北京市石景山区2016届高三数学一模考试试卷理含解析

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝( )A ．[]01， B ．()01， C ．(]01，D ．[)01， 2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．1y x =+ B ．3y x =- C ．1y x =D ．y x x =4．下图给出的是计算111124610+++⋅⋅⋅+的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A ．5i > B ．5i < C ．6i > D ．6i <5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ) A ．8 B ．62 C ．10 D ．82 6．在数列{}n a 中，“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数()sin()(00)2f x A x A =+>><，，πωϕωϕ的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的函数图象的解析式为( ) A ．sin 2y x = B ．2sin(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos 2y x = 8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半 (即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n 的所有不同值的个数为( )A ．4B ．6C ．32D ．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212x y -=的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量x y ，满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于_____． 11．如图，AB 是半圆O 的直径，30BAC ︒∠=，BC 为半圆的切线，且43BC =，则点O 到AC 的距离OD ＝________． 12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s=+⎧⎨=-⎩，(s 为参数)，曲线C 的参数方程为22x t y t =+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____． 13．已知函数2log 0()30xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1 题 第2题 第3 题 第4 题 第5 题 第6 题 第7题 第8 题 得分甲 × × √ × × √ × √ 5 乙 × √ × × √ × √ × 5 丙 √ × √ √ √ × × × 6 丁√×××√×××？丁得了_______________分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin 3cos b A a B =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a c ，的值． 16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S 手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式 分1期 分2期 分3期分4期 分5期频数352510已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X 表示销售一部苹果6S 手机的利润，求X 的分布列及数学期望． 17．（本小题共14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由． 18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <； （Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数k 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1(0)2-，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值． 20．（本小题共13分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（Ⅰ）①前n 项和为2n nS =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由； （Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值； （Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．答案及试题解析1【知识点】集合的运算 【试题解析】因为故答案为：D 【答案】D2【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数故答案为：D【答案】D4【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为判断框内填入的条件是输出的值故答案为：A【答案】A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件故答案为：B【答案】B7【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,过点，又得，，图象向右平移个单位后故答案为：C【答案】C8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值故答案为：B【答案】B9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】几何选讲【试题解析】因为故答案为：3【答案】312【知识点】参数和普通方程互化【试题解析】因为，联立得得，得故答案为：【答案】13【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。

故答案为：【答案】14【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同所以，丁的得分也是6分。

故答案为：6【答案】615【知识点】解斜三角形【试题解析】（Ⅰ），由正弦定理得，在△中，，即，，．（Ⅱ），由正弦定理得，由余弦定理，得，解得，∴．【答案】见解析16【知识点】概率综合【试题解析】（Ⅰ）由题意得，所以，又，所以．（Ⅱ）设事件为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分期付款的概率为，所以．（Ⅲ）记分期付款的期数为，依题意得，，，，，因为可能取得值为元，元，元，并且易知，，，所以的分布列为所以的数学期望【答案】见解析17【知识点】立体几何综合【试题解析】（Ⅰ）证明：连接，与相交于，连接．∵是矩形，∴是的中点．又是的中点，∴∥．∵平面，平面，∴∥平面．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，设是平面的一个法向量，则即令，则，易知是平面的一个法向量，∴，由题意知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．（Ⅲ）假设侧棱上存在一点()，使得平面．则，即∴．∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱上不存在点，使⊥平面．【答案】见解析18【知识点】导数的综合运用【试题解析】解：（Ⅰ），．所以切线方程为．（Ⅱ）令，则，当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以，所以．（Ⅲ）原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则．易知，即在单调递增，所以，所以故在单调递减，所以．综上所述，的最大值为．【答案】见解析19【知识点】椭圆【试题解析】解：（Ⅰ）由已知可得解得，故椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设，，联立方程消去得．当，即时，，．所以，．当时，线段的垂直平分线显然过点因为,所以，当时，取到等号．当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得．由得．又原点到直线的距离为．所以而且，则．所以当，即时，取得最大值．综上，最大值为．【答案】见解析20【知识点】数列综合应用【试题解析】解:（Ⅰ）①∵，作差法可得，当时，；当时，，存在，使得∴数列是“回归数列”．②∵，∴前项和，根据题意∵一定是偶数，∴存在，使得∴数列是“回归数列”．（Ⅱ），根据题意，存在正整数，使得成立即，，，∴，即．（Ⅲ）设等差数列总存在两个回归数列，使得………9分证明如下：数列前项和，时，；时，；时，为正整数，当时，．∴存在正整数，使得，∴是“回归数列”数列前项和存在正整数，使得，∴是“回归数列”，所以结论成立．【答案】见解析。