高中数学课时跟踪训练十七常见函数的导数苏教版选修

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2019-2020学年苏教版高中数学选修1-1同步课堂精练:3.2.1常见函数的导数Word版含答案

2019-2020学年苏教版高中数学选修1-1同步课堂精练:3.2.1常见函数的导数Word版含答案

2019-2020学年苏教版数学精品资料1.若f (x )=3,则f ′(3)=__________.2.已知f (x )=x α,若f ′(-1)=-4,则α等于__________.3.已知f (x )=kx +3,若f ′(2)=3,则k 等于__________.4.已知函数y =x 3的切线的斜率等于 1 ,则这样的切线有__________条.5.曲线341()f x x 在x =1处的切线的倾斜角的正切值为__________.6.函数y =cos x , x ∈ππ,22上切线斜率为12的点是__________.7.函数y =ln x 在点(e,1)处的切线方程为__________.8.设直线y =e 2x +b 是曲线y =e x 的一条切线,则b =__________.9.求下列函数的导数:(1)51y x ;(2)2x y x ;(3)2sin cos 22x xy .10.求证:双曲线xy =k (k ≠0)上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数.参考答案1.答案:0 解析:∵3是常数,∴f′(x)=0,∴f′(3)=0.2.答案:4 解析:∵f′(x)=α·xα-1,∴f′(-1)=α·(-1)α-1=-4,∴α=4.3.答案:3 解析:∵f′(x)=k,∴f′(2)=k=3.∴k=3.4.答案:两解析:设切点为(x0,x03).∵y′=3x2,∴3x02=1,∴3 3x,即切点有两个,故斜率为1的切线有两条.5.答案:34解析:∵f′(x)=(x-34)′=3744x,∴f′(1)=3 4 .而直线倾斜角的正切值就是直线的斜率,由导数的几何意义知,斜率为34,∴正切值为3 4 .6.答案:π3,62解析:设切点为(x0,y0),x0∈ππ,22.∵y′=-sin x,∴-sin x0=12,又∵x0∈ππ,22,∴π6x.当0π6x时,03 2y.∴切点为π3,62.7.答案:x-e y=0 解析:∵y=ln x,∴1y'x,∴在点(e,1)处的切线斜率为1e k,∴切线方程为y-1=1e(x-e),即x-e y=0.8.答案:-e2解析:设切点为(x 0,y 0),则由y ′=e x,∴02e e x =,∴x 0=2,代入y =e x 得y 0=e 2. 又∵y 0=e 2x 0+b ,∴b =e 2-2e 2=-e 2.9.答案:解:(1)∵y =51x =x -5,∴y ′=(x -5)′=-5x -6=65x .(2)∵322x y x x,∴312233()22y'x 'x x . (3)∵y =2sin cos 22xx=sin x ,y ′=(sin x )′=cos x .10.答案:证明:设双曲线上任一点P (x 0,0kx ).∵ky x ,∴2ky'x ,∴当x =x 0时,导数20ky'x ,∴过点P 的切线方程为0200kk y xx x x . 令y =0,则x =2x 0;令x =0,则02kyx .∴三角形的面积S =12|x |·|y |=12|2x 0|·02kx =2|k |(常数),∴问题得证.。

苏教版数学高二- 选修1-1试题 3.2.1常见函数的导数

苏教版数学高二- 选修1-1试题 3.2.1常见函数的导数

3.2.1 常见函数的导数一、填空题1.已知f(x)=1x 3,则f′(1)=________. 【解析】 ∵f(x)=1x 3=x -3,∴f′(x)=-3x -4, ∴f′(1)=-3×1-4=-3.【答案】 -32.函数f(x)=(sin x)′+cos x 的值域是________.【解析】 f(x)=cos x +cos x =2cos x ,∴值域是3.求曲线y =x 3在点(0,0)处的切线方程是________.【解析】 ∵y′=(x 3)′=3x 2,∴k =3×02=0,∴切线方程为y =0.【答案】 y =04.已知f(x)=x α,若f′(-1)=-4,则α=________.【解析】 f′(x)=αx α-1,∴f′(-1)=α·(-1)α-1=-4,∴α=4.【答案】 45.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线f(x)=x 2上的两点,则与直线PQ 平行的曲线y =x 2的切线方程为________.【解析】 k PQ =4-12-(-1)=1,f′(x)=2x ,令2x =1, ∴x =12,∴切点为(12,14),∴切线方程为y -14=x -12,即y =x -14. 【答案】 y =x -146.曲线y =1x和y =x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y =1x ,y =x 2,得交点A 的坐标为(1,1).由y =x 2得y′=2x , ∴y =x 2在点A(1,1)处的切线方程为y -1=2(x -1),即y =2x -1. 由y =1x 得y′=-1x2, ∴y =1x在点A(1,1)处的切线方程为y -1=-(x -1),即y =-x +2. 如图,S △=12×32×1=34. 【答案】 347.设直线y =12x +b 是曲线y =ln x(x>0)的一条切线,则实数b 的值为________. 【解析】 设切点为(x 0,y 0),则y′=1x ,∴1x 0=12,∴x 0=2, ∴y 0=ln 2,∴切点为(2,ln 2),∵切点在切线上,∴ln 2=12×2+b ,∴b =ln 2-1. 【答案】 ln 2-18.函数y =x 2(x >0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k +1,其中k ∈N *,若a 1=16,则a 1+a 3+a 5的值是________.【解析】 由y =x 2(x >0)得,y′=2x ,所以函数y =x 2(x >0)在点(a k ,a k 2)处的切线方程为:y -a k 2=2a k (x -a k ),当y =0时,解得x =a k 2,所以a k +1=a k 2,a 1+a 3+a 5=16+4+1=21. 【答案】 21二、解答题9.已知直线y =kx 是函数y =ln x 的一条切线,试求k 的值.【解】 设切点坐标为(x 0,y 0).∵y =ln x ,∴y′=1x ,∴y′|x =x 0=1x 0=k. ∵点(x 0,y 0)既在直线y =kx 上,也在曲线y =ln x 上,∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0=kx 0,y 0=ln x 0,①② 把k =1x 0代入①式,得y 0=1, 再把y 0=1代入②式,求出x 0=e ,∴k =1x 0=1e.10.求抛物线y =x 2上的点到直线x -y -2=0的最小距离.【解】 法一 依题意知与直线x -y -2=0平行的抛物线y =x 2切线的切点到直线x -y -2=0的距离最小,设切点为(x 0,x 20),∵y′=(x 2)′=2x ,∴2x 0=1,∴x 0=12, ∴切点坐标为(12,14), ∴所求的最小距离d =|12-14-2|2=728. 法二 设点(x ,x 2)是抛物线y =x 2上任意一点,则该点到直线x -y -2=0的距离d =|x -x 2-2|2=|x 2-x +2|2=22|x 2-x +2|=22(x -12)2+728, 当x =12时,d 有最小值728,即所求的最小距离为728. 11.求证:双曲线xy =k(k≠0)上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数.【解】 设双曲线上任一点P(x 0,k x 0), ∵y =k x ,∴y′=-k x 2,∴y′|x =x 0=-k x 02, ∴过点P 的切线方程为y -k x 0=-k x 02(x -x 0), 令y =0,则x =2x 0,令x =0,则y =2k x 0, ∴三角形的面积S =12|x|·|y|=12|2x 0|·|2k x 0|=2|k|(常数),∴问题得证.。

苏教版高中数学选修1-1:常见函数的导数

苏教版高中数学选修1-1:常见函数的导数

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(3)(logax)′=__x_lo_g_a_e_=__x_ln_a___(a>0,
且 a≠1);
(4)(ex)′=_e_x_;
1 (5)(lnx)′=__x_;
(6)(sinx)′=_c_o_s_x_;
(7)(cosx)′=_-__s_in__x_.
问题探究 下面的计算过程正确吗?
(sinπ4)′=cosπ4=
可分解为(x-1)(x2+x-2)=0,解得 x1=1,
x2=-2.
∴ 切 线 3x - y - 2 = 0 与 曲 线 C 的 公 共 点 为 (1,1),(-2,-8),这说明切线与曲线C的 公共点除了切点外,还有另外的点.
【名师点评】 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一,可从本例题得证.
自我挑战1 抛物线y=x2在哪一点处的切线 平行于直线y=4x-5? 解:设切点为(x0,x20), ∵y′=2x,y′|x=x0=2x0=4,∴x0=2.
例1 求下列函数的导数:
(1)y=x x;(2)y=x14;(3)y=5 x3;
(4)y=log2x2-log2x;(5)y=-2sinx2(1-2cos2 x4). 【思路点拨】 熟练掌握导数基本公式,
并灵活运用对数性质及三角变换公式,转化 为基本初等函数的导数.
【解】 (1)y′=(x x)′=(x32)′=32x32-1=32 x. (2)y′=x14′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5=-x45.
导数的运算
常见函数的导数
学习目标 1.能根据定义求函数 y=kx+b,y=c,y
=x,y=x2,y=1x的导数.
2.掌握常见的基本初等函数的导数公式, 并能求简单函数的导数.

高中数学 导数5-7常见函数导数-复合函数的导数教案 苏教版选修2-2

高中数学 导数5-7常见函数导数-复合函数的导数教案 苏教版选修2-2

常见函数的导数0)(='C 1)(-='αααx x 〔α为常数〕)10(ln )(≠>='a a a a a x x ,)10(xlna 1e log x 1)x (log a a ≠>=='a a ,注:当a=e 时,x x e )(e ='x1)(lnx =' cosx )(sinx ='sinx )(cosx -='从上面这一组公式来看,我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

例1、求以下函数导数。

练习:〔1〕5-=xy 〔2〕、xy 4= 〔3〕、x x x y =〔4〕、x y 3log = 〔5〕、)100()1(log 1≠>>-=x a a x ay x ,,, 〔6〕、y=sin(2π+x) (7)y=sin 3π〔8〕、y=cos(2π-x) 〔9〕、y=(1)f '1:求过曲线y=cosx 上点P( ) 的切线的直线方程.2:假设直线y=4x+b 是函数y=x 2图象的切线,求b 以及切点坐标.3.假设直线y=3x+1是曲线y=ax 3的切线,试求a 的值.例2:点P 在函数y=cosx 上,〔0≤x ≤2π〕,在P 处的切线斜率大于0,求点P 的横坐标的取值X 围。

y x b =-+为函数1y x=图象的切线,求b 的值和切点坐标.变式1.求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题:找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)处的切线方程变式3:直线1y x =-,点P 为y=x 2上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短.思考:路灯距地平面8m ,一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速率在地面上行走,从路灯在地平面上射影点C 沿某直线离开路灯,求人影长度的变化速率v 。

四、练习与作业: 1、函数y =的导数是〔 〕A .315xB .325x C .1545x - D .1545x --2、曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为〔 〕3、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________.4.直线12y x b =+能作为以下函数()y f x =图象的切线吗?,假设能,求出切点坐标,假设不能,简述理由。

2018学年高中数学选修1-1课时跟踪检测十七 函数的单调

2018学年高中数学选修1-1课时跟踪检测十七 函数的单调

课时跟踪检测(十七) 函数的单调性与导数层级一 学业水平达标1.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( ) A .y =sin x B .y =x e x C .y =x 3-xD .y =ln x -x解析:选B B 中,y ′=(x e x )′=e x +x e x =e x (x +1)>0在(0,+∞)上恒成立,∴y =x e x 在(0,+∞)上为增函数.对于A 、C 、D 都存在x >0,使y ′<0的情况.2.若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13,+∞ B.⎝⎛⎦⎤-∞,13 C.⎣⎡⎭⎫13,+∞D.⎝⎛⎭⎫-∞,13 解析:选C y ′=3x 2+2x +m ,由条件知y ′≥0在R 上恒成立,∴Δ=4-12m ≤0,∴m ≥13.3.函数y =x 4-2x 2+5的单调递减区间为( ) A .(-∞,-1)和(0,1) B .[-1,0]和[1,+∞) C .[-1,1]D .(-∞,-1]和[1,+∞)解析:选A y ′=4x 3-4x ,令y ′<0,即4x 3-4x <0,解得x <-1或0<x <1,所以函数的单调递减区间为(-∞,-1)和(0,1),故应选A.4.函数y =x ln x 在(0,5)上的单调性是( ) A .单调递增 B .单调递减C .在⎝⎛⎭⎫0, 1e 上单调递减,在⎝⎛⎭⎫1e , 5上单调递增 D .在⎝⎛⎭⎫0, 1e 上单调递增,在⎝⎛⎭⎫1e , 5上单调递减 解析:选C 由已知得函数的定义域为(0,+∞). ∵y ′=ln x +1,令y ′>0,得x >1e .令y ′<0,得x <1e.∴函数y =x ln x 在⎝⎛⎭⎫0, 1e 上单调递减,在⎝⎛⎭⎫1e , 5上单调递增. 5.若函数y =a (x 3-x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫-33,33,则a 的取值范围是( ) A .(0,+∞)B .(-1,0)C .(1,+∞)D .(0,1)解析:选A y ′=a (3x 2-1)=3a ⎝⎛⎭⎫x -33⎝⎛⎭⎫x +33. 当-33<x <33时,⎝⎛⎭⎫x -33⎝⎛⎭⎫x +33<0, 要使y =a (x 3-x )在⎝⎛⎭⎫-33,33上单调递减, 只需y ′<0,即a >0.6.函数f (x )=cos x +32x 的单调递增区间是________.解析:因为f ′(x )=-sin x +32>0,所以f (x )在R 上为增函数.答案:(-∞,+∞)7.若函数y =13ax 3-12ax 2-2ax (a ≠0)在[-1,2]上为增函数,则a ∈________.解析:y ′=ax 2-ax -2a =a (x +1)(x -2)>0, ∵当x ∈(-1,2)时,(x +1)(x -2)<0,∴a <0. 答案:(-∞,0)8.若函数y =-43x 3+ax 有三个单调区间,则a 的取值范围是 .解析:∵y ′=-4x 2+a ,且y 有三个单调区间, ∴方程y ′=-4x 2+a =0有两个不等的实根, ∴Δ=02-4×(-4)×a >0,∴a >0. 答案:(0,+∞)9.已知函数f (x )=13x 3+ax 2+bx ,且f ′(-1)=-4,f ′(1)=0.(1)求a 和b ;(2)试确定函数f (x )的单调区间. 解:(1)∵f (x )=13x 3+ax 2+bx ,∴f ′(x )=x 2+2ax +b ,由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(-1)=-4,f ′(1)=0,得⎩⎪⎨⎪⎧1-2a +b =-4,1+2a +b =0.解得a =1,b =-3. (2)由(1)得f (x )=13x 3+x 2-3x .f ′(x )=x 2+2x -3=(x -1)(x +3). 由f ′(x )>0得x >1或x <-3;由f ′(x )<0得-3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(-∞,-3),(1,+∞),单调递减区间为(-3,1).10.已知a ≥0,函数f (x )=(x 2-2ax )e x .设f (x )在区间[-1,1]上是单调函数,求a 的取值范围.解:f ′(x )=(2x -2a )e x +(x 2-2ax )e x =e x [x 2+2(1-a )x -2a ].令f ′(x )=0,即x 2+2(1-a )x -2a =0. 解得x 1=a -1-1+a 2,x 2=a -1+1+a 2, 令f ′(x )>0,得x >x 2或x <x 1, 令f ′(x )<0,得x 1<x <x 2. ∵a ≥0,∴x 1<-1,x 2≥0.由此可得f (x )在[-1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1,即a -1+1+a 2≥1,解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34,+∞. 层级二 应试能力达标1.已知函数f (x )=x +ln x ,则有( ) A .f (2)<f (e)<f (3) B .f (e)<f (2)<f (3) C .f (3)<f (e)<f (2)D .f (e)<f (3)<f (2)解析:选A 在(0,+∞)内,f ′(x )=12x +1x >0,所以f (x )在(0,+∞)内是增函数,所以有f (2)<f (e)<f (3).2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如图所示,则y =f (x )的图象最有可能的是( )解析:选C 由f ′(x )的图象知,x ∈(-∞,0)时,f ′(x )>0,f (x )为增函数,x ∈(0,2)时,f ′(x )<0,f (x )为减函数,x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )为增函数.只有C 符合题意,故选C.3.(全国Ⅱ卷)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)内单调递增,则k 的取值范围是( )A .(-∞,-2]B .(-∞,-1]C .[2,+∞)D .[1,+∞)解析:选D 因为f (x )=kx -ln x ,所以f ′(x )=k -1x .因为f (x )在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x >1时,f ′(x )=k -1x ≥0恒成立,即k ≥1x 在区间(1,+∞)上恒成立.因为x >1,所以0<1x<1,所以k ≥1.故选D.4.设函数F (x )=f (x )e x是定义在R 上的函数,其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立,则( )A .f (2)>e 2f (0),f (2 016)>e 2 016f (0)B .f (2)<e 2f (0),f (2 016)>e 2 016f (0)C .f (2)<e 2f (0),f (2 016)<e 2 016f (0)D .f (2)>e 2f (0),f (2 016)<e 2 016f (0)解析:选C ∵函数F (x )=f (x )e x 的导数F ′(x )=f ′(x )e x -f (x )e x (e x )2=f ′(x )-f (x )e x <0,∴函数F (x )=f (x )e x是定义在R 上的减函数, ∴F (2)<F (0),即f (2)e 2<f (0)e0,故有f (2)<e 2f (0). 同理可得f (2 016)<e 2 016f (0).故选C.5.已知函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2,则f (x )>2x +4的解集为____________.解析:设g (x )=f (x )-2x -4,则g ′(x )=f ′(x )-2.∵对任意x ∈R ,f ′(x )>2,∴g ′(x )>0. ∴g (x )在R 上为增函数.又g (-1)=f (-1)+2-4=0,∴x >-1时,g (x )>0.∴由f (x )>2x +4,得x >-1. 答案:(-1,+∞)6.若f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是_____________.解析:∵f (x )在(-1,+∞)上为减函数, ∴f ′(x )≤0在(-1,+∞)上恒成立, ∵f ′(x )=-x +b x +2,∴-x +b x +2≤0, ∵b ≤x (x +2)在(-1,+∞)上恒成立, g (x )=x (x +2)=(x +1)2-1,∴g (x )min =-1,∴b ≤-1. 答案:(-∞,-1]7.已知函数f (x )=a ln x -ax -3(a ∈R). (1)求函数f (x )的单调区间;(2)当a =-1时,证明:当x ∈(1,+∞)时,f (x )+2>0. 解:(1)根据题意知,f ′(x )=a (1-x )x(x >0),当a >0时,则当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0,当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )<0,所以f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);同理,当a <0时,f (x )的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当a =0时,f (x )=-3,不是单调函数,无单调区间. (2)证明:当a =-1时,f (x )=-ln x +x -3, 所以f (1)=-2,由(1)知f (x )=-ln x +x -3在(1,+∞)上单调递增, 所以当x ∈(1,+∞)时,f (x )>f (1). 即f (x )>-2,所以f (x )+2>0.8.已知函数f (x )=ax -ae x(a ∈R ,a ≠0). (1)当a =-1时,求函数f (x )的极值;(2)若函数F (x )=f (x )+1没有零点,求实数a 的取值范围. 解:(1)当a =-1时,f (x )=-x +1e x ,f ′(x )=x -2ex . 由f ′(x )=0,得x =2.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以函数f (x )的极小值为f (2)=-1e2,函数f (x )无极大值.(2)F ′(x )=f ′(x )=a e x -(ax -a )e x e 2x =-a (x -2)e x .①当a <0时,F (x ),F ′(x )的变化情况如下表:若使函数F(x)没有零点,当且仅当F(2)=ae2+1>0,解得a>-e2,所以此时-e2<a<0;②当a>0时,F(x),F′(x)的变化情况如下表:当x>2时,F(x)=a(x-1)e x+1>1,当x<2时,令F(x)=a(x-1)e x+1<0,即a(x-1)+e x<0,由于a(x-1)+e x<a(x-1)+e2,令a(x-1)+e2≤0,得x≤1-e2a,即x≤1-e2a时,F(x)<0,所以F(x)总存在零点,综上所述,所求实数a的取值范围是(-e2,0).。

数学苏教选修自主练习:常见函数的导数 含解析

数学苏教选修自主练习:常见函数的导数 含解析

自主广场我夯基 我达标1.f(x)=0的导数是( )A.0B.1C.不存在D.不确定 思路解析:f(x)=0是常数,常数的导数是0.答案:A2.函数y=sinx 的导数为( )A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx 思路解析:由常用函数的导数公式可知(sin x)′=cosx.答案:B 3.y=32x 的导数是( )A.3x 2B.231x C.3132--x D.3132-x 思路解析:∵y=3232x x =,∴y′=(32x )′=311323232--•=•x x . 答案:D4.y=cosx 在x=6π处切线的斜率为( ) A.23 B.23- C.21- D.21 思路解析:216sin|'6-=-==ππx y . 答案:C5.若y=sint 则y′|t=6π等于( )A.1B.-1C.0D.cost思路解析:y′|t=6π=cos6π=1.答案:A 6.y=31x 的导数为_____________. 思路解析:y′=(31x )′=(x -3)′=-3x -4. 答案:-3x -4我综合 我发展7.在曲线y=24x 上求一点P ,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 思路分析:根据导数的几何意义先求出切点的横坐标,再代入方程求出纵坐标.解:设切点坐标为P(x 0,y 0),则0|'x x y ==-8x 0-3=tan135°=-1,即-8x 0-3=-1,∴x 0=2.代入切线方程得y 0=1,∴所求点坐标为P(2,1).8.将石块投入平静的水面,使它产生同心圆波纹,若最外圈波纹半径R 以6 m/s 的速度增大,求在2 s 末被扰动水面面积的增长率.思路分析:本题要求2 s 末被扰动水面面积的增长率,就是要求面积S 对时间t 的导数在t=2 s 时的值,为此需建立面积与时间t 的函数关系式.解:设被扰动水面面积为S 、时间为t,依题意S=πR 2=36πt 2,S′=72πt.所以2 s 末被扰动水面面积的增长率为S′|t=2=144π≈452(m 2).9.一底面半径为r cm,高为h cm 的倒立圆锥容器,若以n cm 3/s 的速度向容器内注水,求液面高度的变化率.思路分析:这是一个实际应用题,可以先求出水面高度关于时间t 的函数关系式.求液面高度的变化率,由导数的物理(几何)意义知,应该等于高度关于时间的导数.解:如下图,设注水t s 时,水面高度为y,此时,水面半径为x,则r x h y =,即y hr x =.∴V 小锥=322233y h r y x •=ππ. ∴32232233r nth r h V y ππ==小锥. ∴水面上升的速度为v=y′t =32322313-•t r nth π.。

高中数学课时跟踪训练十七常见函数的导数苏教版选修7

高中数学课时跟踪训练十七常见函数的导数苏教版选修7

课时跟踪训练(十七) 常见函数的导数1.已知f(x)=1x3,则f′(1)=________.2.给出下列命题:①若y=π,则y′=0;②若y=3x,则y′=3;③若y=1x,则y′=-x2;④若y′=3,则y=3x.其中正确的为________.3.函数f(x)=x a,a∈Q,若f′(-1)=-4,则a的值是________.4.在曲线f(x)=4x2上有一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为________.5.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则k的值等于________.6.已知曲线y=x3,求:(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)过点P(1,0)的曲线的切线方程.7.已知曲线y=1x3在点P(1,1)处的切线与直线m平行,且距离等于10,求直线m的方程.8.直线l 1与曲线y =x 相切于点P ,直线l 2过P 且垂直于l 1且交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于点K ,求KQ 的长.答 案课时跟踪训练(十七)1.解析:f ′(x )=(x -3)′=-3x -4=-3x 4,∴f ′(1)=-3. 答案:-32.解析:由常见函数的导数公式,易知①②正确,③④错误.③中y ′=-12x 3-2,④中y =3x +a (a 为常数).答案:①②3.解析:f ′(x )=axa -1,∴f ′(-1)=a (-1)a -1=-4.∴a =4. 答案:44.解析:f ′(x )=-8x 3.∵曲线在点P 处的切线的倾斜角为135°,∴-8x 3=-tan 135°=-1.∴x 3=8.∴x =2.当x =2时f (2)=1.∴P 点坐标为(2,1).答案:(2,1)5.解析:∵y ′=(ln x )′=1x ,设切点坐标为(x 0,y 0),则切线方程为y -y 0=1x 0(x -x 0).即y =1x 0x +ln x 0-1.由ln x 0-1=0,知x 0=e.∴k =1e. 答案:1e6.解:y ′=3x 2.(1)当x =1时,y ′=3,即在点P (1,1)处的切线的斜率为3,∴切线方程为y -1=3(x -1),即3x -y -2=0.(2)设切点坐标为(x 0,y 0),则过点P 的切线的斜率为3x 20,由直线的点斜式,得切线方程y -x 30=3x 20(x -x 0),即3x 20x -y -2x 30=0.∵P (1,0)在切线上,∴3x 20-2x 30=0.解之得x 0=0或x 0=32. 当x 0=0时,切线方程为y =0. 当x 0=32时,切线方程为27x -4y -27=0. 7.解:∵y ′=-3x4, ∴曲线在P (1,1)处的切线的斜率为k =-3,∴切线方程为y -1=-3(x -1),即3x +y -4=0.设直线m 的方程为3x +y +b =0,由平行线间的距离公式得|b --4|32+1=10, ∴|b +4|=10,∴b =6或b =-14,故所求的直线m 的方程为3x +y +6=0或3x +y -14=0.8.解:如图,设P (x 0,y 0),则kl 1=f ′(x 0)=12 x 0,∵直线l 1与l 2垂直,则kl 2=-2 x 0,∴直线l 2的方程为y -y 0=-2 x 0(x -x 0),∵点P (x 0,y 0)在曲线y =x 上,∴y 0=x 0.在直线l 2的方程中令y =0,则-x 0=-2 x 0(x -x 0).∴x =12+x 0,即x Q =12+x 0. 又x K =x 0,∴|KQ |=x Q -x K =12+x 0-x 0=12.。

苏教版高三数学选修2-2同步课堂精练:1.2.1常见函数的导数

苏教版高三数学选修2-2同步课堂精练:1.2.1常见函数的导数

1.曲线y =11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭处切线的倾斜角为__________. 2.曲线y =f (x )=x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形面积为__________.3.在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C :y =x 3-10x +3上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为__________.4.y =10x 在(1,10)处的切线斜率为__________.5.y =__________.6.已知y =f (x )的图象如图所示,则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是f ′(x A )__________f ′(x B ).7.设曲线6y x=在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a =__________. 8.已知曲线f (x )=x 3.(1)求曲线在(1,1)处的切线方程;(2)求(1)中切线与曲线的交点坐标.9.分别求曲线y =f (x )=x 2的满足下列条件的切线方程:(1)平行于直线y =4x -5;(2)垂直于直线2x -6y +5=0;(3)倾斜角为135°.10.已知f (x )=x 2,g (x )=x 3,求适合f ′(x )+2=g ′(x )的x 值.参考答案1答案:π4 解析:由于y =y'=,于是114f'⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∴曲线在点11,42⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率等于1,倾斜角为π4. 2答案:83解析:由题意知切线的斜率为f ′(1)=3. ∴切线方程为y -1=3(x -1),与x 轴交点为2,03⎛⎫⎪⎝⎭,与直线x =2交点为(2,4), ∴12824233S =-⨯=. 3答案:(-2,15) 解析:y ′=3x 2-10=2⇒x =±2,又点P 在第二象限内,∴x =-2,点P 的坐标为(-2,15).4答案:10ln 10 解析:y ′=10x ln 10,x =1时,y ′=10ln 10,即y =10x在(1,10)处的切线斜率为10ln 10. 5答案:1323x - 6答案:< 解析:由导数的几何意义知,f ′(x A ),f ′(x B )分别为图象中A ,B 两点处切线的斜率.根据图象,知f ′(x A )<f ′(x B ).7答案:32- 解析:26y'x=-, ∴(3,2)处切线斜率为23k =-. ∵ax +y +1=0与该切线垂直, ∴32a =-. 8答案:解:(1)f ′(x )=(x 3)′=3x 2,所以f ′(1)=3.所以曲线在(1,1)处的切线斜率为3.切线方程为y -1=3(x -1),即3x -y -2=0.(2)联立3,320,y x x y ⎧=⎨--=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩或2,8,x y =-⎧⎨=-⎩所以交点坐标为(1,1),(-2,-8). 9答案:解:y ′=f ′(x )=2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点,(1)因为切线与直线y =4x -5平行, 所以2x 0=4,x 0=2,y 0=4,即P (2, 4),切线方程为4x -y -4=0.(2)因为切线与直线2x -6y +5=0垂直, 所以2x 0·13=-1. 解得032x =-,094y =, 即P 39,24⎛⎫- ⎪⎝⎭,切线方程为12x +4y +9=0. (3)因为切线的倾斜角为135°, 所以其斜率为-1,即2x 0=-1. 解得012x =-,014y =, 即P 11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭,切线方程为x +y +14=0. 10答案:解:f ′(x )=2x ,g ′(x )=3x 2.∵f ′(x )+2=g ′(x ),∴2x +2=3x 2,即3x 2-2x -2=0.∴13x =或13x +=.。

高中数学3.2.1常见函数的导数作业苏教版选修1-1

高中数学3.2.1常见函数的导数作业苏教版选修1-1

3.2.1 常见函数的导数[基础达标]1.若函数f (x )=10x,则f ′(1)=________.解析:∵f ′(x )=(10x )′=10x ln 10,∴f ′(1)=10ln 10.答案:10ln 102.给出下列结论: ①若y =1x 3,则y ′=-3x 4;②若y =3x ,则y ′≠133x ; ③若y =1x2,则y ′=-2x -3;④若f (x )=3x ,则f ′(1)=3. 其中正确的序号是________.解析:①y ′=(x -3)′=-3x -4=-3x4,正确. ②y ′=(x 13)′=13x -23=133x2≠133x ,不正确. ③y ′=(x -2)′=-2x -3,正确.④f ′(x )=(3x )′=3,∴f ′(1)=3,正确.答案:①③④3.过曲线y =1x上一点P 的切线的斜率为-4,则点P 的坐标为________. 解析:∵y ′=(x -1)′=-1x2=-4, ∴x 2=14,x =±12. ∴切点坐标为(12,2)或(-12,-2). 答案:(12,2)或(-12,-2) 4.已知f (x )=x a (a ∈Z ),若f ′(-1)=-4,则a 的值等于________.解析:∵f ′(x )=ax a -1∴f ′(-1)=a ·(-1)a -1=-4,∴a =4.答案:45.设正弦曲线y =sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是________.解析:∵y ′=(sin x )′=cos x ∈[-1,1],∴在P 点处的切线l 的斜率k ∈[-1,1],设其倾斜角为α,则-1≤tan α≤1, ∴0≤α≤π4或3π4≤α<π. 答案:[0,π4]∪[3π4,π) 6.函数f (x )=x 3的斜率等于1的切线有________条.解析:∵y ′=3x 2,设切点为(x 0,y 0),则3x 20=1,得x 0=±33,即在点(33,39)和点(-33,-39)处有斜率为1的切线. 答案:27.求下列函数的导数:(1)y =5x 3;(2)y =4x ;(3)y =log 9x ;(4)y =sin 2x +cos 2x ;(5)y =sin(π2+x ). 解:(1)y ′=(x 35)′=35x -25. (2)y ′=4x ln 4=2(ln 2)·4x .(3)y ′=1x ln 9=12x ln 3. (4)∵y =sin 2x +cos 2x =1,∴y ′=1′=0.(5)∵y =sin(π2+x )=cos x ,∴y ′=-sin x . 8.求曲线y =e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积.解:∵f ′(x )=(e x )′=e x ,∴f ′(2)=e 2.∴切线方程为y -e 2=e 2(x -2).令x =0,则y =-e 2,令y =0,则x =1,∴切线与坐标轴交点坐标为(1,0)和(0,-e 2),∴S =12×1×e 2=12e 2. [能力提升]1.曲线y =x 3在点(0,0)处的切线方程是________.解析:∵y ′=(x 3)′=3x 2,∴k =y ′|x =0=0.∴y =x 3在点(0,0)处的切线方程是y =0.答案:y =02.若函数y =f (x )满足f (x -1)=1-2x +x 2,则y ′=f ′(x )=________.解析:∵f (x -1)=1-2x +x 2=(x -1)2,∴f (x )=x 2,∴f ′(x )=(x 2)′=2x .答案:2x3.求函数y =cos x 在点x =-π4处的切线方程. 解:∵y ′=(cos x )′=-sin x ,∴y =cos x 在点x =-π4处的切线斜率k =-sin(-π4)=22, 又当x =-π4时,y =cos(-π4)=22. ∴切点坐标为(-π4,22), 由点斜式得切线方程为y -22=22(x +π4),即x -2y +π4+1=0. 4.已知抛物线y =x 2,直线x -y -2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.解:根据题意可知与直线x -y -2=0平行的抛物线y =x 2的切线,对应的切点到直线x-y -2=0的距离最短,设切点坐标为(x 0,x 20),则切线斜率k =2x 0=1,所以x 0=12,所以切点坐标为(12,14),切点到直线x -y -2=0的距离d =|12-14-2|2=728. 所以抛物线上的点到直线x -y -2=0的最短距离为728.。

高中数学 课时跟踪检测(三)常见函数的导数 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题

高中数学 课时跟踪检测(三)常见函数的导数 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题

课时跟踪检测(三)常见函数的导数[课下梯度提能]一、基本能力达标1.下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′=3xlog 3e ;②(log 2x )′=1x ln 2;③(e x )′=e x; ④⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′=x ;⑤(cos x )′=-sin x .A .1B .2C .3D .4解析:选C (3x)′=3xln 3,⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′=-1x (ln x )2,正确的为②③⑤,共3个.故选C.2.若指数函数f (x )=a x(a >0,a ≠1)满足f ′(1)=ln 27,则f ′(-1)=( ) A .2 B .ln 3 C.ln 33D .-ln 3 解析:选C f ′(x )=a x ln a ,由f ′(1)=a ln a =ln 27, 解得a =3,则f ′(x )=3xln 3,故f ′(-1)=ln 33.3. 曲线y =13x 3在x =1处切线的倾斜角为( )A .1B .-π4C.π4D.5π4解析:选C ∵y ′=x 2,∴y ′|x =1=1, ∴切线的倾斜角α满足tan α=1, ∵0≤α<π,∴α=π4.4.如图,函数y =f (x )的图象在点P (2,y )处的切线是l ,则f (2)+f ′(2)等于( )A .-4B .3C .-2D .1解析:选D 由图象可得函数y =f (x )的图象在点P 处的切线是l ,与x 轴交于点(4,0),与y 轴交于点(0,4),则可知l :x +y =4,∴f (2)=2,f ′(2)=-1,∴f (2)+f ′(2)=1,故选D.5.若直线y =12x +b 是曲线y =ln x (x >0)的一条切线,则实数b 的值为( )A .2B .ln 2+1C .ln 2-1D .ln 2解析:选C ∵y =ln x 的导数y ′=1x,∴令1x =12,得x =2,∴切点为(2,ln 2).代入直线y =12x +b ,得b =ln 2-1.6.(2019·某某高考)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是________.解析:设A (m ,n ),由y =ln x ,得y ′=1x ,∴y ′|x =m =1m,则曲线y =ln x 在点A 处的切线方程y -n =1m(x -m ).又∵切线过点(-e ,-1),∴n +1=1m(m +e).又n =ln m ,解得m =e ,n =1. ∴点A 的坐标为(e,1). 答案:(e,1) 7.函数f (x )=mx2m +n的导数为f ′(x )=4x 3,则m +n =________.解析:f ′(x )=m ·(2m +n )x2m +n -1.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (2m +n )=4,2m +n -1=3.解得m =1,n =2.故m +n =3. 答案:38.若f (x )=x 2,g (x )=x 3,则满足f ′(x )+1=g ′(x )的x 值为________. 解析:由导数的公式知,f ′(x )=2x ,g ′(x )=3x 2. 因为f ′(x )+1=g ′(x ),所以2x +1=3x 2, 即3x 2-2x -1=0,解得x =1或x =-13.答案:1或-139.求下列函数的导数.(1)y =lg 2;(2)y =2x;(3)y =x 2x;(4)y =2cos 2x 2-1.解:(1)y ′=(lg 2)′=0. (2)y ′=(2x )′=2xln 2. (3)y ′=(x 32)′=32x 12.(4)∵y =2cos 2x2-1=cos x , ∴y ′=(cos x )′=-sin x .10.已知点P (-1,1),点Q (2,4)是曲线y =x 2上的两点,求与直线PQ 平行的曲线y =x 2的切线方程.解:∵y ′=(x 2)′=2x ,设切点为M (x 0,y 0),则当x =x 0时,y ′=2x 0. 又∵PQ 的斜率为k =4-12+1=1,而切线平行于PQ ,∴k =2x 0=1, 即x 0=12,所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14, ∴所求的切线方程为y -14=x -12,即4x -4y -1=0. 二、综合能力提升 1.设曲线y =xn +1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n +1 C.nn +1D .1解析:选B 对y =x n +1(n ∈N *)求导得y ′=(n +1)x n. 令x =1,得在点(1,1)处的切线的斜率k =n +1,∴在点(1,1)处的切线方程为y -1=(n +1)(x n -1).令y =0,得x n =nn +1,∴x 1·x 2·…·x n =12×23×34×…×n -1n ×n n +1=1n +1, 故选B.2.若曲线y =a ln x (a ≠0)与曲线y =12ex 2在它们的公共点P (s ,t )处具有公共切线,则s t=________.解析:曲线y =a ln x 的导数为y ′=a x ,在P (s ,t )处的斜率为k =a s ,曲线y =12e x 2的导数为y ′=x e ,在P (s ,t )处的斜率为k =s e .由曲线y =a ln x (a ≠0)与曲线y =12e x 2在它们的公共点P (s ,t )处具有公共切线,可得a s =s e ,并且t =s22e =a ln s ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a s =se ,s22e =a ln s ,解得ln s =12,所以s 2=e.则a =1,所以s t =e ln e=2 e.答案:2 e3.已知曲线方程为y =f (x )=x 2,求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程. 解:设切点P 的坐标为(x 0,x 20).∵y =x 2,∴y ′=2x ,∴k =f ′(x 0)=2x 0, ∴切线方程为y -x 20=2x 0(x -x 0).将点B (3,5)代入上式,得5-x 20=2x 0(3-x 0), 即x 20-6x 0+5=0,∴(x 0-1)(x 0-5)=0, ∴x 0=1或x 0=5,∴切点坐标为(1,1)或(5,25),故所求切线方程为y -1=2(x -1)或y -25=10(x -5), 即2x -y -1=0或10x -y -25=0.4.已知曲线f (x )=e x,试在曲线上求点P ,使其到直线y =x 的距离最短,并求其最短距离.解:根据题意设平行于直线y =x 的直线与曲线y =e x相切于点(x 0,y 0),该切点即为与y =x 距离最近的点,如图.则在点(x 0,y 0)处的切线斜率为1,即y ′|x =x 0=1. ∵y ′=(e x)′=e x, ∴e x 0=1,得x 0=0, 因此y 0=1.∴切点P (0,1). 由点到直线的距离公式, 得d =|0-1|12+(-1)2=22.2 2.∴点P为(0,1),且点P到直线y=x的最小距离为。

2019-2020学年苏教版数学选修【1-1】导学检测案:3.2.1常见函数的导数(1)

2019-2020学年苏教版数学选修【1-1】导学检测案:3.2.1常见函数的导数(1)

2019-2020学年苏教版数学精品资料课题:课题:3.2.1常见函数的导数(1)姓名:一、学习目标1. 能由导数的定义三个步骤推导如ykx b 、y c 、y x 、2yx 、1yx等最简单函数的导数公式。

2. 熟记幂函数、指数对数函数、正弦余弦函数的导数公式。

3. 初步会利用导数公式求简单函数的导数。

来源:]二、课前预习1. 导数的定义:,。

导数的几何意义。

2. 求函数的导数的基本步骤是什么?并画出流程图来源:]来源:]3. 求下面两个函数的导数(1)2yx ;(2)2y x三、课堂研讨例1:求函数()f x kx b 的导函数来源:]几个常见函数的导数的求导公式:①②③④展示:基本初等函数的导数公式①幂函数②指数函数③对数函数④正弦函数、余函数例2:利用求导公式求下列函数导数①5y x ;②23y x ;③5y x ;④4ty ;⑤3logn m;⑥y x x ;⑦sin3y;⑧sin()2yx 例3:①已知3y x ,求(2)f ;②已知13xy ,求(0)f ;③已知cos(2)yx ,求()3f 四、学后反思课堂检测:课题:3.2.1常见函数导数(1)姓名:1. 默写求导公式2. 求下列函数的导数①4y;②3y x ;③31yx;④35yx⑤cos()2yx ;⑥6xy;⑦ln y x ;⑧12log yx3. 已知()af x x 且(1)4f ,求实数a 的值。

课外训练:常见函数导数(1)姓名:1. 利用定义推导y x的导数2. 求下列函数的导数①4y t;y x;②y t(t为常数);③sin()④10xy;⑤2y xlogy x在点R(1,1)的切线方程3. 求曲线3。

苏教版数学高二-选修1-1训练常见函数的导数

苏教版数学高二-选修1-1训练常见函数的导数

3.2.1 常见函数的导数课时目标 1.理解各个公式的证明过程,进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数.1.几个常用函数的导数:(kx +b)′=______;C ′=______ (C 为常数);x ′=______; (x 2)′=______;⎝⎛⎭⎫1x ′=________. 2.基本初等函数的导数公式:(x α)′=________(α为常数)(a x )′=________ (a>0,且a ≠1)(log a x)′=1xlog a e =________ (a>0,且a ≠1) (e x )′=________(ln x)′=________(sin x)′=________(cos x)′=________一、填空题1.下列结论不正确的是________.(填序号)①若y =3,则y ′=0;②若y =1x,则y ′=-12x ; ③若y =-x ,则y ′=-12x; ④若y =3x ,则y ′=3.2.下列结论:①(cos x)′=sin x ;②⎝⎛⎭⎫sin π3′=cos π3;③若y =1x 2,则f ′(3)=-227.其中正确的有______个.3.设f 0(x)=sin x ,f 1(x)=f ′0(x),f 2(x)=f ′1(x),…,f n +1(x)=f ′n (x),n ∈N ,则f 2 010(x )=________.4.已知曲线y =x 3在点P 处的切线斜率为k ,则当k =3时的P 点坐标为______________.5.质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s =5t ,则质点在t =4时的速度为_________.6.若函数y =f (x )满足f (x -1)=1-2x +x 2,则y ′=f ′(x )=________.7.曲线y =cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6,32处的切线方程为__________________. 8.曲线y =x 2上切线倾斜角为π4的点是__________. 二、解答题9.求下列函数的导数.(1)y =log 4x 3-log 4x 2;(2)y =2x 2+1x-2x ; (3)y =-2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4-1.10.已知曲线y =x 2上有两点A (1,1),B (2,4).求:(1)割线AB 的斜率k AB ;(2)在[1,1+Δx ]内的平均变化率;(3)点A 处的切线斜率k AT ;(4)点A 处的切线方程.能力提升11.若曲线f (x )=ax 5+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围为__________.12.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p (单位:元)与时间t (单位:年)有如下函数关系:p (t )=p 0(1+5%)t ,其中p 0为t =0时的物价,假定某种商品的p 0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?(注ln 1.05≈0.05,精确到0.01)1.求函数的导数,可以利用导数的定义,也可以直接使用基本初等函数的导数公式.2.对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决.§3.2 导数的运算3.2.1 常见函数的导数知识梳理1.k 0 1 2x -1x 2 2.1.②解析 y ′=⎝⎛⎭⎫1x ′=(x -12)′=-1232x - =-12x x. 2.1解析 直接利用导数公式.因为(cos x )′=-sin x ,所以①错误;sin π3=32,而⎝⎛⎭⎫32′=0,所以②错误; ⎝⎛⎭⎫1x 2′=(x -2)′=-2x -3,则f ′(3)=-227, 所以③正确.3.-sin x解析 f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f ′0(x )=cos x , f 2(x )=f ′1(x )=-sin x ,f 3(x )=f ′2(x )=-cos x ,f 4(x )=f ′3(x )=sin x ,….由此继续求导下去,发现四个一循环,从0到2 010共2 011个数,2 011=4×502+3,所以f 2 010(x )=f 2(x )=-sin x .4.(-1,-1)或(1,1)解析 y ′=3x 2,∵k =3,∴3x 2=3,∴x =±1,则P 点坐标为(-1,-1)或(1,1).5.110523解析 s ′=155t4. 当t =4时,s ′=15·1544=110523. 6.2x解析 ∵f (x -1)=1-2x +x 2=(x -1)2,∴f (x )=x 2,f ′(x )=2x .7.x +2y -3-π6=0 解析 ∵y ′=(cos x )′=-sin x ,∴k =-sin π6=-12, ∴在点A 处的切线方程为y -32=-12⎝⎛⎭⎫x -π6, 即x +2y -3-π6=0. 8.⎝⎛⎭⎫12,14解析 设切点坐标为(x 0,x 20),则tan π4=f ′(x 0)=2x 0,∴x 0=12. ∴所求点为⎝⎛⎭⎫12,14.9.解 (1)∵y =log 4x 3-log 4x 2=log 4x ,∴y ′=(log 4x )′=1x ln 4. (2)∵y =2x 2+1x -2x =2x 2+1-2x 2x =1x. ∴y ′=⎝⎛⎭⎫1x ′=-1x 2. (3)∵y =-2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4-1 =2sin x 2⎝⎛⎭⎫1-2sin 2 x 4 =2sin x 2cos x 2=sin x . ∴y ′=(sin x )′=cos x .10.解 (1)k AB =4-12-1=3. (2)平均变化率Δy Δx =(1+Δx )2-1Δx=2Δx +(Δx )2Δx=2+Δx . (3)y ′=2x ,∴k =f ′(1)=2,即点A 处的切线斜率为k AT =2.(4)点A 处的切线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.11.(-∞,0)解析 ∵f ′(x )=5ax 4+1x,x ∈(0,+∞), ∴由题知5ax 4+1x=0在(0,+∞)上有解. 即a =-15x5在(0,+∞)上有解. ∵x ∈(0,+∞),∴-15x5∈(-∞,0).∴a ∈(-∞,0).12.解∵p0=1,∴p(t)=(1+5%)t=1.05t.根据基本初等函数的导数公式表,有p′(t)=(1.05t)′=1.05t·ln 1.05.∴p′(10)=1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年).因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.。

高二数学苏教版选修讲义:常见函数的导数含解析

高二数学苏教版选修讲义:常见函数的导数含解析

_1.2导数的运算1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )=c ,(2)f (x )=x ,(3)f (x )=x 2, (4)f (x )=1x,(5)f (x )=x .问题1:函数f (x )=x 的导数是什么? 提示:∵Δy Δx =f (x +Δx )-f (x )Δx =x +Δx -xΔx =1,∴当Δx →0时,ΔyΔx →1,即x ′=1.问题2:函数f (x )=1x 的导数是什么?提示:∵Δy Δx =f (x +Δx )-f (x )Δx =1x +Δx -1xΔx=x -(x +Δx )x (x +Δx )Δx =-1x 2+x ·Δx,∴当Δx →0时,Δy Δx→-1x 2,即⎝⎛⎭⎫1x ′=-1x 2.1.(kx +b )′=k (k ,b 为常数); 2.C ′=0(C 为常数); 3.(x )′=1; 4.(x 2)′=2x ; 5.(x 3)′=3x 2; 6.⎝⎛⎭⎫1x ′=-1x 2; 7.(x )′=12x.1.(x α)′=αx α-1(α为常数);2.(a x )′=a x ln_a (a >0,且a ≠1);3.(log a x )′=1x log a e =1x ln a (a >0,且a ≠1);4.(e x )′=e x ; 5.(ln x )′=1x ;6.(sin x )′=cos_x ; 7.(cos x )′=-sin_x .函数f (x )=log a x 的导数公式为f ′(x )=(log a x )′=1x ln a ,当a =e 时,上述公式就变形为(ln x )′=1x ,即f (x )=ln x 是函数f (x )=log a x 当a =e 时的特殊情况.类似地,还有f (x )=a x与f (x )=e x .[对应学生用书P7][例1] (1)y =x 8; (2)y =1x 3;(3)y =x x ; (4)y =log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数,再利用公式求导. [精解详析] (1)y ′=(x 8)′=8x 7; (2)y ′=⎝⎛⎭⎫1x 3′=(x -3)′=-3·x -4=-3x 4; (3)y ′=(x x )′=(x 32)′=32·x 12=3x2;(4)y ′=(log 2x )′=1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时应根据所给函数的特征,恰当地选择求导公式,有时需将题中函数的结构进行调整,如根式、分式转化为指数式,利用幂函数的求导公式求导.1.函数y =sin ⎝⎛⎭⎫π2-x 的导数是________. 解析:y =sin ⎝⎛⎭⎫π2-x =cos x ,所以y ′=-sin x . 答案:-sin x2.下列结论中不正确的是________. ①若y =3,则y ′=0; ②⎝⎛⎭⎫sin π3′=cos π3; ③⎝⎛⎭⎫-1x ′=12x x; ④若y =x ,则y ′=1.解析:①正确;②sin π3=32,而(32)′=0,不正确;对于③,⎝⎛⎭⎫-1x ′=(-x -12)′=12x -32=12x x,正确;④正确. 答案:②3.求下列函数的导函数. (1)y =10x ;(2)y =log 12x ;(3)y =4x 3;(4)y =⎝⎛⎭⎫sin x 2+cos x 22-1. 解:(1)y ′=(10x )′=10x ln 10; (2)y ′=(log 12x )′=1x ln12=-1x ln 2;(3)∵y =4x 3=x 34,∴y ′=(x 34)′=34x -14=344x ;(4)∵y =(sin x 2+cos x2)2-1=sin 2x 2+2sin x 2cos x 2+cos 2x2-1=sin x ,∴y ′=(sin x )′=cos x .[例2] 求函数f (x )=16x 5在x =1处的导数.[思路点拨] 先求导函数,再求导数值.[精解详析] ∵f (x )=16x 5=x -56,∴f ′(x )=⎝⎛⎭⎫x -56′=⎝⎛⎭⎫-56x -116, ∴f ′(1)=-56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简,然后求导,最后将变量的值代入导函数便可求解.4.若函数f (x )=3x ,则f ′(1)=________. 解析:∵f ′(x )=(3x )′=(x 13)′=13x -23,∴f ′(1)=13.答案:135.若函数f (x )=sin x ,则f ′(6π)=________. 解析:∵f ′(x )=(sin x )′=cos x . ∴f ′(6π)=cos 6π=1. 答案:1 6.已知f (x )=1nx 且f ′(1)=-12,求n .解:f ′(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ′=(x -1n )′=-1n x -1n -1=-1n x -n +1n ,∴f ′(1)=-1n,由f ′(1)=-12得-1n =-12,得n =2.[例3] (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程; (2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程.[思路点拨] (1)点A 在曲线上,故直接求导数,再求直线方程;(2)B 点不在曲线上,故解答本题需先设出切点坐标,再利用导数的几何意义求出斜率,进而求出切点坐标,得到切线的方程.[精解详析] (1)y ′=2x ,当x =1时,y ′=2,故过点A (1,1)的切线方程为y -1=2(x-1),即2x -y -1=0.(2)∵B (3,5)不在曲线y =x 2上,∴可设过B (3,5)与曲线y =x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0,y 0). ∵y ′=2x ,∴当x =x 0时,y ′=2x 0.故切线方程为y -x 20=2x 0(x -x 0). 又∵直线过B (3,5)点, ∴5-x 20=2x 0(3-x 0). 即x 20-6x 0+5=0. 解得x 0=1或x 0=5.故切线方程为2x -y -1=0或10x -y -25=0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一,有两种情况: ①求曲线在点P 处的切线方程,P 为切点,在曲线上;②求过点P 与曲线相切的直线方程,P 不一定为切点,不一定在曲线上. (2)求曲线上某点(x 0,y 0)处的切线方程的步骤: ①求出f ′(x 0),即切线斜率; ②写出切线的点斜式方程; ③化简切线方程.(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤: ①设出切点坐标为(x 0,y 0);②写出切线方程y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0); ③代入点P 的坐标,求出方程.7.已知直线y =x +a 与曲线y =ln x 相切,则a 的值为________.解析:设切点为P (x 0,y 0),∵y ′=1x ,由题意得1x 0=1,∴x 0=1,∴点P 的坐标为(1,0),把点P 的坐标代入直线y =x +a ,得a =-1.答案:-18.求曲线y =2x 2-1的斜率为4的切线的方程.解:设切点为P (x 0,y 0),y ′=4x ,由题意知,当x =x 0时,y ′=4x 0=4, 所以x 0=1.当x 0=1时, y 0=1,∴切点P 的坐标为(1,1). 故所求切线的方程为y -1=4(x -1),即4x -y -3=0.1.对公式y =x n 的理解:(1)y =x n 中,x 为自变量,n 为常数;(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n -1)次幂的乘积.公式中n ∈Q ,对n ∈R 也成立. 2.在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题:(1)对于公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ,一要注意函数的变化,二要注意符号的变化.(2)对于公式(ln x )′=1x 和(e x )′=e x 很好记,但对于公式(log a x )′=1x log a e 和(a x )′=a x lna 的记忆就较难,特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆.[对应课时跟踪训练(三)]一、填空题1.已知f (x )=x α,若f ′(-1)=-4,则α的值是________. 解析:∵f (x )=x α,∴f ′(x )=αx α-1,∴f ′(-1)=α(-1)α-1=-4.∴α=4. 答案:42.过曲线y =1x 上一点P 的切线的斜率为-4,则点P 的坐标为________.解析:设P (x 0,y 0),则f ′(x 0)=-1x 20=-4.所以x 0=±12,所以P ⎝⎛⎭⎫12,2或P ⎝⎛⎭⎫-12,-2. 答案:⎝⎛⎭⎫12,2或⎝⎛⎭⎫-12,-2 3.已知f (x )=x 2,g (x )=x 3,则适合方程f ′(x )+1=g ′(x )的x 值为________. 解析:由导数公式可知f ′(x )=2x ,g ′(x )=3x 2. 所以2x +1=3x 2,即3x 2-2x -1=0. 解之得x =1或x =-13.答案:1或-134.设函数f (x )=log a x ,f ′(1)=-1,则a =________. 解析:∵f ′(x )=1x ln a ,∴f ′(1)=1ln a=-1.∴ln a =-1,即a =1e .答案:1e5.已知直线y =kx 是曲线y =ln x 的切线,则k 的值等于________. 解析:∵y ′=(ln x )′=1x ,设切点坐标为(x 0,y 0),则切线方程为y -y 0=1x 0(x -x 0).即y =1x 0x +ln x 0-1.由ln x 0-1=0,知x 0=e.∴k =1e .答案:1e二、解答题6.求下列函数的导数. (1)y =lg 2; (2)y =2x ; (3)y =x 2x ;(4)y =2cos 2x2-1.解:(1)y ′=(lg 2)′=0; (2)y ′=(2x )′=2x ln 2; (3)y ′=(x 32)′=32x 12;(4)∵y =2cos 2x2-1=cos x ,∴y ′=(cos x )′=-sin x .7.已知点P (-1,1),点Q (2,4)是曲线y =x 2上的两点,求与直线PQ 平行的曲线y =x 2的切线方程.解:∵y ′=(x 2)′=2x ,设切点为M (x 0,y 0),则当x =x 0时,y ′=2x 0. 又∵PQ 的斜率为k =4-12+1=1,而切线平行于PQ ,∴k =2x 0=1, 即x 0=12,所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12,14, ∴所求的切线方程为y -14=x -12,即4x -4y -1=0.8.求曲线y =1x 和y =x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积.解:由⎩⎪⎨⎪⎧y =1x ,y =x 2解得交点为(1,1).∵y ′=⎝⎛⎭⎫1x ′=-1x 2, ∴曲线y =1x 在(1,1)处的切线方程为y -1=-x +1,即y =-x +2. 又y ′=(x 2)′=2x ,∴曲线y =x 2在(1,1)处的切线方程为 y -1=2(x -1),即y =2x -1.y =-x +2与y =2x -1和x 轴的交点分别为(2,0),⎝⎛⎭⎫12,0. ∴所求面积S =12×1×⎝⎛⎭⎫2-12=34.。

高中数学苏教选修同步训练: 导数的概念 含答案

高中数学苏教选修同步训练: 导数的概念 含答案

1.1 导数的概念 1、已知点1122(,),(,)A x y B x y 在函数()y f x =的图象上,若函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为3,则下面叙述正确的是( )A.曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为6π B.曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3π C.曲线()y f x =的割线AB 的斜率为3-D.曲线()y f x =的割线AB 的斜率为3-2、已知函数f x ()在R 上可导,则0(3)()lin x f x x f x x x →+--△△△△等于( ) A .4f x '() B .3f x '() C .f x '() D .f x '﹣()3、已知函数()f x 满足2(1)f x x x -=-,则()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A.20x y +-=B.30x y -=C.310x y --=D. 20x y -=4、设函数1()(sin cos )2f x x x =-的导函数为'()f x ,则下列结论正确的是( ) A.'()()sin f x f x x +=-B.'()()cos f x f x x +=-C.'()()sin f x f x x -=D.'()()cos f x f x x -=5、已知函数()(R)y f x x =∈的图象过点(1,0),'()f x 为函数()f x 的导函数,为自然对数的底数,若0x >,'()1xf x >下恒成立,则不等式()ln f x x ≤的解集为( )A.1(0,]eB.(0,1]C.(0,e]D.(1,e]6、函数()ln f x x x =( )A.在(0,5)上是增函数B.在(0,5)上是减函数C.在1(0,)e 上是减函数,在1(,5)e上是增函数 D.在1(0,)e 上是增函数,在1(,5)e上是减函数 7、若函数()sin cos f x αα=-,α为常数,则'()f α=( )A .sin αB .sin α-C .sin cos αα+D .2sin α 8、已知()3ln3x f x =+,则()f x '等于( )A .3xB .13ln33x +C .33ln3x x +D .3ln3x 9、给出下列函数: (1) ()()sin 'cos 'y x x =+(2) ()sin 'cos y x x =+(3) ()sin cos 'y x x =+(4) ()()sin 'cos 'y x x =⋅其中值域不是⎡⎣的函数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10、若42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =,则'(1)f -=( )A.-4B.4C.2D.-2 11、已知0'()2f x =,则000(4)()lim h f x h f x h→--=__________. 12、设曲线()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为2,则实数a 的值为 .13、给出下列结论:①(sin )'cos x x =; ②(sin )'cos 33ππ=; ③若21()f x x =,则2'(3)27f =-; ④(2e )'2e x x =; ⑤41(log )'ln 4x x =. 其中正确的有___________个.14、函数e x y x =在其极值点处的切线方程为___________.15、已知函数()22ln R f x x ax bx a b ∈=+-,,.(1)若曲线()y f x =在1x =处的切线为23y x =-,求实数a b ,的值; (2)若0a =,且()2f x ≤-对一切正实数x 恒成立,求实数b 的取值范围;答案以及解析1答案及解析:答案:B解析:函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率就是割线AB 的斜率,所以AB k =割线AB 的倾斜角为3π,选B.2答案及解析:答案:A解析:∵函数f x ()在R 上可导 ∴0(3)()4lin x f x x f x x x→+--=△△△△0(3)()4()(3)()lin x f x x f x x f x x x x x →+--'=+--△△△△△故选A 3答案及解析:答案:C解析:4答案及解析:答案:D 解析:易得1'()(cos sin )2f x x x =+,所以'()()sin ,'()()cos f x f x x f x f x x +=-=,故选D.5答案及解析:答案:B解析:构造函数()()ln (0)g x f x x x =->,则1'()1'()'()0xf x g x f x x x-=-=>, ∴ ()()ln g x f x x =-在(0,)+∞上单调递增,∵ ()ln f x x ≤,∴ ()0(1)g x g ≤=,∴ 01x <≤,故选:B6答案及解析:答案:C解析:由()ln f x x x =,可得1'()ln ln 1f x x x x x =+⋅=+.由'()0f x >,可得1ex >;由'()0f x <,可得10e x <<.所以函数()f x 在1(0,)e 上是减函数,在1(,5)e上是增函数.7答案及解析:答案:A解析:8答案及解析:答案:D解析:由题意结合导数的运算法则有:()()()'3'ln3'3ln303ln3x x x f x =+=+=9答案及解析:答案:C解析:(l) ()()sin 'cos 'cos sin ,y x x x x y ⎡=+=-∈⎣ (2) ()[]sin 'cos 2cos ,2,2y x x x y =+=∈-(3) ()sin cos 'sin sin 0y x x x x =+=-=(4) ()()()111sin 'cos 'cos sin sin 2,,222y x x x x x y ⎡⎤=⋅=⋅-=-∈-⎢⎥⎣⎦10答案及解析:答案:D解析:11答案及解析:答案:-8 解析:000000(4)()(4)()lim 4lim 4h h f x h f x f x h f x h h →→----=--0000()()4lim 4'()8t f x t f x f x t →+-=-=-=-.12答案及解析:答案:3解析:13答案及解析:答案:4解析:因为(sin )'cos x x =,所以①正确;sin 3π==而0=,所以②错误;2321'()()'()'2f x x x x --===-,则2'(3)27f =-,所以③正确;因为(2e )'2e x x =,所以④正确;因为41(log )'ln 4x x =,所以⑤正确.故正确的有4个. 14答案及解析: 答案:1ey =- 解析:∵'(1)e x y x =+,极值点为1x =-,∴切线的斜率1'|0x k y =-==,∴切线方程为1ey =-.15答案及解析:答案:(1)由()22ln f x x ax bx =+-,得222()ax bx f x x -+'=, 因为曲线()y f x =在1x =处的切线为23y x =-, 所以()()11 1222f a b f a b '=-=-,=-+=,解得12a b =,=. (2)因为0a =,所以()2ln )0(f x x bx x ∈∞=-,,+;由()2f x ≤-得2ln 2x bx ≤--,即22ln x b x +≥. 设22ln (),0x g x x x +=>,则22ln ()x g x x'=-,由()0g x '=得1x =. 当01x <<时,()0g x '>,当1x >时,()0g x '<, 则()g x 在(0)1,单调递增,在(1)∞,+单调递减,所以当1x =时,()g x 有最大值()12g =. 于是2b ≥,即实数b 的取值范围为[2)∞,+. 解析:。

苏教数学选修新素养同步练习: 常见函数的导数 应用案巩固提升 含解析

苏教数学选修新素养同步练习:  常见函数的导数 应用案巩固提升 含解析

[A 基础达标]1.给出下列结论: ①(sin x )′=cos x ;②若f (x )=1x 2,则f ′(3)=-227;③(e x )′=e x ; ④(log 4x )′=1x ln 4. 其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个D .4个解析:选D .因为(sin x )′=cos x ,所以①正确;f ′(x )=⎝⎛⎭⎫1x 2′=(x -2)′=-2x -3,则f ′(3)=-227,所以②正确;因为(e x )′=e x ,所以③正确;因为(log 4x )′=1x ln 4,所以④正确.2.若幂函数f (x )=mx α的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14,12,则它在点A 处的切线方程是( ) A .2x -y =0 B .2x +y =0 C .4x -4y +1=0D .4x +4y +1=0解析:选C .因为函数f (x )=mx α为幂函数,所以m =1.又幂函数f (x )=x α的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14,12,所以α=12,所以f (x )=x 12,f ′(x )=12x ,f ′⎝⎛⎭⎫14=1,所以f (x )的图象在点A 处的切线方程为y -12=x -14,即4x -4y +1=0.3.函数f (x )=1x 在x =2和x =3处的导数的大小关系是( )A .f ′(2)<f ′(3)B .f ′(2)>f ′(3)C .f ′(2)=f ′(3)D .不能确定解析:选A .因为f ′(x )=⎝⎛⎭⎫1x ′=-1x 2, 所以f ′(2)=-122=-14,f ′(3)=-132=-19,因为-14<-19,所以f ′(2)<f ′(3),故选A .4.设曲线y =x n +1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·…·x n的值为( )A .1nB .1n +1C .n n +1D .1解析:选B .由题意得x n =n n +1,则x 1·x 2·…·x n =12×23×34×…×n -1n ×n n +1=1n +1,故选B .5.已知点P 在曲线y =2sin x 2cos x2上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A .⎣⎡⎭⎫3π4,πB .⎣⎡⎦⎤-π4,3π4 C .⎣⎡⎦⎤π4,3π4D .⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π 解析:选D .因为y =2sin x 2cos x2=sin x ,所以y ′=cos x ,设P (x 0,y 0).由题意,知切线的斜率存在,则曲线在点P 处的切线的斜率k =tan α=cos x 0,所以-1≤tan α≤1.因为0≤α<π,所以α∈⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π,故选D . 6.函数f (x )=x 3的斜率等于1的切线有________条.解析:因为y ′=3x 2,设切点为(x 0,y 0),则3x 20=1,得x 0=±33,即在点⎝⎛⎭⎫33,39和点⎝⎛⎭⎫-33,-39处有斜率为1的切线.答案:27.已知f (x )=x x x ,则f ′(x )=________. 解析:f (x )=x 78,所以f ′(x )=78x -18=788x .答案:788x8.设f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f ′0(x ),f 2(x )=f ′1(x ),…,f n +1(x )=f ′n (x ),n ∈N ,则f 2 017(x )=________. 解析:由已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=-sin x ,f 3(x )=-cos x ,f 4(x )=sin x ,f 5(x )=cos x ,…依次类推可得,f 2 017(x )=f 1(x )=cos x .答案:cos x9.求下列函数的导数:(1)y =5x 3;(2)y =4x ;(3)y =log 9x ; (4)y =sin 2x +cos 2x ;(5)y =sin ⎝⎛⎭⎫π2+x . 解:(1)y ′=(x 35)′=35x -25.(2)y ′=4x ln 4=2ln 2·4x . (3)y ′=1x ln 9=12x ln 3. (4)因为y =sin 2x +cos 2x =1, 所以y ′=1′=0.(5)因为y =sin ⎝⎛⎭⎫π2+x =cos x , 所以y ′=-sin x .10.已知P 、Q 两点为抛物线x 2=2y 上两点,点P 、Q 的横坐标分别为4,-2,过P 、Q 两点分别作抛物线的切线,两切线相交于点A ,求A 点的坐标.解:因为点P 、Q 的横坐标分别为4,-2,且点P 、Q 都在抛物线上,所以可得P (4,8),Q (-2,2);因为y ′=x ,所以k P A =4,k QA =-2, 联立直线P A 、QA 的直线方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y -8=4(x -4),y -2=-2(x +2),解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-4,即点A 的坐标为(1,-4).[B 能力提升]1.若函数y =f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )A .y =sin xB .y =ln xC .y =e xD .y =x 3解析:选A .设函数y =f (x )的图象上两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则由导数的几何意义可知,点P ,Q 处切线的斜率分别为k 1=f ′(x 1),k 2=f ′(x 2),若函数具有T 性质,则k 1·k 2=f ′(x 1)·f ′(x 2)=-1.对于A 选项,f ′(x )=cos x ,显然k 1·k 2=cos x 1·cos x 2=-1有无数组解,所以该函数具有T 性质;对于B 选项,f ′(x )=1x (x >0),显然k 1·k 2=1x 1·1x 2=-1无解,故该函数不具有T 性质;对于C 选项,f ′(x )=e x >0,显然k 1·k 2=e x 1·e x 2=-1无解,故该函数不具有T 性质;对于D 选项,f ′(x )=3x 2≥0,显然k 1·k =3x 21·3x 22=-1无解,故该函数不具有T 性质.故选A . 2.若曲线y =x -12在点(a ,a -12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=________.解析:因为y =x -12,所以y ′=-12x -32,所以曲线在点(a ,a -12)处的切线斜率k =-12a -32,所以切线方程为y -a -12=-12a -32(x -a ).令x =0得y =32a -12;令y =0得x =3a .因为该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S =12·3a ·32a -12=94a 12=18,所以a =64. 答案:643.求函数y =cos x 在点x =-π4处的切线方程.解:因为y ′=(cos x )′=-sin x ,所以y =cos x 在点x =-π4处的切线斜率k =-sin ⎝⎛⎭⎫-π4=22, 又当x =-π4时,y =cos ⎝⎛⎭⎫-π4=22. 所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫-π4,22,由点斜式得切线方程为y -22=22⎝⎛⎭⎫x +π4, 即x -2y +π4+1=0.4.(选做题)已知抛物线y =x 2,直线x -y -2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离. 解:根据题意可知与直线x -y -2=0平行的抛物线y =x 2的切线对应的切点到直线x -y -2=0的距离最短,设切点坐标为(x 0,x 20),则f ′(x 0)=lim Δx →0 (x 0+Δx )2-x 20Δx=2x 0=1, 所以x 0=12,所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12,14,切点到直线x -y -2=0的距离d =⎪⎪⎪⎪12-14-22=728, 所以抛物线上的点到直线x -y -2=0的最短距离为728.。

苏教版高中数学选修1-1《常见函数的导数》导学案

苏教版高中数学选修1-1《常见函数的导数》导学案

3.2.1 常见函数的导数一、学习目标准确记住基本初等函数的导数公式,并能熟练应用.二、课前预习1、几个常见函数的导数公式(熟记):2、求下列函数的导数(1)1002)(+=x x f (2)3)(x x f = (3)a x x f =)((4)x a x f =)( (5)x e y = (6)x y a log =(7)x y ln = (8)αcos =y3、导数的几何意义:三、课堂探究例1、若直线b x y +=4是函数2x y =图像的一条切线,求b 及其切点坐标例2、若直线13+=x y 是曲线3ax y =的切线,求a 的值.例3、在函数2x y =的图象上求一点,使过此点的切线满足下列条件:(1)平行于直线430xln y -+=(2)垂直于直线|220x yln +-=例4、直线520x y c ++=能作为函数()y f x =的切线吗?若能,求出切点;若不能,简述理由.四、巩固练习1、函数xy 1=的图像在点(2,21)处的切线方程__________ 2.设()sin ,'()f x x f x =则= ,'()3f π= . 3.曲线21y x=在点P (1,1)处的切线方程为 . 4.已知201()log ,'()2ln 2f x x f x ==,则x 0等于 5.给出下面四个命题:①曲线3y x =在原点处没有切线;②若函数()f x x =,则'()0;f x =③速度是动点位移函数s(t) 对时间t 的导数;④函数5y x =的导数值恒非负,其中正确的命题是 .6.求证:双曲线1xy =上任意一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于常数.7.已知直线2240x y y x --==与抛物线相交于A 、B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线弧AOB 上求一点P ,使△PAB 的面积最大.五、课堂总结1.熟记常见函数导数公式2灵活应用导数解决相关问题六、反思总结。

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课时跟踪训练(十七) 常见函数的导数
1.已知f(x)=1
x3,则f′(1)=________. 2.给出下列命题:
①若y=π,则y′=0;②若y=3x,则y′=3;③若y=1
x
,则y′=-
x
2;④若y′=
3,则y=3x.
其中正确的为________.
3.函数f(x)=x a,a∈Q,若f′(-1)=-4,则a的值是________.
4.在曲线f(x)=4
x2上有一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标
为________.
5.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则k的值等于________.6.已知曲线y=x3,求:
(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)过点P(1,0)的曲线的切线方程.
7.已知曲线y=1
x3在点P(1,1)处的切线与直线m平行,且距离等于10,求直线m的方程.
8.直线l1与曲线y=x相切于点P,直线l2过P且垂直于l1且交x轴于Q点,又作PK 垂直于x轴于点K,求KQ的长.
答 案
课时跟踪训练(十七)
1.解析:f ′(x )=(x -3)′=-3x -4=-3x 4,∴f ′(1)=-3. 答案:-3
2.解析:由常见函数的导数公式,易知①②正确,③④错误.③中y ′=-12x 3
-2,④中y =3x +a (a 为常数).
答案:①②
3.解析:f ′(x )=ax a -1,∴f ′(-1)=a (-1)a -1=-4.∴a =4. 答案:4
4.解析:f ′(x )=-8x 3.∵曲线在点P 处的切线的倾斜角为135°,∴-8x 3=-tan 135°=-1.∴x 3=8.∴x =2.当x =2时f (2)=1.∴P 点坐标为(2,1).
答案:(2,1)
5.解析:∵y ′=(ln x )′=1x ,设切点坐标为(x 0,y 0),则切线方程为y -y 0=1x 0
(x -x 0).即y =1x 0x +ln x 0-1.由ln x 0-1=0,知x 0=e.∴k =1e
. 答案:1e
6.解:y ′=3x 2.
(1)当x =1时,y ′=3,即在点P (1,1)处的切线的斜率为3,
∴切线方程为y -1=3(x -1),即3x -y -2=0.
(2)设切点坐标为(x 0,y 0),则过点P 的切线的斜率为3x 20,
由直线的点斜式,得切线方程y -x 30=3x 20(x -x 0),
即3x 20x -y -2x 30=0.
∵P (1,0)在切线上,∴3x 20-2x 30=0.
解之得x 0=0或x 0=32
. 当x 0=0时,切线方程为y =0.
当x 0=32
时,切线方程为27x -4y -27=0.
7.解:∵y ′=-3x 4, ∴曲线在P (1,1)处的切线的斜率为k =-3,
∴切线方程为y -1=-3(x -1),即3x +y -4=0.
设直线m 的方程为3x +y +b =0,由平行线间的距离公式得|b -(-4)|32+1
=10, ∴|b +4|=10,∴b =6或b =-14,
故所求的直线m 的方程为
3x +y +6=0或3x +y -14=0.
8.解:如图,设P (x 0,y 0),则
kl 1=f ′(x 0)=12 x 0,
∵直线l 1与l 2垂直,则
kl 2=-2 x 0,
∴直线l 2的方程为
y -y 0=-2 x 0(x -x 0),
∵点P (x 0,y 0)在曲线y =x 上,
∴y 0=x 0.
在直线l 2的方程中令y =0,
则-x 0=-2 x 0(x -x 0). ∴x =12+x 0,即x Q =12
+x 0. 又x K =x 0,∴|KQ |=x Q -x K =12+x 0-x 0=12.。

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