牛顿法和拟牛顿法
拟牛顿法算法步骤
拟牛顿法算法步骤拟牛顿法（Quasi-Newton method）是一种求解无约束优化问题的数值优化算法。
与牛顿法类似，拟牛顿法在每一步都尝试找到目标函数的一阶或二阶导数的最小值。
然而，与牛顿法需要计算目标函数的二阶导数不同，拟牛顿法通过估计目标函数的Hessian矩阵来近似二阶导数。
以下是拟牛顿法算法的步骤：1. 初始化：选择初始点x_0和近似的Hessian矩阵H_0（通常选择单位矩阵I）。
设定迭代终止条件，包括最大迭代次数和目标函数值收敛阈值。
2.迭代计算：对于每一次迭代k，计算当前点的梯度g_k=∇f(x_k)。
3.判断终止条件：检查终止条件，包括梯度范数的大小和目标函数值的收敛性。
如果满足终止条件，则算法结束，返回当前点x_k作为近似的最优解。
否则，继续下一步。
4. 方向计算：计算当前点的方向d_k。
拟牛顿法的一个核心思想是通过近似Hessian矩阵来更新方向。
常用的方向选择是d_k = -H_k*g_k。
5.步长计算：选择合适的步长α_k。
步长的选择可以使用线或精确线来求解，确定使得目标函数值减小的最佳步长。
6.更新：对于下一次迭代k+1，更新当前点x_k+1=x_k+α_k*d_k。
7. 修正：根据拟牛顿法的思想，通过计算当前点和上一次迭代点的参数更新量来修正近似的Hessian矩阵H_k。
常用的修正方法是BFGS （Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）或DFP（Davidon-Fletcher-Powell）。
8.返回第2步：回到第2步继续迭代计算，直到满足终止条件。
拟牛顿法的优点是避免了计算目标函数的二阶导数，节省了计算量，并且避免了计算不可行或无效的Hessian矩阵的情况。
另外，拟牛顿法还能够处理非线性和非凸优化问题。
需要注意的是，拟牛顿法也有一些局限性。
首先，由于需要存储和更新近似的Hessian矩阵，算法的内存消耗较大。
其次，近似Hessian矩阵的计算可能受到噪声或不可靠的梯度信息的影响，导致方向的不准确性。
牛顿法和拟牛顿法
解：
f x1
26
x1
x2
22
3 x1
3 x2
x1 x2 3
x2
f x2
26
x1
x2
2 2 3 x1
3x2
x1 x2 3
x1
故
f x1 x 4,6T
344,
f x2
x 4,6T
56,
f
(
x1
)
344 56
.
2 f x12
2 23
x2 2 ,
2 f x22
在确定拟牛顿方程式的Hk+1时，若矩阵Hk+1对称，则需 要待定（n+n2)/2个未知数，n个方程，所以拟牛顿方程 一般有无穷个解，故由拟牛顿方程确定的一族算法，通 常称之为拟牛顿法
拟Newton算法
1、给定初始点x0,正定矩阵H0,精度ε>0,k=0 2、计算搜索方s向k Gk f(x k ) 3、令xk+1=xk+tk.sk,其中
当H 可逆时， k
若 f(x k 1)
,停止x*
xkx+k11=;否xk则-H，k-令1.hk k
k
1,转step2
Step4:
例1. 设 f x 6 x1 x2 2 + 2 3 x1 3 x2 x1 x2 2
求在点 x1 (4, 6)T 处的搜索方向.
分析: 搜索方向
故需要写出 f ( x), 2 f ( x) 的表达式.
Sk
-H
1 k
hk
k 1
其中
H k 2f(x(k )) hk f(x(k ))
1.牛顿法几何解释
几何直观解释：最密切的二次曲线逼近
牛顿法和拟牛顿法
重置 否
x (1 ) = x ( n + 1 )
例4.13：用DFP方法求解 min 2 x + x − 4 x1 + 2
2 1 2 2
初始点x
(1)
2 1 0 = , H1 = 1 0 1
λ1 =
5 18
2 1
8 9 4 9
SQP方法
• 良好的性质 • 广泛应用 • 与Lagrange-Newton 法的关系
总结
简单的“拟”可以 是革命性的进步!
1 v
( k )T
q (k )
∆H k =
p
(k )
⋅p
( k )T (k )
p
( k )TΒιβλιοθήκη q−Hkq q
(k )
⋅q
( k )T
Hk
( k )T
Hkq
(k )
计 算 步 骤：
x (1 ) , ε > 0
H1 = I n , d (1) = −∇f ( x(1) ), k = 1
∇f ( x ( k ) ) < ε
p ( k ) := x ( k +1) − x ( k ) ⇓ q ( k ) := ∇f ( x ( k +1) ) − ∇f ( x ( k ) ) q
(k )
≈ ∇ f (x
2
( k +1)
)p
(k )
p ( k ) = H k + 1q ( k )
p ( k ) ≈ ∇ 2 f ( x ( k +1) ) −1 q ( k )
FletcherDavidon(1959), Fletcher-Powell(1963) DFP 方法
求解非线性方程和方程组的一些新方法
求解非线性方程和方程组的一些新方法求解线性方程分为两种方法–二分法和迭代法常见的方法一共有5种二分法迭代法牛顿法割线法拟牛顿法Halley法使用条件二分法需要知道两个自变量，分别是一个根的两侧牛顿法迭代法是最常用的方法，收敛性信赖于初值，取不同的初值可以的方程不同的根，函数用的是一阶导数，输入的是一个猜想的可能的值割线法给定两个初值再带入计算,比如要在2附近求一个根，那就可以假设这个范围是（1.9，2）拟牛顿法这个比较方便，用时最好可以找到一个好的初始值Halley法需要知道函数值以及它的一阶求导、二阶求导这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
二分法基本函数是这样子的：y = dichotomy(fun,a,b,tol)；二分法的算法要输入四个变量，fun,a,b,tol：函数，一个根的左右点，tol=1.0e-6function y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;上面这个就是定义的fun，每次的输入的方程不同，第一条不动，直接改第二行就可以的。
比如这里我们要计算的方程y = x^3 - 5 * x + 4.272;我们是可以通过简单计算得到一个根的两侧分别是1和1.3那在窗口指令指令中输入x=dichotomy(’fun‘,1,1.3,1.0e-6)就可以得到结果function y =dichotomy(fun,a,b,tol)if nargin <4tol =1.0e-5;endn =1;iffeval(fun,a)*feval(fun,b)<0c =(a+b)/2;while(abs(b-c)>tol)&&(abs(feval(fun,c))>tol)if(feval(fun,c)*feval( fun,a)>0)a = c;c=(a+b)/2;elseif(feval(fun,c)*feval(fun,a)<0)b = c;c =(a+b)/2;elsey = c;tol =100;endn = n +1;endy = c;elseif feval(fun,a)==0y = a;elseif feval(fun,b)==0y = b;elsedisp('there may not be a root in the interval');endnfunction y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;牛顿法还是用刚才那道题，y = x^3 - 5 * x + 4.272，一阶导是y = 3 * x^2 - 5;function y =dfun(x)y =3* x^2-5;下面的是具体的算法，根据x = newton(x0,tol)，我们只需要输入一个我们猜想的值就可以。
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式最优化问题的算法迭代格式最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。
解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。
本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。
2. 算法特点- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；- 学习率的选择对算法效果有重要影响；- 可能会陷入局部极小值。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；- 计算当前搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；- 返回第 2 步。
2. 算法特点- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；- 可以用于非线性问题的求解。
牛顿迭代法的优化算法和改进方法
牛顿迭代法的优化算法和改进方法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，在数值计算中被广泛使用。
它基于函数的一阶和二阶导数信息，通过不断逼近零点来求解方程。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛速度慢、收敛精度不稳定等等。
为了克服这些问题，人们提出了一系列的优化算法和改进方法，以提高牛顿迭代法的效率和精度。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法通过不断逼近函数的零点来求解方程，具体步骤如下：1.选取初始点$x_0$；2.根据函数$f(x)$在$x_k$处的一阶和二阶导数信息，计算出$x_k$处的切线和二次曲面，并求出它们与$x$轴（即解的数值）的交点$x_{k+1}$；3.将$x_{k+1}$作为新的初始点，重复步骤2，直至满足收敛条件。
其中，收敛条件通常为$|f(x_{k+1})|<\epsilon$，其中$\epsilon$为预设的误差限。
二、牛顿迭代法的优化算法虽然牛顿迭代法具有较高的精度和收敛性，但在实际应用中，它的收敛速度有时会很慢，甚至不能收敛。
为解决这些问题，人们提出了以下的优化算法。
1.牛顿-拉夫森方法牛顿-拉夫森方法是牛顿迭代法的一种变体，它在求解$x_{k+1}$时，采用了一种修正迭代式：$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)+O(f''(x_k)f(x_k)^2)$$该方法通过引入$f''(x_k)$来修正$x_{k+1}$的值，进一步减小迭代误差，加快收敛速度。
但该方法的计算量比牛顿迭代法大，需要对$f''(x_k)$进行严格求解。
2.海森矩阵的简化牛顿迭代法海森矩阵是牛顿迭代法中最重要的部分，它在计算二次曲面时起着关键作用。
然而，海森矩阵的计算量很大，而且在高维问题中可能变得非常不稳定。
为了减少计算复杂度和提高数值稳定性，人们提出了一种简化的牛顿迭代法，即使用$f'(x_k)$代替海森矩阵$f''(x_k)$，从而简化了计算过程并提高了数值稳定性。
最小二乘问题常用的那些优化方法
最小二乘问题常用的那些优化方法题外话：从开始学习Slam十四讲第六章的时候就开始想写一个文档整理一下这些年遇到的优化算法，一周学一章，现在都学到第9章了，总算半整理半引用整理出来了...如果学一个东西是不断坑自己+自己去填坑的过程，下一次应该不会摔的那么疼了吧对于一个最小二乘问题的求解，根据目标函数可分为线性最小二乘和非线性最小二乘；对于非线性最小二乘问题，通常是进行泰勒展开将问题线性化，求解线性增量方程或是直接迭代找到最优值；对于线性最小二乘问题，通常是直接进行展开、求导等于零，构造\(A\vec{x}=\vec{b}\)的解方程问题，使用直接分解法或是迭代法求解；写完后发现文档较长，还是列一下有些什么东西吧：•梯度下降与其扩展算法（随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及批梯度下降）•牛顿法与其优化算法（拟牛顿法、BFGS、LBFGS、高斯牛顿法以及列文伯格-马夸尔特法)•求解线性最小二乘问题的那些：1）直接分解（LU、LUP、Cholesky分解求解方阵线性方程组问题，QR分解解决欠定方程组问题以及超定方程组的最小二乘解）；2）迭代法（雅各比迭代、高斯赛德尔迭代、SOR以及超级好用的共轭梯度）•一些自己觉得不错的博客介绍；非线性最小二乘问题对于非线性最小二乘问题，通常会将目标函数进行泰勒展开，并将问题转换为一个线性求解问题：设有一个最小二乘问题：\[\min_{\vec{x}}F(\vec{x})=\frac{1}{2}||f(\vec{x})||_2 ^2\tag{1} \]有\(\vec{x}\in {R^n}, f\)是非线性函数，求解这个问题的常规思路是：1.给定某个初始值\(\vec{x}_0\)2.对于第k次迭代，寻找一个增量\(\Delta\vec{x}_k\)，使得\(||f(\vec{x}_k+\Delta\vec{x}_k)||_2^2\)3.\(\Delta\vec{x}_k\)足够小，则停止4.否则，令\(\vec{x}_{k+1}=\vec{x}_k +\Delta\vec{x}_k\)，返回第2步将非线性最小二乘问题求解的目标：从寻找最优值转换为寻找最小的\(\Delta\vec{x}_k\)，当函数下降到\(\Delta\vec{x}_k\)很小的时候，则等价为已找到最优值。
如何在Matlab中进行迭代优化和迭代求解
如何在Matlab中进行迭代优化和迭代求解引言：Matlab是一种非常强大和流行的数值计算软件，广泛应用于工程、科学和数学等领域。
在问题求解过程中，迭代优化和迭代求解是常常使用的技术。
本文将介绍如何在Matlab中利用迭代方法进行优化和求解，以及相关的技巧和应用。
一、什么是迭代优化和迭代求解迭代优化指的是通过多次迭代，逐步接近优化问题的最优解。
常用的迭代优化方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
迭代求解则是通过多次迭代，逐步逼近方程或问题的解，常用的迭代求解方法有牛顿迭代法、弦截法、二分法等。
二、迭代优化的基本原理与方法1. 梯度下降法（Gradient Descent）:梯度下降法是一种常用的迭代优化方法，用于寻找函数的极小值点。
其基本原理是通过计算函数对各个变量的偏导数，从当前点开始沿着负梯度的方向迭代更新，直至达到最小值。
在Matlab中，可以利用gradient函数计算梯度向量，并通过循环迭代实现梯度下降法。
2. 牛顿法（Newton's Method）:牛顿法是一种迭代优化方法，用于求解非线性方程的根或函数的极值点。
其基本思想是利用函数的局部线性近似，通过求解线性方程组来得到函数的极值点。
在Matlab中，可以使用fminunc函数来实现牛顿法。
3. 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）:拟牛顿法是一类迭代优化方法，主要用于求解无约束非线性优化问题。
其基本思想是通过构造逼近目标函数Hessian矩阵的Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式或拟牛顿方法中的其他公式，来估计目标函数的梯度和Hessian矩阵。
在Matlab中，可以利用fminunc函数，并设置算法参数来实现拟牛顿法。
三、迭代求解的基本原理与方法1. 牛顿迭代法（Newton's Method）：牛顿迭代法是一种常用的迭代求解方法，用于求解方程或问题的根。
拟牛顿法
•主页•专栏作家•量化基础理论•软件使用经验•量化软件•资源导航•资料下载•量化论坛搜索搜索用户登录用户名:*密码:*登录•创建新帐号•重设密码首页拟牛顿法及相关讨论星期三, 2009-06-17 00:24 —satchel1979使用导数的最优化算法中，拟牛顿法是目前为止最为行之有效的一种算法，具有收敛速度快、算法稳定性强、编写程序容易等优点。
在现今的大型计算程序中有着广泛的应用。
本文试图介绍拟牛顿法的基础理论和若干进展。
牛顿法(Newton Method)牛顿法的基本思想是在极小点附近通过对目标函数做二阶Taylor展开，进而找到的极小点的估计值[1]。
一维情况下，也即令函数为则其导数满足因此(1)将作为极小点的一个进一步的估计值。
重复上述过程，可以产生一系列的极小点估值集合。
一定条件下，这个极小点序列收敛于的极值点。
将上述讨论扩展到维空间，类似的，对于维函数有其中和分别是目标函数的的一阶和二阶导数，表现为维向量和矩阵，而后者又称为目标函数在处的Hesse矩阵。
设可逆，则可得与方程(1)类似的迭代公式：(2)这就是原始牛顿法的迭代公式。
原始牛顿法虽然具有二次终止性（即用于二次凸函数时，经有限次迭代必达极小点），但是要求初始点需要尽量靠近极小点，否则有可能不收敛。
因此人们又提出了阻尼牛顿法[1]。
这种方法在算法形式上等同于所有流行的优化方法，即确定搜索方向，再沿此方向进行一维搜索，找出该方向上的极小点，然后在该点处重新确定搜索方向，重复上述过程，直至函数梯度小于预设判据。
具体步骤列为算法1。
算法1：(1) 给定初始点，设定收敛判据，.(2) 计算和.(3) 若< ，则停止迭代，否则确定搜索方向.(4) 从出发，沿做一维搜索，令.(5) 设，转步骤(2).在一定程度上，阻尼牛顿法具有更强的稳定性。
拟牛顿法(Quasi-Newton Method)如同上一节指出，牛顿法虽然收敛速度快，但是计算过程中需要计算目标函数的二阶偏导数，难度较大。
数学建模中常用的十种算法
数学建模中常用的十种算法在数学建模中，常用的算法有很多种。
以下是数学建模常用的十种算法：1.线性回归算法：线性回归是一种用于建立变量之间线性关系的统计算法。
它通过最小化预测值与实际值之间的均方误差来确定最佳拟合直线。
2.非线性回归算法：非线性回归是一种用于建立变量之间非线性关系的统计算法。
它通过最小化预测值与实际值之间的均方误差来确定最佳拟合曲线。
3.最小二乘法算法：最小二乘法是一种用于估计模型参数的优化算法。
它通过最小化观测值与预测值之间的平方差来确定最佳参数值。
4.插值算法：插值是一种用于根据已知数据点推断未知数据点的技术。
其中常用的算法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值。
5.数值积分算法：数值积分是一种用于计算函数的定积分的技术。
其中常用的算法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格积分。
6.数值优化算法：数值优化是一种用于求解最优化问题的技术。
其中常用的算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法。
7.图形算法：图形算法是一种用于处理图像和图形数据的技术。
其中常用的算法包括图像滤波、图像分割和图像识别。
8.聚类算法：聚类是一种用于将数据集分组为不同类别的技术。
其中常用的算法包括K均值聚类、层次聚类和DBSCAN。
9.分类算法：分类是一种用于将数据分为不同类别的技术。
其中常用的算法包括支持向量机、决策树和随机森林。
10.贝叶斯算法：贝叶斯算法是一种用于计算后验概率的统计推断方法。
其中常用的算法包括贝叶斯分类、朴素贝叶斯和马尔科夫链蒙特卡洛。
以上是数学建模中常用的十种算法，它们在不同的应用领域和问题中具有广泛的应用价值，并且常常可以相互结合以获得更好的建模结果。
多元函数的极值和最优化问题
多元函数的极值和最优化问题多元函数的极值和最优化问题是微积分中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要确定一个函数在给定约束条件下的最大值或最小值，以寻找最优解。
这个过程通常称为最优化问题的求解。
在多元函数中，我们考虑的是具有多个自变量和一个因变量的函数。
首先，我们来讨论多元函数的极值。
类似于一元函数中的极值点，对于多元函数而言，极值点是函数局部最大值或最小值出现的点。
对于多元函数的极值问题，我们需要使用梯度和Hessian矩阵来判断是否存在极值点。
梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向；Hessian矩阵是一个方阵，它包含了函数的二阶偏导数。
通过分析梯度和Hessian矩阵的特征值，我们可以判断局部极值点的存在性和类型。
若函数的Hessian矩阵在某一点的特征值全为正，则该点为局部最小值点；若全为负，则为局部最大值点。
若特征值出现正和负的情况，则该点为鞍点。
然而，需要注意的是，极值点并不一定是最优解，最优解可能是全局最大值或最小值点。
在解决最优化的问题时，我们常常需要引入约束条件。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，它们限制了自变量的取值范围。
最优化问题分为无约束和有约束两种情况。
对于无约束的最优化问题，我们可以使用梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等方法来寻找最优解。
这些方法的基本思想是通过迭代计算，逐步逼近最优解。
梯度下降法是一种常用的无约束优化方法。
它利用函数的梯度信息来确定下降的方向，不断更新自变量的取值，直到达到极小值。
牛顿法则利用二阶导数信息，通过二次逼近的方式求解最优解。
拟牛顿法则是在牛顿法的基础上，用近似的方式来代替Hessian矩阵，从而减少计算复杂度。
对于有约束的最优化问题，我们需要引入拉格朗日乘子法或KKT条件来求解。
拉格朗日乘子法将约束条件与目标函数联立起来，通过求解拉格朗日函数的驻点来确定最优解。
KKT条件是一种常用的方法，在满足一定条件下，将有约束优化问题转化为无约束优化问题，再应用相应的方法求解。
解非线性方程组的全局收敛方法(ⅱ)
解非线性方程组的全局收敛方法(ⅱ)
非线性方程组是解决复杂问题的重要手段，其中的一个重要环节是获取全局收敛的方法。
全局收敛是指一个有效的求解方法在有限的步骤后得到的收敛结果必定是方程组的解（最
优解），而不会受局部最优解影响。
常见的全局收敛方法包括：
1. 全局梯度下降法：该法是通过迭代梯度，在每一步中，根据当前点处函数的梯度值，
搜索函数下降最快的方向，最终获取全局最优解。
2. 全局拟牛顿法：该法类似梯度下降法，但是引入了海森矩阵的概念，增加了搜索的可
靠性，可以加快函数的下降速度，最终获取全局最优解。
3. 全局平衡混合梯度方法：该方法借用了平衡理论，通过约束部分变量，把约束条件混
合到梯度下降法中，可以控制搜索的步长，从而获取全局最优解。
4. 全局混合型粒子群算法：该方法基于粒子群算法，把解的搜索范围划分为多个“密度高、稳定性强”的区域，不断寻找每个区域的最优解，从而获取全局最优解。
以上就是常见的几种非线性方程组的全局收敛方法，应用在实践中，需要根据不同的问题，选择恰当的方法，及时调整搜索步长，以最短时间获取最优结果。
牛顿迭代法的收敛性分析和优化
牛顿迭代法的收敛性分析和优化牛顿迭代法是求解非线性方程的一种经典方法，其在科学计算和工程实践中具有广泛应用。
本文主要探讨牛顿迭代法的收敛性分析和优化。
一、基本原理牛顿迭代法是利用函数的一阶导数和二阶导数信息来快速逼近非线性方程的根。
假设我们要求解方程$f(x)=0$，其中$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$是连续可导函数，$x_0$是某个初始估计值。
根据泰勒展开公式，可以得到局部线性近似为$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2$$由于$f(x)$在$x=x_0$处为零，因此仅保留一阶项，可得到下面的一次方程$$f'(x_0)(x-x_0)=-f(x_0)$$解得$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$$x_1$即为$f(x)=0$的第一个近似根。
类似地，我们可以继续迭代得到第$k$步的近似根$$x_k=x_{k-1}-\frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}$$当$f'(x_k)\neq 0$时，该迭代公式是收敛的，并且收敛速度相当快，一般为二次收敛。
在实际应用中，牛顿法的迭代次数很少超过10次，速度比其他迭代法快得多。
二、收敛性分析然而，牛顿迭代法并不总是收敛的，尤其当$f'(x_k)=0$时，迭代公式会失效。
此时，我们可以通过对原函数进行曲率调整来解决这个问题。
具体来说，对于第$k$步，定义一个新的函数$g(x)=f(x)/f'(x_k)$，那么$g(x_k)=0$，并且$g'(x_k)\neq 0$。
因此，可以用牛顿迭代法求解$g(x)$的根，得到下面的迭代公式$$x_{k+1}=x_k-\frac{g(x_k)}{g'(x_k)}$$其中，$$g(x)=\frac{f(x)}{f'(x_k)},\hspace{1cm}g'(x)=\frac{f''(x_k)f(x)-[f'(x_k)]^2f'(x)}{[f'(x_k)]^2}$$这个方法称为改进的牛顿迭代法或牛顿-拉夫逊迭代法。
机器学习算法系列(25)：最速下降法、牛顿法、拟牛顿法
作为指导。
3.2 DFP算法
DFP算法是以William C.Davidon、Roger Fletcher、Michael J.D.Powell三个人人的名字的首首字⺟母命 名的，它由Davidon于1959年年首首先提出，是最早的拟牛牛顿法。该算法的核心心是：通过迭代的方方
，求λ k，使 f(x ( k ) + λ kp k) = minλ ≥ 0 f(x ( k ) + λp k) 4. 置x ( k + 1 ) = x ( k ) + λ kp k，计算f(x ( k + 1 ) )当 | | f(x ( k + 1 ) ) − f(x ( k ) ) | | ＜ ξ或 | | x ( k = 1 ) − x ( k ) | | ＜ ξ，停止止迭代，令x ∗ = x ( k + 1 ) 5. 否则，置k = k + 1，转到步骤3。 当目目标函数是凸函数时，梯度下降法的解释全局最优解。一一般情况下，其解不不保证是全局最优 解。梯度下降法的收敛速度也未必是很快的。
3.1 拟牛牛顿条件
设经过k + 1次迭代后得到X k + 1，此时将目目标函数f(X)在X k + 1附近作泰勒勒展开，取二二阶近似，得到 1 f( X) ≈ f( X k + 1 ) + ∇ f( X k + 1 ) · ( X − X k + 1 ) + · ( X − X k + 1 ) T · ∇ 2 f( X k + 1 ) · ( X − X k + 1 ) 2 在两边同时作用用一一个梯度算子子 ∇ ，可得 ∇ f( X) ≈ ∇ f （ X k + 1 ） + H k + 1 · ( X − X k + 1 ) 取X = X k并整理理，可得 g k + 1 − g k ≈ H k + 1 · (X k + 1 − X k ) 若引入入记号s k = X k + 1 ， y k = g k + 1 − g k则可以改写成
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式什么是最优化问题？最优化问题是指在给定约束条件下寻找某个目标函数取得最大值或最小值的问题。
这类问题在实际应用中非常广泛，例如在工程、经济学、物理学等领域中都会遇到最优化问题。
最优化问题的分类最优化问题可以根据目标函数和约束条件的性质进行分类。
根据目标函数的性质，最优化问题可以分为线性规划、非线性规划、整数规划等。
根据约束条件的性质，最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约束问题。
传统的最优化问题求解方法在传统的最优化问题求解方法中，常用的方法有穷举法、梯度下降法、牛顿法等。
这些方法的共同点是需要迭代求解，通过不断迭代逼近最优解。
其中，穷举法是一种朴素的求解方法，通过枚举所有可能的解，并计算目标函数的取值来找到最优解。
然而，穷举法的计算复杂度通常很高，不适用于大规模的最优化问题。
迭代法求解最优化问题为了解决传统方法中计算复杂度高的问题，研究者们逐渐提出了一系列迭代算法来求解最优化问题。
迭代法通过不断更新解的估计值来逼近最优解。
迭代法的主要思想是从一个初始解开始，通过一定的迭代格式来计算下一个解的估计值，直到满足终止条件为止。
在迭代法中，需要确定三个要素：初始解、迭代格式和终止条件。
初始解的选择通常对最后的结果有一定的影响，较好的初始解可以加速算法的收敛速度。
迭代格式是指通过给定的规则来计算下一个解的估计值，不同的迭代格式适用于不同类型的最优化问题。
终止条件是指满足一定条件时终止迭代过程，通常可以选择解的变化不超过一定阈值，或者迭代次数达到一定的上限。
常见的最优化问题迭代算法1. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的迭代算法，用于求解无约束的最优化问题。
梯度下降法的思想是通过沿着目标函数梯度的反方向移动，不断逼近最优解。
具体来说，梯度下降法通过以下迭代格式计算下一个解的估计值：x k+1=x k−α∇f(x k)其中，x k+1是下一个解的估计值，x k是当前解的估计值，α是步长，∇f(x k)是目标函数在x k处的梯度。
非线性方程组
非线性方程组前言非线性方程组，顾名思义就是未知数的幂除了不是1，其他都有可能！线性方程组其实只是非常小的一类，非线性方程组才是大类！也正因此非线性方程组包含各种各样的方程形式，所以它的解和对应的求解方法不可能像线性方程组那样完美，即都是局部收敛的。
先给出一个直观的非线性方程组例子：个人对两个问题的理解：1、非线性方程组如果有解，一般都有很多解！如何理解：把方程组的解看成是各个函数图像的交点的。
我们知道非线性方程组的各个函数就都是复杂曲线、面，甚至是高纬空间里的复杂东西；线性方程组的各个函数就是最简单的直线、面！各个复杂函数图像间的相交机会很多，并且只要相交，就是多个交点(因为交线、交面里有无数的交点)，也就是有多个解，可以想象，非线性方程组有多解是很平常的一件事，对于复杂的非线性函数没解才不正常！可以想象，这些解是等价的！没有说是等级更高，谁等级低一些。
都是解！因为：只要是解，它就只满足一个条件：让方程组中的各个方程=0。
所以无法用什么评判标准(比如范数)来说哪个解的等级高一些或者效果更好一些。
注意：这里的解等价和欠定线性方程组通解中的唯一极小范数解不一样！可以想象二者的区别：非线性方程组中的解都是实打实存在的；而欠定线性方程组中除了特解，其他通解中的解说存在也行，说不存在那就是因为方程条件(个数)都不够！这些是啥都行的通解和非线性方程组中实打实存在的解肯定不能比！这样的话各个非线性方程组的局部收敛性就可以理解，即：空间中有很多解时，我每次只能找一个，那我找谁？找离我出发点最近的那个解呗。
所以不同的出发点，就有可能找到不同的解，这就是局部收敛性。
意思是：每个方程中把所有和有关的用一个变量代替，所有有关的用一个变量代替，即方程1中用：，但是很明显方程2的第一项两个变量相乘，没法用变量代替，并且，即使在方程2中能代替，那么就会有和，这样总未知数变成4个而方程只有2个，还是解不了。
所以，非线性方程组不可能用简单的线性变量代换来解。
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法和拟牛顿法是求解非线性方程组和最优化问题的常用方法。
牛顿法是一种迭代法，通过迭代求解一系列的线性方程组来逼近
非线性方程组的解。
具体来说，牛顿法利用函数$f(x)$在当前点
$x_k$处的一阶和二阶导数信息来构造一个近似的局部二次模型，然后
将该二次模型的极小点作为下一个迭代点，直到达到给定的收敛准则。
但牛顿法的缺点是需要计算和求解海森矩阵（二阶导数矩阵），计算
量较大，而且海森矩阵可能不易求解或者不稳定，因此在实际计算中，牛顿法被改进为拟牛顿法。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过构造一个近似的海森矩阵来
替代牛顿法中的精确海森矩阵。
这个近似海森矩阵可以通过利用函数
$f(x)$在迭代过程中已知的信息（如函数值和梯度值）来动态更新，
从而避免了求解精确海森矩阵的复杂性。
拟牛顿法通常具有收敛速度快、迭代次数少、计算量小等优点，并在实际应用中被广泛使用。
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法与拟牛顿法是优化算法中的两种经典方法。
其中，牛顿法基于二阶导数信息，拟牛顿法则利用一阶导数信息对牛顿法进行改进。
牛顿法在每次迭代中，通过求解二阶导数矩阵的逆矩阵来更新参数，使得优化目标函数的值尽可能地减小。
这种方法速度快，但需要计算二阶导数，对于大规模问题的计算量就显得十分庞大。
此外，如果二阶导数矩阵不是正定的，则牛顿法可能会陷入不稳定的状态。
拟牛顿法则基于牛顿法的思想，但将二阶导数信息替换为一阶导数信息。
这种方法的优点是可以避免计算二阶导数矩阵，降低了计算复杂度，而且不需要保证矩阵正定性。
拟牛顿法中的BFGS算法是其中最著名的一种，其可以在较短的时间内找到全局最优解。
在实际应用中，牛顿法和拟牛顿法各有优劣，具体选择哪种方法取决于问题本身的特点、数据规模以及计算资源等因素。
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复数梯度下降算法结果比较
在机器学习和优化中，复数梯度下降算法是一种用于最小化复数函数的方法。
复数梯度下降算法通常用于解决具有复数参数或复数值的优化问题，如信号处理、量子计算等领域。
以下是一些常见的复数梯度下降算法及其结果比较：
标准复数梯度下降算法：
这是最基本的复数梯度下降算法，类似于实数梯度下降，但应用于复数值函数。
结果比较：通常较慢，容易陷入局部最小值。
共轭复数梯度下降算法（Complex Conjugate Gradient, CCG）：
这个算法是复数版本的共轭梯度下降算法，用于快速收敛到复数值函数的最小值。
结果比较：通常比标准复数梯度下降算法更快，尤其在高维复数空间中。
牛顿法和拟牛顿法：
复数版本的牛顿法和拟牛顿法利用二阶导数信息，通常可以更快地收敛到复数函数的最小值。
结果比较：通常比梯度下降算法更快，但计算成本较高。
非线性共轭梯度法（Nonlinear Conjugate Gradient, NCG）：
这是一种适用于复数优化问题的非线性共轭梯度算法。
结果比较：具体效果取决于问题的性质，通常比标准复数梯度下降更快。
量子梯度下降（Quantum Gradient Descent, QGD）：
用于在量子计算中优化复数参数的算法。
结果比较：在量子计算领域具有重要应用，但可能不适用于传统机器学习问题。
需要注意的是，复数梯度下降算法的性能取决于具体的问题和问题特性。
在选择算法时，需要考虑问题的复杂性、维度、初始值等因素。
通常需要根据具体情况来进行算法的选择和参数调整，以达到最佳的优化结果。
broyden 法 -回复
broyden 法-回复关于Broyden法的原理和应用。
Broyden法是一种迭代法，用于求解非线性方程组的数值解。
它是通过近似逆Jacobi矩阵的方法，在每一次迭代中更新Jacobi矩阵的逆矩阵，从而更新模型中的解向量。
该方法被广泛应用于各个领域，包括数学建模、物理学、工程学等。
Broyden法的原理是基于牛顿法和拟牛顿法的思想。
在牛顿法中，我们通过不断迭代求解线性化的方程组来逼近方程的解。
拟牛顿法则是通过近似Hessian矩阵的逆矩阵来更新解向量。
Broyden法则是基于拟牛顿法，但使用Jacobi矩阵的逆矩阵（即Broyden矩阵）来更新解向量。
假设我们要求解的非线性方程组为F(x) = 0，其中x为未知量向量，F(x)为方程组的函数向量。
初始解向量x0可以通过任意方法选择。
使用Broyden法求解该方程组的过程如下：1. 初始化：选择初始解向量x0和对应的函数向量F(x0)，并计算初始Jacobi矩阵的逆矩阵B0。
2. 迭代计算：对于每一次迭代k，假设我们已经有了解向量xk和对应的函数向量F(xk)。
我们首先计算增量向量dk，使得F(xk+dk) = 0。
具体计算方法为：dk = -Bk * F(xk)。
其中Bk为Jacobi矩阵的逆矩阵。
3. 更新解向量：通过计算得到的增量向量dk更新解向量xk+1 = xk + dk。
4. 更新Jacobi矩阵的逆矩阵：通过计算得到的解向量增量dk和函数向量增量dF = F(xk+1) - F(xk)来更新Jacobi矩阵的逆矩阵Bk+1 = Bk + (dF - Bk * dk) * dk' / (dk' * dk)。
5. 判断停止条件：如果满足停止条件（如收敛到某个精度要求或达到最大迭代次数），则停止迭代。
否则，回到步骤2。
Broyden法的优点在于它的收敛速度相对较快，同时也不需要计算Hessian矩阵的逆矩阵。
这使得Broyden法在求解大型非线性方程组时非常适用。
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Hk k z(k) z(k)T
p(k ) H k1q(k )
(Hk k z(k)z(k)T )q(k)
z(k)
p(k) Hkq(k)
k z(k)T q(k)
秩为 1
k (z(k)T q(k) )2 q(k)T ( p(k) Hkq(k) )
0? Hk
( p(k)
Hkq(k ) )( p(k ) Hkq(k ) )T q(k)T ( p(k) Hkq(k) )
例4.13：用DFP方法求解
min 2x12 x22 4x1 2
初始点x(1)
2 1,
H1
1 0
0 1
2 1
1
5 18
8
9 4
9
1
17 36
1 86 38 H2 306 38 305
1 0
DFP法具有二 次终止性！
定理 : 若f (x(k) ) 0(k 1,...,n), 则DFP方法构造的Hk 0.
d (k ) H kf ( x(k ) ) f ( x(k ) )T d (k ) 0
搜索方向为下降方向
定理
设用DFP方法求解正定二次函数
min f (x) 1 xT Ax bT x c 2
任取x(1)，令H1 0 共轭 则 p(i)T AAp(i) p(i) 1 i k n
其中p(i) x(i1) x(i) id (i)
DFP法具有二次终止性！ H n1 A1
BFGS公式
p(k ) H k1q(k )
DFP公 式
H k
p(k) p(k)T p(k )T q(k )
Hkq(k) q(k)T Hk q(k)T H kq(k )
q(k ) Bk 1 p(k )
是
f ( x(k) )
x x(k)
否
d (k ) H kf ( x(k ) )
k
arg min 0
f (x(k)
d (k) )
x(k1) x(k ) kd (k )
是
kn
否
x(1) x(n1)
p(k ) x(k1) x(k ) q(k ) f ( x(k1) ) f ( x(k ) ) H k H k1 H k H k k : k 1
式
H BFGS k1
Hk
(1
q( k )T p(k
Hkq(k) q )T (k )
)
p(k)T p(k) p(k)T q(k)
p(k)q(k)T Hk Hkq(k) p(k)T p(k)T q(k)
p(k ) ,q(k ) 互换
Bk
q(k ) q(k)T q(k )T p(k )
Bk p(k ) p(k )T Bk p(k )T Bk p(k )
BFGS修正公式
Bk1 Bk Bk
H k 1
B 1 k 1
(
M
uv T
)1
M
1
M 1uv T M 1 1vT M 1u
ShermanMorrison公
牛顿法和拟牛顿法
无约束优化问题
线搜索方法
• dk ：搜索方向 （下降就可）： dk ▽f(xk) < 0
• αk ： 搜索步长： 1） 精确搜索： f(x＋αd ) 达到最小 2） Wolfe 搜索： （两个条件）
精确搜索
Wolfe 非精确搜索
Wolfe 非精确搜索
线搜索方法的下降
• 方法收敛之关键：估计 搜索方向与最速下降方向的夹角
在 点x ( k 1) 处 进 行 二 阶Taylor展 开 ：
f ( x) f ( x(k1) ) f ( x(k1) )(x x(k1) ) 1 ( x x(k1) )T 2 f ( x(k1) )(x x(k1) )
2
f ( x) f ( x(k1) ) 2 f ( x(k1) )(x x(k1) )
f ( x(k) ) f ( x(k1) ) 2 f ( x(k1) )(x(k) x(k1) ) p(k ) : x(k 1) x(k ) q(k ) : f (x(k 1) ) f (x(k ) ) q(k ) 2 f (x(k 1) ) p(k )
p(k ) H k1q(k )
注释
• 在一定条件下，收敛且具有二次终止性。 • 无法保证Hk的正定性；即使能，也有可能导致
△Hk无界。
DFP算法
Hk k u(k) u(k)T kv(k) v(k)T
秩为 2
p(k ) H k1q(k )
(Hk k u(k)u(k)T kv(k)v(k)T )q(k)
k u(k )u(k )T q(k ) kv(k)v(k)T q(k) p(k ) Hkq(k)
令u(k )
p(k )；k
1 u(k )T q(k )
;v(k)
Hkq(k )； k
1 v(k )T q(k )
H k
p(k) p(k)T p(k )T q(k )
Hkq(k) q(k)T Hk q(k)T H kq(k )
计 算 步
骤：
重置
x(1) , 0
H1 In , d (1) f ( x(1) ), k 1
p(k ) 2 f ( x(k 1) )1 q(k )
1.秩1校正 2.DFP(Davidon-Fletcher-Powell)算法：
秩2校正
3.BFGS(Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno)公式及Broyden族
H1 I; Hk1 Hk Hk
校正 矩阵
秩1校正
找替代牛顿法的方法
目标： 收敛快 程序简单
同时 不需要二阶导数
找： 像牛顿 又不是牛顿 的家伙！！！
基本思想：
用不包含二阶导数的矩阵近似Hesse矩阵的逆。
拟牛顿条件
d (k ) 2 f H( xk(k ) )1f ( x(k ) )
x(k1) x(k) kd (k) 首先分析 2 f (x(k) )1与一阶导数的关系：
线搜索方法的收敛性
定理 如果 f(x) 下方有界，如果搜索方向 与最速下降法的夹角不靠近π/2,则由线搜索 方法产生的点列 xk 满足：
|| gk || → 0
搜索方向
最速下降法： 共轭梯度法： 牛顿法：
牛顿方向
牛顿方向
是如下问题的解
牛顿法的优缺点
收敛快 －－－ 二次收敛 程序简单
计算量大 －－－ 需要二阶导数 要求高 －－－ 需要二阶导数 需要计算Hesse矩阵，而此矩阵可能非正定， 可能导致搜索方向不是下降方向。