2015年陕西省中考数学总复习教学案：第18讲 概率的应用

第18讲 概率的应用

22题，分值为8分．题目设置均以学生平常生活中熟悉的游戏为背景，如摸球游戏、手指游戏、掷骰子游戏等，考查的内容均为列表法或树状图法求概率．预计在2015年的中考中，利用列表法或树状图法计算概率仍是解答题考查的重点．

1．概率表示事件发生的可能性的大小，不能说明某种肯定的结果．

2．概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的，在大量重复进行同一试验时，可以用某一事件发生的频率近似地作为该事件发生的概率．

3．模拟试验：由于有时手边恰好没有相关的实物或者用实物进行试验的难度很大，这时可用替代物进行模拟试验，但必须保证试验在相同的条件下进行，否则会影响其结果．

频率与概率

概率被我们用来表示一个事件发生的可能性的大小．如果一个事件是必然事件，它发生的概率就是1；如果一个事件是不可能事件，它发生的概率就是0；随机事件发生的概率通常大于0且小于1.

对事件可能性大小的感觉通常来自观察这个事件发生的频率，即该事件实际发生的次数与试验总次数的比值，由于观察的时间有长短，随机事件的发生与否也有随机性，所以在不同的试验中，同一个随机事件发生的频率可能彼此不相等．

1．(2014·陕西)小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市，由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定，规则如下：

①在一个不透明的袋子中装一个红球(延安)、一个白球(西安)、一个黄球(汉中)和一个黑球(安康)，这四个球除颜色不同外，其余完全相同；

②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；

③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色相同为止．

按照上面的规则，请你解答下列问题：

(1)已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？

(2)已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？

解：(1)画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有1种情况，

∴小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：1

16

(2)由(1)得：共有16种等可能的

结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，∴小英和母亲随机

各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：7

16

2．(2013·陕西)甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：i)每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；ii)两人伸出的手指中，大拇指只胜食指，食指只胜中指，中指只胜无名指，无名指只胜小拇指，小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时．

(1)求甲伸出小拇指取胜的概率； (2)求乙取胜的概率．

解：设用A ，B ，列表如下：

1种可能的结果，

P(甲伸出小拇指取胜)＝125 (2)由上表可知，乙取胜有5种可能的结果，所以P(乙取胜)＝

5

25

＝15

3．(2012·陕西)小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次(若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷)，点数和大的获胜；点数和相同为平局．

依据上述规则，解答下列问题：

(1)随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；

(2)小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．

(骰子：六个面分别刻有 1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和)

解：(1)随机掷骰子一次，所有可能出现的结果如表：

∵表中共有36种可能结果，其中点数和为2的结果只有一种，∴P(点数和为2)＝1

36

(2)

由表可以看出，点数和大于7的结果有15种，∴P(小轩胜小峰)＝1536＝5

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计算等可能事件的概率

【例1】 (2014·漳州)如图，有以下3个条件：①AC ＝AB ，②AB ∥CD ，③∠1＝∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是( D )

A ．0

B .13

C .2

3

D ．1

【点评】 本题可列举所有的情况，求出结果．

1．(2014·南通)在如图所示(A ，B ，C 三个区域)的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在__A__区域的可能性最大(填A 或B 或C)．

用统计频率的方法估计概率

【例2】 (2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有( A )个

A ．45

B ．48

C ．50

D ．55 【点评】 本题每摸一次就相当于做了一次试验，因此大量重复的试验获取的频率可以估计概率．

2．(1)(2012·贵阳)一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n 大约是( D )

A ．6

B ．10

C ．18

D ．20 (2)(2013·玉林)某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为：可回收垃圾、厨余垃圾、其他垃圾三类，分别记为A ，B ，C ，并且设置了相应的垃圾箱，依次记为a ，b ，c .

①若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱，请你用树状图的方法求垃圾投放正确的概率； ②为了调查小区垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重500 kg 生活垃圾，数据如下(单位： kg )

a b c A 40 15 10 B 60 250 40 C 15 15 55

解：(2)解：①如图

，共有9种情况，其中投放正确的有3种

情况，故垃圾投放正确的概率：39＝13 ②“厨余垃圾”投放正确的概率为25060＋250＋40＝5

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