集合的含义与表示讲义

合集下载

1.集合的概念与表示(钱老师)

钱老师1对1个性化辅导讲义学员姓名学校年级及科目教师课题第一讲集合的含义与表示授课时间教学内容1.集合与元素的概念一般地，指定的某些对象的称为集合。

集合常用大写字母,,,,A B C D 表示。

集合中的每个对象叫做这个集合的。

元素常用小写字母,,,,a b c d 表示。

2.元素与集合的关系元素与集合的关系，分为属于()∈和不属于()∉两种情况。

若a在集合中，就说a集合A，记作：；若a不在集合中，就说a 集合A，记作：。

【辨析·比较】元素与集合的联系与区别区别概念概念上的区别符号上的区别关系元素研究对象小写的字母a,b,c……a A ∈或a A∉集合一些对象组成的总体大写的字母A，B，C………3.集合中元素的特征一、：即给定的集合，它的元素必须是确定的.即给定一个集合A ，那么任何一个元素a 在不在这个集合中就确定了.也就是说a A ∈或a A ∉必须有且只有一种情形成立.（2）：一个给定的集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在集合中只能算作一个元素.例如方程2(1)(2)0x x -+=的解只能写成{1,2}-，而不能写成{1,2,2}--.（3）：集合中元素的排列是无次序的，例如{1,2,3}与{1,3,2},{2,3,1}等应表示同一个集合.判断一组对象能否构成集合，关键是看对象是否满足集合中元素绵三个特征，特别看是否满足确定性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.例1. 判断下列各组对象能否构成集合？（1）不小于2004且不大于2010的所有正整数；（2）方程2102x x -+=的实数根；（3）比较矮的人.4、数学中一些常见的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作；全体整数组成的集合称为整数集，记作；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作；全体实数组成的集合称为实数集，记作 . 5、集合的表示方法列举法把集合的元素来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数. 注意事项：（1）元素间用“，”分隔；（2）集合中元素必须满足元素的三个特征；（3）对于含有限个元素且元素个数较少的集合宜采用列举法；如果元素的个数较多或无限个且构成集合的元素具有明显的规律时，也可以使用列举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号，例如不超过1000的正整数构成的集合可表示为{1,2,3,,1000}.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体的做法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.它的形式为{|p D p ∈适合的条件｝，其中p 叫做代表元素，D 为p 的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.如果从上下文关系来看，p D ∈是明确的，那么p D ∈可以省略，只写元素p ，写成{|p p 适合的条件｝.例如{|13}x R x ∈≤<也可以表示成{|13}x x ≤<；{|31,}B x Z x k k Z =∈=-∈也可表示成{|31,}B x x k k Z ==-∈. 使用描述法应注意以下事项：（1）应写清楚该集合中元素的代表元素.如集合{|13}x x ≤<不能写成{13}x ≤<，这样就少了代表元.再如集合22{(,)|1}x y x y +=与集合22{|1}y x y +=表示不同的两个集合，前者是点集，而后者是数集，区别就在于它们的代表元不同. (2)准确地说明该集合中元素的特征.(3)应对其代表元素进行说明.如下面的表示方法是错误的：{,|(1,2)}x y （），事实上它应表示为{(,)|1,2}x y x y ==，或表示为{(1,2)}. 例2.用列举法表示下列集合：（1）{(,)|3,,}x y x y x N y N +=∈∈；（2）{|3,,}y x y x N y N +=∈∈. 6、列举法与描述法的比较列举法与描述法各有优点，应根据具体问题确定使用那种集合的表示法，列举法具有直观、明了的特点，但有些集合是不能用列举法表示出来的，例如方程30x ->的解集.描述法把集合中所具有元素的特征性质描述出来，具有抽象、概括、普遍性的特点.表示一个集合可认为是进行如下过程：列举法描述法例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数组成的集合.7．集合的分类根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无限集.元素个数是有限多个的集合称为有限集，例如{1,2,3}，{|14}x Z x ∈≤≤都是有限集；元素个数是无限的集合称为无限集，例如{|14}x R x ∈≤≤就是无限集；我们把不含有任何元素的集合称为空集，记作∅.通过对元素规律的观察概括出特征元素的性质根据特征性质，找出具体元素例如求方程210++=没有实数解，从而x x++=所有实数解的集合.因为方程210x x2∈++=={|10}.x R x xφ例4.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合.【课堂练习】题型一、集合的概念例1、列各项中，能组成集合的是（）A、高一（3）班的好学生B、嘉兴市所有的老人C、不等于0的实数D、我国著名的数学家例2、下面四个命题正确的是（）A、10以内的质数集合是{0，3，5，7}B、“个子较高的人”不能构成集合C、方程x2-2x+1=0的解集是{1，1}D、偶数集为x|x=2k，x∈N例3、下列各条件中，不能确定一个集合的是（）A、重庆一中高个子的全体B、数轴上到原点的距离大于1的点的全体C、小于100的质数的全体D、方程x2+2x+7=0的解的全体题型二、集合与元素的关系例1、用符号∈与∉填空（其中A是由满足y = x2 +1且x∈N的实数y所组成的集合，B是由抛物线y = x2– 2x + 2上的点所组成的集合）：4Q．（1）0 N*；3Z；0 N；(-1)0N；3+ 2 Q；3（2）0 A；3.5 A；10 A；(1，2) A．（3）(0，0) B ；(1，1) B ；2 B ．题型三、集合的表示方法例1．用列举法表示下列集合：（1）方程x 3 = x 的解集；（2）方程组⎩⎨⎧-=+=-1131432y x y x 的解集．例2．求不等式2x –3＞5的解集．例3．用列举法表示A = {(x ，y )|x + y = 5，x ，y ∈N +}．例4、用描述法表示下列集合：（1）所有能被3整除的整数的集合；（2）使xxy -=2有意义的集合；（3）方程012=++x x 所有实数解的集合；（4）抛物线632-+=x x y 上所有点的集合。

高一数学预科班讲义

高一数学预科第1讲：集合及其运算一、集合的含义与表示：1.集合的表示方法：①②③2．关于集合的元素的特征：（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A（“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）4．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，{}Λ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{}Λ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R{}数数轴上所有点所对应的=R5．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。

6. 有限集合、无限集合、空集的定义例题 1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点练习：下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例题2、填空：或用符号∉∈（1） -3 N ；（2）3.14 Q ；（3）31Q ；（4）0 Φ?；（5）3 Q ；（6）21-R ；（7）1 N +；（8）π R 。

练习：下列结论中，不正确的是( )A.若a ∈N ，则-a ∉NB.若a ∈Z ，则a 2∈ZC.若a ∈Q ，则｜a ｜∈QD.若a ∈R ，则R a ∈3例题3：用列举法表示下列集合：① {|x x 是15的正约数} ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③{(,)|2,24}x y x y x y +=-=④ {|(1),}n x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈例题4：用描述法表示下列集合：① {1,4,7,10,13}； ②{2,4,6,8,10}-----③{}1,1,1,1--鬃? 课堂练习：1.下列说法正确的是 ( )A.{}1,2,{}2,1是两个集合B.{}(0,2)中有两个元素C.6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集D.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集 2.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是( )A.{}3,2,1,0,1,2,3---B.{}2,1,0,1,2--C.{}0,1,2,3D.{}1,2,33.给出下列4个关系式：{}3,0.3,0,00R Q N +∈∉∈∈其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列元素与集合的关系中正确的是( )A.N ∈21B.2?{x ?R|x ≥3}C.|-3|?N*D.-3.2?Q5.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合； (2)集合{y|y=x 2-1}与集合{(x,y)|y=x 2-1}是同一个集合；(3)1,23,46,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ?R}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 6.下列集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={1,2},N={2,1} 7.已知x?N,则方程220x x +-=的解集为( )A.{x|x=-2}B. {x|x=1或x=-2}C. {x|x=1}D.?8.已知集合M={m ?N|8-m ?N},则集合M 中元素个数是( )A.6B.7C.8D.99.方程组25x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10.已知集合Ａ＝{}20,1,x x-则x在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11.用符号“?”或“?”填空：0_______N, 5______N, 16______N.12.用列举法表示A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,x?Z}为_______________.13.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集”为_____________.14.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合？________15.已知集合P={x|2<x<a,x?N},已知集合P 中恰有3个元素,则整数a=_________.二、集合间的基本关系1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B==；（2）设A为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；（3）设{|},{|C x xD x x==是两条边相等的三角形是等腰三角形（4）{2,4,6},{6,4,2}E F==.一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作：()A B B A⊆⊇或读作：A包含于B(或B包含A).如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.2.真子集：如果集合A BÍ，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A?B（或B?A）3. 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定空集是任何集合的子集4.含有n个元素的集合A的子集个数为n2，真子集的个数为n21-，非空真子集的个数为n22-课堂练习：1.用适当的符号填空：（1）a {a,b,c} (2)0 {x|x2=0} (3) ? {x∈R|x2+1=0}(4){0,1} N(5) {0} {x|x2=x} (6) {2,1} {x|x2-3x+2=0}2.写出集合A={1,2,3,4}的所有子集3.判断下列两个集合的关系（1）A={1,2,4} B={x|x是8的约数} （2）A={x|x=3k,k∈N} ，B={x|x=6z,z∈N}（3）A={x|x是4和10的公倍数，x∈N+}，B={x|x=20m, m∈N+}4. 已知集合A=｛2，8，a｝, B=｛2，a2-3a+4｝,又A?B，求出a之值5. 已知集合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当B?A时，求出m之取值范围三、集合的基本运算1并集：已知集合A={1,2,3}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6}一般地，由所有属于集合A或属于集合A 的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作：A 并B），即A ∪B={x|x∈A，或x∈B}用Venn图表示：说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

第一章集合课程讲义

1.1 集合的含义及其表示一、知识梳理1．集合的定义2．元素与集合的关系3．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性4．常用数集及其记法：5．集合的表示方法：二、例题讲解例1：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？例2：三个元素的集合1，a，ba，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．例3：集合A中的元素由(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2（3例4．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使yx=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；例5．已知A={a|6,3N a Za∈∈-}，试用列举法表示集合A．例6．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．三、巩固练习1、用∈或∉填空________N________R0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z2、由实数-x，|x|x，组成的集合最多含有元素的个数是_________________个.3、用列举法表示下列集合：(1) {x|x为不大于10的正偶数}(2){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}4、用描述法表示下列集合：(1)不等式2x-3>5的解集；(2)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合；5、集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}，，这三个集合的关系？ 6、已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：2．子集的性质：① A ⊆ A② A ∅⊆3．真子集的概念及记法：4．真子集的性质：①∅是任何非空集合的真子集5．全集的概念：6．补集的概念：二、例题讲解例1：以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）a 与{a} 0 与 ∅（2）∅与{20，35，∅} （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R ，A={x|x ≤0，x ∈R}，B={x|x>0 ，x ∈R }；例2：设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例3：①方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ，U=R ，试求A 及u C A ． ②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围．三、巩固练习1．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z ；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*}，B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}2．（1）已知{1，2 }⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P 满足：P ⊆M ，且若P α∈，则10-α∈P ，则这样的集合P 有多少个？3.若U=Z ，A={x|x=2k ，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则U C A ___________ U C B ___________：4．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，U C A ={5}，求实数a ，b 的值．5．已知集合A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0},B ⊆ A ，求a ，b 的取值范围．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的定义：注意：当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B=∅.2．交集的常用性质：（1）(A ∩B)∩C =A ∩(B ∩C)；（2） A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B3．区间的表示法：4．并集的定义：注意：并集（A ∪B ）实质上是A 与B 的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.5．并集的常用性质：（1）(A ∪B)∪C =A ∪(B ∪C)；（2） A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B二、例题讲解例1．（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A ∩B ；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；例2：已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2+2x+34，x∈R}，求A∪B；例4：已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2）∅ A∩B，A∩C=∅，求a的值．例6：已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的条件．例10、已知集合A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值。

集合的含义与表示ppt课件

*
6、用符号或填空：（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A；
（2）若A= {x| x²=x}则-1 A
（3）若B= {x| x²+x-6=0}则3 B
*
作业：红对勾P29
作业
{x∈Q | x < 10 }
{x | x=2n,n∈Z }
{(x,y) |x<0 , 且y>0 }
说明:如果从上下文的关系来看,x∈R,x∈Z等是明确的,那么x∈R,x∈Z可以省略,只写其元素x.
如:不等式x-7<3的解集可以表示为A={x | x<10}.
所有奇数组成的集合可以表示为:
B={x| x=2k+1,k∈Z}.
*
说明：
●集合是数学中最原始的概念之一，我们不能用其他的概念下定义，只能作描述性说明，是不定义概念，即原始概念，和点、直线、平面等基本概念及原理构成了整个数学大厦的基石，是从现实世界中总结出来的．
●集合理论是由德国数学家康托尔发现的，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础．
集合的描述性定义：我们把研究对象统称为元素．把一些元素组成的全体叫做集合(简称为集).
*
例1：用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有质数组成的集合__________; (2)由大于3小于10的整数组成的集合___________________; (3)方程x2-16=0的实数解组成的集合_________;
{ 2, 3, 5, 7 }
{ 4, 5, 6, 7 ,8 ,9 }
{ -4, 4}
*
使用列举法时，应注意以下几点：
(1)元素间用分隔号“，”
(2)元素不重复

1.1集合的概念及表示

1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。

集合1.1.1讲义

精锐教育学科教师辅导讲义练习题2答案 1．A 2.D3.B4.B5.C6.{}1,0,1,2-7.1928.⑴()()()(){}0,3,1,2,2,1,3,0;⑵{}0,1,2,,3;9.a =32-或47-. 10.{}3,2,1,0,1,2,3A =---;{}1,0,3,8B =-;()()()()()()(){}3,8,2,3,1,0,0,1,1,0,2,3,3,8C =----状元智慧树（思维导图）：课后作业一、选择题：1.下列说法中正确的是（）A ．2008年北京奥运会的所有比赛项目组成一个集合B ．某个班年龄较小的学生组成一个集合C ．1、2、3组成的集合与2、1、3组成的集合是不同的两个集合 D.{1,0,5,1,2,5}组成的集合有四个元素2.下列说法中①集合N 与集合N +是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素。

其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.下列条件中，能构成集合的是（） A ．世界著名的化学家B ．在数轴上与原点非常接近的点C ．所有的等腰三角形D ．全年级成绩优秀的学生4.由实数x ，-x ，|x|，2x ，33x -所组成的集合，最多含（）A. 2个元素B. 3个元素C. 4个元素D. 5个元素 5.若{}x x 122+∈，，则x 的值为（）A. -2B. 1C. 1或-2D. -1或26.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形7. 设a 、b 、c 是非零的实数，则=+++a b c abc y |a||b||c||abc|的值所组成的集合为（）A.{4}B.{4,4}-C.{4,4,0}-D.{0,4} 二、填空题： 8.用符号“∈”，“∉”填空 ① 0N ，-1N ，3N ，21N ②31-Z ，2Q ，πQ ③ 5Z ，-11Q ，5-R9.集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合？集合{1,2}与集合{(2,1)}是否表示同一集合？（填“是”或“不是”）10.对于集合{2,4,6}A =，若a A ∈，则6a A -∈，那么a 的值是三．解答题11.由0,1,4组成的集合用A 表示，由1，4，(1)x x -组成的集合用B 表示，已知集合A=B ，求x 。

集合全章讲义

第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识）题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（2）好心的人（3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集全集补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合）任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识）题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？（3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？（4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是（A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)．结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识）题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数（B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生（C ）高一年级视力比较好的同学（D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（）（A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。

2020高中数学第1章集合 1.1 集合的含义及其表示(第2课时)集合的表示讲义 1

第2课时集合的表示学习目标核心素养1。

掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．（重点、难点）2。

通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

3。

了解集合相等的概念，并能用于解决问题．（重点）4.了解集合的不同的分类方法.通过学习本节内容培养学生的数学运算、逻辑推理的核心素养。

1．集合的表示方法表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{｝”内｛a1，a2，…，a n，…｝描述法将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来｛x|p(x）}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合2.集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“｛｝”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．4．集合相等如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素）,那么称这两个集合相等．5．描述法将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x｜p(x)｝的形式．6．集合的三种表示方法（1)Venn图法表示集合用一条封闭曲线的内部来表示集合的方法叫做Venn图法．(2）三种表示方法的关系一个集合可以采用不同的表示方法表示，即集合的表示方法不唯一．1．思考辨析（正确的打“√”,错误的打“×”)（1)由1,1,2，3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2，3}．( )（2）集合｛(1，2)}中的元素是1和2. ( )（3）集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝｛1｝相等．（)[答案］(1)×（2)×（3)√[提示] (1）×.由集合元素的互异性知错．（2）×.集合{(1，2)｝中的元素为有序实数对（1,2）．(3）√。

集合的含义及其表示课件(新)

交集
对于任意两个集合A和B，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记作A∩B。
补集
对于任意集合A和全集U，由所有属于U但不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作∁UA。
差集
对于任意两个集合A和B，由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为A和B的差集，记作A-B。
集合的基本定理
举例
由数1，2，3，4组成的集合可表示为{1, 2, 3, 4}。
注意事项
元素间用逗号隔开，且元素不重复。
描述法表示集合
定义
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
举例
由所有大于0小于5的整数组成的集合可表示为{x | 0 < x < 5, x ∈ ℤ}。
注意事项
描述法表示集合时，首先要弄清楚集合中元素所具有的特征，再用确定的条件表示出来。
算法设计
许多算法都涉及到对集合的操作，如排序、查找、遍历等。通过对集合的合理运用，可以设计出高效、稳定的算法。
数据库系统
数据库是计算机科学中另一个广泛应用集合的领域。数据库中的表可以看作是一个个的集合，通过对这些集合进行增删改查等操作，可以实现数据的存储和管理。
集合在其他领域的应用
物理学
在物理学中，集合用于描述各种物理现象和规律。例如，量子力学中的态空间就是一个集合，描述了所有可能的状态。
或B包含A，记作A⊆B或B⊇A。
自反性
任何集合都包含于自身，即A⊆A。
传递性
如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。
反对称性
如果A⊆B且B⊆A，则A=B。
集合的相等关系
定义
对于两个集合A和B，如果A包含于B且B包含于A，则称A与B相等，记作A=B。

集合复习讲义

例1．（2009广东卷理）已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A. 3个B. 2个C. 1个D.无穷多个
例2．(2009山东卷理)集合 , ,若 ,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
题型2：集合的性质
随堂练习
1.(广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为（）
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
例9．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
例10．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x| <1}，若A B，求实数a的取值范围。
变式题：解答下述问题：
（Ⅰ）设集合， ,求实数m的取值范围.
（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
5．集合的简单性质：
（1）
（2）
（3）
（4）；
（5）（A∩B）=（ A）∪（ B），（A∪B）=（ A）∩（ B）。
【典例解析】
题型1：集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___

数学必修讲义

高一数学第一章集合一、集合有关概念1.集合的含义：2.集合的中元素的三个特性：3.集合的表示：A={…}有法和法。

如：A={我校的篮球队员}，B={太平洋,大西洋}，C={x?R|x-3>2}★注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R4、集合的分类：(1)有限集含有个元素的集合；(2)无限集含有个元素的集合；(3)空集元素的集合。

例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能：（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

注意：B另外规定：空集是的子集。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA真子集:如果那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)规定:空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有个子集，个真子集性质：如果A?B,B?C,那么AC；如果A?B同时B?A那么AB2．“相等”关系：A=B如：(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”记住这个结论：例1：设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求例2：若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，求m 的值。

例3：已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈,且C B ⊆,求a 的取值范围。

巩固一下：请在30分钟内完成下列各题：1.若集合{},,Ma b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2.下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是（） A ．()()A C B C U I U B ．()()A B A C U I U C ．()()A B B C U I U D ．()A B C U I 4.方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是（）A ．()5,4B ．()4,5-C ．(){}4,5-D ．(){}4,5-。

集合的含义与表示、集合的基本关系讲义

教师辅导讲义2- 3 -P，求a 4- 5 -8．集合{}S a b c =，，中的三个元素a b c 、、是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 a b R∈，，集合9．设{}10ba b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a-等于（） A ．1B．－1C ．2D ．－210．设集合{}012A =，，，{}113B =-，，，若集合(){}|P x y x A y B x y =∈∈≠，，，且，则集合P 中元素个数为（） A ．3个B ．6个C ．9个D ．8个11．集合{}B a b c =，，，{}C a b d =，，，集合A 满足A B ⊆，A C ⊆．则满足条件的集合A 的个数是（） A ．8B ．2C ．4D ．112．设集合1|24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，1|42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，则（） A ．M N = B ．M N ⊆ C ．M N ⊇ D ．M 与N 的关系不确定13．集合{}|03A x x x N =≤<∈且的真子集的个数是（） A ．16B ．8C ．7D ．414．已知全集U R =，则正确表示集合{}101M =-，，和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是（）15．如果集合A 满足{0，2}A ⊆{－1，0，1，2}，则这样的集合A 个数为（）A ．5B ．4C ．3D ．2（二）填空题16．设a b ，都是非零实数，a b aby a b ab=++可能取的值组成的集合是． 17．已知22{12511}A a a a a =-+++，，，且2A -∈，则a 的值为． 18．对于集合{246}A =，，，若a A ∈，则6a A -∈，那么a 的值为． 19．给出下面三个关系式：{}30.5223R Q +∈∉∈，，，，其中正确的个数是． 20．集合{(22)22}M =--，，，，则集合A 中元素的个数是． 21．设A ＝{正方形}，B ＝{平行四边形}，C ＝{四边形}，D ＝{矩形}，E ＝{多边形}，则A 、B 、C 、D 、E 之间的关系6P B⊆，求满足条件的- 7 -8- 9 -10】解：3A -∈∴，1=-或a =1a =-时，32=-．】解：（1）{x ∈N【例5】解法一：∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b ，ab ＝1. 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数．由集合元素的互异性得a ≠1，∴a ＝－1，b ＝0，故20122011a b +＝1．解法二：由A ＝B ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·a ·b ＝a ·a 2·ab ，1＋a ＋b ＝a ＋a 2＋ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab (a 3－1)＝0 ①(a －1)(a ＋b ＋1)＝0 ② 因为集合中的元素互异，所以a ≠0，a ≠1．解方程组得，a ＝－1，b ＝0．故20122011ab +＝1．【例6】解：如图∵A B ⊇，∴a ＋4≤－1或者a ＞5．即a ≤－5或a ＞5．【例7】解：∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a 4}， ∵A ⊇B ，∴－a 4≤－1，即a ≥4，∴a 的取值范围是a ≥4．【例8】解：（1）∵A ＝{2，3，4}，∴x 2－5x ＋9＝3．解得x ＝2或3（2）若2∈B ，则x 2＋ax ＋a ＝2．又B A ⊆，所以x 2－5x ＋9＝3得x ＝2或3，将x ＝2或3分别代入x 2＋ax ＋a ＝2中得a ＝－23或－74．（3）若B ＝C ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ＝1①x 2＋(a ＋1)x －3＝3② ①－②，得x ＝a ＋5．代入①解得a ＝－2或－6．此时x ＝3或－1．【例9】解：因P={x|x 2+x-6=0}={2，-3}，P 成立．}，要Q P 成立，a=31．．∴a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ，∴b a＝－1， ∴a ＝－1，b ＝1，∴b －a ＝2．故选C ．10．D解析：解法一：x ∈A ，对于x 的每一个值，y 都有3个值与之对应，但由于x ≠y ，∴x ＝1，y ＝1，不合题意，故共有3×3－1＝8个．解法二：可用列举法一一列出：P ＝{（0，－1），（0，1），（0，3），（1，－1），（1，3），（2，－1），（2，1），（2，3）}．11．C解析：∵A ⊆B ，A ⊆C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个．即：A ＝∅，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }．12．B解析：解法一：用列举法，令k ＝－2，－1，0，1，2…可得M ＝{…－34，－14，14，34，54…}，N ＝{…0，14，12，34，1…}， ∴M ⊆N ，故选B ．解法二：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14（k ∈Z ），集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24（k ∈Z ），而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M ⊆N ，故选B ．13．C解析：因为0≤x <3，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，即A ＝{0，1，2}，所以A 的真子集个数为23－1＝7．14．B解析：由N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1，0}得，N ⊆M ，选B ．15．C解析：集合A 里必含有元素0和2，且至少含有－1和1中的一个元素，故A ＝{0，2，1}，{0，2，－1}或{0，2，1，－1}．16．{3,1}- 17．32-18．2或4 19．2 20．3 21．A ⊆D ⊆B ⊆C ⊆E 22．M ⊆P解析：P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}＝{x |x ＝（a －2）2＋1，a ∈N *}∵a ∈N * ，∴a －2≥－1，且a －2∈Z ，即a －2∈{－1，0，1，2，…}，而M ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈N *}，∴M ⊆P ．23．∈，∉，，，⊆ 24．A ⊆B ＝C解析：由b 2－13＝c 2＋16，得b ＝c ＋1，∴对任意c ∈Z 有b ＝c ＋1∈Z ．对任意b ∈Z ，有c ＝b －1∈Z ，∴B ＝C ．。

集合讲义

一、集合的含义与表示1、集合与元素的含义(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．2、元素与集合的关系集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性。

3、数的集合称为数集，常用数集及表示符号4．集合常用表示法有列举法和描述法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．5、例题讲解：例1 用列举法表示下列集合：（1）由大于3小于10的整数组成的集合；{4，5，6，7，8，9}（2）方程x2-9=0的解的集合。

{－3，3}例2 用描述法表示下列集合：（1）小于10的所有有理数组成的集合；{x∈Q|x<10}（2）所有偶数组成的集合。

{x|x=2n,n∈z}5．集合的分类(1)有限集：含有限个元素的集合。

(2)无限集：含无限个元素的集。

(3)空集：不含任何元素的集，记作φ。

【达标训练】1、下列所给关系正确的个数是（）A.1B.2C.3D.42、用列举法表示集合{x|x 2-2x+1=0}为（） A.{1,1} B.{1} C.{X=1} D.{X 2-2X+1=0}4、已知集合{x |x (x －1)=0}，那么（）5、下列集合中不是空集的是（）6、7、已知{}21,0,x x ∈，求实数x 的值．【拓展延伸】1、已知集合A={0，1}，B=｛－1，0，a +3｝，且A ⊆B ，则a 等于（） A 、1B 、0C 、－2D 、－32、设A=11,ab a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，B=｛0，1，a ｝，若A=B ，则a =，b =．二、集合的基本关系1、Venn 图为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn 图。

那么集合的表示方法就有3种：描述法，列举法，图象法。

集合的含义与表示知识讲稿

作业
教材Ｐ.11
Ｔ1~4.
判断下列例子能否构成集合
中国的直辖市
√
身材较高的人
×
著名的数学家
×
高一(5)班眼睛很近视的同学 ×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词都不能构成集合
重要数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋或N﹡ : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
• 例3：已知A=｛a-2,2a2+5a,10｝,且 -3∈A，求a。
例4若A=｛x|x=3n+1,n ∈ Z｝, B= ｛x|x=3n+2,n ∈ Z｝ C=｛x|x=6n+3,n ∈ Z｝
(1) 若c ∈ C，问是否有a ∈ A，b ∈ B，使得 c=a+b；（２）对于任意a ∈ A，b ∈ B，是否一定有a+b ∈ C ？并证明你的结论；
(4) 0_______N+
(5) (-0.5)0__∈_____Z (6) 2__∈_____R
集合的分类
有限集：含有限个元素的集合无限集：含无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合
φ
集合的表示方法
1、列举法：无序互异
将集合中的元素一一列举出来，并用花括号{ } 括起来的方法叫做列举法
•元素对于集合的关系
（1）属于(belong to)：如果a是集合A 的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于(not belong to)：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
aA
练一练：用符号“∈”或“ ”
填空：
(1) 3.14__∈_____Q