第二章 光栅图形学

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2.1 直线段的扫描转换算法（中点画线法）
• M为中点，Q为理想直线与x = xp+1的交点，M在Q下 方时应取P2为下一个像素，否则取P1。 • 设直线的两个端点为(X0,Y0)和(X1,Y1)，直线方程为： F (x, y)= ax+ by+ c =0 ;(直线方程隐式表示) • 其中：a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0*y1-x1*y0
d d d
d
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2.1 直线段的扫描转换算法（Bresenham算法)
• 设直线方程为： y= k x+ b ，有 yi 1 yi k ( xi 1 xi ) yi k 其中k=dy/dx，且保证 0<= k <= 1（保证x和y递 增）。 • 设直线起点在象素中心，则有误差d初值d0＝0。 因为（理想点的位置） yi 1 yi k 可知x下标每增加1，d值递增直线的斜率值k，即 d＝d＋k。
这些数学意义上的点在光栅上是无 法绘制的，只能逼近，令误差<0.5
3 2 1 0 1 2 3 4 5
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2.1 直线段的扫描转换算法
顶点（参数） 表示的图形
扫描转换
点阵表示 的图形
用户
光栅显示系统
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2.1 直线段的扫描转换算法（ DDA ）
2.1.1、数值微分法（DDA, digital differential analyzer） • 基本思想
2.1 直线段的扫描转换算法（中点画线法）
• 现在的问题是如何判断M在线的上方还是下方？ • 构造判别式
– d=F(x+1,y+0.5)=a(x+1)+b(y+0.5)+c • 若d<0,M在直线下方，取(x+1,y+1) ;（Q更接近P2）
• 若d>0,M在直线上方，取(x+1,y);
• 若d=0,M在直线上，二者均可；约定取(x+1,y);
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2.1 直线段的扫描转换算法（ DDA ）
• 例：画直线段p(0,0)--P1(5,2)（k=0.4） x int(y+0.5) y+0.5 Line: P0(0, 0)-- P1(5, 0 0 0 +0.5 3 1 0 0.4+0.5 2 2 1 0.8+0.5 1 3 1 1.2+0.5 4 2 1.6+0.5 0 1 2 3 4 5 2 2.0+0.5
• 直线的扫描转换基本思想
– 按直线从起点到终点的顺序，每绘制（转换） 一个点就与原直线比较，根据比较结果决定下 一步的走向，从而一步一步逼近直线。 (|K| <=1)
– 由一个点到下一个点的走向方法有如下三种： • X，Y方向各走一步；在X方向走一步 ； • 在Y方向走一步 ；
•约定一步为一个像素，x每次向右 走1步， 如何确定y的值？
F(x,y)<0
x
图5-4
直线将平面分为三个区域
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2.1 直线段的扫描转换算法（中点画线法）
•基本思想(适于k ≤1的情形；x方向总是+1，y的增量或为 1或是0)： •当前象素点为(xp, yp) 。下一个象素点为P1或P2。 设M=(xp+1, yp+0.5)，为p1与p2之中点，Q为理想直线与 x=xp+1垂线的交点。 将Q与M的y进行比较。 当M在Q的下方， P2 则P2 应为下个象素点； Q M在Q的上方， M 应取P1为下一点。 P=(xp,yp) P1 （原理与DDA的一样， 只是换了个角度，换了个方法） 14
P2 Q M
P=(xp,yp) P1
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2.1 直线段的扫描转换算法（中点画线法）
–在直线上的点 F (x, y)=0; –在直线上方的点 F (x, y)>0; –在直线下方的点 F (x, y)<0;
y F(x,y)=0 F(x,y)>0 x F(x,y)<0 F(x,y)=0 F(x,y)>0 y
• 缺点：
– 每次计算d要做4个加法和两个乘法。 – 对于d的计算换种方法。？？
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2.1 直线段的扫描转换算法（中点画线法）
• 改进的具体实现(d值不需要用公式计算，通过增量计算）
– 在上一步中d>=0，取了(x+1,y)，下一步中d的计算：
d1=F(x+2,y+0.5)=a(x+2)+b(y+0.5)+c=d + a;
x、y实际显 示的像素值 数学意义上的y值 （理想的y值）
2)
5
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直线段的扫描转换算法（ DDA ）
• 特点
–增量算法
–直观、易实现
–浮点数，不利于用硬件实现
• 注意
–上述算法仅适用于k ≤1的情形。在这种情况下， x每增加1,y最多增加1。当|k|>1时，必须把x,y的 地位互换，y每增加1，x增加1/k
–5 当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结 束。
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void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int x, y, dx, dy; float k, e; dx = x1-x0, dy = y1- y0, k=dy/dx; x = x0, y=y0; e= -0.5; for (i=0; idx; i++) { drawpixel (x, y, color); x=x+1，e=e+k; if (e0) { y++, e=e-1;} }}

e初= -0.5，


每走一步有e=e+k。
if (e>0) then e=e-1
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• 算法步骤为：
–1 输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。 –2 计算初始值△x、△y、e=-0.5、x=x0、y=y0。 k= △y/△x –3 绘制点(x,y)。
–4 e更新为e+k，判断e的符号。若e 0，则 (x,y)更新为(x+1,y+1)，同时将e更新为e-1； 否则(x,y)更新为(x+1,y)。
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2.1 直线段的扫描转换算法（ DDA ）
void DDA Line (int x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x； float dx, dy, y, k; dx= x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0; for (x=x0; xx1, x++) putpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+ k;
第二章光栅图形学
（基本图形生成算法）
• 2.1 直线生成算法
• 2.2 圆生成算法
• 2.3 多边形扫描转换
• 2.4 区域填充
• 2.5 线宽与线型 • 2.6 字符 • 2.7 反走样技术
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图形的扫描转换
• 图形的扫描转换或光栅化：确定最佳逼近图形的像 素，并用指定属性写像素的过程。 • 区域填充：确定区域对应的像素集，并用指定的属 性或图案显示之。 • 裁剪：确定一个图形的哪些部分在窗口内，必须显 示；哪些部分在窗口外，不显示的过程。 • 走样：由于显示器的空间分辨率有限，因像素逼近 误差，使图形产生畸变的现象。 • 反走样：用于减少或消除走样的技术。
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2.1 直线段的扫描转换算法
• 直线的扫描转换 – 确定最佳逼近于该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，
对这些象素进行写操作。
• 直线生成算法的要求
–直线要直 –直线的起、终点要准 –直线粗细要均匀 –速度要快
• 几个常用算法
– 数值微分法（DDA） – 中点画线法 – Bresenham算法
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2.1 直线段的扫描转换算法
0 1 2 3 4 5
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2.1 直线段的扫描转换算法（Bresenham算法)
• Bresenham算法最有效的的直线扫描转换算法之一，应用最广 的算法。采用增量计算，通过误差项的符号来确定下一个像 素是当前像素点的右边点是右上点。 • 基本思想:过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线 从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后 根据误差项的符号确定该列象素中与此交点最近的象素。
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2.1 直线段的扫描转换算法（ DDA ）
3 2 1 1 2 3
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2.1 直线段的扫描转换算法（ DDA ）
• 改进： 计算yi+1= kxi+1+B = k xi+ B+ k x = yi+ k x 当x =1: yi+1 = y i+ k • 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；
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2.1 直线段的扫描转换算法（Bresenham算法)
• d≥0.5时，直线与xi＋1列的垂直网格线的交点最接近于当 前象素的右上象素（xi＋1，yi＋1）；右上走一步，同时 取d= d-1，因为考查d的起点上升了1个像素。 • d<0.5时，直线与xi＋1列的垂直网格线的交点近于右方象 素（xi＋1，yi）。水平右走一步。 为方便计算，令e＝d-0.5，e的初值为-0.5，增量为k。 • e≥0时，取当前象素右上象素（xi＋1，yi＋1）； 同时取 e=e-1； • e<0时，更近于右方象素（xi＋1，yi）。
– 在上一步中d<0，取了(x+1,y+1)，下一步中d的计算：
d2=F(x+2,y+1.5)=a(x+2)+b(y+1.5)+c=d +a +b;