的应用和其他专业性角度。
第一部分：物理定律抛物线运动是一种双曲线形状的运动轨迹，受重力的作用，物体在竖直方向上做匀变速直线运动，在水平方向上做匀速直线运动。
以下是与该实验相关的物理定律：1. 重力定律：根据牛顿第二定律，物体所受合力等于物体的质量乘以加速度，即F = m * a。
在地球上，物体所受的垂直向下的重力等于物体的质量乘以重力加速度，即Fg = m * g。
在抛物线运动中，重力是物体运动的主要影响因素。
2. 匀变速直线运动定律：物体在受到重力的作用下，在竖直方向上做匀变速直线运动。
根据运动学的基本方程，可以推导出物体在竖直方向上的位移、速度和时间之间的关系。
3. 匀速直线运动定律：物体在受到重力的作用下，在水平方向上做匀速直线运动。
根据运动学的基本方程，可以推导出物体在水平方向上的位移、速度和时间之间的关系。
第二部分：实验准备在进行抛物线运动实验之前，我们需要准备以下实验器材和材料：1. 斜面装置：用于使物体得到一个初始的水平速度，并使其沿着一定的轨道运动。
斜面的角度可以根据实验需求进行调整。
2. 弹球：用于实验中的物体。
弹球应具有一定的弹性，以减小碰撞时能量损失。
3. 轨道：用于限制弹球的运动范围，使其沿着规定的轨道运动。
4. 计时器：用于记录弹球在沿轨道的运动过程中的时间。
5. 垂直测量器：用于测量弹球在竖直方向上的高度，并据此计算其在不同时刻的速度和加速度。
第三部分：实验过程下面是抛物线运动实验的具体步骤：1. 将斜面装置放置在平坦的水平地面上，并调整斜面的角度。
2. 将弹球置于斜面的顶端，用计时器记录弹球从斜面顶端滚落到地面上所用的时间。
弹道计算公式
弹道计算公式弹道计算公式是研究物体运动过程中的轨迹解析方法，它由发射机、抛物线轨迹和球形轨迹三种描述，是物理&流体力学的重要分支。
弹道计算的历史可以追溯到公元前六世纪古希腊牛顿、伽利略等科学家所创立的几何力学，作为历史上一个最重要的开拓者，他们赋予了物体运动过程描述一个精确的数学解决办法。
今天，弹道学被广泛应用到航空、航天、国防以及其他相关领域，它也正通过改进而被使用于可能的地球科学研究。
弹道学的基本理论是把物体在弹道中的运动视为已知量，用物理和数学分析方法来求解物体的运动变量，并根据给定的条件得到物体的轨迹。
其数学模型一般用椭圆来描述物体的运动，根据椭圆的形状和参数，可以计算出物体的轨迹。
弹道计算通常是以发射机表示物体在极坐标系中的位置和速度，即描述物体运动方程。
根据极坐标系中的轨迹方程，弹道学家可以计算物体的抛物线轨迹和球形轨迹。
当物体被发射时，它会根据力学运动定律在抛物线轨迹上运动，当它被给予恒定的惯性力时，它就会沿着球形轨迹运动。
抛物线轨迹一般分为水平抛物线和垂直抛物线，其中水平抛物线的运动方程可以用简捷的弹道计算公式来表示，即：x=vxt+1/2at2其中，x 为运动到的水平距离，vt 为初速度，at 为加速度，t 为发射到到达的时间。
而垂直抛物线的运动方程则可以用以下弹道计算公式来表示：y = vyt + 1/2gt2其中，y 为运动到的垂直距离，vyt 为初速度，gt 为重力加速度，t 为发射到到达的时间。
球形轨迹的弹道计算公式比较复杂，可以用以下公式来表示：x = R sinα+vt cosαy = R cosα+vt sinα其中，R 为球形轨迹的半径，α为从X轴出发的角度，vt 为球形轨迹的初速度。
当需要研究物体运动过程中的变化时，可以使用弹道计算公式来计算并模拟物体的轨迹，以便获得更精确的结果。
弹道学在航空航天领域拥有重要作用，因为它可以计算出飞行器空间及其他物体在某时刻的坐标位置，以及它们在其他某时刻的坐标位置。
牛顿迭代法
一 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 f ( x) 0逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 f ( x) 0 有近似根 xk（假定 f ( xk ) 0)， 将函数 f ( x) 在点 xk 展开，有
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
x
表7 5 计算结果 k 0 1 2 3 xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714
5
二 牛顿法应用举例 对于给定的正数 C，应用牛顿法解二次方程
x 2 C 0,
可导出求开方值 C 的计算程序
xk 1 1 C ( xk ). 2 xk
（3.5）
这种迭代公式对于任意初值 x0 0 都是收敛的. 事实上，对（3.5）式施行配方手续，易知
10
在（3.7）中取C
1 ，则称为简化牛顿法，这 f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x 轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2）
牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x* 较远，则牛顿法可能发散.
xk 1 xk 1 1 C ( xk 2 xk C 1 ( xk 2 xk C )2 ; C )2 .
6
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
14
x1 17.9，它不满足条件（3.10）.
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
火箭回收的力学原理
火箭回收的力学原理在现代航天技术中，火箭的回收成为了一项重要而具有挑战性的任务。
传统上，大多数火箭只能使用一次，燃料耗尽后便成为废弃物。
然而，为了降低航天成本和提高可持续性，研究人员意识到回收火箭的重要性。
火箭回收的力学原理是实现这一目标的关键。
火箭回收的一种常见方法是垂直降落。
当火箭在发射后耗尽燃料时，通过向不同方向喷射逆推喷气，可以改变火箭的速度和方向。
这种逆推喷气的原理是基于牛顿第三定律——作用力与反作用力相等且方向相反。
具体来说，当火箭发射时，燃料喷射出去会产生一个向下的冲量，使火箭获得向上的推力。
而在回收阶段，火箭需要产生一个向上的冲量来减缓下降速度和稳定发射器姿态。
为此，火箭的发动机会重新点火，向相反的方向喷射逆推喷气，产生一个向上的冲量。
这种垂直降落的力学原理在SpaceX公司的猎鹰9号火箭回收中得到了成功应用。
猎鹰9号火箭的下部分，即第一级火箭，通过重新点火并实施逆推喷气，可以垂直降落回到地面或指定的回收平台上。
这种能够重复使用的火箭大大降低了航天任务的成本，也提高了航天器的可持续性。
除了垂直降落，另一种常见的火箭回收方式是抛物线回收。
在抛物线回收中，火箭会首先改变飞行轨迹，使其进入一个椭圆轨道。
然后，通过点火和逆推喷气，控制火箭再次进入大气层并进行气动制动。
这种气动制动会减慢火箭的速度，并使其进入重新进入大气层的角度适合进行回收。
通过抛物线回收，火箭可以在大气层更稳定地飞行，减小受力和热量的影响。
而后，火箭通过降落伞或其他减速装置，将速度降至安全水平，从而实现平稳回收。
火箭回收的力学原理不仅包括逆推喷气和气动制动，还涉及到稳定性控制和轨迹规划等关键技术。
例如，火箭回收过程中需要通过各种传感器和控制系统来感知和控制火箭的状态，确保回收过程的安全和准确性。
此外，还需要对回收轨迹进行精确规划，以保证火箭能够精确着陆或回收到指定的位置。
总之，火箭回收的力学原理是基于牛顿力学的基本定律，利用逆推喷气和气动制动来改变火箭的速度和方向，以实现火箭的回收和再利用。
一维搜索
xk 2 xk 1 , ( xk 2) ( xk 1 )
xk 2 是新搜索区间 [ak 1, bk 1] 的黄金分割点的对称点。
（2）计算保留试点的对称点——新搜索区间黄金分割点：
xk 2 ak 1 0.618 bk 1 ak 1), ( 及 算 ( xk 2). 计
(k ) 则在 x 附近可用 (x) 来近似 f (x)
1 f ( x ( k ) )( x x ( k ) ) 2 2
22
3.5.3 牛顿法
因此，可用 (x) 的极小点来近似 f (x) 的极小点。故求 (x)的驻 点 x ( k 1) ： 令 ( x) 0 ，得
(3.5.19) 以 (x)的驻点 x ( k 1)作为 f (x) 在 x (k ) 附近的极小点的k+1级估计值。 同理，如果在 x ( k 1)点将 f (x)作二阶泰勒展开。在 x ( k 1)点 附近用二阶泰勒多项式近似 f (x) ，可得
( x1)及 ( x1 )
并令：k：=0.
ak 1 ak , bk 1 xk 1
9
（3.5.10）
b0 a 0
3.5.1 黄金分割法
1 (ak 1 bk 1) 为近似极小点， (* ) 2 则计算新的一对试点：
*
为近似极小值，否
（1）保留试点的计算
f ( x) f ( x
(k )
) f ( x
(k ) 2
(k )
)(x x
(k )
1 ) f ( x ( k ) )(x x ( k ) ) 2 2
O( x x
)
记 ( x) f ( x ( k ) ) f ( x ( k ) )( x x ( k ) )
数学建模第三章
数学建模第三章第三章⾮线性最优化⽅法§3.1 最优化问题与建模⼀. 基本概念：因为⼈类所从事的⼀切⽣产或社会活动均是有⽬的的，其⾏为总是在特定的价值观念或审美取向的⽀配下进⾏的，经常⾯临求解⼀个可⾏的甚⾄是最优的⽅案的决策问题。
可以说，最优化思想是数学建模的灵魂。
⽽最优化⽅法作为⼀门特殊的数学学科分⽀有着⼴泛的实际应⽤背景。
典型的最优化模型可以被描述为如下形式：其中表⽰⼀组决策变量，通常在实数域内取值，称决策变量的函数为该最优化模型的⽬标函数；为维欧⽒空间的某个⼦集，通常由⼀组关于决策变量的等式或不等式刻画，形如：这时，称模型中关于决策变量的等式或不等式、为约束条件，⽽称满⾜全部约束条件的空间中的点为该模型的可⾏解，称，即由所有可⾏解构成的集合为该模型的可⾏域。
称为最优化模型的（全局）最优解，若满⾜：对均有，这时称处的⽬标函数值的为最优化模型的（全局）最优值；称为最优化模型的局部最优解，若存在，对，均有。
（全局）最优解⼀定是局部最优解，但反之不然，其关系可由下图得到反映：上图为函数在区间上的⼀段函数曲线（由Mathematica绘制），如果考察最优化问题，从图中发现它有三个局部最优解、、，其中是全局最优解，最优值为“”。
⼆. 最优化问题的⼀些典型的分类：优化⽅法涉及的应⽤领域很⼴，问题种类与性质繁多，根据不同的原则可以给出不同的分类。
从数学建模的⾓度，对最优化问题的⼀些典型分类及相关概念的了解是有益的。
根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题与组合优化问题，称决策变量均为连续变量的最优化问题为函数优化问题；若⼀个最优化问题的全部决策变量均离散取值，则称之为组合优化问题。
⽐⽅⼀些最优化问题的决策变量被限定只能取整数值，即为组合最优化问题，这类优化问题通常被称为整数规划问题，另外⼤多⽹络规划问题属于组合最优化问题。
当然，也有许多应⽤问题的数学模型表现为混合类型的，即模型的部分决策变量为连续型的，部分决策变量为离散型的；另外当谈论⼀个最优化问题是函数优化问题还是组合优化问题时，还需结合我们对这⼀问题的思考⽅式来进⾏确定，⽐⽅后⾯介绍的线性规划问题的求解，既有将其作为⼀个组合优化问题⽽开发的算法，也有将其作为⼀个函数优化问题⽽开发的算法；另外的⼀种分类⽅式是根据问题中⽬标、约束条件函数的形式或性质来加以划分的：若⼀个最优化问题的⽬标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则称之为线性规划问题，否则称之为⾮线性最优化问题。
物理天体运动轨道
物理天体运动轨道
物理天体的运动轨道可以根据万有引力定律和牛顿力学的运动定律进行描述。
根据这些定律，我们可以得出以下几种常见的天体运动轨道：
1. 圆轨道：圆轨道是最简单的天体运动轨道，天体围绕中心点以恒定的速度运动。
这种运动轨道适用于天体之间距离较近且质量相对较小的情况。
2. 椭圆轨道：椭圆轨道是最常见的天体运动轨道，如行星绕太阳的运动轨道。
椭圆轨道的特点是绕焦点做椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
3. 抛物线轨道：抛物线轨道适用于天体的速度等于或接近逃逸速度的情况。
在这种轨道上，天体的运动路径呈抛物线形状。
4. 双曲线轨道：双曲线轨道适用于天体的速度大于逃逸速度的情况。
在这种轨道上，天体的运动路径呈双曲线形状。
需要注意的是，以上的轨道描述基于简化的条件和假设。
在实际情况中，天体运动还受到其他因素的影响，如其他天体的引力、相对论效应等，这可能导致复杂的轨道形状和运动规律。
因此，在描述具体的天体运动轨道时，需要考虑更多的因素和精确的计算方法。
第4章 解重根情形的newton方程
u ( x)
此格式二阶收敛,但要计算二阶导数.
§4.5 弦截法与抛物线法
一、 单点弦截法
f ( xk ) f ( x0 ) 固定一点 P0( x0 , f (x0)), 用差商 代替Newton xk x0
公式中的 f ( xk ) , 则得离散化的公式:
f ( xk ) xk 1 xk ( xk x0 ) f ( xk ) f ( x0 )
允许精度
例1：用Newton法求方程 x e 2 0 的根, 要求
x
| xk 1 xk | 105
解： 迭代格式一： xk 1 ln(2 xk )
xk e 2 迭代格式二： xk 1 xk xk 1 e
xk
取初值 x0＝0.0,计算如下： 对迭代格式一: the iterative number is 27, the numerical solution is 0.442852706 对迭代格式二: the iterative number is 3, the numerical solution is 0.442854401
重复上述过程
Newton 迭代公式
xk 1
f ( xk ) xk f ( xk )
牛顿法的几何意义
Tangent line : y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
y
f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 )
x*
x2
x
x1 x0
f ( x1 ) x2 x1 f ( x1 )
f ( x) 牛顿法也称为切线法, 迭代函数 ( x) x f ( x)
二、牛顿法的收敛性与收敛速度
抛物线双曲线 天文物理
抛物线双曲线天文物理天文物理是研究天体物理现象和天体物理学定律的一门学科。
在天文物理学中，抛物线和双曲线是两个重要的数学工具，用于描述天体运动和光的传播。
一、抛物线在天文物理中的应用抛物线是一种二次曲线，其特点是对称性和焦点的存在。
在天文物理中，抛物线经常被用来描述抛掷物体的轨迹和行星运动的轨迹。
1. 抛射运动的抛物线轨迹当我们抛出一个物体时，它会在空中进行抛射运动。
这个运动的轨迹可以用抛物线来描述。
根据牛顿运动定律，当物体在重力作用下自由运动时，其轨迹符合抛物线的形状。
这一定律在天文物理学中被广泛应用于研究行星、卫星等天体的运动轨迹。
2. 星系的弯曲效应引力是天体物理中非常重要的力。
根据爱因斯坦的广义相对论，质量会使时空产生弯曲。
当光线经过质量较大的星系时，其路径也会受到弯曲的影响。
这种弯曲效应可以用抛物线来近似描述光线的弯曲轨迹。
二、双曲线在天文物理中的应用双曲线是一种二次曲线，其特点是两个分离的焦点和渐近线。
在天文物理学中，双曲线被广泛应用于描述光的传播和反射。
1. 光的折射与反射当光线从一种介质进入另一种介质时，会发生折射现象。
根据折射定律，光线的折射角度与入射角度之间存在一个特定关系。
这个关系可以用双曲线来近似描述。
类似地，当光线在镜面上反射时，其反射角度也可以用双曲线来描述。
2. 天体光谱的分析天文学家经常使用光谱分析的方法来研究天体的性质和组成。
在光谱分析中，光线经过光栅或棱镜产生色散，形成一条连续的光谱。
这条连续的光谱可以用双曲线来近似表示。
三、结论抛物线和双曲线在天文物理学中有着广泛的应用。
它们是描述物体运动轨迹和光传播特性的重要工具。
通过研究抛物线和双曲线在天文物理学中的应用，我们可以更好地理解天体物理现象和物理定律的规律性。
将数学工具应用到天体物理学中，有助于推动我们对宇宙的认识和探索的进程。
(整理)定积分的近似计算.
实验二定积分的近似计算一、问题背景与实验目的利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用．二、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字．（注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）例：计算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi) 例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在一个函数文件integrnd.m：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('exp.txt','w'); %打开文件fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',y); %写入fclose(fid) %关闭文件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f关于v积分，积分区间由a到b．11．subs(f，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．若简单地使用subs(f)，则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值。
第3章一维优化方法
第3章一维优化方法一维优化方法是数学中用于求解最优化问题的一种重要技术。
在实际问题中，往往需要找到一个函数的最小值或最大值点，一维优化方法就是这样一种方法，可以找到函数在一些区间内的最小值或最大值点。
一维优化方法有很多种，常见的有穷举法、黄金分割法、斐波那契法、抛物线法、割线法、牛顿法等。
不同的方法有不同的适用范围和求解效率，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
穷举法是一种最简单的一维优化方法，它通过遍历函数在给定区间内的所有可能取值，找到其中的最小值或最大值。
穷举法的缺点是计算量大，当问题规模较大时，不适用。
但是它的优点是简单易懂，适用于初学者入门。
黄金分割法是一种较为常用的一维优化方法，它通过划分给定区间，选择区间内一些点进行迭代，不断缩小区间范围，直到找到最优解。
黄金分割法的优点是收敛速度较快，适用于一些比较复杂的问题。
斐波那契法是一种基于斐波那契数列的一维优化方法，它可以在一定程度上提高黄金分割法的效率。
斐波那契法的关键在于选择合适的斐波那契数列作为迭代次数，通过比较函数在斐波那契数列中两个相邻点的取值，确定新的区间范围。
抛物线法是一种通过拟合函数的抛物线来求解最优解的一维优化方法。
它通过选择合适的三个点，构造一个简单的二次函数，找到该函数的极小值点作为最优解。
抛物线法的优点是计算量相对较小，但是在一些复杂的问题中可能不适用。
割线法是一种通过逐步逼近函数极值点的一维优化方法。
它通过选择给定区间上两个初始点，不断用割线近似替代切线，找到极小值点。
割线法的优点是收敛速度快，但是需要在迭代过程中进行导数计算，对于一些无法求导的函数不适用。
牛顿法是一种通过利用函数在一些点处的一阶导数来逼近极值点的一维优化方法。
它通过选择给定区间上一个初始点，利用导数的概念找到极小值点。
牛顿法的优点是收敛速度非常快，但是对于一些无法求导的函数不适用。
综上所述，一维优化方法是数学中用于求解最优化问题的一种重要技术。
牛顿 自然哲学的数学
牛顿自然哲学的数学1. 牛顿自然哲学的基本概念牛顿自然哲学的基本概念是由英国物理学家及数学家约翰·牛顿提出的。
他的自然哲学提出了一种新的科学方法，以数学形式描述自然界的现象，以及通过观察自然界来预测未来的发展。
牛顿自然哲学的基本概念是基于牛顿三大定律，即牛顿第一定律（动力学定律），牛顿第二定律（力学定律）和牛顿第三定律（万有引力定律）。
牛顿第一定律表明，物体维持原来的运动状态，除非它受到外力的作用。
牛顿第二定律表明，受到外力作用的物体会受到加速度，其大小与外力的大小成正比。
牛顿第三定律表明，两个物体之间存在一种引力，其大小与两个物体之间的距离成反比。
牛顿自然哲学的基本概念也被称为牛顿力学，它是现代物理学的基础。
2. 牛顿自然哲学的数学原理牛顿自然哲学的数学原理是牛顿的科学理论的核心，他认为自然界的一切都可以用数学来描述。
牛顿认为，自然界的现象都是由定律控制的，而这些定律可以用数学方法来表达。
牛顿自然哲学的数学原理主要包括：动力学定律、重力定律、势能定律、动量定律、抛物线定律等。
动力学定律是牛顿在研究物体运动规律时发现的定律，即物体的加速度和力之间的关系，即“力等于质量乘以加速度”，即F=ma。
这个定律被称为牛顿第二定律，也是物理学的基础。
重力定律是牛顿自然哲学的核心，也是牛顿最著名的成就之一。
牛顿重力定律认为，两个物体之间存在着一种力，这种力的大小取决于两个物体之间的距离和它们的质量，即“两个物体之间的引力等于它们的质量乘以它们之间的距离的倒数的平方”，即F=Gm1m2/r2。
势能定律是牛顿自然哲学中的一个重要定律，它认为物体的运动能量取决于它的位置，即“物体的势能等于它的质量乘以重力加速度乘以它的高度”，即E=mgh。
动量定律是牛顿自然哲学中的一个重要定律，它认为物体的运动能量取决于它的速度，即“物体的动量等于它的质量乘以它的速度”，即p=mv。
抛物线定律是牛顿自然哲学中的一个重要定律，它认为物体在重力场中的运动轨迹是抛物线，即“3. 牛顿自然哲学的应用牛顿自然哲学的应用可以说是无处不在的。
牛顿第二定律八大模型
牛顿第二定律八大模型尼科尔森牛顿第二定律是物理学中最基本的两个定律，是力学发展中最具分量的定律之一。
该定律蕴含着易理解的数学公式，它揭示了物体移动或运动的其他规律。
该定律暗示了物体受力时可能发生的情况。
它揭示了重力加速度的存在，以及物体对惯性和力的反应规律。
简而言之，它指出了物体更改加速度的方法，这是由物体受到的有效力决定的，这个力可以更改物体的加速度和运动方向。
尼科尔森牛顿第二定律可以分为八大模型：1．定势模型：物体在缺乏空气阻力的情况下，其运动受纯重力影响，其轨迹为直线，或者圆弧；2．自由落体模型：物体不受任何外力干扰，其轨迹线为以重力为中心的半径相等的受力体；3．离心力模型：物体在外力作用下，其轨迹成弧形，为离心力方向的抛物线；4．水平力模型：物体受到水平力的作用，轨迹线为水平方向的绝对偏转；5．俯仰角模型：物体受到外力作用，轨迹线为俯仰角受力体；6．角加速模型：物体沿着固定方向受力，轨迹线为角加速体；7．正弦模型：物体在非线性电路中受力，轨迹线为正弦曲线；8．偏心模型：物体受到外力作用，但围绕其它物体旋转，轨迹线为偏心轨迹。
上述模型具有各自的特点，每一种模型都有其特殊的解析方法。
定势模型用定积分解析，自由落体模型可使用牛顿定律直接求解加速度，离心力模型则可使用轨道椭球形方法求得抛物线轨迹；水平力模型使用牛顿定律求加速度，并使用累加积分求出位移；俯仰角模型用牛顿定律求解加速度，将该角度限制在一定范围内；角加速模型可以使用求导法求得旋转加速度；正弦模型可以使用幅值参数求出正弦的值，而偏心模型则可以使用偏心率特征参数来求出轨道参数。
以上就是对尼科尔森牛顿第二定律八大模型的介绍。
尼科尔森牛顿第二定律和其八大模型，是物理学众多定律中最重要的一条。
它揭示了物体受到力时会发生怎样的变化，并提供了有效的算法来解决这一现象的解析方法。
该定律是物理学的基础，几乎涉及到了许多科学领域，从机械设计运动学到通信电子等。
牛顿法抛物线法
f ( xk ) f '( xk ) 迭代格式： xk 1 xk [ f '( xk )]2 f ( xk ) f ''( xk )
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
简化的 Newton 法
基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
具体做法：加下山因子
15
弦截法
f ( xk ) f ( xk 1 ) f '( xk ) f [ xk 1 , xk ] xk xk 1
弦截法迭代格式：
xk xk 1 xk 1 xk f ( xk ) f ( xk ) f ( xk 1 )
k = 1, 2, 3, . . . 注：弦截法需要提供两个迭代初始值
6
举例
例：用 Newton 法求 f(x) = xex – 1=0 的解 ex75.m
7
举例
例：用 Newton 法求 f(x) = x2 – C=0 的正根 1 1 C xk 1 C xk C 解： xk 1 xk 2 xk 2 xk
1 xk 1 C 2 xk
2112kkkxcxcx1??212kkkxcxcx211kkkkxcxcxcxc???x????k???2200kkkxccqxcxc???????????2221kkkqxccq??对任意x00总有q1即牛顿法收敛9牛顿法?牛顿的优点至少二阶局部收敛收敛速度较快特别是当迭代点牛顿法是目前求解非线性方程组的主要方法充分靠近精确解时
抛物线法和牛顿法
抛物线法和牛顿法抛物线法和牛顿法是解决一元函数极值问题的常用方法。
本文将详细介绍这两种方法的原理和应用。
一、抛物线法抛物线法又称为拟合法，是通过拟合一个抛物线来求出函数的极值点。
它的基本思想是利用函数在三个点上的取值，构成一个二次函数，并用这个二次函数来估计函数的极值点。
假设函数 $f(x)$ 在三个点 $(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))$ 处的取值已知，其中 $x_0<x_1<x_2$，则可以构造一个二次函数：$$y=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)+c$$其中 $a,b,c$ 分别是二次函数的系数。
将三个点带入以上方程组得到三个方程：$$\begin{cases}f(x_0)=c \\f(x_1)=a(x_1-x_0)^2+b(x_1-x_0)+c \\f(x_2)=a(x_2-x_0)^2+b(x_2-x_0)+c\end{cases}$$解以上方程组得到 $a,b,c$ 的值，进而求出二次函数的顶点 $(x_*,y_*)$，即为函数 $f(x)$ 的极值点。
抛物线法的优点是简单易懂，只需要三个点就能求解，计算速度较快。
但是其缺点也比较明显，只能处理一元函数，并且需要取得一个较好的初始点才能得到较为准确的解。
二、牛顿法牛顿法是求解函数极值点的高效方法之一，也叫做牛顿-拉夫森法。
它的基本思想是利用函数的一阶和二阶导数信息，以迭代的方式逼近极值点的位置。
牛顿法的迭代公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$$其中 $f'(x_n)$ 和 $f''(x_n)$ 分别是函数 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的一阶和二阶导数。
牛顿法的优点是收敛速度快，迭代次数较少。
但是其缺点也很显著，具有迭代路径不稳定、需要求解二阶导数、收敛范围受限等问题。
抛物线法和牛顿法是解决函数极值问题的两种方法。
抛物线公式物理
抛物线公式物理
抛物线公式是描述抛物运动的数学公式，在物理学中有广泛的应用。
在抛体自由落体运动中，抛物线公式可以用来计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
在实际应用中，抛物线公式被广泛应用于炮弹、火箭、高尔夫球、跳伞等运动的轨迹计算中。
例如，在击打高尔夫球时，球员需要考虑风速、球的质量、球杆的材料等因素来计算球的运动轨迹，而抛物线公式可以帮助他们准确地计算出球的落地位置。
抛物线公式的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，x为自变量，y为因变量。
在抛体自由落体运动中，抛物线公式的x轴可以表示时间，y轴可以表示物体的高度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度等于重力加速度，故可以用重力加速度来计算物体的运动轨迹。
抛物线公式的物理意义十分重要，它是理解物体运动规律的关键之一。
在学习物理学时，学生需要深入理解抛物线公式的含义和应用，以更好地掌握物理学的基本原理和方法。
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xk +1 x * ''( x*) f ''( x*) lim = = 2 k →∞ ( x x*) 2! 2 f '( x*) k
6
举例
例：用 Newton 法求 f(x) = xex – 1=0 的解 ex75.m
7
举例
例：用 Newton 法求 f(x) = x2 – C=0 的正根 解： x k +1
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15
弦截法
f ( x k ) f ( x k 1 ) f '( xk ) ≈ f [ xk 1 , xk ] = xk xk 1
弦截法迭代格式： 弦截法迭代格式：
x k +1 x k x k 1 f ( xk ) = xk f ( x k ) f ( x k 1 )
k = 1, 2, 3, . . . 注：弦截法需要提供两个迭代初始值 弦截法需要提供两个迭代初始值
3
Newton 法 y
x* xk+1 xk x
4
Newton 法
算法 ：( Newton 法 )
(1) 任取迭代初始值 x0 (2) 对 k = 1, 2, ... , maxit，计算 ，
x'( xk )
判断收敛性，若收敛，则停止计算， 判断收敛性，若收敛，则停止计算，输出近似解
16
收敛性
定理： 的零点， 定理：设 x* 是 f(x) 的零点， f(x) 在 x* 的某邻域 U(x,δ) 内有二阶连续导数，且 f’(x)≠0，若初值 x0， 内有二阶连续导数， ≠ ， x1 ∈U(x,δ)，则当 U(x,δ) 充分小时，弦截法具有 p 充分小时， ， 阶收敛性， 阶收敛性，其中
1+ 5 p= 2
( p 2 p 1 = 0)
17
弦截法几何含义 y
x* xk xk+1 xk-1 x
18
抛物线法
抛物线法
基本思想： 基本思想： 用二次曲线与 x 轴的交点作为 x* 的近似值
19
抛物线法 y xk+1 xk-1 xk-2
20
xk
抛物线法
计算过程 插值多项式) 二次曲线方程 (三点 Newton 插值多项式 三点
f ′′(ξ ) f ( x ) = f ( xk ) + f ′( xk )( x xk ) + ( x xk )2 2! ≈ f ( xk ) + f ′( xk )( x xk ) P ( x )
令：P ( x ) = 0 条件： 条件： f’(x) ≠ 0
xk +1
f ( xk ) = xk f '( xk )
ω = f [ xk , xk 1 ] + f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( xk xk 1 )
取靠近 xk 的那个点
22
收敛性
在一定条件下可以证明： 在一定条件下可以证明：抛物线法的收敛阶为
p ≈ 1.840
( p p p 1 = 0)
3 2
23
作业
教材 238 页，习题 7 教材 239 页，习题 9、15 、
21
抛物线法
p2 ( x ) = f ( xk ) + f [ xk , xk 1 ]( x xk )
+ f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk 1 )
x k +1 = x k 2 f ( xk )
ω ± ω 2 4 f ( x k ) f [ x k , x k 1 , x k 2 ]
1 C = xk + 2 xk
1 x k +1 C = xk C 2 xk 1 x k +1 + C = xk + C 2 xk
2
( (
) )
2
2
x k +1 C x k C = x + C x k +1 + C k 2k xk C x0 C = x + C xk + C 0 2k q xk C = 2 C 2k 1 q
xk +1
f ( xk ) = xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法 下山法
Newton下山法 下山法
基本思想： 基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f ( x k +1 ) < f ( x k )
具体做法： 具体做法：加下山因子 λ
保证全局收敛
xk +1
f ( xk ) = xk λ f '( xk )
f ( xk ) f '( xk ) 迭代格式： 迭代格式： xk +1 = xk [ f '( xk )]2 f ( xk ) f ''( xk )
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* = 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) = x 4x 4x
5
收敛性
x k +1
迭代函数
f ( xk ) = xk f '( xk )
k = 0, 1, 2, . . .
f ( x) ( x) = x f '( x )
f ''( x*) '( x*) = 0, ''( x*) = 2 f '( x*)
牛顿法至少二阶局部收敛 牛顿法至少二阶局部收敛
下山因子的取法： 下山因子的取法： 开始，逐次减半， 从 λ=1 开始，逐次减半，直到满足下降条件
11
重根情形
重根情形
f ( x ) = ( x x*)m g( x )
且 g( x*) ≠ 0
解法一： 解法一：直接使用 Newton 法 f ( x) 1 ( x) = x '( x*) = 1 f '( x) m 解法二： 解法二：改进的 Newton 法 f ( x) ( x) = x m '( x*) = 0 f '( x ) 缺点：需要知道 m 的值 缺点：
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法 弦截法、
1
本讲内容
Newton 法及其收敛性 牛顿下山法 弦截法与抛物线法
2
Newton 法
基本思想 将非线性方程线性化 将非线性方程线性化
的近似根， 设 xk 是 f (x)=0 的近似根，将 f(x) 在 xk 处 Taylor 展开
线性收敛
二阶收敛
12
重根情形
f ( x) 令 ( x) = f '( x )
x* 是 (x)=0 的单重根
解法三： 解法三：用 Newton 法解 (x) = 0 ( x) f ( x ) f '( x ) ( x) = x = x '( x) [ f '( x )]2 f ( x ) f ''( x)
对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感， 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 先用其它算法获取一个近似解， 先用其它算法获取一个近似解，然后使用牛顿法
需要求导数！ 需要求导数！
9
简化的Newton法 法 简化的
简化的 Newton 法
基本思想： 基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) = x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) = x x2 + 2
ex76.m
14
弦截法与抛物线法
弦截法与抛物线法
目的： 法中的导数， 目的：避免计算 Newton 法中的导数，且具有较 高的收敛性（超线性收敛） 高的收敛性（超线性收敛） 弦截法（割线法）：用差商代替微商 弦截法（割线法）：用差商代替微商 ）： 抛物线法： 抛物线法：用二次多项式近似 f(x)
p2 ( x ) = f ( xk ) + f [ xk , xk 1 ]( x xk )
+ f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk 1 )
问题： 轴有两个交点 取哪个点？ 两个交点， 问题：p2(x) 与 x 轴有两个交点，取哪个点？ 解决方法： 的那个点! 解决方法：取靠近 xk 的那个点
q
2k
对任意 x0>0， ， 总有 |q|<1， ， 即牛顿法收敛
8
牛顿法 牛顿法
牛顿的优点 牛顿的
至少二阶局部收敛，收敛速度较快， 至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点 充分靠近精确解时。 充分靠近精确解时。
牛顿法是目前求解非线性方程 组 牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿的缺点 牛顿的缺点