e是无理数的证明方法

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【数学知识点】无理数的定义和证明方法

有理数是整数和分数的集合。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。

无理数集相当于实数集中有理数集的补集，实数集R，有理数集Q，所以无理数集合符号为CrQ。

以√2为例。证明: √2是无理数

假设√2不是无理数

∴√2是有理

令√2=p/q (p、q互质)

两边平方得：

2=(p/q)^2

即：

2=p^2/q^2

通过移项，得：

2*q^2=p^2

∴p^2必为偶数

∴p必为偶数

令p=2m

则p^2=4m²

∴2q^2=4m^2

化简得：

q^2=2m^2

∴q^2必为偶数

∴q必为偶数

综上，q和p都是偶数

∴q、p互质，且q、p为偶数

矛盾原假设不成立

∴√2为无理数

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

用Mathematica研究自然对数的底数e

用Mathematica 研究自然对数的底数e

作者：陈龙

摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、

π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i e π的关系。本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的

一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。

关键词：Mathematica ，e ，自然对数

一、引言

远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，π的近似值一直取为 3.14或

22()

742851.3 =。通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。

另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。

e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=x

f 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。e 、

π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i

e π的关系。本文主要介绍e 的一些知识以及用

Mathematica

软件来计算e 。二、欧拉数e

考虑数列{}n a ，n a =

无理数的证明方法

一、定义：无理数是无法用有限的整数除法和有限的整数次方来表示的数。

二、无理数的基本性质

1.混合性质：无理数可以加减乘除，得到的也是无理数。

2.传递性质：无理数的加减乘除，传递关系仍然成立。

3.除法性质：除以无理数等于乘以其倒数。

三、无理数的证明方法

1.假设法：

假设某个数是无理数，然后证明它满足无理数的性质。例如假设数a是无理数，则有a*a=a+a，由于a是无理数，所以a+a也是无理数。

2.反证法：

假设数a不是无理数，然后证明它不满足无理数的性质。例如假设数a不是无理数，则有a*a≠a+a。如果a不是无理数，则a*a等于一个有理数，这与a+a等于一个无理数矛盾，所以证明a是无理数。

3.若干等式法：

假设变量a满足若干等式，然后证明它满足无理数的性质。例如假设a满足a*a=a+a，由于a满足此等式，且此等式不能表示有理数，所以a为无理数。

- 1 -

无理数

摘要

在实数系中，无理数和有理数相比较，无理数更为抽象，但它在实数系中是不可缺少的，占着重要的枢纽地位。同时，它也是数系扩充的重要组成部分，即有理数系扩充到实数系。对于无理数证明的研究，一方面，极大地促进了数学演绎推理的发展；另一方面，也体现了数学研究的严谨性。因此，在研究无理数时，对于一些常见无理数的证明是非常重要的。文章首先归纳了方根型无理数的证明方法，然后利用幂级数展开式和定积分的知识论证了一些特殊类型的无理数，最后，验证了，e的超越性，并借助Lindemann-Weierstrass定理证明在一定条件下的代数数的三角函数值与反三角函数值的无理性。

关键词：无理数，有理数，超越数

ABSTRACT

In the real number system, irrational number is more abstract than rational number, but irrational number are indispensable and occupies an important key position in the real number system. Meanwhile, they are an important part when the rational number system is expanded to the real number system. The study of the proof of irrational number greatly promotes the development of mathematical rational deductive inference. At the same time, it also shows the rigorousness of mathematics. Therefore, the proofs of some common irrational numbers are extremely important. Firstly, the article generalizes the methods to prove irrational numbers with root type. Secondly, it uses the knowledge of power series expansion and definite integral to prove some irrational numbers with special types. Finally, the article demonstrates the transcendence of and e. Moreover, it uses Lindemann-Weierstrass theorem to prove the irrationality of trigonometric function value and anti-trigonometric function value under certain conditions.

无理数e的存在性及简单应用

摘要：文章利用均值不等式对数列（）n极限的存在性给出了简单的证明，并从理论上说明了数e的存在性，采用假设的逆向思维对数e的无理性作了讨论；针对数e是自然对数的底数，以e为底可以使许多的式子得以简化的条件，举出了数e的有关简单应用.

关键词：自然对数利息本金双曲线

一、数e的存在性

在数学分析中我们曾学习过利用数列} 的单调有界性证明数e存在性的证明方法，在此采用均值不等式的方法对数e的存在性作以证明。

二、无理数e的应用

1.无理数e在金融数学上的应用

例1，假如有人到银行去存了100元，年利率为5%，到了第一年末，就有105元。如果第二年他又将105元作为本金再存入银行，依次类推到10年后，他便有10010≈162.89元，这是每一年将利息加入到本金一次的结果。现在要以每月、每星期、每一天、每小时…把利息加入到本金一次存入银行，那么，他10年后会是多少？会不会无穷多？

分析：以一年将利息加入到本金，第一年末可得100）。如果以每一月将利息加入到本金一次，那么，第一年末可得100现将一年分为n次，以次为单位将利息加入到本金一次，第一年末可得100），从而10年后可得100）10。

解：设原本金为P0元，利息为R%，将一年分n次将利息加入到本金一次，设原利总和为P，n年后便有：

构造法解题是一种创造性思维活动，其关键是丰富的联想和正确的转化，通过对题设全面分析，从中发现可用的构造的因素，并借助于与之相关的知识构造所求问题的具体形式，或是与其等价的新问题，解出所构造的问题，从而使原问题获得解答。就构造的对象来说，其表现形式是多种多样的，没有完全固定的模式，除了以上介绍的方法外，还有构造集合、构造概率等方法。因此，利用构造法解决中学数学问题，不仅可以培养学生分析问题、解决问题的能力，同时可以培养学生的想象能力和灵感，使学生体会到数学的美妙，更重要的是培养学生的创造性思维，创造性思维对于创新型人才是至关重要的。

极限■的几种证法

ｘｘ２ｘ３
ｘｎ
ｅｘ＝１＋＋＋＋＋＋
１! ２! ３!
ｎ!
若令ｘ＝１ꎬ则:
１１１
１
ｅ＝１＋＋＋＋＋＋
１! ２! ３!
ｎ!
１ｎ
２ｌｉｍ (１＋ ) ＝ｅ的五种证明方法
ｎ→¥
ｎ
１ｎ
数列 (１＋ ) 的极限就是无理数ｅꎮ 这个极限存在性的
ｎ
１ｎ
证明归结为证明数列 (１＋ ) 单增且有上界ꎮ 下面我们介
２
ｎ
２. ５证法５
１ｎ
１１１
１
ｌｉｍ(１＋ ) ＝ｌｉｍ(１＋＋＋＋＋ )＝ｅ
ｎ→¥
ｎ→¥
ｎ
１! ２! ３!
ｎ!
证明:因为
１ｎ
ｘｎ＝ (１＋ )
ｎ
１
１
１
１
２
ｏｕｖｉｌｌｅꎬ１８０９￣１８８２) ꎻ而最早证明ｅ是超越数的是法国数学家厄
米特( Ｈｅｒｍｉｔｅꎬ１８２２￣１９０１) ꎬ他于１８７３年证明了ｅ为超越数ꎮ
１. ２ｅ的计算
确切地讲ꎬ ｅ应称为 “ 自然对数ｌｏｇｅａ的底数” ꎮ 要计算ｅ
值ꎬ可从欧拉的“ 一切函数可展开为无究级数” 的观点出发ꎬ即:
１ｎ＋１

证明e是无理数

关于e是无理数的证明，可以用反证法。如果e是有理数，则可以表示成为两个互质的整数的商，即:e等于p/q，其中p,q都是大于1的正整数。于是p/q等于e等于1加1/1!加1/2!加1/3!加...加1/q!加1/(q加1)!加1/(q加2)!加...将上式整理一下，得到q!(p/q-1-1/1!-1/2!-...-1/q!)等于1/(q加1)加1/((q加1)(q加2))加1/((q加1)(q加2)(q加3))加...很显然，这个式子的左端是一个整数，而对右端的式子，有0<1/(q加1)加1/((q加1)(q加2))加1/((q加1)(q加2)(q加3))加...<等于1/(q加1)加1/((q加1)(q加2))加1/((q加2)(q加3))加...等于1/(q加1)加1/(q加1)-1/(q加2)加1/(q加2)-1/(q加3)-...等于2/(q加1)<1导出矛盾来了，所以e是有无理数。1873年，埃尔米特还证明了，e是超越数，即它不可能是任何整系数多项式方程的根。

e的认识教案教学设计.

一、教学内容

本节课选自初中数学教材《数学》第七章第四节，详细内容为“e

的认识”。通过对本章的学习，学生将了解e的概念、性质及其在数

学中的应用。

二、教学目标

1. 知识与技能：使学生掌握e的定义，理解e的性质，并能运用

e进行简单的数学运算。

2. 过程与方法：通过实例引入e的概念，引导学生探究e的性质，培养学生的观察、分析、归纳能力。

3. 情感、态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探

究精神，使学生体会到数学的实用性和美感。

三、教学难点与重点

重点：e的定义、性质及运用。

难点：理解e的无理数性质，运用e进行数学运算。

四、教具与学具准备

1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、计算器。

五、教学过程

1. 导入：通过讲解自然对数的概念，引入e，激发学生兴趣。

2. 新课导入：展示教材内容，讲解e的定义，引导学生思考e的

特殊性质。

3. 例题讲解：

（1）计算e的近似值。

（2）证明e是无理数。

4. 随堂练习：让学生运用e进行数学运算，巩固所学知识。

5. 小组讨论：引导学生探讨e的性质和应用，培养学生的合作精神。

六、板书设计

1. e的定义：e是一个无限不循环小数，约等于

2.71828。

2. e的性质：

（1）e是无理数。

（2）e的倒数是1/e。

（3）e的n次方等于e的n1次方乘以e。

3. e的运用：

（1）自然对数。

（2）复利计算。

（3）概率论。

七、作业设计

1. 作业题目：

（1）计算e的近似值，精确到小数点后五位。

（2）证明e是无理数。

（3）已知某公司年利率为5%，求一年的本息和（本金为1万元）。

判断无理数的三个方法

无理数也称为无限不循环小数，常见的无理数主要包括以下几种形式：1.含π的数，如：2π等；2.根式，如：√5等；3.函数式，如：lg2，sin1°等。

无理数

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。

e的对数公式证明

我们先来回顾一下自然对数e的定义。自然对数e是一个数学常数，它的数值约为2.71828。e可以通过以下方式定义：e是一个无理数，它的值等于自然对数函数ln(x)中x为1时的函数值。换句话说，e 是满足ln(e) = 1的唯一实数。

接下来，我们来证明e的对数公式。e的对数公式可以写作：

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

其中，ln(x)表示以e为底的对数函数。这个公式的证明可以通过利用指数和对数的关系来完成。

我们首先考虑一个简单的情况，即当x和y都是e的正整数次幂时。假设x = e^a，y = e^b，其中a和b为任意实数。那么根据指数的定义，xy = e^a * e^b = e^(a+b)。我们再来看看对数的定义，ln(xy) = ln(e^(a+b)) = a+b。同时，根据ln(x)的定义，ln(x) = ln(e^a) = a。因此，我们有ln(xy) = ln(x) + ln(y)，这个公式在x 和y都是e的正整数次幂时成立。

接下来，我们考虑一般情况，即x和y为任意正实数。我们可以使用连续函数的性质来推导出一般情况下的e的对数公式。

我们可以使用指数函数的连续性来证明，对于任意实数x，存在一

个数r，满足e^r = x。这个数r被称为x的自然对数。根据这个定义，我们可以得到ln(x) = r。

接下来，我们来证明一般情况下的e的对数公式。假设x和y为任意正实数。根据前面的推导，我们可以将x和y表示为e的自然对数，即x = e^a，y = e^b。那么根据指数的定义，xy = e^a * e^b = e^(a+b)。我们再来看看对数的定义，ln(xy) = ln(e^(a+b)) = a+b。同时，根据ln(x)的定义，ln(x) = ln(e^a) = a，ln(y) = ln(e^b) = b。因此，我们有ln(xy) = ln(x) + ln(y)，这个公式在一般情况下也成立。

纵谈数e的历史与作用

斯蒂费尔的遗憾
斯蒂费尔是德国数学家，厄斯林根地区的新教牧师，后来又在著名的哥尼斯堡大学里担任神学和数学的讲师。
在1544年，他写了一本名叫《整数的算术》的书。在这本书中，他用一一对应的方法几乎建造了一座数学丰碑。斯蒂费尔在书中欣喜地写道：“关于整数的这些奇妙性质，可以写成整本整本的书……”那么，斯蒂费尔发现了整数的什么“奇妙性质”，使他这样惊喜万分呢?
对数的发明者—约翰•纳皮尔
苏格兰数学家、物理学家和天文学家约翰•纳皮尔站在阿基米德、斯蒂费尔这些的巨人的wenku.baidu.com肩膀”上，发明了对数。
富翁依然钟情科学纳皮尔出生在爱丁堡附近的小镇梅尔契斯顿堡一个贵族家庭。他天资聪慧，才思敏捷，从小受家庭的良好熏陶，所以在1563年13岁时就进入圣•安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院(或圣萨尔瓦特学院)学习。1566年，他16岁没毕业时，就在他的舅父、奥克尼的主教博瑟韦尔的支持下，出国到欧洲游历求学，1571年抱志回乡。
亨利•布里格斯
数学家、天文学家布里格斯生于英国约克郡的乌里•乌顿，曾在牛津大学读书。1596年，他在新建成的伦敦格雷沙姆学院光荣担任几何学教授席位——英国第一个数学教授席位，教几何和初等代数。
纳皮尔发明对数的消息很快就传开了，震惊了当时的伦敦数学界。布里格斯专程去访问纳皮尔。纳皮尔死后，年已 55岁的布里格斯继承了双方未竟的宏伟事业，以坚忍不拔的精神，继续研究、改进对数和编制对数表。

判断无理数的四个方法

无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。

方法一：反证法

反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。

方法二：连分数展开法

连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。

方法三：代数证明法

有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

方法四：几何证明法

几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

极限e的证明与求法

极限e是一个很重要的数学概念，它常常出现在高等数学中，是一个代表极限概念的重要数学常量。极限e是一个无理数，它的值接近于2.7182818。本文旨在论述极限e的证明与求法。

极限e的概念最早出现在18世纪，由Leonhard Euler提出。如果我们用公式来定义极限e，可以使用如下公式：

e= lim n→∞ (1 + 1/n)^n

该公式指出，当n无穷大时，极限e就等于(1 + 1/n)^n.因此，通过计算该公式，我们就能得出e的值。

极限e的公式还可以用另一种方式进行定义，即：e= lim x→0 (1 + x)^1/x

该公式指出，当x取到0的极限时，极限e为(1 + x)^1/x.因此，我们也可以通过计算该公式，得出e的值。

要求法求e的值，可以利用牛顿迭代法进行求解，即迭代公式为：Xn+1 = Xn - F(Xn)/F(Xn)

在此，Xn表示极限e的第n次估计值；F(Xn)表示我们要求解的函数；F(Xn)表示F(Xn)在Xn处的导数值。

牛顿迭代法可以让我们快速求出极限e的近似值，当我们在Xn 处求得的值满足某一个精度要求时，我们就可以停止迭代，得出e的值。

除了通过牛顿迭代法求极限e之外，还可以利用Taylor级数求解。Taylor级数首先将极限e定义为e= lim x→0 (1+x)^1/x,然后

将上式代入Taylor级数：e= lim x→0 (1+x)^1/x= 1 + x/2! + x^2/3! + x^3/4! +

通过上式，我们可以将e的值求得极其精确。

另外，我们还可以利用Stirling公式推导极限e：

无理数的认识

02
无理数在数学中广泛应用，理解无理数有助于学生解决实际问题，提高数学应用能力。
03
04
无理数是数学思维的重要体现，理解无理数有助于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
无理数在数学教育中具有重要意义，理解无理数有助于学生认识数学的严谨性和科学性，提高数学素养。
无理数与音乐节奏：无理数可以表示音乐节奏，如黄金分割比例
02
无理数与音乐和声：无理数可以表示音乐和声，如毕达哥拉斯音程
03
无理数与音乐创作：音乐家利用无理数进行音乐创作，如巴赫的《哥德堡变奏曲》
04
无理数与音乐欣赏：音乐欣赏中，无理数可以带来独特的审美体验，如数学与音乐的结合
无限不循环：无理数是无限不循环的小数，无法用分数表示。
不可度量：无理数无法用尺子等工具精确度量。
存在性：无理数在数轴上存在，且数量无限。
运算性质：无理数可以进行四则运算，且结果仍为无理数。
01 有理数是可以表示为两个整
数之比的数，无理数则不能
有理数是有限小数或无限循
02 环小数，无理数是无限不循
01
π：圆周率，与自然界中的圆形、球体等形状息息相关
02
e：自然对数的底数，与自然界中的增长、变化等现象紧密相连
03
04

关于无理数e的证明

证明：e=lim n→∞1+1

1!+1

+⋯+1

证明：考虑数列T n=(1+1

n )n，S n=1+1

+⋯+1

由二项展开，T n=1+1+n(n−1)

2!×n +⋯+n n−1 (1)

×1

=1+1+1−1

n ×1

+⋯+1−1

1−2

…1−n−1

×1

易知T n≤S n，事实上T n2）

同时，T n单调增加，∴当n⟶∞时，T n⟶T 设当n⟶∞时，S n⟶S，∴S≥T

下证S≤T.

设m

A=1+1+1−1

n ×1

+⋯+1−1

1−2

…1−m−1

×1

由于m

令n无限增长而m不变，则A⟶S m，T n⟶T ∴S m≤T，进而S≤T.

∴S=T

而T=lim

n→∞

T n=e，∴S=e.

即lim n→∞1+1

1!+1

+⋯+1

证毕.

数学中最基本的自然常数e的由来，e代表欧拉（Euler）吗？

#微积分#都忘得差不多了吧，还记得圆面积公式、圆周率计算公式怎么推导吗？今天看看一个简单的无理数并且是超越数的自然常数e 是怎么来的。

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日～1783年9月18日）

这个公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。

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欧拉计算出e

•自然常数，符号e

为数学中一个常数，是一个无限不循环小数（无理数），且为超越数，其值约为2.718281828459045。它是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，是数学中最重要的常数之一。

自然常数e来自伯努利的问题，源自古巴比伦人对复利的计算。

假如你有1元钱存在银行里，银行的年利率为100%。那么，在一年后，你的资产将变为(1 1)^1元=2元。如果银行换一种利息计算方式，半年结算一次利息，并且半年利率为50%。那么，在一年后，你的资产将变为(1 0.5)^2元=2.25元。如果是每个月结算一次利息，并且月利率为1/12。那么，在一年后，你的资产将变为(1 1/12)^12元

=2.61元。如果是每天结算一次利息，并且天利率为1/365。那么，在一年后（不考虑闰年），你的资产将变为(1 1/365)^365元=2.71元。