证明一个数是无理数
证明根号3是无理数 反证法
证明根号3是无理数反证法今天咱们来玩一个特别有趣的数学小探索，就是证明根号3是无理数，咱们用一种很奇妙的方法，叫反证法。
什么是无理数呢？无理数就是那些不能写成两个整数相除的数，就像一个调皮的小数字，怎么都不能规规矩矩地用整数的除法表示出来。
那咱们就开始证明根号3是这样调皮的无理数吧。
咱们先假设呀，根号3是有理数。
这是什么意思呢？就是说根号3可以写成一个分数，就像a/b这样，这里的a和b都是整数哦，而且a和b不能再约分了，就像3/4这样，已经是最简的分数形式了。
那按照咱们的假设，根号3 = a/b。
然后呀，咱们把这个等式两边都平方一下，就得到3 = a²/b²，再变一变，就成了a² = 3b²。
这时候咱们来想想这个a²。
a是个整数，那a²就是一个整数乘以自己。
比如说2² = 4，3² = 9，这些整数的平方都有自己的特点呢。
那对于a² = 3b²这个式子，这就说明a²是3的倍数。
那什么样的整数的平方会是3的倍数呢？咱们可以举个例子，像6，6是3的倍数，6² = 36，36也是3的倍数。
如果a²是3的倍数，那a肯定也是3的倍数哦。
咱们可以想象a就像一群小方块，如果这些小方块能组成一个大正方形（也就是a²），而且这个大正方形的数量是3的倍数，那这个大正方形的边长（也就是a）肯定也是3的倍数啦。
既然a是3的倍数，那咱们就可以说a = 3k，这里的k也是一个整数。
把a = 3k代入到a² = 3b²里，就得到(3k)² = 3b²，算一算就是9k² = 3b ²，再变一变就成了b² = 3k²。
你看，这个式子是不是和之前的a² = 3b²很像呀？按照之前的推理，那b也得是3的倍数呢。
无理数的认识与运算
无理数的认识与运算在我们的数学世界中，有理数是大家比较熟悉和常见的数，比如整数和分数。
但还有一类数，它们被称为无理数，就像数学领域中的“神秘嘉宾”，常常让初学者感到困惑和好奇。
那什么是无理数呢？简单来说，无理数是无限不循环小数。
比如说，圆周率π就是一个非常著名的无理数，约等于 31415926它的小数位无穷无尽且没有循环的规律。
再比如√2（根号 2），它的值约为141421356也是一个无理数。
无理数的发现可是有着一段有趣的历史。
在古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们所说的数指的是有理数。
然而，后来有一个叫做希帕索斯的人发现了一个问题。
如果一个正方形的边长为 1，那么它的对角线长度是多少呢？通过勾股定理可以算出，对角线的长度是√2。
但人们发现，√2不能表示为两个整数之比，也就是不能写成一个有理数的形式。
这一发现引起了轩然大波，因为它打破了当时人们对于数的认知。
那么，我们怎么来判断一个数是不是无理数呢？这可不像判断有理数那么简单。
对于一些常见的无理数，我们可以通过其定义和性质来判断。
比如，如果一个数的小数部分是无限不循环的，那它就是无理数。
但对于一些复杂的数，可能需要通过一些数学方法来证明。
接下来，让我们来看看无理数的运算。
无理数的加、减、乘、除运算可不像有理数那么简单直接。
先来说说加法和减法。
两个无理数相加或相减，结果可能是有理数，也可能是无理数。
比如，√2 ＋（√2）＝ 0，结果是有理数；而√2 ＋√3 则是一个无理数。
乘法运算中，如果两个无理数相乘的结果是一个有理数，那么这两个无理数互为有理化因式。
例如，√2 × √8 ＝√16 ＝ 4。
除法运算也类似，比如，√8 ÷ √2 ＝√4 ＝ 2。
在进行无理数的运算时，常常需要将其化简。
比如，计算√18 √8，我们先将它们化为最简形式，√18 ＝3√2，√8 ＝2√2，然后相减得到√18 √8 ＝3√2 2√2 ＝√2 。
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证明根号三是无理数反证法
证明根号三是无理数反证法今天咱们来玩一个超级有趣的数学小探险，要去证明根号三是无理数哦。
那什么是无理数呢？简单说呀，就是那些不能写成两个整数相除的数。
那咱们就用反证法来试试。
反证法就像咱们在玩一个假设的游戏。
我们先假设根号三是有理数。
有理数能写成两个整数的比，就像a除以b（a和b都是整数，而且b 不能是0哦）。
那咱们就假设根号三等于a / b，而且呢，这个a和b啊，要已经是最简的形式了，就是说它们除了1以外，没有别的共同的约数了。
那要是根号三等于a / b，咱们把两边都平方一下，就得到3等于a² / b²，再变一变就是a² = 3b²。
这时候呀，咱们来想想这个a²的事儿。
比如说a要是1的话，1的平方是1，可1不是3的倍数。
要是a是2呢，2的平方是4，也不是3的倍数。
那a要是3呢，3的平方是9，这个9就是3的倍数啦。
从a² = 3b²可以看出来，a²肯定是3的倍数。
那a就肯定也是3的倍数啦。
那咱们就可以把a写成3k（k是一个整数）。
把a = 3k代入a² = 3b²里，就得到(3k)² = 3b²，也就是9k² = 3b²，再变一变就是b² = 3k²。
这时候咱们又发现，b²是3的倍数，那b肯定也是3的倍数呀。
可是咱们前面假设a和b是最简的形式，没有除了1以外的共同约数，现在又发现a和b都有3这个约数，这就矛盾啦，就像咱们自己说的话前后打架了一样。
就好比咱们说小明是最矮的那个，又说小红比小明还矮，这就是矛盾的。
所以呀，咱们最开始假设根号三是有理数是错的，那根号三就只能是无理数啦。
数学就像一个大迷宫，有时候我们假设一条路是对的，走走发现矛盾了，那就说明这条路不对，得换个方向，这样就能找到正确的答案啦。
根3是无理数的证明
根3是无理数的证明今天咱们来一起看看为什么根3是无理数呢？这就像一场有趣的数学冒险哦。
咱们先来说说什么是有理数。
有理数呀，就像是我们能很容易找到规律的数。
比如说，1呀，2呀，还有像1/2这样的分数。
你看，1就是1个，2就是2个，1/2呢，就是把1个东西平均分成2份，每份就是1/2，这些数我们都能很清楚地知道它们是多少。
那无理数呢？无理数就像是一群调皮的小怪兽，藏在数字的世界里。
根3就是其中一个。
咱们来假设根3是有理数。
那按照有理数的定义，它就可以写成一个分数的样子，就像a/b（这里的a和b都是整数，而且b不能是0哦）。
而且呢，我们可以让这个分数是最简分数，就是说a和b没有除了1以外的共同的约数，就像3/4这样，3和4除了1就没有别的数能同时整除它们了。
那如果根3 = a/b，那把两边都平方一下，就得到3 = a²/b²，然后再变一变，就成了a² = 3b²。
这时候，咱们来想个例子哦。
假如a是个整数，那a²就是a乘以a。
比如说a = 5的时候，a² = 5×5 = 25。
那a² = 3b²这个式子呢，就说明a²是3的倍数。
那什么样的整数的平方是3的倍数呢？咱们可以试试一些数。
像1的平方是1，不是3的倍数；2的平方是4，也不是3的倍数；3的平方是9，这就是3的倍数啦。
其实呀，只有a本身是3的倍数的时候，a²才会是3的倍数。
那咱们就可以说a = 3k（k也是个整数）。
把a = 3k代入到a² = 3b²里，就变成了(3k)² = 3b²，算一算就是9k² = 3b²，再变一变就是b² = 3k²。
这就和前面说a²的情况一样啦，这就说明b也是3的倍数。
可是呢，我们最开始说a/b是最简分数呀，现在a和b都是3的倍数，这就矛盾啦，就像我们说好了一件事，结果发现这件事根本做不到一样。
π是无理数证明
π是无理数证明
π（圆周率）是无理数的证明方法有多种，以下是其中一种基于反证法的证明：
假设π是有理数，那么它可以表示为两个整数的比值p/q（p和q没有公共因子）。
这意味着圆的周长和直径的比值是p/q。
但根据几何学，我们知道圆的周长与其直径的比值是π，这意味着p/q=π。
由于π是一个无理数，这与我们的假设矛盾。
因此，我们的假设是错误的，π不是有理数。
此外，还可以使用连分数展开的方法证明π是无理数。
另一种常见的方法是使用微积分和反证法，该方法证明的核心是f(x)sinx在[0,π]上的积分是一个正整数，与该积分趋于零相矛盾。
证明根号2是无理数
证明根号2是无理数
1）正常版：
如果√2是有理数，必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）
两边平方：2=p^/q^
p^=2q^
显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）
有：4k^=2q^,q^=2k^
显然q业为偶数，与p、q互质矛盾
∴假设不成立，√2是无理数
2）经典版：
反证法。
假设√2是有理数，那么它可以写成两个整数之比的形式：√2=m/n，则2n^2=m^2
根据算术基本定理，m和n可以唯一分解成素数之积，所以，设m=p1*p2*p3*……*pr-1*pr,且n=q1*q2*q3*……*qs-1*qs。
则（p1*p2*p3*……*pr-1*pr）^2=2(q1*q2*q3*……*qs-1*qs)^2
或p1*p1*p2*p2*p3*p3*……*pr*pr=2q1*q1*q2*q2*q3*q3*……*qs*qs[1]。
现在，在这些素数pi、qi中可能出现2（如果m或n是偶数，2一定会出现）。
如果它出现，那么在方程[1]的左边2一定出现偶数次（因为每个素数都出现两次），而在右边出现奇数次（因为2已经在这里出现了1次）。
即使2在pi、qi中不出现，这种情况也是成立的，此时2在左边不出现，但是它在右边出现一次。
无论哪种情况，我们都
得到一个矛盾的结果：因为素数因式分解是唯一的，素数2不能在一个方程的一边出现偶数次，而在另一边出现奇数次。
因此方程[1]，也就是√2=m/n不成立：√2不能写成两个整数的比的形式，因此，√2一定是无理数。
证毕。
证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明 是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于 的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与 是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。
无理数的概念
无理数的概念无理数是数学中的一个重要概念，是指不能表示为两个整数之比的实数。
与有理数不同，无理数的数字部分是无限不循环的，无法用分数来精确表示。
无理数的出现，打破了数字的完整性，丰富了数学的世界。
本文将从无理数的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、无理数的定义无理数最早的发现可以追溯到古代希腊。
当时的数学家发现，对于一些平方不是完全平方数的实数，无法用有理数表示。
这些数被称为无理数。
现代数学中，无理数可以通过一些数学运算的结果表示出来，比如开平方运算。
一个数如果无法表示为两个整数之比，且不是有限小数或循环小数的形式，那么就是无理数。
二、无理数的性质1. 无限不循环的小数表示：无理数的小数表示是无限不循环的。
以根号2为例，它的小数表示为1.41421356…，数字部分无限不循环，无法找到一个确定的模式。
2. 无理数的无穷性：无理数是无限不可数的，它的数量比有理数多得多。
虽然无理数在实数轴上无法精确表示，但可以通过无休止的无限不循环的小数表示无理数。
3. 无理数的无理性：无理数的无理性是指无理数不具备有理数的性质，无法表示为两个整数之比。
这使得无理数在实数中有着独特的位置。
三、无理数的分类无理数可以进一步细分为代数无理数和超越无理数两种。
1. 代数无理数：代数无理数是指可以由代数方程的根表示的无理数，比如平方根、立方根等。
代数无理数可以表示为一个代数方程的解，但不能被表示为有理数。
2. 超越无理数：超越无理数是指不能由任何代数方程的根表示的无理数，如圆周率π、自然对数的底e等。
超越无理数在数学中具有重要的地位，它们的存在性是通过间接证明得到的。
四、无理数的应用无理数的概念并不仅仅停留在数学理论中，它在现实生活和工程应用中具有广泛的应用价值。
1. 测量与精度：无理数的概念使得我们能够更精确地进行测量和计算。
例如，无理数的应用使得我们能够更精确地计算建筑物的面积、体积等。
2. 图像与声音：无理数在图像和声音处理中有着重要的应用。
数学中的无理数
数学中的无理数数学是一门纯粹而又深邃的学科，它涵盖了广泛的领域，其中之一就是无理数。
无理数是数学中一个十分有趣且引人入胜的概念，它们的存在和性质不仅令人惊叹，而且对于我们理解数学的本质也起着重要的作用。
一、无理数的定义和发现无理数最早的发现可以追溯到古希腊时期。
在古希腊，人们相信一切数都可以表示为两个整数的比值，即有理数。
然而，当他们尝试用有理数表示某些长度时，却发现无法找到一个有理数来完全等于它。
这就导致了无理数的概念的产生。
无理数的定义非常简洁明了：一个实数如果不能表示为两个整数的比值，那么它就是无理数。
换句话说，无理数是无限不循环的小数。
例如，根号2就是一个无理数，它的小数表示形式是无限不循环的。
二、无理数的性质无理数有许多令人惊奇的性质，这些性质使得它们在数学中具有独特的地位。
首先，无理数是无限不循环的小数。
这意味着无理数的小数部分没有规律可循，永远不会重复。
这种无限性质使得无理数成为了一个无穷的世界，充满了无限的可能性。
其次，无理数在实数轴上是无法被精确表示的。
无论我们用多少位小数来表示一个无理数，它总是有无限多的小数位数。
这个性质使得无理数成为了一个无限精确的概念，它们超越了我们有限的理解能力。
另外，无理数之间的运算也是一个十分有趣的话题。
当我们将一个无理数与一个有理数相加或相乘时，结果仍然是一个无理数。
这个性质可以通过简单的证明得到。
例如，将根号2与2相加，得到根号2 + 2 = 2 + 1.4142... = 3.4142...，这个结果仍然是一个无理数。
三、无理数的应用无理数在现实世界中有许多应用。
一个典型的例子是在几何学中的勾股定理。
勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
其中，斜边的长度通常是一个无理数。
例如，在一个边长为1的正方形中，对角线的长度就是根号2，一个无理数。
此外，无理数还在数学分析中扮演着重要的角色。
在微积分中，我们经常需要处理无理数的极限，这对于计算函数的导数和积分非常重要。
什么是无理数及其定义是什么
什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。
无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。
他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。
五种方法证明根号2是无理数
五种⽅法证明根号2是⽆理数古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。
当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。
直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。
最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。
今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。
于是单位正⽅形的对⾓线是⾯积为2的正⽅形的边长。
换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之⽐，它的平⽅等于2。
中学课程中安排了⼀段反证法。
当时有个题⽬叫我们证根号2是⽆理数，当时很多⼈打死了也想不明⽩这个怎么可能证得到，这种感觉正如前⽂所说。
直到看了答案后才恍然⼤悟，数学上竟然有这等诡异的证明。
当然，我们要证明的不是“根号2是⽆理数”。
那个时候还没有根号、⽆理数之类的说法。
我们只能说，我们要证明不存在⼀个数p/q使得它的平⽅等于2。
证明过程地球⼈都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。
p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的⼀个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。
这样，p也是偶数，q 也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设⽭盾。
根号2是⽆理数，我们证明到了。
根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是⽆理数。
但Theodorus企图证明17的平⽅根是⽆理数时却没有继续证下去了。
一题多解教学案例：五种方法证明根号2是无理数
一题多解教学案例：五种方法证明2是无理数 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。
当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。
直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。
被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。
最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。
今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。
单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。
于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。
换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。
中学课程中安排了一段反证法。
当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。
直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。
当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。
那个时候还没有根号、无理数之类的说法。
我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。
证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p2=2q2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。
p是偶数的话，p2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q2也是偶数，即q是偶数。
这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。
根号2是无理数，我们证明到了。
根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。
但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。
(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。
七年级数学无理数知识点
七年级数学无理数知识点数学是一门古老而神秘的学科，其中涉及知识点众多，每一个知识点都有其独特的性质和特点。
在七年级的数学课程中，学生们将接触到无理数这个概念。
在本篇文章中，我将详细地介绍七年级数学无理数知识点，帮助学生们更好地理解和掌握相关知识。
一. 无理数的基本概念无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。
它的小数表示无限循环，而且循环不以任何有规律的方式出现。
例如，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$和$\pi$都是无理数。
二. 无理数的性质1. 无理数是有限小数和循环小数的补集。
2. 任何有理数的平方根都是无理数。
3. 任何两个不同的无理数之间都可以插入一个有理数。
4. 任何两个有理数之间都可以插入一个无理数。
5. 无理数和无理数相加、相减、相乘或相除，结果都是无理数。
三. 无理数的运算1. 无理数的加法和减法无理数的加法和减法，可以分别是有理数和无理数之间的加法和减法，也可以是无理数和无理数之间的加法和减法。
例如：$\sqrt{3} + \sqrt{2}$$\sqrt{3} - \sqrt{2}$2. 无理数的乘法和除法无理数的乘法和除法，可以是有理数和无理数之间的乘法和除法，也可以是无理数和无理数之间的乘法和除法。
例如：$\sqrt{3} \times \sqrt{2}$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$3. 无理数的大小比较对于两个无理数$a$和$b$，如果$a-b$是正数，则称$a>b$；如果$a-b$是负数，则称$a<b$。
例如：$\sqrt{3} > \sqrt{2}$四. 无理数的应用无理数广泛应用于几何、统计学、物理学和其他科学领域。
例如，在几何学中，无理数被广泛应用于圆的面积和周长的计算；在物理学中，无理数被广泛应用于波的频率和振幅的计算。
同时，在现代科技中，无理数也扮演着重要的角色，例如无线电通信、图像处理、密码学等等。
总结：无理数是数学中的一种重要概念，对现代科技的发展产生了巨大的影响。
证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。
根二是无理数证明
根二是无理数证明小朋友们呀，今天咱们来一起看看一个特别有趣的事儿，那就是证明根二是无理数。
咱们先来讲个小故事吧。
从前有个数字王国，里面有各种各样的数字。
有理数是那些规规矩矩的数字，可以写成两个整数之比，就像1/2呀，3/4呀。
但是有个数字很特别，它就是根二。
那怎么知道根二是无理数呢？咱们可以用一种很巧妙的方法来证明。
假如根二是有理数，那它就可以写成一个分数，就像a/b，这里的a和b都是整数，而且a和b不能再约分了，是最简的那种。
那么根二 = a/b，两边同时平方，就得到2 = a²/b²，再变形一下就得到a² = 2b²。
这时候就很有趣啦。
比如说b = 3，那b² = 9，2b² = 18。
那a²要是18的话，a就不是一个整数啦。
咱们再仔细想想，a² = 2b²。
这就说明a²是个偶数。
那什么样的数的平方是偶数呢？那这个数肯定也是偶数呀。
比如说2的平方是4，4是偶数；4的平方是16，16也是偶数。
既然a是偶数，那咱们就可以写成a = 2k，这里的k也是一个整数。
把a = 2k代入到a² = 2b²里，就得到(2k)² = 2b²，也就是4k² = 2b²，再化简就得到2k² = b²。
这样一来，b²是偶数，那b也肯定是偶数了。
可是呀，咱们前面说a/b是最简分数，不能再约分了。
现在a和b都是偶数，那还能约分呀，这就矛盾啦。
就像你说要把一块蛋糕分成最简单的份数，结果发现还能再分，这肯定不对呀。
所以呀，咱们最开始的假设就错了。
根二不能写成一个分数，它不是有理数，那它就是无理数啦。
通过这个有趣的证明，咱们就知道根二是无理数啦。
这就像在数字王国里发现了一个神秘的小宝藏，只要咱们动动脑筋，就能找到很多这样的小秘密呢。
根号3无理数证明
根号3无理数证明今天咱们来聊一聊根号3这个数。
你们知道吗？根号3呀，是一个无理数。
那什么是无理数呢？咱们先来讲个小故事吧。
从前有个小木匠，他要做一个正方形的小盒子。
这个小盒子的对角线长度特别重要。
如果这个正方形的边长是1的话，那根据勾股定理，对角线的长度就是根号2。
那要是这个正方形的边长变成了根号3呢？这个时候对角线的长度就变得很复杂啦。
咱们来证明一下根号3是无理数。
咱们就假设根号3是有理数。
什么是有理数呢？就是可以写成两个整数之比的数，就像1/2、3/4这样的数。
那如果根号3是有理数，它就可以写成a/b的样子，这里的a和b都是整数，而且它们没有共同的因数，除了1。
就像3/4，3和4就没有除了1以外的共同因数。
那咱们就有根号3 = a/b，然后两边都平方，就得到3 = a²/b²，再变一变就成了a² = 3b²。
这时候咱们来想一想。
a²是3的倍数。
那a呢？比如说6的平方是36，36是3的倍数，6也是3的倍数。
所以a肯定也是3的倍数。
那咱们就可以把a写成3k的样子，k也是一个整数。
那把a = 3k代入a² = 3b²里，就得到(3k)² = 3b²，算一算就是9k² = 3b ²，再变一下就是b² = 3k²。
这就和前面一样啦，b²是3的倍数，那b也是3的倍数。
可是咱们前面说a和b 没有除了1以外的共同因数，现在a和b都有3这个因数，这就矛盾啦。
就像你说你有一堆苹果和一堆橘子，你说苹果和橘子的数量没有共同的除了1以外的因数，可是后来发现苹果和橘子的数量都能被3整除，这就不对啦。
所以呀，咱们最开始假设根号3是有理数是错的，那根号3就只能是无理数啦。
就像根号2一样，根号3也是一个很特别的数，它不能写成简单的两个整数之比。
数学就是这样，充满了各种有趣的探索。
虽然这个证明有点绕，但是只要咱们一步一步想，就像走迷宫一样，最后就能找到答案。